14. Sobolev - Forastieri

Sobolev

1. Motivaci´on 4

2. Preliminares 4

2.1. Isomorfismos . . . 4

2.2. Espacios Reflexivos . . . 5

2.3. El operador adjunto . . . 6

2.4. Teorema de representaci´on de Riesz-Fr´echet . . . 7

3. Los espacios Lp ₇ 3.1. Reflexibilidad, separabilidad y Dual deLp . . . 7

3.2. Convolucion . . . 10

3.3. Soportes en la convolucion . . . 12

3.4. Sucesiones regularizantes . . . 13

4. Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensi´on uno 15 4.1. Definici´on de los espacios W1,p(I) . . . 15

4.2. Propiedades fundamentales del espacio W1,p_{(I) . . . . 16}

4.3. Los espaciosWm,p_{(I) y el espacio W}1,p 0 (I) . . . 24

4.4. El espacio dual de W₀1,p . . . 25

NOTACION

L(E, F) operadores lineales y continuos de E en F

E∗ dual topol´ogico de E, i.e. funcionales continuos de E

Ck

c(Ω) funciones con derivadas continuas hasta orden k y soporte compacto en Ω,k ≥0

C_c∞(Ω) =T

k Cck(Ω)

IE operador identidad del espacio E

Lp _=Lp_{(Ω,Σ, µ) =}

u: Ω→_R/u medible enΩ y R_Ω|u(t)|pdµ(t)<∞ 1≤p <∞

L∞ =L∞(Ω,Σ, µ)={u: Ω→_R/u es medible en Ωy existe C tal que |u(t)| ≤C, c.t.p. en Ω}

1K funci´on caracter´ıstica del conjunto K (toma el valor 1 en K y 0 en el resto de su dominio )

|K| medida del conjunto K.

BE Bola cerrada y unitaria del espacio normado E.

B(0, r) Bola abierta centrada en 0 y de radio r.

Suppf Soporte de la funci´on f.

Dk_{f =} ∂α₁

∂xα11

∂α₂

∂xα22

...∂αN

∂xαN_N f, para f definida en Ω⊂R N _{y α}

1+α2+...+αN =k

W1,p, W₀1,p, Wm,p, H1, H₀1, Hm Espacios de Sobolev

1.

Motivaci´

on

Dada f ∈C([a, b]), consideremos el problema de valores iniciales

−u00+u=f en [a, b] (1)

u(a) =u(b) = 0

Una soluci´on cl´asica (o soluci´on fuerte) del mismo es una funci´on u, de clase C2 en [a, b], que lo verifica. Por supuesto, se lo puede resolver con un calculo sencillo, pero aqu´ı usaremos esta ecuaci´onordinaria como ejemplo simple del m´etodo de resoluci´on que sigue el enfoque variacional de la teor´ıa de ecuaciones en derivadas parciales, cuya herramienta fundamental son los espacios de Sobolev. Para nuestro problema bastara considerar dichos espacios para funciones definidas en alg´un intervalo real.

Si se multiplica (1) por una funci´onϕ cualquiera, ϕ∈ C1_{([a, b]) tal que ϕ(a) =ϕ(b) = 0, y}

luego se integra por partes, obtenemos

−

Z b

a

ϕu00dx+

Z b

a

ϕudx=

Z b

a

ϕfdx

⇔

Z b

a

ϕ0u0dx−ϕu0|b a+

Z b

a

ϕudx=

Z b

a

ϕfdx

⇔

Z b

a

ϕ0u0dx+

Z b

a

ϕudx=

Z b

a

ϕfdx ∀ϕ (2)

Obs´ervese que (2) tiene sentido si u ∈C1_{([a, b])}1_{, contrariamente a (1), que supone u}

deri-vable dos veces. Digamos provisionalmente, que una funci´onu de clase C1que verifica (2) es una soluci´on d´ebil de (1).

En nuestro estudio precisaremos la noci´on de soluci´on d´ebil, estableceremos la existencia y unicidad de una soluci´on d´ebil, demostraremos que es de clase C2 (por lo menos) y por ultimo probaremos que toda soluci´on d´ebil de clase C2 _{es soluci´on cl´asica.}

2.

Preliminares

2.1.

Isomorfismos

Definici´on 2.1. Un isomorfismo entre dos espacios normados E y F es un operador T ∈ L(E, F) biyectivo tal que T−1 _{∈L(F, E).}

Un isomorfismo es entonces, una biyecci´on que conserva la estructura algebraica y tambi´en, como demuestra la siguiente proposici´on, la estructura topol´ogica.

Proposici´on 2.2. Sean E y F dos espacios normados. Sea T ∈ L(E, F) un isomorfismo entre ellos y sean M =kTk y m=kT−1_k−1_{. Entonces :}

mkxk_E ≤ kT xk_F ≤Mkxk_E ∀x∈E

Demostraci´on. Dado cualquier x∈E

kxk_E =kT−1_{(T x)k}

E ≤ kT

−1_{kkT xk}

F

Lo que prueba la primera desigualdad. La segunda es inmediata por la continuidad de T.

Entonces podemos pensar que E y F son un mismo espacio vectorial con dos normas equi-valentes que generan la misma topolog´ıa. Diremos que E y F son isomorfos.

Definici´on 2.3. Un isomorfismo isom´etrico entre dos espacios normados E y F es una aplicaci´on lineal T de E en F, sobreyectiva, tal quekT xk=kxkpara todo x∈E.

Una tal aplicaci´on es por su puesto un isomorfismo:

Por la definici´on T es continua de norma 1.

T(x1) =T(x2) =⇒T(x1)−T(x2) = 0 =⇒ T(x1 −x2) = 0 =⇒ kT(x1−x2)k = 0 =⇒ kx1−x2k= 0 =⇒x1 =x2 ∀x1, x2 ∈E (inyectividad de T)

kT−1_{(T x)k=kxk=kT xk ∀T x∈F (continuidad de T}−1₎

El isomorfismo isom´etrico es la identificaci´on total entre dos espacios normados. Diremos que E y F son isom´etricos (o iguales) y lo anotaremos E ∼=F

Observaci´on 2.4. Notemos que un isomorfismo entre E y F que cumplakTk=kT−1_{k= 1}

es claramente isom´etrico.

Observaci´on 2.5. Llamaremos isometr´ıa a secas, a una aplicaci´on lineal T de E en F tal que kT xk=kxk para todox∈E. En cuyo caso E ser´a isom´etrico al subespacio T(E)⊆F.

2.2.

Espacios Reflexivos

Sea E un _K-espacio vectorial normado2. Notaremos E∗ a su dual topol´ogico, que como sabemos es un espacio de Banach, con la norma dual usual. A los elementos de E∗ como es habitual los llamaremos funcionales y a veces usaremos la notaci´on de producto punto hx, ϕi

en vez de ϕ(x), parax∈E y ϕ∈E∗.

Consideremos ahora, el dual topol´ogico del dual (E∗)∗ =E∗∗

Definici´on 2.6. Llamaremos inmersi´on can´onica de E a la aplicaci´on J = JE : E → E∗∗, dada por

JEx=Jx ∈E∗∗, donde Jx(ϕ) =ϕ(x), ∀ϕ∈E∗

Es inmediato que para cada x∈E, Jx ∈E∗∗:

Jx(cϕ+φ) = (cϕ+φ)(x) =c ϕ(x) +φ(x) = c Jx(ϕ) +Jx(φ) ∀ϕ, φ∈E∗ y ∀c∈K

|Jx(ϕ)−Jx(φ)|=|ϕ(x)−φ(x)|=|(ϕ−φ)(x)| ≤ kxk kϕ−φk ∀ϕ, φ∈E∗

Por como fue definida JE es claramente lineal. Adem´as JE es una isometr´ıa, es decir E ∼=

J(E) ⊆ E∗∗. Para verlo tomemos cualquier x ∈ E y recordemos que podemos calcular su norma en forma dual (consecuencia del teorema de Hahn-Banach). Entonces

2_{Aqu´ı el cuerpo}

kxk_E =sup_ϕ∈B

E∗|ϕ(x)|=supϕ∈BE∗|Jx(ϕ)|=kJxkE∗∗ =kJE(x)kE∗∗

Definici´on 2.7. Un espacio normado E es reflexivosi la isometr´ıa JE es sobreyectiva. Con lo cual E resulta isom´etrico a su bidual.

