Retículos distributivos con negación

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Ret´ıculos distributivos con negaci´on

Bruno, Franco David

Director: Dr. Sergio Celani

Departamento de Matem´aticas

NUCOMPA

Facultad de Ciencias Exactas

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Agradecimientos

Quiero agradecer principalmente a mi director, Sergio Celani, su gran disponi-bilidad, calidez y afecto personal, un referente como matem´atico a seguir.

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Introducci´on

En la primera mitad del siglo XIX, el intento de George Boole de formalizar la lógica proposicional llevó al concepto de álgebra de Boole. Al investigar la axio-matización de las álgebras Boole al final del Siglo XIX, Charles S. Peirce y Ernst Schroder encontraron útil introducir el concepto de ret´ıculo. Independientemente, la investigación de Richard Dedekind sobre ideales de números algebraicos llevó al mismo concepto; de hecho, Dedekind también introdujo la modularidad, una forma debilitada de distributividad. Aunque algunos de los primeros resultados de estos matemáticos y de Edward V. Huntington son muy elegantes y lejos de ser triviales, no lograron atraer la atención de la comunidad matemática.

No fue hasta el trabajo de Garrett Birkhoff a mediados de los treinta que inició el desarrollo de la teor´ıa de ret´ıculos. En una brillante serie de papers demostró la importancia de la teor´ıa de ret´ıculos y que proporciona un marco unificador para desarrollos en muchas disciplinas matemáticas. El propio Birkhoff, Valere Gliven-ko, Karl Menger, John Von Neumann, Oystein Ore, y otros hab´ıan desarrollado suficientemente este nuevo campo para que Birkhoff intentara ”venderlo” a la co-munidad matemática, lo que hizo con éxito en la primera edición de su famoso libro ”Teor´ıa del ret´ıculos” [3].

La teor´ıa de ret´ıculos tiene un fuerte impacto en muchas ramas de la matemáti-ca. En particular en el tratamiento algebraico de la lógimatemáti-ca. En lógica clásica, y por lo tanto en su interpretación algebraica: las álgebras de Boole, la operación de ne-gación juega un papel fundamental. Intuitivamente, la nene-gación clásica de una pro-posición es verdadera cuando dicha propro-posición es falsa, y viceversa.

En un álgebra de Boole hB,∨,∧,¬,0,1i la negación se interpreta como una función¬:B →B tal que satisface las siguientes condiciones:

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(C4) ¬¬a =a(Principio de la doble negaci´on), (C5) ¬a∨a= 1(Principio del tercero exclu´ıdo), (C6) ¬a∧a= 0(Principio de explosi´on).

La condición (C1) indica que la negación de la verdad es el valor falso, y rec´ıpro-camente. Las condiciones (C2) y (C3) son las clásicas leyes de De Morgan. Estas leyes proporcionan una forma de dualidad: la negación sobre la disyunción inclu-siva equivale a la conjunción de negaciones, y rec´ıprocamente, la negación de la conjunción es igual a la unión de las negaciones de las disyunciones inclusivas. La condición (C4) es la interpretación algebraica de la ley de doble negación: la negación de la negación de una proposiciónp, es lógicamente equivalente ap.

Las condiciones (C1) a (C6) corresponden a la interpretación algebraica de la negación clásica. Pero la lógica clásica no es la única lógica donde aparece algún tipo de negación, por ejemplo, en lalógica intuicionistaexiste una negación que no cumple todas las propiedades anteriores. La lógica intuicionista, también conocida como lógica constructivista, es un sistema lógico originalmente desarrollado por Arend Heyting para proveer una base formal al proyecto intuicionista de Brouwer. El intuicionismo rechaza el principio del tercero excluido (C5), pero conserva el principio de explosión (C6). Otra diferencia radica en el principio de doble nega-ción. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no al revés.

De igual forma en que la lógica clásica se interpreta algebraicamente por me-dio de las álgebras de Boole, la lógica intuicionista se interpreta algebraicamente por medio de la clase de los ret´ıculos distributivos acotados dotados de una opera-ción binaria llamada implicaopera-ción intuicionista. Estas álgebras son conocidas como álgebras de Heyting. En un álgebra de HeytinghL,∨,∧,→,0,1ila negación intui-cionista¬se puede definir por medio de la ecuación ¬a = a → 0. Esta negación cumple las propiedades (C1), (C2) y (C6). Las restantes propiedades (C3), (C4) y (C5), no son generalmente válidas en las álgebras de Heyting. Es más, se puede probar que un álgebra de Heyting es un álgebra de Boole si y sólo si es válida la pro-piedad de doble negación (C4). En cambio, si exigimos que un álgebra de Hetying satisfaga el principio (C3) no obtenemos necesariamente un álgebra de Boole.

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Esta clase de álgebras son parte de muchas estructuras algebraicas importantes co-mo lasMV-álgebrasy las álgebras de Heyting simétricas.

En general una negación en un ret´ıculo distributivo es una operación unaria que revierte el orden de la estructura algebraica que estamos considerando y que puede transformar ´ınfimos en supremos y supremos en ´ınfimos. Ya que hay muchas propiedades similares en las negaciones de las estructuras algebraicas mencionadas es necesario estudiar ret´ıculos distributivos con una operación unaria que tenga las propiedadesm´ınimasque una negación deber´ıa tener. El objetivo principal de este trabajo es estudiar en profundidad los ret´ıculos distributivos acotados con negación, o¬-ret´ıculos, que satisfacen las propiedades:

(N1) ¬0 = 1,

(N2) ¬(a∨b) =¬a∧ ¬b.

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Descripci´on de los cap´ıtulos

Cap´ıtulo 1. En este cap´ıtulo presentaremos algunos conceptos necesarios para desarrollar la teor´ıa que nos concierne. Cuenta con tres secciones: la primera con-siste en introducir el concepto de conjunto ordenado. En la segunda sección defi-nimos a los ret´ıculos como estructuras algebraicas. La tercer sección esta dedicada a recordar el concepto de filtro de un ret´ıculo y sus propiedades, y como subsec-ción presentamos uno de los resultados más importantes de la teor´ıa de ret´ıculos distributivos, el Teorema del Filtro Primo, y además contiene un importante teore-ma de representación de Stone para los ret´ıculos distributivos acotados. Por último, introducimos algunos coceptos algebraicos básicos como el de congruencia de un ret´ıculo, álgebras subdirectamente irreducibles y suma ordinal de ret´ıculos.

Cap´ıtulo 2. En este cap´ıtulo, dividido en cinco secciones, introducimos el con-cepto central de ret´ıculo con negación o¬-ret´ıculo, y desarrollamos una dualidad topológica junto con algunas aplicaciones. La primer sección se definen a los ¬-ret´ıculos, con una gran suma de ejemplos de gran relevancia. Luego, hacia el final de la sección, definimos unas estructuras algebraicas denominadas marcos, el cual juegan un papel muy importante. En la segunda sección mostramos un primer teo-rema de representación para los¬-ret´ıculos. Luego, en la tercer sección y la más importante, desarrollaremos la dualidad de Priestley para los ¬-ret´ıculos. Se pre-sentan los espacio duales y un último teorema de representación. Por último, en las dos últimas secciones, se caracterizan a las congruencias, y a las subálgebras.

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tercer sección se describen a todas las subclases ecuacionales de álgebras, donde se encuentran, en particular, a las álgebras de Boole y las álgebras de Stone. Además, una importante caracterización a través de filtos primos maximales para cada sub-clase ecuacional. En la cuarta sección vemos algunos resultados y caracterizaciones por medio de condiciones de primer orden definidas en el¬-marco asociado al ¬-ret´ıculo. Y en la última sección, desarrollamos una dualidad topológica para este caso particular de álgebras de negación. También describimos las congruencias.

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´Indice general

1. Preliminares 1

1.1. Conjuntos ordenados . . . 1

1.2. Ret´ıculos . . . 3

1.2.1. Subret´ıculos . . . 5

1.2.2. Homomorfismo . . . 7

1.3. Filtros . . . 7

1.3.1. Teorema del Filtro Primo . . . 10

1.4. Conceptos algebraicos . . . 12

2. Ret´ıculos con negaci´on 15 2.1. Definiciones preliminares . . . 15

2.2. Teorema de representaci´on . . . 22

2.3. Representaci´on y dualidad topol´ogica . . . 27

2.4. Congruencias . . . 37

2.5. Sub´algebras . . . 42

3. Ret´ıculos pseudocomplementados 48 3.1. Identidades y propiedades b´asicas . . . 48

3.2. Elementos especiales . . . 58

3.3. Subclases ecuacionales . . . 66

3.4. Caracterizaci´on algebraica . . . 70

3.5. Dualidad . . . 74

4. Algebras de Stone´ 79 4.1. Propiedades y caracterizaciones . . . 79

4.2. Algebras de Stone relativas . . . .´ 87

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

El objetivo de este cap´ıtulo es recordar y fijar la notación sobre algunos concep-tos de teor´ıa de ret´ıculos básicos que serán utilizados en los cap´ıtulos siguientes. La mayor´ıa de los conceptos aqu´ı introducidos pueden hallarse en [2], [5] y [10].

1.1. Conjuntos ordenados

Sea X un conjunto no vac´ıo. Una relaci´on binaria≤ definida sobreX se dice que es unorden(uorden parcial) si satisface las siguientes propiedades:

1. x≤x,

2. Six≤yey≤z, entoncesx≤z, 3. Six≤yey≤x, entoncesx=y.

El par hX,≤i se llama conjunto ordenado. Si se cumple adem´as que para todo

x, y ∈ X,x ≤yoy ≤x, entonceshX,≤ise llamaconjunto totalmente ordenado ocadena.

Ejemplo 1.1. Sean_N, _Z, _Qy _Rson ejemplos de conjuntos totalmente ordenados con el orden usual.

Ejemplo 1.2. SeaX un conjunto y P(X)la familia de todos los subconjuntos de

X. EntonceshP(X),⊆ies un conjunto ordenado.

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1.1 Conjuntos ordenados Preliminares

Observemos que dado un conjunto ordenado finitohX,≤ies posible represen-tarlo por medio de un diagrama de Hasse. En las siguientes figuras se dan varios ejemplos de conjuntos ordenados.

