INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN Aprobada según Resolución No NIT DANE SOLEDAD ATLÁNTICO.

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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN

Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 1 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 GUÍA N°1

ÁREA: Matemáticas GRADO: 8

Docente: Maria Teresa Ospino

Fernández PERIODO: I IH (en horas): 40

EJE TEMÁTICO NÚMEROS REALES

DESEMPEÑO Resuelve problemas y simpliﬁco cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos

NÚCLEOS TEMÁTICOS:

● Números racionales Q y sus aplicaciones

● Identificación, operaciones y propiedades de los Q

● Aplicación de la definición de números racionales y sus operaciones en la resolución de situaciones problemas

● Números irracionales I y sus aplicaciones

● Identificación, operaciones y propiedades de los I

● Aplicación de la definición de números irracionales y sus operaciones en resolución de situaciones problemas

● Generalización hacia los números reales R ● Composición de los números reales

● Operaciones y sus propiedades

● Aplicación de la definición de números reales y sus operaciones en la resolución de situaciones problemas

COMPETENCIAS

CIUDADANAS PARA

EVALUAR EN EL AULA

● Se comunica a través del diálogo constructivo con los otros

● Considera las consecuencias de sus propios actos

● Cuidar de sí mismo y de los demás respetando las diferencias en sus compañeros

INDICADOR(ES) DE DESEMPEÑO(S)

✓ Identifica y opera a los números Q en sus diferentes representaciones y contextos

✓ Identifica y opera a los números I en sus diferentes representaciones y contextos

✓ Determina la conformación de los números R y los opera dándole solución a situaciones problemas contextualizadas

SITUACIÓN(ES) PROBLEMA(S):

El automóvil fue inventado en Alemania en 1886 por Carl Benz. Desde su aparición hasta la fecha, son muchos los modelos, las clases y formas desarrolladas. Hoy día todo vehículo con motor de combustión interna se puede clasificar de la siguiente forma: por sus dimensiones y por la carrocería, que está determinada por la utilidad que se le da.

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 2 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018

El automóvil más largo es la limusina de Jay Ohrberg. Con 26 ruedas y más de 30 metros de longitud. En su interior dispone de una piscina y cama de agua.

En 1962 fue creado el automóvil más pequeño del mundo, el Peel P50. Tiene el récord Guinnes por ser el de menor dimensión jamás producido. Está construido en fibra de vidrio, y con sus 59 kilos, 134cm de longitud, 99cm de ancho y 134cmc de altura, es entendible que a pesar de su ligereza, resulte difícil de conducir por el usuario. Este automóvil de una sola silla es impulsado por un motor Zweirad Union

de 49 𝑐𝑚3 Responde en tu cuaderno

1. Expresa las longitudes de la limusina de Jay Ohrberg y el Peel P50 en m, cm y dm

2. ¿Cuántos el Peel P50 alineados frente a la limusina de Jay Ohrberg son necesario para igualar sus longitudes?

3. Calcula el cuadrado de la mitad de las ruedas de la limusina

4. Calcula la cuarta potencia de la altura del Peel P50.

5. Si una mujer mide tres medios de la longitud del Peel P50 ¿cuál es su estatura?

FASE AFECTIVA

Evaluación Diagnóstica

1. Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y

m.c.m.

2. Representa gráficamente las siguientes fracciones 3

8

3 10

9 20

3. Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

potencia Base Exponente Resultado

23 −32 ( 1 5 ) 4 ( −3 7 ) 2

(3)

4. Ordena las fracciones de menor a mayor 7

4

14 5

23 11

33 14

5. Realiza la operación y simplifica si es posible

5

9 ∗ [

3

4 − (

5

7 ÷

15

2 )]

Glosario

Ángulos alternos externos: ángulos que se forman en distinto lado respecto a una transversal que corta dos rectas no adyacente

