4. MODELADO DEL CANAL Modelo aguas arriba del canal

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4.

MODELADO DEL CANAL

El objetivo de este trabajo es poder realizar un buen control del funcionamiento del canal. Se pretende controlar niveles de agua y caudales regulando la apertura de las compuertas del canal y el flujo de agua que entra en el mismo. Si el control automático que se implementa se basa en un modelo de la planta, es decir, un modelo del canal, será necesario disponer de una función de transferencia o de una matriz de funciones de transferencia, que recoja el

comportamiento del canal en términos de ganancia, dinámica, retardo y otros efectos. Es necesario preguntarse si se va a tener un modelo monovariable o multivariable, cuáles van a ser las entradas y cuáles van a ser las salidas, cuáles van a ser las magnitudes que se empleen y las ubicaciones que van a tener. En definitiva, se trata de saber cuáles serán las señales de control y cuáles las señales a controlar.

En los apartados subsiguientes se verán distintas posibilidades para plantear el modelo del canal, se comentará el modelo finalmente adoptado, se detallará la matriz de funciones de transferencia de este modelo y se comentarán brevemente técnicas para obtener estos modelos.

4.1.

Modelo aguas arriba del canal

Una posibilidad es plantear un modelo aguas arriba, donde con cada compuerta se controla el nivel que hay justo antes de la misma (aguas arriba). Este modelo se plantea como una caja con 5 entradas y 5 salidas. En todos los emparejamientos hay control aguas arriba, excepto en uno de ellos donde lo que se controla es el caudal aguas abajo. Esto se hace así por conveniencia en función del canal con el que se está trabajando. La tabla 5 ofrece todos los datos de dichas entradas y salidas y la figura 16 muestra la ubicación en el canal.

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26 Figura 16. Ubicación de entradas y salidas del modelo aguas arriba del canal

4.2.

Modelo aguas abajo del canal

Otra posibilidad que existe es hacer con cada compuerta un control del nivel de agua que hay a continuación de la misma. Este control es llamado aguas abajo. En el modelo que se va a plantear para este caso se tienen 7 entradas y 7 salidas. Se toma como primera variable de control el caudal entrante en el canal para controlar el nivel de agua justo anterior a la primera compuerta. Con las compuertas se controlan niveles y caudales aguas abajo, según el emparejamiento. La tabla 6 ofrece todos los datos de dichas entradas y salidas y la figura 17 muestra la ubicación en el canal de las mismas.

Tabla 6. Modelo aguas abajo del canal

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4.3.

Modelo adoptado: modelo mixto

El modelo que se adoptará finalmente será un modelo que conjugará control aguas arriba y control aguas abajo, y que será de 5 entradas y 5 salidas. Las entradas y salidas de este modelo pueden verse en la tabla 7, mientras que en la figura 18 se puede ver su ubicación.

Tabla 7. Modelo mixto del canal

Figura 18. Ubicación de entradas y salidas del modelo mixto

En las figuras 16,17 y 18 los cuadrados representan las entradas del sistema (las señales de control) y los triángulos las salidas (las variables controladas).

4.3.1. Funciones de transferencia: contínuo

A continuación se especifican las funciones de transferencia de la matriz G(s) que serán necesarias para controlar el canal.

La función G11(s) relaciona el caudal entrante en el canal con el nivel de agua en el punto RS 0 del ramal 1.

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28  =7200 + 10.186  5

Sobre dicho punto influye el movimiento de la primera compuerta, situada en el punto RS 4.27 del ramal 1, que ejerce de perturbación. Esto se expresa en la siguiente función de transferencia:

 =323597575+ 16021531.1336863.0973146 − 0.0010806+ 11132.5376 + 1 6

La función G22(s) relaciona el movimiento de la compuerta del punto RS 4.27 con el nivel del agua en el punto RS 4.275:

 =114 + 1−0.4 7

Sobre dicho punto influye el caudal entrante en el canal, que actúa como perturbación. La función de transferencia que relaciona el caudal entrante con el nivel de agua en este punto es la siguiente:

 =2520 + 10.155 8

Sobre el punto RS 0 del ramal 1 influye el movimiento de la compuerta situada en el punto RS 6.672 del mismo ramal, que ejerce de perturbación directa:

 =5280 + 1−1.44 9

Sobre este mismo punto influye igualmente el movimiento de la compuerta situada en el punto RS 12.964 del ramal 2, que es otra perturbación directa:

 =2460 + 1−0.78 10

Existe una perturbación adicional sobre este punto, representada por el offtake presente en el punto RS 1.625 del ramal 1, y que afecta también de manera muy directa por su cercanía. La función de transferencia es la siguiente:

 =2400 + 10.19 11

La función de transferencia que relaciona la apertura de compuerta del punto RS 6.672 del ramal 1 y el caudal de agua en el punto RS 6.669 del mismo ramal es la expresada en G33(s):

 =+ 0.628 + 0.0985961.07272448 12

Este mismo punto sufre la perturbación que supone el offtake situado en el punto RS 2.935 del ramal 1. Dicha perturbación tiene la siguiente función de transferencia:

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29 La función de transferencia G44(s) relaciona la apertura de compuerta del punto RS 12.964 del ramal 2 con el nivel de agua del punto RS 6.972 del mismo ramal:

 =4260 + 10.54 14

Sobre el nivel de agua en este punto influye la apertura de la compuerta situada en el punto RS 6.969, que ejerce como perturbación directa. La función de transferencia G45(s) recoge este efecto:

 =9900 + 1−1.24 15

Asímismo, este punto tiene dos perturbaciones más que le afectan de manera directa. Se trata de dos offtakes. El primero de ellos es el situado en el punto RS 10.889 del ramal 2. La perturbación presenta la siguiente función de transferencia:

 =21240 + 10.31  16

El otro offtake que afecta en este punto es el situado en el punto RS 7.849 del ramal 2. La perturbación presenta la siguiente función de transferencia

 =19440 + 10.32  17

La apertura de la compuerta del punto RS 6.969 del ramal 2 y el nivel de agua del punto RS 3.021 del mismo ramal están relacionados a través de la función de transferencia G55(s). Esta función de transferencia es la siguiente:

 =2100 + 10.54  ! 18

El nivel de agua en este punto está igualmente influenciado por el offtake presente en el punto RS 4.659 del ramal 2. La función de transferencia es la siguiente:

 =15480 + 10.31  19

El resto de los efectos no se tendrán en cuenta en el análisis. De esta manera, la matriz de funciones de transferencia queda como sigue:

 = " # # # # # # # # # $ 0.186 7200 + 1  63.0973146 − 0.0010806 323597575+ 16021531.13368+ 11132.5376 + 1 −1.44 5280 + 1 −0.78 2460 + 1 0 0.155 2520 + 1 −0.4 114 + 1 0 0 0 0 0 1.07272448 + 0.628 + 0.098596 0 0 0 0 0 0.54 4260 + 1 −1.24 9900 + 1 0 0 0 0 2100 + 10.54  ! % & & & & & & & & & ' 20

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4.3.2. Funciones de transferencia: discreto

De cara a la aplicación de técnicas de control predictivo, será necesario discretizar la planta obtenida. El tiempo de muestreo escogido es de 360 segundos (6 minutos). En el apartado 2.3.5 se explicó la problemática existente en torno a las limitaciones del software SIC. A causa de estas limitaciones, cuanto más se quisiese muestrear el sistema más corta debía ser la simulación a realizar, y cuanto más larga se desease la simulación más se debía incrementar el tiempo de muestreo. Es por ello que se emplearon diversos tiempos de muestreo a la hora de estudiar el sistema, pero de cara a realizar las simulaciones finales que sirviesen para evaluar resultados se optó por conciliar todas las necesidades y establecer una simulación estándar de 4 días, con el menor tiempo de muestreo admitido para esa duración, que es de 360 segundos (6 minutos). Las matriz de funciones de transferencia discreta que se muestra a continuación se forma a partir de estos tiempos de muestreo.