Definici´on 1.1. Sea hX,≤i un conjunto ordenado. Un subconjunto Y ⊆ X se dice creciente si para todo x ∈ X e y ∈ Y tal que y ≤ x, se tiene que x ∈ Y.

Similarmente un subconjunto Y ⊆ X es decreciente si para todox ∈ X,y para todoy∈Y tal quex≤y, x∈Y.

Dado un conjunto ordenado hX,≤i, la familia de todos los subconjuntos cre-cientes deX será simbolizado porU p(X). ClaramentehU p(X),⊆itambién es un conjunto ordenado bajo la relación de inclusión.

Definici´on 1.2. SeanhX,≤iehY,≤idos conjuntos ordenados. Una funci´onf :X →

Y es unafunci´on creciente o mon´otona crecientesi preserva el orden, es decir, para todox, y ∈X, six≤yimplica quef(x)≤f(y).

Diremos quef es unisomorfismo de ordensi

x≤y⇔f(x)≤f(y).

Es sencillo comprobar que todo isomorfismo de orden es inyectivo. En efecto, sif(x1) = f(x2)entoncesf(x1) ≤ f(x2)y f(x2) ≤ f(x1). Por ser isomorfismo

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1.2 Ret´ıculos Preliminares

Si existe un isomorfismo de ordenf sobreyectivo entre los conjuntos ordenados

XeY, diremos simplemente que sonisomorfosy lo denotaremos comoX'Y. Uno de los temas principales de la teor´ıa de estructuras ordenadas es determinar teoremas de representaci´on por medio de conjuntos.

Teorema 1.3 (de Representaci´on de Stone). Todo conjunto ordenado hX,≤i es isomorfo a una familia de subconjuntos ordenados por inclusi´on. Es decir, existe un conjuntoY no vac´ıo y un subconjuntoD⊆P(Y)tal que

hX,≤i ∼=hD,⊆i.

1.2. Ret´ıculos

Dentro de la clase de todos los conjuntos ordenados hay ciertas clases que tienen propiedades muy importantes. Una de estas es la de los ret´ıculos.

Definici´on 1.4. SeahL,≤iun conjunto ordenado. Diremos que:

1. hL,≤ies unret´ıculosi para todo subconjunto finito existe el supremo e ´ınfi-mo.

2. hL,≤ies unret´ıculo completo si para todo subconjunto existe el supremo e ´ınfimo.

Ejemplo 1.4. Obviamente no todo conjunto ordenado es un ret´ıculo. El siguiente diagrama muestra un conjunto ordenado donde el supremo del subconjunto{d, e} no existe y el ´ınfimo de{a, b}tampoco.

a _b

c

d e

Ejemplo 1.5. Todo conjunto totalmente ordenado es un ret´ıculo. Observemos que

x∨y=

(

x siy≤x

y six≤y , x∧y=

(

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Ejemplo 1.6. SiXes un conjunto no vac´ıo, el conjunto ordenadohP(X),⊆ies un ret´ıculo donde el supremo e ´ınfimo son

A∨B =A∪B A∧B =A∩B

para todoA, B ∈P(X).

Una propiedad importante de los ret´ıculos es que pueden ser definidos como estructuras algebraicas y juegan un papel importante dentro del ´algebra universal. En un ret´ıculohL,≤ipodemos definir dos operaciones binarias como sigue:

∨:L×L→L ∨(a, b) =a∨b,

∧:L×L→L ∧(a, b) =a∧b.

Proposici´on 1.5. SeaL un conjunto no vac´ıo. EntonceshL,≤ies un ret´ıculo si y s´olo siLse lo puede dotar de dos operaciones binarias internas∨y∧,llamadas su-premo e ´ınfimo, respectivamente, cumpliendo las siguientes propiedades para todo

a, b, c∈L:

1. (a∨b)∨c=a∨(b∨c),

2. (a∧b)∧c=a∧(b∧c),

3. a∨b=b∨a,

4. a∧b=b∧a,

5. a∨a=a,

6. a∧a=a,

7. a∨(a∧b) = a,

8. a∧(a∨b) = a,

con un orden parcial definido de la siguiente manera:

a ≤b ⇐⇒ a∧b=a ⇐⇒ a∨b =b.

El ret´ıculo ser´a denotado porhL,∨,∧io simplementeL.

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1. Para todoa∈L, a∧0 = 0,

2. para todoa ∈L, a∨1 = 1.

Observemos que en todo ret´ıculo se cumple siempre la llamada Propiedad de Kleinosemi-distributividad:

(a∧b)∨(a∧c)≤a∧(b∨c),

a∨(b∧c)≤(a∧b)∨(a∧c).

Si se cumple la igualdad se denominaret´ıculo distributivo.

Ejemplo 1.7. SeaXun conjunto no vac´ıo, entonces el ret´ıculohP(X),∪,∩,∅, Xi es un ret´ıculo distributivo acotado.

Ejemplo 1.8. Cualquiera de los siguientes diagramas de Hasse define un ret´ıculo distributivo acotado.

1.2.1. Subret´ıculos

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Definici´on 1.7. SeaLun ret´ıculo yH ⊆ L. Decimo queHes unsubret´ıculodeL

si para todo par de elementosa, b∈H,

a∧bya∨b∈H.

SiLes acotado, entoncesH es un subret´ıculo acotado, o(0,1)- subret´ıculo, si es un subret´ıculo tal que0,1∈H.

Ejemplo 1.9. Consideremos el ret´ıculo de la figura. Observemos queHes un(0, 1)-subret´ıculo y queBes ´unicamente un subret´ıculo pues no contiene a los elementos 0y1.

L _H B

0

a

b c

d e

1

0 1

a

c e

b d

c e

Ejemplo 1.10. SeahX,≤iun conjunto ordenado. EntonceshU p(X),⊆ies un su-bret´ıculo dehP(X),⊆i.

Ejemplo 1.11. Sea L ret´ıculos. Entonces para cada a, b ∈ L, tal que a ≤ b el conjunto

[a, b] ={x∈L:a≤x≤b} es un subret´ıculo deL.

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1.3 Filtros Preliminares

1.2.2. Homomorfismo

En cualquier estructura algebraica, como grupo o anillos, siempre existe una apropiada noci´on de funci´on que preserva las operaciones de la estructura algebrai-ca. Para los ret´ıculos podemos dar una nocion similar.

Definici´on 1.8. Sean L y H dos ret´ıculos. Un homomorfismo es una funcionh :

L→Htal que:

1. h(a∧b) = h(a)∧h(b),

2. h(a∨b) = h(a)∨h(b),

para cadaa, b∈L. Si los ret´ıculos son acotados, entonceshes un(0,1)-homomorfismo si es un homomorfismo tal queh(0) = 0yh(1) = 1.

Diremos quehes unisomorfismosi es un homomorfismo inyectivo y sobreyec-tivo.

Proposici´on 1.9. Sean L, H dos ret´ıculos. Si h : L → H es homomorfismo de ret´ıculos entonceshes mon´otona creciente, es decir,

a ≤b, entoncesh(a)≤h(b),

para todoa, b ∈ L. Adem´as, hes un isomorfismo si y s´olo si hes un isomorfismo

de orden sobreyectivo.

1.3. Filtros

Definici´on 1.10. Sea Lun ret´ıculo. Diremos que un subconjunto no vac´ıoF ⊆ L

es unfiltrodeLsi satisface las siguientes condiciones: 1. Six∈F yx≤y,entoncesy ∈F,

2. Six, y ∈F, entoncesx∧y∈F.

Un filtroF es propio siF 6=L.

Definici´on 1.11. SeaLun ret´ıculo, un subconjunto no vac´ıoI ⊆ Les unidealde

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2. Six, y ∈I, entoncesx∨y ∈I.

Un ideal es propio siI 6=L.

Observemos que un filtro de un ret´ıculo es un subconjunto no vac´ıo, creciente y cerrado bajo∧.An´alogamente, un ideal es un subconjunto no vac´ıo, decreciente y cerrado bajo∨. Vamos a simbolizar por hF i(L),⊆i yhId(L),⊆i los conjuntos ordenados por medio de la inclusi´on de los filtros y de los ideales deL, respectiva-mente.

Además, se puede ver que la intersección arbitraria entre filtro (ideales) es nue-vamente un filtro (ideal), lo cual permite la siguiente definición de filtro generado e ideal generado.

Definici´on 1.12. Sea L un ret´ıculo y H un subconjunto de L no vac´ıo. El filtro generadoporHes

[H) =\{F :H ⊆F}.

El ideal generado porH es

(H] =\{I:H ⊆I}.

Daremos a continuaci´on una caracterizaci´on de los filtros e ideales generados por un conjunto.

Proposici´on 1.13. SeaLun ret´ıculo yH un subconjunto deLno vac´ıo. Entonces:

[H) = {x∈L:∃H0 ={h0, ..., hn} ⊆H tal queh0∧...∧hn ≤x},

(H] ={x∈L:∃H0 ={h0, ..., hn} ⊆H tal quex≤h0∨...∨hn}.

Corolario 1.14. SeaLun ret´ıculo,F un filtro,I un ideal ya∈F. Entonces:

[F ∪ {a}) = {x∈L:∃f ∈F tal quef ∧a ≤x},

(I∪ {a}] ={x∈L:∃i∈I tal quex≤i∨a}.

Teorema 1.15. SeaLun ret´ıculo. Entonces:

hFi (L),⊆i es un ret´ıculo completo donde las operaciones est´an definidas por:

^

j∈J

Fj =

\

j∈J

Fj,

_

j∈J

Fj =

" [

j∈J

Fj

!

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hId (L),⊆i es un ret´ıculo completo donde las operaciones est´an definidas por:

^

j∈J

Ij =

\

j∈J

Ij,

_

j∈J

Ij =

[

j∈J

Ij

#

.

Corolario 1.16. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. SeaId(L)el conjunto orde-nado de todos los ideales deLpor medio de la inclusi´on,⊆. Si definimos el ´ınfimo

y el supremo como el Teorema 1.15, entonces

hId(L),_Y,_Z,{0}, Li

es un ret´ıculo distributivo acotado.

