Tema
2
Ejemplos de espacios normados y espacios
de Banach
A continuación vamos a presentar una amplia colección de espacios que nos van a permitir ilustrar los conceptos y resultados que hemos expuesto hasta ahora, así como los que aparezcan más adelante. Empezamos presentando unas desigualdades que tendrán un papel clave en todo lo que sigue:
2.1.
Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
Dado un número real p mayor que 1 (en adelante escribiremos simplemente 1< p<∞) definimos su exponente conjugado p∗mediante la igualdad 1
p+ 1
p∗ =1 y observamos que tam-bién 1< p∗<∞, así como que la relación entre p y p∗es simétrica:(p∗)∗=p.
Pues bien, para cualesquiera a,b∈R+ se tiene: a b6a
p
p + bp∗
p∗ (Desigualdad de Young).
La prueba de esta desigualdad es una fácil consecuencia de la convexidad de la función exponencial real o (equivalentemente) de la concavidad del logaritmo.
De la desigualdad de Young se deduce sin gran dificultad la siguiente: N
∑
k=1 akbk 6 N∑
k=1 akp !1/p N∑
k=1 bkp ∗ !1/p∗ (Desigualdad de Hölder),válida para 1<p<∞, cualquier N∈Ny cualesquiera a1,a2, . . . ,aN,b1,b2, . . . ,bN ∈R+. A partir de la desigualdad de Hölder no es difícil deducir:
N
∑
k=1 (ak+bk)p !1/p 6 N∑
k=1 akp !1/p + N∑
k=1 bkp !1/p (Desigualdad de Minkowski),igualmente válida para 1<p<∞, n∈Ny a1,a2, . . .aN,b1,b2, . . . ,bN ∈R+. 6
2.2.
Algunos espacios de dimensión finita
Para 16 p<∞y x= (x(1),x(2), . . . ,x(N) ∈KN, definimos: kxkp= N∑
k=1 |x(k)|p !1/pMerece la pena admitir también el valor p=∞, en cuyo caso escribimos
kxk∞=m´ax{|x(k)| : 16k6N}.
La notación se justifica por el hecho de que l´ım
p→∞kxkp=kxk∞para todo x∈K N.
Para comprobar que k · kp es una norma (16 p6∞), dos de las condiciones a verificar son evidentes y sólo la desigualdad triangular merece comentario. Tanto para p=1 como para p=∞, dicha desigualdad es inmediata, mientras que, para 1<p<∞, es claramente equivalente a la desigualdad de Minkowski. Observemos que la desigualdad de Hölder toma la forma:
N
∑
k=1
|x(k)| |y(k)| 6 kxkpkykp∗ (1< p<∞, x,y∈KN)
y si adoptamos el convenio de que p∗=∞ cuando p=1 y (coherentemente) p∗=1 cuando p=∞, la desigualdad resulta también cierta para p=1,∞.
La siguientes figuras muestran la esfera unidad en R2 con la norma k · kp para distintos valores de p:
p=1 1<p<2 p=2 p>2 p=∞
Todas las normas recién definidas en KN son equivalentes, pues se comprueba fácilmente que:
kxk∞6kxkp6kxk16Nkxk∞ (16p6∞,x∈KN),
así que todas generan la topología producto en KN y todas ellas son completas. El espacio de Banach que obtenemos dotando aKN de la normak · kpsuele denotarse por lNp, notación que se entenderá mejor cuando presentemos versiones infinito-dimensionales de estos espacios.
2.3.
Bases y dimensión algebraica
Vamos a recordar algunas nociones elementales de álgebra lineal, expresándolas de forma que tengan perfecto sentido en cualquier espacio vectorial. Dado un subconjunto no vacío E de un espacio vectorial X , denotaremos por Lin(E) al subespacio engendrado por E, es de-cir, la intersección de todos los subespacios de X que contienen a E o, equivalentemente, el mínimo subespacio de X que contiene a E. Es claro que Lin(E) está formado por todas las combinaciones lineales (finitas) de elementos de E, es decir,
Lin(E) ={α1x1+α2x2+αNxN : n∈N,α1,α2, . . . ,αN∈K,x1,x2, . . . ,xN∈E}. Cuando Lin(E) =X decimos que E es un sistema de generadores del espacio vectorial X , puesto que cada vector de X se puede expresar como combinación lineal de vectores de E. Esta expresión será única cuando los vectores de E sean linealmente independientes. Dado un sub-conjunto no vacío F (no necesariamente finito) de nuestro espacio vectorial X , decimos que los vectores de F son linealmente independientes cuando ninguno de ellos puede obtenerse como combinación lineal de los restantes, equivalentemente, cuando ninguna combinación lineal no trivial de vectores de F puede anularse:
α1,α2, . . . ,αN∈K x1,x2, . . . ,xN∈F α1x1+α2x2+αNxN =0 =⇒ α1=α2=. . .=αN =0.
Un sistema de generadores linealmente independientes del espacio vectorial X es lo que denominamos base algebraica de X .
Dado un conjunto no vacío arbitrarioΛ, podemos considerar el espacio vectorial producto
KΛ, de todas las aplicaciones deΛenK, cuyas operaciones son fáciles de adivinar:
[x+y](λ) =x(λ) +y(λ); [αx](λ) =αx(λ) (λ∈Λ,x,y∈KΛ,α∈K).
