Ecuaciones Diferenciales (Parte_3)

Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial contiene una función desconocida y algunas de sus derivadas.

He aquí algunos ejemplos:

(1)

(2)

(3)

xy y ' =

0

'

2

'

La importancia de las ecuaciones diferenciales se debe a que cuando alguien formula una ley física en

términos matemáticos , muchas veces esta formulación adopta la forma de una ecuación diferencial.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de orden mayor que se encuentra en la

ecuación . Así las ecuaciones (1) , (2) y (3) , son de primer , segundo y tercer orden ( o 1 , 2 y 3 ) ,

respectivamente.

Podemos comprobar con facilidad que tanto f(x) = sen(x) como g(x) = cos (x) son soluciones de la ecuación

diferencial ,

(4) y’’ + y = 0

Pero cuando se nos pide resolver una ecuación diferencial, se espera que hallemos todas sus soluciones posibles . Se puede demostrar que cualquier solución de la ecuación (4) tiene la forma

(5) y = A sen (x) + B cos (x)

en la cual A y B son constantes .

Ejercicio: Verifique que es una solución de

) C (x +

= −x

e y x e y dx dy ₋ = +

Ejercicio: Verifique que es una solución de

y hallar la solución particular si y=3, y`=-4/3 cuando x=5 2

2 2

1) C

(x−C + y =

0 1 2 2 2 = +       + dx dy dx y d y

Ejercicio: Demostrar que es una solución de

x C x

x

y C₁ 5 ₂ 3

1

4 = + +

x y dx dy x dx y d

x ₂ 5 5 1

2

¿Cómo resolver una ecuación diferencial?

Las ecuaciones diferenciales mas simples son de la forma y`=f(x) y para resolverlas sólo integramos, es decir;

∫

= f x dx

y ( )

Una ecuación separable, o de variables separables, es una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar en la forma

Ecuaciones separables

) ( ) (x f y g

dx dy

=

El nombre separable se debe al hecho de que la

expresión del lado derecho se puede “separar” en una función de x y una función de y. La expresión que sigue equivale a la anterior

(6) ) ( ) ( y h x g dx dy =

Que reformulamos en términos de diferenciales para resolverla

dx x g dy y

h( ) = ( )

A continuación integramos ambos lados: (7)

∫

∫

Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales

0

'

2 + =

y y x 2 3y senx x dx dy + =

( )

1+ x2 dy + y =

0 x)dy -(1 2 = dx y 3 ln xy xy x dx dy +

= eu t

dt

Ejercicio: Resuelva el problema de valor inicial

y grafique la solución.

,

1

)

0

(

,

'

=

e

y

=

y

OBS: En muchos problemas necesitamos determinar la

solución particular que satisfaga una condición de la forma y(x₀)= y₀ . Esto se llama condición inicial y el problema de hallar una solución de la ecuación diferencial que

satisfaga la condición inicial es un problema de valor inicial

Ejercicio: Encuentre la solución de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial dada

0 ) 2 ( , 1 3 ' 2 = + = y y x y

Problema:El valor de reventa de una máquina industrial decrece durante un período de 10 años a razón de la

edad de la máquina. Cuando la máquina tiene x años , la razón a la cual cambia su valor es 220(x – 10) dólares al año. Exprese el valor de la máquina como función de la edad y el valor inicial. Si la máquina costaba

originalmente $12.000 , ¿cuánto costará cuando tenga 10 años?

Problema: Un tanque contiene 1000 lts de agua pura . A él entra una salmuera que contiene 0,05 kg de sal por

Problema: La relación entre la utilidad neta P y el gasto de propaganda x es tal que la tasa de incremento de la utilidad neta, a medida que crece el gasto de propaganda es proporcional a la diferencia entre una constante y la utilidad neta. Hallar la relación entre la utilidad neta y el gasto de propaganda si P=Po cuando x=xo. Grafique.

