Estudio de una ecuación de onda semilineal con no linealidad no monótona

ESTUDIO DE UNA ECUACIÓN DE ONDA SEMILINEAL

CON NO LINEALIDAD NO MONÓTONA

Por

Helena Dulcey Hernández

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Bogotá, D.C.

CON NO LINEALIDAD NO MONÓTONA

por:

Helena Dulcey Hernández

Cód 830162

Trabajo de grado presentado para optar el título de Magister en Matemáticas.

Director:

Ph D. José Francisco Caicedo Contreras

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Bogotá, D.C.

Título en español:

Una ecuación de onda semilineal con no linealidad no monótona. Título en inglés:

A semilinear wave equation with nonmonotone nonlinearity.

Resumen: Se demostrará que una ecuación de onda en la cual el rango de la derivada de la no linealidad incluye un valor propio de multiplicidad infinita posee una solución. La solución es obtenida por método iterativo el cual provee estimativas apriori.

Abstract: We prove that a semilinear wave equation in which the range of the derivate of the nonlinearity includes an eigenvalue of infinite multiplicity has a solution. The solution is obtained through an iteration scheme which provides a priori estimates. Palabras Clave: Ecuaciones semilineales, ecuaciones hiperbólicas, ecuación de onda, condiciones de frontera.

Trabajo de tesis

AP

Jurado

Dr. Rodrigo Duque Baracaldo

Director

Dr. José Francisco Caicedo

No importa cuanto demoré

lo importante es que lo logré.

Al profesor José Francisco Caicedo por ser la estrella que guió mi camino en los momentos de debilidad y desaliento, pues con su paciencia, dedicación, conocimiento y enseñanza me permite hoy alcanzar parte de mis sueños.

A mis amigos Margoth y Néstor por su apoyo incondicional y la compañía durante toda esta trayectoria, ya que con sus palabras de aliento y acciones me permiten culminar esta etapa de mi vida.

A Pedrito por la inspiración y el tiempo que me dedicó durante sus vacaciones.

A mi familia quienes son fuente de motivación para continuar creciendo y dando lo mejor de mí.

A JAAM2, por su interés, confianza y entusiasmo.

Finalmente, a todos aquellos que de alguna manera estuvieron involucrados durante todo este proceso y nunca perdieron la esperanza de que podía lograrlo.

Tabla de Contenido

1.

Preliminares

1.1. Notación . . . 4

1.2. EspaciosLp . . . 5

1.3. Ecuación de onda de una dimensión . . . 7

1.4. Series de Fourier . . . 8

1.5. Espacios de Sobolev . . . 10

1.6. Operadores compactos . . . 12

1.6.1. Espectro de un operador compacto . . . 12

1.6.2. El operador inverso . . . 13

1.6.3. Operador Autoadjunto . . . 13

1.7. Observaciones . . . 14

2.

Estimativas y resultados

“Lo último que uno sabe, es por donde empezar”.

Blaise Pascal.

Las ecuaciones diferenciales, en particular las parciales (EDP), son una herramienta útil para modelar diversos fenómenos de la física, la ingeniería, la economía y otras ciencias. Es común, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, encontrar dificultades para la ob-tención explícita de las soluciones, sin embargo, aún en los casos en los que es posible exhibir la solución no se tiene garantía de que ésta sea acotada o suave, y estas condi-ciones suelen ser físicamente relevantes. En general, lo que se busca es poder garantizar que soluciones de alguna clase existen (problema de existencia), y probada la existencia, aparecen problemas adicionales como la unicidad de la solución y la dependencia conti-nua de los datos. También es importante, especialmente en las aplicaciones, obtener una forma explícita o aproximada de la solución, y estudiar el comportamiento asintótico de las mismas.

El interés del presente trabajo se concentra en mostrar una prueba de existencia de soluciones de un problema en ecuaciones diferenciales no homogéneo y se abordará usando una expansión clásica en series de Fourier, conforme a [6]. Específicamente se estudiará la solución de un problema hiperbólico del tipo:

utt−uxx+λu=cq(x, t) +r(x, t) +g(u), (x, t)∈[0, π]×R, (1)

u(0, t) =u(π, t) = 0, t∈R, (2)

u(x, t) =u(x, t+ 2π), (x, t)∈[0, π]×R, (3)

2 dondeλ∈R− {k2−j2:k= 1,2,3, . . . , j= 0,1,2, . . .}yges una función de claseC1tal que

l´ım

|u|→∞g

′_{(u) = 0. (4)}

La ecuación (1) se conoce como una ecuación de onda no lineal y no monótona, y las condiciones auxiliares (2) y (3) representan las condiciones en la frontera espacial y la periodicidad de la variable temporal respectivamente.

La idea principal es explicar con detalle los resultados obtenidos en el artículo [6] acerca de la existencia de cierta clase de soluciones débiles de (1)-(3). Concretamente, se preten-de mostrar que si la preten-derivada preten-de la proyección ortogonal pertenece aL2y su derivada es acotada con una medida adecuada, entonces existe una constante positivac₀ tal que si

|c| > c0, existe una funciónu ∈H1∩L∞ que satisface el problema (1)-(3) en un sentido

débil, que será definido posteriormente.

Ecuaciones de este tipo pueden modelar fenómenos como vibraciones libres [11], y han sido ampliamente estudiadas a partir de la segunda mitad del siglo XX. En particular, H. Brezis [3] considera el problema

     u_tt−u_xx+g(u) =f(x, t), 0< x < π, t∈R u(x, t) = 0, x= 0, x=π, t∈R u(x, t+T) =u(x, t), 0< x < π, t∈R (5)

donde g denota una función continua sobreR tal queg(0) = 0 y f(x, t) es una función de periodoT sobret, dada. Se dedujo que la ecuación (5) tiene una solución débil, bajo condiciones fuertes.

F. Caicedo y A. Castro [5], demostraron la existencia de una solución débilu∈H1∩L∞ para el problema con periodicidad√2π

     utt−uxx+λu+h(u) =p(x, t) u(0, t) =u(π, t) u(x, t) =u(x, t+√2π), x, t∈R (6)

donde h : R → R es de clase C1 tal que l´ım_|u|→∞h′(u) = 0. Descomponiendo p(x, t) =

cq(x, t) +r(x, t) y asumiendo condiciones sobreq, para |c| suficientemente grande (6) tiene

solución débilu∈H1∩L∞([0, π]×R). Se observa que el operador∂tt−∂xxen la ecuación, sujeto a las condiciones dadas en (6), tienen por lo menos un valor propio de multiplicidad infinita.

Recientemente R. Duque [2011], en su tesis doctoral [7], considera el problema      utt−uxx=ϵ(u2k+h(x, t) +R(x, t, u)) u_tt−u_xx+τu+h(u) =f(x, t), x∈[0, π], t∈R, u(0, t) =u(π, t) = 0, u(x, t) =u(x, t+ 2π), x∈[0, π], t∈R, (7)

en el cual estudia dos ecuaciones de onda no lineales, con parte no lineal no monótona sujetas a las condiciones de fronterau(0, t) =u(π, t) = 0, dondeues una función periódica (en el tiempo) con periodo 2π. En este trabajo se establecen condiciones que permiten garantizar la existencia de solución débil en cada problema.

