Valores y Vectores Propios

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(1)

Valores Propios Vectores Propios

Valores Propios y Vectores Propios

Ver ´onica Brice ˜no V.

noviembre 2013

(2)

En esta Presentaci ´on...

En esta Presentaci ´on veremos:

Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz

Espacio Propio Asociado Diagonalizaci ´on

(3)

En esta Presentaci ´on...

En esta Presentaci ´on veremos:

Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz

Espacio Propio Asociado

Diagonalizaci ´on

(4)

En esta Presentaci ´on...

En esta Presentaci ´on veremos:

Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz

Espacio Propio Asociado

Diagonalizaci ´on

(5)

Valores Propios

Definici ´on

SiAes una matriz de ordenn×n.

Un escalarλ, se llama un valor propio deAsi existe un

vector~u(donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R)tal queA~u =λ~u.

El conjunto de todos los valores propios de la matrizAes

denotado porσ(A)y es llamado el espectro deA.

Seaλ∈σ(A), un vector~u( donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R))

tal queA~u=λ~u, se llama vector propio deAasociado al

valor propioλ.

(6)

Valores Propios

Definici ´on

SiAes una matriz de ordenn×n.

Un escalarλ, se llama un valor propio deAsi existe un

vector~u(donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R)tal queA~u =λ~u.

El conjunto de todos los valores propios de la matrizAes

denotado porσ(A)y es llamado el espectro deA.

Seaλ∈σ(A), un vector~u( donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R))

tal queA~u=λ~u, se llama vector propio deAasociado al

valor propioλ.

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Valores Propios

Definici ´on

SiAes una matriz de ordenn×n.

Un escalarλ, se llama un valor propio deAsi existe un

vector~u(donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R)tal queA~u =λ~u.

El conjunto de todos los valores propios de la matrizAes

denotado porσ(A)y es llamado el espectro deA.

Seaλ∈σ(A), un vector~u( donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R))

tal queA~u=λ~u, se llama vector propio deAasociado al

valor propioλ.

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Valores Propios

Definici ´on

SiAes una matriz de ordenn×n.

Un escalarλ, se llama un valor propio deAsi existe un

vector~u(donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R)tal queA~u =λ~u.

El conjunto de todos los valores propios de la matrizAes

denotado porσ(A)y es llamado el espectro deA.

Seaλ∈σ(A), un vector~u( donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R))

tal queA~u=λ~u, se llama vector propio deAasociado al

valor propioλ.

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Valores Propios

Definici ´on

SiAes una matriz de ordenn×n.

Un escalarλ, se llama un valor propio deAsi existe un

vector~u(donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R)tal queA~u =λ~u.

El conjunto de todos los valores propios de la matrizAes

denotado porσ(A)y es llamado el espectro deA.

Seaλ∈σ(A), un vector~u( donde~u6=0V, ~u ∈ Mn×1(R))

tal queA~u=λ~u, se llama vector propio deAasociado al

valor propioλ.

(10)

Importante

Proposici ´on

Siλes un valor propio de la matrizAde ordenn×n. Entonces

Wλ ={~u :A~u=λ~u}es un espacio vectorial, al que

llamaremos espacio propio asociado aλ.

Notaci ´on:

vp:λ

~

vp=~u=u

(11)

Importante

Proposici ´on

Siλes un valor propio de la matrizAde ordenn×n. Entonces

Wλ ={~u :A~u=λ~u}es un espacio vectorial, al que

llamaremos espacio propio asociado aλ.

Notaci ´on:

vp:λ

~

vp=~u=u

(12)

Importante

Proposici ´on

Siλes un valor propio de la matrizAde ordenn×n. Entonces

Wλ ={~u:A~u=λ~u}es un espacio vectorial, al que

llamaremos espacio propio asociado aλ.

Notaci ´on:

vp:λ

~

vp=~u=u

(13)

Importante

Proposici ´on

Siλes un valor propio de la matrizAde ordenn×n. Entonces

Wλ ={~u:A~u=λ~u}es un espacio vectorial, al que

llamaremos espacio propio asociado aλ.

Notaci ´on:

vp:λ

~

vp=~u=u

(14)

Importante

Proposici ´on

Siλes un valor propio de la matrizAde ordenn×n. Entonces

Wλ ={~u:A~u=λ~u}es un espacio vectorial, al que

llamaremos espacio propio asociado aλ.

