ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS
DE PROBABILIDAD EN EL BACHILLERATO
Pedro Antonio Sarmiento Jiménez
[email protected]
RESUMEN
PALABRAS CLAVE
ABSTRAC
El presente artículo presentará de manera sencilla y práctica la deficiencia que existe actualmente en los
programas de la educación en Colombia en el área de Matemática, manejado actualmente por el
Ministerio de Educación Nacional; aunque en los programas académicos presentados, estos temas se en
cuentran incluidos, los profesores por carecer de tiempo en la planeación o por falta de
conocimien-to en los mismos, no los alcanzan a desarrollar dentro del año escolar, lo cual se ve reflejado en la interpretación de los conceptos cada día; siendo los únicos perjudicados los estudiantes quienes al ingresar a la universidad llevan bases muy débiles para afrontar estos temas con profundidad, es por ello que en este trabajo se utilizan: los conceptos y nociones de las técnicas de conteos, las definiciones de función de densidad, función de distribución acumulada y diagrama de árbol; con el fin de ilustrar de una forma didáctica los conceptos básicos de la probabilidad en el bachillerato, que permitan que los alumnos tengan mayor
claridad en el manejo de dichos conceptos y a través de ejercicios prácticos, él mismo pueda deducir el concepto de una forma intuitiva. Así mismo, se deben realizar por parte de cada plantel educativo una revisión
exhaustiva de los textos guías en el área de matemática con el fin de ajustar la bibliografía y los temas a tratar durante el año escolar y así poder culminar con éxito el programa establecido por cada entidad educativa.
Técnicas de conteo, Función de densidad de la exponencial, Función de Distribución Acumulada de la exponencial y Diagrama de árbol.
This article will present a simple and practical way deficiency that currently exists in programs Colombia
education in the area of mathematics, managed today by the Ministry of national education; Although in the academic programs submitted, these topics are included, teachers by lack of planning or lack of knowledge
at the same time fail them to develop within the school year, which is reflected in the interpretation of the
concepts every day; being harmed only students who enter college are very weak bases to address these issues
in depth, that is why that are used in this work: concepts and notions of techniques of counts, tree; diagram and cumulative distribution function, probability density function definitions in order to illustrate the basic
concepts of probability in high school, allowing students to have greater clarity in the management of these
concepts and practical exercises, in a didactic way himself can deduce the concept of an intuitive way. It must be for each educational staff an exhaustive review of the texts guides in the area of mathematics in order
to adjust the bibliography and themes to treat during the school year and thus to make a success program established by each educational institution.
INTRODUCCIÓN
1.1¿POR QUÉ ENSEÑAR
PROBABILIDAD?
KEYWORDS
Technical of count, Function of density of the exponential one, Function of Accumulated Distribution of the exponential one and tree Diagram.
Los programas de educación Matemática del Ministerio de Educación Nacional (MEN), incluyen entre los contenidos a estudiar, algunas nociones ligadas a los temas de Probabilidad y Estadística. Sin
embargo, es conocido que en repetidas ocasiones
estos temas no se cubren; esto ocurre entre otras
razones, porque el tiempo lectivo que propone el
MEN, para cubrir los programas a veces resulta
insuficiente, sumado al hecho de que dichos temas aunque están dentro de los planes de estudio muchos
profesores los dejan de lado, por falta de tiempo o ya
sea porque no son conscientes de la importancia que
puede tener para un estudiante poseer como parte de sus conocimientos, un buen manejo de la noción de incertidumbre, o no tienen los conocimientos básicos para enseñar estos temas.
Por lo anterior, es importante proponer
herramien-tas para los docentes que les permitan desarrollar
una metodología para la enseñanza de los conceptos básicos de la probabilidad y estadística en los primeros años escolares y en el bachillerato.
En la actualidad la básica primaria, básica secundaria y media vocacional se pretende, desarrollar
distintos tipos de pensamiento matemático, entre los
que se encuentra el pensamiento aleatorio y sistemas de datos, entre otros; con los cuales se busca que los estudiantes desarrollen herramientas útiles que les
permitan asimilar nociones básicas de probabilidad y les ayuden a comprender mejor la información,
interpretarla, graficarla y explicar sucesos que no son
predecibles¹.