El trabajo estará organizado de la siguiente forma:

El primer capítulo contiene los preliminares, con las definiciones, las desigualdades y los teoremas necesarios para abordar el problema, contiene un resumen sobre series de Fourier, espacios de Hilbert, Lpy Sobolev. En esta parte no serán presentadas las demos-traciones de los resultados, con el fin de facilitar la lectura y comprensión de los mismos. En el segundo capítulo se presentan las estimativas y resultados detallados necesarios pa-ra la solución del teorema principal, objetivo del artículo [6] y en consecuencia de esta tesis.

El tercer capítulo presenta la demostración sobre la existencia de una solución débil u∈H1∩L∞al problema (1) - (3).

CAPÍTULO

1

Preliminares

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.

Hipatia. En este capítulo se presenta la notación que se trabajará en el documento; un resumen sobre espacios de Hilbert, espacios Lp y espacios de Sobolev, algunas definiciones, de-sigualdades y teoremas importantes que se requieren para la comprensión del resto del texto, adicionalmente se trabajará con series de Fourier y operadores compactos.

Las bases teóricas descritas a continuación están basadas principalmente en los libros [3], [8], [9] y en la tesis doctoral [7], en donde se puede consultar para mayor detalle.

1.1.

Notación

Se denotará conAal operador de D’Alambert∂tt−∂xx. ConΩ= [0, π]×[0,2π]. La condición

{

u(0, t) =u(π, t) = 0

u(x, t) =u(x, t+ 2π), (x, t)∈[0, π]×R (1.1)

representa la condición Dirichlet-periódica.

El espectro del operadorA, sujeto a las condiciones dadas en (1.1) es σ(A) ={k2−j2;k= 1,2,3, . . . j= 0,1,2, . . .}.

Se observa que todos los valores propios tienen multiplicidad finita, excepto el 0, que tie-ne multiplicidad infinita.

1.2.

Espacios

L

Definición 1. Seap∈Rcon1≤p <∞; se define

Lp(Ω) ={f :Ω→R;f medible y|f|p∈L1(Ω)}

y se nota la norma como

∥f∥Lp= [∫ Ω |f(x)|pdx ]1/p Definición 2. Se define L∞(Ω) =

{_{f :Ω→R;f es medible y existe una constanteCtal que|f(x)| ≤C} para casi todo punto enΩ

} Dotado con la siguiente norma

∥f(x)∥L∞= ´ınf{C; |f(x)| ≤C para casi todo punto enΩ} Nota: Sif ∈L∞, entonces

|f(x)| ≤ ∥f∥L∞ para casi todo punto enΩ

Los espacios de SobolevH1(Ω),L2(Ω), yL∞(Ω) se denotarán respectivamente porH1,L2 yL∞.

La norma enH1,L2yL∞se notará respectivamente por∥ ∥₁,∥ ∥, y∥ ∥_∞. SeaN el subespacio cerrado enL2(Ω) generado por

N = { u∈L2:u= ∞ ∑ k=1

aksenkxsenkt+bksenkxcoskt

}

Este espacioN, es el núcleo del operadorAsujeto a las condiciones dadas en (1.1). N⊥⊆L2denotará el complemento ortogonal deN enL2(Ω), es decir,N⊥es el subespacio deL2(Ω) generado por

6 N⊥= { u∈L2:u= ∞ ∑ k=1 j=0

aksenkxsenjt+bksenkxcosjt

}

P corresponde a la proyección ortogonal sobreN yQla proyección ortogonal sobreN⊥. En este caso L2 = N⊕N⊥, así, todo elemento q ∈ L2 se puede escribir como

q =∑ k,j qkjukj+q_kj′ vkj, donde ∑ k,j qkjujk ∈ N y ∑ k,j

q_kj′ vkj ∈ N⊥, y esta escritura es única co-mo elemento deN y su ortogonalN⊥.

Desigualdad de Hölder. Seanf ∈Lpcon1≤p≤ ∞yg∈Lq con1≤q≤ ∞, dondeqdenota elexponente conjugadodep, es decir

1 p+ 1 q = 1. Entoncesf ·g∈L1y _∫ |f g| ≤ ∥f∥Lp∥g∥_Lq

Desigualdad de Minkowski. Seanf yg∈Lpcon1≤p≤ ∞se tiene la siguiente desigualdad

∥f +g∥Lp≤ ∥f∥_Lp+∥g∥_Lp

Definición 3. SeaHun espacio vectorial. Un producto interno(u, v)es una forma bilineal de

H×H enR, simétrica, definida positiva [es decir(u, v)≥0,∀u∈H y(u, u)>0siu,0].

Desigualdad de Cauchy Schwarz. Si H es un espacio vectorial con producto interno, entonces vale la siguiente desigualdad

|(u, v)| ≤(u, u)1/2(v, v)1/2 ∀u, v∈H (1.2)

Ejemplo 1. Seanf ygdos funciones a valor real, de cuadrado integrables sobre un espacioΩ, entonces

(f , g) =

∫ Ω

f gdt

En particular sif =gentonces

(f , f) =∥f∥2_L2=∥f∥2

En consecuenciaL2es un espacio de Hilbert

Definición 4. Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno(H,⟨,⟩)que es completo para la norma definida por ese producto interno.

Teorema 1(Teorema de la función inversa). Suponga f es un función de clase C1 de un conjunto abiertoE⊂RnenRn,f′(a)es invertible para algúna∈Eyb=f(a). Entonces

1. Existen conjuntos abiertosU yV enRn tal quea∈U ⊂E,b∈V,f es uno a uno sobre

U yf(U) =V.

2. Siges la inversa def (la cual existe) definida enV, es decirg(f(x) =x),x∈U entonces

g∈C1(V).

1.3.

Ecuación de onda de una dimensión

La ecuación más simple de todas las ecuaciones diferenciales hiperbólicas es la ecuación de onda unidimensional [9].

Lu =utt−c2uxx= 0, (1.3)

dondeu es una función de dos variables independientesx et ycdenota una constante positiva.

Las curvas características son dos familias de líneas x±ct = constante en el plano xt. Haciendo cambio de coordenadas se tiene

x+ct=ξ, x−ct=η (1.4)

Derivando y reemplazando en la ecuación (1.3) se convierte

uξη = 0

Asumiendo que el dominio deues convexo yues una función

u=F(ξ) +G(η) =F(x+ct) +G(x−ct) (1.5) Para las condiciones iniciales

u(x,0) =f(x)

ut(x,0) =g(x)

8 se tiene el siguiente sistema de ecuaciones

 

cFF(x) +′(x)−G(x)cG′(x) ==fg(x)(x) (1.7)

solucionando dicho sistema paraF′(x) yG′(x) e integrando, resulta

F(x) =1 2f(x) + 1 2c ∫ x 0 g(ξ)dξ+δ y G(x) =1 2f(x)− 1 2c ∫x 0 g(ξ)dξ+β

SumandoF(x) yG(x) se deduce queδ+β= 0.

