Distribuciones en el muestreo.
Distribuciones en el muestreo.
M
a
Eugenia Cruces, Salvador J. Molina y M
a
Dolores
Sarrión
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
Departamento de Estadística y Econometría
Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
1
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Lo que vamos a estudiar:
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Lo que vamos a estudiar:
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
1
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral
Estudiamos dos casos:
Población normal
Distribución exacta.
Población no normal
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral
Estudiamos dos casos:
Población normal
Distribución exacta.
Población no normal
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral
Estudiamos dos casos:
Población normal
Distribución exacta.
Población no normal
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral
Estudiamos dos casos:
Población normal
Distribución exacta.
Población no normal
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Si la población es normal
(
X
∼
N
(µ, σ)
):
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
X
la media muestral de esa muestra,
X
=
n
X
i
=
1
X
i
n
X
∼
N
(
µ,
√
σ
n
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Es decir,
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Es decir,
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Población normal
Es decir,
Si la
población
es
normal con media
µ
y desviación
típica
σ
,
la media muestral
para una m.a.s. de
tamaño
n
es
también normal
con
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Principales
características
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la media muestral: Principales
características
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de
la media muestral
{
X
n
}
n
∈
N
sucesión de v.a. iid con media
µ
y varianza
σ
2
.
X
n
la media de las n primeras
Entonces,
X
n
−
µ
σ
√
n
n
∈
N
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de
la media muestral
{
X
n
}
n
∈
N
sucesión de v.a. iid con media
µ
y varianza
σ
2
.
X
n
la media de las n primeras
Es decir, definida por
X
n
=
1
n
n
X
i
=1
X
i
,
n
∈
N
.
Entonces,
X
n
−
µ
σ
√
n
n
∈
N
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de
la media muestral
{
X
n
}
n
∈
N
sucesión de v.a. iid con media
µ
y varianza
σ
2
.
X
n
la media de las n primeras
Entonces,
X
n
−
µ
σ
√
n
n
∈
N
converge en distribución a
una variable aleatoria
N
(
0,
1
)
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Teorema Central del Límite: Distribución asintótica de
la media muestral
{
X
n
}
n
∈
N
sucesión de v.a. iid con media
µ
y varianza
σ
2
.
X
n
la media de las n primeras
Entonces,
X
n
−
µ
σ
√
n
n
∈
N
Distribuciones en el muestreo.
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Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución asintótica de la media muestral
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución asintótica de la media muestral
¿Cómo de grande tiene que ser
n
?
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
1
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
La
propoción muestral
(
P
b
X
) la hemos definido como
b
P
X
=
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
,
siendo
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
una m.a.s. de
X
∼
B
(
1,
p
)
b
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
La
propoción muestral
(
P
b
X
) la hemos definido como
b
P
X
=
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
,
siendo
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
una m.a.s. de
X
∼
B
(
1,
p
)
b
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
La
propoción muestral
(
P
b
X
) la hemos definido como
b
P
X
=
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
,
siendo
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
una m.a.s. de
X
∼
B
(
1,
p
)
b
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:
E
h
P
b
X
i
=
p
La desviación típica de
P
b
X
(error típico) es
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
y,
por el Teorema Central del Límite, para
n grande,
Z
=
P
b
X
−
p
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
p
(
1
−
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:
E
h
P
b
X
i
=
p
La desviación típica de
P
b
X
(error típico) es
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
y,
por el Teorema Central del Límite, para
n grande,
Z
=
P
b
X
−
p
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
p
(
1
−
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:
E
h
P
b
X
i
=
p
Var
P
b
X
=
p
(
1
−
p
)
n
La desviación típica de
P
b
X
(error típico) es
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
y,
por el Teorema Central del Límite, para
n grande,
Z
=
P
b
X
−
p
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
p
(
1
−
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:
E
h
P
b
X
i
=
p
Var
P
b
X
=
p
(
1
−
p
)
n
La desviación típica de
P
b
X
(error típico) es
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
y,
por el Teorema Central del Límite, para
n grande,
Z
=
P
b
X
−
p
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
p
(
1
−
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:
E
h
P
b
X
i
=
p
La desviación típica de
P
b
X
(error típico) es
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
y,
por el Teorema Central del Límite, para
n grande,
Z
=
P
b
X
−
p
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
p
(
1
−
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
Aplicando lo estudiado para la distribución de la media:
E
h
P
b
X
i
=
p
La desviación típica de
P
b
X
(error típico) es
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
y,
por el Teorema Central del Límite, para
n grande,
Z
=
P
b
X
−
p
σ
P
b
X
=
r
P
b
X
−
p
p
(
1
−
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico
se desconoce. Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
b
P
X=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
P
b
X
=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
se desconoce. Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
P
b
X
=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico
σ
b
P
X=
r
p
(
1
−
p
)
n
se desconoce.
Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
P
b
X
=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
b
P
X=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
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Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico se desconoce. Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
b
P
X=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
P
b
X
=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico se desconoce. Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
P
b
X
=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
P
b
X
=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico se desconoce. Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
P
b
X
=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
P
b
X
=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la proporción muestral
En la estimación de la proporción poblacional (
p
), el error
típico se desconoce. Un estimador de
σ
P
b
X
es
b
σ
P
b
X
=
r
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Para
n grande
,
Z
=
P
b
X
−
p
b
σ
P
b
X
=
r
P
b
X
−
p
b
p
(
1
−
b
p
)
n
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
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DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
1
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Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
con
E[X
] =
µ
y
Var
(X
) =
σ
2
.
La
varianza muestral
(
S
2
X
) la hemos definido como
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
.
E
S
2
X
=
n
−
1
n
σ
2
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
con
E[X
] =
µ
y
Var
(X
) =
σ
2
.
La
varianza muestral
(
S
2
X
) la hemos definido como
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
.
E
S
2
X
=
n
−
1
n
σ
2
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
con
E[X
] =
µ
y
Var
(X
) =
σ
2
.
La
varianza muestral
(
S
2
X
) la hemos definido como
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
.
E
S
2
X
=
n
−
1
n
σ
2
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
con
E[X
] =
µ
y
Var
(X
) =
σ
2
.
La
varianza muestral
(
S
2
X
) la hemos definido como
S
X
2
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
.
La media de la distribución en el muestreo de
S
2
X
es
E
S
X
2
=
n
−
1
n
σ
2
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
con
E[X
] =
µ
y
Var
(X
) =
σ
2
.
La
varianza muestral
(
S
2
X
) la hemos definido como
S
X
2
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
.
La media de la distribución en el muestreo de
S
2
X
es
E
S
X
2
=
n
−
1
n
σ
2
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
con
E[X
] =
µ
y
Var
(X
) =
σ
2
.
La
varianza muestral
(
S
2
X
) la hemos definido como
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
.
E
S
2
X
=
n
−
1
n
σ
2
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
Las inferencias relativas a la varianza poblacional las
basamos en la
cuasivarianza muestral
(
S
b
X
2
).
b
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
−
1
=
n
n
−
1
S
2
X
La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de
σ
2
E
h
S
b
2
X
i
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
Las inferencias relativas a la varianza poblacional las
basamos en la
cuasivarianza muestral
(
S
b
X
2
).
b
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
−
1
=
n
n
−
1
S
2
X
La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de
σ
2
E
h
S
b
2
X
i
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
Las inferencias relativas a la varianza poblacional las
basamos en la
cuasivarianza muestral
(
S
b
X
2
).
b
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
−
1
=
n
n
−
1
S
2
X
La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de
σ
2
E
h
S
b
2
X
i
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
Las inferencias relativas a la varianza poblacional las
basamos en la
cuasivarianza muestral
(
S
b
X
2
).
b
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
−
1
=
n
n
−
1
S
2
X
La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de
σ
2
E
h
S
b
2
X
i
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral
Las inferencias relativas a la varianza poblacional las
basamos en la
cuasivarianza muestral
(
S
b
X
2
).
b
S
2
X
=
n
X
i
=1
(
X
i
−
X
)
2
n
−
1
=
n
n
−
1
S
2
X
La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de
σ
2
E
h
S
b
2
X
i
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral (Población
normal)
Si la
población
es
normal, es decir,
Si
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
es una m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
,
La
varianza
y la
cuasivarianza muestral
están
relacionadas con
σ
2
a través de la distribución
χ
2
:
nS
2
X
σ
2
≡
(
n
−
1
)
S
b
X
2
σ
2
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral (Población
normal)
Si
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
es una m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
,
La
varianza
y la
cuasivarianza muestral
están
relacionadas con
σ
2
a través de la distribución
χ
2
:
nS
X
2
σ
2
≡
(
n
−
1
)
S
b
X
2
σ
2
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral (Población
normal)
Si
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
es una m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
,
La
varianza
y la
cuasivarianza muestral
están
relacionadas con
σ
2
a través de la distribución
χ
2
:
nS
X
2
σ
2
≡
(
n
−
1
)
S
b
X
2
σ
2
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la varianza muestral (Población
normal)
Si
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
es una m.a.s. de
X
∼
N(
µ, σ
)
,
La
varianza
y la
cuasivarianza muestral
están
relacionadas con
σ
2
a través de la distribución
χ
2
:
nS
X
2
σ
2
≡
(
n
−
1
)
S
b
X
2
σ
2
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos
Recordemos que:
Z
∼
N
(0
,
1)
=
⇒
Z
2
∼
χ
2
1
Z
1
,
Z
2
, ...,
Z
n
variables
iid
N
(0
,
1)
y
X
está
definida por
X
=
Z
1
2
+
Z
2
2
+
· · ·
Z
n
2
.