Mencionamos dos resultados sobre espacios reflexivos, se puede encontrar una prueba de los mismos en R[1].

Teorema 2.8. Sea E un espacio de Banach. E es reflexivo si y solo si BE es compacta en la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗) (topolog´ıa menos fina sobre E que hace continua cada elemento de

E∗).

Proposici´on 2.9. Sea E un espacio de Banach reflexivo y sea M ⊂ E un subespacio vectorial cerrado. Entonces M, dotado de la norma inducida porE, es reflexivo.

2.3.

El operador adjunto

Definici´on 2.10. Sean E y F dos espacios normados y T ∈L(E, F). Definimos el operador

T∗, que llamaremos operador adjunto de T, de la siguiente forma:

T∗ :F∗ →E∗ y T∗(ϕ) = ϕ◦T ∀ϕ∈F∗

Claramente este operador esta bien definido y es lineal. Para ver que es continuo tomemos

ϕ∈F∗ fijo, tenemos entonces:

|(T∗ϕ)(x)|=|ϕ(T x)| ≤ kϕk kT xk ≤ kϕk kTk kxk ∀x∈E

Luego

kT∗ϕk ≤ kTk kϕk ∀ϕ∈F∗ entonces T∗ ∈L(F∗, E∗) y kT∗k ≤ kTk

Mas aun, calculando la norma de los vectores T(x)∈F en forma dual, tenemos que:

kTk_L(E,F) = sup

x∈BE

kT xk_F = sup

x∈BE sup

ϕ∈BF∗

|ϕ(T x)|= sup

ϕ∈BF∗ sup

x∈BE

|(ϕ◦T)(x)|

= sup

ϕ∈BF∗

kϕ◦Tk_E∗ = sup

ϕ∈BF∗

kT∗ϕk_E∗ =kT∗k_L(F∗_,E∗₎

Por lo tanto

kTk=kT∗k (1)

Otra consecuencia inmediata de la definici´on es que si E, F y G son espacios normados y si

T ∈L(E, F) y S ∈L(F, G) entonces

(S◦T)∗ =T∗◦S∗

Proposici´on 2.11. Dados dos espacios normados E y F, E ∼=F =⇒E∗ ∼=F∗

Demostraci´on. Primero observemos que para cualquier funcionalϕde E, ϕ◦IE =ϕ, con lo que (IE)∗ =IE∗. Sea T el isomorfismo isom´etrico de E sobre F, como

as´ı mismoIF∗ = (T−1)∗◦T∗, con lo que hemos probado queT∗es biyectivo y (T∗)−1 = (T−1)∗

que es continuo, luego T∗ es un isomorfismo de F∗ sobre E∗. Como T es isom´etrico, de la igualdad kTk = kT−1k = 1 deducimos por (1) que kT∗k = k(T∗)−1k = 1, de donde se concluye r´apidamente que T∗ tambi´en es un isomorfismo isom´etrico. Resultando E∗ ∼=

F∗.

Proposici´on 2.12. Dados dos espacios normados E y F y la aplicaci´on T ∈ L(E, F).

T∗ ∈L(F∗, E∗) es el ´unico operador que cumple

hx, T∗ϕi=hT x, ϕi ∀x∈E,∀ϕ∈F∗

Demostraci´on. Dadosx∈E y ϕ∈F∗

hx, T∗ϕi= (T∗ϕ)(x) = (ϕ◦T)(x) = ϕ(T x) =hT x, ϕi

Si H ∈L(F∗, E∗) es otro operador cumpliendo lo mismo, entonces dado ϕ∈F∗

hx, Hϕi=hT x, ϕi=hx, T∗ϕi ∀x∈E

Con lo que Hϕ=T∗ϕ, pero ϕera un funcional cualquiera en F∗, entonces H =T∗.

2.4.

Teorema de representaci´

on de Riesz-Fr

e

´

chet

Recordemos que un _R-espacio vectorial, H, es un espacio de Hilbert si esta dotado de un producto interno h., .i : HXH → _R y es completo con la norma inducida por el mismo (kuk=hu, ui1/2).

Dado y∈H (H espacio de Hilbert), definamos ϕy ∈H∗ por

ϕy(x) = hx, yi, ∀x∈H

es inmediato que dicho funcional esta bien definido.

Teorema 2.13. (de Riesz-Fr´echet) La aplicaci´onH 3y7→ϕy ∈H∗ produce un isomorfismo isom´etrico3 _{de H sobre H}∗_{. Es decir, para toda ϕ ∈ H}∗ _{existe un ´unico y ∈ H tal que} ϕ=h., yi, que adem´as cumple kϕk=kyk.

Este teorema nos dice que todo espacio de Hilbert se puede identificar con su dual, se puede encontrar una prueba del mismo en R[2].

3.

Los espacios

L

3.1.

Reflexibilidad, separabilidad y Dual de

L

En esta secci´on y en las siguientes las funciones se consideran a valores reales, Ω designa un abierto de_RN _{con medida de Lebesgueµpositiva y los espaciosL}p_{(Ω,Σ, µ) son los espacios} de Banach usuales con la normapusual , donde se han identificado como iguales las funciones que coinciden c.t.p.

3_{Si H es un}

Adem´as, cuando el dominio de integraci´on se deduzca del contexto escribiremos R

f para denotar R_Ωf(t)dµ(t) y pondremos Lp _{en vez de L}p_{(Ω,Σ, µ).}

Como es habitual, si p y q son n´umeros reales tales que 1_p + 1_q = 1, con 1 < p < ∞, diremos que p y q son exponentes conjugados entre s´ı. Por otro lado, diremos que 1 y ∞

son exponentes conjugados. Usuremos la letra q, a veces sin previo aviso, para referirnos al exponente conjugado p en ambos casos.

A continuaci´on recordamos un teorema de Teor´ıa de la Medida, que es consecuencia directa del teorema de Radon–Nikodym, para una prueba consultar [R3], pagina 92.

Teorema 3.1. (de Representaci´on de Riesz) Sea ϕ ∈ Lp_{(Ω,Σ, µ)}∗_{, 1 < p < ∞, entonces}

existe g ∈Lq_{(Ω,Σ, µ) (q exponente conjugado de p) tal que}

ϕ(f) =

Z

Ω

f g dµ ∀f ∈Lp (2)

Por otro lado, para ϕ en L1(Ω,Σ, µ)∗ existe g ∈ L∞(Ω,Σ, µ) cumpliendo (2) para toda funci´onf enL1_.4

Observaci´on 3.2. L2_{dotado del producto internohf, gi=}R

f g dµ, es un espacio de Hilbert. El teorema anterior aplicado a L2 _{es en realidad el teorema de representaci´on 2.13.}

Teorema 3.3. Seanp y q exponentes conjugados, 1< p <∞. Entonces

Lq(Ω,Σ, µ)∼=Lp(Ω,Σ, µ)∗

Demostraci´on. Definimos la funci´on Φ :Lq _→(Lp₎∗ _por

Φ(g) = ϕg ∈(Lp)∗ , donde ϕg(f) :=

Z

Ω

f g dµ=

Z

f g ∀f ∈Lp (3)

1) Φ esta bien definida: La desigualdad de H¨older asegura que si f ∈Lp _{y g ∈L}q_{, entonces}

f g ∈ L1. Por lo tanto fijado g ∈Lq, ϕg(f) es efectivamente un n´umero real para todo f en

Lp_{, adem´as por estar definida por una integral ϕ}

g es una aplicaci´on lineal y su continuidad tambi´en la tenemos gracias a la desigualdad de H¨older:

|ϕg(f)| ≤

Z

|f g|=kf gk₁ ≤ kgk_qkfk_p para toda f ∈Lp (4)

Por lo tanto ϕg es un elemento de (Lp)∗

2) Φ es lineal: Sean g, g0 ∈Lq _{y λ ∈}

R

ϕλg+g0(f) =

Z

f(λg+g0) = λ

Z

f g+

Z

f g0 =λϕg(f) +ϕg0(f) = (λϕ_g+ϕ_g0)(f) ∀f ∈Lp

Por lo tanto ϕλg+g0 =λϕ_g+ϕ_g0, o lo que es lo mismo Φ(λg+g0) =λΦ(g) + Φ(g0)

3)Φ es sobreyectiva: Esto esta garantizado por el teorema de Representaci´on de Riesz.