Demostraci´on.Probemos quehId(L),_Y,_Z,{0}, Lies distributivo. SeanI1, I2 eI3

tres ideales, bastar´a probar que (I1 YI2)Z I3 ⊆ (I1 ZI3) Y(I2 Z I3). Sea x ∈

(I1YI2)ZI3. Entoncesx∈I1YI2yx∈I3. Luego existez ∈I1∪I2tal quex≤z.

Como los ideales son decrecientes, siz ∈ I1 entoncesx ∈ I1, si z ∈ I2 entonces

x∈I2. Como

x∈I1 ⊆I1∪I3 ⊆(I1∪I3] ox∈I2 ⊆I2∪I3 ⊆(I2∪I3].

De esta forma obtenemos quex∈(I1∪I3]∪(I2∪I3].

Definici´on 1.17. SeaLun ret´ıculo.

1. Un filtro propio F ⊆ Les primo si para cada a, b ∈ Ltal que a∨b ∈ F,

entoncesa∈F ob∈F,

2. Un filtro propio F ⊆ Lse dir´a maximaloultrafiltro si paraK ∈ Fi (L)tal queF ⊆K,entoncesF =K oK =L.

El conjunto ordenado de los filtros primos, y ultrafiltros de L ser´a denotado con

X(L)yUl (L),respectivamente.

Teorema 1.18. SeaLun ret´ıculo distributivo. EntoncesU l(L) ⊆ X(L), es decir,

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1.3.1. Teorema del Filtro Primo

Ahora, daremos lugar a uno de los resultados más importantes de la teor´ıa de ret´ıculos distributivos, elTeorema del Filtro Primo, también conocido como el Teo-rema del Ideal Primo o TeoTeo-rema de Birkhoff-Stone. Este teoTeo-rema tiene importantes implicaciones en la teor´ıa de representación por medio de conjuntos y en represen-taciones topológicas de muchas estructuras algebraicas ordenadas con reducto de ret´ıculo distributivo. Esencialmente es un resultado sobre separación entre filtros e ideales. Necesitamos, a su vez, el conocido Lema de Zorn, resultado que es equiva-lente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos junto con los axiomas de Zermelo, es suficiente para probar el otro.

Lema 1.19(Lema de Zorn). SeaAun conjunto y seaF un subconjunto deP(A).

Supongamos que para toda cadena C en el conjunto ordenado hF,⊆i se verifica

queS

C ∈F.EntoncesF tiene un elemento maximal.

Teorema 1.20 (del Filtro Primo). Sea L un ret´ıculo distributivo, F ∈ Fi (L) e

I ∈Id (L)tal queF ∩I =∅.Entonces existe un filtro primoP tal que

F ⊆P yP ∩I =∅.

Demostraci´on.Consideremos la siguiente familia de filtros F ={H ∈Fi (L) :F ⊆H yH∩I =∅}.

Puesto queF ∈ F, la familia F es no vac´ıa. Es sencillo comprobar que siC ⊆ F es una cadena, entonces[C ∈F. Por lo tanto, por el Lema de Zorn existe un ele-mento maximal P en F. Supongamos que existena, b ∈ Ltales que a∨b ∈ P,

a /∈ P y b /∈ P. Consideremos los filtros Fa = [P ∪ {a}) y Fb = [P ∪ {b}).

Entonces P ⊂ Fa ∩Fb. Como P es maximal enF, Fa, Fb ∈ F/ . Entonces

exis-ten p1,p2 ∈ P y x,y ∈ I tales que p1 ∧ a ≤ x y p2 ∧ b ≤ y. De este modo,

p1 ∧ p2 ∧ (a∨b) ≤ x ∨ y ∈ P, y como I es un ideal, x ∨y ∈ I. Es decir,

x∨y ∈P ∩I,lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto,a∈P ob ∈P y luegoP

es primo.

Corolario 1.21. SeaLun ret´ıculo distributivo. Se satisfacen los siguientes puntos:

1. SiF ∈Fi(L)ya /∈F, existeP filtro primo tal queF ⊆P ya /∈P.

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3. Todo filtro es intersecci´on de filtros primos que lo contienen.

Corolario 1.22. SeaLun ret´ıculo que verifica que todo filtro propio es intersesi´on de filtros primos, entoncesLes distributivo.

Una aplicación fundamental del Teorema del filtro primo es el siguiente teorema de representación. Este teorema fue primero probado para álgebras de Boole y más tarde extendido para ret´ıculos distributivos por M. Stone.

Teorema 1.23(de representaci´on de Stone). SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. Entonces existe un conjunto ordenadohX,⊆iyD ⊆ U p(X)un subret´ıculo tal que

L∼=D.

Demostraci´on.Consideremos el conjunto ordenadohX(L),⊆i, conX(L)como el conjunto de filtros primo, y el ret´ıculo acotadoU p(X(L)).Definimos la aplicaci´on ,

σ :L→U p(X(L))

σ(a) ={P ∈X(L) :a∈P}.

Probemos queσ es un homomorfismo inyectivo de ret´ıculos acotados. Es sencillo ver que σ(0) = ∅ y σ(1) = X(L). Adem´as por las propiedades de los filtros primos se deduce que

σ(a∧b) = σ(a)∩σ(b),

y adem´as

σ(a∨b) = σ(a)∪σ(b).

Por lo tanto, σ es un homomorfismo de ret´ıculos. Basta probar que σ es un iso-morfismo de orden para obtener que σ es inyectivo. Si a ≤ b, entonces es claro queσ(a) ⊆ σ(b).Supongamos quea b, entonces por el Corolario 1.21, existe

P ∈X(L)tal quea ∈P yb /∈P, y luegoσ(a)_*σ(b).Por tanto,

L∼=σ(L) = {σ(a) :a∈L}

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1.4 Conceptos algebraicos Preliminares

L

U p(X(L))

σ

1.4. Conceptos algebraicos

Definici´on 1.24. SeaLun ret´ıculo. Unacongruenciadefinida sobreLes una rela-ci´on de equivalenciaΘ⊆L×Ltal que si(a, b),(a0, b0)∈Θse cumple:

(a∧a0, b∧b0)∈Θy(a∨a0, b∨b0)∈Θ para cadaa, b, a0, b0 ∈L.

Para cadaa∈L, denotamos laclase deacomo sigue

a/Θ = {b∈L: (a, b)∈Θ},

y denotamos alespacio cocientecomoL/Θ = {a/Θ:a∈L}.

Observemos que en cualquier ret´ıculo existen relaciones de congruencias trivia-les y se definen como siguen:

(a, b)∈∆⇔a=b,

y

(a, b)∈ ∇ ⇔a, b∈L,

es decir,∇=A×A. El conjunto de todas congruencias deLse denota porCon(L).

Teorema 1.25. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. El conjunto ordenadohCon(L),⊆i

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operaci´on de ´ınfimo se definen como la intersecci´on de congruencias, es decir,

Θ1 ∧Θ2 = Θ1 ∩Θ2,

y la operaci´on de supremo como

(a, b)∈Θ1∨Θ2 ⇔ ∃z1, ..., zntal quea=z0, b=zny(zi, zi+1)∈Θ1∪Θ2.

Lema 1.26. SeanL,Sdos ret´ıculos. Sih : L→ S es un homomorfismo, entonces

el subconjunto

Ker(h) ={(a, b):h(a) = h(b)}

es una congruencia enL.

Existe un estrecha relaci´on entre las congruencias de un ret´ıculos y los filtros (ideales). El siguiente resultado esta formulado utilizando filtros, pero los mismos puede ser expresado utilizando ideales.

Teorema 1.27. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado yF un filtro deL. Entonces:

1. Las relaciones

Θ(F) ={(a, b):∃f ∈F(a∧f =b∧f)} ∈Con(L).

2. Para cadaa∈L,

a∈F ⇔a/Θ(F) = F.

En consecuencia,1/Θ(F) =F.

3. SiF1,F2 son dos filtros tal queF1 ⊆F2, entoncesΘ(F1)⊆Θ(F2).

4. Θ(F) ={(a, a):a ∈L}= ∆si y s´olo siF = [1).

5. Para cada parΘ1,Θ2 ∈Con(L)tal queΘ1 ⊆Θ2, entonces

F(Θ1) = 1/Θ1(F)⊆F(Θ2) = 1/Θ2(F).

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Definici´on 1.28. Un ´algebra no trivial essubdirectamente irreduciblesi existe una congruencia minimal no trivial.

Ejemplo 1.13. Un ret´ıculo distributivo es subdirectamente irreducible si y s´olo si el cardinal del ret´ıculo es2.

El ´ultimo concepto algebraico que vamos a introducir es el de suma ordinal.

Definici´on 1.29. Sean{Pi}1≤i≤nuna familia finita de conjuntos ordenados

disjun-tos. Definimos lasuma ordinalde la familia como el siguiente conjunto:

P1 M

P2 M

. . .MPn =P1∪P2∪. . .∪Pn,

y definimos un orden parcial como:

x≤y⇔(x, y ∈Piyx≤y)o(x∈Pi,y∈Pj ei≤j).

(23)

Cap´ıtulo 2

Ret´ıculos con negaci´on

En este cap´ıtulo introducimos la variedad de los ret´ıculos distributivos acotados dotados de un operador de negación. Devienen naturalmente como una generaliza-ción de algunas estructuras algebraicas como las álgebras de Boole, ret´ıculos distri-butivos pseudocomplementados, álgebras de Quasi-Stone, álgebras de debil-Quasi-Stone, álgebras de De Morgan, álgebras de Semi-De Morgan, entre otras. Consi-deraremos la categor´ıa de los ret´ıculos con una negación y mostraremos que esta categor´ıa es dual a la categor´ıa de espacios de Priestley con una relación particular y además, para finalizar el cap´ıtulo caracterizaremos las congruencias y subálgebras de estos ret´ıculos. Este cap´ıtulo se basa en su mayor´ıa en la construcción propuesta en el art´ıculo [7]. Una ampliación de resultados se puede encontrar en [8].

2.1. Definiciones preliminares

Definici´on 2.1. Unret´ıculo con negaci´on, o¬-ret´ıculo, es un par hL,¬i dondeL

es un ret´ıculo distributivo acotado y¬:L→Les una funci´on unaria satisfaciendo las siguientes condiciones:

N1 ¬0 = 1,

N2 ¬(a∨b) =¬a∧ ¬b.