1 Esta definición se obtuvo de la página web del ministerio de Educacional Nacional de Colombia: http://www.mineducacion.gov.
co/1621/w3-channel.html
La matemática es de gran utilidad, para modelar
situaciones que se presentan en cualquiera de los
campos de la vida cotidiana a través de diferentes
ciencias como la física, química, economía, biología,
entre otras; además juega un papel importante en el
desarrollo tecnológico, lo que permite considerar al saber matemático, como un instrumento que
2 Ministerio de Educación Nacional, Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998), Pág. 70: http://www.mineducacion.gov.
co/1621/w3-channel.html
³ Pérez y otros, 2000 página 15
En las últimas décadas el hombre ha tenido que enfrentar cambios a nivel científico y tecnológico,
en el desarrollo industrial, la organización
económi-ca y social del mundo. Dichos económi-cambios lo han llevado
a tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza,
encontrándose con situaciones que obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio a un
modelo aleatorio.
Por tal razón, la sociedad se ve inevitablemente obligada a adaptar y reestructurar su sistema educativo para cumplir con su compromiso de
formar a los individuos que la componen. En Colombia a
partir de la Ley 115 de 1994 se viene desarrollando una reforma en los planes curriculares de matemáticas,
al igual que los saberes y competencias que deben
desarrollar los estudiantes en los diferentes grados escolares, los cuales le permitan afrontar los
continuos cambios que se le presenten. Con
dichos cambios se pretende favorecer entre otros el
desarrollo del pensamiento aleatorio, que aunque en
los planes curriculares anteriores estaba presente no
se le daba la relevancia que este merecía: “La
introducción de la estadística y la probabilidad en el currículo de matemáticas crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes
posibilidades de ser ciertas”². Es importante que la
enseñanza de la probabilidad y estadística se realice
a partir de contextos significativos para el estudiante,
por medio de modelamientos de fenómenos físicos y
simulaciones de experimentos donde se le permita al
estudiante la interpretación y toma de decisiones.
De esta manera, específicamente en lo que se refiere a la enseñanza de la probabilidad, en la
secundaria, se incluye en los programas el concepto de aleatorio y se debe enseñar un conjunto de teorías
que permitan introducir al estudiante a los elemen -tos básicos de probabilidad, donde tome
decisio-nes en su vida cotidiana y cuente con una formación
mínima para que pueda desarrollarse en cualquier campo profesional o científico. Es importante que tanto el docente como el estudiante, se ubiquen en el contexto histórico de la temática a tratar, puesto que
esto ayuda a visualizar la utilidad y aplicabilidad de las matemáticas en la solución de problemas de la vida
diaria. “La probabilidad tiene la enorme cualidad de
representar adecuadamente la realidad de muchos procesos sociales y naturales, y por lo tanto, su conocimiento permite comprender y predecir mucho
mejor el mundo en que vivimos’’ ³.
El uso de nuevas tecnologías es de vital
importan-cia en el área de matemáticas puesto que hace más
agradable y llevadero el proceso de enseñanza
y aprendizaje de los estudiantes, ya que ayuda a cambiar la visión que ellos poseen al respecto, sirve
de motivación y además ayuda a la asimilación de algunas nociones y conceptos, manipulando instrumentos de interés para ellos partiendo de situaciones practicas de su vida cotidiana.
2. COMENTARIOS RESPECTO A
TEXTOS ESCOLARES
CONSULTADOS
Al contrastar cada uno de los estándares curriculares propuestos por el MEN para los grados de
sexto a undécimo en el pensamiento aleatorio y siste
-ma de datos en los textos escolares de las siguientes
series:
FRACTALES 1-4 ed. Vicens Vives. ALFA 6-8. ed. Norma.
DESAFIOS 6-9. ed. Norma.
MATEMÁTICAS 6,7 y 9. ed. Prentice Hall.
Matemática activa PITÁGORAS 10-11 Ediciones PEI Ltda. (*)
PENSAMIENTO MATEMÁTICO 6-9. ed. Libros y
Se evidencia que, si se toma cualquiera de estas series de textos como guía para trabajo en el aula de
clase, el estudiante al culminar grado undécimo habrá trabajado sobre todos los estándares propuestos,
puesto que cada una de estas series, aunque no se
rige al orden llevado por los estándares en cada grado cada una desarrolla los temas en su totalidad, es decir,
que están de acuerdo con los planteamientos dados
por el MEN para el mejoramiento de la calidad de la
educación. Cabe resaltar, el texto PITÁGORAS presenta
varias nociones sobre diferentes temáticas, pero no
las profundiza lo que dificulta que el estudiante sin
una buena orientación comprenda adecuadamente cada una de ellas.