Crecimiento logístico;

Si formulamos la hipótesis de que la rapidez de

crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la población, y, y a la cantidad por la cual y es menor que el tamaño máximo, M-y, podemos formular la

ecuación

en que k es una constante

) (M y ky

dt dy

La expresión anterior se llama ecuación logística

diferencial. ( la empleó el biólogo matemático holandés Verhulst, para modelar el crecimiento demográfico mundial)

La ecuación logística es separable y la escribiremos de la forma

Si la población es y(0)=yo cuando el tiempo es t=0, obtenemos

∫

∫

− y kdt

M y

dy

) (

kMt

e

y

M

y

M

y

y

−

+

=

)

(

0

Problema: Suponga que el precio p(t) de cierto artículo varía de tal forma que su razón de cambio respecto al tiempo es proporcional a D – S , donde D(p) y S(p) son las funciones de oferta y demanda lineales D(p) = 8 – 2p y S(p) = 2 + p.

a) Si el precio es $5 cuando t=0 y $3 cuando t=2, halle p(t).

b) Determine qué ocurre a p(t) a “ largo plazo “

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación diferencial de la forma M (x,y)dx+N(x,y)dy=0

se dice homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas de un mismo grado en x e y.

OBS: F(x,y) es una función homogénea de grado n en x e y ssi; F(kx,ky)=kn _F(x,y)

donde k es una constante cualquiera.

Cuando una ecuación diferencial es homogénea, sus variables pueden separarse por la sustitución

O en forma equivalente, por la sustitución

x=vy

dx= vdy + y dv

Entonces las ecuaciones diferenciales resultantes pueden escribirse, respectivamente en la forma

M(x)dx+N(v)dv=0 o en la forma M(v)dv+N(y)dy=0 y resolverse por los métodos usuales de integración. La solución general de la ecuación original se

Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales

0 )

( )

(x + y dx + x − y dy =

0 cos

cos

sen x 2 ydx + 2 xdy =

(

)

0

3

2

3

−

+

=

dx

dy

xy

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

La ecuación

cuyo miembro de la izquierda es lineal tanto en la variable dependiente como en su derivada se llama una ecuación lineal de primer orden.

) ( )

(x Q x yP

dx dy

= +

Si multiplicamos la ecuación anterior por el factor integrante

la ecuación resultante

∫

e ( )

dx e

x Q dx

e x yP dy

puede integrarse para obtener

C dx

x Q e

ye

∫

∫

∫

Por lo tanto la ecuación

) ( )

(x Q x yP

dx dy

= +

Tiene como solución

  

 ₊

Del mismo modo, la ecuación

) ( )

(y Q y xP

dy dx

= +

Tiene como factor integrante

_∫

e ( )

Y su solución es

  

 ₊

= e−

∫

_∫

∫

Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales 2 + ₍ −₂ −₂ 2₎ = ₀

dx x

xy y

dy x

0 )

ln (

Ejercicio: Resuelva la ecuación diferencial

x

e x

c y dx

dy cos

5 tg =

+

Hallar la solución particular, dadas las condiciones

iniciales x =π y = -4

Problema: Una empresa manufacturera ha encontrado que el costo c de operar y mantener su equipo está

relacionado con la longitud x del intervalo entre las revisiones por la ecuación

2

) 1 (

x ba c

x b dx

dc −

= −

Campos de pendientes y curvas solución

Para analizar el posible comportamiento de las

soluciones de una ecuación diferencial de la forma

dy/dx =f(x,y), podemos pensar la ecuación diferencial de una manera muy geométrica: en varios puntos (x,y) del plano xy, el valor de f(x,y) determina una pendiente

dy/dx. Una solución de esta ecuación diferencial es una función diferenciable cuya gráfica tiene pendiente

dy/dx=f(x,y) en cada punto (x,y). En ocasiones, la

gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama curva solución de la ecuación.En términos

geométricos, una curva solución de dy/dx=f(x,y) es una curva en el plano cuya recta tangente en cada punto

Suponga que trazamos un pequeño segmento de recta con pendiente m=f(x,y) por cada punto de una colección representativa de puntos (x,y) en el plano xy. El conjunto de todos estos segmentos de rectas es un campo de pendientes o campo de direcciones , para la ecuación dy/dx=f(x,y) .

Ejemplo: La figura muestra un campo de pendientes y las curvas solución típicas para la ecuación diferencial

xy dx

dy

Los segmentos de recta indican la dirección que sigue la gráfica de la solución , de modo que el campo

direccional ayuda a visualizar la forma general de esas curvas.

Ejercicio:

a) Trace el campo direccional de la ecuaciones diferenciales

b) Considere el resultado anterior para trazar tres curvas de

2

'

xy

y

y

=

+

y x