Observemos que de la definición de la operación de negación obtenemos inme-diatamente que:

a≤b⇔ ¬b≤ ¬a,

en efecto,

(24)

2.1 Definiciones preliminares Ret´ıculos con negaci´on

Ahora vamos a mostrar diversos ejemplos de ret´ıculos con negaci´on.

Ejemplo 2.1. Tal vez el ejemplo más importante de ret´ıculo con negación sean las álgebras de Boole. Recordemos que un álgebra de Boole es un álgebra

hB,∨,∧,¬,0,1i,

tal que:

hB,∨,∧,0,1ies un ret´ıculo distributivo acotado,

¬es una operaci´on unaria que satisface las siguientes condiciones: • a∨ ¬a = 1ya∧ ¬a= 0para todoa∈L.

Se puede demostrar que las siguientes condiciones se satisfacen en toda ´algebra de Boole:

1. ¬0 = 1y¬1 = 0,

2. a∧b= 0si y s´olo sia≤ ¬b, 3. ¬¬a=a,

4. ¬(a∨b) = ¬a∧ ¬b, 5. ¬(a∧b) = ¬a∨ ¬b, 6. ¬¬a∨ ¬a= 1.

Por lo tanto toda ´algebra de Boole es, en particular, un ret´ıculo con negaci´on.

Ejemplo 2.2. Todo conjunto genera un ´algebra de Boole y por lo tanto un ret´ıculo con negaci´on. En efecto, consideremos un conjunto X no vac´ıo y sea P(X) la familia de todos los subconjuntos de X. Si definimos ¬U = X \U, entonces es sencillo comprobar que

hP(X),∪,∩,¬,∅, Xi,

es un álgebra de Boole, llamada el álgebra de Boole de conjuntos o el álgebra de Boole asociada al conjunto X. Para simplificar la notación podemos escribir directamenteP(X).

(25)

Ejemplo 2.3. Unret´ıculo pseudocomplementado, op-´algebra, es un ´algebra hL,∨,∧,¬,0,1i

donde

1. hL,∨,∧,0,1ies un ret´ıculo acotado,

2. ¬ : L → Les una operaci´on unaria definida en Lsatisfaciendo la siguiente condici´on:

a∧b= 0si y s´olo sia≤ ¬b.

Consideremos el ret´ıculo de la siguiente figura.

L

0

a

b c

d e

1

El pseudocomplemento de cualquier ret´ıculo finito se define como sigue ¬a=_{x∈L:x∧a = 0},

entonces

¬a=_{0, b}=b,¬b=_{0, a}=a,

¬c=¬d=¬e=¬1 = _{0}= 0,¬0 =_{a, b, c, d, e,1}= 1,

(26)

Es importante notar que la definici´on del pseudocomplemento de un elemento no depende de la propiedad de distributividad. Es decir, existen ret´ıculos no nece-sariamente distributivos donde todo elemento tiene pseudocomplemento.

Un ejemplo importante dep-álgebra y por lo tanto de ret´ıculo con negación se obtiene a partir de un espacio topológico.

Ejemplo 2.4. Si hX, τies un espacio topol´ogico, entonces es sencillo comprobar que

hτ,∪,∩,∅, Xi

es un ret´ıculo distributivo acotado. Definiendo ¬U = cl(U)c,

para cada abiertoU,entonces

hτ,∪,∩,¬,∅, Xi,

es unap-´algebra. En efecto, seanU, V ∈τ tal que

U ∩V =∅,

tomemos un elementox∈ U, luego por definici´on tenemos quex /∈Cl(V), donde

Cl(V)denota a la clausra deV. es decir,x ∈Cl(V)c, por tantoU ⊆ ¬V. Supon-gamos ahora queU ⊆ ¬V, si existe un elementox ∈U ∩V ⊆ ¬V ∩V entonces

x∈Cl(V)cyx∈V es absurdo.

Ejemplo 2.5. Toda cadena acotada (con 0y 1) es un ¬-ret´ıculo (de hecho es una

p-´algebra). La negaci´on¬se define como

¬a=

  

 

1 sia= 0

0 sia6= 0

.

Ejemplo 2.6. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. Consideremos el ret´ıculo dis-tributivo acotado Id(L) de los ideales de L. Para cada I ∈ Id(L), definimos el conjunto

I∗ ={a∈L:a∧i= 0∀i∈I}.

Entonces

(27)

es unap-´algebra. En efecto, probemos primero queI∗ ∈Id(L), para cada I ideal. Consideremos un ideal arbitrarioI. Es claro que 0∈ I∗, puesi∧0 = 0para todo

i∈I. Seana, b∈Ltales quea≤byb ∈I∗, entonces para todoi∈I i∧b = 0,

luego

i∧a≤i∧b= 0,

lo que implica quea∈I∗. Seana, b∈I∗, entonces por definici´on tenemos que para todoi∈I,i∧a= 0e i∧b = 0. Luego, para todoi∈I

0 = (i∧a)∨(i∧b) = i∧(a∨b),

lo cual obtenemos quea∨b∈I∗. Por lo tanto, concluimos queI∗es efectivamente un ideal.

Supongamos que I1 ZI2 = {0}, entonces I1 ∩I2 = {0}. Queremos ver que

I1 ⊆ I2∗. Sea x ∈ I1 tal que x 6= 0, y sea i ∈ I2. Siendo que x∧i ≤ x ∈ I1 y

x∧i ≤ i∈ I2, obtenemos quex∧i ∈ I1 ∩I2. Luego, por hip´otesisx∧i = 0, es

decir,x ∈ I₂∗. Rec´ıprocamente, supongamos quex ∈ I1∩I2. Usando la hip´otesis,

tenemos que

x∈I1 ∩I2 ⊆I1 ⊆I2∗,

de dondex∧i = 0para todoi ∈ I2. Adem´as, siendo quex ∈ I2 en particular se

cumple que

x=x∧x= 0,

lo que implica quexdebe ser necesariamente el0. Por tantoI1ZI2 ={0}.

Ejemplo 2.7. Todo ret´ıculo completo acotado que satisface la propiedad de distri-butividad infinita:

a∧_{bi:i∈I}=

_

{a∧bi:i∈I},

es un ret´ıculo pseudocomplementado, donde el pseudocomplemento de un elemento

a∈Lse define como

(28)

En efecto, supongamos quea∧b= 0entoncesa∈ {c∈L:c∧b= 0}. Luego

a≤_{c∈L:c∧b = 0}=¬b.

Rec´ıprocamente, supongamos que

a≤ ¬b =_{c∈L:c∧b= 0},

entonces

a∧b≤_{c∈L:c∧b= 0} ∧b= 0.

Ejemplo 2.8. SeaB un ´algebra de Boole. Consideremos el siguiente subconjunto del productoB ×B

B[2] ={(a, b)∈B×B :a≤b}.

Se puede comprobar queB[2]_{es un ret´ıculo distributivo acotado bajo las operaciones}

de ´ınfimo y supremo definidas coordenada a coordenada. Sia≤byc≤d, entonces (a, b)∧(c, d) = 0 ⇔a∧c= 0yb∧d= 0

⇔c≤ ¬ayd≤ ¬b

⇔c≤d≤ ¬b ≤ ¬a.

Por lo tanto, existe el pseudocomplemento del par(a, b)y est´a dado por(a, b)∗ = (¬b,¬b)∈B[2]_{, pues es v´alido que}_¬_b_{≤ ¬}_b_.

Observemos que todos los ret´ıculos mencionados anteriormente son particular-mente álgebras pseudocomplementadas, as´ı pues veamos por último un ejemplo sencillo donde el ret´ıculo sea¬-ret´ıculo pero nop-álgebra.

Ejemplo 2.9. Consideremos el ret´ıculo de la figura.

a

0

b

1

(29)

Veamos que si definimos la negaci´on de la siguiente manera: ¬a =b,¬b =a,¬1 = 0,¬0 = 1,

obtenemos sencillamente un ´algebra de Boole.

En su lugar, definamos una nueva negaci´on,∼, como sigue ∼a=∼b =∼1 = 0, ∼0 = 1.

Es claro ver que cumple condiciones de¬-ret´ıculo, en efecto ∼(a∨b) =∼1 = 0 = 0∧0 =∼a∧ ∼b,

∼(a∨1) =∼1 = 0 = 0∧0 =∼a∧ ∼1,

∼(a∨0) =∼a= 0 = 0∧1 =∼a∧ ∼0,

∼(0∨1) =∼1 = 0 = 1∧0 =∼0∧ ∼1,

y los dem´as casos son similares. Sin embargo, no es unap-´algebra, pues dado que

a∧b= 0,

peroa∼b = 0.

Cabe destacar que para un mismo ret´ıculo se pueden definir varias negaciones u operadores de negación, resultando en ágebras con caracter´ısticas y propiedades completamente diferentes. Por otro lado, este sencillo ejemplo muestra la diversa cantidad de ret´ıculos dotados de una operación de negación que estamos descri-biendo.

Para finalizar, en el pr´oximo ejemplo vamos a necesitar el concepto de compo-sici´on de relaciones e introduciremos los marcos ordenados.

Definición 2.2. Sea hX,≤i un conjunto ordenado y además R ⊆ X × X una relación binaria enX, siendoR(x) ={y∈X :(x, y)∈R}. La composición entre dos relacionesRySsobreX se define como

R◦S ={(x, y)∈X×X:∃z ∈X,(x, z)∈Ry(z, y)∈S}.

Definici´on 2.3. SeahX,≤iun conjunto ordenado y seaR una relaci´on binaria en

(30)

2.2 Teorema de representaci´on Ret´ıculos con negaci´on

la siguiente propiedad:

(≤ ◦R◦ ≤−1₎_⊆_R,

entonces llamaremos a la ternahX,≤, Ri ¬-marco.

Ejemplo 2.10. SeahX,≤, Riun¬-marco. DenotamosU p(X)al conjunto de partes crecientes deX y

¬R(U) ={x∈X:R(x)∩U =∅}.