En este momento nos interesa sobre todo el subespacio vectorial de KΛ formado por las funciones llamadas casi-nulas, porque se anulan salvo en un conjunto finito, es decir, aplica-ciones x∈KΛ tales que el conjunto {λ∈Λ : x(λ)6=0}es finito (conjunto que evidentemente no será el mismo para diferentes funciones x). Este nuevo espacio vectorial, que puede verse como una suma directa de tantas copias del cuerpo escalar como indique el cardinal del con-juntoΛ, suele denotarse porK(Λ). Nótese que, si el conjuntoΛes finito, tenemos evidentemente
KΛ=K(Λ)=KN donde N es el número de elementos de Λ, pero cuandoΛ es infinito,KΛ es "mucho más grande" queK(Λ). Por ejemplo,KN es el espacio de todas las sucesiones de es-calares, mientras que enK(N) sólo tenemos las sucesiones casi-nulas, que se anulan a partir de un cierto término en adelante. Así pues, queda claro que existe gran diferencia entre un producto infinito y la correspondiente suma directa.
De nuevo para un conjunto no vacío arbitrarioΛ, es fácil encontrar una base algebraica del espacio K(Λ). En efecto, fijado un λ∈Λ, podemos considerar la aplicación eλ ∈K(Λ) que se anula en todo el conjuntoΛsalvo precisamente en el puntoλ, donde toma el valor 1. Es bastante evidente que el conjunto{eλ : λ∈Λ}es una base algebraica de K(Λ). El siguiente enunciado clasifica, salvo isomorfismos, todos los espacios vectoriales sobreKy pone de manifiesto que,
también salvo isomorfismos, no hay más espacios vectoriales sobreKque los de la formaK(Λ). Por isomorfismo entre espacios vectoriales entendemos naturalmente una biyección lineal.
Teorema.
(i) Todo espacio vectorial admite una base algebraica. Más concretamente, todo conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial está contenido en una base algebraica del espacio.
(ii) Todas las bases algebraicas de un espacio vectorial X tienen el mismo cardinal, que recibe el nombre de dimensión algebraica de X .
(iii) Dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpoK son isomorfos si, y sólo si, tienen la misma dimensión algebraica.
Aunque no vamos a exponer la demostración de este teorema, conviene resaltar que la primera afirmación requiere usar de manera esencial el Lema de Zorn. En la práctica esto sig-nifica que, aunque conozcamos la dimensión algebraica de un espacio vectorial, rara vez vamos a disponer explícitamente de una base algebraica del espacio, salvo que la dimensión algebraica sea finita o, al menos, numerable. Para la segunda afirmación del teorema se usan resultados no triviales de la teoría de cardinales y la tercera es prácticamente evidente.
Puede merecer la pena recapitular toda la discusión anterior. A cada conjunto no vacío
Λ, hemos asociado un espacio vectorial K(Λ), que admite como base algebraica el conjunto
{eλ :λ∈Λ}, luego la dimensión algebraica deK(Λ) es el cardinal del conjunto Λ. Recíproca-mente, dado un espacio vectorial X , podemos encontrar en X una base algebraica, que tendrá la forma{xλ : λ∈Λ}para algún conjunto no vacíoΛ, con lo que X resulta ser isomorfo a K(Λ). Finalmente los espaciosK(Λ) yK(Γ) son isomorfos si, y sólo si, los conjuntos ΛyΓtienen el mismo cardinal, es decir, existe una biyección de uno sobre otro. Conviene hacer una precisión, pues la discusión anterior excluye al espacio vectorial trivial X ={0}; para incluirlo basta asig-narle dimensión 0. Por otra parte, conviene saber que toda la discusión es válida para espacios vectoriales sobre un cuerpo conmutativo arbitrario, aunque aquí sólo nos interesen los espacios vectoriales reales o complejos.
2.4.
Espacios de sucesiones
Tengamos presente la definición del espacio vectorial productoKN(todas las sucesiones de escalares) y de la suma directaK(N) (sucesiones casi-nulas). En este apartado vamos a consi-derar una amplia gama de subespacios deKNque contienen aK(N) y que, dotados de la norma apropiada en cada caso, se convertirán en importantes ejemplos de espacios de Banach.
2.4.1.
Los espacios l
p(
1
6
p
<
∞
)
Fijado 16p<∞, denotaremos por lpal conjunto de las sucesiones x∈KNtales que la serie
∑
n>1 |x(n)|pes convergente, abreviadamente: lp= x∈KN : ∞∑
k=1 |x(n)|p<∞ (16p<∞).Por ejemplo, l1está formado por los términos generales de las series de escalares absolutamente convergentes.
Pasando al límite cuando N→∞en la desigualdad de Minkowski, obtenemos que:
∞
∑
k=1 (ak+bk)p !1/p 6 ∞∑
k=1 akp !1/p + ∞∑
k=1 bkp !1/p ,para cualesquiera sucesiones{ak}y{bk}de números reales positivos y 16 p<∞. A partir de esta desigualdad de Minkowski para series, es fácil deducir que lp es un subespacio vectorial deKNy que definiendo kxkp= ∞
∑
k=1 |x(n)|p !1/p (x∈lp),se obtiene una norma en lp. Para comprobar su complitud, sea {xn}una sucesión de Cauchy en lp. Fijado k∈N, tenemos claramente que |xn(k)−xm(k)| 6 kxn−xmk, para cualesquiera n,m∈N, así que{xn(k)}es una sucesión de Cauchy enK, luego convergente; definiendo, para cada k∈N, x(k) = l´ım
n→∞xn(k) obtenemos una sucesión x∈K
N. No es difícil comprobar que
x∈lpy que{kxn−xkp} →0, es decir,{xn}converge a x en lp. Habremos comprobado así que lpes un espacio de Banach.