De manera general, para f ∈ C2 y g ∈ C1, la solución u ∈ C2 del problema (1.3) con condiciones iniciales (1.6) está dada por

u(x, t) =F(x+ct) +G(x−ct) =1 2 ( f(x+ct) +f(x−ct))+ 1 2c ∫ x+ct x−ct g(ξ)dξ. (1.8)

A dicha solución se le conoce como la solución de D’Alambert.

1.4.

Series de Fourier

Cuando se trabaja con funciones periódicas, surgen de forma natural representaciones en series trigonométricas y dentro de éstas las series de Fourier resultan de gran importancia porque facilitan la manipulación de las expresiones.

Cuando una función periódicaf :R→Rpuede ser expresada de la forma f(x) =1 2a0+ ∞ ∑ n=1   ancos ( nπx L ) +bnsen ( nπx L )  , los coeficientes de Fouriera_nyb_nse definen como

an= 1 L ∫ _L −L f(x) cos ( nπx L ) dx, n≥0; bn= 1 L ∫ _L −L f(x) sen ( nπx L ) dx, n≥1

Lo anterior se tiene como consecuencia de la ortogonalidad de las funciones trigonomé-tricas, es decir sin,myn, m≥1, entonces

∫L −L cosnπx L cos mπx L dt= 0 ∫ L −L cosnπx L sen mπx L dt= 0 ∫ L −L sennπx L sen mπx L dt= 0

Observación 1. En particular se puede notar quean=1L

(

f ,cosnπx_L )ybn=L1

(

f ,sennπx_L ).

A partir de esta observación se tiene la identidad de Parseval. Teorema 2. Identidad de Parseval

Dada una funciónf :R→Rperiódica de periodo2Ltal quef y|f| son integrables, donde se pueden calcular sus coeficientes de Fourieranybn. La identidad de Parseval dice que

1 2a 2 0+ ∞ ∑ n=1 (a2_n+b2_n) =1 L ∫ L −L |f(x)|2dx.

Una pregunta natural es acerca de la convergencia de la serie de Fourier, esta inquietud queda resuelta utilizando el teorema de Fourier y las siguientes proposiciones.

Teorema 3. Teorema de Fourier

Seaf :R→Runa función seccionalmente diferenciable y de periodo2L. Entonces la serie de Fourier de la funciónf converge en cada puntoxpara1₂[f(x+ 0) +f(x−0)], esto es

1 2[f(x+ 0) +f(x−0)] = 1 2a0+ ∞ ∑ n=1 ( ancos nπx L +bnsen nπx L )

Proposición 1. Suponiendo que las funciones un son continuas y que la serie ∑∞n=1un(x)

converge uniformemente. Entonces la suma de la serie u(x) = ∑∞_n=1u_n(x) también es una función continua.

Proposición 2. Suponiendo que las funciones un son integrables en un intervalo I y que la

serie∑∞_n=1un(x)converge uniformemente. Entonces

∫ I (_∑∞ n=1 un(x) ) dx= ∞ ∑ n=1 ∫ I un(x)dx

10 Proposición 3. Suponiendo que las funcionesundefinidas en un intervaloIson continuamente

derivables y que la serie∑∞_n=1un′(x)de derivadas converge uniformemente. Supongamos ahora

que, para un dadox0∈I, la serie

∑_∞ n=1un(x0)converge. Entonces d dx (_∑∞ n=1 un(x) ) = ∞ ∑ n=1 u_n′(x)

Las proposiciones 2 y 3 garantizan la integrabilidad y derivabilidad término a término de una serie de Fourier, sin embargo, es importante resaltar que la integrabilidad se obtiene aún si se elimina la condición de convergencia uniforme [8], mientras que para la derivación es más complicada, y se hace necesario introducir una noción más débil, para esto se presentarán algunos conceptos básicos acerca de los espacios de Sobolev.

1.5.

Espacios de Sobolev

ConsideremosΩ⊂Rnun conjunto abierto,p∈Rcon 1≤p≤ ∞

Definición 5(Soporte). SeaΩ∈Rnun abierto y seaf una función definida enΩcon valores enR. Se considera la familia de todos los abiertos (wi)i∈I,wi ⊂Ω tales que para cadai ∈ I, f = 0en casi toda parte (c.t.p) enwi. Se definew=∪i∈Iwi. Entoncesf = 0c.t.p enw.

Definición 6 (Soporte Compacto). Se dice que una función tiene soporte compacto si la adherencia del conjunto donde no es nula conforma un conjunto cerrado y acotado.

Definición 7. El espacio de SobolevW1,p(Ω)se define por:u∈W1,p(Ω)siiu∈Lp(Ω)y existen funcionesg1, g2, . . . , gn∈Lp(Ω)tales que

∫ Ω u∂φ ∂xi dx=− ∫ Ω giφdx (*) para todoφ∈ C∞c =C∞(Ω)∩C(Ω), i= 1,2, . . . , n Se defineH1(Ω) =W1,2(Ω). Parau ∈W1,p(Ω) se nota _∂x∂u

i =gi y∇u= ( ∂u ∂x1, ∂u ∂x2, . . . , ∂u ∂xn )

, que resultan ser las derivadas parciales en el sentido débil o en el sentido distribucional (*) deu.

El espacioW1,p(Ω) está dotado de la norma

∥u∥W1,p =∥u∥_Lp+ n ∑ i=1 _∂x∂u i _Lp

En el espacioH1(Ω) se considera el producto interno (u, v)H1= (u, v)_L2+ n ∑ i=1 (_∂u ∂xi , ∂v ∂xi ) L2 y la norma asociada ∥u∥H1 = ( ∥u∥2_L2+ ∑ i=1 _∂x∂u i 2_L2 )1/2

la cual es equivalente a la norma establecida enW1,2(Ω).

Proposición 4. El espacio W1,p(Ω) es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞. El espacio

W1,p(Ω) es reflexivo para 1 < p <∞ y separable para1 ≤ p < ∞. El espacio H1(Ω) es un espacio de Hilbert separable.

Definición 8. Las funciones k veces continuas de soporte compacto sobre un dominio Ω, denotadas porC₀k(Ω)están definidas de la siguiente forma

C₀k(Ω) :={φ∈Ck(Ω) :sop(φ)es compacto} donde,sop(φ) :={x∈Ω:φ(x),0}es el soporte deφ,0≤k≤ ∞.

Los siguientes dos resultados enuncian las importantes propiedades de inmersión que tienen los espacios de Sobolev en donde se requiere regularidad sobre la frontera deΩ. Proposición 5. SuponiendoΩ⊂Rnun abierto de claseC1con frontera∂Ωacotada. Entonces

(i) Si1≤p≤n, entoncesW1,p(Ω)⊂Lp∗(Ω)_donde 1

p∗ =1p−1n.

(ii) Sip=n, entoncesW1,p(Ω)⊂Lq(Ω)para todoq∈[p∗,+∞). (iii) Sip > n, entoncesW1,p(Ω)⊂L∞(Ω).

con inyecciones continuas.