Entonces

hU p(X),∪,∩,¬R,∅, Xi

es un¬-ret´ıculo. En efecto, veamos que ¬R(U) ∈ U p(X)con U ∈ U p(X). Sea

x∈ ¬R(U)yx≤y, entoncesR(x)∩U =∅. Supongamos quey /∈ ¬R(U), es decir

R(y)∩U 6=∅.

Entonces existe un elemento z ∈ X tal que z ∈ R(y) y z ∈ U. Como x ≤ y, (y, z) ∈ R y z ≤ z, entonces(x, z) ∈ (≤ ◦R◦ ≤−1₎ _⊆ _R_{, por definici´on de}

¬-marco. Siendo tambi´en quez ∈U, entoncesR(x)∩U 6=∅, lo cual es absurdo. Por otro lado,

¬R(∅) = {x∈X:R(x)∩ ∅=∅}=X,

y tambi´en

¬R(U∪V) = {x∈X:R(x)∩(U∪V) = ∅}

={x∈X:(R(x)∩U)∪(R(x)∩V) = ∅}

={x∈X:R(x)∩U =∅} ∩ {x∈X:R(x)∩V =∅} =¬R(U)∩ ¬R(V).

Por lo tanto,hU p(X),¬Ries un¬-ret´ıculo.

2.2. Teorema de representaci´on

Nuestro próximo objetivo es dar un teorema de representación para los ¬-ret´ıcu-los por medio de conjuntos, el cual es uno de ¬-ret´ıcu-los temas principales en cualquier teor´ıa de estructuras. El siguiente Lema es una herramienta fundamental que vamos a aplicar continuamente para desarrollar la teor´ıa de ret´ıculos con negación.

(31)

1. Para cadaP ∈X(L)el conjunto

¬−1(P) ={a∈L:¬a∈P}

es un ideal.

2. Para cadaa∈L,¬a /∈P si y s´olo si existeQ∈X(L)tal que

¬−1(P)∩Q=∅ya∈Q.

Demostraci´on.(1) Veamos que¬−1₍_P₎_{es un ideal con}_P _∈_X₍_L_{). Es f´acil ver que}

0 ∈ ¬−1₍_P_{), dado que}_{¬0 = 1} _∈ _P_{. Sean}_{x, y} _{∈ ¬}−1₍_P_{). Entonces} _¬_x,_¬_y _∈ _P_.

SiendoP filtro, entonces¬x∧ ¬y∈P. Adem´as

¬x∧ ¬y=¬(x∨y),

implica que x∨y ∈ ¬−1₍_P_{). Sea}_x _{∈ ¬}−1₍_P₎ _e _y _≤ _x_{, entonces} _¬_x _{≤ ¬}_y _y,

adem´as,¬x∈P. Por lo tanto,¬y∈P, es decir,y∈ ¬−1₍_P_).

(2) Seaa ∈ Ltal que¬a /∈ P, y consideremos el filtro generado pora, [a). Si

z ∈ [a)∩ ¬−1₍_P₎_entonces_a _≤ _z _y _¬_z _∈ _P_{, es decir,} _¬_z _{≤ ¬}_a _∈ _P _{lo cual es}

absurdo. Luego

[a)∩ ¬−1₍_P_{) =} _∅_,

y por el Teorema del Filtro Primo 1.20, existe unQ∈X(L)tal que¬−1₍_P_)∩_Q₌_∅

y adem´asa∈Q. La rec´ıproca es inmediata.

Ahora, dado un ¬-ret´ıculoL, introduciremos una relaci´on binariaR¬ definida sobre el conjunto de los filtros primos deL. SeaR¬ ⊆X(L)×X(L)dada por

(P, Q)∈R¬ ⇔ ¬−1(P)∩Q=∅.

Lema 2.5. SeaLun¬-ret´ıculo. Entonces se cumple

(⊆ ◦R¬◦ ⊆−1)⊆R¬.

Demostraci´on.Sea(P, D) ∈ (⊆ ◦R¬◦ ⊆−1_{). Entonces existen}_{Q, W} _∈ _X₍_L₎_tal

que

(32)

Veamos que(P, D)∈R¬. ComoP ⊆Qentonces

¬−1(P) = {x∈L:¬x∈P} ⊆ {x∈L:¬x∈Q}=¬−1(Q).

Luego

¬−1₍_P₎_∩_W _{⊆ ¬}−1₍_Q₎_∩_W,

tenemos que(P, W)∈R¬, es decir

¬−1₍_P₎_∩_W ₌_∅_.

Y siendo que D ⊆ W, entonces ¬−1₍_P₎ _∩ _D _{⊆ ¬}−1₍_P₎ _∩ _W_{. Por lo cual,}

(P, D)∈R¬.

Tenemos entonces el¬-marco asociado a L el cual es la estructura algebraica hX(L),⊆, R¬i. Observemos que dado un¬-ret´ıculo, podemos afirmar ahora que, con toda generalidad,

hU p(X(L)),¬Ri

es un¬-ret´ıculo, (ver Ejemplo 2.10). Entonces podemos preguntarnos qué relación hay entre el ret´ıculo L y U p(X(L)), por lo cual tenemos el siguiente teorema de representación.

Definición 2.6. Unhomomorfismo entre¬-ret´ıculoes un homomorfismo de ret´ıcu-los distributivos acotados que además preservan la operación de negación.

Teorema 2.7(de representaci´on). Para cada¬-ret´ıculoLexiste un marcohX,≤, R¬i tal queLes isomorfo a una sub´algebra dehU p(X(L)),¬R¬i.

Demostración.Recordemos que del Teorema de Representación 1.23 sabemos que existe un isomorfismo de ret´ıculos entreLy el conjunto de filtros primos ordenados por la inclusión, siendo la aplicación

σ:L→U p(X(L))

σ(a) = {P ∈X(L):a∈P}.

Bastar´a ver queσ es un homomorfismo de¬-ret´ıculos, es decir, adem´as cumple la siguiente propiedad:

(33)

para cadaa ∈L. Observemos que es equivalente a probar que:

{P ∈X(L):R¬(P)∩σ(a) = ∅}={P ∈X(L):¬a∈P}.

SeaP ∈ X(L)tal que¬a ∈ P, y supongamos que existe unQ ∈ R¬(P)∩σ(a). Entonces¬−1₍_P₎_∩_Q₌_∅_y_a_∈_Q_{, por lo que}_a_{∈ ¬}−1₍_P₎_∩_Q_{, absurdo.}

Rec´ıpro-camente, seaP ∈ X(L)tal que R¬(P)∩σ(a) = ∅y supongamos que¬a /∈ P. Por el Lema 2.4, existe un Q ∈ X(L)tal que ¬−1₍_P₎_∩_Q ₌ _∅ _y_a _∈ _Q_{. Luego}

Q∈R¬(P)∩σ(a), llegando a una contradicci´on.

Ejemplo 2.11. En la siguiente figura se muestra el ret´ıculo distributivoLy el ret´ıcu-lo distributivoU p(X(L)).

L 0

b c

1

X(L)

{[b),[a)}

[a)

σ

∅

a

[a)

[b)

ComoLes un ret´ıculo finito, en particular un ret´ıculo distributivo completo, pode-mos definir la negaci´on como el pseudocomplemento

¬x=_{y ∈L:x∧y = 0}.

Luego

¬a=b,¬b =a,¬c= 0,¬0 = 1,¬1 = 0.

Determinemos la relaci´onR¬. Por un lado, observemos que

(34)

Ahora determinemos los conjuntos

¬−1([a)) ={0, b},¬−1([b)) = {0, a},¬−1([1)) ={0},

y con ello

R¬([a)) ={[1),[a)},R¬([b)) ={[1),[b)},R¬([1)) =X(L).

Observemos queR¬verifica la condici´on

(⊆ ◦R¬◦ ⊆−1)⊆R¬,

en efecto, si consideramos el par([a),[b)) ∈⊆ ◦/ R¬◦ ⊆−1 _{pues cada filtro}_[_a₎_y_[_b₎

son maximales y([a),[b))∈/ R¬. De manera an´aloga concluimos que([b),[a))∈⊆/

◦R¬◦ ⊆−1 _._{Para los dem´as pares consideramos el mayor filtro, y siendo reflexiva}

R¬ obtenemos que

([a),[a))∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1_∈_R

¬ ,([a),[1)) ∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1∈R¬ , ([b),[b))∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1_∈_R

¬ ,([b),[1))∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1∈R¬,

([1),[a))∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1∈R¬ ,([1),[b))∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1∈R¬,([1),[1))∈⊆ ◦R¬◦ ⊆−1∈R¬. Ahora utilicemos el Teorema de representaci´on 2.7 para determinar una nueva

ne-gación en nuestro ret´ıculo. Para ello definimos una relaciónS∼tal que cumple con la condición

(⊆ ◦S∼◦ ⊆−1₎_⊆_S

∼.

Si consideramos el siguiente subconjunto deX(L)×X(L)como sigue

S∼([a)) =X(L),S∼([b)) =X(L),S∼([1)) =X(L),

no es dif´ıcil ver que lo cumple, pues S∼ = X(L) ×X(L). Por lo que se sigue, usando el Teorema de Representaci´on 2.7,

σ(∼a) =∼R σ(a) = ∅=σ(0),

σ(∼b) =∼R σ(b) =∅=σ(0),

σ(∼c) =∼R σ(c) =∅=σ(0),

(35)

2.3 Representación y dualidad topológica Ret´ıculos con negación

σ(∼0) =∼R σ(0) =X(L) =σ(1),

entonces la negaci´on queda definida como sigue

∼a=∼b=∼c=∼1 = 0, ∼0 = 1,

lo cual obtenemos un ¬-ret´ıculo, y adem´as no es p-´algebra pues a∧b = 0 pero

a∼b= 0.

2.3. Representaci´on y dualidad topol´ogica

El objetivo de esta sección es mostrar una representación topológica para los ret´ıculos con negación, y algunas de sus propiedades. Pero antes vamos a recordar los conceptos necesarios sobre la dualidad de Priestley. Una ampliación sobre de la teor´ıa de la dualidad de Priestley puede encontrarse en [9].