Podemos analizar brevemente la relación entre los espacios lp para distintos valores de p. Si tomamos 16 p< q<∞ y fijamos una sucesión x∈ lp, como quiera que l´ım
n→∞x(n) =0, tendremos|x(n)|q6|x(n)|ppara n suficientemente grande, con lo que el criterio de comparación para series de términos positivos nos dice que x∈lq. La implicación contraria no es cierta: la sucesión {n1/p} está en lq pero no en lp. En resumidas cuentas, el espacio lp se agranda estrictamente al aumentar p.
2.4.2.
Los vectores unidad en l
pObservemos que, para cualquier p, siempre con 16 p<∞, el espacio vectorialK(N) está contenido estrictamente en lp, aunque evidentemente, la norma queK(N)hereda de lpes distin-ta para distintos valores de p. De hecho, vamos a darnos cuendistin-ta de queK(N) es un subespacio denso de lp. En efecto, recordemos la base algebraica de K(N) definida anteriormente, concre-tamente{en : n∈N}donde, para cada n∈N, enes la sucesión cuyo n-ésimo término es 1 y los demás son 0. Viendo a en como elemento de lp, decimos que en es el n-ésimo vector unidad
de lp. Dado un x∈lppodemos considerar la serie
∑
n>1x(n)en, una serie de vectores de lpcuyas sumas parciales pertenecen evidentemente al subespacioK(N). Fijado cualquier número natural N, tenemos claramente: x− N
∑
k=1 x(k)ek p = ∞∑
k=N+1 |x(n)|p,y usando que el resto de una serie convergente ha de tender a cero, deducimos que la serie considerada converge a x en lp. En resumen:
x=
∞
∑
n=1
x(n)en (x∈lp, 16 p<∞).
Queda así de manifiesto queK(N)es denso en lp. Dicho de manera equivalente, si considera-mos enK(N)la norma que hereda de lp, tenemos un ejemplo de espacio normado no completo, cuya completación es precisamente lp. No debe extrañarnos que un mismo espacio vectorial dé lugar a completaciones diferentes dependiendo de la norma con que lo dotemos. Abundando en la misma idea, tomemos 16 p<q<∞y veamos a lpcomo un subespacio vectorial de lq; entonces en lp, además de la norma propiak · kp, que le convierte como sabemos en un espa-cio de Banach, disponemos de la norma que hereda de lq, que podemos seguir llamandok · kq. Con esta segunda, lpes un subespacio propio denso en lq, ya que contiene al subespacio denso
K(N); por tanto, es también un espacio normado no completo cuya completación vuelve a ser lq. Deducimos que en lplas normask · kp yk · kqno son equivalentes, puesto que la primera es completa y la segunda no lo es.
Volviendo al desarrollo en serie obtenido anteriormente, con muy poco esfuerzo adicional se puede comprobar que, siempre para 16p<∞y cualquier x∈lp, la serie
∑
n>1
x(n)enconverge incondicionalmente. Por otra parte, es claro que kx(n)enkp =|x(n)| para todo n ∈N, luego dicha serie convergerá absolutamente si, y sólo si x∈l1. Por tanto, tomando 1< p<∞y una sucesión x∈lptal que x∈/l1, deducimos que la serie
∑
n>1
x(n)enconverge incondicionalmente en lp pero no converge absolutamente. Por ejemplo, para 1< p<∞, la serie
∑
n>1 en
n converge incondicionalmente en lppero no converge absolutamente.
2.4.3.
Bases de Schauder
Observemos la sucesión {en} en cualquiera de los espacios lp con 16 p<∞. Se trata evidentemente de una sucesión de vectores linealmente independientes, pero no forman una base algebraica de lp, el subespacio engendrado es como sabemosK(N), que es denso en lppero no es el total. Sin embargo, cada vector x∈lp se expresa como una especie de combinación lineal infinita de los términos de nuestra sucesión, más concretamente, x=
∞
∑
n=1
x(n)en, serie que converge (incluso incondicionalmente) en la topología de la norma del espacio lp. Además, no es difícil convencerse de que dicha expresión es única, es decir, si para una sucesión de
escalares{αn}tuviésemos también x=
∞
∑
n=1
αnen, se tendría obligadamenteαn=x(n)para todo n∈N. Podríamos decir que la sucesión {en : n∈N} se comporta como una especie de base de lp, siempre que no nos limitemos a hacer combinaciones lineales finitas sino que admitamos sumas de series del tipo que venimos manejando. Ello motiva la siguiente definición.
Se dice que una sucesión {un} en un espacio de Banach X es una base de Schauder de X cuando cada vector x∈X se expresa, de manera única, como suma de una serie de la forma x=∑∞n=1λnun, para conveniente sucesión{λn}de escalares. Así pues, nuestras consideraciones anteriores se resumen diciendo que{en}es una base de Schauder de lppara 16p<∞. Se dice que{en}es la base de vectores unidad de lp. El concepto de base de Schauder es muy útil en el estudio de los espacios de Banach.
