x ln xdx x C x C 3 1 (3 1) 4 16 b) dx arctan x d (arctan x ) arctan x arctan x 1 1 / x 2 2 a) u e dv sin bxdx du ae dx v cosbx b

(1)

Dic.11-2010 4TO EXAMEN:CÁLCULO INTEGRAL Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 1/6

PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 8:TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1) Calcular las siguientes integrales (sección 8.1):

a)

x

3

ln

x dx

b) / 4 2 0

arctan

1 x

dx

x

a)

e

ax

sin

bx dx

b) 2 2 2 1

ln

e

x

x dx

1 2 3 3 1 4 2 ln 1 a) (fórmula 11) ln 1 ( 1) tomando 4 ln 1 ln 1 ln 3 1 (3 1) 4 16 n n u u udu u C n n n u x x x x xdx x C x C / 4 / 4 ₂ / 4 2 ₀ 0 0 / 4 ₂ ₂ ₂ 2 0 arctan 1

b) arctan (arctan ) arctan

1 2

arctan 1 1

arctan [ / 4] arctan 0 arctan [ / 4] 0.222

1 2 2 x dx x d x x x x dx x 2 2 2 1 a) sin cos 1

sin cos cos

1

cos sin

1

sin cos

1

cos sin sin

ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax u e dv bxdx du ae dx v bx b a e bxdx uv vdu e bx e bxdx b b u e dv bxdx du ae dx v bx b a e bxdx e bx uv vdu b b a a e bx e bx e bxdx b b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin sin sin

sin cos

sin ( sin cos )

ax ax ax ax ax ax ax a a b e bxdx e bxdx e bxdx b b a b e bx e bx b b e e bxdx a bx b bx C a b

(2)

a)

sin

mx

sin

nx dx

;

m n

,

Z

b) 1/ 3 4 3 1/ 6

sin 3

x

cos 3

x dx

3 2 2 2 2 3 3 3 2 ₂ ₂ ₂ 2 ₂ 2 ₂ 1 1 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ln b) ln 3 2 ln 2 ln ln ln ln 3 3 3 3 1 ln 3 2 1 ln ln ln 3 3 3 3 e e e e e e e e e x x u x dv x dx du dx v x x x x x x x dx x dx x x x dx x x u x dv x dx du dx v x x x x x x dx x x dx x 2 3 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 1 1 1 3 2 2 3 2 ₂ ₂ ₂ 1 2 2 ln ln 3 9 9 2 2 2 2 ln ln ln ln ln 3 9 27 3 3 9 8 2 2 1 2 2 ln 2 ln 2 ln 1 ln1 3 3 9 3 3 9 8 2 ln ln 2 ln 2 3 3 e e e e e e x x x x x dx x x x x x x dx x x x x e e e e x x dx e e 2 2 9 27 1 2 1 1 2 2

a) , sin sin cos( ) cos( )

cos( ) cos( )

sean ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

sin sin cos cos

2( ) 2( ) sin sin 2( ) 2( ) m n m n mx nx dx m n x m n x dx m n xdx m n xdx u m n x v m n x du m n dx dv m n dx mx nx dx udu vdv m n m n u v C m n m n Z 2 1 2 1 1 2 2 sin( ) sin( ) 2( ) 2( )

, sin sin sin (1 cos 2 )

sin 2 cos 2 2 4 m n m n C m n m n m n m n nx nx dx nx dx nx dx x nx dx nxdx C n Z

(3)

4) Calcular la siguiente integral (sección 8.4) y el problema indicado en b): a) ₂

2

3 x dx

x

b) para una varilla que se extiende de x = 0 hasta x = a > 0, hallar su masa y su centro de masa si la densidad de masa está dada por

( )

x

(

x

2

a

2

)

3/ 2

1/3 1/3 4 3 4 2 -1/6 -1/6 1/3 4 2 -1/6 4

b) sin 3 cos 3 sin 3 cos 3 cos 3 sin 3 (1 sin 3 ) cos 3

sea sin 3 (sin 3 ) 3 cos 3 y 1/ 6 sin 3 ( 1/ 6) sin( / 2) 1 1/ 3 sin 3 (1/ 3) sin 0 sin x x dx x x x dx x x x dx u x du d x x dx x u x u 1/3 ₃ 0 ₄ ₂ 0 ₄ ₆ -1/6 1 1 0 5 7 5 7 1 1/3 4 3 -1/6 1 1 3 cos 3 (1 ) ( ) 3 3 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 0 3 5 7 3 5 7 3 5 7 1 7 5 2 sin 3 cos 3 3 35 105 x x dx u u du u u du u u x x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a) 2 3 2 1 3 1 ( 1) 2

la sustitución trigonométrica necesaria está dada por 1 2 sec

2 sec 1 (2 sec 1) 2 sec tan , además, ( 1) 2 2 tan

2 3 ( 1) 2 x dx xdx xdx x x x x x x u x u dx d u u udu x u x dx xdx x x x 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 sec 1 2 sec tan 2 tan

