Guía-taller N°2 Mat 8° -2020-1P Q-Q'.pd

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Cod: ____ Grado: 8° ____fecha de entrega: Marzo 2 - 2020 - 1

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Guía-Taller #2. Matemáticas

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Fecha en la que entrega

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El estudio debe ser tan intenso, que el examen parezca un descanso

Jorge Saldarriaga

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Tópico generativo: ¿Qué es un número Racional?, ¿Qué es un número Irracional?, ¿Qué es una fracción generatriz?

Hilo conductor: ¿Cómo se opera con los números racionales? ¿Cómo se pueden representar los números racionales e irracionales?

Meta de comprensión: Los estudiantes comprenderán el concepto de número racional e irracional.

Evaluación diagnóstica continua: Cada puesta en común que el estudiante o grupo de estudiantes haga frente a sus compañeros y/o el docente será aprovechadas para fortalecer los niveles de comprensión en aras de que los estudiantes desarrolle adecuadamente la guía-taller y alcancen las metas comprensión.

Fase 1. Exploración:

¿Qué es un número racional? ¿Qué es un número irracional? ¿Cómo se operan con cantidades racionales variables?

Fase 2: Investigación guiada.

Antes de iniciar el trabajo de la presente guía-taller, te recomendaría que vieras ver los siguiente vídeos

https://www.youtube.com/watch?v=x9Pp1rIrYsk https://www.youtube.com/watch?v=WDhBucN3ero

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Concepto Definición Ejemplo

¿Q

ué

son

lo

s

nú

m

er

os

na

tur

al

es

y

com

o

se

re

pr

es

en

ta

n?

¿C

uá

le

s

son

la

s

P

ro

pi

ed

ade

s

de

la

sum

a

en

N

?

¿Cuál es el módulo de la

multiplicación y la división?

¿Q

ué

son

lo

s

nú

m

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en

te

ro

s

y

com

o

se

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pr

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son

la

s

P

ro

pi

ed

ade

s

de

la

sum

a

en

Z

?

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Números racionales “Q”

Los números Racionales, también llamados números quebrados o fraccionarios son aquellos número de la forma

. Para nombrarlos se utiliza la letra mayúscula Q

Representación: los números

Q

se pueden representar de 3 formas:

i. Conjunto numérico.

   



_{     }

 ,...,

4 4 , 3 3 , 2 2 , 1 1 , 0 , 1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 ,.. Q

ii. Diagrama de ven

iii. Recta numérica.

Fracción

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominado:

r denominado

numerador

. los denominadores indican las partes en que se ha dividido la unidad, y el numerador las que se han tomado de esa unidad dividida.

Tipos Fracciones. Existen dos tipos de fracciones: Propias e impropias.

Las fracciones propios son aquellos cuyo numerador es menor que el denominador.

Las fracciones impropias son aquellos fraccionarios cuyo numerador es mayor que el denominador.

Representación de una fracción “Q” Las fracciones se pueden representar gráficamente, utilizando rectángulos, círculos o cualquier otra figura que permita hacer divisiones iguales de ella.

Ejemplo 1, representación de una fracción en forma gráfica utilizando rectángulos.

Ejemplo 2, representación de una fracción en forma gráfica utilizando circulos.

O en la recta numérica.

Ejemplo 2, representación de una fracción en la recta numérica

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4 En resumen una fracción se puede

representar:

• escrita.

• gráfica.

• numérica.

• en la recta numérica.

Ejemplo.

Clasificación de los Q

Los racionales pueden ser Homogéneos y Heterogéneos.

Homogéneos cuando tienen el mimos denominador

Ejemplo

34 42 , 34 17 , 34

4 , 34

2

 

. Solución

34 42 < 34 17 < 34

2 < 34

4 

Heterogéneos cuando tienen diferente denominador

Ejemplo

13 42 , 8 17 , 3 4 , 4

2 _{ }

Simplificación y amplificación de un “Q”

i. Para simplificar una racional, se

divide el numerador y el denominador por su m.c.d

Ejemplo.

76 24

el m.c.d es 4. Esto implique que se divide el 24 entre 4 y el 76 entre 4, quedando

19 6 76 24



También pudo haberse hecho

simplificaciones sucesivas en numerador y el denominado, hasta que ya no se pudiera simplificar por la misma cantidad en ellos

ii. Amplificar una racional es

multiplicar el numerador y el denominador por el mismo valor Ejemplo 4.

Amplificar 3 8

por (4) Solución:

12 32 4 3

4 8 3 8

   

12 32 3 8_ 

Nota: el simbol matemático



en

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5 Orden en “Q”

Existen diversas maneras de

establecer el orden de dos o más fracciones. A continuación mostraremos alguna de ellas: Orden con fracciones de igual denominador.

i. Con igual denominador.