Ángulos alternos internos: ángulos que se forman, internamente, en distinto lado respecto a una transversal que corta dos rectas no adyacente

Ángulos opuestos por el vértice: ángulos que tienen un vértice en común donde los lados de uno son semirrectas opuestas del otro

Ángulos suplementarios: ángulos cuyas medidas suman 180°

Baricentro: punto en el concurren las medianas de un triángulo

Binomio : expresión algebraica que tiene dos términos

Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos congruentes

Circulo: región delimitada por una circunferencia

Circunferencia: curva cerrada cuyos puntos están a un misma distancia del centro

Coeficiente: constante que multiplica la parte literal de un término algebraico

Cuadrado perfecto: número que se obtiene al elevar otro al cuadrado

Decimal exacto: expresión decimal cuyas cifras decimales son finitas

Decimal periódico: expresión decimal cuyas cifras decimales tienen una cifra o grupo de cifras que se repiten infinitamente

Desigualdad: expresión que simboliza una realción matemática de orden entre dos cantidades

Ecuación: igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de la variables.

Expresión algebraica: expresión compuesta por números y letras que están separadas por los signos de las operaciones fundamentales de la matemática

Factorización: descomposición de un polinomio como producto de factores primos

Función: regla de correspondencia que asigna a cada valor del dominio un único valor del rango

Incógnita: cada una de las letras que aparecen en una ecuación

Inecuación: relación de desigualdad entre expresiones algebraicas

Intervalo: subconjunto infinito del conjunto de los números reales, puede ser abierto, cerrado o semiabierto

Polinomio: expresión algebraica que consta de uno o más términos

Potenciación: expresión que simplifica la multiplicación de factores iguales

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generalizar para hallar la respuesta sin realizar la respuesta sin realizar las operaciones

Radicación: operación opuesta a la potenciación. Permite hallar la base de una potencia.

Teorema: proposición que puede ser demostrada

Término: cada uno de los sumandos que aparecen en una expresión algebraica

Valor absoluto: el valor absoluto de un número hace referencia a la distancia que hay entre el cero y dicho número en la recta numérica

Valor numérico de un polinomio: cantidad que se obtiene al sustituir las letras por su valor numérico

Variable algebraica: cada una de las letras que aparecen en una expresión algebraica.

FASE COGNITIVA

LOS NÚMEROS REALES (R)

NÚMEROS RACIONALES (Q)

son todos los números que se pueden expresar de la forma 𝑎

𝑏 donde a y

b son números enteros y b es diferente de cero

NÚMEROS ENTEROS (Z)

Se conformar con los enteros positivos ( 𝒛+_), los enteros negativos( 𝒛−)

y el cero (0), los número naturales N se comportan de la misma maner que los enteros positivos y por eso se dice que estan incluidos en este conjunto

FRACCIONES

DECIMALES

FINITOS PERIÓDICOS DECIMALES

NÚMEROS IRRACIONALES (I)

son los decimales infinitos no

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NÚMEROS RACIONALES Q Y SUS APLICACIONES 1. Números Enteros Y Operaciones Básicas

El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos

𝒛

+

Y los enteros negativos

𝒛

−.El comportamiento de los números enteros positivos es equivalente al del conjunto de los números naturales, por esta razón se afirma que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo Z, y se determina así:

Z = {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,...}

Los números enteros se representan en la recta numérica ubicando primero el número 0 como referente; a su derecha se ubican los enteros positivos y a su izquierda los enteros negativos

1.1. Valor Absoluto

𝑠𝑖 𝒛 ∈ 𝒁,

el valor absoluto de 𝑧 se simboliza como

|𝒛|

y representa la distancia que

hay entre

𝒛

y el cero en la recta numérica

Por ejemplo, el valor absoluto de —3 es 3, ya que hay 3 unidades de distancia entre -3 y 0. Se escribe |— 3| =3.