Además, sip > n,se verifica para todau∈W1,p(Ω)

|u(x)−u(y)| ≤C∥u∥W1,p|x−y|α

para casi todox, t∈Ωconα= 1−_pn yC dependiente sólo deΩ,pyn. En particular tenemos

W1,p(Ω)⊂ C(Ω)

Teorema 4. (Rellich and Kondrachov) Suponiendo Ω ⊂ Rn un abierto de clase C1 con frontera∂Ωacotada. Entonces

12

(i) Sip < n, entoncesW1,p(Ω)⊂Lq(Ω), para todoq∈[1, p∗)donde_p1∗ =1_p−1_n.

(ii) Sip=n, entoncesW1,p(Ω)⊂Lq(Ω), para todoq∈[1,+∞). (iii) Sip > n, entoncesW1,p(Ω)⊂ C(Ω).

con inyecciones compactas.

En particularW1,p(Ω)⊂Lp(Ω)con inyección compacta para todo1≤p≤ ∞.

Como consecuencia del Teorema de Rellich-Kondrachov, siΩ⊂RN es un abierto acotado de claseC1, en particularW1,p(Ω),→Lp(Ω) con inyección compacta, para todop∈[1,∞]. A la vez, las conclusiones del teorema de Rellich-Kondrachov son también válidas sustituyendoW1,p(Ω) porW₀1,p(Ω), y en este caso para todo abierto acotadoΩ⊂RN. Teorema 5. Condición de Palais-Smale [Evans - Página 477]

Un funcional I ∈ C1(H,R) satisface la condición de compacidad de Palais-Smale si cada sucesión{uk}∞k=1⊂Htal que

1. {I{uk}}∞_k=1es acotada y

2. I′[u_k]→0enH, entonces{u_k}∞_k=1es precompacta enH.

1.6.

Operadores compactos

Definición 9. Un operador acotado T ∈ L(E, F), donde E y F son de Banach, se dice ser compacto siT(BE)tiene cerradura compacta enF.

1.6.1. Espectro de un operador compacto SeaT ∈ L(E), conEespacio de Banach.

Definición 10. Elconjunto resolventees

ρ(T) ={λ∈R; (T −λI)es biyectiva deEsobreE Definición 11. Elespectroσ(T)es el complemento del conjunto resolvente,

σ(T) =R−ρ(T)

Se dice queλesvalor propio(o autovalor) si

N(T−λI),0;

Es importante tener presente que siλ∈ρ(T) entonces (T −λI)−1∈ L(E)

Proposición 6. El espectroσ(T), de un operador acotado es un conjunto compacto y

σ(T)⊂[−∥T∥,+∥T∥]

Lema 1. Siv1, v2, . . . , v2k+1∈N(A)yv1·v2···v2k+1∈L1(Ω), entonces

∫ Ω

v1·v2···v2k+1= 0.

En particular,v1·v2···v2k∈N⊥ 1.6.2. El operador inverso

Con argumentos basado en expansión de series de Fourier, se puede ver que para cada w∈N⊥existe una únicay∈Y, tal queAy=wen el sentido de las distribuciones. Sea

w(x, t) = ∞ ∑ k=1 ∞ ∑ j=0 k,j

sen(kx)(ajksen(jt) +bjkcos(jt)),

entonces∥w∥2=C∑|ajk|2+|bjk|2, se tiene que

A−1w=y= ∞ ∑ k=1 ∞ ∑ j=0 k,j sen(kx) ( a_jk k2_−j2sen(jt) + b_jk k2_−j2cos(jt) ) ,

obteniendo de aquí las desigualdades

∫π 0 yx2dx≤C∥w∥2, para todot ∫ 2π 0 y_t2dt≤C∥w∥2, para todox, por tanto, existeCtal que∥y∥₁≤C∥w∥.

1.6.3. Operador Autoadjunto

Teorema 6. SiT :H →K es una aplicación lineal continua, existe una y sólo una aplicación lineal continua T∗ : K → H tal que (T x, y) = (x, T∗y), para todo x ∈ H, y ∈ K, tal que

∥T∗∥=∥T∥.

Definición 12. La aplicaciónT∗se llama la adjunta deT

Definición 13. Se dice que un operadorT es autoadjunto cuandoT∗=T, es decir

14

1.7.

Observaciones

Seaφ una solución al problema

φtt−φxx+λφ=q(x, t), (x, t)∈[0, π]×[0,2π],

φ(0, t) =φ(π, t) = 0, φ(x, t) =φ(x, t+ 2π) (1.9)

Por lo tanto, la solución tiene la formaφ=∑akjukj+bkjvkj, de donde, φtt−φxx= ∑ akj[(ukj)tt−(ukj)xx] +bkj[(vkj)tt−(vkj)xx] =∑(a_kj[(k2−j2)u_kj] +b_kj[(k2−j2)v_kj]) =∑(k2−j2)(akjukj+bkjvkj) ahora, φtt−φxx+λφ= ∑ (k2−j2)(akjukj+bkjvkj) +λ ∑ (akjukj+bkjvkj) = ∑ (k2−j2+λ)(a_kju_kj+b_kjv_kj) =q(x, t)

lo que implica queq(x, t) se puede escribir como una combinación lineal y por lo tanto es la expansión deq(x, t) que satisface la condición de Dirichlet.

Estimativas y resultados

“Algunos trucos de cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cuán fáciles son los cálculos fáciles”.

Silvanus P. Thompson Los resultados mostrados aquí son extraídos de [6], y en este capítulo se abordarán de manera detallada los cálculos necesarios para la demostración del teorema principal, el cual se enunciará en el próximo capítulo.

En [6] se ve que para cualquier funciónu∈N, se tiene queutt−uxx= 0 en el sentido de las distribuciones, notando el operador de D’AlambertAu=utt−uxx se tienen las siguientes propiedades:

1. Aes autoadjunto al considerar las funciones que satisfacen las condiciones (2) y (3). 2. El rango deAes cerrado enL2.

3. R(A) =N⊥.

4. Los autovalores deArestringido a (2) y (3) forman el conjunto

{k2−j2:k= 1,2,3, . . . , j= 0,1,2, . . .}.

5. Las autofunciones correspondientes son sen(kx) sen(jt) y sen(kx) cos(jt). 6. El operadorA−1es compacto deN⊥enN⊥∩H′.

16 7. Existe un número realctal que

∥A−1f∥_∞≤c∥f∥ para todof ∈R(A),

∥A−1f∥1≤c∥f∥ para todof ∈R(A).