Notaci ´on:

vp:λ

~

vp=~u=u

(15)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(16)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(17)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(18)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(19)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(20)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica.

Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(21)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(22)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(23)

Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definici ´on

λ, es un valor propio de la matrizAsi y solo si

det(A−λI) =0.

Adem ´as,

p(λ) =det(A−λI)se llama polinomio caracteristico.

det(A−λI) =0 se llama ecuaci ´on caracteristica. Observaci ´on:

1) Como~uesvp~ , entonces~udebe verificar:

(A−λI)~u =0V.

2) SiAes de ordenn×nentonces el polinomio caracter´ıstico

tiene gradon, por lo tanto tienenposibles ra´ıces complejas

que satisfacen la ecuaci ´on (contando multiplicidades). En

particular, hay a lo mas n valores propios reales deA.

(24)

Ejemplos

Calcular los vp yvp~ de las matrices:

A=

4 −5

2 −3

A= 0 1 1 0 A= 0 1

−2 −3

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

A= 

0 2 0 2 0 0 0 0 3

A= 

−3 1 −3

20 3 10

2 −2 4

(25)

Ejemplos

Calcular los vp yvp~ de las matrices:

A=

4 −5

2 −3

A= 0 1 1 0 A= 0 1

−2 −3

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

A= 

0 2 0 2 0 0 0 0 3

A= 

−3 1 −3

20 3 10

2 −2 4

(26)

Ejemplos

Calcular los vp yvp~ de las matrices:

A=

4 −5

2 −3

A= 0 1 1 0 A= 0 1

−2 −3

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

A= 

0 2 0 2 0 0 0 0 3

A= 

−3 1 −3

20 3 10

2 −2 4

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Ejemplos

Calcular los vp yvp~ de las matrices:

A=

4 −5

2 −3

A= 0 1 1 0 A= 0 1

−2 −3

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

A= 

0 2 0 2 0 0 0 0 3

A= 

−3 1 −3

20 3 10

2 −2 4

(28)

Ejemplos

Calcular los vp yvp~ de las matrices:

A=

4 −5

2 −3

A= 0 1 1 0 A= 0 1

−2 −3

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

A= 

0 2 0 2 0 0 0 0 3

A= 

−3 1 −3

20 3 10

2 −2 4

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Ejemplos

Calcular los vp yvp~ de las matrices:

A=

4 −5

2 −3

A= 0 1 1 0 A= 0 1

−2 −3

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

A= 

0 2 0 2 0 0 0 0 3

A= 

−3 1 −3

20 3 10

2 −2 4

(30)

Ejercicios

Sea A una matriz real de ordenny seaλ∈σ(A). Verificar que:

1 El conjunto de vectores propios deAasociados al valor

propioλes un subespacio vectorial del espacio de

matrices complejas de ordenn×1.

2 El conjunto de vectores propios deAasociados al valor

propioλque tienen todos sus coeficientes reales es un

subespacio vectorial del espacio de matrices reales de

ordenn×1.

(31)

Ejercicios

Sea A una matriz real de ordenny seaλ∈σ(A). Verificar que:

1 El conjunto de vectores propios deAasociados al valor

propioλes un subespacio vectorial del espacio de

matrices complejas de ordenn×1.

2 El conjunto de vectores propios deAasociados al valor

propioλque tienen todos sus coeficientes reales es un

subespacio vectorial del espacio de matrices reales de

ordenn×1.

(32)

Ejercicios

Sea A una matriz real de ordenny seaλ∈σ(A). Verificar que:

1 El conjunto de vectores propios deAasociados al valor

propioλes un subespacio vectorial del espacio de

matrices complejas de ordenn×1.

2 El conjunto de vectores propios deAasociados al valor

propioλque tienen todos sus coeficientes reales es un

subespacio vectorial del espacio de matrices reales de

ordenn×1.

(33)

Importante

Observaci ´on

Como los vectores propios deAasociados al valor propioλno

son ´unicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.

Definici ´on

Seaλ∈σ(A).

Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propioλa la

multiplicidad deλcomo ra´ız del polinomio caracter´ıstico y

llamaremos multiplicidad geom ´etrica a la dimensi ´on deWλ,

espacio propio asociado.

(34)

Importante

Observaci ´on

Como los vectores propios deAasociados al valor propioλno

son ´unicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.

Definici ´on

Seaλ∈σ(A).

Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propioλa la

multiplicidad deλcomo ra´ız del polinomio caracter´ıstico y

llamaremos multiplicidad geom ´etrica a la dimensi ´on deWλ,

espacio propio asociado.

(35)

Importante

Observaci ´on

Como los vectores propios deAasociados al valor propioλno

son ´unicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.

Definici ´on

Seaλ∈σ(A).

Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propioλa la

multiplicidad deλcomo ra´ız del polinomio caracter´ıstico y

llamaremos multiplicidad geom ´etrica a la dimensi ´on deWλ,

espacio propio asociado.

(36)

Importante

Observaci ´on

Como los vectores propios deAasociados al valor propioλno

son ´unicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.

Definici ´on

Seaλ∈σ(A).

Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propioλa la

multiplicidad deλcomo ra´ız del polinomio caracter´ıstico y

llamaremos multiplicidad geom ´etrica a la dimensi ´on deWλ,

espacio propio asociado.

(37)

Importante

Observaci ´on

Como los vectores propios deAasociados al valor propioλno

son ´unicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.

Definici ´on

Seaλ∈σ(A).

Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propioλa la

multiplicidad deλcomo ra´ız del polinomio caracter´ıstico y

llamaremos multiplicidad geom ´etrica a la dimensi ´on deWλ,

espacio propio asociado.

(38)

Importante

Observaci ´on

Como los vectores propios deAasociados al valor propioλno

son ´unicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.

Definici ´on

Seaλ∈σ(A).

Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propioλa la

multiplicidad deλcomo ra´ız del polinomio caracter´ıstico y

llamaremos multiplicidad geom ´etrica a la dimensi ´on deWλ,

espacio propio asociado.

(39)

Proposici ´on:

SeaAuna matriz:

La suma de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual a la traza deA.

El producto de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual al determinante deA.

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.

(40)

Proposici ´on:

SeaAuna matriz:

La suma de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual a la traza deA.

El producto de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual al determinante deA.

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.

(41)

Proposici ´on:

SeaAuna matriz:

La suma de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual a la traza deA.

El producto de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual al determinante deA.

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.

(42)

Proposici ´on:

SeaAuna matriz:

La suma de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual a la traza deA.

El producto de los valores propios deA(contando

multiplicidad algebraica) es igual al determinante deA.

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.

(43)

Teorema:

Para cada valor propio se cumple que la multiplicidad geom ´etrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica.

Los valores propios de una matriz sim ´etrica son reales.

Los valores propios de una matriz antisim ´etrica son imaginarios puros.

(44)

Teorema:

Para cada valor propio se cumple que la multiplicidad geom ´etrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica.

Los valores propios de una matriz sim ´etrica son reales.

Los valores propios de una matriz antisim ´etrica son imaginarios puros.

(45)

Teorema:

Para cada valor propio se cumple que la multiplicidad geom ´etrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica.

Los valores propios de una matriz sim ´etrica son reales.

Los valores propios de una matriz antisim ´etrica son imaginarios puros.

(46)

Teoremas:

Seaλ∈σ(A), entoncesWλ≤Cn

Seanλ1, λ2, ..., λm∈σ(A)distintos, con sus respectivos

~

u1, ~u2, ..., ~umvectores propios.

Entoncesu~1, ~u2, ..., ~umson l.i.

SeaAuna matriz de ordenn.

Entonces,Atienenvectores propios l.i. si y solo si la

multiplicidad geometrica de todo vp es igual a la multiplicidad algebraica.

(47)

Teoremas:

Seaλ∈σ(A), entoncesWλ≤Cn

Seanλ1, λ2, ..., λm∈σ(A)distintos, con sus respectivos

~

u1, ~u2, ..., ~umvectores propios.

Entoncesu~1, ~u2, ..., ~umson l.i.

SeaAuna matriz de ordenn.

Entonces,Atienenvectores propios l.i. si y solo si la

multiplicidad geometrica de todo vp es igual a la multiplicidad algebraica.