3. PROPUESTA DIDÁCTICA
Lo anterior, conlleva a considerar aquellos aspectos en los cuáles se debe fijar la atención para lograr que la probabilidad y la estadística se implemen -ten en la sociedad moderna. En algunas instituciones
educativas se han implementado herramientas que
permiten la enseñanza de conceptos básicos de probabilidad, pero en lo general, el estudio de las probabilidades se ha restringido fundamentalmente a las aulas universitarias.
De aquí surge la necesidad de plantear más
estrategias para la enseñanza de la probabilidad en la básica primaria, básica secundaria y media vocacional,
que estén al alcance de los docentes y les permitan
guiarse acerca de algunas formas de enseñar diversas
temáticas relacionadas con el área, que faciliten el
proceso de enseñanza aprendizaje y contribuyan al mejoramiento de la calidad en la educación del país.
Para intervenir en los procesos de formación se
necesita de ciertos referentes teóricos que orienten, sobre el conocimiento que los docentes deberían
tener para elaborar un desarrollo adecuado de su
profesión. Todo maestro en su práctica educativa se enfrenta cotidianamente con una multitud de
problemas ante los que ha de tomar determinadas decisiones. Pilar Azcarate⁴, determina tres aspectos básicos que los docentes han de conocer y reflexionar si quieren afrontar con ciertas garantías de éxito, la
enseñanza del conocimiento estadístico. Estos son:
El propio campo conceptual.
Las peculiaridades de su enseñanza.
Los aspectos del desarrollo cognitivo y del apren-dizaje.
1.
3. 2.
4
AZCARATE, Pilar. Estudio de la Concepciones Disciplinares de Profesores de Primaria en torno a las nociones de Aleatoriedad y Probabilidad. Granada. 1999. Pa.26.El estudio y reflexión de estos tres aspectos en contextos adecuados de formación, permiten al docente diseñar y ejecutar el “qué enseñar” en
relación con el conocimiento estadístico en los
diferentes niveles de la educación, el “Cómo enseñarlo” y el “para qué enseñarlo”. Permitiéndole ser conciente de que tipo de estrategias ha de poner
en juego al tratar este conocimiento en el aula de clase. El diseño metodológico debe permitir una ruta cíclica entre las distintas actividades, con avances progresivos en complejidad, a través de actividades donde el estudiante deba buscar solución
a una cierta situación o interrogante. La adquisición y
comprensión de los conceptos estadísticos se realiza, en un desarrollo continuo, y mediante el uso progre-sivo de múltiples medios de representación y diferentes actividades, integradas en situaciones
didácticas o contextos de experiencias más amplias que son los que dan sentido a la actividad
desarrollada. Estas actividades se pueden concretar de múltiples formas: centros de interés, unidades didácticas, Proyectos de investigación, entre otros,
teniendo muy en cuenta los contextos de interés del
estudiante.
Es necesario utilizar una metodología y crear una
5Tirando del hilo de la madeja constructivista: Enseñanza de las ciencias. Ciudad. Vol.17, No.3 (noviembre.1999); p.479. 6Batanero Carmen, Didáctica de la Estadística: Editorial Granada Grupo de Investigación en Educación Estadística, 2001. 7George Pólya, estrategias para la solución de problemas.
explorar, comprobar y aplicar ideas. Esto implica que
los docentes escuchen con atención a sus estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso
extensivo yreflexivo de los materiales físicos que
posibiliten la comprensión de los diferentes conceptos.
Se debe tener en cuenta además que toda afirmación
hecha, tanto por el profesor como por los estudiantes, debe estar abierta a posibles preguntas, reacciones y reelaboración por parte de los demás. Una manera de realizarlo es a través del constructivismo,
el aprendizaje significativo y la resolución de problemas, puesto que son metodologías de gran aporte para la enseñanza de la probabilidad y la estadística, que permiten plantear actividades que motivan al
estudiante y ayudan a asimilar de una forma sencilla y clara temas relacionados con el pensamiento aleatorio y sistemas de datos, a partir de situaciones
particulares que lo conlleven a hacer inferencias.
Atendiendo a lo anterior y siguiendo las investiga-ciones realizadas por Carmen Batanero (2001) y la situación actual de la enseñanza aprendizaje de la estadística y probabilidad en Colombia, es de gran importancia tener en cuenta estas teorías
educativas las cuales son un aporte a la búsqueda de
soluciones en la problemática de la Educación en el área de Matemáticas.
“El constructivismo como visión de la enseñanza y del aprendizaje de las ciencias ha aportado un contexto
para el desarrollo de la actual didáctica de las
ciencias”⁵. En esta se concibe el aprendizaje como la restauración de los esquemas de conocimiento del sujeto a partir de las experiencias que tiene con los objetos y con las personas en situaciones que sean significativas y acordes con su nivel de desarrollo y sus contextos sociales.
