1. Ejercicios Resueltos Complementarios de Espacios Cociente Elementos de Teoría de Grupos 3

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)

Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Escuela de Matemática y Ciencias de la Computación Centro de Innovación en Cónputo CientíficoCICC-UNAH

Lecturas de Geometría I

ELEMENTOS DEESPACIOSCOCIENTE YTEORÍA DEGRUPOS

Profesor: Dr. Fredy Vides

Índice

1. Ejercicios Resueltos Complementarios de Espacios Cociente 1

2. Elementos de Teoría de Grupos 3

1.

Ejercicios Resueltos Complementarios de Espacios Cociente

Ejercicio Resuelto 1. Dada f : [0,1] → R2 : t 7→ (cos(2πt),sen(2πt))). Si se define la

relación de equivalencia ∼en [0,1]×[0,1] por t ∼ s ⇐⇒ f(t) = f(s). Demostrar que

[0,1]/∼'H S ={(x, y)∈R2:x2+y2 = 1}.

Demostración.Un cambio de coordenadas elemental permite observar que: S ={(cos(2πt),sen(2πt))) :t∈[0,1]}

y por propiedades de la topología métrica, dado que[0,1]yS son subespacios topológicos (métricos) deRyR2, respectivamente, con respecto a las topologías métricas (Euclidianas) usuales correspondientes,[0,1]yS sonT4=⇒[0,1]yS sonT2.

Por el teorema de Heine-Borel[0,1] ⊂Res compacto dado que es cerrado y acotado, como se verifica a continuación. En efecto, dadox ∈ R\[0,1] = (−∞,0)∪(1,∞), existe r >0tal que(x−r, x+r)⊂R\[0,1] =⇒(x−r, x+r)∩[0,1] =∅=⇒x /∈[0,1] =⇒x∈R\[0,1] =⇒R\[0,1]⊂R\[0,1] =⇒[0,1]⊂[0,1]⊂R\(R\[0,1]) = [0,1] =⇒[0,1] = [0,1], por tanto

[0,1]es cerrado. Además, para cadax, y∈[0,1],|x−y| ≤ |1−0|= 1<2, por tanto[0,1]es acotado.

Por propiedades de compacidad,S =f([0,1])es compacto dado quef ∈C([0,1],S)

por propiedades de continuidad de cálculo elemental en varias variables, y[0,1]es com-pacto.

Dado que por los argumentos previos,[0,1]yS son espacios topológicosT2

compac-tos, f ∈ C([0,1],S) y S = f([0,1]). Por propiedades de la topología cociente S 'H [0,1]/∼.

Ejercicio Resuelto 2. Si se considera el conjunto de números reales R con la topología métrica usualTRsobreR, y si se considera la funciónsgn :R→Rdefinida por:

sgn(x) =    −1, x <0 0, x= 0 1, x >0

(2)

Sea∼la relación de equivalencia enR×Rdefinida porx∼y ⇐⇒sgn(x) = sgn(y). Calcular el conjunto cocienteR/∼.

Cómputo:Con base en la definición desgnes posible observar que:

[−1] ={x∈R:x∼ −1} ={x∈R: sgn(x) = sgn(−1) =−1} ={x∈R:x <0}= (−∞,0) [0] ={x∈R:x∼0} ={x∈R: sgn(x) = sgn(0) = 0} ={x∈R:x= 0}={0} [1] ={x∈R:x∼1} ={x∈R: sgn(x) = sgn(1) = 1} ={x∈R:x >0}= (0,∞)

Con base en las observaciones previas: R/∼={[x] :x∈R}

={[−1],[0],[1]}

Calcular la topología cocienteTR/∼sobreR/∼.

Cómputo: Considerando la funciónp : R R/ ∼: x 7→ [x]es posibe realizar las siguientes observaciones.

• p−1({[−1]}) ={x

R:p(x) = [−1]}={x∈R:x∼ −1}= (−∞,0)

• p−1({[0]}) ={x∈R:p(x) = [0]}={x∈R:x∼0}={0} • p−1({[1]}) ={x∈R:p(x) = [1]}={x∈R:x∼1}= (0,∞)

Con base en las observaciones previas, es posible observar lo siguiente.

• p−1({[−1]}) = (−∞,0)∈TR=⇒ {[−1]} ∈TR/

• p−1({[0]}) ={0}∈/ TR=⇒ {[0]}∈/ TR/

• p−1({[1]}) = (0,∞)∈TR=⇒ {[1]} ∈TR/

Con base en las obsevaciones anteriores, aplicando el algoritmo combinatorio es-tudiado en topología general, es posible calcularTR/∼, calculando la topologíaTS

sobreR/∼generada por el conjuntoS={{[−1]},{[1]}}. TR/∼=TS={∅,R/∼,{[−1]},{[1]},{[−1],[1]}}

(3)

2.