(48)

Teoremas:

Seaλ∈σ(A), entoncesWλ≤Cn

Seanλ1, λ2, ..., λm∈σ(A)distintos, con sus respectivos

~

u1, ~u2, ..., ~umvectores propios.

Entoncesu~1, ~u2, ..., ~umson l.i.

SeaAuna matriz de ordenn.

Entonces,Atienenvectores propios l.i. si y solo si la

multiplicidad geometrica de todo vp es igual a la multiplicidad algebraica.

(49)

Teoremas:

Seaλ∈σ(A), entoncesWλ≤Cn

Seanλ1, λ2, ..., λm∈σ(A)distintos, con sus respectivos

~

u1, ~u2, ..., ~umvectores propios.

Entoncesu~1, ~u2, ..., ~umson l.i.

SeaAuna matriz de ordenn.

Entonces,Atienenvectores propios l.i. si y solo si la

multiplicidad geometrica de todo vp es igual a la multiplicidad algebraica.

(50)

Ortonormal

Definici ´on

Diremos que una baseB={u1,u2, ...,un}de un espacio

vectorialV es una base ortonormal, si los vectores de la base

son ortogonales y tienen norma 1.

(51)

Ortonormal

Definici ´on

Diremos que una baseB={u1,u2, ...,un}de un espacio

vectorialV es una base ortonormal, si los vectores de la base

son ortogonales y tienen norma 1.

(52)

Ortonormal

Definici ´on

Diremos que una baseB={u1,u2, ...,un}de un espacio

vectorialV es una base ortonormal, si los vectores de la base

son ortogonales y tienen norma 1.

(53)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertiblePdel

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(54)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertiblePdel

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(55)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(56)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(57)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(58)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(59)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(60)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(61)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(62)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante

Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(63)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(64)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(65)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(66)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

Dada una matriz cuadradaA, y una matriz invertibleP del

mismo orden:

La matrizB=P−1AP se llama matriz similar a la matrizA.

La operaci ´onP−1APse llama transformaci ´on de similaridad.

La matrizPse llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

Determinante Traza

Valores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformaci ´on de similaridad.

Demostrar !!!

(67)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(68)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(69)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(70)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(71)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(72)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(73)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(74)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(75)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(76)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(77)

Diagonalizaci ´on

Definici ´on

SiA∈ Mn×n(K)tienenvectores propios l.i. y formamos una

matrizT cuyas columnas son estos vectores propios:

EntoncesD=T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos deDson los valores propios deA.

La matrizAse dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observaci ´on:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tienenvalores propios distintos, entonces

tienenvectores propios distintos.

y siAtiene valores propios repetidos????

puede o no puede tener forma diagonal.

(78)

Teoremas

Valores propios correspondientes a vectores propios diferentes son linealmente independientes.

Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: la multiplicidad geometrica es igual a la multiplicidad

algebraica.

Corolario: Si todos los valores propios son distintos (es decir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1), entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no es verdad).

(79)

Teoremas

Valores propios correspondientes a vectores propios diferentes son linealmente independientes.

Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: la multiplicidad geometrica es igual a la multiplicidad

algebraica.

Corolario: Si todos los valores propios son distintos (es decir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1), entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no es verdad).

(80)

Teoremas

Valores propios correspondientes a vectores propios diferentes son linealmente independientes.

Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: la multiplicidad geometrica es igual a la multiplicidad

algebraica.

Corolario: Si todos los valores propios son distintos (es decir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1), entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no es verdad).

(81)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

A. Analizar siAes Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valores propios.

Para cada valor propioλ, calcular la dimensi ´on del espacio

propioWλ.

Sumar las dimensiones de todos losWλ.

Si la suma esn, entonces la matrizAes diagonalizable.

e.o.c. no es diagonalizable.

(82)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

A. Analizar siAes Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valores propios.

Para cada valor propioλ, calcular la dimensi ´on del espacio

propioWλ.

Sumar las dimensiones de todos losWλ.

Si la suma esn, entonces la matrizAes diagonalizable.

e.o.c. no es diagonalizable.

(83)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

A. Analizar siAes Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valores propios.

Para cada valor propioλ, calcular la dimensi ´on del espacio

propioWλ.

