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(1)x −1 z −3 x y−7 z−6 = y−3 = . Hallar el punto de corte de y r' ≡ = = −2 2 −2 −2 3 ambas rectas con su perpendicular común. 8. Distancia entre r ≡. Solución. Se calcula 1º los puntos de corte con la diagonal común. Una vez conocidos estos, la distancia se calcula como el módulo del segmento que forman, y la recta s como la recta que pasa por dos puntos, A y B.. Para calcular los puntos de corte con la perpendicular común, se genera un segmento con dos puntos genéricos de la rectas r y r’. Expresando las recta en forma de paramétricas obtenemos los puntos A y B y de ellos el vector AB .  x = 3λ  x = 1 − 2µ   r ≡  y = 7 − 2λ : A = (3λ,7 − 2λ,6 − 2λ ) ; r ' ≡  y = 3 + µ : B = (1 − 2µ,3 + µ,3 + 2µ )  z = 6 − 2λ z = 3 + 2µ   AB = (1 − 2µ − 3λ,−4 + µ + 2λ,−3 + 2µ + 2λ ) AB es perpendicular tanto a r como a r’, por lo que también lo será a sus vectores de dirección, por lo que el ! ! producto escalar de AB con d r ó d r ' debe ser nulo. ! AB " d r = (1 − 2µ − 3λ,−4 + µ + 2λ,−3 + 2µ + 2λ )" (3,−2,−2 ) = 0 3 ⋅ (1 − 2µ − 3λ ) + (−2 )⋅ (−4 + µ + 2λ ) + (−2)⋅ (−3 + 2µ + 2λ ) = 0 12µ + 17λ − 17 = 0 ! AB " d r ' = (1 − 2µ − 3λ,−4 + µ + 2λ,−3 + 2µ + 2λ )" (− 2,1,2 ) = 0. (−2)(1 − 2µ − 3λ )+ 1 ⋅ (−4 + µ + 2λ ) + 2 ⋅ (−3 + 2µ + 2λ ) = 0 12µ + 16λ − 16 = 0. 12µ + 17λ = 17 Resolviendo el sistema:  (sol: µ=0, λ=1). Sustituyendo estos valores en los puntos P y Q 12µ + 16λ = 16 A(3,5,4) B((1,3,3) Distancia entre r y r’ = d (A − B) = AB = s≡. (1 − 3)2 + (3 − 5)2 + (3 − 4 )2. = 3u. x −3 y−5 = = z−4 2 2. El cálculo de la recta s se pude hacer también por intersección de dos planos, π y π’. El plano π se ! ! obtiene con la recta r y un vector v perpendicular a r y r’. El plano π’ con la recta r’ y el mismo vector v .. ! El vector v debe ser perpendicular a r y r’, y se obtiene por producto vectorial de los vectores de dirección de las rectas r y r’.  −2 −2 3 −2 3 −2  ! ! !  = (− 2,−2,−1) ≈ (2,2,1) v = d r × d r ' = (3,−2,−2)× (− 2,1,2) =  ,− , − 2 2 − 2 1  2  1.

(2)   A = (0,7,6 )   !  π ≡ d r = (3,−2,−2 ) : π ≡ !  v = (2,2,1)      s≡  B = (1,3,3)   !  π' ≡ d r ' = (− 2,1,2 ) : π' ≡   v! = (2,2,1)    . y−7 z−6 −2 − 2 = 0 : 2 x − 7 y + 10z − 11 = 0. x 3 2. 2. 1. x −1 y − 3 z − 3 −2 1 2 = 0 : x − 2 y + 2z − 1 = 0 2. 2. 1. 2 x − 7 y + 10z − 11 = 0 s≡  x − 2 y + 2z − 1 = 0 27. Calcular las coordenadas de un punto de la recta r ≡ x = π1 ≡ 3x +4y −1 =0 y π2 ≡ 4x −3z −1 =0.. y−2 z = que equidiste de los planos: −1 2. Solución Se busca un punto P de la recta r que este a igual distancia del plano π1 que del π2. d (P−π1) = d (P−π2).  x=t y−2 z  = : r ≡  y = 2 − t ⇒ P(t ,2 − t ,2 t ) P∈r ≡ x = −1 2  z = 2t  Aplicando d (P−π1) = d (P−π2) 3·t + 4·( 2 − t ) − 1    3·t + 4·( 2 − t ) − 1 4·t − 3·( 2 − t ) − 1 32 + 4 2 = 4·t − 3·(2 − t ) − 1  :  d(P − π 2 ) = 32 + 4 2 4 2 + (−3) 2 2 2  4 + (−3)  d ( P − π1 ) =. 3t + 4·(2−t) − 1 = ± [4·t − 3·(2 − t) − 1]. i. ii.. 7 − t = ± (−1 − 2·t) Con el signo +: t = −8 ⇒ P(−8, 10, −16) Con el signo −: t = 2 ⇒ P’(2, 0, 4).