El opuesto del número entero a es -a. Se cumple que |a| = |-a|

1.2 Operaciones Entre Los Números Enteros

Adición: para sumar o restar números enteros se debe tener en cuenta los siguientes aspectos:

➢Si los dos números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le asigna el signo de los números dados.

➢Si los números tienen signos diferentes, se halla la diferencia entre sus valores absolutos y al resultado se le asigna el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Por ejemplo: -5 + 3 = -2

Porque -5 y 3 tienen signo diferente, entonces, la diferencia entre |-5| y |3| es 2. El resultado tiene signo negativo, porque |-5| > |3| y el signo de -5 es negativo.

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Sustracción: la resta de dos números enteros es la suma del primer número entero con el opuesto del segundo número. Es decir, a - b = a + (-b).

Por ejemplo:

Al restar 8 — 17, se puede escribir como 8 + (-17) = -9.

Para simplificar a partir de este momento para los números enteros la adición y la sustracción se verán como una operación conjunta y siempre hablaremos de adicionar.

Multiplicación y división

Para multiplicar o dividir se debe tener en cuenta:

 Se multiplican o dividen los número sin tener en cuenta los signos

 Se determina el signo del resultado, producto o cociente, utilizando la ley de los signos Multiplicación División (+).(+)=+ (+)÷(+)=+ (-).(-)=+ (-)÷ (-)=+ (-).(+)=- (-)÷ (+)=- (+).(-)=- (+)÷ (-)=- Por ejemplo: (-10).(-6) = 60 (-92) ÷ (-4) = 23 (-19).(5) =-95 68 ÷ (-17) = -4 Polinomios Aritméticos

Un polinomio aritmético es una expresión que involucran varias operaciones con números.

Para resolver polinomios sin signos de agrupación se resuelven primero las raíces y/0 potencias, luego las multiplicaciones y/o divisiones y por ultimo las sumas o restas de izquierda a derecha.

Para resolver polinomios con signos de agrupación, se resuelven primero las operaciones que están dentro del paréntesis para eliminar signos de agrupación de a

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 7 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 dentro hacia afuera

Ejemplos:

Resolver cada polinomio aritmético

a. 9.8 ÷ 6 − 40 + 15 = 72 ÷ 6 − 40 + 15 = 12 − 40 + 15 = −28 + 15 = 13 b. 5 − [−11 − (−8 + 1)] ÷ 2 = 5 − [−11 − (−7)] ÷ 2 = 5 − [−11 + 7] ÷ 2 = 5 − [−4] ÷ 2 = 5 − [−2] = 7 ACTIVIDAD #1  Resuelve las siguientes operaciones.

a. 5 + (-3) -6- (-1)

b. [7 - (6 - 2)] - (3 - 1)

c. -6 • {[-32 ÷ 8 + (9 - 27)] - 14} - (-2)

d. 4 • 3 + [5 - 2(8 + 4)] + 6

 Encuentra el valor absoluto de los siguientes números a.│-15│

b. │21│ c. │0│ d.│-124│

 Resuelve y luego de respuesta.

a. El producto de dos números enteros es —540. Si un factor es 12, ¿cuál es el otro factor?

b. Un refrigerador baja su temperatura en 3 °C, cada 20 minutos. Si inicialmente tiene una temperatura de 9 °C, responde. ¿Cuánto tiempo debe pasar para alcanzar una temperatura de —27 °C?

 Redacta 4 situaciones que se puedan representar utilizando los números enteros negativos y luego de solución a dicha situación

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2. Números Racionales (Q) Y Sus Aplicaciones

El conjunto de los números racionales se simbolizan con la letra Q y se definen como:

Q={𝒂

𝒃, 𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂, 𝒃 ∈ 𝒁 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎 }

2.1. Orden en el conjunto de los números racionales

Dados los números racionales 𝒂

𝒃 𝒚 𝒄

𝒅 𝒄𝒐𝒏 𝒃 𝒚 𝒅 ≠ 𝟎, se puede establecer una y solo una

de las siguientes relaciones:

𝒂 𝒃

>

𝒄 𝒅

𝒂 𝒃

<

𝒄 𝒅

𝒂 𝒃

=

𝒄 𝒅

Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se convierten los números en fracciones equivalentes de igual denominador. Luego, se comparan los numeradores de las fracciones equivalentes.