Entonces,
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos
Recordemos que:
Z
∼
N
(0
,
1)
=
⇒
Z
2
∼
χ
2
1
Z
1
,
Z
2
, ...,
Z
n
variables
iid
N
(0
,
1)
y
X
está
definida por
X
=
Z
1
2
+
Z
2
2
+
· · ·
Z
n
2
.
Entonces,
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos
Recordemos que:
Z
∼
N
(0
,
1)
=
⇒
Z
2
∼
χ
2
1
Z
1
,
Z
2
, ...,
Z
n
variables
iid
N
(0
,
1)
y
X
está
definida por
X
=
Z
1
2
+
Z
2
2
+
· · ·
Z
n
2
.
Entonces,
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución Chi-cuadrado o Ji-dos
Recordemos que:
Z
∼
N
(0
,
1)
=
⇒
Z
2
∼
χ
2
1
Z
1
,
Z
2
, ...,
Z
n
variables
iid
N
(0
,
1)
y
X
está
definida por
X
=
Z
1
2
+
Z
2
2
+
· · ·
Z
n
2
.
Entonces,
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de
S
µ
2
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
.
S
µ
2
=
n
X
i
=
1
(X
i
−
µ
)
2
n
.
Entonces
nS
2
µ
σ
2
∼
χ
2
n
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de
S
µ
2
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
.
S
µ
2
=
n
X
i
=
1
(X
i
−
µ
)
2
n
.
Entonces
nS
2
µ
σ
2
∼
χ
2
n
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de
S
µ
2
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
.
S
µ
2
=
n
X
i
=
1
(X
i
−
µ
)
2
n
.
Entonces
nS
2
µ
σ
2
∼
χ
2
n
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de
S
µ
2
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
.
S
µ
2
=
n
X
i
=
1
(X
i
−
µ
)
2
n
.
Entonces
nS
2
µ
σ
2
∼
χ
2
n
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
La relación entre las distribuciones de
X
y
S
X
2
a través
de la distribución
t
n
−
1
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
y
X
y
S
X
2
la media y
la varianza muestral.
Entonces
X
−
µ
S
X
√
n
−
1
∼
t
n
−
1
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
La relación entre las distribuciones de
X
y
S
X
2
a través
de la distribución
t
n
−
1
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
y
X
y
S
X
2
la media y
la varianza muestral. Entonces
X
−
µ
S
X
√
n
−
1
∼
t
n
−
1
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
La relación entre las distribuciones de
X
y
S
X
2
a través
de la distribución
t
n
−
1
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
m.a.s. de
X
∼
N
(
µ, σ
)
y
X
y
S
X
2
la media y
la varianza muestral. Entonces
X
−
µ
S
X
√
n
−
1
∼
t
n
−
1
.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
1
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la diferencia de medias muestrales
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
e
Y
1
,
Y
2
,
· · ·,
Ym
muestras aleatorias
simples y tomadas con independencia de
X
∼
N
(
µ
X
, σ
X
)
e
Y
∼
N
(
µ
Y
, σ
Y
)
, respectivamente.
Entonces
X
−
Y
∼
N
µX
−
µY
,
r
σ
X
2
n
+
σ
Y
2
m
!
.
Se utiliza para hacer inferencias sobre la diferencia
de medias poblacionales
µ
X
−
µ
Y
cuando las
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la diferencia de medias muestrales
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
e
Y
1
,
Y
2
,
· · ·,
Ym
muestras aleatorias
simples y tomadas con independencia de
X
∼
N
(
µ
X
, σ
X
)
e
Y
∼
N
(
µ
Y
, σ
Y
)
, respectivamente. Entonces
X
−
Y
∼
N
µX
−
µY
,
r
σ
X
2
n
+
σ
Y
2
m
!
.
Se utiliza para hacer inferencias sobre la diferencia
de medias poblacionales
µ
X
−
µ
Y
cuando las
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
Distribución de la diferencia de medias muestrales
X
1
,
X
2
,
· · ·
,
X
n
e
Y
1
,
Y
2
,
· · ·,
Ym
muestras aleatorias
simples y tomadas con independencia de
X
∼
N
(
µ
X
, σ
X
)
e
Y
∼
N
(
µ
Y
, σ
Y
)
, respectivamente. Entonces
X
−
Y
∼
N
µX
−
µY
,
r
σ
X
2
n
+
σ
Y
2
m
!
.
Se utiliza para hacer inferencias sobre la diferencia
de medias poblacionales
µ
X
−
µ
Y
cuando las
Distribuciones en el muestreo.
Introducción.
Distribución de la media muestral. Distribución de la proporción muestral. Distribución de la varianza muestral. Distribución de la diferencia de medias. Distribución de la diferencia de proporciones.