4)Φ es una isometr´ıa: Primero observemos que toda funci´on medible g : Ω → _R puede escribirse en la forma g =α|g|, donde α es tambi´en una funci´on medible sobre Ω que toma solo los valores +1 y -1. Fijada entonces g = α|g| ∈ Lq, tomamos f = α|g|q−1_{, con lo que} |f|p = |g|pq−p = |g|q, como esta ´ultima es una funci´on integrable sabemos que f ∈ Lp _y tenemos

Z

|g|q =

Z

f g =ϕg(f)≤ kϕgk kfk_p =kϕgk(

Z

|g|q)1/p

Dividiendo ambos miembros por (R |g|q)1/p _{se ve que kgk}

Lq ≤ kϕgk_(Lp₎∗.

Por otro lado en (4) se puede ver que kϕgk_(Lp₎∗ ≤ kgk_Lq. As´ı concluimos que para todo g ∈Lq, kΦ(g)k=kϕgk=kgk.

Por lo tanto, Φ un isomorfismo isom´etrico entre Lq _{y (L}p₎∗

De manera an´aloga se puede probar que

L1(Ω,Σ, µ)∗ ∼=L∞(Ω,Σ, µ)

Proposici´on 3.4. Los espacios Lp_{, 1< p <∞, son reflexivos.}

Demostraci´on. Como acabamos de ver (Lp)∗ ∼=Lq entonces por 2.11 (Lp)∗∗∼= (Lq)∗ v´ıa el operador adjunto Φ∗(Φ∗ : (Lp₎∗∗ _→(Lq₎∗_{). A su vez (L}q₎∗ _{de nuevo, como en la proposici´on}

anterior, se identifica con Lp_{,mediante el operador isom´etrico}

Γ :Lp →(Lq)∗ Γ(f) = φf , donde φf(g) :=

Z

f g para toda g∈Lq (5)

Entonces, la composici´on (Φ∗)−1◦Γ es un isomorfismo isom´etrico (y por lo tanto sobreyectivo) deLp sobre (Lp)∗∗. Comprobemos que (Φ∗)−1◦Γ es precisamente la inmersi´on can´onicaJ de

Lp _{en su bidual; equivalentemente, es m´as directo probar que Γ = Φ}∗_{◦J. Tomemos f ∈L}p_, y recordemos 2.12 y 2.6

hg,(Φ∗◦J)fi=hg,Φ∗(J(f))i=hΦ(g), J(f)i=hf,Φ(g)i ∀g ∈Lq

y por las definiciones de Φ (3) y Γ tenemos

hg,(Φ∗◦J)fi=hf,Φ(g)i=hg,Γfi ∀g ∈Lq

de donde (Φ∗◦J)f = Γf para todof enLp _{resultando Γ = Φ}∗_{◦J como quer´ıamos.}

Por lo tanto, hemos probado que J es sobreyectiva, es decir, que para 1 < p <∞,Lp _{es un} espacio de Banach reflexivo.

Teorema 3.5. El espacio Cc(Ω) es denso en Lp(Ω) para 1≤p <∞

Antes de demostrarlo recordemos una definici´on y dos lemas. Se puede encontrar una de-mostraci´on del segundo lema en [R1]

Definici´on 3.6. Sea 1≤p ≤ ∞, se dice que una funci´on f : Ω→R pertenece a Lp_loc(Ω) si

f1K ∈Lp(Ω) para todo compacto K ⊂Ω.

Lema 3.7. Sif ∈Lp_{(Ω), 1≤p≤ ∞, entonces f ∈L}1

Demostraci´on. Es trivial cuando p= 1. Sea f ∈ Lp_{, 1 < p ≤ ∞, sea q el exp. conjugado} de py K ⊆Ω un compacto cualquiera. Usando la desigualdad de H¨older tenemos

Z

Ω

|f1K| ≤ kfk_Lpk1Kk_Lq =kfk_Lp|K| 1/q

<∞

Por lo tanto, f ∈L1

loc(Ω).

Lema 3.8. Sea f ∈L1

loc(Ω) tal que

Z

Ω

f u= 0 ∀u∈C_c∞(Ω)

Entonces f = 0 c.t.p. en Ω.

Demostraci´on. (del teorema). Sabemos queCc(Ω) es denso enL1(Ω). Supongamos entonces que 1 < p < ∞. Para demostrar que Cc(Ω) es denso en Lp(Ω) es suficiente con ver que si

h∈Lq _verificaR

hu= 0 para todou∈Cc(Ω), entoncesh= 0. Por 3.7h∈L1loc(Ω) y entonces se puede aplicar 3.8 para concluir que h= 0 c.t.p.

Teorema 3.9. Lp_{(Ω) es separable (i.e. contiene un denso numerable) para 1≤p <∞}

Demostraci´on. Se designa por (Ri)i∈I a la familia numerable de rect´angulos R⊂Ω⊂RN de la forma

R = Πn_k=1(ak, bk), con ak, bk ∈Q

Y sea E el espacio vectorial sobre_Qgenerado por las funciones1Ri (c.l. finitas con coeficientes

racionales de las mismas), de modo que E es numerable. Veamos que es denso enLp(Ω). Sean

f ∈ Lp_{(Ω) y <0 fijos. Sea f}

1 ∈ Cc(Ω) tal que kf−f1k_Lp < (sabemos que existe por el

teorema anterior). Sea Ω0 un abierto acotado tal quesuppf1 ⊂Ω0 ⊂Ω. Comof1 ∈Cc(Ω0), se construye f´acilmente una funci´onf2 ∈E tal que suppf2 ⊂Ω0 y que |f2(x)−f1(x)| ≤

|Ω0_|1/p

c. t. p. en Ω0 (se comienza recubriendo suppf1 con un n´umero finito de rect´angulosRi sobre los cuales la oscilaci´on de f1 es inferior a _|Ω0_|1/p). Resulta entonces que kf2 −f1kLp ≤y por

ende kf −f2k_Lp <2.

3.2.

Convolucion

Definici´on 3.10. Dada f ∈L1(_RN) y g ∈Lp(_RN), con 1≤p≤ ∞. Definimos la convolu-ci´on de f y g, que denotamos f∗g , por

(f∗g)(x) =

Z

RN

f(x−y)g(y)dy, x∈_RN

Teorema 3.11. Para casi todox∈_RN_{, la funci´ony7→f(x−y)g(y) es integrable sobre}

RN,

por lo que la aplicaci´on anterior esta bien definida. Adem´as f ∗g ∈ Lp₍

RN) y kf ∗gkLp ≤ kfk_L1kgk_Lp.

(f∗g)(x) =R

RN f(x−y)g(y)dy≤ kgk∞

R

RNf(x−y)dy≤ ∞

y adem´as para todo x∈_RN

|(f∗g)(x)|= R

RNf(x−y)g(y)dy

≤

R

RN|f(x−y)| |g(y)|dy ≤ kgk∞

R

RN|f(x−y)|dy =

kgk_L∞kfk_L1

con lo que tenemos la desigualdad

kf ∗gk_L∞ ≤ kfk_L1kgk_L∞.

Sea p= 1 y llamemos F(x, y) = f(x−y)g(y). Para casi todo y∈_RN _{se tiene}

R

RN|F(x, y)|dx=|g(y)|

R

RN|f(x−y)|dx=kfkL1|g(y)|<∞

y R

RNdy

R

RN|F(x, y)|dx=kfkL1kgkL1 <∞

Aplicando el teorema de Tonelli se ve que F ∈L1₍

RNXRN). Y por el teorema de Fubini

R

RN|F(x, y)|dy <∞ c.t.x∈R N

R

RNdx

R

RN |F(x, y)|dy≤ kfkL1kgkL1

Como quer´ıamos.