Otra estrategia que se puede aplicar es. Dados dos número racionales 𝒂

𝒃 𝒚 𝒄 𝒅 se tiene que:

𝒂

𝒃

>

𝒄

𝒅

𝒔𝒊 𝒂. 𝒃 > 𝒄. 𝒅

𝒂

𝒃

<

𝒄

𝒅

𝒔𝒊 𝒂. 𝒃 < 𝒄. 𝒅

Ejemplo:

2.2. Operaciones con los número Q

Adición y sustracción: la suma o resta de dos o más números racionales con igual denominador es un número racional que corresponde a la suma o resta de los

numeradores con el mismo denominador. La suma o resta de dos números racionales con distinto denominador equivale a la suma o resta de los números racionales

equivalentes con igual denominador.

Multiplicación: el producto de dos o más números racionales es otro número

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 9 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 el producto de los denominadores.

División: el cociente entre dos números racionales es el producto del primer número racional con el recíproco del segundo número racional

Ejemplo:

2.3. Representación Decimal De Un Número Racional

Los números racionales se pueden representar en forma de número decimal

dividiendo el numerador entre el denominador. Los números decimales obtenidos de esta forma pueden ser:

Números decimales finitos: son los números decimales que tienen una cantidad finita de cifras decimales.

Números decimales infinitos periódicos: son los números decimales que tienen una o varias cifras que se repiten indefinidamente, a las cuales se definen como período. Los números decimales infinitos periódicos se clasifican como decimales

periódicos puros, cuando el período comienza a partir de la primera cifra decimal, y decimales periódicos mixtos, cuando hay una o varias cifras que no se repiten después de la coma y el período se repite después.

Ejemplo 1 :

Las frutas y verduras son una buena fuente de vitaminas y minerales además

aportan calorías para el funcionamiento de nuestro organismo así, 100gr de plátano aportan 91 calorías, 100gr de manzana aportan 59 calorías y 100gr de nueces aportan 665 calorías. ¿Cuál es el aporte en calorías por cada gramo de plátano, manzanas y nueces?

Solución:

100gr de plátano aportan 91 calorías 91

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100gr de manzana aportan 59 calorías 59

100= 0,59

100gr de nueces aportan 665 calorías 665

100 = 6,65

Por tanto en un gramo de plátano hay 0,91 calorías, en 1 gramo de manzana hay 0,59 calorías y en 1 gramo de nueces hay 6,65 calorías

Ejemplo 2 :

Escribir en forma de fracción cada número decimal

Actividad #2

1. Ordena cada grupo de números de mayor a menor



1 4

, −

2 4

,

10 4

, −

20 4

, −

12 4

,

39 4

, −

4 8



−3 4, 5 4, 1 2, 11 12, − 4 3, 5 6, − 5 8 2. Escribe en la casilla <, >, =, según corresponda  1 2

−

1 2 

−

9 5

−

4 5  27 100

3 10  11 15

18 3

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 11 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 3. Realiza las operaciones.

Simplifica si es posible



−

1 3

+

7 5

−

8 6



(

4 3

−

7 9

) − (

−9 15

−

−12 5

)



−

3 2

× {[

3 5

× (−

4 8

−

7 9

)] ÷ [

7 2

+ (

−2 9

)]}



[

6−(−4) 9−3

] × (

−15+(−17) 11−14

) ÷ (

20 3

−

111 6

)

a. A .  Pedro estudio 11 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Enrique 23 4 horas

y juan 6 horas ¿cuántas horas han estudiado los tres juntos?