El aprendizaje significativo no considera
únicamente el contenido, sino que tiene en cuenta a la persona como un ser integral que posee necesidades,
intereses, conflictos e inquietudes, donde varían
dependiendo del entorno social donde este se
desenvuelva. Los contenidos que se presentan a la
persona se deben ir incorporando y entrelazando
con los conocimientos que el individuo ya tiene preestablecidos para que así, el aprendizaje tenga
algún sentido. Una forma de llevar a cabo el aprendizaje por descubrimiento es mediante la resolución de problemas por parte del alumno Bata-nero (2001). Según los Lineamientos Curriculares en
Matemáticas “La actividad de resolver problemas ha
sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de la matemática y en el estudio del
conocimiento matemático”⁶. No se trata de proble
-mas rutinarios, sino que requieren una verdadera ac
-tividad de resolución por parte del alumno quien, al
resolverlo ha aprendido algo nuevo. Pólya7 ha sido uno de los impulsores de la resolución de problemas, recomendando el uso de estrategias generales y su método está compuesto de cuatro fases:
Comprensión del problema
Concepción de un plan de resolución Ejecución del plan
Examen retrospectivo de la solución hallada Tomando como base las teorías expuestas anterior -mente es de vital importancia pensar en un proceso de enseñanza aprendizaje de la estadística y la proba-bilidad centrado en la persona, teniendo siempre en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes y viendo la forma en la cual se facilite el aprendizaje.
Se considera que una propuesta temática y metodoló -gica para la enseñanza de la probabilidad debe: ubicar históricamente al estudiante de una manera sencilla mostrándole sus múltiples aplicaciones. Además, introducirlo a las técnicas de conteo y análisis combinatorio, así como, al cálculo de probabilidades de variables aleatorias discretas y continuas.
Motivándolo a través de actividades que involucren el
4. TEMATICAS A DESARROLLAR
TALLER 1
5.
PROPUESTA DE ACTIVIDADES
DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA
DE LA PROBABILIDAD EN EL
BACHILLERATO.
En este artículo se consideran las siguientes temáticas:
Modelos de urnas y análisis combinatorio.
Pimpones de cuatro colores diferentes
Tome cuatro pimpones de distinto color
(Amarillo, Azul, Rojo y Verde) y colóquelos en la
caja.
Introduzca en la caja cuatro pimpones de los
cuales dos de ellos sean de igual color. (Amarillo, Azul, Amarillo y Verde).
Si usted selecciona sin mirar un pimpon de la caja
¿qué color cree que saldría?
¿Cuántos colores de pimpones hay en la caja?, ¿Cuál color piensa usted que puede salir un mayor número de veces?, ¿por qué?.
Ahora seleccione sin mirar un pimpon de la caja escriba el resultado obtenido, devuelva el pimpón a la caja, para este caso se seleccionó el pimpón de color amarillo 10.
Se repite el paso anterior 20 veces y se anotan los resultados obtenidos en la siguiente tabla.
Compare los resultados obtenidos con los de sus compañeros y plantee una conclusión.
Caja
Lápiz y papel
Se conocen todos los posibles resultados antes
de realizar el experimento.
No se sabe cuál de los posibles resultados se
obtendrá en un experimento en particular. El experimento puede repetirse n veces. Cada experimento es independiente.
Funciones y distribuciones de probabilidad. Variables aleatorias discretas y continuas.
Diagrama de Árbol.
A continuación, se presentarán algunas actividades
que permiten introducir el tema de probabilidad en el
bachillerato.
La idea es partir de las nociones y habilidades que
traen los estudiantes de primaria, para introducir en
el nivel de secundaria las definiciones y teoremas necesarios que permitan la comprensión de la teoría
básica de la probabilidad.
Antes de realizar las actividades en el aula de clase, se
debe hacer énfasis en que los fenómenos estudiados
por la probabilidad cumplen ciertas características importantes:
8 Pérez y otros, 2000, Página No. 31 9 George Canavos
Tema: Técnicas de conteo y análisis combinatorio.
Objetivo: Utilizar correctamente las técnicas de
conteo y análisis combinatorio con el fin de que el estudiante adquiera habilidades y destreza en la
solución de problemas.
Materiales: 1.
a.
a. b.
b. c.
d.
e. 3. 2.
