Distribuciones en el muestreo

Texto completo

(1)

Distribuciones en el muestreo.

Distribuciones en el muestreo.

M

a

Eugenia Cruces, Salvador J. Molina y M

a

Dolores

Sarrión

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

Departamento de Estadística y Econometría

Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA)

.

(2)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

1

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

(3)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Lo que vamos a estudiar:

(4)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Lo que vamos a estudiar:

(5)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

1

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

(6)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral

Estudiamos dos casos:

Población normal

Distribución exacta.

Población no normal

(7)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral

Estudiamos dos casos:

Población normal

Distribución exacta.

Población no normal

(8)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral

Estudiamos dos casos:

Población normal

Distribución exacta.

Población no normal

(9)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral

Estudiamos dos casos:

Población normal

Distribución exacta.

Población no normal

(10)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(11)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(12)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(13)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(14)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(15)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(16)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Si la población es normal

(

X

N

(µ, σ)

):

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

X

la media muestral de esa muestra,

X

=

n

X

i

=

1

X

i

n

X

N

(

µ,

σ

n

)

.

(17)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Es decir,

(18)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Es decir,

(19)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Población normal

Es decir,

Si la

población

es

normal con media

µ

y desviación

típica

σ

,

la media muestral

para una m.a.s. de

tamaño

n

es

también normal

con

(20)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

(21)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Principales

características

(22)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la media muestral: Principales

características

(23)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de

la media muestral

{

X

n

}

n

N

sucesión de v.a. iid con media

µ

y varianza

σ

2

.

X

n

la media de las n primeras

Entonces,

X

n

µ

σ

n

n

N

(24)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de

la media muestral

{

X

n

}

n

N

sucesión de v.a. iid con media

µ

y varianza

σ

2

.

X

n

la media de las n primeras

Es decir, definida por

X

n

=

1

n

n

X

i

=1

X

i

,

n

N

.

Entonces,

X

n

µ

σ

n

n

N

(25)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de

la media muestral

{

X

n

}

n

N

sucesión de v.a. iid con media

µ

y varianza

σ

2

.

X

n

la media de las n primeras

Entonces,

X

n

µ

σ

n

n

N

converge en distribución a

una variable aleatoria

N

(

0,

1

)

.

(26)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de

la media muestral

{

X

n

}

n

N

sucesión de v.a. iid con media

µ

y varianza

σ

2

.

X

n

la media de las n primeras

Entonces,

X

n

µ

σ

n

n

N

(27)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución asintótica de la media muestral

(28)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución asintótica de la media muestral

¿Cómo de grande tiene que ser

n

?

(29)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

1

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

(30)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

La

propoción muestral

(

P

b

X

) la hemos definido como

b

P

X

=

X

1

+

X

2

+

...

+

X

n

n

,

siendo

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

una m.a.s. de

X

B

(

1,

p

)

b

(31)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

La

propoción muestral

(

P

b

X

) la hemos definido como

b

P

X

=

X

1

+

X

2

+

...

+

X

n

n

,

siendo

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

una m.a.s. de

X

B

(

1,

p

)

b

(32)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

La

propoción muestral

(

P

b

X

) la hemos definido como

b

P

X

=

X

1

+

X

2

+

...

+

X

n

n

,

siendo

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

una m.a.s. de

X

B

(

1,

p

)

b

(33)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:

E

h

P

b

X

i

=

p

La desviación típica de

P

b

X

(error típico) es

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

y,

por el Teorema Central del Límite, para

n grande,

Z

=

P

b

X

p

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

p

(

1

p

)

n

(34)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:

E

h

P

b

X

i

=

p

La desviación típica de

P

b

X

(error típico) es

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

y,

por el Teorema Central del Límite, para

n grande,

Z

=

P

b

X

p

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

p

(

1

p

)

n

(35)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:

E

h

P

b

X

i

=

p

Var

P

b

X

=

p

(

1

p

)

n

La desviación típica de

P

b

X

(error típico) es

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

y,

por el Teorema Central del Límite, para

n grande,

Z

=

P

b

X

p

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

p

(

1

p

)

n

(36)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:

E

h

P

b

X

i

=

p

Var

P

b

X

=

p

(

1

p

)

n

La desviación típica de

P

b

X

(error típico) es

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

y,

por el Teorema Central del Límite, para

n grande,

Z

=

P

b

X

p

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

p

(

1

p

)

n

(37)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:

E

h

P

b

X

i

=

p

La desviación típica de

P

b

X

(error típico) es

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

y,

por el Teorema Central del Límite, para

n grande,

Z

=

P

b

X

p

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

p

(

1

p

)

n

(38)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:

E

h

P

b

X

i

=

p

La desviación típica de

P

b

X

(error típico) es

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

y,

por el Teorema Central del Límite, para

n grande,

Z

=

P

b

X

p

σ

P

b

X

=

r

P

b

X

p

p

(

1

p

)

n

(39)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico

se desconoce. Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

b

P

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

P

b

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(40)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

se desconoce. Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

P

b

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(41)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico

σ

b

P

X

=

r

p

(

1

p

)

n

se desconoce.

Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

P

b

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

b

P

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(42)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico se desconoce. Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

b

P

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

P

b

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(43)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico se desconoce. Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

P

b

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

P

b

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(44)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico se desconoce. Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

P

b

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

P

b

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(45)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la proporción muestral

En la estimación de la proporción poblacional (

p

), el error

típico se desconoce. Un estimador de

σ

P

b

X

es

b

σ

P

b

X

=

r

b

p

(

1

b

p

)

n

Para

n grande

,

Z

=

P

b

X

p

b

σ

P

b

X

=

r

P

b

X

p

b

p

(

1

b

p

)

n

(46)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

1

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

(47)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

con

E[X

] =

µ

y

Var

(X

) =

σ

2

.

La

varianza muestral

(

S

2

X

) la hemos definido como

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

.

E

S

2

X

=

n

1

n

σ

2

.

(48)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

con

E[X

] =

µ

y

Var

(X

) =

σ

2

.

La

varianza muestral

(

S

2

X

) la hemos definido como

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

.

E

S

2

X

=

n

1

n

σ

2

.

(49)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

con

E[X

] =

µ

y

Var

(X

) =

σ

2

.

La

varianza muestral

(

S

2

X

) la hemos definido como

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

.

E

S

2

X

=

n

1

n

σ

2

.

(50)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

con

E[X

] =

µ

y

Var

(X

) =

σ

2

.

La

varianza muestral

(

S

2

X

) la hemos definido como

S

X

2

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

.

La media de la distribución en el muestreo de

S

2

X

es

E

S

X

2

=

n

1

n

σ

2

.

(51)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

con

E[X

] =

µ

y

Var

(X

) =

σ

2

.

La

varianza muestral

(

S

2

X

) la hemos definido como

S

X

2

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

.

La media de la distribución en el muestreo de

S

2

X

es

E

S

X

2

=

n

1

n

σ

2

.

(52)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

con

E[X

] =

µ

y

Var

(X

) =

σ

2

.

La

varianza muestral

(

S

2

X

) la hemos definido como

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

.

E

S

2

X

=

n

1

n

σ

2

.

(53)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

Las inferencias relativas a la varianza poblacional las

basamos en la

cuasivarianza muestral

(

S

b

X

2

).

b

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

1

=

n

n

1

S

2

X

La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de

σ

2

E

h

S

b

2

X

i

(54)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

Las inferencias relativas a la varianza poblacional las

basamos en la

cuasivarianza muestral

(

S

b

X

2

).

b

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

1

=

n

n

1

S

2

X

La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de

σ

2

E

h

S

b

2

X

i

(55)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

Las inferencias relativas a la varianza poblacional las

basamos en la

cuasivarianza muestral

(

S

b

X

2

).

b

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

1

=

n

n

1

S

2

X

La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de

σ

2

E

h

S

b

2

X

i

(56)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

Las inferencias relativas a la varianza poblacional las

basamos en la

cuasivarianza muestral

(

S

b

X

2

).

b

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

1

=

n

n

1

S

2

X

La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de

σ

2

E

h

S

b

2

X

i

(57)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral

Las inferencias relativas a la varianza poblacional las

basamos en la

cuasivarianza muestral

(

S

b

X

2

).

b

S

2

X

=

n

X

i

=1

(

X

i

X

)

2

n

1

=

n

n

1

S

2

X

La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de

σ

2

E

h

S

b

2

X

i

(58)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral (Población

normal)

Si la

población

es

normal, es decir,

Si

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

es una m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

,

La

varianza

y la

cuasivarianza muestral

están

relacionadas con

σ

2

a través de la distribución

χ

2

:

nS

2

X

σ

2

(

n

1

)

S

b

X

2

σ

2

(59)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral (Población

normal)

Si

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

es una m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

,

La

varianza

y la

cuasivarianza muestral

están

relacionadas con

σ

2

a través de la distribución

χ

2

:

nS

X

2

σ

2

(

n

1

)

S

b

X

2

σ

2

(60)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral (Población

normal)

Si

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

es una m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

,

La

varianza

y la

cuasivarianza muestral

están

relacionadas con

σ

2

a través de la distribución

χ

2

:

nS

X

2

σ

2

(

n

1

)

S

b

X

2

σ

2

(61)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la varianza muestral (Población

normal)

Si

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

es una m.a.s. de

X

N(

µ, σ

)

,

La

varianza

y la

cuasivarianza muestral

están

relacionadas con

σ

2

a través de la distribución

χ

2

:

nS

X

2

σ

2

(

n

1

)

S

b

X

2

σ

2

(62)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos

Recordemos que:

Z

N

(0

,

1)

=

Z

2

χ

2

1

Z

1

,

Z

2

, ...,

Z

n

variables

iid

N

(0

,

1)

y

X

está

definida por

X

=

Z

1

2

+

Z

2

2

+

· · ·

Z

n

2

.