Definición 2.8. Un espacio topológico disconexo en el orden es un triplehX,≤, τi tal que hX,≤i es un conjunto ordenado, hX, τi un espacio topológico y dados

x, y ∈ X tal que x y entonces existe un conjunto abierto-cerrado creciente U

tal quex∈U yy /∈U. Unespacio de Priestleyes un espacio topol´ogico disconexo compacto.

Observemos que de la definici´on se obtiene que:

Si hX,≤, τi es un espacio de Priestley finito, entonces la topolog´ıa es la discreta. Para cadax∈X,{x}es cerrado.

Si hX,≤, τi es un espacio de Priestley, el conjunto de todos los abierto-cerrado crecientes deX se denota porD(X). Siendo

hD(X),∩,∪,∅, Xi

(36)

Proposici´on 2.9. Sea hX,≤, τiun espacio de Priestley, entonces la colecci´on de

los abiertos-cerrados crecientes juntos con sus complementos, es decir

D(X)∪D(X)c

es una subbase para la topolog´ıaτ.

De esta forma, se deduce de la proposici´on anterior que los abiertos-cerrados crecientes forman una base para los abiertos crecientes o cerrados crecientes. Por tanto, en todo espacio de Priestley la colecci´on de los conjuntos de la forma

B ={U ∩Vc:U, V ∈D(X)}

es una base para la topolog´ıa. Se pueden obtener propiedades de un espacio de Priestley como enunciamos en la siguiente proposici´on.

Proposici´on 2.10. SeahX,≤, τiun espacio de Priestley eY ⊆X:

1. Si Y es cerrado decreciente y x /∈ Y, existe U ∈ D(X) tal que x ∈ U y

Y ∩U =∅.

2. Si Y es cerrado creciente y x /∈ Y, existe U ∈ D(X)c _{tal que} _x _∈ _U _y

Y ∩U =∅.

3. x≤ysi y s´olo si para cadaU ∈D(X)tal quex∈U,y∈U.

4. Si Y ⊆ X es cerrado decreciente yx /∈ Y, entonces existe unU ∈ D(X)c tal queY ⊆U yx /∈U.

5. Si Y, Z ⊆ X son cerrados disjuntos, el primero decreciente y el segundo

creciente, entonces existeU ∈D(X)ctal queY ⊆U yZ ∩U =∅.

6. SiY ⊆ X es cerrado creciente yx /∈ Y, existeU ∈D(X)tal queY ⊆ U y

x /∈U.

7. Para cadaF ⊆X cerrado,(F]y[F)son cerrados.

8. Para cadax∈X,(x]y[x)son cerrados.

9. Si Y es cerrado, entonces para cadax ∈Y existe uny ∈ Y elemento

(37)

Hemos dicho que todo espacio de PriestleyX tiene asociado un ret´ıculo distri-butivo acotadoD(X). Ahora, todo ret´ıculo distributivo acotadoLtiene a su vez un espacio de Priestey asociado, tal espacio se construye definiendo en el conjunto de filtros primosX(L)una topol´ogica,τL, de tal forma que la ternahX(L),⊆, τLisea

un espacio de Priestley. Para ello consideremos la topolog´ıaτL sobreX(L)

deter-minada por la subbase

SL ={σ(a):a∈L} ∪ {σ(a)c:a ∈L},

del cual tenemos el resultado siguiente.

Teorema 2.11. El espacio topol´ogico ordenado X(L) = hX(L),⊆, τLies un

es-pacio de Priestley.

De esta manerahX(L),⊆, τLise dice que es elespacio dualdeL, y lo

denota-mos simplemente comoX(L). Naturalmente podemos preguntarnos qué conexión existe entreLyD(X(L)), y también, entreXyX(D(X)). En el primer caso,Les isomorfo aD(X(L))y apelando al Teorema de Representación 2.7 que afirma que

Les isomorfo aσ(L) = {σ(a):a ∈ L}, se prueba queσ(L)es justamente el dual deX(L), es decir,

σ(L) = D(X(L)).

En el segundo caso, tenemos queX yX(D(X))son homeomorfos como espacios topol´ogicos e isomorfos como conjuntos ordenados.

Proposici´on 2.12. SiLes un ret´ıculo distributivo acotado, entonces

D(X(L)) ={σ(a):a∈L},

y

D(X(L))c ={σ(a)c:a∈L},

Teorema 2.13. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado y seahX(L),⊆, τLisu

espa-cio de Priestley. Entonces

σ:L→D(X(L))

σ(a) ={P ∈X(L):a∈P},

(38)

Teorema 2.14. SeaX =hX,≤, τiun espacio de Priestley. EntoncesXyX(D(X))

son isomorfos como conjuntos ordenados y homeomorfos como espacios topol´ogi-cos mediante la funci´on

FX :X →X(D(X))

dado por

FX(x) ={U ∈D(X):x∈U}.

Ya tenemos la teor´ıa necesaria de la dualidad de Priestley. Ahora sea L un ¬-ret´ıculo, consideremos

Σ(L) =hX(L), R¬i

y

Γ(Σ(L)) = hD(X(L)),∪,∩,¬R¬,∅, X(L)i,

donde¬R¬σ(a) ={P ∈X(L):R¬(P)∩σ(a) =∅}. Entonces, por los resultados

del Teorema de Representaci´on 2.7 y del Teorema 2.13, obtenemos inmediatamente que:

Teorema 2.15(de Representaci´on). SeaLun¬-ret´ıculo. EntoncesΓ(Σ(L))es un ¬-ret´ıculo y la aplicaci´onσ :L→Γ(Σ(L))es un isomorfismo de ret´ıculos.

Nos proponemos definir el dual de un¬-ret´ıculo. Observemos que, en lugar de trabajar con ret´ıculos distributivos, lo hemos hecho con ret´ıculos con una opera-ción adicional, esto nos lleva a definir un nuevo espacio denominado el espacio de negación es un espacio de Priestley dotado de una relación binaria.

Definición 2.16. Un¬-espacio o espacio de negaciónes un parhX, Ri, dondeXes un espacio de Priestley yRes una relación binaria definida sobreXtal que cumple las siguientes condiciones:

1. Para todox∈X,R(x)es un subconjunto cerrado y decreciente deX. 2. Para todoU ∈D(X),¬R(U) ={x∈X:R(x)∩U =∅} ∈D(X).

Lema 2.17. SeahX, Riun¬-espacio. Six≤yentoncesR(y)⊆R(x).

Demostraci´on.Supongamos queR(y)_*R(x), entonces existe un elementoz ∈X

tal quez ∈R(y)yz /∈R(x). Por la Proposici´on 2.10, siendoR(x)un subconjunto decreciente, existe unU ∈D(X)tal que

(39)

lo que implica quex ∈ ¬R(U). Por serhX, Riun¬-espacio, ¬R(U)es creciente e

y∈ ¬R(U), entoncesU ∩R(y) =∅. Peroz ∈R(y)∩U por lo que es absurdo.

El Lema anterior nos dice que la relaci´on binariaR de todo¬-espacio cumple la propiedad de antimonoton´ıa.

Lema 2.18. SihX, Ries un¬-espacio, entonces

(≤ ◦R◦ ≤−1)⊆R.

Demostraci´on.Sea(x, y)∈(≤ ◦R◦ ≤−1_{). Entonces existen}_{w, z}_∈_X _{tal que}

x≤w,(w, z)∈R,y ≤z.

Supongamos que(x, y) ∈/ R, es decir,y /∈ R(x). ComoR(x) es cerrado y decre-ciente, por la Proposici´on 2.10, existeU ∈D(x)tal que

R(x)∩U =∅ey∈U.

Siendo quex≤w, por antimonoton´ıa deR,R(w)⊆R(x). Entonces

R(w)∩U =∅,

es decir,w ∈ ¬R(U). Pero como y ≤ z, z ∈ U, llegamos a un absurdo dado que

por hip´otesisz ∈R(w).

En otras palabras, la definici´on de ¬-espacio exige que la relaci´on binaria R

cumpla la condici´on(≤ ◦R◦ ≤−1₎ _⊆ _R _{, donde esta misma la cumple la relaci´on}

definida en el dual de un¬-ret´ıculo como hemos visto. En virtud de la definici´on de un¬-espacio, condici´on (2), se obtiene el¬-ret´ıculo asociado ahX, Ricomo

Γ(X) =hD(X),∪,∩,¬R,∅, Xi.

DenotamosRD a la relaci´on definida sobreX(D(X))por medio del operador¬R,

es decir,

(FX(x), FX(y))∈RD ⇔ ¬R−1(FX(x))∩FX(y) =∅.

Tambi´en, denotamos conM ax(Y)al conjunto de elementos maximales deY.

(40)

relaci´on binaria definida enX tal que:

¬R(U)∈D(X),

para todoU ∈D(X). Entonces son equivalentes:

1. R(x)es subconjunto cerrado y decreciente enX.

2. Si(FX(x), FX(y))∈RD entonces(x, y)∈R.

Demostraci´on.(1) ⇒ (2)Seanx, y ∈ X tal que(FX(x), FX(y)) ∈ RD y

supon-gamos que (x, y) ∈/ R, es decir, y /∈ R(x). Siendo que R(x) es un subconjunto cerrado y decreciente por la Proposici´on 2.10, existeU ∈D(x)tal que

y∈U yR(x)∩U =∅,

es equivalente a

U ∈FX(y)yx∈ ¬R(U).

Luego¬R(U)∈FX(x), es decir,U ∈ ¬−_R1(FX(x)). Por lo tanto,

U ∈ ¬−1

R (FX(x))∩FX(y),

es decir,(FX(x), FX(y))∈/ RD lo cual es absurdo.

(2) ⇒(1)Supongamos queR(x)no es cerrado, entonces existey ∈X tal que

y∈Cl(R(x))yy /∈R(x).

Luego por hip´otesis obtenemos que (FX(x), FX(y)) ∈/ RD, por lo que existe un

U ∈D(X)tal que

x∈ ¬−_R1(U)yy∈U,

es decir,R(x)∩U =∅. Siendo quey∈U, entonces se contradice con el hecho que

y∈Cl(R(x))y quedar´ıaR(x)∩U 6=∅.

Esta proposición da un mejor sentido para la definición de ¬-espacio, siendo que la relación enX(D(X))está ligada a la relación deX.

