Hallar todos los puntos del plano π que se encuentran a una distancia d de una recta l contenida en el plano π. Figura 269

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13.3 LUGARES GEOMÉTRICOS. EJERCICIOS RESUELTOS

.

Ilustración N° 1

Hallar todos los puntos del plano 𝜋 que se encuentran a una distancia 𝑑 de una recta ℓ

contenida en el plano 𝜋.

Sean: ℓ ⊂ 𝜋; 𝐴𝐵̅̅̅̅ tal que 𝑚(𝐴𝐵̅̅̅̅) = 𝑑 con 𝐴𝐵̅̅̅̅ ⊥ ℓ y en consecuencia 𝑑(𝐴, ℓ) = 𝑑

Figura 269

Descripción de la construcción y justificación.

1. Por A se traza 𝐴𝑊⃡ ∥ ℓ, única por el V.P.E.

2. El teorema 37 en su corolario 1 nos permite concluir que todos los puntos de 𝐴𝑊⃡

equidistan de ℓ.

3. Pero por simetría se levanta 𝐵𝐴̅̅̅̅′ ⊥ ℓ con 𝐵𝐴′̅̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅̅̅ y por procedimiento análogo se determina 𝐴⃡ ∥ ℓ′𝑊′

Se concluye que las rectas 𝐴𝑊⃡ y 𝐴′𝑊′⃡ corresponden a la solución del problema planteado.

Generalización al espacio.

Si el problema se plantea en el espacio, el conjunto solución corresponde a la superficie cilíndrica con eje en la recta ℓ y radio 𝑅 = 𝑑. La justificación es inmediata.

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1. Hallar todos los puntos del plano 𝜋, tales que su distancia a una recta ℓ sea igual a su distancia a una circunferencia 𝐶(0, 𝑅), cuando la recta es secante a la circunferencia. Sean: 𝐶(0, 𝑅) ⊂ 𝜋; ℓ secante a 𝐶(0, 𝑅); 𝑚 (𝐴𝐵̅̅̅̅) = 𝑑, siendo 𝑑 la distancia señalada.

Figura 270

Descripción de la construcción y justificación.

1. Se trazan las rectas 𝑡 y 𝑡′ que equidistan de ℓ por el problema 1.

2. Teniendo en cuenta el teorema 62 en el cual se plantea la distancia desde un punto a

una circunferencia, se traza la 𝐶(0, 𝑅 + 𝑑).

3. Se designan por 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4 los intersectos de 𝐶(0, 𝑅 + 𝑑) y las rectas 𝑡 y 𝑡′

respectivamente.

Se concluye que {𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4} es la solución al problema planteado. ¿Por qué?

Ilustración N° 2

Un segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ de longitud constante se desplaza de tal forma que sus extremos siempre están ubicados sobre dos rectas perpendiculares y fijas. Hallar el lugar geométrico descrito por el punto medio de 𝐴𝐵̅̅̅̅.

Sean: ℓ1, ℓ2rectas dadas, ℓ1⊥ ℓ2, 𝐴𝐵̅̅̅̅ dado, 𝑀: punto medio de 𝐴𝐵̅̅̅̅.

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Figura 271

Descripción de la construcción y justificación.

1. Se trazan inicialmente los segmentos 𝐴̅̅̅̅̅̅̅, 𝐴1𝐵1 ̅̅̅̅̅̅̅, 𝐴2𝐵2 ̅̅̅̅̅̅̅, 𝐴3𝐵3 ̅̅̅̅̅̅̅4𝐵4 con las condiciones planteadas en el problema y 𝑂𝐴̅̅̅̅̅̅, 𝑂𝐴5 ̅̅̅̅̅̅, 𝑂𝐵6 ̅̅̅̅̅, 𝑂𝐵5 ̅̅̅̅̅̅6 cumpliendo también como situaciones extremas, las condiciones planteadas.

2. Se determinan como 𝑀1, 𝑀2, … . . 𝑀8los puntos medios de los segmentos trazados.

3. Se tienen en particular los triángulos rectángulos: ∆ 𝑂𝐴1𝐵1, ∆ 𝑂𝐴2𝐵2, ∆ 𝑂𝐴3𝐵3, ∆ 𝑂𝐴4𝐵4 y revisando las propiedades en las relaciones métricas del triangulo, el corolario del teorema 39, esto es del teorema de la paralela media, permite concluir que la mediana asociada a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa. En consecuencia. Todos los puntos medios equidistan del punto O.