Sumar las dimensiones de todos losWλ.

Si la suma esn, entonces la matrizAes diagonalizable.

e.o.c. no es diagonalizable.

(84)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

A. Analizar siAes Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valores propios.

Para cada valor propioλ, calcular la dimensi ´on del espacio

propioWλ.

Sumar las dimensiones de todos losWλ.

Si la suma esn, entonces la matrizAes diagonalizable.

e.o.c. no es diagonalizable.

(85)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

A. Analizar siAes Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valores propios.

Para cada valor propioλ, calcular la dimensi ´on del espacio

propioWλ.

Sumar las dimensiones de todos losWλ.

Si la suma esn, entonces la matrizAes diagonalizable.

e.o.c. no es diagonalizable.

(86)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

A. Analizar siAes Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valores propios.

Para cada valor propioλ, calcular la dimensi ´on del espacio

propioWλ.

Sumar las dimensiones de todos losWλ.

Si la suma esn, entonces la matrizAes diagonalizable.

e.o.c. no es diagonalizable.

(87)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queD sea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(88)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queD sea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(89)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queDsea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(90)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queDsea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(91)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queDsea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(92)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queDsea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(93)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queDsea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(94)

Procedimiento de Diagonalizaci ´on

B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el paso

anterior), eligiendo losvp~ , asociados a los vp de la matriz

A.

La matrizP se forma usando en sus columnas losvp~ de

esta base.

La matrizDes diagonal, sus elementos son los vp.

Para queDsea de ordenn, se necesitannvalores

propios. Por tanto, en la diagonal deDse deben repetir los

vpλ, tantas veces como indique ladim(Wλ).

Adem ´as, se debe respetar el orden al colocar los vp deD

y losvp~ en la columna deP.

As´ı,P−1AP .

(95)

Caso Matrices Sim ´etricas

SeaAuna matriz real y sim ´etrica entonces:

Teorema

Aes diagonalizable.

Siλi 6=λj ⇒Wλi ⊥Wλj.

Esto es, vp distintos deA, implica que los elementos de

sus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal devp~ asociados aA.

La diagonalizaci ´on se realiza:VAVT =D dondeV es una

matriz ortonormal, es decirVT =V−1y sus columnas son

losvp~ ortonormales yDes la matriz diagonal que tiene los

vp en su diagonal principal.

Aes una matriz real sim ´etrica si y solo si existe una matriz

ortonormalV y una matriz diagonalDtal que:A=VDVT.

(96)

Caso Matrices Sim ´etricas

SeaAuna matriz real y sim ´etrica entonces:

Teorema

Aes diagonalizable.

Siλi 6=λj ⇒Wλi ⊥Wλj.

Esto es, vp distintos deA, implica que los elementos de

sus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal devp~ asociados aA.

La diagonalizaci ´on se realiza:VAVT =D dondeV es una

matriz ortonormal, es decirVT =V−1y sus columnas son

losvp~ ortonormales yDes la matriz diagonal que tiene los

vp en su diagonal principal.

Aes una matriz real sim ´etrica si y solo si existe una matriz

ortonormalV y una matriz diagonalDtal que:A=VDVT.

(97)

Caso Matrices Sim ´etricas

SeaAuna matriz real y sim ´etrica entonces:

Teorema

Aes diagonalizable.

Siλi 6=λj ⇒Wλi ⊥Wλj.

Esto es, vp distintos deA, implica que los elementos de

sus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal devp~ asociados aA.

La diagonalizaci ´on se realiza:VAVT =D dondeV es una

matriz ortonormal, es decirVT =V−1y sus columnas son

losvp~ ortonormales yDes la matriz diagonal que tiene los

vp en su diagonal principal.

Aes una matriz real sim ´etrica si y solo si existe una matriz

ortonormalV y una matriz diagonalDtal que:A=VDVT.

(98)

Caso Matrices Sim ´etricas

SeaAuna matriz real y sim ´etrica entonces:

Teorema

Aes diagonalizable.

Siλi 6=λj ⇒Wλi ⊥Wλj.

Esto es, vp distintos deA, implica que los elementos de

sus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal devp~ asociados aA.