Usando series de Fourier se demuestra que siu∈H1,v∈N∩H1yP denota la proyección

entonces _" (P(u))tvt= " utvt, (2.1) 2π ∫ 0 (v)2(x, s)ds≤ " Ω (v)2dxdt para todox∈[0, π] (2.2) enunciando esto como un lema

Lema 2. SeaP :L2→N la proyección ortogonal. Seau∈H1yv∈N∩H1entonces

" Ω P(u)_tv_tdxdt= " Ω u_tv_tdxdt y ∫ _2π 0 (v)2(x, s)ds≤ " Ω (v)2dxdt para todox∈[0, π] Demostración. Escribiendo u(x, t) = ∞ ∑ k=1 j=0

(akjsen(kx) sen(jt) +bkjsen(kx) cos(jt))

y

v(x, t) =

∞

∑

l=1

(αlsen(lx) sen(lt) +βlsen(lx) cos(lt))

Por definición deP , u, vy la ortogonalidad de las trigonométricasukj yvkj por un lado se tiene " Ω (P(u))tvtdxdt= " Ω ∞ ∑ k=1

k(akksen(kx) cos(kt)−bkksen(kx) sen(kt))

·

∞

∑

l=1

= ∞ ∑ k=1 " Ω

(k2sen2(kx)(a_kkcos2(kt) +b_kkβ_ksen2(kt)))dxdt

= ∞ ∑ k=1 ∫ π 0 k2sen2(kx)dx·π(a_kkα_k+b_kkβ_k) =π 2 2 ∞ ∑ k=1 k2(a_kkα_k+b_kkβ_k)

Por otro lado,

" Ω utvtdxdt= " Ω ∞ ∑ k=1 j=1

j(akjsen(kx) cos(jt)−bkjsen(kx) sen(jt))

·

∞

∑

l=1

l(αlsen(lx) cos(lt)−βlsen(lx) sen(lt))dxdt

Lo cual es igual a (∗) y así queda de esta manera demostrada la primera parte del lema.

Para demostrar la segunda parte, por la definición devy la identidad de Parseval se tiene que para todox∈[0, π]

∫ ₂π 0 v2(x, s)ds=π    ∞ ∑ k=1 (α_k2+β_k2) sen2(kx)   ≤ π 2 2 ∞ ∑ k=1 (α_k2+β_k2) = " Ω v2(x, t)dxdt.

SeaA₁el operador definido enL2por

A1

  ∑

k,j

(akjsen(kx) sen(jt) +bkjsen(kx) cos(jt)

   = ∞ ∑ k=1 j=0 k,j [ akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ]

Por definición deA1, se observa que sif ∈L2, entoncesw=A1(f) es una solución débil al

18 w= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j [ akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ] wt= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j j [ akj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt)− bkj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) ] wtt= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j −j2 [ a_kj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + b_kj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ]

Por otro lado,

wx= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j k [ akj k2_−j2_+λcos(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λcos(kx) cos(jt) ] w_xx= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j −k2 [ akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ]

Ahora, reemplazando se tiene que

wtt−wxx+λw= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j −j2 [ akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ] + ∞ ∑ k=1 j=0 k,j k2 [ akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ] +λ ∞ ∑ k=1 j=0 k,j [ a_kj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + b_kj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ]

= ∞ ∑ k=1 j=0 k,j (k2−j2+λ) [ akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ] = ∞ ∑ k=1 j=0 k,j [

akjsen(kx) sen(jt) +bkjsen(kx) cos(jt)

]

=f

Otra manera de abordar esta situación es en el sentido de las distribuciones, es decir,ues solución débil de (1) - (3) si para todov∈C_c1[0, π]×[0,2π] entonces

∫ Ω (u_xv_x−u_tv_t+λuv)dΩ= ∫ Ω (cgv+rv+g(u)v)dΩ

Lema 3. Si−λ<{k2−j2:k= 1,2,3, . . . , j= 0,1,2, . . .}, entonces existeM que depende sólo de

λtal que k2+j2 (k2_−j2_+λ)2 ≤M ∀k,j Demostración. Sik= 1,2,3, . . .,j= 0,1,2, . . .yλ,k2−j2yk,jse tiene k2+j2 (k2_−j2_+λ)2 = (k2+j2)(k2−j2)2 (k2_−j2_+λ)2_(k2_−j2₎2 = (k 2_+j2_)(k2_−j2₎2 (k2_−j2_+λ)2_{((k−j)(k+j))}2 = (k 2_+j2_)(k2_−j2₎2 (k2_−j2_+λ)2_(k−j)2_(k+j)2 ≤ (k2−j2)2 (k2_−j2_+λ)2 =1− λ k2_−j2_+λ 2 ≤2 + 2λ 2 |k2_−j2_+λ|2 Como−λ,k2−j2, entonces

20 δ= ´ınf{|λ+ (k2−j2)|, k= 1,2,3, . . . , j= 0,1,2, . . .}>0 Por consiguiente (k2+j2) (k2_−j2_+λ)2 ≤2 + 2λ2 δ2 =M

Lema 4. SeaQ=I−P (P como antes es proyección sobre el núcleo). Siw=A1(Q(f))entonces 2π ∫ 0 ((wx)2(x, t) + (wt)2(x, t))dt≤b02∥Q(f)∥2 para todox∈[0, π] (2.3) donde b0= m´ax { (2/π)(k2+j2) (k2_−j2_+λ)2 :k,j, k= 1,2,3, . . . , j= 1,2,3, . . . } . En particular ∥A1(Q(f))∥1≤b0π1/2∥Q(f)∥. (2.4) Demostración. f(x, t) = ∑∞ k=1 j=0

(akjsen(kx) sen(jt) +bkjsen(kx) cos(jt))

Por la identidad de Parseval se tiene

∫_2π 0 (wx)2(x, t) + (wt)2(x, t)dt=π    ∞ ∑ k=1 j=0 k,j ( k k2_−j2_+λakjcos(kx) )2 + ∞ ∑ k=1 j=0 k,j ( k k2_−j2_+λbkjsen(kx) )2 + ∞ ∑ k=1 j=0 k,j ( j k2_−j2_+λakjsen(kx) )2 + ∞ ∑ k=1 j=0 k,j ( j k2_−j2_+λbkjsen(kx) )2  

≤π ∞ ∑ j=0 ∞ ∑ k=1 k,j k2+j2 k2_−j2_+λ· ∑ k=1 k,j (a2_kj+b2_kj) ≤m´ax { k2+j2 (k2_−j2_+λ)2:k,j, k=1,2,3,..., j=0,1,2,... } π2 2 ∞ ∑ k=1 j=0 k,j (a2_kj+b_kj2) =b₀2∥Q(f)∥2 Así queda demostrado el lema. Lema 5. Sif ∈L2entonces ∥A(Q(f))∥_∞≤b1∥Q(f)∥. (2.5) donde b1=       ∞ ∑ k=1 j=0 k,j 2 (k2_−j2_+λ)2       1/2

Demostración. Sea nuevamentef(x, t) = ∑∞ k=1

j=0

(akjsen(kx) sen(jt) +bkjsen(kx) cos(jt)) Por definición deAy utilizando la desigualdad de Cauchy - Schwarz se obtiene

∥A₁(Q(f)∥1= ∞ ∑ k,j akj k2_−j2_+λsen(kx) sen(jt) + bkj k2_−j2_+λsen(kx) cos(jt) ≤∑∞ k,j ( 1 (k2_−j2_+λ)2 )1/2   ∞ ∑ k,j (a2_kj+b2_kj)    1/2 =b1∥Q(f)∥.

