Wevelets en espacios poli-Bergman

(1)

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE MATEM ÁTICAS MAESTRÍA EN MATEM ÁTICAS

Wavelets en Espacios Poli-Bergman

Que para obtener el grado de

Maestro en Matem´

aticas

Presenta

Mar´ıa del Rosario Ram´ırez Mora

Director:

Dr. Josu´

e Ram´ırez Ortega

Codirector:

Dr. Armando S´

anchez Nungaray

(2)

(3)

´

_{Indice general}

Introducci´on III

1. Espacios Lp y Operadores 1

1.1. El espacioLp . . . 1

1.2. Operadores particulares en Lp(Rn) . . . 1

1.3. Operadores enL2(Rn) . . . 4

1.4. Encajes y Proyecciones . . . 5

2. Regularizaci´on 7 3. Transformada de Fourier en L1(R) 13 4. Transformada de Fourier en L2(R) 19 4.1. Regularizaci´on en L2(R) . . . 22

5. Grupo Af´ın, Isomorfismos y Representaciones 25 5.1. Grupos Topol´ogicos . . . 25

5.1.1. Medida de Haar . . . 27

5.2. Ejemplo de Grupos Topol´ogicos Localmente Compactos y Medidas de Haar . . 28

5.2.1. Grupo Π . . . 28

5.2.2. Grupo Π1 . . . 29

5.2.3. Grupo Π2 . . . 30

5.3. Representaci´on de Grupos . . . 32

5.3.1. Representaci´on de Π . . . 33

5.3.2. Representaci´on de Π1 . . . 34

5.3.3. Representaci´on Π2 _{. . . .} ₃₅

5.3.4. Relaci´on entre las Representaciones . . . 35

6. Wavelets y Espacios de Bergman 39 6.1. Espacios de HardyH_±2 . . . 39

6.2. Funciones Admisibles . . . 40

6.3. Transformada Wavelet y sus Propiedades . . . 41

6.3.1. Descomposici´on deL2_(Π_{, dµ}_{) . . . .} ₄₆

(4)

6.5. Espacios poli-Bergman . . . 52 6.5.1. Isomorfismo entre L2(Π) y L2(Π, dµ) y relaci´on entreB_Π(n) yP₍±_n₎ . . . . 55

Ap´endices 59

(5)

Introducci´

on

Xalapa-Enr´ıquez, Veracruz, junio de 2015.

Mar´ıa del Rosario Ram´ırez Mora

El objetivo del trabajo de tesis se centra en el estudio de algunos aspectos de latransformada wavelet y su relaci´on con ciertos espacios de funciones poli-anal´ıticas.

Para lograr el objetivo planteado se abordan diversos temas, uno de los cuales es el estudio de los operadores de modulaciónEx, dilataciónDyy traslaciónTxenLp(R). En particular se ve

que dichos operadores enL2(R) tienen la propiedad de ser unitarios por lo que la composición de cualquiera dos de estos operadores es unitaria. La composición que es de interés en este trabajo es TxDy, la cual se denotará por πx,y. Cualquier función g que permite realizar una

localizaci´on adecuada en el espacio y tiempo se le llama funci´on admisible. A las funciones

πx,yg se les llamawavelets.

También se abordó el tema de convolución de funciones, el cual sirve para definir la regu-larización, concepto tan importante en la aproximación de funciones. Fue necesario estudiar la transformada de Fourier y sus propiedades con el propósito de poder llevar a cabo el estudio de latransformada wavelety su relación con los espacios de funciones anal´ıticas. Mientras que la regularización de una función localiza y promedia los valores de la función en una vecindad del punto de interés, la transformada de Fourier extrae las frecuencias, las cuales proporcionan información importante de la función. Una desventaja de la transformada de Fourier es que no informa del momento en que se presentan las frecuencias altas o bajas. En este sentido la

transformada waveletcombina la regularización y la transformada de Fourier de tal manera que localiza la información de la función y extrae las frecuencias locales. La transformada wavelet se define en espacios L2 de Rn por lo que fue también necesario estudiar la trans-formada de Fourier en estos espacios, el Teorema de Plancherel juega un papel crucial en este aspecto.

Otra de las herramientas que se utilizan a lo largo de este trabajo es el estudio de los grupos topológicos localmente compactos. Por lo que se introducirá el concepto de grupos topológicos localmente compactos ya que este concepto servirá para definir la transformada waveletmediante la representación del grupo af´ın en el espacio L2(R). Con esta terminolog´ıa

y debido a los trabajos de Grossmann-Morlet-Paul podemos analizar cualquier funci´on en

(6)

La parte fundamental de este trabajo es, por una parte, definir formalmente la transfor-mada wavelet; y por otra, observar que la condición de admisibilidad permite establecer la fórmula de reconstrucción de cualquier función. Para lograr este objetivo se da lectura y se analizan los siguientes art´ıculos de investigación:

a) A. Grossman, J. Morlet; Decomposition of Hardy funtions into square integrable wavelets of constant shape, J. Math. Anal. Vol. 15, No. 4, 1984.

b) He Jianxun, Peng Lizhong; Admissible wavelet associated with the transform group on

Rn_{. Appl. Math. JCU 12B, 1997.}

En dichos art´ıculos los autores tratan las funciones cuadrado integrables de valor complejoh(t) que tienen la propiedad especial de que la transformada de Fourier se desvanece en la mitad de la recta real (es decir, ˆh(w) = 0 paraw <0). El espacio de tales funcionesh(t) se denota porH2y se llama espacio de Hardy en la recta, este es un subespacio cerrado deL2(R). En estos art´ıculos

(7)

Cap´ıtulo 1

Espacios

L

p

y Operadores

En este cap´ıtulo se presentarán los operadores de Traslación, Dilatación y Modulación, los cuales son importantes para abordar el Análisis Multiresolución y la transformada wavelet. Primeramente se dará la definición de los espacios Lp y se darán algunas propiedades de estos operadores. Posteriormente se verificará que los operadores de modulación, dilatación y traslación son unitarios enL2(Rn).

1.1. El espacio

L

p

El espacioLp es uno de los ejemplos m´as importantes de espacios de Banach, consiste de todas las funciones cuyas potencias de orden p>1 son integrables.

Definici´on 1.1.1 Sea Ω un espacio medible con medida positiva µ y sea p ∈ R tal que 1 6

p < ∞. Se denota por Lp(Ω, dµ) o bien Lp(Ω) al conjunto de todas las funciones medibles de

valor complejo f tales que _Z

Ω

|f|pdµ <∞.

Se define una norma en Lp por

||f||Lp =

Z

Ω |f|pdµ

1 p

.

1.2. Operadores particulares en

L

p

(

R

n

)

En esta sección primeramente se definirán tres operadores que son de gran interés a lo largo de este trabajo. Dichos operadores son los de traslación, dilatación y modulación enLp(Rn). A través de ellos se definirán las wavelets, la transformada wavelet y la fórmula de reconstrucción de funciones en los espacios de Hardy. A menos que se indique lo contrario, la medida que se tomará en cuenta en Rn será la medidad de Lebesgue dx.

(8)

CAP´ITULO 1. ESPACIOSLP Y OPERADORES

(Txf)(t) =f(t−x),

(Dεf)(t) = 1

|ε|npf

t ε

,

(Ecf)(t) =eic·tf(t),

(Rf)(x) =f(−x),

donde c·t = c1t1 +· · ·+cntn, c = (c1, ..., cn) y t = (t1, ..., tn). Obs´ervese que el operador identidad I est´a representado por T0, D1 y E0.

Ahora se presentarán algunas propiedades de estos operadores. Primero se verá que estos operadores son isométricos e invertibles. Además se observará que para p = 2, los operado-res adjuntos son sus operado-respectivos inversos, lo cual implica que los operadooperado-res son unitarios en

L2(Rn). Otras propiedades importantes a lo largo de este trabajo son las propiedades de enlace, es decir, las relaciones que expresan la forma en que conmutan bajo composici´on.

Lema 1.2.2 Los operadoresTx,DεyEc preservan la norma enLp(Rn), es decir, son isom´ etri-cos.

Demostraci´on. Seaf ∈Lp(Rn), as´ı

||Dεf(t)||pLp =

Z

Rn|

Dεf(t)|pdt

=

Z

Rn| 1 |ε|np

f

t ε

|p_dt

=

Z

Rn 1 |ε|n|f

t ε

|p_{dt, x}₌ t

ε

=

Z

Rn|

f(x)|pdx

= ||f||p_Lp.

La demostraci´on del resto se hace de manera semejante.

Lema 1.2.3 Propiedades asociativas:

1. Tx1Tx2 =Tx1+x2,

2. Dε1Dε2 =Dε1ε2,

3. Ec1Ec2 =Ec1+c2.

Lema 1.2.4 Los inversos de los operadores Tx,Dε yEc son T−x,D1

ε yE−c, respectivamente.

Demostraci´on.Por las propiedades asociativas se tiene queTxTx−1 =Tx−x=I. An´alogamente

(9)

Lema 1.2.5 Propiedades de enlace.

1. DεTx=TεxDε.

2. DεEc =Ec_εDε.

3. TxEc =e−ic·xEcTx.

Demostraci´on. Seaf ∈Lp(R). Entonces

(DεTxf)(t) =

1 |ε|np

(Txf)

t ε

= 1

|ε|np

f

t ε−x

= 1

|ε|np

f

t−εx ε

= (TεxDεf)(t).

Las dos propiedades restantes se prueban de igual manera.

Las propiedades de enlace facilitan ciertos c´alculos en la manipulaci´on de los grupos de operadores que se generan, y en las respectivas representaciones.

El espacioL1₍_Rn_{, loc}_{) se define como el conjunto de funciones medibles integrales en cada}

conjunto acotado. En particularLp(Rn)⊂L1(Rn, loc).

Teorema 1.2.6 El espacio de funciones continuas enRn con soporte compacto, denotado por

Cc(Rn), es denso en Lp(Rn) para p≥1.

Teorema 1.2.7 Sea f ∈Lp(Rn) con 1≤p <∞. Entonces la aplicaci´on

y7−→Tyf

es uniformemente continua de R enLp(Rn).

Demostración. Sea > 0 y f1 ∈ Cc(Rn) tal que kf −f1kLp < /3. El operador T_y es una isometr´ıa, luego kTyf −Tyf1kLp < /3. Sea B = B_r(0) la bola cerrada con centro en el origen y radio r. Sea r tal que el soporte de f1 está contenido en Br−1(0). La función f1 es uniformemente continua dado que es continua y con soporte compacto. Entonces existe δ >0 tal que|(Tyf1)(x)−f1(x)|< /(3M1/p) sikyk< δ, dondeM = Vol(B). Parakyk< δse tiene que kTyf1−f1kLp < /3.Por lo tanto

kTyf−fkLp ≤ kT_yf −T_yf1k_Lp+kT_yf₁−f₁k_Lp+kf₁−fk_Lp

< .

(10)

1.3. Operadores en

L

2

(

R

n

)

En esta sección se mostrará que los operadores dilatación, modulación y traslación son unitarios en el espacio L2(Rn). Recuérdese que un espacio de Hilbert H es aquel espacio con un producto interno h·,·i, el cual es completo con la norma inducida por el producto interno. El espacio L2(Rn) es uno de los espacios de Hilbert de mayor importancia dentro del análisis funcional. El espacio L2(Rn) se entenderá como el espacio de todas las funciones cuadrado integrables respecto a la medida de Lebesgue. Para f ∈ L2(Rn), el producto interno y la norma son los siguientes:

hf, gi =

Z

Rn

f(x)g(x)dx,

||f||2_L2 =

Z

Rn|

f(x)|2dx.

(1.1)

Definici´on 1.3.1 Sea T :H1−→H2 un operador lineal acotado, donde H1 y H2 son espacios

de Hilbert. Entonces el operador adjunto T∗ es el operador

T∗ :H2−→H1

tal que para toda x∈H1 y y∈H2,

(1.2) hT x, yi=hx, T∗yi.

Definici´on 1.3.2 Un operador lineal acotado U : H −→ H, en un espacio de Hilbert H, se dice que es:

1. isom´etricosi hU f, U gi=hf, gi para toda f yg en H. Esto es, si U satisface U∗U =I.

2. unitario si U es isom´etrico y sobreyectivo, es decir, U(H) =H. Esto es, U es unitario si U U∗=U∗U =I, lo cual significa que U−1 =U∗.

El conjunto de operadores unitarios en un espacio de HilbertH se denota por U(H).

Lema 1.3.3 El conjunto U(H) es un grupo.

Demostraci´on.SeaF,Gen U(H). Claramente GF es isometr´ıa. Luego

(GF)∗ = F∗G∗

= F−1G−1

= (GF)−1,

(11)

Lema 1.3.4 Los operadores adjuntos de Tx,Ec y Dy son sus inversos. Es decir, Tx, Ec y Dy son unitarios.

Demostraci´on.Seanf ygenL2(Rn). Se har´a la prueba para el primer operador, el resto es similar. Entonces

hTxf, gi =

Z

Rn

(Txf)(y)g(y)dy

=

Z

Rn

f(y−x)g(y)dy

=

Z

Rn

f(z)g(z+x)dz, donde z =y−x

=

Z

Rn

f(z)(T₋xg)(z)dz

= hf, T₋xgi.

1.4. Encajes y Proyecciones

Teorema 1.4.1 (Alternativa de Fredholm) Sea T :H1 −→ H2 un operador lineal

acota-do, donde H1 y H2 son espacios de Hilbert. Entonces

(1.3) kerT∗= (Im T)⊥.

Demostraci´on.Seaz∈(Im T)⊥, entonces hT x, zi= 0 para todo x∈H1, luegohx, T∗zi= 0 para todox∈H1, en particular parax=T∗z; as´ıT∗z= 0. Por lo tantoz∈kerT∗. Se concluye entonces que (Im T)⊥⊂kerT∗.

Ahora, sup´ongase quez∈kerT∗. Esto implica que T∗z = 0, luegohx, T∗zi= 0 para todo

x∈H1, as´ıhT x, zi= 0 para todox∈H1. Por lo tantoz∈(Im T)⊥.

Se sabe que para cualquier subespacioV se cumple queV =V⊥⊥,luegoIm T = (kerT∗)⊥.

Proposición 1.4.2 Considérese un operador lineal e isométrico R:H0 −→H entre espacios

de Hilbert. Entonces la imagenV =R(H0)es cerrada. SeaP :H−→H la proyecci´on ortogonal

de H sobre V. Entonces R∗R=I :H0−→H0 y RR∗=P :H−→H.

Demostraci´on. Seanh0,h˜0 ∈H0. Entonces

hR∗Rh0−h0,˜h0i = hR∗Rh0,˜h0i − hh0,˜h0i = hh0,˜h0i − hh0,h˜0i = 0.

(12)

claramente se tiene que (RR∗)∗ =RR∗. Por otro lado se tiene que

(RR∗)2 = RR∗RR∗

= RIR∗

= RR∗.

Como R∗R = I, entonces R∗R(H0) = I(H0). Esto implica que R∗(V) = H0, as´ıRR∗(H) =

(13)

Cap´ıtulo 2

Regularizaci´

on

En este cap´ıtulo se presentará la definición de convolución y de regularización. También se dará la definición de función regularizante y su aplicación para efectos de una aproximación de funciones en Lp con funciones suaves. La regularización de f se lleva a cabo mediante la localización de los valores de f con la función regularizante, para después tomar el promedio mediante la integral. La localización con funciones regularizantes y la extracción de frecuencias con la transformada de Fourier nos lleva al concepto de transformada wavelet.

Algunos resultados que se enuncian en este cap´ıtulo se encuentran en libros de texto de análisis funcional, otros se demuestran con el propósito de ilustrar técnicas y elementos en el estudio de la transformada wavelet.

Definición 2.0.3 Seanf ∈L1(Rn)yg∈Lp(Rn),p≥1. La convolución def yges la función

(f ∗g)(x) =

Z

Rn

f(x−y)g(y)dy

definida en los puntos x tales quef(x−y)g(y) es integrable respecto ay.

Sif(x−y)g(y) es integrable respecto ay, entonces también lo esf(y)g(x−y), esto significa que simultáneamente están definidas las convolucionesf ∗gy g∗f, y coinciden. Además

(f∗g)(x) =

Z

Rn

(TxRf)(y)g(y)dy=

Z

Rn

f(y)(TxRg)(y)dy.

Teorema 2.0.4 Si f ∈L1(Rn) y g∈Lp(Rn), entoncesf∗g∈Lp(Rn) y

||f ∗g||Lp ≤ ||f||_L1||g||_Lp.

Definici´on 2.0.5 Se dice que ϕ es una funci´on regularizante si es infinitamente diferen-ciable (de clase C∞) y

i) ϕ>0,

(14)

CAP´ITULO 2. REGULARIZACI ´ON

iii) R_Rnϕ(x)dx= 1,

donde supp(ϕ) es el soporte de ϕy B(0,1) es la bola unitaria enRn con centro en el origen.

La funci´on

ϕ(x) =

1

nϕ

_x

cumple que ϕ(x) ≥ 0,

R

Rnϕ(x)dx = 1 y supp(ϕ) ⊂ B(0, ). As´ı, ϕ es una funci´on cuyos

valores significativos se tienen cuando ||x|| ≤.

En este cap´ıtulo se asume que ϕes una funci´on regularizante.

Definici´on 2.0.6 Sea f ∈Lp(Rn). La convoluci´on

(f∗ϕ)(x) =

Z

Rn

(TxRf)(y)ϕ(y)dy

=

Z

B(0,)

(TxRf)(y)ϕ(y)dy

se llama regularizaci´on de f.

Ahora se mencionar´an algunas propiedades de la regularizaci´on.

Teorema 2.0.7 Si f ∈L1₍_Rn_{, loc}₎_{, entonces}₍_f_∗_ϕ

)(x) existe para cadax∈Rn y >0. M´as a´un,f ∗ϕ ∈C∞(Rn) y

∂ ∂xk

(f∗ϕ)(x) = (f ∗

∂ ∂xk

ϕ)(x).

Si f tiene soporte compacto K, entonces supp(f ∗ϕ) ⊂ {x : d(x, K) 6 }. Si X ⊂ Rn es compacto y f es continua en cada punto de X, entonces f ∗ϕ converge uniformemente a f en X.

Demostración. Sea > 0 y y ∈ B(0, ). Sin pérdida de generalidad, tómese n = 1 y obsérvese que

Jh =

(f∗ϕ)(x+h)−(f∗ϕ)(x)

h

= 1

h

Z

Rn

f(y)[(Tx+hRϕ)(y)−(TxRϕ)(y)]dy.

Por el Teorema del valor medio existe ξ =ξx,y,h entre x−y yx+h−y tal que

(Tx+hRϕ)(y)−(TxRϕ)(y) =hϕ0(ξx,y,h)

as´ı

Jh(x) =

Z x+|h|+

x−|h|−

(15)

Ahoraϕ0 es continua y acotada, adem´asξ tiende ax−y cuandohtiende a cero, entonces por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue se tiene que

Jh(x)−→

Z x+

x−

f(y)(TxRϕ0)(y)dy.

Esto demuestra que la convoluci´on es diferenciable, el mismo argumento prueba que la convo-luci´on es de clase C∞ y establece la forma de calcular la derivada.

Ahora sup´ongase que K = supp(f) es compacto. Se tiene que supp(TxRϕ(y))⊂B(x, ),

entonces

(f ∗ϕ)(x) =

Z

KTB(x,)

f(y)(TxRϕ)(y)dy.

Sid(x, K)> entoncesKTB(x, ) =∅ y as´ı (f ∗ϕ)(x) = 0, lo cual implica que

supp(f ∗ϕ)⊂ {x:d(x, K)6}.

Sup´ongase quef es continua en un compacto X. Obs´ervese que

(2.1) f(x) =

Z

B(x,)

f(x)(TxRϕ)(y)dy.

Seaη >0. Por la continuidad def enX, para cadax∈Xexisteδx>0 tal que si||x−y||< δx,

entonces|f(x)−f(y)|< ₂η. ComoXes compacto, existenx1, x2,· · · , xm ∈Xtales que las bolas

B

xj, δ_xj

2

forman una cubierta abierta deX. Seaδ= 1₂m´ın{δxj}. Parax∈X y||x−y||< δ,

se tiene que x∈B(xj, δ_xj

2 ) para alg´un j yx, y∈B(xj, δxj). As´ı

|f(x)−f(y)|6|f(x)−f(xj)|+|f(xj)−f(y)|6η.

Luego, para x∈X y < δ, se tiene

|f(x)−(f∗ϕ)(x)| 6

Z

B(x,)

|f(x)−f(y)|(TxRϕ)(y)dy

6 η

Z

B(x,)

(TxRϕ)(y)dy

= η.

As´ıf∗ϕ converge uniformemente a f en X cuandotiende a cero.

Teorema 2.0.8 Para cada f ∈Lp(Rn), con 16p <∞, se tiene

l´ım

−→0||f∗ϕ−f||p = 0.

Demostración. Supóngase que f ∈Lp(Rn). Sea η >0. Considérese p= 1. La aplicación

y7→Tyf es uniformemente continua deRnaL1(R). Existe entoncesδ >0 tal que||Tyf−f||L1 <

η para kyk< δ. Obs´ervese que

(f ∗ϕ)(x)−f(x) =

Z

B(0)

(16)

CAP´ITULO 2. REGULARIZACI ´ON

Por el teorema de Fubini se tiene que para < δ,

||f∗ϕ−f||L1 ≤

Z

B(0)

||Tyf −f||L1ϕ(y)dy ≤ η.

Considérese ahora 1 < p < ∞ y tómeseq tal que _p1 + 1_q = 1. La función ϕ es acotada y

con soporte compacto por lo que ϕ(x−y)1/pf(y)∈Lp(Rn) y ϕ(x−y)1/q∈Lq(Rn) respecto

a la variabley. Por la desigualdad de H¨older,

|(ϕ∗f)(x)| ≤

Z

Rn

ϕ(x−y)|f(y)|pdy

1 p

.

De aqu´ı se infiere que

||ϕ∗f||Lp ≤ ||f||_Lp.

ComoCc(Rn) es denso enLp(Rn), existef1∈Cc(Rn) tal que||f−f1||Lp < η

3. Ahora obs´ervese que

||ϕ∗f−ϕ∗f1||Lp = ||ϕ∗(f−f1)||_Lp ≤ ||f −f1||Lp ≤ η

3.

SeaK el soporte compacto def1. Existe R >0 tal queK⊂B(0, R). Por el Teorema 2.0.7 se tiene que ϕ∗f1 −→ f1 uniformemente en B =B(0, R+ 1). Adem´as supp(ϕ) ⊂B para

<1. SeaM = Vol(B) y δ >0 tal que kϕ∗f1−f1k∞< η/(3M1/p) para < δ. Luego

||ϕ∗f1−f1||pLp =

Z

B

|(ϕ∗f1)(x)−f1(x)|pdx

≤

Z

B

ηp/(3pM)dx

= η

p

3p.

Por lo tanto,

||ϕ∗f−f||Lp ≤ ||ϕ∗f −ϕ∗f1||_Lp+||ϕ∗f₁−f1||_Lp+||f₁−f||_Lp ≤ η.

Ahora, tómesen= 1 y obsérvese la convolución def con la función regularizanteϕ

(f ∗ϕ)(x) =

Z _∞

−∞f(y) 1

ϕ

x−y

(17)

la cual converge a f(x). Como supp(ϕ) ⊂ [−1,1], respecto a y los valores significativos de

ϕ(x−y) se tienen cuando|y−x|< . Viendo la convolución de esta forma se puede decir que la regularización es un promedio localizadode la funciónf en B(x, ), esto es, la convolución localiza el valor def(x) cuando−→0.

Por otra parte, la transformada de Fourier

ˆ

f(x) = √1 2π

Z _∞

−∞f(t)e −ixt_dt

(18)

(19)

Cap´ıtulo 3

Transformada de Fourier en

L

1

(

R

)

En este cap´ıtulo se ver´an algunas propiedades de la transformada de Fourier

(3.1) fˆ(t) = √1 2π

Z _∞

−∞f(x)e

−ixt_dx ₍_t_∈_R₎_.

La transformada de Fourier ˆf tambi´en se denotar´a porFf.

Teorema 3.0.9 Para α∈R y λ∈R\ {0}, se tiene que

a) FEα =TαF,

b) FTα=E−αF,

c) |λ| FDλ =Dλ−1F,

donde los operadores de dilatación, traslación y modulación actúan enL1(R), esto es,(Dλf)(x) =

(1/|λ|)f(x/λ).

Teorema 3.0.10 Sup´ongase que f ∈L1(R).

a) Si g∈L1(R) y h=g∗f, entonceshˆ(t) =√2πgˆ(t) ˆf(t).

b) Sig(x) =f(−x), entoncesgˆ(t) = ˆf(t).

c) Sig(x) =−ixf(x) y g∈L1(R), entoncesfˆes diferenciable y fˆ0(t) = ˆg(t).

Las propiedades mostradas en el Teorema 3.0.9 y Teorema 3.0.10 se pueden probar f´ acil-mente sustituyendo directaacil-mente en la definici´on de la transformada de Fourier.

Se usará C0(R) para denotar al espacio de todas las funciones continuas en R que se desvanecen en infinito. Obsérvese queL1(R) yC0(R) son ambas álgebras de Banach involutivas, con la involución en L1(R) definida por f∗(x) =f(−x) y la involución en C0(R) definida por f∗(t) = f(t). En C0(R) se considera la norma del supremo k · k_∞. Más aún, se sabe que

(20)

CAP´ITULO 3. TRANSFORMADA DE FOURIER ENL1(R)

de Banach involutiva conmutatica. Por el Teorema 3.0.10, la transformada de Fourier es un homomorfismo entre ´algebras de Banach involutivas conmutativas.

A partir de este momento se dar´an propiedades de la transformada de Fourier que se usar´an como herramienta para probar el Teorema de Plancherel, el cual dice que la transformada de Fourier puede definirse en L2(R) y es una isometr´ıa.

Teorema 3.0.11 Sif ∈L1(R), entonces fˆ∈C0(R) y||fˆ||_∞6||f||1/√2π, donde k · k_∞ es la norma del supremo.

Demostraci´on. Se tiene que

||_fˆ_||_∞ ₌ _sup

t∈R

|_fˆ₍_t_)|

= sup

t∈R

√1

2π

Z _∞

−∞f(x)e −ixt_dx

6 √1 2π

Z _∞

−∞|f(x)|dx.

Ahora falta ver que ˆf es continua y que se desvanece en el infinito. Seatn−→t, entonces

|_fˆ₍_t_n₎₋_fˆ₍_t_)|₆ _√1 2π

Z _∞

−∞|f(x)||e

−itnx−_e−itx|_dx.

El integrando est´a acotado por 2|f(x)| y tiende a cero puntualmente cuando n −→ ∞. As´ı ˆf(tn)−→fˆ(t) por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Esto prueba que ˆf

es continua. Ahora

ˆ

f(t) = −√1 2π

Z _∞

−∞f(x)e

−itx_e−iπ_dx

= −√1 2π

Z _∞

−∞f(x)e

−it(x+π_t)_dx.

Haciendo el cambio de variable y=x+ π_t, se tiene

ˆ

f(t) = −√1 2π

Z _∞

−∞f(y−

π t)e

−ity_dy

= −√1 2π

Z _∞

−∞(T π tf)(y)e

−ity_dy.

Se usar´a el Teorema 1.2.7 para calcular el l´ımite en ±∞,

2 ˆf(t) = √1 2π

Z _∞

−∞f(x)e

−ixt_dx₋_√1

2π

Z _∞

−∞(T π tf)(x)e

−itx_dx

= √1 2π

Z _∞

−∞[f(x)−(T π

(21)

Por lo tanto,

2|fˆ(t)| 6 √1 2π

Z _∞

−∞|f(x)−(T π

tf)(x)|dx

6 ||f−Tπ tf||1/

√ 2π.

Como ||f−Tπ

tf||1 −→0 cuando t−→ ±∞, se tiene que ˆf ∈C0(R). Esto concluye la demos-traci´on.

Dentro de las propiedades de la transformada de Fourier se tiene el teorema de inversión el cual ayuda a recuperar la funciónf bajo condiciones adecuadas; la inversión se lleva a cabo con un proceso al l´ımite mediante aproximaciones de la unidad. Se elige

H(t) =e−|t|

y h = 1/(

√

2π)F∗D−1H. Desde luego h = (1/ √

2π)DF∗H y (1/

√

2π)(F∗H)(x) = _π₍₁₊1_x2₎. Por lo tanto

h(x) =

1 2π

Z _∞

−∞H(t)e

itx_dt

= 1

π 2₊_x2. Esta funci´on cumple _Z

∞

−∞h(x)dx= 1. Note que 0< H(t)61 y queH(t)−→1 cuando−→0.

Proposici´on 3.0.12 Si f ∈L1(R), entonces

(f∗h)(x) =

1 √

2π

Z _∞

−∞H(t) ˆf(t)e

ixt_dx.

El lado izquierdo es una regularización def por lo que tiende af(x) puntualmente en puntos de continuidad; mientras que el lado derecho tiende a la transformada inversa de Fourier de ˆf. Esto nos lleva a la fórmula de inversión de la transformada de Fourier def.

Teorema 3.0.13 Si g∈L∞ y g es continua en un puntox, entonces

l´ım

−→0(g∗h)(x) =g(x).

Demostración. Primero obsérvese que h(y) = (Dh1)(y) con la dilatación el L1(R). Ahora,

(g∗h)(x)−g(x) =

Z _∞

−∞[g(x−y)−g(x)]h(y)dy

=

Z _∞

−∞[g(x−y)−g(x)] 1

h1( y

)dy, s= y

=

Z _∞

(22)

El integrando [g(x−s)−g(x)]h1(s) est´a acotado por 2kgk_∞h1(s) y tiende a cero puntualmente cuando −→0. Por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue,

l´ım

−→0(g∗h)(x) =g(x).

Teorema 3.0.14 Si 16p <∞ y f ∈Lp(R) es acotada, entonces

l´ım

−→0||f ∗h−f||p = 0.

Demostraci´on. Consid´erese dµ(y) = h(y)dy, la cual es una medida de probabilidad:

dµ(R) =R_Rh(y)dy= 1. Ahora obs´ervese lo siguiente

|(f ∗h)(x)−f(x)|p=

Z_−∞∞(f(x−y)−f(x))h(y)dy

p.

Aplicando la desigualdad de Jensen con la medida h(y)dy, se tiene que

|(f∗h)(x)−f(x)|p 6

Z _∞

−∞|f(x−y)−f(x)|

p

h(y)dy,

luego

||f ∗h−f||pp =

Z _∞

−∞|(f ∗h)(x)−f(x)|

p_dx

6

Z _∞

−∞

Z _∞

−∞|f(x−y)−f(x)|

p

h(y)dydx

=

Z _∞

−∞h(y)

Z _∞

−∞|f(x−y)−f(x)|

p

dxdy

=

Z _∞

−∞||Tyf−f||

p

ph(y)dy.

Sea g(y) = ||Tyf −f||pp, entonces g es acotada por 2pkfkpp, tambi´en es continua por la

con-tinuidad del operador de traslaci´on. Adem´as g(0) = 0. Por el Teorema 3.0.13 se tiene que

R_∞

−∞||Tyf −f||pph(y)dy= (g∗h)(0)−→g(0) = 0 cuando −→0.

Teorema 3.0.15 Sea f ∈L1(R) tal que fˆ∈L1(R). Si

g(x) = √1 2π

Z _∞

−∞ ˆ

f(t)eixtdt (x∈R)

entonces g∈C0(R) y f(x) =g(x) casi dondequiera.

Demostraci´on. Se tiene que

(f ∗h)(x) =

1 √

2π

Z _∞

(23)

El integrando est´a acotado por |fˆ(t)|. Como H(t) −→ 1 cuando −→ 0, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue garantiza que f ∗h es continua y

l´ım

−→0(f ∗h)(x) = l´ım−→0 1 √

2π

Z _∞

ixt_dt

= √1 2π

Z _∞

−∞l´ım−→0H(t) ˆf(t)e

ixt_dt

= √1 2π

Z _∞

−∞ ˆ

f(t)eixtdt

= g(x).

Sea {n} tal que n −→ 0. Por el Teorema 3.0.14, f ∗hn −→ f en L

p₍_R_{). Ahora por el}

Teorema (A.0.12), existe una subsucesi´on {nk} tal que

l´ım

nk−→∞

(f∗h_nk)(x) =f(x)

casi donde quiera, as´ıf(x) =g(x) casi donde quiera.

(24)

(25)

Cap´ıtulo 4

Transformada de Fourier en

L

2

(

R

)

En este cap´ıtulo se presentará el Teorema de Plancherel, el cual establece la definición de la transformada de Fourier en L2(R) y sus propiedades. Como la medida de Lebesgue deRes infinita, L2(R) no es un subconjunto de L1(R), por lo que la transformada de Fourier no se aplica directamente a funciones en L2₍_R_{). Sin embargo, si} _f _∈ _L1_∩_L2_{, entonces ˆ}_f _∈ _L2₍_R_), además ||fˆ||2 = ||f||2, lo cual ser´a probado en el Teorema de Plancherel. Esta isometr´ıa de

L1∩L2 en L2(R) se extiende a una isometr´ıa deL2(R) sobreL2(R), la cual es la transformada de Fourier en L2(R) (algunas veces llamada la transformada de Plancherel).

Teorema 4.0.17 (Teorema de Plancherel) Se puede asociar a cada f ∈ L2(R) una fun-ci´onfˆ∈L2(R) con las siguientes propiedades:

a) Si f ∈L1∩L2, entoncesfˆes la transformada de Fourier dada en (3.1).

b) Para cada f ∈L2(R), ||fˆ||2 =||f||2.

c) La aplicaci´on f 7−→fˆes un operador unitario enL2₍_R₎_.

d) Si

ϕn(t) =

1 √

2π

Z n

−n

f(x)e−ixtdx

y

ψn(t) =

1 √

2π

Z n

−n

ˆ

f(t)eixtdt,

entonces ||ϕn−fˆ||2−→0 y ||ψn−f||2 −→0 cuandon−→ ∞.

Demostraci´on. Seaf ∈L1∩L2 y ˜f(x) =f(−x). Entonces g=f∗f˜∈L1 y

g(x) = (f ∗f˜)(x)

=

Z _∞

−∞f(x−y)f(−y)dy, z=−y

=

Z _∞

(26)

El producto interno es tomado en el espacio de Hilber L2(R). Veamos que g es continua y acotada. Como f ∈L2, entonces

|g(x)−g(x0)|=|hT₋xf−T−x0f, fi| ≤ kT−xf −T−x0fk2kfk2.

La continuidad de g se sigue del Teorema 1.2.7. Por el Teorema 3.0.13 se tiene que

l´ım

y−→0(g∗hy)(0) = g(0) = ||f||2₂.

Por el Teorema 3.0.10,fˆ˜(x) = ˆf(x) y ˆg(x) =√2πfˆ(x) ˆf(x) =√2π|fˆ(x)|2_{. Por la} Proposi-ci´on 3.0.12, se tiene que

(g∗hy)(0) =

1 √

2π

Z _∞

−∞H(yt)ˆg(t)dt

=

Z _∞

−∞H(yt)| ˆ

f(t)|2dt.

T´omese una sucesi´on decreciente{yn} convergente a cero. EntoncesH(ynt)|fˆ(t)|2 es una

suce-si´on creciente de funciones que converge a |fˆ(t)|2. Por el teorema de convergencia mon´otona, se tiene que

Z _∞

−∞| ˆ

f(t)|2dt =

Z _∞

−∞l´ımH(ynt)| ˆ

f(t)|2dt

= l´ım

Z _∞

−∞H(ynt)| ˆ

f(t)|2dt

= l´ım(g∗hyn)(0) = kfk2₂.

Esto dice que |fˆ(t)|2 es integrable y que ||fˆ||2=||f||2.

Por otra parte,Cc(R) denso en L2(R) yCc(R)⊂L1(R)∩L2(R). EntoncesL1∩L2 es denso

en L2(R). Esto permite definir la transformada de Fourier en L2 como sigue. Se aclara que los l´ımites referidos abajo se toman con la métricak · k2 en el espacio L2(R). Tómesef ∈L2. Existe una sucesión{fn} ⊂L1∩L2convergente af ∈L2(R). Como la transformada de Fourier

es una isometr´ıa en L1∩L2, entonces{fˆn} ⊂L2 es de Cauchy, y por lo tanto es convergente a

cierta funci´on en L2. Se define la transformada de FourierFf, tambi´en denotada por ˆf, como sigue:

Ff = ˆf = l´ım ˆfn.

Veamos que esta definici´on no depende de la sucesi´on seleccionada. Sea {gn} ⊂ L1 ∩L2 otra

sucesi´on convergente a f. Sea ˆg= l´ım ˆgn. Tomando l´ımite en las desigualdades

k_fˆ_n₋_ˆ_g_n_k2 ₌_k_f_n₋_g_n_k2 _{≤ k}_f_n₋_f_k2₊_k_f ₋_g_n_k2_,

(27)

se concluye que ˆg= ˆf. Obs´ervese que la tranformada de Fourier en L2 es una extensi´on de la transformada de Fourier usual en L1∩L2. En efecto, para f ∈L1∩L2 simplemente se toma

fn=f.

Es rutina verificar que la transformada de Fourier as´ı definida en L2 es lineal e isom´ etri-ca. Por lo tanto Y = F(L2(R)) es cerrado en L2(R). Por la identidad de polarizaci´on, la transformada de Fourier preserva el producto interno.

Ahora se probar´a que Y es denso enL2(R), esto es,Y =L2(R). Obs´ervese queY =Y⊥⊥

y Y⊥ =Y⊥. Basta probar que Y⊥ ={0}. La funci´on fα,y =eiαxH(yx) est´a en L1∩L2 para

cada realα y cada y >0. EntoncesF fα,y ∈Y, y

(F fα,y)(t) =

1 √

2π

Z _∞

−∞e

iαx_H₍_yx₎_e−itx_dx

= √2π hy(α−t).

Seag∈L2(R) y g∈Y⊥. Entonces √

2π(hy∗g)(α) =

√ 2π

Z _∞

−∞hy(α−t)g(t)dt

=

Z _∞

−∞(F fα,y)(t)g(t)dt = hF fα,y, gi

= 0.

Como g∈L2(R), entonces por el Teorema 3.0.14 se tiene que

l´ım

y→0||hy∗g−g||2 = 0.

Por lo tantog= 0, luegoY⊥={0}.

Siendo la fransformada de Fourier sobreyectiva, se sigue entonces que es un operador uni-tario.

Seaχn la funci´on caracter´ıstica de [−n, n]. Entoncesfn=χnf ∈L1∩L2 paraf ∈L2(R).

Por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue se tiene que kfn−fk22 converge a cero. Entonces ϕn= ˆfn converge a ˆf. La otra parte ded) se demuestra de la misma manera.

Los siguientes dos teoremas muestran lo que ocurre al multiplicar la transformada de Fourier y su inversa a los operadores de modulación, dilatación y traslación enL2(R).

Teorema 4.0.18 Sea F la transformada de Fourier en L2(R). Para α, λ ∈ R con λ > 0, se cumple

a) FEα =TαF,

b) FTα=E−αF,

(28)

donde los operadores de translación, modulación y dilatación se consideran en L2(R). Esto significa que (Dλf)(x) =

p

1/|λ|f(x/λ).

Teorema 4.0.19 Sup´ongase que α, λ∈R con λ >0, entonces

a) F−1Eα =T−αF−1,

b) F−1Tα=EαF−1,

c) F−1Dλ=Dλ−1F−1.

4.1. Regularizaci´

on en

L

2

(

R

)

Seaϕuna función regularizante. Supóngase queϕ es simétrica respecto al origen, esto es, (Rϕ)(x) =ϕ(x). La regularización def ∈L1(R) con la función regularizante ϕ se ve como:

(f ∗ϕ)(x) =

Z

f(y)1

ϕ

x−y

dy

=

Z

f(y)1

ϕ

y−x

dy

=

Z

f(y)(TxDϕ)(y)dy,

donde el operador de dilataci´on D est´a definido en L1(R) mediante (Dϕ)(x) = (1/)ϕ(x/).

Al multiplicar una función f por (TxD)(y) se está localizando la información de f alrededor

de x, entonces la regularizaci´on significa extraer un promedio de los valores de f alrededor del punto x.

Es natural intentar una regularización de funciones enL2(R), similar a la regularización de funciones en L1(R). El cambio natural consiste en tomar en cuenta el operador de dilatación correspondiente, esto es, (Dϕ)(x) = (1/√)ϕ(x/) definido en L2(R). La regularización de

funciones en L2(R) adquiere un nuevo significado, se llama transformada wavelet, la cual est´a definida como

(Vϕf)(x, ) =

Z

f(y)(πx,ϕ)(y)dy

= hf, πx,ϕi,

donde

(4.1) (πx,ϕ)(y) = (TxD)(y) =

1 √

ϕ

y−x

.

Esta transformada se interpreta como la extracci´on de la informaci´on de f en el sistema espacio-tiempo.

(29)

cual puede considerarse como una desventaja de la transformada de Fourier. Sin embargo, una locaclización de los valores def seguida de una extracción de frecuencias con la transformada de Fourier conduce a otra transformada wavelet, la cual extrae información en el sistema tiempo-frecuencia. De esta manera se obtiene la transformada de ventana de Fourier dada por

(Wϕf)(t, w) =

1 √

2π

Z

eiwyf(y)ϕ(y−t)dy.

La función ϕ(y−t) establece el lugar en donde se analizarán las frecuencias de la señalf. Nos interesa conocer las similitudes y diferencias entre la transformadawavelety la trans-formada de ventana de Fourier. Existe una similitud entre la transtrans-formadawavelety de ventana de Fourier, la cual consiste en que ambas transformadas están dadas como productos internos de f con una familia de funciones que dependen de dos parámetros: x, para la transforma-da wavelet, y w, t para la transformada de ventana de Fourier. Esta observación no es tan superficial si se atienden ciertos grupos de operadores unitarios generados por los operadores de dilatación, modulación y traslación. Una diferencia entre la Transformada wavelet y de ventana de Fourier consiste en que, al aplicar la familia de operadoresEwTta la ventanaϕ, las

anchuras deEwTtϕ y deϕ son las mismas excepto que la gr´afica de EwTtϕest´a trasladada al

tiempo ty llenada con oscilaciones de altas frecuencias w. Por otro lado, al aplicar la familia de operadores πx, a la funci´on admisible ϕ, las gr´aficas de πx,ϕyϕ difieren en el sentido de

(30)

(31)

Cap´ıtulo 5

Grupo Af´ın, Isomorfismos y

Representaciones

En este cap´ıtulo se introducirá el concepto de grupos topológicos localmente compactos dado que este concepto servirá para definir la transformada wavelet mediante la represen-tación del grupo af´ın en el espacio L2(R). Con esta terminolog´ıa y debido a los trabajos de Grossmann-Morlet-Paul podemos analizar cualquier función en L2(R) via la transformada de Fourier mediante localización conwavelets. En particular, se tienen fórmulas de reconstrucción en espacios de funciones. También se considerarán dos grupos isomorfos al grupo af´ın, lo cual permite hacer un análisis desde diversos enfoques, se darán las representaciones de cada grupo y la relación entre dichas representaciones.

5.1. Grupos Topol´

ogicos

En esta sección se hablará un poco de Grupos Topológicos ya que son de gran importancia para garantizar la existencia de las medidas invariantes por la izquierda y por la derecha, llamadas medidas de Haar.

Definición 5.1.1 Un grupo topológico es un conjuntoGque tiene la estructura de grupo y de un espacio topológico Hausdorff, y es tal que las operaciones (x, y) 7−→ xy y x 7−→ x−1 son continuas.

Note que (x, y)7−→xy es una funci´on de G×Gen G, y se requiere que esta sea continua respecto a la topolog´ıa producto en G×G; as´ıxy debe ser continua simult´aneamente en x y en y.

Definici´on 5.1.2 Un espacio topol´ogico es localmente compacto si cada uno de sus puntos posee una vecindad abierta cuya cerradura es compacta.

Proposici´on 5.1.3 Sea G un grupo topol´ogico, sea K un subconjunto compacto de G, y sea

U un subconjunto abierto de G que contiene a K. Entonces existen vecindades abiertas VR y

(32)

CAP´ITULO 5. GRUPO AF´IN, ISOMORFISMOS Y REPRESENTACIONES

La demostración de esta proposición podrá encontrarse en [2].

Definición 5.1.4 Sea Gun grupo topológico, y seaf una función de valor real o complejo en

G. Se dice que f es uniformemente continua por la izquierda si para cada > 0 existe una vecindad abierta U de etal que

|f(x)−f(y)|<

cuando x, y∈G yy ∈xU.

Definición 5.1.5 Sea G un grupo topológico, y sea f una función de valor real o complejo en G. Se dice que f es uniformemente continua por la derecha si para cada >0 existe una vecindad abierta U de etal que

|f(x)−f(y)|<

cuando x, y∈G yy ∈U x.

SeaX un espacio localmente compacto Hausdorff, se denotar´a porK(X) al conjunto de las funciones continuas f :X−→R para las cuales elsupp(f) es compacto.

Proposici´on 5.1.6 Sea Gun grupo localmente compacto. Entonces cada funci´on en K(G) es uniformemente continua por la izquierda y uniformemente continua por la derecha.

Demostraci´on. Seaf ∈ K(G), y seaK ⊂G el soporte compacto de f. Supongamos que

> 0. Para cada x ∈ K t´omese una vecindad abierta Ux de e tal que |f(x)−f(y)| < ₂

cuando y∈xUx. Luego por una propiedad de vecindades se tiene que existe Vx una vecindad

de e tal que VxVx ⊂Ux. Luego la familia {xVx}x∈K es una cubierta abierta del conjunto K,

comoK es compacto entonces existe una colecci´on finita de puntosx1, x2,· · · , xnenK tal que

K ⊂ ∪n_j₌₁xjVxj. Sea V una vecindad sim´etrica abierta de e, con V ⊂ ∩

n

j=1Vxj. Lo que se debe probar es que si x, y ∈Gtal quey ∈xV entonces|f(x)−f(y)|< .

Obs´ervese que si x, y /∈ K entonces la desigualdad anterior se tiene. Ahora supongamos que x∈K yy∈xV. Entonces, existej0 ∈ {1,2,· · · , n}tal quex∈xj0Vxj₀ ⊂xj0Uxj₀ y como

y ∈ xV, entonces y ∈ xj0Vxj₀ ⊂xj0Uxj₀ entonces |f(xj0)−f(x)| <

2 y ||f(xj0)−f(y)|<

2 esto implica que|f(x)−f(y)|< para todoy ∈xV. ComoV es sim´etrica, la condici´on de que

y ∈xV es equivalente a la condici´on de que x∈yV. La prueba de que cada funci´on en K(G) es uniformemente continua por la derecha se hace de manera similar.

Corolario 5.1.7 Sea G un grupo localmente compacto, sea µuna medida regular de Borel en

G, y sea f ∈ K(G). Entonces las funciones x 7−→ R f(xy)µ(dy) y x 7−→ Rf(yx)µ(dy) son continuas.

Demostraci´on.Se verificar´a la continuidad dex7−→R f(yx)µ(dy) para un punto arbitra-rio x0 ∈G. La prueba para la continuidad de x7−→

R

f(xy)µ(dy) se hace de manera similar. Sea K el soporte de f, y sea W una vecindad abierta de x0 cuya cerradura es compacta. Afirmamos que para cada x∈W la funci´on f(Ly(x)) =f(yx) es continua, en efecto, por

defi-nición f es continua y como Ly es también una función continua, se sigue que la composición

(33)

Supongase que >0 y sea ˜tal que ˜µ(K(W))−1< . Ahora comoGes un grupo topol´ogico localmente compacto entonces y f ∈ K(G), entonces por el Teorema 5.1.6 se sigue que f es uniformemente continua por la izquierda as´ı se elige una vecindad abierta V de e, tal que |f(s)−f(t)| < ˜cuando s, t∈ G y satisfacen s ∈tV. Entonces para cada x en W ∩x0V y caday ∈Gse tiene que yx∈yx0V, y as´ı

Z f(yx)µ(dy)−

Z

f(yx0)µ(dy)

6

Z

|f(yx)−f(yx0)|µ(dy)

6 ˜µ(K(W))−1

6 .

Como es arbitrario, la prueba queda conclu´ıda.

5.1.1. Medida de Haar

SeaG un grupo localmente compacto, y seanµ yν medidas regulares de Borel distintas de cero enG.

Definici´on 5.1.8 Se dice queµes una medida de Haar por la izquierda (o simplemente medida de Haar) si es invariante bajo traslaciones por la izquierda, en el sentido de queµ(zA) =µ(A)

para cada z∈G y cada A⊂ B(G).

Definici´on 5.1.9 Se dice que ν es una medida de Haar por la derecha si es invariante bajo traslaciones por la derecha, en el sentido de que µ(Az) = µ(A) para cada z ∈ G y cada

A⊂ B(G).

Ahora se introducir´a un poco de notaci´on. Sea Gun grupo, seaw un elemento deG, y sea

f una función enG. Entonces la traslación izquierda def porw, se escribewf y está definida

por wf(z) = f(w·z); y la traslaci´on derecha de f por w, se escribe fw y est´a definida por

fw(z) =f(z·w).

SiGes un grupo localmente compacto y µuna medida regular, entoncesµes una medida de Haar por la izquierda en Gsi y s´olo si

(5.1)

Z

wf(z)dµ(z) =

Z

f(z)dµ(z).

De manera similar si ν es una medida, entonces ν es medida regular de Haar por la derecha en Gsi y s´olo si

(5.2)

Z

fw(z)dν(z) =

Z

f(z)dν(z).

(34)

5.2. Ejemplo de Grupos Topol´

ogicos Localmente Compactos y

Medidas de Haar

Se presentarán tres grupos topológicos localmente compactos con los cuales se trabajará a lo largo de este trabajo. El primero de ellos es conocido como grupo af´ın o grupo ax+b, se verá que los tres son isomorfos.

5.2.1. Grupo Π

Lema 5.2.1 Sea Π ={(x, y) :x∈R, y ∈R+} con producto

(x1, y1)∗(x2, y2) = (x1+y1x2, y1y2),

para (xk, yk)∈Π conk= 1,2. Entonces,(Π,∗)es un grupo con identidade= (0,1), el inverso de (x, y) es (x, y)−1=

−x y ,

1

y

. Este grupo se conoce como grupo af´ın.

Demostraci´on. Claramente si (x1, y1), (x2, y2) est´an en Π, entonces

(x1, y1)∗(x2, y2)∈Π

debido a que x1+y1x2 es real y y1y2 ∈R+. Para ver que se cumple la propiedad asociativa, obs´ervese que

(x1, y1)∗[(x2, y2)∗(x3, y3)] = (x1, y1)∗(x2+y2x3, y2y3) = (x1+y1x2+y1y2x3, y1y2y3) = (x1+y1x2, y1y2)∗(x3, y3) = [(x1, y1)∗(x2, y2)]∗(x3, y3).

Observ´ese que e= (0,1) es el elemento identidad de Π, esto es,

(x, y)∗(0,1) = (x+ 0(y), y(1)) = (x, y)

= (0 + 1(x),1(y)) = (0,1)∗(x, y).

Por ´ultimo obs´ervese que (−_yx,_y1) es el elemento inverso de (x, y), esto es,

(x, y)∗

−x y ,

1

y

=

x+y−x y , y

1

y

= (0,1)

=

−x y +x

1

y, y

1

y

=

−x y ,

1

y

(35)

Por lo tanto, (Π,∗) es un grupo.

Luego Π es un grupo topológico localmente compacto con la topolog´ıa usual, las operaciones antes definidas las cuales son continuas. Más aún para Π, las medidas de Haar izquierda y derecha son

(5.3) dµ(z) =dµ(x, y) = 1

y2dxdy,

(5.4) dν(z) =dν(x, y) = 1

ydxdy,

respectivamente. En efecto, seaf una función integrable en Π, se probará quedµ(z) es medida de Haar por la izquierda, para esto se deberá probar que la ecuación (5.1) se cumple. Para esto sean w = (x1, y1) y z = (x, y) en Π y considérense los cambios de variables α = x1+xy1 y

β =y1y. As´ı, se tiene que:

Z

Π

wf(z)dµ(z) =

Z

Π

f(w∗z)dµ(z)

=

Z _∞

0

Z _∞

−∞f(x1+xy1, y1y) 1

y2dxdy

=

Z _∞

0

Z _∞

−∞f(α, β) 1

β2dαdβ

=

Z

Π

f(α, β)dµ(α, β).

Para ver que dν(z) es medida de Haar por la derecha, se procede de igual forma.

5.2.2. Grupo Π1

Sea Π1 = {(s, ρ) : s ∈ R, ρ ∈ R+}. Para cada (s, ρ),(c, β) ∈ Π1 se define el producto ∗1 como:

(s, ρ)∗1(c, β) =

s+ c

ρ, ρβ

.

Es fácil probar que (Π1,∗1) es un grupo con inverso dado por (s, ρ)−1 = (−sρ, ρ−1) y neutro (0,1). Más aún, Π1 es un grupo topológico localmente compacto con la topolog´ıa usual, las operaciones de producto e inversión son continuas. As´ı admite medida de Haar izquierda y medida de Haar derecha dadas por

dµ1(s, ρ) =dsdρ,

dν1(s, ρ) = 1

ρdsdρ,

respectivamente. Ahora se definirá un homomorfismo φ1 de Π a Π1, el cual permite relacionar a estos grupos. La finalidad de relacionar estos grupos es debido a que en este trabajo se en-contrarán representaciones de ambos grupos y con el homomorfismo se encontrará una relación de equivalencia entre dichas representaciones. Se define el homomorfismo

(36)

como

(5.5) φ1(x, y) = (−x,

1

y).

En efecto,φ1 es un homomorfismo:

φ1((x1, y1)∗(x2, y2)) = φ1(x1+x2y1, y1y2)

= (−x1−x2y1, 1

y1y2 )

= (−x1, 1

y1

)∗1(−x2, 1

y2 )

= φ1(x1, y1)φ1(x2, y2).

El isomorfismoφ1 induce un isomorfismo Φ1 entre los espacios L2(Π1, dµ1) yL2(Π, dµ) de la siguiente manera:

Φ1 : L2(Π1, dµ1) −→ L2(Π, dµ)

f 7−→ f ◦φ1.

5.2.3. Grupo Π2

Sea Π2 = {(u, v) : u, v ∈ R}. Para cada par de elementos en Π2 se define el producto ∗2 como:

w1∗2w2 = (u1+u2, v1eu2 +v2),

donde wk = (uk, vk) ∈Π2 con k = 1,2. Se puede probar f´acilmente que (Π2,∗2) es un grupo

con inverso (u, v)−1 _{= (}₋_u,−v

eu) y neutro (0,0). Más aún, Π2 es un grupo topológico local-mente compacto con la topolog´ıa usual, las operaciones de producto e inversión son continuas. As´ı admite una medida de Haar izquierda y medida de Haar derecha, dadas por

dµ2(w) = dudv,

dν2(w) = 1

eududv,

respectivamente. Ahora, se define un homomorfismo φ2 de Π2 a Π, el cual nos permitirá rela-cionar a estos grupos, la relación entre estos grupos es importante ya que en el art´ıculo Decom-position of Hardy funtions into square integrable wavelets of constant shape, de A. Grossman y J. Morlet, se trata el grupo Π2. En el presente trabajo se hará la interpretación en el grupo Π. As´ı, se define el homomorfismo

φ2 : Π2 −→ Π

como

(5.6) φ2(u, v) = (

v eu,

1