La diagonalizaci ´on se realiza:VAVT =D dondeV es una

matriz ortonormal, es decirVT =V−1y sus columnas son

losvp~ ortonormales yDes la matriz diagonal que tiene los

vp en su diagonal principal.

Aes una matriz real sim ´etrica si y solo si existe una matriz

ortonormalV y una matriz diagonalDtal que:A=VDVT.

(99)

Caso Matrices Sim ´etricas

SeaAuna matriz real y sim ´etrica entonces:

Teorema

Aes diagonalizable.

Siλi 6=λj ⇒Wλi ⊥Wλj.

Esto es, vp distintos deA, implica que los elementos de

sus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal devp~ asociados aA.

La diagonalizaci ´on se realiza:VAVT =Ddonde V es una

matriz ortonormal, es decirVT =V−1y sus columnas son

losvp~ ortonormales yDes la matriz diagonal que tiene los

vp en su diagonal principal.

Aes una matriz real sim ´etrica si y solo si existe una matriz

ortonormalV y una matriz diagonalDtal que:A=VDVT.

(100)

Caso Matrices Sim ´etricas

SeaAuna matriz real y sim ´etrica entonces:

Teorema

Aes diagonalizable.

Siλi 6=λj ⇒Wλi ⊥Wλj.

Esto es, vp distintos deA, implica que los elementos de

sus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal devp~ asociados aA.

La diagonalizaci ´on se realiza:VAVT =Ddonde V es una

matriz ortonormal, es decirVT =V−1y sus columnas son

losvp~ ortonormales yDes la matriz diagonal que tiene los

vp en su diagonal principal.

Aes una matriz real sim ´etrica si y solo si existe una matriz

ortonormalV y una matriz diagonalDtal que:A=VDVT.

(101)

Ejercicios

Diagonalizar, si es posible:

A=

5 4 1 2

A=

−2 1

1 −2

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

(102)

Ejercicios

Diagonalizar, si es posible:

A=

5 4 1 2

A=

−2 1

1 −2

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

(103)

Ejercicios

Diagonalizar, si es posible:

A=

5 4 1 2

A=

−2 1

1 −2

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

(104)

Ejercicios

Diagonalizar, si es posible:

A=

5 4 1 2

A=

−2 1

1 −2

A= 

0 0 1 0 2 0 3 0 0

(105)

Aplicaciones

Ecuaciones Diferenciales

Matriz Exponencial Potencia de Matrices

Secciones C ´onicas Rotadas (que veremos con mas detalle).

(106)

Aplicaciones

Ecuaciones Diferenciales

Matriz Exponencial

Potencia de Matrices

Secciones C ´onicas Rotadas (que veremos con mas detalle).

(107)

Aplicaciones

Ecuaciones Diferenciales

Matriz Exponencial Potencia de Matrices

Secciones C ´onicas Rotadas (que veremos con mas detalle).

(108)

Aplicaciones

Ecuaciones Diferenciales

Matriz Exponencial Potencia de Matrices

Secciones C ´onicas Rotadas (que veremos con mas detalle).

(109)

Proceso de Ortogonalizaci ´on de Gram-Schmidt

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman una base para un espacio vectorial.

Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes.

Este m ´etodo de ortogonalizaci ´on se conoce como el m ´etodo de Gram Schmidt... en honor de estos dos matem ´aticos alemanes que NO inventaron el m ´etodo...

... el cual al parecer se le debe al matem ´atico frances P.S. Laplace.

(110)

Proceso de Ortogonalizaci ´on de Gram-Schmidt

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman una base para un espacio vectorial.

Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes.

Este m ´etodo de ortogonalizaci ´on se conoce como el m ´etodo de Gram Schmidt... en honor de estos dos matem ´aticos alemanes que NO inventaron el m ´etodo...

... el cual al parecer se le debe al matem ´atico frances P.S. Laplace.

(111)

Proceso de Ortogonalizaci ´on de Gram-Schmidt

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman una base para un espacio vectorial.

Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes.

Este m ´etodo de ortogonalizaci ´on se conoce como el m ´etodo de Gram Schmidt... en honor de estos dos matem ´aticos alemanes que NO inventaron el m ´etodo...

... el cual al parecer se le debe al matem ´atico frances P.S. Laplace.

(112)

Proceso de Ortogonalizaci ´on de Gram-Schmidt

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman una base para un espacio vectorial.

Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes.

Este m ´etodo de ortogonalizaci ´on se conoce como el m ´etodo de Gram Schmidt... en honor de estos dos matem ´aticos alemanes que NO inventaron el m ´etodo...

... el cual al parecer se le debe al matem ´atico frances P.S. Laplace.

(113)

Teorema

Siu~1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. enRn, entonces es posible

construir vectores ortogonalesw~1, ~w2, ..., ~wm tales que para

cadak =1,2, ...,mse cumple:

G(u~1, ~u2, ..., ~um) =G(w~1, ~w2, ..., ~wm)

Los vectoresw~i se construyen siguiendo el procedimiento:

~ w1=u~1

~

w2=u~2−< ~||u2w1~, ~w1||2>w~1

.. .

~

wk+1=uk~+1−Pki=1

< ~uk+1, ~wj>

||w~k||2 w~k

(114)

Teorema

Siu~1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. enRn, entonces es posible

construir vectores ortogonalesw~1, ~w2, ..., ~wm tales que para

cadak =1,2, ...,mse cumple:

G(u~1, ~u2, ..., ~um) =G(w~1, ~w2, ..., ~wm)

Los vectoresw~i se construyen siguiendo el procedimiento:

~ w1=u~1

~

w2=u~2−< ~||u2w1~, ~w1||2>w~1

.. .

~

wk+1=uk~+1−Pki=1

< ~uk+1, ~wj>

||w~k||2 w~k

(115)

Teorema

Siu~1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. enRn, entonces es posible

construir vectores ortogonalesw~1, ~w2, ..., ~wm tales que para

cadak =1,2, ...,mse cumple:

G(u~1, ~u2, ..., ~um) =G(w~1, ~w2, ..., ~wm)

Los vectoresw~i se construyen siguiendo el procedimiento:

~ w1=u~1

~

w2=u~2−< ~||u2w1~, ~w1||2>w~1

.. .

~

wk+1=uk~+1−Pki=1

< ~uk+1, ~wj>

||w~k||2 w~k

(116)

Teorema

Siu~1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. enRn, entonces es posible

construir vectores ortogonalesw~1, ~w2, ..., ~wm tales que para

cadak =1,2, ...,mse cumple:

G(u~1, ~u2, ..., ~um) =G(w~1, ~w2, ..., ~wm)

Los vectoresw~i se construyen siguiendo el procedimiento:

~ w1=u~1

~

w2=u~2−< ~||u2w1~, ~w1||2>w~1

.. .

~

wk+1=uk~+1−Pki=1

< ~uk+1, ~wj>

||w~k||2 w~k

(117)

Ejemplos

Aplicar G-S, a los siguientes vectores:

~

u1= (3,0,4), ~u2= (−1,0,7), ~u3= (2,9,11)enR3.

~

u1= (1,0,2,1), ~u2= (1,1,0,1)enR4.

(118)

Ejemplos

Aplicar G-S, a los siguientes vectores:

~

u1= (3,0,4), ~u2= (−1,0,7), ~u3= (2,9,11)enR3.

~

u1= (1,0,2,1), ~u2= (1,1,0,1)enR4.

(119)

Ejercicios Propuestos

Dada la matrizA=

1 a a

a 1 a a a 1

dondeaes una

constante real. Determine: 1. El polinomio caracteristico

deA.

2. Los valores y vectores propios deAy sus subespacios

propios asociados.

3. ¿Para qu ´e valores dea, la matrizAes diagonalizable?

4. Determine en caso de existir la matriz que diagonaliza a

A.

Muestre que la matrizA=

1 −1

−1 1

es diagonalizable

y determine una matrizX tal queX5=A

(120)

Ejercicios Propuestos

Dada la matrizA=

1 a a

a 1 a a a 1

dondeaes una

constante real. Determine: 1. El polinomio caracteristico

deA.

2. Los valores y vectores propios deAy sus subespacios

propios asociados.

3. ¿Para qu ´e valores dea, la matrizAes diagonalizable?

4. Determine en caso de existir la matriz que diagonaliza a

A.

Muestre que la matrizA=

1 −1

−1 1

es diagonalizable

y determine una matrizX tal queX5=A

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