22 Reescribiendo la ecuación (1) de la siguiente manera

utt−uxx+λu= c RRq(x, t) +r(x, t) +g(u) (2.6) donde R = m´ax{2(2) 1/2_dkλ,2(2)1/2_,16d4_∥g′_∥3 ∞λ,16∥g ′_∥3 ∞ λ } ∥φ_t∥_∞+ 21/2 , K =b0π 1/2_+b 1 y d > 0 es una

constante tal que∥u∥_L4 ≤d∥u∥₁y∥u∥ ≤d∥u∥₁ para todou∈H1(la existencia ded >0, se

sigue del hecho que los encajesH1→L4yH1→L2son continuos y aplicando el teorema de Rellich - Kondrachov al serp=n= 2,H1=W1,2(Ω)⊂L2(Ω) para todoq∈[1,+∞), en particular cuandoq= 4).

Seaw=Ru_c yβ= R_c. Entonces reemplazando en la ecuación (2.6) se tiene utt−uxx+λu= c RRq(x, t) +r(x, t) +g(u) (_w β ) tt− (_w β ) xx+λ (_w β ) =1 βRq(x, t) +r(x, t) +g (_w β ) wtt−wxx+λw=Rq(x, t) +β ( r(x, t) +g (_w β )) . (2.7)

Inductivamente definiendow₀= 0,w₁como una solución al problema (w₁)tt−(w1)xx+λw1=β(r(x, t) +g (_Rφ β ) , w1(0, t) =w1(π, t) = 0, w1(x, t) =w1(x, t+ 2π), (2.8)

dondeφ ya es conocida como solución a la ecuación (3) ywn+1como la solución a

(wn+1)tt−(wn+1)xx+λwn+1=β ( r(x, t) +g(Rφ+wn β )) , w_n+1(0, t) =w_n+1(π, t) = 0, w_n+1(x, t) =w_n+1(x, t+ 2π), (2.9)

Nótese que en (2.8) al escribirw₁=v₁+z₁, conv₁∈N yz₁∈N⊥resulta z1=A1 ( Q ( β ( r(x, t) +g(rφ β ))))

También de (2.9), al escribirw_n+1=v_n+1+z_n+1, dondev_n+1∈N,z_n+1∈N⊥se obtiene zn+1=A1(Q(β(r(x, t) +g(rφ+wn))))

Se supondrá por simplicidad queλ >0, yc >0. El caso λ <0 oc <0 requiere solo unas obvias modificaciones.

Lema 6. Siv∈N∩H1entonces

∥vt∥=∥vx∥

Demostración. Escribiendov(x, t) en su expansión trigonométrica como antes y usando la identidad de Parseval ∥v_t∥2=π 2 2 ∞ ∑ k=1 k2(α2_k+β_k2) = " Ω ∞ ∑ k=1

k(α_kcos(kx) sen(jt) +β_kcos(kx) cos(kt))2dxdt =∥vx∥2

Lema 7. Sea{wn}ndefinida como en (2.8) y (2.9). Bajo las hipótesis del Teorema Principal 7,

(ver Capítulo 3), existeβ1>0tal que siβ∈(0, β1)entonces para todon= 1,2,3, . . .se tiene

∥wn∥1+∥wn∥∞≤1 (2.10)

Demostración. Ya que para toda característicaγ, m{(x, t) ∈γ :|φ(x, t)|< δ} →0 si δ →0 uniformemente enγentonces existeδ0>0 tal que si 0< δ < δ0entonces

m{(x, t)∈γ:|φ(x, t)|< δ}< ( λ (32πR(∥g′∥_∞+ 1)(∥φt∥∞+ 21/2) )2 (2.11) para toda característicaγ.

Por (4) existeL≥0 tal que para todou∈R

|g(u)| ≤ |u|

64πKR(∥φ∥_∞+ 1)+L (2.12)

y existeM >0 tal que si|u|> Mentonces

|g′(u)| ≤ λ 64π2_R(∥φ t∥∞+ 21/2). (2.13) Definiendoβ₁por β1= m´ın { 1 32π(M+ (L+ 1)K+K∥r∥), λ 32π(∥rt∥+ 1) ,Rδ0 M } . (2.14)

24 g (_Rφ β )2 = " Ω ( g(Rφ β ))2 ≤2 " Ω L2+ 2! Ω ( R βφ )2 (64πKR(∥φ∥_∞+ 1))2 ≤2L2 ∫2π 0 ∫ π 0 dxdt+ 2 ( R βφ )2 [2π2] (64πKR(∥φ∥_∞+ 1))2 ≤2L2(2π2) + ( _2πR βφ 64πKR(∥φ∥_∞+ 1) )2 ≤4π2L2+( 1 32Kβ )2 (2.15)

Escribiendow1=v1+z1conv1∈N yz1∈N⊥. De (2.4), (2.5) y (2.7) se tiene que siβ∈(0, β1)

entonces ∥z₁∥₁+∥z₁∥_∞=A₁   Q   βK ( ∥r∥+g(rφ β ) )     ≤1₄ (2.16)

Proyectando (2.8) en N, diferenciando con respecto a t, multiplicando por (v1)t e integrando sobreΩse tiene

λ " Ω ((v1)t)2dxdt=β " Ω ( P ( r+g(Rφ β ))) t(v1)tdxdt =β " Ω ( r+g(Rφ β )) t(v1)tdxdt =β " Ω rt(v1)t+ " Ω ( g′(Rφ β )) (Rφt)(v1)t ≤β " Ω rt(v1)t + " Ω ( g′(Rφ β )) (Rφt)(v1)t ≤β∥rt∥.∥(v1)t∥+R∥φt∥∞∥(v1)t∥ (" Ω ( g′(Rφ β ))2)1/2 . Por tanto ∥(v1)t∥ ≤ β∥r_t∥.∥(v₁)_t∥+R∥φ_t∥_∞∥(v₁)_t∥ (_! Ω ( g′(Rφ_β )) 2)1/2 λ .

Para estimar !_Ω ( g′(Rφ_β )) 2 se define sβ = {(x, t) : |Rφ(x, t)| ≤ Mβ} y cβ = Ω−sβ. Ya que Mβ R < δ0se tiene m(sβ)< λ2 (32πR(∥g′∥_∞+ 1)(∥φt∥∞+ 21/2))2 (ver (2.11) y (2.14)); entonces (" Ω ( g′(Rφ β ))2)1/2 = [" sβ ( g′(Rφ β ))2 + " cβ ( g′(Rφ β ))2]1/2 ≤ [ _∥ g′∥2_∞m(s_β) + 2π2λ2 (64π2_R(∥φ t∥∞+ 21/2))2 ]1/2 ≤ [ 2λ2 (32R(∥φ∥_∞+ 21/2₎2₎ ]1/2 ≤ λ 16R(∥φt∥∞+ 21/2)

Por consiguiente siβ∈(0, β₁) entonces∥(v₁)_t∥ ≤ 1₈. Ya que∥v_t∥=∥v_x∥para todov∈N∩H1, se tiene∥v1∥1≤1₄. Porque de (2.2) se tiene

|v₁(x, t)|= t ∫ 0 (v₁)_t(x, s)ds ≤    t ∫ 0 ((v₁)_t)2(x, s)ds    1/2   t ∫ 0 ds    1/2 ≤(2π)1/2∥(v1)t∥ ≤ (2π)1/2 8 ≤ 1 3 Asi mismo, ∥v1∥1+∥v1∥∞≤ 7 12 (2.17) Combinando (2.16) y (2.17) resulta ∥w1∥1+∥w1∥∞≤1

Supóngase ahora que∥wn∥1+∥wn∥∞ ≤1. Escribiendown+1 =vn+1+zn+1 convn+1 ∈N y

zn+1∈N⊥. Nuevamente de (2.4), (2.5) y (2.7) se tiene ∥zn+1∥1+∥zn+1∥∞≤βK ( ∥r∥+g (_Rφ+w n β ) ).