Actividad 1
Actividad 2
Se tiene una caja con cinco pimpones de diferentes colores: rojo, verde, azul, amarillo y
negro. Se extrae un pimpon y se anota el color. ¿Cuál cree usted que saldrá? Si se realiza el experimento 20 veces ¿cree usted que hay algún pimpon que saldrá más veces?
Tome una hoja de papel y escriba los números 1, 2, 3. En otra hoja escriba los números 4, 5 y el número 6 en otra hoja.
Realice grupos de tres Estudiantes.
Ahora seleccione sin mirar un pimpon de la caja escriba el resultado obtenido, devuelva el pimpón a la caja.
Cada uno se asigna dos números distintos entre 1 y 6. ejemplo: Estudiante A: 1 y 4. Estudiante B: 2 y 5. Estudiante C: 3 y 6.
Se lanza un dado, el estudiante que tenga el número que dio como resultado al lanzar el dado
se le asignara un punto y ganara el juego, el
primero que obtenga cinco puntos.
Repita el juego tres veces.
Responda las siguientes preguntas: Repita el paso anterior varias veces y realice una
tabla con los resultados obtenidos.
Compare los resultados obtenidos con los de sus compañeros y plantee una conclusión.
Se tiene una caja con cinco pimpones: cuatro rojos y uno amarillo.
Cada integrante del grupo selecciona una
hoja de modo que obtenga una asignación de
números: Estudiante A: 1, 2, 3. Estudiante B: 4, 5. Estudiante C: 6.
¿Cuál cree usted que saldrá? Después de realizar varias veces el experimento. ¿cree usted que hay algún pimpon que saldrá más veces?
Se lanza el dado. El estudiante que tenga el número que dio como resultado al lanzar
el dado se le asignara un punto y ganara el
juego el primero que obtenga cinco puntos.
Repita el juego tres veces.
Responda las siguientes preguntas:
11 Una variable aleatoria X es discreta si el numero de valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito) y si éstos pueden
arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteres positivos.
a.
a.
a.
c. b.
c.
d. e. d.
e.
b.
b. c.
c.
d. e.
Actividad 2 Actividad 3
TALLER 2
Color del pimpón marillo Azul Verde
Número de Veces que se obtuvo.
A
Lea cada uno de los siguientes problemas y solucione cada uno de los interrogantes planteados.
Tema: Cálculo de probabilidades de variables
aleatorias discretas11
Objetivos: Identificar los tipos de variables a través de
los conceptos básicos estudiados anteriormente con
el fin de realizar una mejor clasificación entre ellas.
Actividad 1
Antes de lanzar el dado, ¿cuál de todos los integrantes del grupo tiene mayor
posibilidad de obtener el punto?
¿Cuál es el número mínimo de veces que
se debe lanzar el dado para obtener un
ganador?
¿Cuál es el número máximo de veces que
se debe lanzar el dado para obtener un
ganador?
Antes de lanzar el dado, ¿cuál de todos los integrantes del grupo tiene mayor
¿Cuál es el número mínimo de veces que
se debe lanzar el dado para obtener un
ganador?
¿Cuál es el número máximo de veces que
se debe lanzar el dado para obtener un
ganador?
¿Por qué considera que se obtuvo este ganador?
Actividad 3
Se lanza un dado el cual está numerado del 1 al 6 y se observa el número de la cara superior.
Anote cuáles son los resultados que se pueden
obtener.
¿Con cuál cartón cree usted que tendría más posibilidades de ganar? Explique.
En la siguiente tabla se pueden anotar los resultados obtenidos:
Reúnase en grupos de cuatro estudiantes y cada uno realice un cartón con números como los siguientes:
Asigne un orden para que cada uno lance los dos
dados12.
Si las sumas de los resultados de las caras de los dados coinciden con un número del cartón del
estudiante que lanzo los dados este coloca una ficha sobre el número correspondiente en su
cartón. Continúa otro estudiante.
Gana el primero que complete una fila o una
columna.
Interesa observar si el número obtenido es
múltiplo de 3. ¿Cuáles resultados son favorables
a este suceso?
Analice el siguiente resultado: “El número obtenido es un divisor de 30’’ ¿Cuáles fueron esos números?
¿Es posible el siguiente suceso: “El número obtenido es un múltiplo de 7’’?
Cuando un suceso no ocurre con ningún
resultado se llama “evento imposible’’. Dé un
ejemplo de otro evento imposible.
¿Puede obtenerse un número que sea par y menor que 5? Indique con cuáles resultados
ocurre este suceso.
a.
a.
b. a.
b.
c.
d. b.
c.
d.
e.
f.
