2.2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.

(1)

2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.

Supongamos que tenemos una función f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\ continua y positiva cuyo dominio U es un conjunto que no es un rectángulo. ¿Cómo calculamos el volumen del recinto

{

3

}

: ( , , ) : ( , ) , 0 ( , ) , V = x y z ∈\ x y ∈U ≤ ≤z f x y

es decir, del sólido que encierra la gráfica de la función f y el plano OXY en el conjunto acotado ,

U mediante una integral doble? Una idea sería construir un rectángulo R de manera que U esté contenido en R, extender la función f definiéndola igual a cero en los puntos de R que no están en U y calcular la integral doble de f en el rectángulo R. El problema es que f no tiene por qué ser continua en R; pudiera tener una discontinuidad de salto en la pared del recinto, es decir, sobre la frontera del dominio U. Existe una teoría que permite construir la integral en este caso, pero es demasiado complicada para verla en un curso como éste. Realizaremos un proceso distinto al que acabamos de describir, que nos permitirá definir la integral doble al menos en los dominios no rec-tangulares más típicos (triángulos, círculos, elipses, etc.) que aparecen en la práctica. Este proceso se basa en la conclusión del teorema de Fubini sobre la igualdad de las integrales iteradas. Comen-zamos introduciendo estos dominios.

DEFINICIÓN. En el intervalo [ , ]a b consideramos dos funciones continuas

: [ , ] ( )

c x∈ a b ⊆ →\ c x ∈\ y :d x∈[ , ]a b ⊆ →\ d x( )∈\

tales que c x( )≤d x( ) para todo x∈[ , ].a b Sea U la región comprendida entre las gráficas de estas funciones, es decir, U:=

{

( , )x y ∈\2:a≤ ≤x b c x, ( )≤ ≤y d x( ) .

}

Diremos que este conjunto U es una región X-proyectable. Ahora consideremos una función continua

2

: ( , ) ( , ) .

f x y ∈ ⊆U \ → f x y ∈\ Definimos la integral doble de f sobre U como

( )

( , ) : ( , ) .

b d x

U a c x

f x y dA = ⎡_⎢ f x y dy dx⎤_⎥

⎣ ⎦

∫∫

∫ ∫

Análogamente, se dice que una región U es una región Y-proyectable cuando puede escribirse co-mo U:=

{

( , )x y ∈\2:c≤ ≤y d a y, ( )≤ ≤x b y( ) ,

}

para dos funciones continuas

: [ , ] ( )

a y∈ c d ⊆ →\ a y ∈\ y :b y∈[ , ]c d ⊆ →\ b y( )∈\

tales que a y( )≤b y( ) para todo y en [ , ].c d Si ahora f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\ es una fun-ción continua, entonces definimos la integral doble de f sobre U mediante la igualdad

( )

( , ) : ( , ) .

d b y

U c a y

f x y dA = ⎡_⎢ f x y dx dy⎤_⎥

⎣ ⎦

∫∫

∫ ∫

(2)

-pro-yectable e Y-proyectable. Recuerda que el teorema de Fubini para rectángulos establecía que

( , ) ( , ) ( , ) .

b d d b

R a c c a

f x y dA= ⎡_⎢ f x y dy dx⎤_⎥ = ⎡_⎢ f x y dx dy⎤_⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫∫

∫ ∫

En el caso de regiones proyectables se verifica el siguiente resultado, análogo a la igualdad anterior.

TEOREMA (FUBINI PARA REGIONES PROYECTABLES). Si U es una región simultáneamente X -pro-yectable e Y-proyectable, entonces las integrales previamente definidas coinciden, es decir,

( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) .

b d x d b y

D a c x c a y

f x y dA= ⎡_⎢ f x y dy dx⎤_⎥ = ⎡_⎢ f x y dx dy⎤_⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫∫

∫ ∫

OBSERVACIÓN. La definición de la integral doble nos asegura que si f es una función positiva, en-tonces el volumen del sólido V limitado entre el plano XOY y la gráfica de f o sea,

{

3

}

: ( , , ) : ( , ) , 0 ( , ) V = x y z ∈\ x y ∈U ≤ ≤z f x y

viene dado por la integral doble de f sobre ,U es decir, volumen( ) : ( , ) .

