2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho.

(1)

Problemas

1. Un comerciante compra 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16,000 pesos. Cada traje costó el doble de lo que costó cada par de zapatos más 50 pesos. Hallar el precio de los trajes y de los pares de zapatos.

3.Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le queda fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?

4. Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le hubiera costado 10 pesos menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?

5. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los 3

8 del menor. Hallar los números. 6. Vendí un automovil por 80,000 pesos más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gane 20,000 pesos. ¿Cuánto me había costado el auto?

7. Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3,000 dólares y una sortija. Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe 1,500 dólares y la sortija. ¿Cuál era el valor de la sortija?

8. En un puesto de frutas había cierto número de mangos. Un cliente compró 1

3 de los mangos que había más 4 mangos; otro cliente compro 1

3 de los que quedaban y 6 más; un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9 más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto?

9. Un conejo es perseguido por un perro. el conejo lleva una ventaja inicial al perro de 50 de sus saltos. El conejo da 5 saltos mientras el perro da 2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?

10. Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Que distancia podrá recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 kilómetros por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda a 10 kilómetros por hora?

(2)

Problemas con respuesta

Solución: Los trajes cuestan 250 pesos y los zapatos 100 pesos.

2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho. Solución: El ancho del buque es 12 metros.

3.Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?

Solución: En el primer cuadrado había 55 hombres y el total de hombres en la tropa es de 3061.

Solución: Cada caballo le costó 80 pesos

8 del menor. Hallar los números. Solución: Los números son 56 y 62.

6. Vendí un automovil por 80,000 pesos más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gane 20,000 pesos. ¿Cuánto me había costado el auto?

Solución: El auto me había costado 90,000 pesos

Solución: La sortija valía 600 dólares.

3 de los que quedaban y 6 más; un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9 más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto? ¿Cuántos mangos compró cada uno de los clientes?

Solución: En el puesto había 60 mangos. El primer cliente compró 24, el segundo 18 y el tercero también 18.

9. Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicial al perro de 50 de sus saltos. El conejo da 5 saltos mientras el perro da 2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?

Solución: El perro debe dar 800 saltos para alcanzar al conejo.

10. Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Que distancia podrá recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 kilómetros por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda a 10 kilómetros por hora?

(3)

Solución:

Sea xel valor de cada par de zapatos.

Como se compran 35 pares de zapatos, el precio total de los zapatos será35x:

Como bien lo indica el enunciado del problema, cada traje cuesta el doble más 50 de lo que cuesta cada par de zapatos; es decir, cada traje cuesta2x+ 50.

Ahora bien, como se compran 50 trajes, su costo total será de50 (2x+ 50).

Por tanto, el costo total de los 50 trajes más los 35 pares de zapatos será de50 (2x+ 50) + 35x. Pero el problema nos indica claramente que el costo total fue de 16,000, así que la ecuación nos queda 50 (2x+ 50) + 35x= 16000

Pasamos ahora a resolver esta ecuación.

Primero quitamos los signos de agrupación, efectuando la multiplicación, 100x+ 2500 + 35x= 16000

Reducimos ahora los términos semejantes, 135x+ 2500 = 16000

Ahora restamos2500a ambos miembros de la ecuación, obteniendo la ecuación equivalente 135x= 16000 2500 = 13500

Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 135, obteniendo x=13500

135 = 100

Así que el precio de cada par de zapatos es 100 pesos.

Al ser el precio de cada traje el doble más 50, obtenemos un precio de 250 pesos.

2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho. Solución:

Denotando comoametros el ancho del buque, es claro que 8a+ 3 = 99

Para resolver esta ecuación, restamos 3 a ambos miembros, obteniendo 8a= 99 3 = 96

Dividiendo ahora ambos miembros entre 8, tenemos a= 96

8 = 12

Es decir, el ancho del buque es 12 metros

3.Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?

(4)

Solución:

Llamemosnal número de soldados que había por lado en el primer cuadrado.