2.4.4.
Espacios normados separables
Notemos que los vectores de una base de Schauder{un}, en cualquier espacio de Banach X , siempre son linealmente independientes. El subespacio engendrado, Y=Lin({un: n∈N})tiene dimensión infinito-numerable, luego como espacio vectorial es isomorfo aK(N); claramente Y es denso en X y se comprueba sin mucha dificultad que no puede coincidir con X . Así pues, todo espacio de Banach que admita una base de Schauder contiene un subespacio denso de dimensión numerable. Deducimos que X , como espacio topológico, es separable, es decir, existe un conjunto numerable denso en X . En efecto, comoKes separable, disponemos de un conjunto numerable ∆ denso en K (si K=R podemos tomar ∆=Q y, si K=C, entonces
∆=Q+iQ). Formamos ahora combinaciones lineales de los términos de la sucesión{un}con coeficientes en∆, es decir, consideramos el conjunto:
E={δ1u1+δ2u2+. . .+δnun : n∈N,δ1,δ2, . . . ,δn∈∆}.
Es fácil ver que E es un subconjunto numerable de Y ; además, usando que∆es denso enK, se comprueba también sin dificultad que toda combinación lineal de términos de la sucesión{un} se aproxima por elementos de E, esto es, que Y está contenido en el cierre de E. Puesto que Y era denso en X , deducimos que también E es denso en X y tenemos el conjunto numerable denso en X que buscábamos. Obsérvese que en el último razonamiento no hemos usado la complitud del espacio X , sino solamente el hecho de que Y tiene dimensión numerable y es denso en X . Así pues, cualquier espacio normado que contenga un subespacio denso de dimensión numerable es separable. Resaltemos que los espacios lpcon 16p<∞son espacios de Banach separables. Durante algún tiempo, en todos los espacios de Banach separables conocidos se disponía de una base de Schauder. Ello motivó a S. Banach a preguntar en 1932 si en todo espacio de Banach separable se puede encontrar una base de Schauder. El problema fue resuelto en 1973 por el matemático sueco Per Enflo, construyendo una gama de espacios de Banach separables sin base de Schauder.
2.4.5.
Espacios de sucesiones acotadas
En la discusión anterior hemos excluido siempre el caso p=∞, que ahora vamos a estudiar. Recordemos que l∞N denotaba el espacio de Banach que se obtiene dotando a KN de la norma del máximok · k∞. Está claro cómo podemos extender esta norma haciendo que tenga sentido para una sucesión de escalares: la sucesión deberá estar acotada y, como pudiera no tener un término con módulo máximo, usamos el supremo. Denotaremos por l∞ el subespacio de KN
formado por todas las sucesiones acotadas de escalares, abreviadamente: l∞=
x∈KN : sup{|x(n)| : n∈N}<∞ .
Se comprueba sin dificultad que l∞, con la norma definida por
kxk∞=sup{|x(n)| : n∈N} (x∈l∞)
es un espacio de Banach.
Hacemos aquí un inciso para comentar que, al igual que la desigualdad de Minkowski, también la desigualdad de Hölder tiene su versión para series. Concretamente, tomando x∈lp e y∈lp∗ con 16p6∞, 1
p+ 1
p∗ =1 y los convenios ya adoptados de que p
∗=∞cuando p=1 y p∗=1 cuando p=∞, tenemos: ∞
∑
n=1 |x(n)| |y(n)| 6kxkpkykp∗.Subespacios destacados de l∞ son el espacio c0 de las sucesiones convergentes a cero y el espacio c de las sucesiones convergentes. Es fácil comprobar que ambos son subespacios cerrados de l∞ y por tanto espacios de Banach con la normak · k∞ que ambos heredan de l∞. Observemos también que c se obtiene añadiendo una recta a c0 o, con más precisión, c0es un hiperplano en c. Concretamente, si denotamos por u a la sucesión constantemente igual a 1, es claro que c=c0⊕Ku.
Prestemos atención a los vectores unidad{en : n∈N}que obviamente están todos ellos en c0. El subespacio que engendran (que como espacio vectorial sigue obviamente siendo K(N)), visto ahora como subespacio de c0, suele denotarse por c00. Pues bien, otra vez c00 es denso en c0; más aún,{en}es una base de Schauder de c0, ya que es fácil comprobar que
x=
∞
∑
n=1
x(n)en (x∈c0),
la serie converge incondicionalmente (pero no siempre absolutamente) y se tiene también la uni-cidad del desarrollo. En particular, c0vuelve a ser un espacio de Banach separable. No es difícil comprobar que, añadiendo a{en}la sucesión u constantemente igual a 1, o más rigurosamente, tomando e0=u, se obtiene una base de Schauder {en: n>0}del espacio c de las sucesiones convergentes, espacio que también resulta ser separable.
Por el contrario l∞ no es separable. Para comprobarlo, como casi siempre que se quiere probar que un espacio métrico no es separable, bastará encontrar un subconjunto no numerable
A⊂l∞tal que, para algúnδ>0, se tengaka−bk>δcualesquiera sean a,b∈A con a6=b. Pues bien, seaP(N)el conjunto de todas las partes deNque, como bien sabemos, no es numerable;
para cada E ∈P(N)sea xE la función característica de E, es decir, xE(n) =1 cuando n∈E y
xE(n) =0 cuando n∈/E. Es claro que si E,F∈P(N)y E6=F, entonceskxE−xFk∞=1, con lo que tomando A={xE : E ∈P(N)} obtenemos un subconjunto no numerable de l∞ tal que cualesquiera dos elementos distintos de A están a distancia 1. Intuitivamente l∞ es mucho más grande que c0o que c, no posee ningún subespacio denso de dimensión numerable.