Elementos de Teoría de Grupos

Definición 2.1. Un grupo es un par(G,∗), dondeGes un conjunto y∗es una operación que cumplen las condiciones:

G1: Para cadaa, b∈G:a∗b∈G(propiedad de clausura).

G2: Para cadaa, b, c∈G:a∗(b∗c) = (a∗b)∗c(propiedad asociativa).

G3: Existee∈G(denominado elemento neutro deG) tal que:a∗e=a=e∗a, para cada a∈G.

G4: Para cadaa ∈G, existea−1 ∈G(denominado inverso deaenG) tal que:a∗a−1 =

e=a−1∗a.

El cardinal|G|se denomina orden del grupoG. En casos especiales en los que además de las condiciones anteriores, se cumple quea∗b=b∗apara cadaa, b∈G, se dice queGes un grupo conmutativo o Abeliano.

Ejemplo1. El par(R,+)formado por el conjunto de números reales y la operación de suma usual de números reales es un grupo (aditivo) conmutativo, como se verifica a continua-ción. En efecto, la clausura, asociatividad y conmutatividad son consecuencia de las pro-piedades de la suma usual de números reales. Por propro-piedades deR, existe un elemento neutro0∈Rtal que para cadax ∈R,x+ 0 =x= 0 +x. Por propiedades deR, para cada x∈Rexiste un inverso (aditivo)−x∈Rtal quex+ (−x) = 0 = (−x) +x.

Ejemplo2. El par (Z,+) formado por el conjunto de números enteros y la operación de suma usual de números enteros es un grupo (aditivo) conmutativo, como se verifica a continuación. En efecto, la clausura, asociatividad y conmutatividad son consecuencia de las propiedades de la suma usual de números enteros. Por propiedades de Z, existe un elemento neutro0 ∈Ztal que para cadaz ∈Z,z+ 0 =z = 0 +z. Por propiedades deZ, para cadaz∈Zexiste un inverso (aditivo)−z∈Ztal quez+ (−z) = 0 = (−z) +z. Ejemplo3. El par(GL(n),·)formado por el subconjunto de matrices complejas den×n determinado por la expresión

GL(n) ={X∈Cn×n: det(X)6= 0}

y la operación de producto usual de matrices·(representado por la yuxtaposición de las matrices multiplicadas) es un grupo (multiplicativo) no conmutativo, como se verifica a continuación. En efecto, dadas X, Y ∈ GL(n),det(XY) = det(X) det(Y) 6= 0dado que

det(X)6= 0ydet(Y)6= 0. La asociatividad es consecuencia de las propiedades del producto usual de matrices. SiInrepresenta la matriz identidad en Cn×n, dado quedet(In) = 1 6=

0 =⇒ In ∈ Cn×n, como para cada X ∈ GL(n) se cumple que XIn = X = InX =⇒ (GL(n),·) cumple la condición de existencia de elemento neutro. Dada X ∈ GL(n) se cumple queX−1∈GL(n)dado quedet(X−1) = det(X)−1 6= 0dado quedet(X)6= 0, y por propiedades de la inversa de una matriz invertible XX−1 = In = X−1X =⇒(GL(n),·) cumple la condición de existencia de inversa.

(4)

Definición 2.2. Dados dos grupos(G,∗),(H,~), una funciónf :G→ Hes un homomor-fismo (de grupos) si para cada a, b ∈ G:f(a∗b) = f(a)~f(b). Sif es inyectiva se dice quef es un monomorfismo, sif es sobreyectiva se dice quef es un epimorfismo, sif es biyectiva se dice quefes un isomorfismo. Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos

(G,∗),(H,~)se dice que GyH son isomorfos, lo que se denota porG ∼= H. El conjun-to de isomorfismos deGa H se denota porIso(G, H). Sih : G → Ges un isomorfismo (h ∈Iso(G, G)), se dice quehes un automorfismo deG. El conjunto de automorfismos de Gse denota porAut(G).

Ejemplo4. Considerando el grupo(Z,+), toda funciónf :Z→Zdefinida por la expresión f(z) = kzparak ∈ Z, es un homomorfismo, como se verifica a continuación. Dado que para cadaz∈Z,kz∈Zpor propiedades de los números enteros, dadosx, y∈Z,f(x+y) =

k(x+y) =kx+ky=f(x) +f(y) =⇒f es un homomorfismo.

Definición 2.3. Dado un grupo(G,∗)y dadoS ⊂G, se dice queSes un subgrupo deGsi

(S,∗)es un grupo, lo cual se denota porS < G.