De dos racionales que tienen

el mismo denominador es menor la que

tiene menor numerador.

Ejemplo 1 de dos racionales con igual denominador.

Determinar cuál de los siguientes racionales es menos i. 5 4 ; 5 3

, esto implica que: 5 4 < 5 3

Pues 3 < 4

ii. 34

42 , 34 17 , 34 4 , 34 2   . Solución 34 42 < 34 17 < 34 2 < 34 4  ej

ii. Con igual numerador.

De dos fracciones que tienen igual numerador es mayor el que tiene menor denominador

Ejemplo 1 de dos racionales con igual numerador.

es menor el que tiene mayor denominador.

4 3 ; 7 3

Esto implica que: 4 3 < 7 3

Pues 7 > 4

iii. Orden con numeradores y denominadores distintos.

De dos fracciones que tienen distinto denominador se debe buscar una fracción equivalente a cada una de las fracciones dadas cuyos denominadores sean iguales, o pasarlas a número decimal.

Por ejemplo:

¿Cuál de estos racionales es mayor 9 7 ó 6 5 ?

a) Una manera es buscar fracciones equivalentes a las dadas con igual

denominador. Esto se puede hacer

simplificando a amplificando las fracciones. En este caso se puede amplificar por 3 y por 2 las segunda para que queden con el mismo denominador. 18 14 9 7 18 15 6

5 _{  }

, (Como se observa ambas

fracciones tienen equivalentes con

denominador 18

Como 15 > 14 se puede decir que:

18 14 > 18 15

y en consecuencia 9 7 > 6 5 b) Otra manera es expresar las fracciones como número decimal.

.. 777777 . 0 9 7 ... 8333333 . 0 6

5 _{  }

Como

0

.

8333333

>

0

.

777777

..

entonces 9 7 > 6 5 .

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Página

6 Para obtener la expresión decimal de

una fracción, se divide el numerador entre el denominador. Al hacer esta división el resultado puede ser:

5

.

0

20

10



;

0

.

33333

3

10



;

0

.

2

40

8



Ejercicios:

i. 7 Cod

=

ii. Cod

9  =

Fracción generatriz

La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreductible (no se puede simplificar más) que da como resultado dicho número decimal. Por ejemplo, el

número decimal (periódico puro)

0.428571428571428571428571428571... cuyo periodo es 428571, está generado por la fracción . Vamos a ver cómo obtener las fracciones generatrices para cada tipo de decimal: decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto. El último paso, en cada tipo, será simplificar la fracción para que sea irreductible.

1. Decimal Exacto

Llamaremos decimal exacto a cualquier

número decimal que tenga un

número finito de decimales, es decir, un número finito de números después de la coma. Por ejemplo, 2,46 es un decimal exacto, pero 2,46666.... no lo es. Fracción generatriz

 Escribimos en el numerador el

número sin la coma.

 En el denominador escribimos 10

elevado al número de decimales, es decir, el denominador es un 1 y tantos 0’s como decimales tiene el número.

Ejemplo: 2,46 Obtenemos la fracción

Simplificamos:

Por tanto, la fracción generatriz de 2,46 2. Decimal Periódico Puro

Llamaremos decimal periódico

puro a cualquier número decimal que presenta una repetición en las cifras decimales (después de la coma). Las cifras que se repiten conforman el período, que se repite indefinidamente (tiene un número infinito de decimales).

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Página

7 3. Decimal Periódico Mixto

Llamaremos decimal periódico

mixto a cualquier número decimal que presenta, a partir de un determinado decimal, un período. Los decimales anteriores al período se denominan ante-período. Por ejemplo, es un número decimal con período

Ejemplo: 5,061212121212... Obtenemos la fracción

Simplificamos:

Ejercicio 4. Hallar la fracción generatriz de 123123

,

Cod

Operaciones. Las operaciones que se manejan en los naturales son: Suma, resta,

multiplicación, división, potenciación,

radicación

Desarrollo:

SUMA

Ejemplo 5de suma

Explicación

1. Hallar el m.c.m de los denominadores.

Primero se descomponen en factores primos

El m.c.m de dos o más números es el producto de sus factores primos comunes con su mayor exponente, y los no comunes.

2. Dividir ese m.c.m por faca uno de los

denominadores y multiplicarlo por respectivos numerador y llevar el producto a una suma indicada.

3. Efectuar la suma indicada y

RESTA.

Para la resta se efectúa un proceso similar, solo que en lugar de sumar, se resta.