Tal vez merezca la pena observar las relaciones de inclusión entre todos los espacios de sucesiones que han aparecido hasta aquí. Para 1< p<q<∞, como espacios vectoriales (pres-cindiendo de normas) tenemos:
c00 ⊂l1 ⊂ lp ⊂ lq ⊂ c0 ⊂ c ⊂ l∞,
inclusiones todas estrictas. La sucesión
1 log(n+1)
está en c0pero no está en ningún lpcon p<∞.
2.5.
Espacios de familias sumables
Para presentar otra amplia gama de espacios de Banach, que incluirá las estudiadas hasta ahora y proporcionará nuevos ejemplos de espacios de Banach no separables, conviene precisar el siguiente concepto.
2.5.1.
Familias sumables de números positivos
Sea {aλ : λ∈Λ} una familia de números, con aλ ∈R y aλ >0 para todo λ∈Λ. Con-sideremos todas las posibles sumas (finitas) de elementos de la familia; más concretamente, denotando porF(Λ)el conjunto de todas las partes finitas deΛ, formamos el conjunto
S={
∑
λ∈Faλ : F∈F(Λ)}.
Cuando S está acotado decimos que{aλ:λ∈Λ}es sumable y definimos su suma por:
∑
λ∈Λ
aλ =sup S,
es decir, el supremo de todas las posibles sumas finitas de elementos de la familia. También es costumbre escribir
∑
λ∈Λ
aλ<∞para indicar que la familia{aλ:λ∈Λ}es sumable. Veamos los tres casos que pueden darse:
CuandoΛes finito, digamosΛ={1,2, . . . ,N}, no hemos inventado nada nuevo, cualquier familia{aλ:λ∈Λ} va a ser sumable y, obviamente,
∑
λ∈Λ aλ= N
∑
k=1 ak no es más que una suma finita.Cuando Λ es infinito-numerable, usando cualquier biyección σ de N sobre Λ, es fácil comprobar que la familia {aλ :λ∈Λ}es sumable si, y sólo si, la serie
∑
n>1
aσ(n) es con-vergente, en cuyo caso,
∑
λ∈Λ aλ=
∞
∑
n=1
aσ(n). Tampoco en este caso parece que hayamos inventado nada nuevo. Sin embargo, cabe pensar que podemos tenerΛ=Z(o aún peor,
Λ=Q) y no necesitamos especificar ninguna biyección concreta deNsobreΛ, que nos permita formar la correspondiente serie, para definir de manera coherente la suma de la familia.
Supongamos finalmente que el conjunto Λno es numerable. Aparentemente hemos po-dido definir la suma de una familia no numerable, afirmación que debe ser matizada. Si
α=
∑
λ∈Λ
aλ<∞, para cada k∈Npodemos considerar el conjuntoΛk=
λ∈Λ: aλ> 1
k
, que ha de ser finito, más concretamente su número de elementos no puede exceder de kα, pues de lo contrario tendríamos sumas finitas de elementos de la familia mayores queα, cosa que no puede ocurrir. Si ahora consideramos el conjuntoΛ0=∪∞k=1Λk, es claro que
Λ0es numerable, así como que aλ=0 a menos queλ∈Λ0. Por tanto, hemos definido la suma de una familia no numerable de números, pero la familia sólo será sumable cuando todos ellos sean cero salvo un conjunto numerable, con lo que recaemos claramente en el caso anterior (Λnumerable). Pensemos, sin embargo lo que ocurre cuando consideramos muchas familias sumables simultáneamente. Supongamos que, para cada i en un cier-to conjuncier-to de índices I tenemos una familia sumable
n
a(i)λ :λ∈Λo; ciertamente, para cada i∈I, el conjunto
n
λ∈Λ : a(i)λ 6=0
o
es numerable, pero dicho conjunto depende obviamente de i, pudiendo ocurrir (si I no es numerable) que no podamos encontrar un subconjunto numerable fijoΛ0tal que a
(i)
λ =0 para todoλ∈Λ\Λ0y todo i∈I. Enseguida veremos abundantes ejemplos de esta situación.
2.5.2.
Los Espacios l
Λp(
1
6
p
<
∞
)
Fijemos pues nuestro conjunto no vacío, pero por lo demás arbitrario, Λ; sea 16 p<∞y consideremos el subconjunto del espacio vectorial productoKΛdado por:
lΛp =
x∈KΛ:
∑
λ∈Λ
|x(λ)|p<∞ .
Es fácil ver, usando la desigualdad de Minkowski, que lΛp es un subespacio vectorial deKΛ y que definiendo: kxkp=
∑
λ∈Λ |x(λ)|p !1/p (x∈lΛp),se obtiene una norma en lΛp que lo convierte en un espacio de Banach. Los comentarios previos sobre familias sumables nos permiten ahora considerar los siguientes casos particulares:
SiΛes finito con N elementos, el espacio lΛp no es otra cosa que el espacio de dimensión N que habíamos denotado lNp.