 Esteban entrena de lunes a viernes y se ha propuesto nadar 8 horas

semanales para prepararse para una competencia. Del lunes al jueves realizó los siguientes tiempos de entrenamiento, el lunes una hora y cuarto, el martes una hora y tres cuartos, el miércoles dos horas y el jueves una hora y media. ¿Cuánto tiempo debe nadar el viernes para alcanzar las 8 horas de entrenamiento semanal?

 Los tres cuartos de un numero son 60 ¿cuál es el número?

 un caballo costo 1.250.000 si cuanto se vende por los tres quintos del costo ¿cuánto dinero se pierde?

4. Resuelve cada situación

 La longitud de una de los lados de cuadrado es de tres quintos ¿Cuál es la medida del perímetro del cuadrado? ¿cuál es el área del cuadrado?

3. Números Irracionales (I)

se simboliza con la letra I o R-Q está formado por todos los decimales infinitos no periódicos ejemplo de ellos tenemos √52 , √23 , 𝜋, 𝑙𝑜𝑔2, 𝑒

3.1. representación en la recta numérica de los irracionales

Así como a los racionales a cada número irracional le corresponde un punto en la recta numérica es posible representar algunos números irracionales en la recta numérica utilizando construcciones geométricas.

Por Ejemplo para ubicar en la recta numérica √2 se realizan los siguientes pasos:  se construye el segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ donde 𝐴 = 0 𝑦 𝐵 = 1

 se traza el segmento 𝐵𝐶̅̅̅̅ perpendicular al segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ y de longitud 1

 se una 𝐴 con 𝐶 para formar el segmento 𝐴𝐶̅̅̅̅ y su medida se halla aplicando el

teorema de Pitágoras

 por ultimo con el compás se hace centro en 𝐴 y se toma la distancia 𝐴𝐶 luego

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 12 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 corte corresponde a √2 Ejemplo 2:

Ubica sobre la recta numérica √5

ACTIVIDAD#3

1.Construye geométricamente un segmento de longitud y con ayuda del compás ubica en la recta numérica los siguientes

números  −√5  2√2  √7  √11  √14  √3  √8  −√3

2. El número 𝜋=3,141592… se define como

el cociente entre el perímetro de una

circunferencia y su diámetro. ¿Cómo puedo ubicar el número 𝜋 en la recta numérica?

3.Una hormiga transita dos veces por el borde de una rectángulo cuyos lados miden 3cm y 5cm, otra hormiga recorre 6 veces su diagonal ¿Cuál recorres mayor distancia?

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4. Generalización hacia los números reales R 4.1. Composición de los números reales

El conjunto formado por el conjunto de los números racionales(Q) y los números irracionales (I) se denomina conjunto de números Reales(R)

4.2. Relación de orden en los números Reales

Al comparar dos números Reales se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones

𝑠𝑒𝑎 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏

5. Operaciones y sus propiedades

En el conjunto de los números Reales la operaciones de suma y multiplicación cumple las siguientes propiedades

5.1. Potencia en los números Reales (R)

Si 𝑎 es un número Real y 𝑛 es un entero positivo la expresión 𝑎𝑛 es el

producto que resulta de tomar n veces a 𝑎 como factor.

𝑎

𝑛

= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 … 𝑎

⏟

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propiedades de las potencias

Para todo 𝒂, 𝒃, 𝒏, 𝒎, ∈ 𝑹

Propiedad Detalle

Producto potencia de la misma base

𝒂

𝒏

× 𝒂

𝒎

= 𝒂

𝒏+𝒎

Producto potencia con mismo

exponente

𝒂

𝒏

_{× 𝒃}

𝒏

_{= (𝒂 × 𝒃)}

𝒏

Cociente potencia de la misma base

𝒂

𝒏

÷ 𝒂

𝒎

= 𝒂

𝒏−𝒎

Cociente potencia con el mismo

exponente

𝒂

𝒏

_{÷ 𝒃}

𝒏

_{= (𝒂 ÷ 𝒃)}

𝒏

_{𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒃}

≠ 𝟎

Potencia de una potencia

(𝒂

𝒏

)