Ejemplo 1 de Resta

6

11

6

15

4

2

5

3

2









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





21

2

3

2

Cod

Multiplicación.

Para multiplicar se multica numerador por numerador y denominador por denominador

3 5 6 10 2 5 3 2

.  

           a







21

2

3

2

Cod

RESTA.

Para dividir se invierten los términos en la divisor y se hacer una multiplicación

Ejemplo 1 de División

Ejemplo 2 de División

15 4 5 2 3 2

2 5 3 2

  

 Dividir

Ejemplo 3 de División

Ejemplo 4 de División

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9 7 7 6 4 : como plantear puede se 9 7 6 4  Ejercicio 3

Efectuar la siguiente suma

71

1

Cod

POTENCIACIÓN

Para la potenciación de números raciones, en los casos en que división no sea exacta, se aplica la propiedad distributiva con respecto a la división, se la siguiente forma

Ejemplo 1 de Potenciación, cuando la división no es exacta

125 8 5 5 5 2 2 2 5 2 5 2 . ₃ 3 3              Hallar

Nota. Cuando el exponente es negativo se debe aplicar la propiedad de inverso multiplicativo, reciproco o inverso de un número.

Recordar que el inverso multiplicativo es aquel número que al multiplicarlo da como resultado 1. Yu se expresa de la forma:

x

x1 1 en forma general n _n

x x  1

Ejemplo 2 de Potenciación, cuando la división no es exacta

Hallar 4 3 2        Solución: 4 9 2 3 posillo de ley aplicado 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 4 4 4             

Recordar que cualquier número elevado a la cero da cero. Es decir.

1

50  _, 750 1

en forma general 0 1

x

Ejemplo 3 de Potenciación, cuando la división no es exacta

1

8

3

1

1

1

8

3

8

3

0 0 0 0





































Ejemplo 4 de Potenciación, cuando la división es exacta

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10 Ejemplo 5 de Potenciación, cuando la

división es exacta

 

0.0370 27

1 3 3 3

1 3

1 3 6

18

3 3 3

           

  

RADICACIÓN

Para la división de números raciones, en los casos en que división no sea exacta, se aplica la propiedad distributiva con respecto a la división, en la siguiente forma

1. Radicación, cuando la división no es exacta

Hallar la raíz de:

8000 . 0 4 5 15 25 16

25 _{  }

2. de Radicación, cuando la división no es exacta

5414 . 0 7 4 343

64 343

64 3

3

3   

3. de Radicación, cuando la división es exacta

2

128

128

16384

₇

7





Número irracional

Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en Q ciertos problemas. Por ejemplo, si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, esto no es posible hacerlo en el conjunto de los números racionales, ya que por el Teorema de Pitágoras, llamando d a la longitud buscada, se ha de cumplir que:

H2 _{= 1}2 _{+ 1}2 ₌

2

, de donde, H2 =

2

que

no es un números racionales puesto que no se puede expresar como una fracción, en otras

palabras, la expresión decimal

2

tiene

infinitas cifras decimales.

Números irracionales en la recta numérica.

A cada número racional le

corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicos es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación.

Sin embargo, con la ayuda del Teorema de

Pitágoras no es difícil representar

geométricamente muchos números

irracionales

como 2, 3, 5, 6 √2, √3, √5, etc.

Veamos cómo se puede representar, por

ejemplo,

2

_{=1,414...,es decir,}

1

<

2

<

2

Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:

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Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como

sigue: x2 = 12 + 12, esto implica que x2 = 2

2



x

Paso 3: el valor de la hipotenusa es 2, luego con la ayuda de un compás podemos

representar en la recta el valor

2

la

siguiente manera. Con el compás se toma la dimensión de la hipotenusa, que en este caso

es

2

, con como centro el cero. Luego se

traza un arco de circunferencia y el punto de corte con la recta numérica será el valor de raíz de 2 (longitud desde el punto cero al punto P).

Ejercicio 5.

Graficar el irracional

Cod

Números irracionales famosos



:

Numero (pi): 3.1416 aproxi/

e

: Número de Euler: 2.71828 aproxi/



_{: La razón de Oro; 1,6180 aproxi/}

Si divides una línea en dos partes de manera

que: la parte larga dividida entre la corta es

igual que el total dividido entre la parte larga. Entonces tienes la razón de oro.

NUEMROS REALES.

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Concepto Definición Ejemplo

¿Q

ué

son

lo

s

nú

m

er

os

R

ac

ion

al

es

y

com

o

se

re

pr

es

en

ta

n?

Q

ué

e

s

un

a

fr

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ci

ón

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c

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¿Q

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son

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¿Q

ué

e

s

un

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ac

ci

ón

y

com

o

se

r

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es

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