Se concluye que la circunferencia 𝐶 (𝑂,𝐴𝐵2) corresponde a la solución del problema planteado.

Ilustración N° 3

Hallar el lugar geométrico descrito por los puntos medios de todos los segmentos correspondientes a las cuerdas trazadas desde un punto fijo de una circunferencia.

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Sean: 𝐶(0, 𝑅). 𝑃 punto fijo de 𝐶(0, 𝑅), desde el cual se determinan todas las cuerdas de dicha circunferencia con un extremo en él.

Figura 272 a Figura 272 b

Descripción de la construcción y justificación.

1. En la 𝐶(0, 𝑅) de la figura 272 a, se trazan las cuerdas 𝑃𝐴̅̅̅̅̅, 𝑃𝐴1 ̅̅̅̅̅, … . 𝑃𝐴2 ̅̅̅̅̅6 y 𝑃𝐵̅̅̅̅ en particular cuerda diametral y se determinan los puntos medios de cada una, designados por 𝑀1, 𝑀2, … . . 𝑀6 y 𝑂 respectivamente.

2. Una primera observación grafica permite conjeturar que los puntos medios ilustrados

parecen pertenecer a una semicircunferencia de diámetro 𝑂𝑃.

3. En la 𝐶(0, 𝑅) de la figura 272 b, buscando realizar la conjetura expuesta, se analizan en detalle dos de los siguientes triángulos; ∆ 𝑂𝑃𝐴1 y ∆ 𝑂𝑃𝐴5 que son isósceles y las condiciones señaladas permite concluir que 𝑂𝑀̅̅̅̅̅̅1 y 𝑂𝑀̅̅̅̅̅̅5 son medianas respectivas en

estos triángulos.

4. El teorema 20 corresponde a las Propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles, permite concluir que 𝑂𝑀̅̅̅̅̅̅1 y 𝑂𝑀̅̅̅̅̅̅5 son alturas de sus triángulos y como consecuencia se concluye así que ∆ 𝑂𝑀1𝑃 y ∆ 𝑂𝑀5𝑃 son rectángulos, con hipotenusa común en 𝑂𝑃̅̅̅̅.

5. Lo propio ocurre con todos los triángulos con vértice en cualquiera de los puntos medios y lado común en 𝑂𝑃̅̅̅̅.

Se concluye en consecuencia por lo establecido en el corolario 2 del teorema 72, que el lugar descrito por los puntos medios, corresponde a la semicircunferencia de cuerda diametral 𝑂𝑃̅̅̅̅. Por simetría se concluye lo mismo para todas las demás cuerdas

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con extremos en la otra semicircunferencia y se concluye que la circunferencia de cuerda diametral 𝑂𝑃̅̅̅̅ corresponde a la solución al problema planteado.

Ilustración N° 4 Situación problema 1

El petróleo que se extrae en un pozo 𝐻, debe ser procesado en una refinaría 𝑃, que por condiciones técnicas debe ser construida a la orilla de un rio que corre en un trayecto en línea recta, como se ilustra en la figura siguiente. De la refinería, el petróleo debe ser transportado a una ciudad C. Se adelantan dos estudios sobre el lugar en el cual debe ser construida la refinería. El primero recomienda construirla en un punto equidistante del pozo y de la ciudad. El segundo recomienda hacerlo en un punto tal que la suma de las distancias desde la

refinería al pozo y de la refinería a la ciudad sea la mínima posible.

Figura 273 a

Determinación de la solución para el primer estudio.

1. Se determina la mediatriz 𝑀𝐾⃡ de 𝐻𝐶̅̅̅̅ en el plano de la figura.

Por propiedad de la mediatriz de un segmento, todo punto de 𝑀𝐾⃡ equidista de 𝐻 y de C.

2. Se designa por 𝑃 la intersección entre 𝑀𝐾⃡ y la línea correspondiente a la rivera del rio.

Se concluye que 𝑃 corresponde a la solución propuesta en el estudio.

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Figura 273 b

Determinación de la solución para el segundo estudio.