𝒎

= (𝒂)

𝒏×𝒎

Potencia con exponente racional

(𝒂)

𝒎𝒏

_{= √𝒂}

𝒎 𝒏

_{𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒎 ≠ 𝟎}

Otras propiedades

_𝒂

𝟎

_{= 𝟏, 𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎}

𝟏

𝒏

= 𝟏

𝟎

𝒏

= 𝟎, 𝒔𝒊 𝒏 > 𝟎

𝒂

𝟏

= 𝒂

𝒂

−𝒏

= (𝒂

−𝟏

)

𝒏

= (

𝟏 𝒂

)

𝒏

=

𝟏 𝒂

𝒏 Activida#4

Resuelvo aplicando las propiedades de la potenciación

𝑎.

𝟑𝟑. 𝟑𝟐 𝟑𝟑

b.

𝟖𝟑+.𝟖𝟐 𝟐𝟐

c.

𝟏𝟔𝟐.𝟖𝟑 𝟒𝟑. 𝟒𝟓

d.

𝟑𝟑.𝟑𝟐 𝟑𝟑

e.

[(𝟔𝟐)𝟑.𝟓𝟔]𝟑 𝟏𝟎𝟔_.(𝟑𝟐₎𝟑

f.

𝟑𝟑.𝟑𝟐 𝟑𝟑

g.

[(−𝟐)𝟖]𝟑 [(𝟒𝟑)𝟐]𝟒

i.

𝟒𝟓. 𝟒−𝟑 𝟒𝟐 Resuelve:

 Cuánta área puede cubrirse con 6 tapetes cuadrados de 3m de lado

 Si utilizo los tapetes del ejercicio anterior para cubrir las paredes de un cubo de 3 m de lado. ¿qué volumen tiene el cubo?

 Si en 7 cajas guardo 7 bolsas, y en cada una de las bolsas 7 pelotas ¿cuántas cajas, bolsas, y pelotas tengo?

Si cada caja pesa 590gr, cada bolsa 64,5gr y cada pelota,8gr cuánto pesa todo el paquete

Utiliza la propiedad distributiva para realizar las siguientes operaciones

 (3+4).(2,1+5,3)

 (-3,2+2,1).(2,1+5,3)

Evalúa la expresión |9 − √𝑥 − 1 para cada

valor de 𝑥

𝑥=10 𝑥=37 𝑥=1 𝑥=15 𝑥=26 𝑥 = √64

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5.2. Radicación de números Reales

Es el proceso que sirve para calcular la base cuando se conoce el exponente y la potencia. Se define como : 𝑛√𝑎= 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖, 𝑏𝑛 _{= 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑁 𝑦 𝑛 > 1, 𝑎 ∈ 𝑅.}

Cuando se calcula 𝑛√𝑎, (la raíz enésima de 𝑎) debemos tener en cuenta los siguientes

aspectos:  𝐿𝑎 √𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟  𝐿𝑎 √𝑎𝑛 , 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟  𝐿𝑎 √𝑎𝑛 , 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟  𝐿𝑎 √𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟  𝐿𝑎 √𝑎𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 Ejemplo:

Calculemos las siguientes raíces √−𝟔𝟒𝟑 ; √𝟑𝟐𝟓 ; √𝟔𝟐𝟓𝟒 ; √−𝟒

 √−643 = −4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖, (−4)3 = 64

 √6254 = ±5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖, (−5)4 _{= (5)}4 _{= 64}