Si 1 < p < ∞. Por lo anterior, se sabe que para casi todo x ∈ _RN _{fijo, la funci´on y 7→}

|f(x−y)| |g(y)|p es integrable sobre _RN, esto es

|f(x−y)|1/p|g(y)| ∈Lp₍

RN)

Como |f(x−y)|1/q ∈Lq_{, siendo q el exponente conjugado de p, se deduce de la desigualdad} de H¨older que

|f(x−y)| |g(y)|=|f(x−y)|1/p|g(y)| |f(x−y)|1/q ∈L1 _y

R

|f(x−y)| |g(y)|dy≤(R

|f(x−y)| |g(y)|pdy)1/p_kfk1/q L1

⇒ |(f∗g)(x)|p ≤(|f| ∗ |g|p)(x)kfkp/q_L1

Aplicando el resultado del caso p= 1, se ve que

f ∗g ∈Lp _{y kf∗gk}p

Lp ≤ kfk_L1kgk

p Lpkfk

p/q L1

⇒ kf∗gk_Lp ≤ kfk_L1kgk_Lp.

En lo que sigue, dada una funci´on f notaremos ˘f(x) =f(−x)

Proposici´on 3.12. Sean f ∈L1(_RN),g ∈Lp(_RN) y h∈Lq(_RN). Entonces

Z

RN

(f∗g)h=

Z

RN

g( ˘f∗h). (6)

Demostraci´on. La funci´onF(x, y) =f(x−y)g(y)h(x) pertenece a L1₍

RNXRN) ya que

Z

|h(x)|

Z

|f(x−y)| |g(y)|dy

dx <∞

gracias al teorema 3.11 y a la desigualdad de Ho¨lder. Por consiguiente

Z

(f ∗g)(x)h(x)dx=

Z Z

F(x, y)dydx=

Z Z

F(x, y)dxdy =

Z

3.3.

Soportes en la convolucion

La noci´on de soporte de una funci´on continua, complemento del mayor abierto sobre el que es nula o equivalentemente clausura del conjunto donde es no nula, ya no es adecuada cuando se trabaja con funciones medibles (que suelen estar definidas solo para casi todo punto) como se ve considerando la funci´on1_Q.

Proposici´on 3.13. Sea f : Ω → _R. Se considera la familia de todos los abiertos (ωi)i∈I,

ωi ⊂Ω, tales que para todo i, f = 0 c.t.p. en ωi. Se defineω =

S

i∈Iωi. Entonces f = 0 c.t.p. enω.

Demostraci´on. No es evidente que f = 0 c.t.p. en ω ya que la familia I no es numerable. Sea (Kn) una sucesi´on de compactos tales queω =

S∞

n=1Kn, por ejemplo

Kn=

x∈ω;d(x,_RN −ω)≥1/n∧ |x| ≤n ∀n

Para cada n, Kn esta recubierto por un numero finito de ωi. Sea Kn ⊂ S_i∈Inωi con In∩I

finito. Poniendo J = S

nIn (J es numerable) se tiene ω =

S

i∈Jωi y podemos afirmar que

f = 0 c.t.p. enω.

Definici´on 3.14. Dada f como en la proposici´on, definimos Suppf = Ω−ω.

Observaci´on 3.15. Si f1 y f2 son dos funciones iguales en c.t.p. de Ω entonces tienen el

mismo soporte y hablaremos del soporte de la funci´onf ∈Lp.

Si f es continua en Ω se comprueba f´acilmente que esta definici´on coincide con la usual.

Observaci´on 3.16. Se puede probar (ver [R1]) que si f ∈L1₍

RN) y g ∈ Lp(RN) entonces

Supp(f ∗g) ⊂ Suppf +Suppg. Si ambas tienen soporte compacto entonces la convolucion tiene soporte compacto.

Proposici´on 3.17. Sean f ∈Cc(RN) y g ∈L1loc(RN). Entonces

f∗g ∈C(_RN₎

Demostraci´on. Para todo x ∈ _RN _{la funci´on y 7→ f(x−y)g(y) es integrable, por lo que} (f ∗g)(x) esta definida para todo x∈_RN_.

Sea xn →x y pongamos

Fn(y) =f(xn−y)g(y) y F(y) = f(x−y)g(y)

entoncesFn(y)→F(y) c.t.p. enRN. Por otro lado, sea K un compacto tal que (xn−Suppf)⊂

K para todo n. As´ıf(xn−y) = 0 para y /∈K y por tanto|Fn(y)| ≤ kfkL∞1K(y)g(y) y por el teorema de la convergencia dominada

(f∗g)(xn) =

Z

Fn(y)dy→

Z

F(y)dy = (f ∗g)(x).

Proposici´on 3.18. Sean f ∈C_ck(_RN) y g ∈L1_loc(_RN)(k natural). Entonces

f∗g ∈Ck₍

En particular, si f ∈Cc(RN) y g ∈L1loc(RN), entonces f∗g ∈C

∞₍

RN).

Demostraci´on. Por recurrencia se reduce al casok = 1. Sea x∈_RN _{fijo y sea h ∈}

RN con |h|<1. Se tiene

|f(x+h−y)−f(x−y)−h∇f(x−y)|

=

Z 1

0

[h∇f(x+sh−y)−h∇f(x−y)]ds

≤ |h|(|h|) ∀y ∈_RN

donde (|h|)→0 cuando |h| →0 (pues∇f es uniformemente continuo sobre_RN_).

Sea K un compacto suficientemente grande para que x∪B(0,1)−Suppf ⊂K. Entonces

|f(x+h−y)−f(x−y)−h∇f(x−y)|= 0 ∀y /∈K, ∀h∈B(0,1)

y

|f(x+h−y)−f(x−y)−h∇f(x−y)| ≤ |h|(|h|)1K(y) ∀y ∈RN,∀h∈B(0,1)

Por consiguiente

|(f∗g)(x+h)−(f ∗g)(x)−h(∇f ∗g)(x)| ≤ |h|(|h|)

Z

K

|g(y)|dy.

De donde f ∗g es diferenciable en x y ∇(f ∗g)(x) = (∇f ∗g)(x)

3.4.

Sucesiones regularizantes

Definici´on 3.19. Se llama sucesi´on regularizante a toda sucesi´on de funciones (ρn)n≥1 tal

que

ρn∈Cc∞(R

N_{), Suppρ}

n ⊂B(0,1/n),

Z

RN

ρn= 1, ρn ≥0, ∀n

Ejemplo 3.20. Si fijamos una funci´onρ ∈C_c∞(_RN_{) con Suppρ⊂B(0,1),} R

ρ > 0 y ρ ≥0 en _RN_{; por ejemplo}

ρ(x) =

(

e

1

|x|2−1 _si |_x|_<1

0 si |x| ≥1

Y consideramos para cadan∈_Na la funci´onρn(x) = CnNρ(nx) conC = (

R

ρ)−1_{, obtenemos}

una sucesi´on regularizante.

Proposici´on 3.21. Seaf ∈C(_RN_{); entoncesρ}

n∗f →funiformemente sobre todo compacto de _RN_.

Demostraci´on. Fijemos un compacto K de _RN_{. Para todo >0 existe δ >0 tal que}

Se tiene

(ρn∗f)(x)−f(x) =

Z

[f(x−y)−f(x)]ρn(y)dy =

Z

B(0,1/n)

[f(x−y)−f(x)]ρn(y)dy

Entonces, para n >1/δ y x∈K, se tiene

|(ρn∗f)(x)−f(x)| ≤

Z

ρn =.

Teorema 3.22. Sea f ∈Lp(_RN) con 1≤p <∞. Entonces ρn∗f →f en Lp(RN).

Demostraci´on. Dado >0 como Cc es denso en Lp (3.5) podemos tomar f1 ∈Cc(RN) fija tal quekf −f1kLp < . Por la proposici´on anterior sabemos queρn∗f1 →f1 uniformemente

sobre todo compacto. Y por 3.16

Supp(ρn∗f1)⊂B(0,1/n) +Suppf1 ⊂K, K compacto fijo

Se deduce que

kρn∗f1−f1k_Lp →0 cuando n → ∞

Finalmente se escribe

ρn∗f −f = [ρn∗(f −f1)] + [ρn∗f1−f1] + [f1−f]

de donde resulta por 3.11 que

kρn∗f −fk_Lp ≤2kf−f1k_Lp+kρn∗f1−f1k_Lp

Concluimos que

limn→∞kρn∗f −fkLp = 0

Corolario 3.23. C_c∞(Ω) es denso en Lp_{(Ω) para 1≤ p <∞, donde Ω como siempre es un} abierto arbitrario de _RN_.