( = " # # # # # # # # # $0.009071( ( − 0.9512 0.001201(− 0.001144( − 6.449 ∗ 10 (− 1.769(+ 0.7762( − 1.816 ∗ 10 −0.09491 ( − 0.9341 −0.1062 ( − 0.8639 0 0.02063 ( − 0.8669 −0.383 ( − 0.04252 0 0 0 0 0 10.88( + 9.848 ∗ 10 (− 1.616 ∗ 10 ( + 6.527 ∗ 10 0 0 0 0 0 0.04376 ( − 0.919 −0.04428 ( − 0.9643 0 0 0 0 0.08507(( − 0.8425 %& & & & & & & & & ' 21

Las funciones de transferencia de las perturbaciones debidas a los offtakes: ( =( − 0.86070.02647 22 ( =( − 0.93180.003408 23 ( =0.00521(  ( − 0.9832 24 ( =0.005871(  ( − 0.9817 25 ( =0.007126(  ( − 0.977 26

4.4.

Técnicas de identificación empleadas

Para identificar un sistema y obtener el deseado modelo es necesario aplicar la conocida técnica de estimular una de las entradas del sistema, dejando en reposo las demás, y ver qué efecto tiene este estímulo en cada una de las salidas, y en base a las salidas obtenidas identificar cada uno de los elementos de la matriz de transferencia.

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31 El estímulo que se aplica al sistema es un tren de pulsos. Para obtener dicho tren de pulsos se desarrolló un programa Matlab. En dicho programa Matlab se indican una serie de

parámetros necesarios como la altura de los pulsos, el número de pulsos deseado, la duración máxima del pulso o el tiempo de reposo necesario antes del primer pulso. El resultado de la ejecución es un vector donde se acumulan los valores de cada muestra de dicho tren de pulsos.

Una vez obtenido el tren de pulsos, éste se aplica sobre el sistema. Para ello, se realizará una simulación en régimen transitorio con SIRENE empleando el módulo de regulación de SIC en bucle abierto. Aquí es necesario emplear la interfaz entre SIC y Matlab y desarrollar en este último un simple programa de regulación que se limita a pasar a SIC el tren de pulsos y recoger la respuesta proporcionada por este software. Se puede decir que la representación en SIC del canal hace de planta en este proceso de identificación.

Cuando ya se tiene la respuesta del sistema al estímulo, es el momento de analizarla, previo graficado de la misma. A partir de los pares de entrada y salida, se han probado 4 maneras de identificar respuestas en base a una entrada determinada, analizándose éstas en los apartados subsiguientes.

4.4.1. Identificación mediante mínimos cuadrados

Se desarrolló un programa en Matlab para identificar el sistema mediante el método de los mínimos cuadrados recursivos. Este programa toma la entrada que se aplica a un sistema y la respuesta obtenida a dicha entrada y las analiza con el fin de obtener la correspondiente función de transferencia. En concreto, devuelve el numerador y el denominador de la función de transferencia obtenida en el dominio Z, ya que trabaja en discreto. La fiabilidad de la solución obtenida se mide mediante la traza de la matriz P, que debe tomar valores bajos al converger. Es un método iterativo donde P toma un valor inicial y va convergiendo a un valor concreto con el paso de las iteraciones.

El programa obtiene los coeficientes de la función de transferencia en el dominio Z identificada. Sólo habría que antitransformar al dominio contínuo según el tiempo de muestreo empleado para tener una función en el dominio S.

4.4.2. Identificación mediante inspección visual

Este método es mucho más intuitivo y proporciona una primera aproximación del canal. Tiene la ventaja de que las soluciones propuestas (funciones de transferencia de primer orden en su mayoría, de segundo orden las restantes) son sencillas de cara a la implementación de un controlador predictivo basado en modelo, pero la desventaja de que esta aproximación pueda pecar de poco precisa. Otra desventaja es que no se estimula el sistema con un tren de

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32 escalones, sino que se le estimula con un único escalón, lo que puede empobrecer la calidad de la identificación hecha.

La mayoría de las respuestas obtenidas pueden ser aproximadas de forma visual como respuestas de primer orden. Para ello es necesario identificar los siguientes parámetros en la gráfica de respuesta:

• Retardo: Tiempo que tarda la salida en evolucionar desde que se aplicó la entrada • Ganancia: Cociente entre la variación del nivel de salida y la magnitud del escalón

introducido.