 √−42 = 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

Para todo 𝒂, 𝒃, 𝒏, 𝒎, ∈ 𝑹

Propiedad Detalle

Producto de igual índice 𝑛

_√𝑎

. √𝑏

𝑛

= √𝑎. 𝑏

𝑛

Cociente de igual índice 𝑛

_√𝑎

√𝑏

𝑛

= √

𝑎

𝑏

𝑛 Exponente Racional

√𝑎

𝑚 𝑛

= 𝑎

𝑚𝑛 Potencia de un radical

_{( √𝑎}

𝑛

)

𝑚

= √𝑎

𝑛 𝑚

Si

𝑚 = 𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ( √𝑎

𝑛

)

𝑛

= √𝑎

𝑛 𝑛

_{= 𝑎}

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 16 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 Activida#5

 Completa la tabla teniendo en cuenta la información dada en la temática

Operación Índice (par o impar) Sub-radical (+ o -) Número de solución √−𝟏𝟐𝟓 𝟑 √−𝟐𝟓 √𝟖 𝟑 ; √𝟏𝟔 √−𝟗

 Ubico las respuestas de los ejercicios en la tabla cuya suma mágica es 3 (al sumar las filas, columnas y diagonales la suma es 3)

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

a.- √4 b. √273 c. √164 d. √252 e. √1𝑛 f. √−273 g. √0𝑛 h. √(−1)57 i. √162  Aplico las propiedades correspondientes para cada ejercicio



√625 . 256

4 

√32

2

. √2

2



√

256 16 2 

√50

3

. √20

3



√200 √50 

√. √64

4 3  Resuelve:

 El área de un triángulo equilátero se puede calcular mediante la expresión

𝑨 =

√𝟑.𝒍𝟐

𝟒

donde 𝒍 es la medida del lado del triángulo.

Si el lado de un triángulo equilátero mide 6cm y el lado de un segundo triángulo mide 4cm

 ¿cuántas veces es el área del primer triángulo con respecto a la del segundo?

 el número de oro (𝜙 =1+√5

2 ) se aprecia en la naturaleza, por ejemplo, la

longitud del abdomen de una abeja dividido por 𝜙 es igual a la longitud del

tórax, la longitud del tórax dividido entre 𝜙 es igual a la longitud de la cabeza.  Realiza la construcción con regla y compás del número 𝜙

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 17 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 5.3. Notación Científica

Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un potencia de 10 por un número x, tal que 1 ≤ x <10

Esta notación por lo general se utiliza para representar valores muy pequeños o muy grandes.

Se debe tener en cuenta lo siguiente:

 Si el número que se va expresar en notación científica hay que rodarle la coma hacia la derecha el exponente de la potencia será un entero negativo

representado por la cantidad de espacios que se corrió la coma

Ejemplo:

Expresa en notación científica la siguiente cantidad 0,0000000000237

Primero, se escoge x; recordando la condición x=2,37

Segundo, para obtener a x la coma se debe correr 11 espacios por tal motivo la potencia de diez será 10−11

Tercero, por último se expresa como una multiplicación

2,37 × 10−11

 Si el número que se va expresar en notación científica hay que rodarle la coma hacia la izquierda, el exponente de la potencia será un entero positivo

representado por la cantidad de espacios que se corrió la coma

Ejemplo:

La distancia de la tierra al sol es 149 600 000 km. Exprese esta medida en notación científica.

En este caso x=1,496 y la potencia es 108; Ya que 8 son los espacios que se

debería correr la coma hacia izquierda para obtener x Por tanto 149 600 000 km = 1,496 × 108

Activida#6

1. Las siguientes dimensiones de la tierra nos dan una idea de su tamaño. Las expreso en notación científica.

a. Diámetro ecuatorial: 12 756 000 m b. Diámetro polar: 12 713 000 m

c. Circunferencia ecuatorial: 40 076 000 m d. Circunferencia polar: 40 009 000 m e. Volumen: 1 083 000 000 000 𝑘𝑚3