26 En orden de estimacióng (_Rφ+w n β ) se observa que " Ω ( g (_Rφ+w n β ))2 ≤ 2 ! ΩL 2_{+ 2}(! Ω (_Rφ+w n) β )2) (64πRK(∥φ∥_∞+ 1))2 ≤4π2L2+ 8π2(_64πRKR∥φ_(∥∥∞_φ+1_∥ ∞+1) )2 β2 .

Por tanto siβ∈(0, β1) entonces

∥zn+1∥1+∥zn+1∥∞≤

1

4 (2.18)

Ahora proyectando (2.9) enN, diferenciando con respecto at, multiplicando por (v_n+1)t e integrando sobreΩresulta

λ " Ω ((vn+1)t)2=β (" Ω (rt)(vn+1)t+ " Ω g′ (_Rφ+w n β )(_(Rφ+w) n β ) t(vn+1)t ) ≤β∥r_t∥.∥(v_n+1)t∥+ (2πR∥φt∥∞+ 21/2) [" Ω ( g′ (_Rφ+w n β ))2 ((v_n+1)t)2 ]1/2 . (2.19) Considerando ahora I= " Ω ( g′ (_Rφ+w n β ))2 ((vn+1)t)2 = ∫_2π 0 ∫ _π 0 ( g′ (_Rφ+w n β ))2 ((vn+1)t)2dxdt. (2.20)

Sin pérdida de generalidad se asume quevn+1 =h(x−t) o (vn+1)t =−h′(x−t). Porque la integral en (2.20) es de periodo 2πenty se tiene

I= ∫ π 0 ∫ ₂π+x x ( g′ (_(Rφ+w n)(x, t) β ))2 (h′(x−t))2dtdx. Por definiciónη =x,ζ =−x+t,γζ ={(s, s+ζ) : s∈[0, π]} yAβ ={(x, t)∈Ω:|Rφ(x, t)| ≤ Mβ+ 1}se tiene

I= ∫ _2π 0 ∫_π 0 ( g′ (_{Rφ(η, η+ζ) +w} n(η, η+ζ) β ))2 (h′(−ζ))2dηdζ = ∫ _2π 0 (h′(−ζ))2 (∫ _π 0 ( g′ (_{Rφ(η, η+ζ) +w} n(η, η+ζ) β ))2 dη ) dζ = ∫ 2π 0 (h′(−ζ))2 [∫ γζ∩Aβ ( g′ (_{Rφ(η, η+ζ) +w} n(η, η+ζ) β ))2 dη + ∫ γζ−(γζ∩Aβ) ( g′ (_{Rφ(η, η+ζ) +w} n(η, η+ζ) β ))2] dζ ≤ ∥(v_n+1)_t∥2 ∥g′∥_∞λ (32π(∥g′∥_∞+1))2+ (λπ 1/2 64π2)2 (2R(∥φ_t∥_∞+ 21/2₎₎2 . (2.21)

Por consiguiente siβ∈(0, β1) entonces

∥(v_n+1)_t∥ ≤ 1 8. Imitando el argumento en (2.17) se tiene

∥v_n+1∥₁+∥v_n+1∥_∞≤ 7

12. (2.22)

Combinando (2.18) y (2.22) se tiene

∥wn+1∥1+∥wn+1∥∞≤1,

lo cual prueba el lema

Lema 8. Si{an}es una sucesión de números reales no negativos tal que an+1≤τ(an+an−1), n= 2,3,4. . .

entonces

an+1≤cn+1kτ[n/2]

donde k = m´ax{a1, a2} y cn es el n-ésimo número de la sucesión de Fibonacci definida por cn+1=cn+cn−1,c2= 2yc1= 0y[x]denota el mayor entero menor o igual ax.

28

Demostración. El lema se prueba por inducción. Paran= 2 se tiene

a₃≤τ(a₂+a₁) ≤2kτ = (c2+c1)kτ =c3kτ[2/2] Suponiendo que an≤cnkτ[(n−1)/2] Sines par se tiene an+1≤τ(an+an−1) ≤τ(cnkτ[(n−1)/2]+cn−1kτ[(n−2)/2])

Comones par entoncesn−1 es impar y por lo tanto [n−1₂ ] es n−2₂

≤kτ(c_nτ(n−2)/2+c_n−1τ(n−2)/2)

≤(c_n+c_n−1)kτn/2= (c_n+c_n−1)kτ[n/2] De manera similar sines impar se tiene

an+1≤τ(an+an−1)

≤τ(cnkτ[(n−1)/2]+cn−1kτ[(n−2)/2])

≤τ(cnkτ(n−1)/2+cn−1kτ(n−3)/2)

≤cnkτ(n+1)/2+cn−1kτ(n−1)/2 = (cn+cn−1)kτ[n/2]

En particular la serie ∑an converge si τ es pequeño, esto es cierto por el criterio de la razón y el teorema de intersección de Cantor [1].

Existencia de solución débil

“La matemática es el trabajo del espíritu humano que está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla”.

Evariste Galois. Las herramientas suministradas en los capítulos anteriores permitirán demostrar el teorema principal, cuyo enunciado es:

Teorema 7 (Teorema Principal). Si(P(r))t ∈ L2, φt ∈ L∞, y la medida dada por m{(x, t) ∈ γ;|φ(x, t)|< δ} →0, con δ→0se tienen, entonces existec₀tal que para|c|> c₀el problema (1) - (3) tiene una solución débilu∈H1∩L∞[6].

Es importante resaltar queφes una solución al problema

φtt−φxx+λφ=q(x, t), (x, t)∈[0, π]×[0,2π],

φ(0, t) =φ(π, t) = 0, φ(x, t) =φ(x, t+ 2π)

Y que la medida es uniformemente enγ, dondeγes cualquier característica de operador de D’Alambert, en este caso las curvas de la formax+ct=ξ, yx−ct=η.

Por ejemplo, una de tales funciones que cumple con lo anterior es senkx.