Actividad 4
7 9 5
8 3
6 1
0 4
6 9 7
4 3
10 11 12
8 5 7
3 1
0 4 1
1 2
1
1 9 12
3 1
0 2 4 5
12 Para este caso se utiliza el concepto de permutación. Por otra parte, el espacio muestral son 36 casos
posibles porque el dado se lanza dos.
Responda las siguientes preguntas:
Número Posición que ocupa Probabilidad Fila Columna
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
¿Es posible obtener X=1 ó X=14 ? Explique.
¿De cuántas formas distintas se puede obtener ?
En la siguiente tabla se puede observar el valor total en cada casilla de la variable X, los cuales se
obtienen al sumar los números que corresponden a la fila y a la columna respectivamente.
Escriba todos los resultados posibles que se
pueden obtener.
a.
c. d. b.
13La frecuencia f es el número de veces que se repite una observación dentro del conjunto de datos. 14 Liliana Blanco, Probabilidad, Universidad Nacional, 2004
15 Liliana Blanco, Probabilidad, Universidad Nacional, 2004
Ahora se tome como X la suma de las caras de los dados y se obtienen los siguientes resultados:
1 2 3 4 5 6 1 2 5 3 4 5 6 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
•
TALLER 3
6. TALLER DE SIMULACIÓN BASICA DE VARIA-BLES ALEATORIAS EN EXCEL
Tema: Variables Aleatorias Continuas.
Objetivos: Permitir que el estudiante mediante las
herramientas tecnológicas adquiera habilidad y
destreza en la simulación de variables aleatorias continuas.
Recordemos:
Fuente: Autor
Fuente: Autor
Fuente: Autor
“La función de distribución acumulada de una variable aleatoria es aquella que toma valores entre los números reales que parten de cero y el máximo valor que toma es uno”14.
Variable Aleatoria Continua: “Se dice que una
variable aleatorio X es continua si sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los números reales”15
1. Generación de números aleatorios
Para llevar a cabo este procedimiento primero se debe
Esto nos permitirá generar números aleatorios
mayores o iguales a cero y menores que uno.
Ahora arrastre el mouse por la columna A hasta la
casilla 51, Luego ubique el cursor en la columna B y
se realiza el mismo procedimiento pero hasta la casilla 101 y así mismo en la columna C pero hasta la casilla 301.
Estos números los vamos a denotar por
R
2. Tome las funciones de densidad y distribución acumulada de la variable a simular en este caso la
exponencial.
Función de densidad de la exponencial16: x
e
x
f
(
,
λ
)
=
λ
−λx
>
0
Función de distribución acumulada: x
e
x
F
(
,
λ
)
=
1
−
−λAhora iguale
F
(
x
,
λ
)
a R (ten presente siempre que tanto R como F están entre el intervalo (0 y 1).x
e
x
F
R
=
(
,
λ
)
=
1
−
−λ3. De esta última ecuación despejamos a X en
términos de R y complete:
_
__________
=
X
16 la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con parámetro y su función de densidad de
probabilidad está dada por
f
(
x
,
λ
)
=
λ
e
−λx,
si
x
>
0
4. Lea cuidadosamente el siguiente problema:
El tiempo que transcurre entre las llamadas a una
fabrica de artículos deportivos tiene una distribución
exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos (λ = 1 / 15).
5. Reemplazando el valor de λ en la ecuación
encontrada en al punto 3, tenemos:
6. Ubique el cursor en la casilla F1 e ingrese la siguiente formula en la barra de tareas: (-LN(1-A1))/ (1/15) y despliegue el cursor hasta la casilla 51, luego ubique el cursor en la casilla 100 H1 e ingrese la formula (-LN(1-B1))/(1/15) despliegue el cursor hasta la casilla 101 por ultimo ubique el cursor en la casilla J1 e ingrese la formula (-LN(1-C1))/(1/15) y despliegue el
cursor hasta la casilla 301.
7. Ubíquese en la casilla F53 e ingrese la formula =PROMEDIO (F2:F51), luego realice el mismo procedimiento, pero para toda la columna H y
para la columna J.Estos promedios son las medias muestrales.
8. Utilice la formula E[x] = 1 / λ y encuentra la media
poblacional.
9. Comparar la media muestral y la poblacional.
10. Concluya de acuerdo a los resultados obtenidos en el punto anterior.
Fuente: Autor
17 Ejercicio tomado de la página de Internet http://educacion.tamps.gob.mx/alumnos/Material/5122M8mN6V.doc 18 Para obtener este resultado se sumaron las últimas ramificaciones del diagrama de árbol.