U

V =

∫∫

f x y dA En este ca-so, la aplicación del teorema de Fubini consiste en la fórmula del cálculo de volúmenes por seccio-nes paralelas que vimos en la Lección 2. En particular, si f es la función constante e igual a 1,

en-tonces área( ) : 1 ,

U

U =

∫∫

dA lo que nos permite expresar el área de un recinto plano como una inte-gral doble.

EJEMPLO. 1) Vamos a calcular la integral doble de la función ( , )f x y = +x y en el triángulo limita-do por las rectas de ecuaciones respectivas y=0, y=2x y x=1. Llamando ( )c x =0 y ( )d x =2 ,x la región en la que queremos calcular la integral se puede describir como

{

2

}

( , ) : [0,1], ( ) ( ) . U = x y ∈\ x∈ c x ≤ ≤y d x

Se trata de una región X-proyectable. De esta forma tenemos que

2 ₁

2

1 ( ) 1 1

2 3

0 ( ) 0 0 ₀

0

4 4

( ) ( ) 4 .

2 3 3

y x _x

d x

D c x _x

y

y x dA y x dy dx yx dx x dx x

= =

⎛ ⎤

⎡ ⎤ ⎛ ⎤

+ = _⎢ + _⎥ = _⎜ + _⎥ = =_⎜ _⎥ =

⎝ ⎦

⎣ ⎦ ⎝ ⎦

∫∫

∫ ∫

∫

2) Vamos a calcular la integral doble de f x y( , )=ey2 en U =

{

( , )x y ∈\2: 0≤ ≤x 1, x≤ ≤y 1 .

}

Se trata de un conjunto X-proyectable. Así que 2

1 1

0

( , ) y .

U x

f x y dA= ⎡_⎢ e dy dx⎤_⎥

⎣ ⎦

∫∫

∫ ∫

Sin embargo, la inte-gral iterada 2

1 1

0

y x

e dy dx

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

no se puede calcular directamente porque no podemos calcular la inte-gral 2

1

,

y x

e dy

(3)

No obstante, observa que U =

{

( , )x y ∈\2: 0≤ ≤y 1, 0≤ ≤x y

}

. Es decir, el conjunto U es una re-gión Y-proyectable. De esta forma, 2 2 2 2

1

1 1

0 0 0 ₀

1 1

( 1).

2 2

y

y y y y

U

e dxdy= ⎡_⎢ e dx dy⎤_⎥ = ye dy=⎛_⎜ e ⎤_⎥ = e−

⎝ ⎦

⎣ ⎦

∫∫

∫ ∫

∫

Propiedades de la integral doble. Las propiedades conocidas de la integración de funciones de una

variable (linealidad, monotonía, aditividad sobre el recinto de integración, relación entre la integral de una función y la de su valor absoluto, etc.) pasan a las integrales dobles prácticamente sin cam-bios. Sean f y g dos funciones continuas en un conjunto acotado U ⊆\2. La integración verifica las siguientes propiedades:

(1) Linealidad: Dados ,α β∈\, se tiene que

(

( , ) ( , )

)

( , ) ( , ) .

U U U

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

α +β =α +β

∫∫

(2) Aditividad con respecto al recinto de integración: Si expresamos U =U₁∪U₂, donde U₁ y U₂ no se solapan (sólo tienen puntos comunes en la frontera), entonces

1 2

( , ) ( , ) ( , ) .

U U U

f x y dA= f x y dA+ f x y dA

∫∫

(3) Monotonía: Si ( , )f x y ≤g x y( , ) en ,U entonces ( , ) ( , ) .

U U

f x y dA≤ g x y dA

∫∫

(4) Desigualdad del valor absoluto: ( , ) ( , ) .

U U

f x y dA ≤ f x y dA

∫∫

EJEMPLO. Vamos a calcular la integral doble 3 3 ,

U

x y dxdy

∫∫

siendo U la región limitada por las si-guientes curvas de ecuaciones x2+y2 =2, x2+y2 =4, x2−y2 =1 y x2−y2 =2, en el cuadrante positivo. Para tener una idea geométrica de la región U vamos a calcular los puntos de corte de las curvas que se encuentran en el primer cuadrante. El punto de corte de las curvas

2 2

2,

1

x y

⎧ + =

⎪ ⎨

− =

⎪⎩ es el

punto de coordenadas 3, 1 . 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Análogamente el corte de las curvas