Demostraci´on. Sean f ∈Lp_{(Ω), >0 y f}

1 ∈Cc(Ω) tales que

kf −f1k_Lp_(Ω) <

Consideremos ¯f1

¯

f1(x) =

f1(x) six∈Ω

0 c.c

entonces ¯f1 ∈Lp(RN) y por el teorema ρn∗f¯1−f¯1

→0. Por otro lado

Supp(ρn∗f¯1)⊂B(0,1/n) +Suppf1 ⊂Ω, para n suficientemente grande

4.

Espacios de Sobolev y problemas de contorno en

dimensi´

on uno

4.1.

Definici´

on de los espacios

W

(

I

)

Definici´on 4.1. Sea I ⊆ _R un intervalo abierto y sea p ∈ _R con 1 ≤p ≤ ∞, definimos el

espacio de Sobolev W1,p(I) por

W1,p_{(I) :=}

u∈Lp_{(I); ∃g ∈L}p_{(I) tal que}R

Iuϕ

0 ₌₋R

Igϕ ∀ϕ∈C

1

c(I)

En particular, notaremos H1_{(I) :=W}1,2_(I).

Dado u∈W1,p(I) a la funci´on g en las condiciones de la definici´on, la llamaremos derivada d´ebil de uy anotaremos g =u0. A las funciones ϕse las suele llamar funciones test.

Observaci´on 4.2. Para cada u∈W1,p_{(I)g es ´unica, por ende la notaci´onu}0 _{tiene sentido.}

Si suponemos que existe h en las condiciones de g, entonces

Z

I

gϕ=

Z

I

hϕ ∀ϕ∈C_c1(I)

⇒

Z

I

(g−h)ϕ= 0 ∀ϕ∈C_c1(I)

Como g−h perteneceLp_{(I), por 3.7 g−hpertenece a L}1

loc(I), y aplicando 3.8 tenemos que

g−h= 0 c.t.p o bien g =h c.t.p. de I.

Observaci´on 4.3. Si u ∈ C1_(I)∩Lp_{(I), u}0 _{∈ L}p_{(I) (aqu´ıu}0 _{es las derivada usual) y ϕ es}

una funci´on test con suppϕ⊆[a, b]⊆I entonces por la f´ormula de partes

Z

I

uϕ0 =

Z b

a

uϕ0 =uϕ|b a−

Z b

a

u0ϕ=−

Z

I

u0ϕ

como ϕ era gen´erica, u ∈W1,p_{(I) y la derivada d´ebil coincide con la derivada habitual. En} particular si I esta acotado, entonces C1( ¯I)⊂W1,p(I) para todo 1≤p≤ ∞.

Ejemplo 4.4. Consideremos la funci´onu(x) =|x| definida enI = (−1,1). Dada ϕ∈C_c1(I) se tiene que

Z

I

uϕ0 =−

Z 0

−1 xϕ0+

Z 1

0

xϕ0 =

Z 0 −1 ϕ+ Z 1 0 ϕ

donde la ´ultima igualdad proviene de integrar por partes teniendo en cuenta que ϕ(−1) =

ϕ(1) = 0. Por lo tanto,

Z

I

uϕ0 =−

Z

I

gϕ

con

g(x) =

−1 si−1< x <0 1 si 0< x <1

Observaci´on 4.5. De la misma forma que en el ejemplo se puede probar que si el intervalo

I esta acotado, entonces toda funci´on continua en ¯I y derivable con continuidad a trozos en ¯

I pertenece a W1,p(I) para todo p, 1 ≤p≤ ∞.

Es inmediato a partir de la definici´on queW1,p es en realidad un subespacio vectorial deLp, por ende siu, v ∈W1,p _{y c es un numero real, entoncesu+cv∈W}1,p_{. Mas aun, la propiedad} de linealidad de la integral tambi´en nos da el siguiente lema cuya demostraci´on es trivial.

Lema 4.6. (Linealidad de la derivada d´ebil) Sean u, v ∈W1,p_{(I) y c∈}

R, entonces

(u+cv)0 =cu0+v0.

W1,p esta dotado de la norma

kuk_W1,p =kuk_Lp+ku0k_Lp (∗)

o a veces, si 1 < p < ∞, con la norma equivalente (kukp_Lp+ku0k

p

Lp)1/p. El espacio H1 esta

dotado del producto escalar

hu, vi_H1 =hu, vi_L2 +hu0, v0i_L2 = R

I(uv+u

0_v0₎

con la norma asociada

kuk_H1 = (hu, ui_L2 +hu0, u0i_L2)1/2 = (kuk

2

L2 +ku0k

2

L2)1/2

que como dijimos es equivalente a la norma (∗) con p= 2.

4.2.

Propiedades fundamentales del espacio

W

(

I

)

Proposici´on 4.7. W1,p es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞. Es reflexivo para 1 < p < ∞y separable para 1≤p < ∞. H1 _{es un espacio de Hilbert separable.}

Demostraci´on. 1)Sea (un) una sucesi´on de Cauchy enW1,p, por como fue definida la norma en el espacio de Sobolev, (un) y (u0n) resultan sucesiones de Cauchy en Lp (para (u

0

n) ver lema 4.6), y como Lp es completo, un→u∈Lp y u0n→g ∈Lp. Entonces

Z

I

unϕ0 =−

Z

I

u0_nϕ ∀ϕ∈C_c1(I)

y en el l´ımite

R

Iuϕ

0 ₌₋R

Igϕ ∀ϕ∈C

1

c(I)

Por lo tanto, u ∈W1,p, u0 =g y kun−ukW1,p =kun−ukLp+ku0_n−u0k_Lp → 0, resultando W1,p completo.

2) Veamos que es reflexivo:

Si 1< p < ∞ por 3.4Lp es reflexivo y en consecuencia el espacio producto E = LpXLp es reflexivo. El operador T : W1,p _{→ E dado por T u= (u, u}0_{) es una isometr´ıa de W}1,p _{en E,} por tanto T(W1,p_{) es un subespacio cerrado de E. Resulta entonces por 2.9 que T(W}1,p_{) es} reflexivo, y por consiguiente tambi´en lo es W1,p.

3) Es separable para 1≤p < ∞:

Observaci´on 4.8. Destaquemos que si (un) es una sucesi´on enW1,p que converge auenLp y (u0_n) tambi´en es convergente en Lp_{, entonces u ∈ W}1,p _{y (u}

n) converge a u con la norma de W1,p.

El siguiente teorema afirma que toda funci´on de W1,p _{admite un representante continuo}

Teorema 4.9. Sea u ∈ W1,p_{(I), 1 ≤ p≤ ∞, entonces existe ˜u ∈ C( ¯I) tal que u = ˜u c.t.p} en I y

˜

u(x)−u˜(y) =

Z x

y

u0(t)dt ∀x, y ∈I¯ (7)

Para demostrarlo necesitaremos dos lemas

Lema 4.10. Sea f ∈L1

loc(I) tal que

Z

I

f ϕ0 = 0 ∀ϕ∈C_c1(I) (8)

Entonces existe una constante C tal que f =C c.t.p.

Demostraci´on. Tomemos φ ∈ Cc(I) tal que

R

Iφ = 1. Para toda otra funci´on w en Cc(I) existe ϕ∈C1

c(I) tal que

ϕ0 =w−(R_Iw)φ

En efecto, h =w−(R

Iw)φ ∈ Cc(I) y

R

Ih = 0, entonces h tiene una primitiva (´unica) con soporte compacto, o sea h =ϕ0 para alguna ϕ∈ C1

c(I). Aplic´andole entonces la hip´otesis a h tenemos que

Z

I

f

w−(

Z

I

w)φ

dµ= 0 ∀w∈Cc(I)

⇒

Z

I

f−(

Z

I

f φ)

wdµ= 0 ∀w∈Cc(I)

y por 3.8f−(R_If φ) = 0 c.t.p , o sea f =R_If φc.t.p, siendo el segundo miembro claramente una constante.