(2 sec sec ) 2 sec sec 2 tan ln sec tan

y como tan ( 1) 2 2 3 sec ( 1)

2( 2 3) ln ( 1) 2 3 2 3 2 3 ln ( 1) 2 3 u u udu u u u du udu udu u u u C u x x x u x x dx x x x x x C x x x x x x x 1 2 2 2 2 ln 2 3 ln ( 1) 2 3 2 3 C x dx x x x x x C x x

(4)

2 2 3/ 2 ₂ ₂ ₃

0 0 0

b) siendo la longitud de la varilla (sobre el eje ) su masa se calcula como ( )

( ) ₍ ₎

empleando la sustitución trigonométrica tan sab

L a a L a x dx dx M x dx x a _x _a x a u 2 2 / 4 3 2 2 3 0 0 emos que el radical se reduce a la expresión trigonométrica sec y además

( tan ) sec ; 0 arctan(0 / ) 0 y arctan( / ) arctan(1) / 4 sec s ( sec ) ( ) a a u dx d a u a udu x u a x a u a a dx a udu a M a u x a 2 / 4 / 4 3 3 2 0 0 / 4 0 2 2 2 0 2 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 0 0 ec 1 cos sec 1 1 2

[sin ] sin sin 0

4 2

1

por otro lado, el centroide de la varilla está dado por ( )

2 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 L M a M u du udu a u a M u a a a x x x dx M a xdx a xdx x x a x a 2 2 2 2 2 3/ 2 0 2 2 2 ( 3/ 2) 1 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 ( 3 / 2) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 1) 2 2 2 a a a a M a d x a x a a x a a a a a x a a x a a

(5)

5) Calcular las siguientes integrales (sección 8.5): a) 2 2

(

1) (

1)

x

dx

x

b) 3 3 1

dx

x

2 2 2 2 2 2

a) la descomposición del integrando en fracciones parciales es

( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 2 1/ 2 ; 1 1 4 1/ 4 0 0 ( 1)(1) (1) ( 1) 3 / 4 x A B C x A x x B x C x x x x x x x B B x C C x A B C A B C A B C 2 3 1 1 4 2 4 2 2 2 2 2 1

continuamos con la integración de la función racional propia

( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 3 1 1 3 1 ( 1) 1 ln 1 ln 1 4 1 2 ( 1) 4 1 4 2 ( 1) 4 3 1 ( 1) 1 ln 1 ln 4 2 2 1 4 x dx dx x x x x x dx dx dx d x x x x x x x x x x 2 2 1 3 1 1 ln 1 ln 1 ( 1) ( 1) 4 2( 1) 4 x dx x x C x x x 2 3 2 2 3 3 3 2 1 1

b) la descomposición del integrando en fracciones parciales es

1 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 1 0 1 ; 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 ln 1 A Bx C A x Bx C x x x x x x x x A x A B C B C x A B C B C B C dx x dx x x x x x 3 2 1 1/ 2 3 3 1 1 ln( 1) 2 1 1 10 3 ln 3 ln10 ln1 ln 2 ln 3 ln ln 2 2 2 5 x dx x x

(6)

Problema EXTRA – válido solamente si se resuelven todos los anteriores: 6) Calcular la siguiente integral definida. Sugerencia, hacer u = tan (x/2) ,

a) / 2 0

_3sin

_{4 cos}

dx

x

b) 1

1 ?

i

/ 2 / 2 0 0

a) Problema EXTRA: ver Sección 8.6, en particular el ejemplo 4; de ahí,

1 2 tan( / 2) 1 ln

3sin 4 cos 5 tan( / 2) 2

1 2 tan( / 2) 1 1 2 tan( / 4) 1 2 tan(

ln ln ln

3sin 4 cos 5 tan( / 2) 2 5 tan( / 4) 2

dx x C x x x dx x x x x 2 1 _{/ 2} _{/ 2} _{/ 2} 0) 1 tan(0) 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1/ 3 1 2 ln ln ln ln ln ln 5 1 2 0 2 5 3 2 5 1/ 2 5 3

b) por la identidad de Euler: cos sin

1 21 1 ( ) 100 i i i i i e i i e e e e R