Entonces el número total de soldados es claramenten2_{+ 36, ya que le sobraban 36 soldados en ese primer cuadrado.}

El segundo cuadrado hubiera tenido(n+ 1)2soldados, pero faltaron 75, así que el total de soldados es de(n+ 1)2 75. Como el número de soldados siempre es el mismo, es constante, igualamos el número que nos resulta del primer cuadrado al número que nos resulta del segundo cuadrado, obteniendo la ecuación

n2_{+ 36 = (n}_{+ 1)}2

75

Para resolver esta ecuación eliminamos, primeramente, los signos de agrupación n2_{+ 36 =}_n2_{+ 2n}_{+ 1} ₇₅

Reducimos ahora los términos semejantes n2_{+ 36 =}_n2_{+ 2n} ₇₄

Restamos ahora a ambos miembrosn2_,

36 = 2n 74

Sumamos ahora a ambos miembros 74, 36 + 74 = 2n

Dividimos ahora toda la ecuación por 2 e intercambiamos los dos miembros, n= 36 + 74

2 = 55

Así que en el primer cuadrado había 55 soldados por lado.

Por tanto, el número total de soldados era 552_{+ 36; es decir,}_3061.

Solución:

Sea cel costo de cada caballo. Como compró 35, le costaron35c.

Si hubierá comprado 5 más por el mismo precio, le hubiera costado 10 pesos menos cada caballo. Es decir, hubiera comprado 40 caballos a un precio dec 10. El costo total sería entonces de40 (c 10).

Entonces tenemos que como hubiera sido el mismo 35x= 40 (x 10)

Para resolver esta ecuación quitamos primero los signos de agrupacion, 35x= 40x 400

Sustrayendo 40xa ambos miembros, 35x 40x= 400

(5)

5x= 400

Dividiendo ahora toda la ecuación entre 5, x= 400

5 = 80

Así que el costo de cada caballo es de 80 pesos

8 del menor. Hallar los números. Solución:

Denotemos comoxal menor de los dos números. Es claro que el mayor seráx+ 6. Escribiendo con ecuaciones lo que dice el problema, obtenemos la ecuación

x+ 6

2 =

3 8x+ 10

Para resolverla procedemos a quitar los denominadores, multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Como los denominadores son 2, 8 y 1, el mínimo común múltiplo es 8 y tenemos

8 x+ 6 2 = 8 3 8x+ 10 ó sea 4x+ 24 = 3x+ 80

Restando a ambos miembros de la ecuación 3x, x+ 24 = 80

Restando ahora a toda la ecuación 24, x= 80 24 = 56

es decir, el menor de los números es 56 y el mayor 62.

6. Vendí un automovil por 80,000 pesos más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gane 20,000 pesos. ¿Cuánto me había costado el auto?

Solución:

Llamandoxal precio que me costo el coche, tenemos que lo vendí por80000 + x 3.

Si gané 20,000 pesos, quiere decir que lo vendi en lo que me costo, que esx, más 20,000 pesos; por tanto, lo vendí en x+ 20000.

Tenemos entonces la ecuación 80000 + x

3 =x+ 20000

Multiplicando toda la ecuación por 3, 240000 +x= 3x+ 60000

De donde

3x x= 240000 60000 ó

(6)

2x= 180000 y

x= 90;000

El coche costó 90,000 pesos.

Solución:

Sea sel precio de la sortija. El sueldo mensual ofrecido al obrero es entonces 3000 +s 12 . Como trabajo 7 meses el sueldo que le corresponde es73000 +s

12 y le dieron1500 +s, así que 73000 +x

12 = 1500 +x

Para resolver esta ecuación multiplicamos ambos miembros por 12, Solution is: 600

7 (3000 +x) = 12 (1500 +x) Quitamos los signos de agrupación, 21000 + 7x= 18000 + 12x

Restamos 18000 a ambos miembros, 3000 + 7x= 12x

Restamos7xa ambos miembros, 3000 = 12x 7x= 5x

Dividimos entre 5, x=3000

5 = 600

Así que la sortija tiene una valor de 600 dólares.