Lema 4.11. Sea g ∈L1

loc(I) y sea y0 ∈I fijo, consideremos la funci´on integral

v(x) =

Z x

y0

g(t)dt, x∈I (9)

Entonces v es continua y

Z

I

vϕ0 =−

Z

I

gϕ, ∀ϕ∈C_c1(I) (10)

Demostraci´on. Dada cualquierϕ∈C1

c(I), notemos que aunqueI = (a, b) no fuese acotado, i.e. a=−∞ y/o b=∞, de todas formas las integrales de (10) son finitas gracias a que ϕ y

ϕ0 tienen soporte compacto. Entonces

Z

I

v(x)ϕ0(x)dx=

Z

I

Z x

y0

g(t)dt

ϕ0(x)dx=

Z

I

Z x

y0

=−

Z y0

a

Z y0

x

g(t)ϕ0(x)dtdx+

Z b

y0 Z x

y0

g(t)ϕ0(x)dtdx

Aplicando el teorema de Fubini y la regla de Barrow, se tiene

Z

I

v(x)ϕ0(x)dx=−

Z y0

a

Z t

a

g(t)ϕ0(x)dxdt+

Z b

y0 Z b

t

g(t)ϕ0(x)dxdt

=−

Z y0

a

g(t)

Z t

a

ϕ0(x)dx

dt+

Z b

y0

g(t)

Z b

t

ϕ0(x)dx

dt=−

Z

I

g(t)ϕ(t)dt

Demostraci´on. (del Teorema) Se fijay0 ∈I y se pone ¯u(x) =

Rx

y0u

0_{(t)dt. Entonces por 4.11}

tenemos

Z

I ¯

uϕ0 =−

Z

I

u0ϕ, ∀ϕ∈C_c1(I)

Por lo tanto R(u−u¯)ϕ0 = 0 ∀ϕ∈C_c1(I). Entonces por 4.10 u−u¯=C c.t.p. As´ı la funci´on ˜

u(x) = ¯u(x) +C tiene las propiedades deseadas.

Observaci´on 4.12. Cuando sea necesario consideraremos el representante continuo de u

sin hacerlo explicito con la notaci´on ˜u.

Proposici´on 4.13. Sea u ∈Lp_{, 1 < p≤ ∞, y sea q el exp. conjugado de p. Las siguientes} afirmaciones son equivalentes

1. u∈W1,p_.

2. Existe una constante C tal que

Z I uϕ0

≤Ckϕk_Lq_(I) ∀ϕ∈C_c1(I) (11)

Adem´as, se puede tomarC =ku0k_Lp_(I) en 2.

Demostraci´on. 1.⇒2. Es trivial. 2.⇒1.El funcional lineal

ϕ∈C_c1(I)7−→

Z

I

uϕ0 (12)

esta definido en un subespacio denso de Lq _{(ya que q < ∞) y es continuo para la norma} de Lq_{. Por el teorema de Hahn-Banach se puede extender a un funcional continuo F enL}q_. Seg´un el teorema de representaci´on de Riesz (3.1) existe g ∈Lp tal que

hF, ϕi=

Z

I

gϕ ∀ϕ∈Lq (13)

En particular

Z

I

uϕ0 =

Z

I

gϕ ∀ϕ∈C_c1 (14)

Observaci´on 4.14. Es claro, por la desigualdad de H¨older, que cuando p = 1 permanece valido 1.⇒2.

Corolario 4.15. Una funci´onu deL∞(I) pertenece aW1,∞_{(I) si y solo si existe una}

cons-tante C tal que

|u(x)−u(y)| ≤C|x−y| para c.t. x, y ∈I.

Demostraci´on. =⇒) Por 4.9 deducimos que

|u(x)−u(y)| ≤ ku0k_L∞|x−y| para c.t. x, y ∈I.

⇐=) Sea ϕ∈C1

c(I). Para h∈R, con |h| suficientemente peque˜no, tenemos

Z I

u(x) [ϕ(x−h)−ϕ(x)]dx

= Z I

[u(x+h)−u(x)]ϕ(x)dx

(gracias a que ϕtiene soporte compacto en I). Ahora usando la hip´otesis

Z I

u(x) [ϕ(x−h)−ϕ(x)]dx

≤C|h| kϕk_L1

Dividiendo por |h| y tomando limite cuandoh tiende a 0 obtenemos

Z I uϕ0

≤Ckϕk_L1 ∀ϕ∈C_c1(I).

Y por la proposici´on 4.13 u∈W1,∞_(I).

Algunas operaciones fundamentales, como la convolucion, tienen sentido solo para las fun-ciones definidas en todo_R. Veamos como se puede prolongar una funci´onu∈W1,p_{(I) a una} funci´on ¯u∈W1,p₍

R)5.

Teorema 4.16. (Operador de prolongaci´on) Sea 1 ≤p≤ ∞. Existe un operador de prolon-gaci´on P :W1,p(I)→W1,p(_R) lineal y continuo tal que

1. P u|I =u ∀u∈W1,p(I)

2. kP uk_Lp₍

R)≤CkukLp(I) ∀u∈W

1,p_(I)

3. kP uk_W1,p₍

R)≤CkukW1,p(I) ∀u∈W

1,p_(I)

(donde C solo depende de |I|).

Demostraci´on. SiI = (0,∞) la reflexi´on respecto del eje Y resuelve la cuesti´on

(P u)(x) = ˜u(x) =

u(x) si x≥0

u(−x) si x <0

Primeramente se tiene que ku˜k_Lp₍

R) ≤2kukLp_(I). Pongamos

v(x) =

u0(x) si x >0

−u0(−x) six <0

5_{Si se prolonga upor 0 fuera de I la funci´on obtenida no pertenece, en general, aW}1,p₍

Se comprueba f´acilmente que v ∈Lp₍

R) y que

˜

u(x)−u˜(0) =

Z x

0

v(t)dt ∀x∈_R (15)

Por 4.11 ˜u∈W1,p₍

R) y ku˜kW1,p₍

R) ≤2kukW1,p(I)

El caso de un intervalo acotado I siempre se puede reducir al caso en que I = (0,1), por ende lo probaremos para este ´ultimo. Fijemos η ∈C1₍

R), con valores entre cero y uno, tal

que

η(x) =

1 si x <1/4 0 si x >3/4

Por otro lado dada u∈W1,p_{(I), consideremos}

˜

u(x) =

u(x) si 0< x <1 0 six≥1

y veamos que

ηu˜∈W1,p(0,∞) y (ηu˜)0 =η0u˜+ηu˜0

En efecto, sea ϕ∈C1

c(0,∞), se tiene

Z ∞

0

ηuϕ˜ 0 =

Z 1

0

ηuϕ0 =

Z 1

0

u[(ηϕ)0−η0ϕ] (16)

=−

Z 1

0

u0ηϕ−

Z 1

0

uη0ϕ ya que ηϕ∈C_c1(0,1) (17)

=−

Z ∞

0

(˜u0η+ ˜uη0)ϕ. (18)

Ahora, dada u∈W1,p_{(I) se escribe}

u=ηu+ (1−η)u

ηu se prolonga primero a (0,∞) porηu˜y despu´es se prolonga a _Rpor reflexi´on. Se obtiene as´ı una funci´on v1 ∈W1,p(R) que prolonga a ηu y tal que

kv1kLp₍

R)≤2kukLp(I), kv1kW1,p(R) ≤CkukW1,p(I)

(donde C depende de kη0k_L∞).

Por otro lado se prolonga (1−η)uprimero a (−∞,1] por 0 en (−∞,0] y despu´es se prolonga a_Rpor una reflexi´on (respecto del 1). Se obtiene as´ı una funci´onv2 ∈W1,p(R) que prolonga

a (1−η)uy tal que

kv2k_Lp₍

R)≤2kukLp(I), kv2kW1,p(R) ≤CkukW1,p(I)

Teorema 4.17. (Densidad) Sea u∈ W1,p_{(I) con 1≤p <∞. Entonces existe una sucesi´on} (un)n≥1 enCc∞(R) tal que la sucesi´on (un|I)n≥1 converge a u enW1,p(I).