2 2

4,

1

x y

⎧ + =

⎪ ⎨

− =

⎪⎩ se produce en

el punto de coordenadas 5, 3 . 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Por otra parte vemos que el corte de las curvas

2 2

2,

2

x y

⎧ + =

⎪ ⎨

− =

⎪⎩

se produce en el punto de coordenadas

(

2, 0 . Finalmente el corte de las curvas

)

2 2

4,

2

x y

⎧ + =

⎪ ⎨

− =

⎪⎩ se

produce en el punto de coordenadas

( )

3,1 . A la vista de lo anterior, es fácil comprobar que la

(4)

Los puntos que se encuentran a la izquierda de la recta x= 2, entre las rectas x= 2 y 5 2

x= y a la derecha de la recta 5.

2

x= De esta forma, tenemos que

(

)

2 2 2

5

2 1 1 3 4

2

3 3 3 3 3 3 3 3

3 5

2 2 2 2

2 2

5

1 1 4

4 4 4

2 3

2

3 3 3

3 5

2

2 2 2

2 2

3 2

4 4 4

1

1 4

x x x

S x x x

y x y x y x

x y dxdy x y dy dx x y dy dx x y dy dx

y y y

x dx x dx x dx

x x − − − − − − = − = − = − = − = − = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎤ ⎛ ⎤ ⎛ ⎤ = _⎜ _⎥ + _⎜ _⎥ + _⎜ _⎥ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦ = −

∫∫

∫ ∫

∫

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5

2 ₂ ₂ ₂ ₂

2

2 3 2 2

3

2 2

3 ₂ ₂

3 2 2

5 2 5

2 3

2

3 2 3 2 3 2

3 5 2 2 2 6 4 3 2 1

2 1 2

4

1

4 2 4

1 1 1

2 3 2 3 4 12

4 4 4

1 1 3

4 3 4 x

x dx x x x dx

x x x dx

x x dx x x dx x x dx

x x = − − + − − − + − − − = − + − + − + ⎛ ⎤ = _⎜ − _⎥ ⎝ ⎦

∫

5 2 3 2

6 4 6 4

5 2

2

1 1 3 1 2 7

3 .

4 3 4 4 3 16

x x x

x x

x x x x

= = =

= =

⎛ ⎤ ⎛ ⎤

+ _⎜ − _⎥ + _⎜− + _⎥ =

⎝ ⎦ ⎝ ⎦

EJERCICIO 1. Calcula la integral doble de la función f x y( , )= −x y en el triángulo de vértices (0, 0), (1,1) y (2, 0).

EJERCICIO 2. Calcula la integral doble de la función f x y( , )=x2+y2 en el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0,1).

EJERCICIO 3. Calcula ₂ ₂ ,

T

y

dxdy x +y

∫∫

siendo T el triángulo de vértices (0, 0), 1 1, 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ y 1 1, . 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

EJERCICIO 4. Calcula la integral cos( )

A

x+y dxdy

∫∫

siendo A el dominio del plano limitado por ,

y=x y= −x e y=1.

EJERCICIO 5. Calcula la integral doble de f x y( , )= y en la región limitada por las curvas de ecua-ciones respectivas y= x, y=0 e y= −2 x.

(5)

EJERCICIO 7. Calcula la integral

2

B

dxdy

x +y

∫∫

siendo B el dominio del plano limitado por y=x2, 0

y= y x=2.

EJERCICIO 8. Calcula la integral doble de ( , )f x y =exlogy en la región del primer cuadrante limi-tada por la x=logy entre y=1 e y=2.

EJERCICIO 9. Considera la integral iterada

1 2

0 arcsen

.

y y

xdx dy

π

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

Escríbela como una integral doble, dibuja el recinto de integración y calcula la integral doble.

3 4 2

2

0 1

4 2

.

x _x

dy dx y

−

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

0

sen

.

x

y dy dx y

π_⎡ π _⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

EJERCICIO 12. Calcula

(

2

)

2 ,

U

y− x dxdy

∫∫

siendo

{

2

}

: ( , ) : 1 .

U = x y ∈\ x + y ≤

EJERCICIO 13. Calcula el volumen del sólido acotado por el paraboloide z=x2+y2 y el triángulo del plano OXY cuyos lados están en las rectas y=x x=0 y x+ =y 2.

EJERCICIO 14. Calcula el volumen del sólido del primer octante acotado por los planos coordena-dos, el cilindro 2 2