19 Para resolver estos ejercicios se utiliza el concepto de combinatoria
20 Los ejercicios de las actividades 1, 2 y 3 de obtuvieron de la página de Internet http://www.irfaperu.org/aulas/secundaria/secun
daria4s14f4.pdf
TALLER 4
7. TALLER DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA VARIABLE DISCRETA
Tema: Variable Aleatoria Discreta.
Objetivos: Permitir que el estudiante mediante la
utilización del diagrama de árbol pueda
adquirir la destreza suficiente para organizar y
sintetizar información para la toma de decisiones.
Ejemplo:
Ximena y sus amigas fueron a comprar aguas, al pedir el agua les dieron las siguientes posibilidades:
tamaño del vaso: grande y pequeño, sabor de agua:
horchata y aguacate, color del vaso: rojo, amarillo o blanco. ¿Cuántas posibilidades le ofrecen
en la venta?17
Datos Operaciones Resultados
Tamaño: grande o chico
Sabor: horchata o aguacate
Color: rojo, amarillo o blanco
R A B H R G A A B R H A CH B A R A B
12 posibilidades
1
Otra forma de obtener el resultado es: 2x2x3=12 posibilidades
18
Actividad 1
Forme grupos de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
Seleccionar tres niños19
Calcula el porcentaje de los automóviles que
reciben por la tarde
Calcula el porcentaje de los automóviles que
acuden por problemas mecánicos.
Calcula el porcentaje de los automóviles con
problemas eléctricos que acuden por la mañana.
Seleccionar exactamente dos niños y una niña Seleccione exactamente dos niñas y un niño
a.
a.
b.
c.
b. c.
Actividad 2.
a) Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: Su sexo (Masculino o Femenino), por tipo de sangre (A, B, AB, O) y en cuanto a la presión
sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un
diagrama de árbol diga de cuentas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?
Actividad 3.
b) Un taller recibe por la mañana 8 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa.
Por la tarde recibe 2 automóviles con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.
Fuente: http://www.irfaperu.org/aulas/secundaria/secundaria4s14f4.pdf
Completando los cuadros que vienen a continuación
tendrás las respuestas más fácilmente.
I. Los resultados obtenidos se presentan en el siguiente cuadro:
Automóviles Recibidos
Problemas Electrónicos
Problemas Mecánicos
Problemas de Chapa
Total
Mañana 8 8 3 1 9
Tarde
Total
II. Los resultados obtenidos en porcentajes se presentan en el siguiente cuadro:
Automóviles Recibidos
Problemas Electrónicos
Problemas Mecánicos
Problemas de Chapa
Total
Mañana =
25 8
Tarde
Total
Fuente: Autor
Respuestas
a) El porcentaje de automóviles que se reciben en
la tarde es del: ________.
b) El porcentaje de automóviles que acuden por
problemas mecánicos es del: __________.
c) El porcentaje de los automóviles con problemas
eléctricos que acuden por mañana es del: _____.
Actividad 4
a.Forme grupos de cuatro personas.
b.Piense que los miembros del grupo hacen parte
de las directivas del gobierno escolar por lo tanto cada uno se debe asignar un cargo:
c.P = presidente, S = secretario, F = fiscal, T =
tesorero.
d.Escriba la asignación dada.
e.Realice una asignación diferente a la anterior. Ahora en una tabla escribe todas las posibles formas de asignar los cargos.
f.Compare sus resultados con los de sus compa
ñeros. ¿Cuántas formas posibles hay?
Actividad 5.
a.En una caja coloque tres pimpones de color
rojo, blanco y amarillo:
b.Nombre a cada uno de la siguiente manera R:
rojo, B: blanco y A: amarillo.
c.Seleccione un pimpón y anote la letra que
corresponde al color.
d.Devuelva el pimpón a la caja. Repita este pro
cedimiento dos veces más.
e.Escriba todos los posibles resultados que se
pueden obtener. ¿Cuántos resultados se obtu
vieron?
8. RESULTADOS
Los conceptos básicos de estadística y de probabili-dad son importantes para el desarrollo integral de la formación intelectual en los primeros años de vida de los estudiantes, razón por la cual era importante desarrollar estas actividades en el aula de clase con
el fin de validar si efectivamente los estudiantes
están diferenciando correctamente los diferentes conceptos de la parte estadística y probabilidad vistos durante el período académico, evidenciando lo siguiente:
Antes de aplicar las actividades en el aula de
clase, se notó que los estudiantes no sabían
diferenciar correctamente las diferentes
técnicas de conteo existentes.