Teorema 2.20. SeahL,¬iun¬-ret´ıculo. Entonces el par Σ(L) = hX(L), R¬ies

(41)

Demostraci´on. Veamos que R¬(P) es cerrado y decreciente en X(L), con P un filtro primo. SeaV ∈R¬(P)yW ⊆V,

¬−1(P)∩W ⊆ ¬−1(P)∩V =∅,

entoncesW ∈R¬(P), es decir,R¬(P)es decreciente. Por otro lado, veamos que si

Q /∈R¬(P)entonces existe una∈ ¬−1₍_P₎_∩_Q._Luego,

a∈ ¬−1(P)ya∈Q,

y, por definici´on,a ∈ ¬−1₍_P₎ _{⇔ ¬}_a _∈ _P_{. Luego} _P _∈ _σ_(¬_a_{). Por el Teorema de}

representaci´on 2.15,

P ∈σ(¬a) = ¬R¬(σ(a)),

y entonces

R¬(P)∩σ(a) =∅.

Luego siendo queQ ∈ σ(a)y R¬(P)∩σ(a) = ∅, entoncesQ /∈ Cl(R¬(P)). Se concluye queR¬(P) =Cl(R¬(P)), es decir,R¬(P)es cerrado.

Veamos que siU ∈D(X(L)), tenemos que¬R¬(U)∈D(X(L)). Nuevamente,

por el Teorema de representaci´on 2.15, siU ∈ D(X(L))entonces existea ∈Ltal queσ(a) =U. Teniendo en cuenta queσes un isomorfismo de ret´ıculo

¬R¬(U) =¬R¬(σ(a)) =σ(¬a)∈D(X).

Definici´on 2.21. SeanhX, RXiehY, RYidos¬-espacios. Una funci´onf :X →Y

se llama¬-morfismosif es continua, mon´otona y cumple las siguientes condicio-nes:

1. Para todox, y ∈X, si(x, y)∈RX entonces(f(x), f(y))∈RY.

2. Si(f(x), y)∈RY, entonces existe un elementoz ∈X tal que(x, z)∈RX y

y≤f(z).

Probaremos a continuación que la noción de homomorfismo entre ¬-ret´ıculos se corresponde dualmente con la noción de¬-morfismo.

(42)

función continua y monótona. Entonces la función

Γf : Γ(Y)→Γ(X)

Γf(U) = f−1(U),

para todoU ∈D(X)es un homomorfismo de¬-ret´ıculo si y s´olo sif es un

morfis-mo de¬-espacio.

Demostraci´on. (⇒) Sea y ∈ RY(f(x)). Supongamos que para todo elemento

ztal quez ∈ RX(x)implica quey f(z). Por propiedad de espacio de Priestley,

Y es disconexo en el orden, por tanto existe unUz ∈D(Y) tal que

y∈Uzyf(z)∈/ Uz,

es decir, z /∈ f−1(Uz) o de otra forma z ∈ f−1(Uz)c. Dado que f es continua

f−1(Uz)c, es un abierto que contiene a z. Entonces podemos tomar el siguiente

cubrimiento

RX(x)⊆

[

z∈RX(x)

f−1(Uz)c,

siendoRX(x)compacto, dado queRX(x)es cerrado yX compacto. Entonces por

compacidad existenU1...Un∈D(Y)tal que

RX(x) ⊆f−1(U1)c∪...∪f−1(Un)c

= (f−1(U1)∩...∩f−1(Un))c

=f−1(U1∩...∩Un)c.

LlamandoU =U1∩...∩Un, obtenemos

RX(x)⊆f−1(U)c.

Adem´as tenemos queU ∈D(Y)ey∈U. Por otro lado,

RX(x)⊆X\f−1(U)cony∈U,

RX(x)∩f−1(U) =∅,

x∈ ¬R(f−1(U)).

SiendoΓes homomorfismo de¬-ret´ıculos,

(43)

Entonces

x∈f−1(¬R(U)),

f(x)∈ ¬R(U),

RY(f(x))∩U =∅,

pero es absurdo puesy∈RY(f(x))∩U.

Sean x, y ∈ X, tal que y ∈ RX(x) y supongamos que f(y) ∈/ RY(f(x)).

Entoncesf(y) ∈ RY(f(x))cyRY(f(x))ces abierto. Siendo quef es una funci´on

continua,y∈RX(x)clo cual es un absurdo.

(⇐)Comof es continua y mon´otona, para ver que Γes un ¬-homomorfismo de ret´ıculos bastar´a probar que

f−1(¬RU) = ¬RXf

−1

(U) ∀U ∈D(Y),

que es equivalente con

{x∈X :f(x)∈ ¬R(U)}=

x∈X:RX(x)∩f−1(U) =∅ .

As´ı,

RY(f(x))∩U =∅ ⇔ RX(x)∩f−1(U) =∅ ∀U ∈D(Y).

Sea RY(f(x))∩ U = ∅ con U ∈ D(Y). Supongamos que existe z ∈ RX(x)∩

f−1₍_U_{). Entonces}

z ∈RX(x)yf(z)∈U,

y siendo quef un¬-morfismo,

f(z)∈RY(f(x))yf(z)∈U.

En suma, tenemos quef(z)∈RY(f(x))∩U lo cual es absurdo.

Sea RX(x)∩f−1(U) = ∅ y supongamos que existe un z ∈ RY(f(x))∩U.

Entonces

z ∈RY(f(x))yz ∈U,

y siendof un¬-morfismo, existey∈Xque cumple que

(44)

comoU es creciente yf es mon´otono, se sigue que

y∈RX(x)∩f−1(U)

lo cual nuevamente llegamos a una contradicci´on.

Dado un¬-espaciohX, Ri, hemos visto que al dotar a la familia de los conjun-tos abierconjun-tos-cerrados crecientesD(X) de las operaciones de intersección y unión y una negación¬Rse obtiene un¬-ret´ıculo. Naturalemente podemos preguntarnos

cúal es la relación entre los espacios de negaciónXyΣ(Γ(X))).

Teorema 2.23. SeahX, Riun¬-espacio. Entonces la funci´onFX :X →X(D(X))

es un isomorfismo de¬-espacio.

Demostraci´on.Sabemos que por el Teorema 2.14FX es un isomorfismo de orden

y un homeomorfismo de espacios de Priestley, falta ver que (x, y)∈R⇔(FX(x), FX(y))∈RD,

para probar queFX es efectivamente un ¬-isomorfismo. Seay ∈ R(x).

Suponga-mos que existe unU ∈ ¬−1

R (FX(x))∩FX(y). Entonces

¬R(U)∈FX(x)yy ∈U

implica que

x∈ ¬R(U)yy ∈U,

luego R(x)∩ U = ∅, pero y ∈ R(x) ∩U lo que es un absurdo. Supongamos que (FX(x), FX(y)) ∈ RD. Por la Proposici´on 2.19 obtenemos directamente que

(x, y)∈R.

(45)

2.4 Congruencias Ret´ıculos con negaci´on

2.4. Congruencias

Una de las aplicaciones más importantes que tiene la dualidad de Priestley es que permite caracterizar topológicamente las congruencias de un ret´ıculo distribu-tivo acotado. Esta caracterización es muy importante y ha tenido un fuerte impacto no solo en la teor´ıa de ret´ıculos distributivos acotados sino también en la teor´ıa de los ret´ıculos distributivos con operaciones adicionales. En esta sección se pretende llevar estos resultados al caso de los¬-espacio, generalizando los resultados cono-cidos de Priestley.

SeaLun ret´ıculo distributivo acotado yX(L)su espacio de Priestley. Dado un conjunto cerradoY ⊆X(L)definimos la relaci´on binaria :

(a, b)∈Θ(Y) ⇔σL(a)∩Y =σL(b)∩Y.

Esta relaci´on es una congruencia puesto que es el n´ucleo del homomorfismo

f :L→D(Y)

definido por

f(a) = σL(a)∩Y.

Por otro lado, denotamos aC(X)como el conjunto de los cerrados deX, siendoX

un espacio topol´ogico. Se comprueba f´acilmente que hC(X),⊆,∩,∪,∅, Xi

es un ret´ıculo distributivo acotado. DenotamosC(X) = hC(X),⊆,∩,∪,∅, Xi. El pr´oximo resultado de la teor´ıa de Priestley nos dice que toda congruencia de un ret´ıculo distributivo acotado tiene asociado un ´unico cerrado del espacio dual.

Teorema 2.24. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. Entonces la funci´on

f :C(X(L))→Con(L)

f(Y) = Θ(Y)

es un isomorfismo entre el ret´ıculo de los subconjuntos cerradoC(X(L))y el ret´ıcu-loCon(L).

(46)

una propiedad adicional definida como sigue.

Definici´on 2.25. Sea hX, Ri un ¬-espacio. Un subconjuntoY ⊆ X se llama R -saturadosi para todox∈Y,M axR(x)⊆Y.

Entonces denotamos porCR(X(L))al ret´ıculo de los subconjuntosR-saturados

y cerrados deX(L).

Definici´on 2.26. SeaLun¬-ret´ıculo. Una¬-congruenciaenLes un congruencia de ret´ıculo que satisface que para cada par(a, b)∈Θ:

(¬a,¬b)∈Θ.

Teorema 2.27. SeahL,¬iun¬-ret´ıculo yR =R¬. Entonces la correspondencia

Θ :CR(X(L))→Con(L,¬)

Θ(Y) ={(a, b)∈L×L:σ(a)∩Y =σ(b)∩Y},

establece un anti-isomorfismo.

Demostraci´on.Sea(a, b) ∈ Θ(Y)y supongamos que existe unP ∈ X(L)tal que

P ∈σ(¬a)∩Y y P /∈σ(¬b)∩Y. Entonces

¬a∈P ,¬b /∈P yP ∈Y.

Por Lema 2.4, existe unQ∈X(L)cumpliendo que

b∈QyQ∈R(P).

Ahora sabiendo queR(P)es cerrado, por Proposici´on 2.10, existe unW ∈X(L)tal que

Q⊆W yW ∈M ax R(P).