SiΛes infinito numerable lΛp se identifica totalmente (mediante una biyección lineal que conserva la norma) con lp. Sin embargo, formalmente puede ser útil, como se verá más adelante, considerar por ejemplo el espacio lZp.
SiΛno es numerable lΛp es, como veremos, un espacio de Banach no separable.
Así pues, aparte de englobar ejemplos anteriores, aparecen nuevos ejemplos de espacios de Ba-nach cuandoΛno es numerable. Muchas de las afirmaciones hechas para espacios de sucesiones tienen sus análogas en este caso. Por ejemplo, lΛp se agranda estrictamente al aumentar p yK(Λ)
es un subespacio denso de lΛp para 16p<∞. Si consideramos nuevamente los vectores unidad
{eλ:λ∈Λ}, observamos que la distancia entre cualesquiera dos de ellos (distintos) es 21/p, de ahí la afirmación de que lΛp no es separable. Al igual que en el caso Λ=N, cada vector x∈lΛp tiene un único desarrollo en la forma x=
∑
λ∈Λ
x(λ)eλ, pero este hecho requiere el concepto de familia sumable de vectores en un espacio normado, que trataremos más adelante.
2.6.
Espacios de funciones continuas
En el apartado anterior hemos excluido intencionadamente el caso p =∞ para el que la noción de familia sumable no se precisa; consideremos ahora este caso.
Dado nuevamente un conjunto no vacío Λ, denotaremos naturalmente por l∞Λ al espacio vectorial de todas las funciones acotadas deΛenK:
l∞Λ =
x∈KΛ : sup{|x(λ)|: λ∈Λ}<∞ ,
dotado de la norma:
kxk∞=sup{|x(λ)| : λ∈Λ} x∈ℓΛ∞ .
Es fácil comprobar que la convergencia en esta norma equivale a la convergencia uniforme en Λ, lo que nos lleva a probar sin dificultad que ℓΛ∞ es un espacio de Banach. Como casos particulares ya conocidos tenemos obviamente l∞(cuandoΛ=N) y l∞N(cuandoΛes finito con N elementos). Nos interesan ahora determinados subespacios de l∞Λque aparecen de forma natural cuandoΛestá provisto de una topología que asegure la abundancia de funciones continuas de
ΛenK.
Si L es un espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff, C00(L)es por defini-ción el subespacio deℓL
∞ formado por las funciones continuas de soporte compacto, esto es
funciones continuas f : L→Ktales que el conjunto
sop(f) ={t∈L : f(t)6=0},
llamado soporte de la función f , es compacto. Es claro que una tal función está acotada y, de hecho su valor absoluto (o módulo) alcanza un valor máximo en algún punto de L:
El cambio de notación no habrá pasado desapercibido: hasta el apartado anterior, traba-jábamos con funciones definidas en un conjuntoΛ en el que no se tenía en cuenta, aunque la hubiera, ninguna estructura adicional, es decir, Λ sólo hacía el papel de conjunto de índices; era lógico, por tanto, pensar en las funciones de Λ en K como simples familias de números con subíndices enΛ y usar una notación típica de vectores x,y. . .Los espacios normados que han ido apareciendo se denotaban con letras minúsculas. Sin embargo, ahora hemos empezado a considerar funciones que tienen alguna propiedad (continua, soporte compacto) relacionada con una estructura del conjunto L donde están definidas (una topología); para resaltar este he-cho, empezamos a usar una notación típica de funciones ( f,g. . .) y el espacio normado que consideramos se denota con letra mayúscula.
En general, C00(L)puede no ser un subespacio cerrado de l∞L (es lo que ocurre, por ejemplo, cuando L=R). En cualquier caso, el cierre de C00(L) en l∞L es el espacio de Banach C0(L) de las funciones continuas que se anulan en el infinito. Decimos que una función continua f : L−→Kse anula en el infinito si, para cadaε>0, el conjunto{t ∈L : |f(t)|>ε}es com-pacto. Si recordamos la compactación por un punto ˆL=L∪ {∞}, nuestra terminología resulta coherente, ya que una función continua f : L→Kpertenece a C0(L)si, y sólo si l´ım
t→∞f(t) =0, equivalentemente, f se puede extender a una función continua en ˆL definiendo f(∞) =0.
Es evidente que si una función continua f : L→Ktiene soporte compacto, entonces f se anula en el infinito, ya que para todoε>0, el conjunto {t ∈L :|f(t)|>ε} es cerrado y está contenido en el soporte de f . El hecho de que C00(L)es denso en C0(L)se deduce fácilmente del Lema de Urysohn.
En particular, tomando L=N con la topología discreta, cuyos únicos subconjuntos com-pactos son los finitos, reaparecen el espacio c00 de las sucesiones casi-nulas y el espacio c0de las sucesiones convergentes a cero. En general, siΛ es un conjunto arbitrario con la topología discreta, entonces C00(Λ)coincide conK(Λ)mientras que C0(Λ)está formado por las funciones
f ∈KΛ tales que el conjunto{λ∈Λ:|f(t)|>ε}es finito para todoε>0.