A través de las actividades desarrolladas, se
observó que a medida que los estudiantes las
aplicaban y comparaban los resultados entre
ellos, se concluyó que diferenciaban correcta -mente las técnicas de conteo y los conceptos de estadística y de probabilidad estudiados en el aula de clase.
Una vez realizada las actividades didácticas
se evidenció que los estudiantes compartían
información y a través de esta, encontraban los resultados correctos utilizando las técnicas de conteos y la probabilidad asociadas a cada actividad.
Al término de las actividades planteadas, se
observó que los estudiantes mejoraron signifi -cativamente en la aplicación de los conceptos básicos de la estadística y la probabilidad.
Por lo anterior, se puede concluir que los
estudiantes de básica primaria, básica secundaria
9. CONCLUSIONES
Con las actividades lúdicas planteadas en este artículo, se logra resolver problemas a través de la utilización de los conceptos básicos de estadística y probabilidad dentro del aula de clase por parte de los estudiantes.
Poder analizar y diferenciar las diferentes
técnicas de conteo existentes con el fin de
encontrar a través de la comparación de los resultados obtenidos, la solución de los problemas planteados.
Las investigaciones en educación estadística en Colombia y en otros países son muy pocas en relación con las de educación matemática. España es uno de los países pioneros en realizar investigaciones de esta índole, aportando grandes avances para la enseñanza
de la estadística. Es por ello, que se debe crear conciencia que los educadores deben ser quienes tomen la vocería en este sentido, ya que hasta el momento los psicólogos son los que en muchos
casos han realizado dichas investigaciones,
sien-do enfocadas a situaciones experimentales en
lugar de ser utilizadas en situaciones escolares.
Incentivar a los estudiantes a cerca de la importancia que tiene la teoría básica de
probabilidad en la solución de problemas de la vida cotidiana, utilizando las técnicas de conteo, a través de estas el estudiante reconoce la
variedad de eventos que conforman un universo. Es importante que desde los primeros años de formación el estudiante adquiera los
conceptos de las diferentes técnicas de conteo a
través de actividades lúdicas, de tal manera que el mismo estudiante sea el que forme sus propios
conceptos y al momento de llegar al nivel de secundaria, pueda profundizar cada uno de los conceptos planteados en años anteriores.
Facilitar a los estudiantes, adquirir una
mejor comprensión de los conceptos básicos de estadística y probabilidad.
Se evidenció la efectiva comprensión por parte de los estudiantes, en cuanto a la utilización de los conceptos básicos de estadística
y probabilidad, con una mejor eficiencia en la
toma de decisiones para cada actividad desarrollada.
Con la aplicación de estas actividades lúdicas entre los diferentes grupos participantes en
el aula de clase se pudo observar que cada
estudiante pudo llegar al resultado correcto, utilizando la comparación de resultados obtenidos con los demás grupos y así poder
diferenciar qué técnica se estaba utilizando y
cuál era la respuesta correcta.
Las metodologías utilizadas en el aula, deben permitir al estudiante alcanzar metas
significativas en el proceso de la construcción del
conocimiento matemático, donde el estudian-te muestre las habilidades para comunicarse
matemáticamente por medio de la expresión
de ideas, interpretación y evaluación de las soluciones, la descripción de las conceptos básicos de estadística y de la probabilidad a través de la aplicación en el aula de clase de estas actividades lúdicas y didácticas para la mejor comprensión de los temas planteados.
relaciones y el modelamiento de situaciones cotidianas, así mismo algún grado de desarrollo del razonamiento matemático, a partir de la manipulación (por medio de ejemplos), la formulación de conjeturas (donde se proponen
afirmaciones que pueden ser razonables), y en
algunos casos generalizaciones (descubrir una
ley y reflexionar sistemáticamente sobre ella), y por último la argumentación (explicar el por qué, estructurando argumentos válidos para
sustentar las generalidades, sometiéndolas a
9. REFERENCIAS
Azcarate, Pilar Comare 1.996, Estudio de las
Concepciones Disciplinares de futuros profesores de
Primaria en torno a las nociones de Aleatoriedad y
Probabilidad. Granada.
Batanero, C. (2001), Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación
Estadística.
Batanero, María del Carmen, Díaz Godino Juan
(1994), Razonamiento Combinatorio. Editorial Síntesis s.a.
Rodino, J., Batanero, C y Cañizares, J (1996), Azar y Probabilidad. Editorial Síntesis, S.A.
George C. Canavos, 1997, Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos, Editorial McGraw Hill.