• Tiempo característico: se calcula como el tiempo que tarda la salida, desde que empieza a evolucionar en alcanzar el 63% de la variación total de dicha salida

Al trabajar en discreto, las medidas temporales habrá que hacerlas en muestras y pasarlas luego a segundos multiplicando por el tiempo de muestreo empleado en la simulación con SIRENE.

4.4.3. Identificación mediante aproximación de sistemas de primer orden

Partiendo de la inspección visual realizada en el apartado 5.2, se realizó un programa en Matlab que fuese capaz de analizar gráficas y aproximarlas como respuestas de sistemas de primer orden. Básicamente se trata de poner en un programa Matlab lo aplicado en la inspección visual realizada de forma previa. El programa identifica en una gráfica gráfica los parámetros propios de las respuestas de primer orden: ganancia, tiempo característico y retardo y, en base al tiempo de muestreo empleado, devuelve la función correspondiente en el dominio S.

Hay que tomar en consideración que en muchas ocasiones es necesario realizar una simulación larga para poder obtener un valor fiable de ganancia y, por otra parte, tener un tiempo de muestreo lo suficientemente pequeño para poder capturar bien la dinámica del sistema de cara a poder identificar el tiempo característico. Como ya se comentó, el buffer de muestras de la versión de SIC empleada es bastante limitado y no es posible tener

simulaciones largas con un tiempo de muestreo bajo. Es por esto que en más de una ocasión ha sido necesaria la realización de dos simulaciones, una corta y otra larga, para poder

identificar un determinado elemento de la matriz de transferencia a hallar. En este sentido, un condicionante que existe es que es necesario, una vez empezada la simulación, dejar pasar un tiempo (número de muestras de equilibrio) para que la salida se estabilice antes de introducir las entradas para hacer el análisis más fiable. De esta manera se inutiliza un precioso número de muestras, con el perjuicio que ello conlleva.

Se obtuvieron buenos resultados en general comparándolos con los de la inspección visual, aunque la influencia del tiempo de muestreo afecta en gran medida a la precisión de los mismos.

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4.4.4. Identificación usando toolbox de Matlab

Para la identificación de sistemas se pueden emplear herramientas de apoyo. Una de las opciones la proporciona Matlab, que ofrece un toolbox dedicado a la identificación de sistemas. Antes de arrancar el toolbox, es necesario tener almacenados en el espacio de trabajo de Matlab el vector de entradas del sistema y su correspondiente vector de salidas. Una vez se tienen preparados ambos vectores se ejecuta el toolbox introduciendo en la ventana de comandos de Matlab la orden ident. En la figura 19 puede verse el aspecto de la herramienta de identificación de Matlab cuando es arrancada. En la parte de la izquierda se puede ver la zona de adquisición de datos y en la parte derecha la zona donde se pueden comparar los modelos propuestos por la herramienta. En la figura 20 puede verse la ventana donde se introducen los vectores de entrada y salida, se indica la muestra a partir de la cual se deben empezar a analizar los datos, y se especifica el tiempo de muestreo.

Una vez importados los datos, existe la posibilidad de preprocesarlos, con las opciones disponibles en el menú desplegable que puede verse en la figura 19, en la parte central de la ventana. Si no es el caso, justo debajo se tiene un desplegable con las opciones existentes a la hora de hacer estimaciones de modelos. Puede verse en la figura 21.

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Figura 20. Ventana para la adquisición de datos del toolbox de identificación de Matlab

Figura 21. Estimación del modelo. Opciones existentes

De las opciones ofrecidas para la estimación de modelos, se han empleado dos: los modelos lineales paramétricos y los modelos de procesos. En el caso de los modelos lineales paramétricos, es necesario indicar a la herramienta el mínimo y el máximo de número de

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35 ceros, de polos y de muestras de retardo. En el caso que ocupa, se ha puesto un rango de entre 1 y 10 para todos estos parámetros. En la figura 22 puede verse el aspecto de la ventana donde se introduce esta información.