El caso más interesante se presenta cuando tenemos de hecho un espacio topológico com-pacto de Hausdorff K. Es claro que entonces C00(K) =C0(K)es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en K con valores escalares, al que denotamos simplemente por C(K), dotado por supuesto con la norma del máximo. Si de nuevo tomamos enNla topología discreta y K es la compactación por un punto deN, entonces C(K)no es otra cosa que el espacio c de las sucesiones convergentes. Pero es claro que aquí tenemos una amplísima gama de espacios de Banach, entre los que cabe destacar, por ejemplo a C[0,1].
2.7.
Espacios de funciones integrables
Sea Ωun subconjunto medible deRN con medida (de Lebesgue) positiva. Para N =1 los casos más frecuentes sonΩ= [0,1](o cualquier intervalo compacto),Ω=R+ yΩ=R; para N >1, es frecuente tomar como Ω cualquier subconjunto compacto (con medida positiva) o cualquier subconjunto abierto (no vacío) deRN. Trabajaremos con funciones medibles deΩen
K identificando dos funciones que coincidan casi por doquier (c.p.d.), esto es, que coincidan salvo en un conjunto de medida nula. Denotaremos por L(Ω)al espacio vectorial formado por
tales funciones. Rigurosamente hablando, los elementos de este espacio son clases de equiva-lencia, pero es mucho menos engorroso y más intuitivo pensar que los elementos de L(Ω)son funciones, con las debidas precauciones.
2.7.1.
Desigualdades integrales de Hölder y Minkowski
A partir de la desigualdad de Young, obtenemos fácilmente que si f,g∈L(Ω), 1< p<∞
y, como siempre, 1 p+ 1 p∗ =1, entonces: Z Ω|f(t)g(t)|dt 6 Z Ω|f(t)| pdt 1/p Z Ω|g(t)| p∗dt 1/p∗
A partir de esta desigualdad integral de Hölder, obtenemos fácilmente la correspondiente de-sigualdad integral de Minkowski:
Z Ω|f(t) +g(t)| pdt 1/p 6 Z Ω|f(t)| pdt 1/p + Z Ω|g(t)| pdt 1/p ,
válida también para cualesquiera f,g∈ L(Ω) y 1 < p<∞. Nuevamente la desigualdad de Minkowski es evidente para p=1.
2.7.2.
Los espacios L
p(
Ω
)
Todo está ya preparado para una nueva e importante gama de espacios de Banach. Fijado, una vez más, 16 p<∞, definimos:
Lp(Ω) = f ∈L(Ω) : Z Ω|f(t)| pdt<∞ .
La desigualdad de Minkowski nos asegura claramente que Lp(Ω)es un subespacio vectorial de L(Ω)y que, definiendo kfkp = Z Ω|f(t)| pdt 1/p (f ∈Lp(Ω)),
se obtiene una norma en Lp(Ω). Conviene resaltar que la identificación de funciones que coin-ciden c.p.d. es esencial para poder deducir dekfkp=0 que f =0. La complitud de Lp(Ω)es un importante teorema en teoría de la integración. Al menos en el casoΩ=RN, este teorema debe ser conocido y la demostración es casi literalmente la misma en cualquier otro caso:
Teorema de Riesz-Fisher. Para cualquier conjunto medibleΩ⊆RN de medida positiva y
16p<∞, Lp(Ω)es un espacio de Banach.
Comparemos de nuevo los espacios Lp(Ω)para distintos valores de p. La situación es muy distinta (en algún caso la opuesta) de la que teníamos para los espacios de sucesiones o de familias sumables. Concretamente, dados 16 p<q<∞, no es demasiado difícil comprobar las siguientes afirmaciones:
SiΩ tiene medida finita (por ejemplo, si Ωestá acotado), entonces Lq(Ω)está estricta-mente contenido en Lp(Ω).
SiΩ tiene medida infinita (por ejemploΩ=RN), los conjuntos Lp(Ω) y Lq(Ω)no son comparables, es posible encontrar funciones de cualquiera de ellos que no están en el otro.
Concretando al caso en que Ωes un abierto deRN, conviene observar que el espacio vec-torial C00(Ω), de las funciones continuas de soporte compacto, está contenido de forma natural en Lp(Ω). En efecto: por una parte, es claro que si f ∈C00(Ω), entonces
Z
Ω|f(t)|
p
dt < ∞; por otra, hay que pensar que un conjunto de medida nula tiene forzosamente interior vacío y, por tanto, dos funciones continuas enΩque coincidan casi por doquier, han de ser idénticas. Pues bien, otro importante teorema en teoría de la integración asegura que C00(Ω)es denso en Lp(Ω)
para 16p<∞. De hecho, con cierto esfuerzo adicional, se puede demostrar que toda función de Lp(Ω)se puede obtener como límite en dicho espacio de una sucesión de funciones de clase C∞con soporte compacto contenido enΩ. Así pues, siempre para 16p<∞y cualquier abierto
Ω⊆RN, la situación de C00(Ω)en Lp(Ω)es enteramente análoga a la que tenía c00 dentro de lp. Para destacar otro caso importante, cuandoΩ= [0,1], también es cierto que C[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1]para 16p<∞.
2.8.
Funciones esencialmente acotadas
Sea como antes Ωun subconjunto medible de RN con medida positiva. Decimos que una función f :Ω→K está esencialmente acotada cuando existe una constante M >0 tal que
|f(t)|6M para casi todo t ∈Ω, equivalentemente |f|6M c.p.d. Denotamos por L∞(Ω) al espacio vectorial formado por todas las funciones medibles y esencialmente acotadas de Ωen
K, en el que seguimos identificando funciones que coincidan c.p.d. Definimos en dicho espacio:
kfk∞ =ess sup|f|=m´ın{M>0 : |f|6M, c.p.d.} (f ∈L∞(Ω)).