En este problema la solución no se presenta en forma sencilla como en el caso anterior y nos obliga a tener en cuenta además de las propiedades de la mediatriz un principio que primó en la demostración de los teoremas de desigualdades en el triángulo del Capítulo 7 y que el lector puede identificar nuevamente.

Figura 273 c

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1. Se designa por ℓ, la recta correspondiente a la rivera del rio.

2. Desde 𝐻 se baja la perpendicular única a ℓ en el plano de la gráfica. Se designa por A el punto de intersección de ambas rectas.

3. En la semirrecta opuesta a 𝐴𝐻 se toma 𝐴𝐻̅̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐻̅̅̅̅; de esta forma es mediatriz de 𝐻𝐻′

̅̅̅̅̅̅. Es obvio que 𝐻 y 𝐻’ están en semiplanos opuestos respecto a ℓ.

4. Se traza 𝐻′𝐶̅̅̅̅̅ que intersecta a ℓ en un punto único 𝑃 (Axioma de separación del plano). Se concluye que 𝑃 es el punto correspondiente a la solución propuesta en el estudio.

Justificación de lo afirmado.

Se toma cualquier punto 𝑄 ∈ ℓ, 𝑄 ≠ 𝑃 y debe demostrarse que: 𝐻𝑃 + 𝑃𝐶 < 𝐻𝑄 + 𝑄𝐶.

En efecto, 𝐻𝑃 + 𝑃𝐶 = 𝐻′𝑃 + 𝑃𝐶 ¿por qué?

𝐻′𝑃 + 𝑃𝐶 = 𝐻𝐶 por propiedad de la medida entre segmentos.

A su vez 𝐻𝑄 + 𝑄𝐶 = 𝐻′𝑄 + 𝑄𝐶 Teorema de la desigualdad triangular en el ∆ 𝐻′𝑄𝐶.

Luego por transitividad se concluye que 𝐻𝑃 + 𝑃𝐶 < 𝐻𝑄 + 𝑄𝐶.

Es fundamental en esta demostración destacar que cualquiera que sea el punto 𝑄

perteneciente a ℓ, 𝑄 ≠ 𝑃, entonces, se garantiza la existencia del ∆ 𝐻′𝑄𝐶 y por tanto se puede

aplicar el teorema citado.

Ilustración N° 5

Situación problema 2.

Como continuación del problema anterior y en lo que puedo describir como una ilustración de una situación integradora, se plantea el siguiente problema.

En la figura se indican las posiciones de un pozo de petróleo 𝑃 y una ciudad 𝐶.

Se requiere construir sobre la orilla del rio 𝑅1 una refinería 𝑅 y sobre la orilla del rio 𝑅2 un

puerto de embarque A con el objetivo de que un oleoducto que tendrá la siguiente trayectoria:

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parte de 𝑃, llega a 𝑅, de 𝑅 continua hasta 𝐴 y de 𝐴 se dirige a la cuidad 𝐶, cumpla que la trayectoria sobre la poligonal 𝑃𝑅𝐴𝐶, sea la mínima posible.

Figura 274

Determinación de la solución y justificación

Como en el problema anterior, en el segundo estudio se resolvió una situación de suma mínima de distancias, aprovecharé este resultado para llegar a la solución del problema propuesto.

1. Determino un punto 𝐾 sobre la rivera del Rio 𝑅1 de tal forma que la suma de las

distancias 𝑃𝐾 + 𝐾𝐶 sea mínima, justificado en el problema anterior.

2. Análogamente se procede determinando un punto 𝑇 sobre la rivera del Rio 𝑅2de tal forma que la suma de las distancias de 𝐶𝑇 + 𝑇𝑃 sea mínima.

3. Se concluye que los puntos 𝐾 y 𝑇 corresponden a las localizaciones respectivas de la refinería 𝑅 y el puerto de embarque 𝐴. En consecuencia la ruta de mínima distancia corresponde a 𝑃𝐾 + 𝐾𝑇 + 𝑇𝐶.

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Figura 275 Justificación de lo afirmado. Figura 276

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Sean: 𝑅′∈ ℓ

1, 𝑅′ ≠ 𝑅, 𝐴′∈ ℓ2, 𝐴´ ≠ 𝐴.

Debe probarse que 𝑃𝑅 + 𝑅𝐴 + 𝐴𝐶 < 𝑃𝑅′+ 𝑅𝐴+ 𝐴𝐶

Se deja la prueba al lector.

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