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 18 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 2. Escribo en notación científica las cantidades expresadas en las siguientes

situaciones

A. El número de Avogadro (cantidad átomos en un mol de un elemento químico ) es 602 200 000 000 000 000 000 000 su símbolo es N B. En 0,6 g de sodio hay 0,026 moles

C. El sol tiene un diámetro de 1 360 000 000 m y un volumen de 1 400 000 000 000 000 000 𝑘𝑚3.

3. Realizo las siguiente operaciones y expreso en notación científica

i. 49 500 × 65 000= ii. 4,655 × 107 = iii. 12,98 × 103 = iv. 500 000 001 × 10−3₌ v. 3986 × 1034= vi. 0,004 × 0,005

5.4. Logaritmación de números Reales

cuando se conoce la base y la potencia, pero no se conoce el exponente, se utiliza una de las operaciones inversas de la potencia que se llama

Logaritmación y se expresa de la siguiente manera:

𝒍𝒐𝒈_𝒂𝒃 = 𝒏 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 " 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐 𝒆𝒏 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒂 𝒅𝒆 𝒃 𝒆𝒔 𝒏" 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎𝑛 = 𝑏

Ejemplo: calcular el logaritmo en base 2 de 8.

𝑙𝑜𝑔28 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8

Los logaritmos cumplen las siguientes propiedades

𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑎 = 1 𝑦 𝑙𝑜𝑔_𝑎1 = 0 Logaritmo de una potencia

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥𝑛 = 𝑛. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = Logaritmo de un cociente 𝑙𝑜𝑔𝑎( 𝑥 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 Logaritmo de un producto 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥. 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦

Además de las anteriores hay otras propiedades que nos permiten calcular el logaritmo en bases diferentes a base 10 y base e (2,71828…).

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎, 𝑏 > 0, aplicando esta propiedad en algunas ocasiones se puede

facilitar el cálculo de logaritmos

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔39 =

𝑙𝑜𝑔₁₀9 𝑙𝑜𝑔103

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Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490 SOLEDAD – ATLÁNTICO. Página 19 de 26 Versión 1.0 PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2018 Activida#7

Escribo el logaritmo que se deriva de cada una de las siguientes potencias

Aplico las propiedades de los logaritmos para encontrar respuesta, utilizo la calculadora cuando sea necesario

Resuelve:

e. Para medir la magnitud de los sismos se usa la escala de Richter. La fórmula es:

𝑅 = 𝑙𝑜𝑔10𝐼 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒𝑟_{𝑒 𝐼 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜}

Expreso la escala de Richter en forma exponencial.

f. Con la intensión de planificar las

necesidades futuras de una ciudad, un ingeniero utiliza la función𝑓(𝑡) = 47 000 + 9 000 ln 0.7𝑡 + 1

¿Cuál es la población esperada dentro de 10 años?

Desarrolla los siguientes logaritmos

𝑙𝑜𝑔₅25 = 𝑙𝑜𝑔₂4096 = 𝑙𝑜𝑔₁₀10000 = 𝑙𝑜𝑔₃729 = Completa la siguiente tabla

Base Exponente potencia Forma

exponencial Forma radical Forma logarítmica 2 3 8 23 = 8 3_√8 = 2 𝑙𝑜𝑔28 = 3 25 _{= 32} √16 4 = 2 𝑙𝑜𝑔₃27 = 3 33 = 125 √512 3 = 8 10 4 10 000

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1. dar solución al problema inicial y luego socializarlo

2. autoevalúate en la siguiente tabla, ten en cuenta las dificultades que tuviste y prepárate para superarlas.

Autoevaluación

Indicador Bajo Básico Alto Superior

Identifica los números racionales y los irracionales

Argumento mis respuestas coherentemente basado en información matemática

Aplico adecuadamente los algoritmos y las propiedades de los números reales Utilizo la notación científica para los valores dados en ejercicios

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Actividad + evaluación cumulativa= recuperación I-periodo

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