Es fácil comprobar que el conjunto de constantes que aparece en el último miembro de la igualdad anterior (los mayorantes esenciales de |f|) tiene efectivamente un mínimo, al que es lógico llamar supremo esencial de|f|. Seguidamente, también resulta fácil comprobar que mediante este supremo esencial se consigue efectivamente una norma en L∞(Ω). Una sucesión
{fn}converge en L∞(Ω) si y sólo si, converge uniformemente c.p.d. en Ω, cosa que requiere una explicación: lo que se quiere decir es que, eligiendo para cada n∈Ncualquier funciónϕn que represente a la clase de equivalencia fn, existe un conjunto de medida nula E ⊂Ωtal que la sucesión {ϕn} converge uniformemente en Ω\E. A partir de aquí se puede deducir ya sin dificultad que L∞(Ω)es un espacio de Banach.
Conviene comentar la diferencia entre los espacios L∞(Ω)y l∞Ω. Nótese que si f ∈L∞(Ω)
podemos modificar f en un conjunto de medida nula, obteniendo otra función ˆf , que hemos identificado con f , y para la cual la desigualdad|fˆ|6kfk∞es válida en todo punto deΩy no sólo c.p.d., con lo cual ˆf ∈l∞Ωe incluso sup|fˆ|=ess sup|f|. Dicho de otra forma, cada clase de equivalencia en L∞(Ω)tiene un representante en l∞Ωcon la misma norma. Esto no nos debe llevar
a confundir ambos espacios: para empezar, en l∞Ωhay funciones que no son medibles; peor aún, una función no nula f ∈l∞Ω podría anularse c.p.d. y cuando la vemos en L∞(Ω) se hace cero; en cualquier caso, para f ∈l∞Ωel supremo esencial de|f|puede ser mucho más pequeño que el supremo usual.
Comparamos ahora L∞(Ω)con Lp(Ω)para 16p<∞. Es fácil comprobar:
SiΩtiene medida finita, entonces L∞(Ω)está contenido estrictamente en Lp(Ω). SiΩtiene medida infinita, entonces L∞(Ω)y Lp(Ω)no son comparables.
Así pues, tomando por ejemplo el caso especialmente interesanteΩ= [0,1], para 1<p<q<∞, tenemos las siguientes inclusiones, todas ellas estrictas:
C[0,1] ⊂ L∞[0,1] ⊂ Lq[0,1] ⊂ Lp[0,1] ⊂ L1[0,1].
Nótese que C[0,1]sí se identifica totalmente con un subespacio cerrado de L∞[0,1].
2.9.
Los espacios L
p(
µ
)
La Teoría de la Medida proporciona un marco general en el que encuentran su lugar la gran mayoría de los espacios de Banach que hemos considerado en este tema. Claro está que para ello se necesitan algunos conocimientos básicos de dicha teoría.
Sea µ una medida (positiva, no necesariamente finita) en un conjunto arbitrario Ω. Denote-mos por L(µ) al espacio vectorial de todas las funciones medibles de Ω en K, identificando funciones que coincidan c.p.d. con respecto a la medida µ. Podemos entonces definir, para 16p<∞: Lp(µ) = f ∈L(µ): Z Ω|f(t)| pdµ(t)<∞ .
Con la versión adecuada de la desigualdad de Minkowski, comprobamos que Lp(µ)es un sub-espacio vectorial de L(µ)que, con la norma:
kfkp= Z Ω|f(t)| p dµ(t) 1/p (f ∈Lp(µ))
se convierte en un espacio de Banach, pues el Teorema de Riesz-Fisher es igualmente válido en este ambiente más general. Lo mismo ocurre en el caso p=∞, tomando
L∞(µ) =
f ∈L(µ): ess sup|f|<∞ ,
con la norma:
kfk∞=ess sup|f| (f ∈L∞(µ)).
SeaΛun conjunto no vacío arbitrario y, para cada subconjunto E⊆Λ, sea µ(E)el número de elementos de E, entendiendo que el conjunto vacío tiene 0 elementos y que µ(E) =∞
cuando E es infinito. Obsérvese que todo subconjunto deΛes medible y que no tenemos más conjuntos de medida nula que el vacío. Por tanto, todas las funciones deΛenKson medibles y dos funciones que coincidan c.p.d. son idénticas. Se comprueba sin mucha dificultad que para 16 p6∞, se tiene Lp(µ) =lΛp. En particular, como ya sabíamos, Lp(µ) =lNp cuandoΛes finito con N elementos y Lp(µ) =lpsiΛes infinito numerable. Si µ es la medida de Lebesgue en un conjunto medible con medida positivaΩ⊆RN, es claro que Lp(µ) =Lp(Ω)para 16p6∞.
Los espacios de la forma Lp(µ)para alguna medida µ reciben el nombre genérico de espacios Lp o también espacios de Lebesgue (de ahí la letra L), pues son las propiedades clave de la integral de Lebesgue (concretamente el Teorema de la Convergencia Dominada) las que hacen que estos espacios sean completos. Para los "hermanos pequeños" de la familia usamos la letra minúscula l.