Ejemplo5. Con respecto a la operación+de suma usual enR,Z<R.

Ejemplo6. Con base en los ejemplos previos, por propiedades de la suma de vectores en Rnes claro que el conjunto

Zn={(z1, . . . , zn)∈Rn:z1, . . . , zn∈Z}

es un subgrupo (aditivo) conmutativo del grupo (aditivo) conmutativo (Rn,+) donde+ es la operación de suma usual de vectores enRn.

Definición 2.4. Dados dos grupos(G,∗),(H,~), y un homomorfismof :G→H, sieG, eH

denotan los elementos neutros deGyH, respectivamente. Se define el núcleoker(f)como el conjuntoker(f) ={k∈G:f(k) =eH}.

Ejemplo7. Seaf :R2→R2la función definida por la expresiónf(x, y) = (2x−4y, x−2y), es claro quef es un homomorfismo de(R2,+)a(R2,+). Dado que(0,0)es el elemento de R2, es posible obervar queker(f)es el conjunto determinado por la siguiente expresión.

ker(f) ={(x, y)∈R2 :f(x, y) = (0,0)}

={(x, y)∈R2 : (2x4y, x2y) = (0,0)} ={(x, y)∈R2 :x= 2y}

={(2y, y) :y∈R}

Observación 2.5. Dados dos grupos (G,∗), (H,~), y un homomorfismo f : G → H, es posible observar que:

f(eG) =f(eG∗eG) =f(eG)~f(eG) =⇒

(5)

Ahora es posible observar que:

eH =f(eG) =f(a−1∗a) =f(a−1)~f(a) =⇒

f(a−1) =eH ~(f(a))−1 = (f(a))−1. (2.2)

Ejercicio Resuelto3. Dados dos grupos(G,∗),(H,~), y un homomorfismof : G → H, demostrar o refutar queker(f)< G.

Demostración.SeaneGyeH los elementos neutros deGyHrespectivamente. Dados

a, b ∈ker(f),f(a∗b) =f(a)~f(b) =eH ~eH =eH =⇒a∗b ∈ ker(f). La asociatividad

es consecuencia inmediata de la propiedad de clausura verificada anteriormente y las pro-pieades heredadas del producto∗enG. Por (2.1) eG ∈ ker(f). Por (2.2), dadoa ∈ ker(f),

f(a−1) = (f(a))−1=eH−1 =eH =⇒a−1∈ker(f). Esto concluye la demostración.

Definición 2.6. Dado un grupo (G,∗) y un conjunto S ⊂ G, se denomina (sub)grupo generado por S el subgrupo más pequeño de G que contiene a S. Se escribe hSi para denotar el (sub)grupo generado porS, en el caso particularS ={g}, se escribehgien lugar deh{g}i. Los grupos de la formahgireciben el nombre de grupos cíclicos. El orden|g|de un elementog∈Ges el el entero positivo más pequeño tal queg|g|=eG, dondeeGdenota

el elemento netro de G, si para g no existe un entero positivo que cumple la condición anterior se dice quegtiene orden infinito.

Observación 2.7. Es importante establecer que en este curso la operación hgi se aplicará tanto a elementos de grupos abstractos, como a elementos de representaciones concretas de grupos abstractos.

Ejemplo8. El grupo(Z,+)es un grupo cíclico (aditivo) de orden infinito, dado queh1i = Z=h−1i.

Ejemplo9. Si se considera el conjuntoS4 = {1, i,−1,−i} ⊂ Cdonde i =

−1, y la ope-ración de producto · (multiplicación) usual en C, una verificación rápida permite esta-blecer que(S4,·) es un grupo cíclico (multiplicativo) de orden finito |S4| = 4, dado que hii=S4 =h−ii.

Ejercicio para el lector1. Considerando el conjuntoS={z∈C:|z|= 1} ⊂C.

1. Demostrar que(S,·)es un grupo con respecto al producto usual·de números com-plejos.

2. Demostrar que|Aut(S)|>1(el conjunto de automorfismos deScontiene más de un elemento).

3. Demostrar que la funciónf : R → S : t 7→ exp(2πit)define un homomorfismo del grupo (aditivo)(R,+)al grupo multiplicativo(S,·).

4. Calcularker(f), para la funciónf :R→Sdefinida en el item 3.

5. Demostrar que el conjuntoS(n) = {z ∈C :zn = 1}es un subgrupo cíclico de(S,·). Además:

(6)

a) Calcular un generadorsdeS(n). b) Calcular el orden deS(n).

Ejercicio para el lector 2. Dado un grupo (G,∗) y dado g ∈ G, si se define la función

ˆ

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :