Cálculo algebraico de la matriz n-sima de una matriz cuadrada

X

JosÉ

Rusro

IsÁ,ñEz

CÁLCULO ATGEBRAICO

DE

tA

MATRIZ

N.SIMA

DE

UNA MATRIZ CUADRADA

UNTVERSIDAD

EUROPEA-CEES

Departamento

de

Matemática

Documentos de Trabajo

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16

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UEM - CEES

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I.JMVER SIDAD EUROPEA.CEES Documentos de Trabaio 4 / 96

CóIculo algebraico de la matriz n-sima de una nutriz cuadrada Villaviciosa de Odón (Madrid), malo de 19%

@ 1996 fosé Rubio IbáÍtez

@ 1996 Universidad Europea{EES Ediciones

Ítrlorcn

l.Introducción

2.

Polinomio

característico 3. Matrices serneiantes

4.Iù'f:afiz

diagonÞable

5. Teorema de

Cayley-Hamilton

6.

Polinomio

mínimo

7.

Foma

canónica de

_lordan

8. Base cíclica

9. Cálcnlo de la raíz enésima 9.1.

Matriz

diagonizable

9.2.

Matñz ns

rl ia gonizable

10.

Bibliografía

Notas

del lector

4 4 6 6 7 7

I

I

9 9

11

CÁrculo

ALGEBRATco

DE

LA

MATRTZ

N-srMA

DE

UNA MATRIZ CUADRADA

JosÉ

Ruuro

Inri,ñnz

Universidad

Europea-CEES

Departanento

de

Matemática

1..

In¡rnoouccróN¡

El

teorema de Albert, que establece el modelo de c¿álculo de la

nn

cuadrada de trna

mafrz

cuadrada, se ha tomado como base para el presente trabajo, pero,

resultando demasiado laborioso, se desarrollan otros métodos que rest¡ltan

bas-tante

más simples. Se hace

notar

que

el

cuelpo de definición ha

de ser

nece-sariamente

algebraicamente

cerrado

(por

ejemplo, el cuerpo de

los números

compþos)

tpàtã,que así se cumpla el Tþorema Ftrndamental del _^Álgebra. Antes de

entrar en

el

tema, se exponen brevemente nociones básicas del iálgebra matricial,

que resr:Itarín, probablemente, imprescindibles para la lecfura de este a¡tículo.

2.

PorwoMro

cARAcrEnfsuco

Sea

A

la

matriz

de r¡na Transforrnación lineal definida sobre un cuerpo

K

y

IeK,

todo vector X tal que:

se llama uector prøpio.

José Rubio tbáñez

Ctilculo algebraico de la ma¡riz n-sima de unø marriz cuadrada @EDICIONES UEM-CEES 5

El sistema homogéneo:

(A-ÀI)X=O

en

el

que

I

y

O

representan

la matriz unidad

y nula

respectivamente, tiene solución si, y solo si:

l.l-r.l

I =o

El

desarrollo de este determinante es

un polinomio

f(À) de grado

n

que

recibe

el nombre

de

polinomio

_{aracterfstico,.}

_y

_{a cada}

_{una de}

_{sus raíces} 1,,,

llamadas

aalores

propios,

_{le corresponde un único vector propio.}

Eiemplo

1.

Lamafiz

[=

2

1

1 2

3

2 1

1

2

tiene:

*POLINOMIO

_{CARACTERÍSTICO}

-2r

2

1

3-À

L2

*VECTORES PROPIOS

Para

À=5

-3

=(I-s)(À-r)'z=s

0

0

2 1

1

2-Ì\

1

2 X1

X2 X3

r-2

1

L 2

-3

0

José Rubio Ib¿íñez

Ctílculo algebraico de Iu matriz n-s¡ma de una maîriz cuadrada O

EDICIONES UEM-CEES 6

Para l,=1

I[

:r][i']

[:

+

((-z,t,o)',

(-t, o,t))

tal que

3.

MnrnrcEs

SEMEIANTES

Dos matrices A y B se dicen semejantes si existe una matriz regular

_ln

I

*

O,

verificándose que:

*

_{Dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios.}

*

_{Si Yi}

_es

_{el vector propio de}

_{B correspondiente}

_{al valor propio}

_I,,

entonces

Xi = R Y, es el vector propio de este

último

valor.

4.

M¡,rnrzDrAcoNArrzABLE

Una matriz cuadrada

D

se dice Diagonal si sus elementos son tales que:

AR=B

R-r

¿it

-0

_Para

É0

i+

l=

_i)

Siendo

evidente

que

una

matriz

diagonal de orden

n

tiene

n

vectores

linealmente independientes.

Toda

matriz

semejante a

una

matriz

diagonal

se dice

Diagonalizable.

José Rubio Ibáñez

Ctilculo algebraico de Ia matiz n-simo de una matriz cuadrad¿ O

EDICIONES UEM.CEES 7

Ejemplo 2.

Para la matriz del ejemplo L se tiene:

R-L-2-L

110

101

t2L

-1 2-L

-1-23

,,

nt

=å

luego:

R-14 _{R =}

500

0L0

001

Obsérvese que la maffiz R está formada por los vectores propios de A.

5.

TEonuMA

DE

CIyIEY-HAMTLToN

Toda matriz es un cero de su polinornio característico:

f(À)=

_{lU-¿,1+f(A)=o}

6. PorwoMro

MfNrMo

Entre todos los polinomios

f(I)

tales que

f(A)

₌ O existe un único polinomio mónico

m(I)

llamado

Polinomio

Mínimo

que

divide

a todos los demás y verifica

que tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.

Eiemplo 3.

Sea:

José Rubio lbiíñez

Ctilculo algebraico de la matriz n-sima de una matriz cuadrada O EDICIONES UEM.CEES 8

le-u

l=(À'5)(r+l)'z

(A+I)+O¡(A-sI)*O

(A +

I)'

(A-

_{5I) = O}

₌

m _{(t) =} (

s-I)

.

(I+

₁₎ es el

polinomio

mínimo de A.

Una

matriz

A

es diagonalizable si

y

solo si, su

polinomio mínimo

es un producto de polinomios lineales diferentes.

7.

Fon¡vr¡, CANóNICA DE

_IoRDAN

Aunque no todas las matrices son diagonalizables, sin embargo, es posible

encontrar para

éstas,

una

matriz

semejante

de

estrucfura bastante simple. En

particular,

y

pæa los fines de este artículo, se tiene la For¡ra Canónica de _fordan.

Si en una

matriz

A

los polinornios

característico

y mínimo

se pueden

factorizat

en

polinomios

lineales

(lo

que es posible, siempre que

el

cuerpo de

definición

sea algebraicamente cerrado) entonces

A

tiene

una

representación diagonal por cajas o _{bloques de Jordan, J,} de la manera siguiente:

si: f(À) ₌

(I

- ar)nr (1, _{- ar)ú ...} (À -

a)*

y

m(1,) _{= (1,-}

q¡-t

(I-

ar)d...

(l-

a,)*

para cada a, las cajas _{Ii¡ son de la forma:}

l¡

=(a¡)

si

ñi

=1

,,

L,

= â¡

L

0

0 0

â¡

1

0 0

0

0

0

00

00

0

â1

para

m¡ > 1

â¡

1

Eiemplo

4.

Sea una

matriz

de orden 5 cuyo

polinomio

mínimo es:

José Rubio lbriñez

Cdlculo algebraico de la matriz n-sima de una matiz cuadrada @ EDTCIONES UEM-CEES 9

las _{posibles formas de Jordan, al tener únicamente un valor propio son:}

J=

v

f

=

dependiendo del número de vectores propios.

8.

BnsE

cfclrcA

Sean

A y

X una

matriz

cuadrada y un vector de orden n respectivamente,

y

m(I)

el

polinomio

mínimo de grado p, entonces:

<x,

^x,

Ãrxr,.., Ap-rX > engendran un subespacio cíclico.

9.

CÁ,rculo

DE LA RAfz ENÉsrMA

Se distinguen segrín que la matriz sea diagonalizable o no.

9.1. Jllf.atnz

diagonalizable

Sea

A

una

matriz

semejante a

la matriz D,

entonces existe

una matriz

regular R tal que:

R-lAR=D+A=RDR'l

Es evidente,

por

ser el cuerpo de definición algebráicamente cerrado, que existe una

matriz

diagonal

M

tal que:

José Rubio Ibáñez

Ctilculo algebraico de la marriz n-sima de una matriz cuadrada

@ EDICIONES UEM-CEES 10 teniéndose que:

A

_{= R}

D

_{R-l = R Mn R-l =}

(f,

llt

ll-t)n luego la

matriz

R

M

R'les

la raíz n-sima de la matriz A.

Eiemplo

5.

Sea

[=

80

18

_-1

'Polinomio _{característico} :

'Vectores propios:

*1, = 8:

*1, =

-1

'Matriz

diagonal:

=(1.-a)(l+r)=o

-¡.

0

18

-1-I

,l

0

18

-i)

t;)=[:)=

-(,,2)',

l)

_[:,)=[:)=

'(0,1)''

9

18

10

f{=

¡

R-l

-21

L

_,

_:)

=[

D ₌

R-IAR

=

_^

M=TD

es la solución real de las tres que tiene. 'RaØ cúbica:

80

0-1

20

0-1

20

6-t

José Rubio fbáñez

Cólculo algebraico de la matriz n-sima de una matiz cuadrada @ EDICIONES UEM.CEES II

'Comprobación:

20

6-1

_J'=[,:

0

-'t

9.2. Matuiz no

diagonalizable

En

este caso se expresan

la

matriz

en

función

de

la

forma

canónica de Jordan, es decir:

A=SIS'l

el problema del cálculo de la raíz n-sima de A de reduce al ciílculo

delaraízdeJ,

si:

Q"=I

entonces

A=(SQS+)"

Para el cálculo de las raíces de

_f

se procede al cálculo de las raíces de cada una de sus cajas. Como cada caja, K,, de la matriz de _{Jordan tiene la forma:}

â¡ 0 â1 1 0 1

000

1ar

el

cálculo de las raíces n-simas de cada una de las cajas se reduce a resolver el siguiente sistema:

0 0 0 0 0 0 0 0

K

n

âi00

1ar0

010

00

00

00

00

00

00

x00

yx0

zyx

tvu

José Rubio lb¡íñez

Ctílculo algebraico de la maîriz n-sima de una malriz cuodrada O EDICIONES UEM-CEES 12

Como cada caia está definida por un vector propio ep que engendra un subespacio cíclico, su base viene dada por la siguiente expresión:

(A.-l,I)eo-r=eo

y cada S, por:

S, ₌ ( _en €o-1, ...r€r )

Ejemplo

6.

Sea:

A--5-1

0

130

t 21

para calcular

sltraíz

cuadrada se procede de la manera siguiente:

'Polinomio _{característico:}

'Vectores _propios:

l,=1

Ìv= 4

=(¡,-1)

(r-¿)'

+

<(0,0,1)'>

-ì,

-1

1

3-¡.

L2

0

0

1-

¡,

X1

0

X2=Q

X30

X1

0

X2=0+<(L'L'l)',>

X30

4-L0

t 2

0

L 2

0

1-1

0

1-1

0

I2-3

José Rubio Ibáñez

Ctilculo algebraico de la ma¡riz n-sima de una matiz cuadrada

OEDICIONES UEM.CEES 13

'Forma _{de Jordan:}

0 0 L

:)

0 0 4 0 4

I=

7

0

0 x2

x=2

¡

y=L4

x=-2

n

y=-L4

4

L x

2

2ry

^

s-l

-+

2

1-1

-1

2

0-1

-1

2

-1

frr

=

.Raíz _cuadrada:

2 1

t

0 0

I

t;

0\

t_

4)-1 1 1 2 1

4

11 1 1 1 0 2 0 L

-1

0

Una de las dos soluciones de

_Qrr'=

f'

es:

a

.Base cíclica:

?u=4:

(A,,

_-l.r)

e*p-r

_=",.,

=[l

_lX::)=[l)=€*o-1

=

(2,r),

e'p _{= (} 1,L

_{)'restricción}

de _{e, = (} 1,1,L _)' < (2,1.,'J.)', _, (t,'J.,L)' >

À=L:

<(0,0,1.)'>

0 0 1 0 0

I

2

S=

1 1

i

-L4

o

i i

0

19.

1

José Rubio lb¡íñez

Ctílculo algebraico de la malriz n-sima de una matriz cuadrada

@ EDICIONES UEM.CEES 14

'Comprobación

1

4

2

9-1

0

L 7

0

134

5-1

0

130

t 2t

10.

BBI.IoGRAfrA

P. Abellanas, Geometríø básica.

S. _{Lipschutz ,.Ãlgebra Lineal.} (SCHAUM).

Birkhoff-Maclane,,4lgebra Moderna.

J. Rubio Ibález

Cálculo algebraico d¿ l¿ nøtrizn¡ima.. @EDICIONESTJEM.CEES 15

Norns

DEL

tEcroR

UNIVERSIDAD

EUROPEA-CEES

SERIE

(DOCUMENTOS

DE

TRABAIO"

TfNNOS

PUBLICADOS

7 I 96 I. Suárez-Zuloaga, Small Business Acquisitions: <Stafting tlu _{Houx from} the Roof"

(Departamento de Economía de Ia Empresa)

2 I 96 R. García de la Sen, Perspectiaa histó¡ica de Ia teoría matemática de la _{fiabiliiløil}

(Deparamento de Matemática)

3

I

96 S. A. López Navia, La _formación retóilø del profesor eI eiercicio ilel compromiso comunicatizto

prúo

de Ia pofesión docente. (Notas a Ia luz ile Ia relóriu dásiu) (Departamento de Filología Española)

4l

96

_I.

Rubio lbâñ.e2, CáIcuIo algebraico de Ia matriz n-sima de una matiz cuadrada