Demostraci´on. Supongamos I =_R, caso contrario se comienza prolongando u a una fun-ci´on de W1,p₍

R). Demostraremos el teorema en tres etapas.

1)Convolucion

Lema 4.18. Sea ρ∈L1₍

R) y v ∈W1,p(R) con 1≤p≤ ∞. Entonces

ρ∗v ∈W1,p₍

R) y (ρ∗v)0 =ρ∗v0.

Demostraci´on. Tomemos una sucesi´on (ρn) de Cc(_R) tal que ρn →ρ en L1. Sabemos por 3.11 que ρ∗v ∈ Lp₍

R) y tambi´en para cada n, ρn∗v ∈ Lp(R). Sea ϕ ∈ Cc1(R), por 3.12 y 3.18 se tiene que

Z

(ρn∗v)ϕ0 =

Z

v( ˘ρn∗ϕ0) =

Z

v( ˘ρn∗ϕ)0 =−

Z

v0( ˘ρn∗ϕ) = −

Z

(ρn∗v0)ϕ.

=⇒ ρn∗v ∈W1,p(R) y (ρn∗v)0 =ρ∗v0

Por el teorema 3.22, ρn∗v → ρ∗v enLp y ρn∗v0 → ρ∗v0 en Lp, de donde se concluye la tesis.

2)Truncamiento

Se fija ξ ∈Cc(_R) tal que 0 ≤ξ≤1 y

ξ(x) =

1 si|x| ≤1 0 si|x| ≥2

Se define la sucesi´on (ξn)n≥1, con ξn(x) =ξ(x/n) para todo n.

Y se comprueba , gracias al teorema de la convergencia dominada, que si una funci´onf ∈Lp con 1≤p < ∞entonces ξnf →f en Lp.

3)Conclusi´on

Se toma una sucesi´on regularizarte (ρn). La sucesi´on (un), con un=ξn(ρn∗u) converge a u en W1,p_{. En efecto, si escribimos}

un−u=ξn[(ρn∗u)−u] + [ξnu−u]

Entonces

kun−uk_Lp ≤ k(ρn∗u)−uk_Lp+kξnu−uk_Lp →0

Por el lema anterior se tiene

u0_n=ξ0_n(ρn∗u) +ξn(ρn∗u0)

Por consiguiente

ku0_n−u0k_Lp ≤ kξ_n0(ρn∗u)k_Lp +kξn(ρn∗u0)−u0k_Lp ≤

C

donde C =kξ0k_L∞.

Teorema 4.19. Existe una constante C, dependiendo solo de |I|, tal que

kuk_L∞_(I)≤Ckuk_W1,p_(I), ∀u∈W1,p(I), ∀ 1≤p≤ ∞

Con lo que W1,p_(I)⊂L∞_{(I) para todo 1≤p≤ ∞.}

Demostraci´on. De nuevo lo demostramos para I = _R, ya que el caso general se reduce a este gracias al teorema de Prolongaci´on.

Sea v ∈C1

c(R), si 1≤p <∞ tomamos G(s) =|s| p−1

s. La composici´onw=G(v) pertenece a C1

c(R) y

w0 =G0(v)v0 =p|v|p−1v0

Entonces, para x real se tiene

G(v(x)) =

Z x

−∞

p|v(t)|p−1v0(t)dt

y por la desigualdad de H¨older

|v(x)|p _≤pkvkp−1

Lp kv0k_Lp

⇒ |v(x)| ≤p1/pkvk1_L−p1/pkv0k 1/p

Lp ⇒ |v(x)| ≤e1/ekvk 1/q Lp kv0k

1/p Lp, ∀x

(ya que p1/p ≤e1/e, ∀p≥1)

Recordemos ladesigualdad de Youngque afirma que∀a, b≥0;ab≤ 1

pa p₊1

qb

q_{. Aplic´andola}

y sacando factor com´un el m´ınimo entre 1/p y 1/q obtenemos el resultado deseado para funciones en C_c1(_R)

|v(x)| ≤e1/e

1

qkvkLp+

1

pkv 0_k

Lp

, ∀x=⇒ kvk_L∞ ≤Ckvk_W1,p, ∀v ∈C_c1(R) (19)

Ahora, por el teorema anterior, dadau∈W1,p_{sabemos que existe una sucesi´on (u}

n)∈Cc1(R) tal que un →u enW1,p(R). Por (19) (un) es de Cauchy en L∞. Entonces un →u en L∞ y

kuk_L∞ ≤Ckuk_W1,p.

Corolario 4.20. Si I no es acotado yu∈W1,p(I) con 1≤p <∞. Entonces

lim|x|→∞u(x) = 0 (20)

Demostraci´on. Por 4.17 existe (un) ∈ Cc1(R) tal que un|I → u en W1,p(I) y por 4.19

kun−ukL∞_(I) →0, y de aqu´ı (20). En efecto, dado >0, se elige n suficientemente grande

Corolario 4.21. (Derivaci´on del producto) Sean u, v ∈ W1,p_{(I), con 1≤p ≤ ∞. Entonces}

uv ∈W1,p_{(I) y}

(uv)0 =u0v+uv0 (21)

Adem´as se verifica la formula de integraci´on por partes

Z x

y

u0v =uv|x y −

Z x

y

uv0 ∀x, y ∈I¯ (22)

Demostraci´on. Como u ∈ L∞ (4.19), luego uv ∈ Lp_{. Comencemos suponiendo p < ∞;} tomemos dos sucesiones (un) y (vn) en Cc1(R) tales que un|I → u y vn|I → v en W1,p(I). Entonces un →uy vn→v en L∞(I), luego unvn →uv enL∞(I) y en Lp(I). Entonces

(unvn)0 =un0vn+unv0n→u

0_v+uv0 _enLp_(I)

De donde uv ∈ W1,p_{(I) y (uv)}0 _=u0_v+uv0 _{(ver 4.8), e integrando se obtiene la formula de}

partes.

Si u, v ∈W1,∞_{(I) entonces}

uv ∈L∞(I) y u0v+uv0 ∈L∞(I)

Para ver que en efecto

Z

I

uvϕ0 =−

Z

I

(u0v+uv0)ϕ ∀ϕ∈C_c1(I)

dada ϕ∈ C1

c(I) se fija un intervalo abierto y acotado J ⊂I que contenga al soporte de ϕ. Entonces u, v ∈W1,p(I) para todo p < ∞ y por lo anterior

Z

J

uvϕ0 =−

Z

J

(u0v+uv0)ϕ

o sea

Z

I

uvϕ0 =−

Z

I

(u0v+uv0)ϕ

Otro resultado importante que se puede demostrar usando el teorema anterior (ver [R1]) es el de derivaci´on de una composici´on de funciones.

Corolario 4.22. Sea G∈C1₍

R) tal que G(0) = 0 6 y sea u∈W1,p(I). Entonces

G◦u∈W1,p_{(I) y (G◦u)}0 _{= (G}0_◦u)u0_.

4.3.

Los espacios

W

(

I

)

y el espacio

W

(

I

)

Definici´on 4.23. Dado un entero m≥2 y 1≤p≤ ∞, definimos por recurrencia el espacio

Wm,p(I) = {u∈Wm−1,p(I), u0 ∈Wm−1,p(I)}

Notaremos Hm_{(I) =W}m,2_(I).

Se comprueba f´acilmente que u∈Wm,p_{(I) si y solo si existeng}

1, ..., gm∈Lp(I) cumpliendo

Z

uDjϕ= (−1)j

Z

gjϕ ∀ϕ∈Cc∞(I),∀j = 1, ..., m

Y se anota nuevamente gj =Dju. Dotamos a este espacio de la norma

kuk_Wm,p =kuk_Lp+

Pm

j=1kDjuk.

Se pueden extender a estos espacios todas las propiedades demostradas para W1,p_.

Definici´on 4.24. Dado 1 ≤ p < ∞, se designa por W₀1,p(I) a la clausura de C1

c(I) en

W1,p(I). Usaremos H₀1(I) paraW₀1,2(I).

