intervalodeconfianza

Texto completo

(1)
(2)

CONCEPTO

El

parámetro

poblacional

es

frecuentemente un valor desconocido

que solo puede ser estimado usando

los datos obtenidos de una Muestra.

De

ahí

que

resulta

necesario

(3)

INTERVALOS DE CONFIANZA

(4)

INTERVALOS DE CONFIANZA

Un enfoque que arroja más

información es la estimación por

intervalo

cuyo

objetivo

es

aportar información de que tan

cerca se encuentra la estimación

puntual, obtenida de la muestra,

del

valor

del

parámetro

(5)

INTERVALOS DE

CONFIANZA

Intervalo de confianza

es el

conjunto de valores formado a partir

de una muestra de datos de forma

que exista la posibilidad de que el

parámetro poblacional se encuentre

dentro de dicho conjunto con una

probabilidad específica.

Esa probabilidad específica recibe el

(6)

INTERVALO DE CONFIANZA

nivel o grado de confianza

probabilidad de error (riesgo)

Tenemos entonces una probabilidad

α de seleccionar una variable

aleatoria que produzca un intervalo

que no contenga al parámetro.

(7)

De una población normal con

media desconocida

y varianza

conocida

2

se extrae una

muestra de tamaño

n

, entonces

de la distribución de la media

muestral se obtiene que:

Donde

Z

/2

es el valor de la normal estándar tal que el

área a la derecha de dicho valor es

/

2.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA

MEDIA

POBLACIONAL

(VARIANZA

CONOCIDA).

se distribuye como

una normal estándar.

(8)

ESTIMACIÓN DE INTERVALO PARA LA MEDIA POBLACIONAL

 Los factores que determinan la magnitud de un

intervalo de confianza para una media poblacional son:

 El número de observaciones en la muestra (n).

 La variabilidad en la población calculada por la desv.

estándar de la muestra (s)

 Y el nivel de confianza.

 En la estimación de intervalo para la media poblacional

(µ) se deben considerar dos casos:

Cuando se conoce la desviación estándar de la población (σ).

Cuando se desconoce la desviación estándar de la

población (σ). En este caso se sustituye la desviación

(9)

INTERVALOS DE CONFIANZA

La estimación por intervalo se calcula al

sumar o restar al estimador puntual una

cantidad llamada margen de error.

n

Z

X

n

Z

X

*

*

2 _

2 _

(10)

DEFINICIÓN

Se llama

intervalo de confianza

en

estadística

a

un par de números entre los cuales se estima que

estará cierto valor desconocido con una

determinada

probabilidad

de

acierto.

Formalmente, estos números determinan un

intervalo

, que se calcula a partir de datos de una

muestra

, y el valor desconocido es un

parámetro poblacional

.

(11)
(12)

LA DISTRIBUCIÓN

Para

la

construcción

de

un

determinado intervalo de confianza

es necesario conocer la

distribución

teórica que sigue el parámetro a

estimar,

(13)

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN

 De una población de media μ y desviación típica σ se

pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:

 Pero además, si el tamaño de las muestras es lo

suficientemente grande, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una

(14)
(15)

EJEMPLO

INTERVALO

DE

CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

(16)

Un concejal que considera

postularse para el cabildo municipal

de la ciudad de Pereira. Antes de

solicitar

la

postulación,

decide

realizar una encuesta entre los

electores del barrio donde considera

tiene más adeptos (Ciudad Jardín).

Una muestra de 400 electores revela

que 300 lo apoyarían en las

elecciones Municipales. Construya

un intervalo de confianza del 95%

para la proporción poblacional de

los votantes a favor del candidato.

EJEMPLO

DE

INTERVALO

DE

(17)
(18)

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

LA DIFERENCIA DE MEDIAS

(19)

Ejemplo de intervalo de confianza

para la diferencia de medias

El departamento de admisiones de una universidad desea estimar la diferencia entre las medias de las calificaciones provenientes de dos colegios. Los resultados de las dos muestras son los siguientes:

Calcular un intervalo de confianza al 95%

Colegio 1 Colegio 2

n1=46 n2=33

X1=3,02 X2=2,72

(20)

SOLUCIÓN EJERCICIO

111

,

0

0963

,

0

*

96

,

1

)

72

,

2

02

,

3

(

488

,

0

0963

,

0

*

96

,

1

)

72

,

2

02

,

3

(

0963

,

0

33

45

,

0

46

38

,

0

2 2

(21)

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

(22)

Ejemplo de intervalo de confianza

para la diferencia de proporciones

Una multinacional quiere tener un registro de las declaraciones de impuestos de sus dos sucursales para saber quien maneja mejor ese rubro, para ello saca dos muestras aleatorias con los siguientes resultados:

Construir un intervalo de confianza al 95%

Oficina 1 Oficina 2 n1=250 n2=300 Declaraciones con

(23)
(24)

Se toma una muestra de 49

observaciones

de

una

población normal con una

desviación estándar de 10.

La media de la muestra es

de 55. Determine el intervalo

de confianza de 99% para la

media poblacional.

(25)

El propietario de una gasolinera

desea determinar la proporción de

clientes que utilizan tarjeta de debito

para pagar la gasolina. Entrevistó a

100 clientes y descubre que 80

pagaron

con

tarjeta

debito.

Construya un intervalo de confianza

de

95%

para

la

proporción

poblacional.

(26)

EJERCICIOS PROPUESTO 3

Se tienen los siguientes resultados para dos

muestras aleatorias independientes

tomadas de dos poblaciones:

Calcular un intervalo de confianza al 98%

Muestra 1 Muestra 2

n1=46 n2=33

X1=3,02 X2=2,72

(27)

EJEMPLO PROPUESTO 4

Una empresa de investigación llevó a cabo

una encuesta para determinar la cantidad

media que los fumadores gastan en

cigarrillos durante una semana. La semana

encontró que la distribución de cantidades

gastadas por semana tendía a seguir una

distribución normal, con una desviación

estándar de U$5. Una muestra de de 64

fumadores reveló que la media era de U$20.

¿Cuál es el estimador de intervalo de

(28)

EJEMPLO PROPUESTO 5

Schadek Silkscreen Printing, Inc., compra

(29)

EJERCICIO PROPUESTO 6

La aeronáutica civil colombiana realizo una encuesta

entre 50 viajeros frecuentes para determinar la

calificación del Aeropuerto de Bogotá, la calificación

máxima es 10 y la mínima es 1. Con los datos de la

tabla 2 construya un intervalo de confianza al 98%

para la calificación promedio del Aeropuerto El

Dorado

6 4 6 8 7 7 6 3 3 8

10 4 8 7 8 7 5 9 5 8

4 3 8 5 5 4 4 4 8 4

5 6 2 5 9 9 8 4 8 8

(30)

EJEMPLO PROPUESTO 7

En un caso de discriminación salarial entre

empleados hombres y mujeres, unas muestras de

empleados hombres y mujeres con 5 años de

experiencia o más, arrojó los resultados de sueldo

que se ven en la siguiente tabla (los salarios son

por hora y en dólares). Construya un intervalo de

confianza al 95% para la diferencia de las dos

medias.

Empleados

Hombres

Empleados

Mujeres

n

1

=44

n

2

=32

x

1

=U$ 9.25

x

2

=U$8.70

Figure

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