(3) 34. Determinar un punto de la recta (0, 1, −1) un tetraedro de volumen 1.. x z = y = que forme con los puntos (0, 0, 0), (1, 0, 0), 2 2. Solución Es una aplicación del producto mixto de dos vectores. 1 V (Tetraedro) = ⋅ OC " OA × OB 6. (. ). C es un punto genérico de la recta r, que expresada en paramétricas toma la forma: x = 2t  r≡y=t  z = 2t  por lo tanto, C tendrá la forma (2t, t, 2t) OC = (2 t , t ,2 t ) 2t t 2t 1 t 1  1  V = ⋅ OC " OA × OB =  OA = (1,0,0)  = ⋅ 1 0 0 = ⋅ 3t = 2 6  OB = (0,1,−1)  6 0 1 − 1 6   Teniendo en cuenta el dato del volumen: t V=  t 2: =1⇒ t = 2 V = 1  2 Sustituyendo el valor de t en la expresión de C: C = (4, 2, 4). (. ). 47. Dos varillas fijas AA’ y BB’ , de espesor despreciable, están entrelazadas por una goma elástica (del modo que se indica en la figura adjunta). La goma, que está tensa, puede deslizar libremente por las varillas (sin rozamiento). Se sabe que las varillas ocupan las posiciones (en ejes cartesianos rectangulares xyz): x − y = 3 x −2 y−4 z−5 = = ; BB' :  1 2 2  z=4 a) ¿Qué posiciones relativas tienen las rectas AA’ y BB’? b) Hallar la longitud total de la goma elástica en su posición de equilibrio. AA' :. Solución a) La posición relativa de dos rectas se estudia mediante el rango de la matriz formada por los vectores de dirección de ambas rectas y el segmento formado con dos puntos, uno de cada recta. ! ! rg d r , d s , Pr Ps. {. }. ! x − 2 y − 4 z − 5  d A = (1,2,2 ) = = : AA' : 1 2 2 PA = (2,4,5).

(4) x − y = 3 BB' :  :y = λ:  z=4. x = 3 + λ   y=λ :  z=4 . !  d B = (1,1,0 )  PB = (3,0,4). PA PB = (2 − 3,4 − 0,5 − 4 ) = (−1,4,1)  1 2 2 ! !   rg d A , d B , PA PB = rg  1 1 0   −1 4 1   . {. 1. }. 2 2. 1 1 0 = 1 + 0 + 8 − (− 2 + 2 + 0 ) = 9 ≠ 0 −1 4 1. {. }. ! ! rg d A , d B , PA PB = 3 Las rectas se cruzan pero no se cortan. b) La distancia entre dos rectas que se cruzan pero no se cortan se puede calcular de dos formas distintas a. Como la altura del paralelepípedo que forman los vectores de dirección de las dos rectas y un segmento formado con un punto de cada recta. VPARALELEPÍPEDO = ABASE × Altura Altura =. VPARALELEPÍPEDO A BASE. =. (. ! ! PA PB ⋅ d A × d B ! ! dA × dB. ). −1 4 1 ! ! PA PB ⋅ d A × d B = (− 1,4,1)⋅ [(1,2,2 )× (1,1,0 )] = 1 2 2 = 9. (. ). 1. 1 0. ! ! 2 2 1 2 1 2  = (− 2,2,−1) d A × d B = (1,2,2)× (1,1,0 ) =  ,− ,  1 0 1 0 1 1 # # 2 2 d A × d B = (− 2 ) + 2 2 + (− 1) = 3 sustituyendo en la ecuación de la altura, se calcula la distancia entre las dos rectas 9 d (rAA ' − rBB' ) = altura = = 3 U 3 por lo tanto la longitud de la goma elástica será el doble, 6 unidades b.. Como distancia de un punto cualquiera de una de las rectas a un plano paralelo a esa recta que contiene a la otra recta..

(5) d (rAA ' − rBB' ) = d (PA − π) El plano π cumple las siguientes condiciones: PB ∈ π  rAA ' π ! ⇒ d A π  ! rBB' ⊂ π d  B π por lo tanto una determinación lineal del plano π será: PA = (3,0,4 ) ! π : d A = (1,2,2 )  d# = (1,1,0 )  B x −3 y −0 z − 4 π≡ 1 2 2 =0 1 1 0 desarrollando por los elementos de la primera fila 1 2 1 2 2 2 π ≡ (x − 3)⋅ − (y − 0 )⋅ + (z − 4 )⋅ =0 1 0 1 0 1 1 operando π ≡ −2·(x−3) + 2·y − 1·(z−4) = 0 simplificando π ≡ −2x + 2y − z + 10 = 0 la distancia entre las rectas será: d (rAA ' − rBB' ) = d (PA − π) =. − 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 − 5 + 10. (− 2). 2. + 2 + (− 1) 2. 2. =. 9 =3U 3. la longitud de la goma elástica será el doble, 6 U.  3x − 2 y + z + 3 = 0 52. Calcular c para que la recta r ≡  sea paralela al plano π ≡ 2x −y + cz −2 = 0. 4 x − 3 y + 4 z + 1 = 0 Para el valor de c obtenido calcular la distancia entre r y π Solución. ! ! ! ! Si π es paralelo a r ⇒ d r ⊥ n π ⇒ d r " n π = 0 El vector de dirección de la recta r se obtiene multiplicando vectorialmente los vectores ! ! característicos de los planos que la determinan, n 1 = (3,−2,1), n 2 = (4,−3,4 ) . !  −2 1 3 1 3 −2  ! !  = (− 5,−8 − 1) ≅ (5,8,1)  d r = n 1 × n 2 = (3,−2,1)× (4,−3,4 ) =  ,− ,   −3 4 4 4 4 −3  ! ! d r " n π = (5,8,1)" (2,−1, c ) = 10 − 8 + c = 0.

(6) c = −2 π ≡ 2x − y − 2z − 2 = 0   x = 7 + 5λ  3x − 2 y + z + 3 = 0  ⇒  y = −9 + 8λ : ∀λ ∈ ℜ r≡ − + + = 4 x 3 y 4 z 1 0   z=λ   d (r − π) = d (P − r ) =. 2 ⋅ (−7) − (−9) − 2 ⋅ 0 − 2 2 + (− 1) + (− 2 ) 2. 2. 2. =. 7 U 3.

(7)