Figura 22. Ventana de introducción de datos de modelos lineales paramétricos

Una vez se tiene la configuración, se pulsa el botón estimate y la herramienta nos ofrece una serie de modelos que podrían capturar el comportamiento del sistema en base a la entrada y salida que se tiene. En la figura 23 puede verse la ventana resultante de esta estimación. Se ofrecen 20 modelos distintos, indicándose para cada modelo el número de ceros, de polos y de muestras de retardo que tiene. Las barras verticales que se tienen indican lo que el toolbox estima que es de precisa la aproximación en base a varianzas respecto a la salida. Cuanto más baja es la barra, mejor. Por eso, los modelos con pocos polos, ceros y retardos tienen barras más altas.

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36 Lo normal es tomar en primer lugar los modelos menos precisos (pero que son más

sencillos y por tanto con menores dificultades computacionales). Los modelos se indican con tuplas de parámetros con la forma [número de polos (na), número de ceros (nb), número de muestras de retardo (nk)]. Se pueden insertar para ser comparadas mediante el botón insert de la ventana de la figura 23. En la figura 24 se puede ver el aspecto de la herramienta cuando se han seleccionado algunos modelos a comparar. Existen diversas formas de comparación. La más gráfica, que también se ve en la figura, es mediante la respuesta temporal, donde se compara la respuesta temporal que generó la simulación con SIC con la respuesta temporal que a la misma entrada tiene el modelo propuesto para aproximar el sistema. Existe un índice, expresado en tanto por ciento, que muestra la precisión del modelo propuesto. En el caso de la figura 24, se tienen tres modelos que son comparados con la gráfica obtenida en la

simulación con SIC que fue introducida en el toolbox. El primer modelo tiene 1 polo, 2 ceros y un tiempo de muestreo de retardo, y al compararlo con la salida de referencia la similitud calculada por el toolbox es de un 39,12%. En el caso del segundo modelo, con 1 polo, 3 ceros y un retardo se obtiene una similitud de un 93,41%. Finalmente, el tercer modelo es más complejo pues tiene 9 polos, 8 ceros y 1 muestra de retardo, y sin embargo sólo logra una similitud del 90,98%.

Figura 24. Comparación de respuestas temporales de modelos propuestos

Escogiendo uno de los modelos propuestos y haciendo click con el botón derecho del ratón se pueden ver detalles del mismo, como la función de transferencia propuesta, especificada en el dominio Z. Además, se puede llevar un modelo concreto al espacio de trabajo en Matlab para hacer pruebas como la respuesta a escalón, la respuesta impulsional o la respuesta a una entrada concreta. En el toolbox están disponibles otros datos para los modelos como la respuesta en frecuencia, el diagrama de polos y ceros o el espectro de ruido. Todos estos datos se pueden tomar en cuenta para escoger la mejor función de transferencia posible que caracterice al par entrada-salida bajo estudio. En la figura 25 pueden observarse detalles de un modelo.

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37 Figura 25. Detalles de modelo, con función de transferencia

La otra forma de tratar de obtener un modelo es mediante los modelos de proceso. De esta manera se pueden obtener modelos de primer, segundo y tercer orden, añadiéndoles un integrador, un retraso o un cero si hiciese falta. Se pueden realizar estimaciones de manera automática o partiendo de valores iniciales propuestos por el usuario. También el usuario, de conocer alguno de los parámetros de la función de transferencia a obtener, puede indicarlo acotando la búsqueda de soluciones por parte del toolbox. Se puede indicar un rango

numérico dentro del cual cada parámetro puede estar (el normal es entre menos infinito y más infinito). En la figura 26 puede verse el aspecto de la ventana tras realizar una estimación donde se han obtenido una ganancia, un cero, un retardo y tres polos. En la figura 27 puede verse la pantalla principal del toolbox con el nuevo modelo propuesto que ya ha sido añadido, y donde se muestra también la compatibilidad con la gráfica de referencia, que en este ejemplo asciende al 94,49%. La diferencia entre los modelos de proceso y los paramétricos lineales es que en los primeros se trabaja en el dominio S y el los segundos se trabaja en el dominio Z.

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38 Figura 27. Comparación entre modelos

Finalmente, en la figura 28 pueden verse en detalle del modelo obtenido mediante este proceso.

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