Presentación TEMA I p2

(1)

Clase 4 - Lámina 1

Métodos Numéricos

para Ingenieros Químicos

Abbud Jesús Batch

CONTENIDO

Tema 1 Ecuaciones Trascendentes (2)

Métodos abiertos Iterativo

Newton-Raphson

(2)

Newton-Raphson

Basados en fórmulas que requieren de un solo valor de x para iniciar los cálculos.

Algunas veces divergen, o se alejan de la raíz a medida que crece el número de iteraciones. Sin embargo, en general, cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los

métodos cerrados.

Métodos:

Iterativo

Newton - Raphson

(3)

Descompone la función original f(x) = 0 en la suma (o resta) de dos funciones.

Si la raíz de f(x) es , entonces se cumple que:

ECUACIONES TRASCENDENTES

 

0

2 1

  

 

x g x

x f x f x

f

 

   g

Si se proporciona una aproximación inicial x₀ de la raíz , se puede definir una secuencia x₁, x₂,

x₃,... por la relación recursiva:

 

i

i g x

x _1 

El valor de la raíz puede determinarse gráfica y numéricamente, tomando como base el hecho de que la raíz es la intersección de las curvas x y g(x)

Métodos abiertos

Iterativo

(4)

ECUACIONES TRASCENDENTES

EJEMPLO GRÁFICO

x₁ x₂

Raíz Exacta

f(x)

x

x₀

x

g(x) Métodos abiertos

Iterativo

(5)

ECUACIONES TRASCENDENTES

CONVERGENCIA

A partir de:

 

i

i g x

x _1 

y suponiendo que la solución verdadera es:

 

r

r g x

x 

al restar estas dos expresiones se tiene:

   

r i i

r x g x g x

x  _1  

El teorema del valor medio de la derivada establece que si una función g(x) y su primera derivada g’(x) son continuas en un intervalo a < x < b, entonces existe al menos un valor de x =  dentro del

intervalo que:

 

   

a b

a g b

g g

  



'

Iterativo

(6)

ECUACIONES TRASCENDENTES

Pendiente de la recta que une a g(a) y g(b).

El teorema del valor medio establece que existe al menos un punto entre a y b que tiene una pendiente, denotada por g’(x), que es paralela a la línea que une

g(a) con g(b).

Haciendo a = x_i y b = x_r, queda:

    

x g x x x

  

g' 

g _r  _i  _r  _i 

donde  se encuentra en alguna parte entre x_i y x_r.

 

   

a b

a g b

g g

  



'

Si:



  

' 

1 x x g

x

x_r  _i_  _r  _i 

queda:

   

r i i

r x g x g x

x  _1  

CONVERGENCIA

Iterativo

(7)

ECUACIONES TRASCENDENTES

 

i r

x x

g

 

 1

' 

 

i i

E E g '   1

CONVERGENCIA

Si | g’(x) | < 1, entonces los errores disminuyen con cada iteración (convergencia).

Si | g’(x) | > 1, entonces los errores aumentan con cada iteración (divergencia).

Si g’(x) > 0, entonces las iteraciones serán monótonas.

Si g’(x) < 0, entonces las iteraciones serán oscilatorias.

Si | g’(x) |  1, entonces la convergencia es más lenta.

Si | g’(x) |  0, entonces la convergencia es más rápida.

Iterativo

(8)

ECUACIONES TRASCENDENTES

 

i i

E E g '   1

CONVERGENCIA

 

i r

x x

g

 

 1

' 

Cuando el método converge, el error es proporcional y menor que

el error en la iteración anterior. Por tal razón se dice que la iteración simple de punto fijo es

linealmente convergente.

Iterativo

(9)

ECUACIONES TRASCENDENTES

En un intervalo [a, b] se verifica el cambio de signo de la función del tipo f(x) = 0, esto es:

Se descompone la función del tipo f(x) = 0 en:

Con un valor inicial x₀ dentro del intervalo [a, b] se evalúa el criterio de convergencia de la función

g(x) seleccionada, esto es:

ALGORITMO

   

a f b  0

f

 

x x g

 

x

f  

De no cumplirse el criterio de convergencia, se selecciona otro punto inicial x₀ dentro del

intervalo [a, b].

 

1

' x 

g

Iterativo

(10)

ECUACIONES TRASCENDENTES

Se determina un nuevo valor de x:

ALGORITMO

 

_i

i g x

x _1 

Se repiten las iteraciones con x_i hasta que se cumpla que:

 

x  y/o x _i x_i_₁ 

f

Iterativo

(11)

ECUACIONES TRASCENDENTES

EJEMPLO NUMÉRICO

 

x e x

f  x 

 

x x

f₁ 

 

x e g

 

x

f ₂  x 

Intervalo [0,1]

   

a f b  0

f

 

x

e x

g'   

Convergencia

x₀ = 0,5

 

0,5 0,61 1

'  

g

i xi g(xi)

0 0,500 0,607 1 0,607 0,545 2 0,545 0,580 3 0,580 0,560

i

x

i e

x _₁  

4 0,560 0,571 5 0,571 0,565 6 0,565 0,568 7 0,568 0,566 8 0,566 0,568 9 0,568 0,567 10 0,567 0,567

Iterativo

(12)

ECUACIONES TRASCENDENTES

De los métodos para calcular raíces, el método de Newton-Raphson es el más popular.

Geométricamente se basa en localizar la raíz a partir de la tangente de la función f(x) en el punto x_i.

La pendiente de dicha tangente en x_i es

equivalente a la primera derivada de f(x_i), es decir:

 

  



1 1

'

 

  

i i

i

x x

x f x

f x

f

(13)

ECUACIONES TRASCENDENTES

 

  



1 1

'

 

  

i i

i

x x

x f x

f x

f

0,0 1,0

0 xi 1

x f(x)

x_i+1

x_i+1-x_i f(x_i)

f’(x_i)

0

 

1 1

' x f

x f x

x_i_  _i  i

(14)

ECUACIONES TRASCENDENTES

Truncando la primera derivada se obtiene una versión aproximada:

En la intersección con el eje x, f(x_i+1) debe ser igual a cero, entonces rearreglando queda:

Además de la derivación geométrica, también se puede derivar a partir de la serie de Taylor.

donde  se encuentra en alguna parte del intervalo entre x_i y x_i+1.



  

  



  



... ! 2 ' ' ! 1 ' 2 1 1 1          

 i i i i i i

i x x f x x x f x f x f 



x i

  

f xi f

  

xi xi x i



f _₁   '  _₁ 

 

1 1 ' x f x f x

x_i_  _i  i

(15)

ECUACIONES TRASCENDENTES

CONVERGENCIA

A partir de la serie de Taylor:

suponiendo que la solución verdadera x_r = x_i+1, y que f(x_i+1) = f(x_r) = 0, se tiene:

Truncando la serie original, con f(x_i+1) = 0, se tiene :

Y restando las dos expresiones anteriores, queda:



  

  

1



  

1



2

1

! 2 '

' !

1

' _i i i i i

i i

x x

f x

x x

f x

f _          

 

  



  



2 2

' ' '

0  f x _i f x _i  x _r x _i f   x r xi

 

x i f

  

x i x i xi



f   

 ' _1

0

  

₁



  



2 2

' ' '

0  f x _i  x _r x_i_ f   x r xi

(16)

ECUACIONES TRASCENDENTES

CONVERGENCIA

  

1



  



2 2

' ' '

0  f x _i  x _r x_i_ f   x r xi

Si hay convergencia, entonces x_i y  se deberían

aproximar a la raíz x_r, por lo que queda:

 

r r

i i

x f

E E

' 2

' '

2 1

  



Cuando el método converge, el error es proporcional al cuadrado del error anterior. Esto significa que el

número correcto de cifras decimales se duplica aproximadamente en cada iteración. A este

comportamiento se le llama convergencia cuadrática.

Newton-Raphson

  

1



   

2

2 '

' '

(17)

ECUACIONES TRASCENDENTES

CONVERGENCIA

Comparando los algoritmos del método iterativo general y el método de Newton-Raphson, se puede deducir el criterio de convergencia de éste último:

Se estableció que la convergencia ocurre cuando | g’(x) | < 1, por lo que g’(x) es:

 

i

i g x

x _1 

 

' 1 i i i i x f x f x

x _  

 

_{ }

i i i i x f x f x x g '  

 



 



 





2

 



 



 

2

2 ' ' ' ' ' ' ' 1 ' i i i i i i i i x f x f x f x f x f x f x f x

g      

 



'



1

(18)

ECUACIONES TRASCENDENTES

Aunque en general el método es muy eficiente, hay situaciones en las que converge lentamente como consecuencia de la naturaleza de la función.

DESVENTAJAS

Cuando hay un punto de inflexión en la vecindad de la raíz.

Cuando hay un mínimo o máximo local, en cuyo caso el método oscila alrededor de dicho punto. Cuando hay raíces múltiples.

(19)

ECUACIONES TRASCENDENTES

En un intervalo [a, b] se verifica el cambio de signo de la función del tipo f(x) = 0, esto es:

Con un valor inicial x₀ dentro del intervalo [a, b] se evalúa el criterio de convergencia:

ALGORITMO

   

a f b  0

f

De no cumplirse el criterio de convergencia, se selecciona otro punto inicial x₀ dentro del

intervalo [a, b].

 



'



1

' '

2 



i

i i

x f

(20)

ECUACIONES TRASCENDENTES

Se determina un nuevo valor de x:

ALGORITMO

Se repiten las iteraciones con x_i hasta que se cumpla que:

 

x  y/o x _i x_i_₁ 

f

 

'

1

i i i

i

x f

x f x

x _  

(21)

 



' 0,5



0,025 1

5 , 0 ' ' 5 , 0

2  

 f

f f

ECUACIONES TRASCENDENTES

EJEMPLO NUMÉRICO

 

x e x

f  x 

Intervalo [0,1]

   

a f b  0

f

Convergencia

x₀ = 0,5

 

1 ' x  e x  f

 

x

e x

f ''  

i xi f(xi) f'(xi) xi+1

0 0,500 0,107 -1,607 0,566 1 0,566 0,001 -1,568 0,567 2 0,567 0,000 -1,567 0,567

(22)

AGENDA

ASIGNACIÓN 2

Para:

Newton-Raphson

 

2

3x e

x

f  x 

utilice métodos cerrados y abiertos que resuelvan dicha ecuación trascendental dentro del intervalo [-1,1] y con una tolerancia de 10-4_{sobre el valor}

de x.

Detallar todas las consideraciones, decisiones y pasos para la resolución de la función planteada con cada método aplicado, y discutir los