Observaci´on 4.25. W₀1,pcon la norma inducida porW1,p_{, es un espacio de Banach separable} y es reflexivo cuando p6= 1. H1

0 es un espacio de Hilbert separable.

Observaci´on 4.26. Hemos visto que cuando I = _R, C1

c es denso en W1,p (teorema 4.17), es decir W₀1,p(_R) =W1,p(_R).

Usando sucesiones regularizantes se puede ver que C_c∞(I) es denso en W₀1,p(I) y que si

u∈W1,p_(I)∩C

c(I), entoncesu∈W01,p(I).

Teorema 4.27. Sea u∈W1,p(I), entoncesu∈W₀1,p(I) si y solo si u= 0 sobre ∂I.

Demostraci´on. ⇒) Siu∈W₀1,p(I), existe una sucesi´on enC1

c(I) que tiende auenW1,p(I), dicha sucesi´on converge uniformemente au sobre ¯I y por ende u= 0 en los extremos de I.

⇐)Sea u∈W1,p_{, con u= 0 en ∂I. Se fija G∈C}1₍

R) tal que

G(t) =

0 si |t| ≤1

t si |t| ≥2

y

|G(t)| ≤ |t| ∀t ∈_R

Se pone un = _n1G(nu) que por 4.22 pertenece a W1,p(I) para todo n. Adem´as

Supp un ⊂

x∈I;|u(x)| ≥ 1

n

entoncesSupp unes un compacto incluido enI(u= 0 sobre∂Iy tiende a 0 cuando|x| → ∞,

x∈I). Por 4.26un ∈W01,p. Usando el teorema de la convergencia dominada se ve queun →u en W1,p_{(I). Entoncesu∈W}1,p

Proposici´on 4.28. (Desigualdad de Poincar´e) Si I es acotado, existe una constante C, dependiendo de |I| tal que

kuk_W1,p ≤Cku0k_Lp ∀u∈W 1,p

0 (I).

Demostraci´on. Dadau∈W₀1,p(I) (con I = (a, b)). Como u(a) = 0, tenemos

|u(x)|=|u(x)−u(a)|=

Z x

a

u0(t)dt

≤ ku0k_L1

Entonces kuk_L∞_(I) ≤ ku0k_L1_(I), y por la desigualdad de H¨older se deduce la tesis.

Observaci´on 4.29. La desigualdad nos dice que en W₀1,p(I) la cantidad kuk_∗ =ku0k_Lp es

una norma equivalente a la norma que induce W1,p en este espacio. Si I es acotado, la expresi´on hu0, v0i_L2 =

R

u0v0 define sobre H1

0 un producto escalar, y la

norma asociada (ku0k_L2) es equivalente a la norma que antes definimos en H₀1, es decir la

inducida por H1.

Observaci´on 4.30. Se definen tambi´en los espaciosW₀m,p(I) como la clausura deCm c (I) en

Wm,p(I) para m= 2,3, ... y 1≤p < ∞.

4.4.

El espacio dual de

W

Notaci´on: El espacio dual deW₀1,p(I) (1≤p <∞) ser´a notadoW−1,q_{(I) y el dual deH}1 0(I)

se anotara H−1_(I).

Sabemos que L2 se identifica con su dual, pero no se identifican H₀1 y su dual. Si se tienen las inclusiones

H1

0 ⊂L2 ⊂H −1

con inyecciones continuas y de imagen densa (identidades de los respectivos subconjuntos). Si I es acotado, se tiene

W₀1,p⊂L2 ⊂W−1,q ∀1≤p < ∞

con inyecciones continuas y de imagen densa.

Los elementos de W−1,q se pueden representar por medio de funcione de Lq

Proposici´on 4.31. Sea F ∈W−1,q. Entonces existen f0, f1 ∈Lq tales que

hF, vi=

Z

f0v+

Z

f1v0 ∀v ∈W01,p

y

kFk=max{kf0k_Lq,kf1k_Lq}

Cuando I es acotado, se puede tomarf0 = 0.

Demostraci´on. Consideremos el espacioE =LpXLp con la norma

La aplicaci´onT :W₀1,p →E dada por T(u) = (u, u0), como ya hemos dicho, es una isometr´ıa entre estos espacios. Consideremos el subespacioG=T(W₀1,p), con la norma inducida por E, y llamemos S =T−1 :G →W₀1,p. La aplicaci´on h ∈ G7→ hF, Shi es un funcional continuo sobreG. Por el teorema de Hahn-Banach lo podemos extender a un funcional continuo sobre

E, Φ, con kΦk_E∗ =kFk. Por el teorema de representaci´on de Riesz (3.1) existen f0, f1 ∈Lq

tales que

hΦ, hi=

Z

f0h0 +

Z

f1h1 ∀h∈E

Es f´acil comprobar que kΦk_E∗ =max{kf0k_Lq,kf1k_Lq}

CuandoI es acotado se dota a W₀1,p de la norma equivalenteku0k_Lp (4.28) y se razona igual

tomando E =Lp _{y T(u) =u}0_.

4.5.

Un ejemplo de problema de contorno

Ya estamos en condiciones de resolver por el m´etodo variacional el problema propuesto en la primer secci´on. Este m´etodo es en realidad, muy vers´atil y se adapta a una gran cantidad de problemas. En cada problema es fundamental precisar bien el espacio funcional sobre el cual se trabaja. Recordemos nuestro P.V.I

−u00+u=f en I = (0,1), f ∈L2_(I)

u(0) =u(1) = 0 (23)

Definici´on 4.32. Una soluci´on d´ebilde (23) es una funci´onu∈H1

0(I) que verifica

Z

I

u0v0+

Z

I

uv =

Z

I

f v ∀v ∈H₀1(I) (24)

Completemos los pasos descriptos en la secci´on 1.

1) Toda soluci´on cl´asica es soluci´on d´ebil. Esto es evidente gracias a la formula de integraci´on por partes del corolario 4.21.

2)Existencia y unicidad de una soluci´on d´ebil

Proposici´on 4.33. Para todaf ∈L2_{, existeu∈H}1

0 unica soluci´´ on de (24). Adem´asuviene

dada por

M inv∈H1 0

1 2

Z

I

(v02+v2)−

Z

I

f v

que es el llamado principio de Dirichlet.

Demostraci´on. Se aplica el teorema de Riesz Fr´echet en el espacio de Hilbert H₀1(I) con la forma bilineal

a(u, v) =R u0v0+R uv =hu, vi_H1

y con la forma lineal v 7→R

f v.

Observaci´on 4.34. DadaF ∈H−1_{, se sabe por el teorema 2.13 que existe u∈H}1

hu, vi_H1 =hv, Fi ∀v ∈H₀1

El operador F 7→ues el isomorfismo de Riesz-Fr´echet deH−1 _sobreH1

0. Se puede considerar

u como soluci´on de la ecuaci´on−u00+u=F.

3) Regularidad Notemos que si f ∈L2 y u es soluci´on d´ebil, entonces u∈H2:

Z

u0v0 =

Z

(f −u)v ∀v ∈C_c1

y u0 ∈H1 (ya quef−u∈L2), i.e u∈H2. Si adem´as f ∈C( ¯I), la soluci´on uesta en C2( ¯I). En efecto (u0)0 ∈C( ¯I) y entoncesu0 ∈C1_{( ¯I) y por ende u∈C}2_{( ¯I) (ver 4.9).}

4)Recuperaci´on de la soluci´on cl´asica Hemos visto que una funci´on u cumpliendo (24) es C2 _{y adem´as por el teorema 4.27 cumple las condiciones de contorno (u(0) =u(1) = 0).}

Solo resta ver que efectivamente cumple la ecuaci´on del problema (23). Integrando por partes (24) y observando que las funciones test v tambi´en son nulas en los extremos de I (tamb. por 4.27) obtenemos

Z 1

0

(−u00+u−f)v = 0 ∀v ∈H₀1(I)

y en particular para todo v ∈ C1

c(I). Como Cc1(I) es denso en L2(I) (3.23), −u

00_{+u = f,}

REFERENCIAS

[R1] Brezis H - An´alisis Funcional, Teor´ıa Y Aplicaciones. Versi´on espa˜nola de Juan Ram´on Esteban. Editorial alianza 1984.