Entonces,

(63)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos

Recordemos que:

Z

N

(0

,

1)

=

Z

2

χ

2

1

Z

1

,

Z

2

, ...,

Z

n

variables

iid

N

(0

,

1)

y

X

está

definida por

X

=

Z

1

2

+

Z

2

2

+

· · ·

Z

n

2

.

Entonces,

(64)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos

Recordemos que:

Z

N

(0

,

1)

=

Z

2

χ

2

1

Z

1

,

Z

2

, ...,

Z

n

variables

iid

N

(0

,

1)

y

X

está

definida por

X

=

Z

1

2

+

Z

2

2

+

· · ·

Z

n

2

.

Entonces,

(65)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos

Recordemos que:

Z

N

(0

,

1)

=

Z

2

χ

2

1

Z

1

,

Z

2

, ...,

Z

n

variables

iid

N

(0

,

1)

y

X

está

definida por

X

=

Z

1

2

+

Z

2

2

+

· · ·

Z

n

2

.

Entonces,

(66)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de

S

µ

2

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

.

S

µ

2

=

n

X

i

=

1

(X

i

µ

)

2

n

.

Entonces

nS

2

µ

σ

2

χ

2

n

.

(67)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de

S

µ

2

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

.

S

µ

2

=

n

X

i

=

1

(X

i

µ

)

2

n

.

Entonces

nS

2

µ

σ

2

χ

2

n

.

(68)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de

S

µ

2

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

.

S

µ

2

=

n

X

i

=

1

(X

i

µ

)

2

n

.

Entonces

nS

2

µ

σ

2

χ

2

n

.

(69)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de

S

µ

2

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

.

S

µ

2

=

n

X

i

=

1

(X

i

µ

)

2

n

.

Entonces

nS

2

µ

σ

2

χ

2

n

.

(70)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

La relación entre las distribuciones de

X

y

S

X

2

a través

de la distribución

t

n

1

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

y

X

y

S

X

2

la media y

la varianza muestral.

Entonces

X

µ

S

X

n

1

t

n

1

.

(71)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

La relación entre las distribuciones de

X

y

S

X

2

a través

de la distribución

t

n

1

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

y

X

y

S

X

2

la media y

la varianza muestral. Entonces

X

µ

S

X

n

1

t

n

1

.

(72)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

La relación entre las distribuciones de

X

y

S

X

2

a través

de la distribución

t

n

1

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

m.a.s. de

X

N

(

µ, σ

)

y

X

y

S

X

2

la media y

la varianza muestral. Entonces

X

µ

S

X

n

1

t

n

1

.

(73)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

1

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

(74)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la diferencia de medias muestrales

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

e

Y

1

,

Y

2

,

· · ·,

Ym

muestras aleatorias

simples y tomadas con independencia de

X

N

(

µ

X

, σ

X

)

e

Y

N

(

µ

Y

, σ

Y

)

, respectivamente.

Entonces

X

Y

N

µX

µY

,

r

σ

X

2

n

+

σ

Y

2

m

!

.

Se utiliza para hacer inferencias sobre la diferencia

de medias poblacionales

µ

X

µ

Y

cuando las

(75)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la diferencia de medias muestrales

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

e

Y

1

,

Y

2

,

· · ·,

Ym

muestras aleatorias

simples y tomadas con independencia de

X

N

(

µ

X

, σ

X

)

e

Y

N

(

µ

Y

, σ

Y

)

, respectivamente. Entonces

X

Y

N

µX

µY

,

r

σ

X

2

n

+

σ

Y

2

m

!

.

Se utiliza para hacer inferencias sobre la diferencia

de medias poblacionales

µ

X

µ

Y

cuando las

(76)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Distribución de la diferencia de medias muestrales

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

e

Y

1

,

Y

2

,

· · ·,

Ym

muestras aleatorias

simples y tomadas con independencia de

X

N

(

µ

X

, σ

X

)

e

Y

N

(

µ

Y

, σ

Y

)

, respectivamente. Entonces

X

Y

N

µX

µY

,

r

σ

X

2

n

+

σ

Y

2

m

!

.

Se utiliza para hacer inferencias sobre la diferencia

de medias poblacionales

µ

X

µ

Y

cuando las

(77)

Distribuciones en el muestreo.

Introducción.

Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.

Consecuencia

X

1

,

X

2

,

· · ·

,

X

n

e

Y

1

,

Y

2

,

· · ·,

Ym

muestras aleatorias

simples y tomadas con independencia de

X

N

(

µ

X

, σ

)

e

Y

N

(

µ

Y

, σ

)

, respectivamente.

Entonces

X

Y

(

µX

µY

)

s

nS

2

X

+

mS

2

Y

n

+

m

2

r

1

n

+

1

m

t

n

+

m

2

.

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