Demostración. Paran= 1,2,3, . . .se escribewn=vn+zndondevn∈N yzn∈N⊥. Sean >2 Desde el teorema de encajes de Sobolev, (2.4) y (2.5) se tiene

30 ∥z_n+1−z_n∥2≤d2∥z_n+1−z_n∥2₁≤(dKβ)2 " Ω ( g (_Rφ+w n β ) −g (_Rφ+w n−1 β ))2 = (dK)2 " Ω g′ (_Rφ+ζ β )2 (wn−1−wn)2 ≤2(dK)2 [" Ω g′ (_Rφ+ζ β )2 (vn−vn−1)2+ " Ω g′ (_Rφ+ζ β )2 (zn−zn−1)2 ] (3.1)

dondeζ∈[wn(x, t), wn−1(x, t)]∪[wn−1(x, t), wn(x, t)]. Desde quevnyvn−1∈N, imitando el argumento en (2.20) - (2.21) se observa que

" Aβ ( g′ (_Rφ+ζ β )2 (v_n−v_n−1)2 ) ≤ (λ∥vn−vn−1∥)2 (32πR(∥φt∥∞+ 21/2))2 . Así 2(dK)2 " Ω ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (vn−vn−1)2 ≤2(dK)2    " Aβ ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (vn−vn−1)2+ " Ω−Aβ ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (vn−vn−1)2    ≤2(dK)2 [( _λ 32πR(∥φt∥∞+ 21/2) )2 + ( _λ 64πR(∥φt∥∞+ 21/2) )2] ∥vn−vn−1∥2 ≤2(dK)2 ( _λ 16R(∥φt∥∞+ 21/2) )2 ∥vn−vn−1∥2. (3.2)

donde se utiliza el hecho queRφ_β+ζ> M para (x, t)∈Ω−Aβ(ver (2.13). Por otra parte se tiene

2(dK)2 " Ω ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (zn−zn−1)2 ≤2(dK)2    " Aβ ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (zn−zn−1)2+ " Ω−Aβ ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (zn−zn−1)2    ≤2(dK)2   ∥g′∥2_∞ " Aβ (zn−zn−1)2+ λ2∥zn−zn−1∥2 (64π2_R(∥φ t∥∞+ 21/2))2    ≤2(dK)2 [ ∥g′∥2_∞ " Ω (χAβ(zn−zn−1) 2₊ λ2∥zn−zn−1∥2 (64π2_R(∥φ t∥∞+ 21/2))2 ] ≤2(dK)2 [ ∥g′∥2_∞ (" Ω ((χAβ) 2 )1/2(" Ω (zn−zn−1)4 )1/2 + λ 2_∥z n−zn−1∥2 (64π2_R(∥φ t∥∞+ 21/2))2 ] ≤ 2(dK)2[∥g′∥2∞λd2∥zn−zn−1∥2 32πR(∥g′∥_∞+ 1)(∥φt∥∞+ 21/2) + λ 2_∥z n−zn−1∥2 (64π2_R(∥φ t∥∞+ 21/2))2 , (3.3)

donde utilizando el teorema de encaje de Sobolev (ver [A])∥zn−zn−1∥L4 ≤d∥z_n−z_n−1∥₁.

También porqueg′es cerrado,

β ( g (_φ+w n β )) −g (_φ+w n−1 β ) ≤ ∥g′∥_∞∥wn−1−wn−2∥1. Así, (3.2) y (3.3) se tiene 2(dK)2 " Ω ( g′ (_Rφ+ζ β ))2 (zn−zn−1)2 ≤2(dK)2 ∥g ′_∥4 ∞(dK)2∥wn−1−wn−2∥2 32πR(∥g′∥_∞+ 1)(∥φt∥∞+ 21/2) ≤2(dK)2 [ ∥g′|3_∞λ(dK)2∥wn−1−wn−2∥2 32R(∥φt∥∞+ 21/2) + ( λ2 (64π(∥φt∥∞+ 21/2))2∥zn−zn−1∥ 2 ] . (3.4) Combinando (3.2) y (3.4) se tiene ∥zn+1−zn∥ ≤21/2dKλ∥wn−wn−1∥ + 21/2(dK)2∥g′∥_∞3/2∥wn−1−wn−2∥ × ( _λ 32R(∥φt∥∞+ 21/2) )1/2 . (3.5)

32 También λ2∥vn+1−vn∥2≤ " Ω ( g′ (_φ+ζ β ))2 (wn−wn−1)2 ≤ " Ω ( g′ (_φ+ζ β ))2 [(vn−vn−1)2+ (zn−zn−1)2]. Usando ahora (3.2) y (3.4) se tiene

λ2∥vn+1−vn∥2≤2 ( _λ 16R(∥φt∥∞+ 21/2) )2 ∥vn−vn−1∥2 + 2 [ ∥g′∥3_∞λ(dK)2∥wn−1−wn−2∥2 32R(∥φt∥∞+ 21/2 + ( _λ∥z n−zn−1∥ 64R(φt∥∞+ 21/2) )2] . Por consiguiente ∥vn+1−vn∥ ≤ 21/2∥wn−wn−1∥ 8R(∥φt∥∞+ 21/2) +2 1/2_∥g′_∥3/2 ∞ ∥wn−1−wn−2∥ (32λR(∥φt∥∞+ 21/2))1/2 . (3.6)

Combinando (3.5) y (3.6) y usando la definición deRse tiene

∥wn+1−wn∥ ≤ ∥

wn−wn−1∥+∥wn−1−wn−2∥

8 .

Así por el Lema 8 se tiene

∥wn+1−wn∥ ≤k2n (₁ 8 )[n/2] , n= 2,3,4, . . . Por lo tanto ∑∞ n=3 ∥wn−wn−1∥converge. En consecuencia la sucesión {w_n= (w_n−w_n−1) + (w_n−1−w_n−2) +. . .+ (w₂−w₁) + (w₁−w₀)}

converge enL2para algúnw∈L2. Ya que{wn}es acotado enH1∩L∞, se observa también quewpertenece aH1∩L∞. Por consiguiente por (2.9) se tiene quew+Rφes una solución a (2) - (3), (2.7) . Asíu=c(w+Rφ) es una solución a (1) -(3) lo cual prueba el teorema.

[1] Apostol Tom.Análisis matemático. Editorial Reverté, , S.A., segunda edición edition, 1960.

[2] Berberian Sterling.Introducción al Espacio de Hilbert. Editorial Teide, S.A., 1970. [3] Brézis Haïm.Análisis Funcional. Alianza Editorial, 1983.

[4] Brézis Haïm. Periodic Solutions of Nonlinear Vibrating Strings and Duality Princi-ples. Bulletin (New Series) American Mathematical Society, 8(3):18, Mayo 1983. [5] Caicedo José Francisco and Castro Alfonso. A semilinear wave equation with

derivate of nonlinearity containing multiple eigenvalues of infinite multiplicity.

Contemp. Math, 208:111–132, 1997.

[6] Castro Alfonso and Unsurangsie Sumalee. A semilinear wave equation with nonmonotone nonlinearity. Pacific Journal of Mathematics, 132(2):215–225, 1988. [7] Duque Baracaldo Rodrigo. Ecuaciones de Onda Semilineales con parte no Lineal no

Monótona. PhD thesis, Universidad Nacional de Colombia, Septiembre 2011.

[8] Guedes de Figueiredo Djairo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Edgard Blücher, Ltda, 1977.

[9] Fritz John.Partial Differential Equations. Springer, 1978.

[10] Lesmes Jaime. Elementos de Análisis Funcional. Ediciones Uniandes, 2010.

[11] Rabinowitz Paul H. Free vibrations for a semilinear wave equation. Communications on Pure and Applied Mathematics, 31:31–68, 1978.