3 de los que quedaban y 6 más; un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9 más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto? ¿Cuántos mangos compró cada uno de los clientes?

Solución:

Sea M el número total de mangos que había originalmente en el puesto. El primer cliente compró M

3 + 4. Quedaron en el puestoM M

3 + 4 .

(7)

es decir, compró

M M

3 + 4

3 + 6

Después del primer y segundo cliente, quedaronM 0 B B @ M 3 + 4 + M M 3 + 4 3 + 6 1 C C Amangos en el puesto.

Finalmente, el tercer cliente compró la mitad de los que quedaban más 9; es decir, compró

M 0 B B @ M 3 + 4 + M M 3 + 4 3 + 6 1 C C A 2 + 9

Como los tres clientes compraron el total de mangos del puesto, llegamos entonces a la ecuación que resuelve el problema, M 3 + 4 + M M 3 + 4 3 + 6 + M 0 B B @ M 3 + 4 + M M 3 + 4 3 + 6 1 C C A 2 + 9 =M, Solution is: 60

Para resolverla reducimos las fraccciones complejas una a una,

M 3 + 4 + M M 3 4 3 + 6 + M 0 B @M₃ + 4 + M M 3 4 3 + 6 1 C A 2 + 9 =M M 3 + 4 + 2 3M 4 3 + 6 + M 0 B @M₃ + 4 + 2 3M 4 3 + 6 1 C A 2 + 9 =M M 3 + 4 + 2 6M 4 3 + 6 + M M 3 + 4 + 2 6M 4 3+ 6 2 + 9 =M M 3 + 4 + 2 6M 4 3 + 6 + M 2M+ 24 + 2M 8 + 36 6 2 + 9 =M M 3 + 4 + 2 6M 4 3 + 6 + M 4M+ 52 6 2 + 9 =M M 3 + 4 + 2 6M 4 3 + 6 + 6M (4M + 52) 12 + 9 =M M 3 + 4 + 2 6M 4 3 + 6 + 6M (4M + 52) 12 + 9 12 = 12M 4M+ 48 + 4M 16 + 72 + 6M 4M 52 + 108 = 12M 10M + 160 = 12M 2M = 160

(8)

M = 80

En el puesto había 60 mangos. El primer cliente compró 60

3 + 4 = 24 El segundo cliente compró 60 24

3 + 6 = 18 El tercer cliente compro 60 (24 + 18)

2 + 9 = 18

9. Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicial al perro de 50 de sus saltos. El conejo da 5 saltos mientras el perro da 2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?

Solución:

Sea xel número de saltos que debe dar el perro para alcanzar al conejo. Tenemos entonces la ecuación,

3 8

5

2x + 50 =x

Para resolverla eliminamos los simbolos de agrupación, 15 16x+ 50 =x 15 16x+ 50 16 = 16x 15x+ 800 = 16x x= 800

Entonces 800 saltos del perro equivalen a 2,000 del conejo.

En esos 2,000 saltos el conejo avanza 750 saltos del perro, pero como originalmente le llevaba 50, resultan 800. 10. Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Que distancia podrá recorrer hacia el campo en un auto que va a 50 kilómetros por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda a 10 kilómetros por hora?

Solución:

Si viaja hacía el campo un tiempot horas, la distancia que recorrerá serán50tkilómetros. Le restarán12 thoras para regresar, y recorrera en el caballo una distancia10t kilómetros. La distancia que viaja en el coche debe ser igual a la distancia que viaja en el caballo, así que 50t= 10 (12 t)

Resolviendo esta ecuación, 50t= 120 10t

60t= 120 t= 2

Es decir, debera viajar dos horas.