ComoY es R-saturado y P ∈ Y, entonces W ∈ Y. De esta manera, obtenemos que

W ∈σ(b)∩Y =σ(a)∩Y,

entoncesa ∈ W. Siendo que¬a ∈ P y(P, W) ∈ R, debe sera /∈ W que es una contradicci´on. Por tanto debe ser que P ∈σ(¬b)∩Y.

Supongamos que θ ∈ Con(L,¬) e Y un subconjunto cerrado de X(L). Sea

(47)

queQ /∈Y. ComoY es cerrado,

Q∈Yc= [

(a,b)∈L×L

(σ(a)∩σ(b)c).

Luego, por definici´on, existea ∈Qyb /∈Qtal que

Q∈σ(a)∩σ(b)c⊆Yc.

Adem´as

σ(a)∩σ(b)c∩Y =∅implicaσ(a)∩Y =σ(a)∩σ(b)∩Y =σ(a∧b)∩Y,

y luego(a, a∧b) ∈ Θ. ComoQ ∈ M ax R(P)entonces [Q∪ {b}) ∈/ R¬(P), es decir existe un elementoz ∈Ltal quez ∈[Q∪ {b})∩ ¬−1₍_P_{). Se sigue que}_z _∈_Q

y¬(z∧b)∈P. Como

(a, a∧b)∈Θ,

por serΘuna congruencia, se cumple

(a∧z, a∧b∧z)∈Θ

y

(¬(a∧z),¬(a∧b∧z))∈Θ,

pero¬(b∧z)≤ ¬(a∧b∧z)∈P, ya∧z ≤z /∈Q, lo que es absurdo. Por lo tanto,

Y esR-saturado.

Veamos mediante un ejemplo sencillo c´omo se obtiene la correspondencia un´ıvo-ca entre las¬-congruencias y los cerradosR-saturados.

Ejemplo 2.12. Consideremos el siguiente ret´ıculo distributivo con la negaci´on de-finida como el seudocomplemento

(48)

a

0

b c

1

L

Observemos que el conjunto de filtros primos esta dado por

X(L) = {[a),[b),[1)}.

L

0

b c

a

1

[a) _[_b₎

[1)

X(L)

(49)

X(L), es decir,

C(X(L)) ={∅,[a),[b),[1),{[a),[b)},{[a),[1)},{[b),[1)},X(L)}.

Luego observemos que

R([a)) = {[a),[1)},R([b)) = {[b),[1)},R([1)) =X(L) lo que podemos definir a los cerradosR-saturados como

CR(X(L)) ={∅,[a),[b),{[a),[b)},X(L)}.

Tomemos por ejemplo, el conjunto[a)y veamos cu´al es la ¬-congruencia que le corresponde. Por definici´on,

Θ([a)) ={(0,0),(a, a),(b, b),(c, c),(1,1),(1, a), (a,1),(1, c),(c,1),(a, c),(c, a),(b,0),(0, b)}

lo que nos genera la siguiente partici´on del conjunto, con sus respectivas clases de equivalencias.

0

b c

a

1

b

Θ

Θ 1

b

Θ

={a, c,1}

={0, b}

Es fácil de ver que es una¬-congruencia, y única por construcción.

(50)

2.5 Sub´algebras Ret´ıculos con negaci´on

[a)por medio de la definici´on

YΘ([a)) ={π−1(P):P ∈X(L/Θ)}.

Siendo queX(L/Θ) ={[1Θ)}, entonces

YΘ([a)) = [a).

2.5. Sub´algebras

En esta sección vamos a estudiar las relaciones asociadas a las subálgebras de un ret´ıculo con negación describiendo sus propiedades. Recordemos más resultados de los espacios de Priestley.

Definici´on 2.28. SeahL,¬iun¬-ret´ıculo. Decimos que el subconjuntoM ⊆ Les unasub´algebrasi:

1. M es un(0,1)-subret´ıculo deL. 2. Para cadaa∈M,¬a∈M.

Definici´on 2.29. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado y seaM un(0, 1)-subret´ıcu-lo. Definimos

RM ={(P, Q)∈X(L)×X(L):Q∩M ⊆P},

y paraR⊆X(L)×X(L)podemos definir

MR={U ∈D(X(L)):R−1(U)⊆U}.

Observemos que la relaci´onRM es un preorden reticular, es decir, la relaci´on

es reflexiva, transitiva y satisface que siP, Q∈ X(L)tal que(P, Q) ∈/ RM, existe

unU ∈MRtal queP ∈U yQ /∈U. Es f´acil ver que la colecci´on de las relaciones

de preorden reticulares de un espacio de Priestley ordenado por la inclusi´on, forma un ret´ıculo completo cuyo ´ınfimo es la intersecci´on.

(51)

En otras palabras,MRes un(0,1)-subret´ıculo deD(X(L)), lo cual nos afirma

que la correspondencia

M 7→RM

establece un anti-isomorfismo entre el ret´ıculo de los(0,1)-subret´ıculos en Ly las relaciones de preorden definidas enX(L).

Ahora vamos a extender este resultado a los ret´ıculos con negaci´on.

Teorema 2.31. SeahL,¬iun¬-ret´ıculo y seaM un(0,1)-subret´ıculo deL. Enton-ces son equivalentes:

1. M es sub´algebra.

2. R−_M1◦R¬ ⊆R¬◦RM.

Demostraci´on.(1) ⇒ (2)Sea(P, D) ∈ R_M−1 ◦R¬, entonces existeQ ∈ X(L)tal que

(P, Q)∈R−_M1 y(Q, D)∈R¬. Luego

P ∩M ⊆Qy¬−1₍_Q₎_∩_D₌_∅_.

Consideremos el filtro generado porD∩M,[D∩M). Veamos que [D∩M)∩ ¬−1₍_P_{) =}_∅_.

Si suponemos que existe un elemento tal que z ∈ [D ∩ M) y z ∈ ¬−1₍_P_),

entonces existea ∈ D∩M tal quea ≤ z y¬z ∈ P y con ello¬z ≤ ¬a ∈ P. ComoM es sub´algebra,¬a∈M. Luego

¬a∈M ∩P ⊆Q,

lo cual es una contradicci´on, pues a ∈ ¬−1₍_Q₎_∩_D _{. Luego, siendo} _¬−1₍_P₎ _un

ideal, por el Teorema del Filtro Primo 1.20 existe un filtro primoZtal que [D∩M)⊆Z y¬−1₍_P₎_∩_Z ₌_∅_.

Se sigue que

D∩M ⊆Z y(P, Z)∈R¬ y con ello obtenemos que(P, D)∈R¬◦RM.

(52)

existez ∈[[¬a)∩M)∩(¬a], entonces existeb ∈[¬a)∩M cumpliendo

b≤z yz ≤ ¬a,

entonces

b∈M y¬a≤b≤z ≤ ¬a.

Luego obtenemos que¬a =b ∈M lo cual es absurdo. Entonces concluimos que [[¬a)∩M)∩(¬a] =∅.

Por el Teorema del Filtro Primo 1.20, existeP ∈X(L)tal que [[¬a)∩M)⊆P y¬a /∈P,

y por Lema 2.4 existeQ∈X(L)tal que

(P, Q)∈R¬ ya ∈Q.

Consideremos ahora(Pc_∩_M_{]. Supongamos que existe un elemento}

z ∈[¬a)∩(Pc∩M].

Entonces existe un elementob∈Pc_∩_M _{tal que}

¬a≤zyz ≤b,

y con ello obtenemos que¬a≤b. Entoncesb∈[¬a)∩M ⊆P, lo cual es absurdo dado queb ∈ Pc_{. Luego} _[¬_a₎_∩₍_Pc_∩_M_{] =} _∅_{y, nuevamente por el Teorema del}

Filtro Primo 1.20, existeD∈X(L)tal que

(Pc∩M]∩D=∅y[¬a)⊆D,

es decir,

Pc∩(M ∩D) =∅y¬a∈D.

Finalmente, obtenemos que

(D, Q)∈R−_M1◦R¬ ⊆R¬◦RM.

(53)

(D, Z)∈R¬ y(Z, Q)∈RM

y por definici´on equivale a¬−1₍_D₎_∩_Z ₌ _∅_y_Q_∩_M _⊆ _Z_{, pero es absurdo pues}

a∈Q∩M ⊆Z. Luegoa∈ ¬−1₍_D₎_∩_Z_.

Corolario 2.32. SeahL,¬iun¬-ret´ıculo. La correspondenciaM →RM establece

un anti-isomorfismo de ret´ıculos entre las sub´algebras de L sobre el ret´ıculo de preorden reticulados deX(L)tal queR−_M1◦R¬ ⊆R¬◦RM .

Ejemplo 2.13. Consideremos el siguiente ret´ıculo distributivo pseudocomplemen-tado

L a

b

0

d e

c

1

[a)

[b)

[d) _[_e₎

X(L)

(54)

M a

b

0

c

1

Veamos cómo dada la subálgebraM determina una relación de preorden reticu-lar. Por definición,RM ={(P, Q)∈X(L):Q∩M ⊆P}, entonces

RM([a)) = {[a),[d),[e)},

RM([b)) ={[b),[d),[e)},

RM([d)) = {[d),[e)},

RM([e)) ={[d),[e)}.

ClaramenteRM es reflexiva y transitiva. Si tomamos, por ejemplo, el par ([e),[b))

que no pertenece al conjuntoRM entonces tenemos queR−1([b)) = {[b)} ⊆ {[b)}

y{[e)}_*{[b)}.

Ahora, dada la relaci´on de preorden reticular, RM, determinemos MRM. Por

definici´onMR={U ∈D(X(L)):R−1(U)⊆U}, entonces:

R−1(∅) = ∅ ⊆ ∅,

R−1([a)) = {[a)} ⊆ {[a)}, R−1([b)) = {[b)} ⊆ {[b)},

R−1([a),[b)) = {[a),[b)} ⊆ {[a),[b)},

R−1([a),[b),[d)) = {[a),[b),[e)}_*{[a),[b),[d)}, R−1([a),[b),[e)) = {[a),[b),[d)}_*{[a),[b),[e)},

R−1(X(L)) = X(L)⊆X(L),

por lo tanto nos queda que

(55)

y por medio del Teorema de Representaci´on 2.15 afirmamos que MRM es