7. Ondas barotrópicas

7. Ondas barotrópicas

Como vimos en los capítulos anteriores es posible aprender mucho sobre las circulación oceánica estacionaria de gran escala considerando al océano como un fluído homogéneo y sin fricción. El objetivo de este capítulo es describir un conjunto de ondas que existen en las ecuaciones para este tipo de océano y que nos permitan mas adelante interpretar procesos de ajuste oceánicos.

7.1 Modelo de aguas someras

Supongamos que el océano es homogéneo pero no rota tan rápidamente como para que la aceleración de Coriolis sea mucho mas grande que los otros

términos de aceleración. Entonces las ecuaciones son:

Supongamos ademas que el flujo horizontal es independiente de la

profundidad (esto se verifica si el flujo inicial lo es), o sea consideremos flujos barotrópicos (figura 7.1). Entonces, las ecuaciones de momento horizontal se reducen a:

La velocidad vertical se puede inferir de la ecuacion de continuidad: los dos primeros términos de esta ecuación son independientes de z, pero pueden sumar diferente de 0. Por lo tanto puede existir una velocidad vertical que varíe linealmente con la profundidad permitiendo que el flujo sea divergente y por lo tanto cruce las isóbaras (lo cual no puede hacer el flujo geostrófico si f es constante).

donde b es la batimetría y h es el espesor del fluído.

Figura 7.1 – Esquema de flujo de aguas someras.

Dado que las partículas de fluído en la superficie no pueden escaparse y las partículas en el fondo no pueden penetrar la batimetría, las velocidades verticales están dadas por

Usando la altura de superficie

la ecuacion de continuidad integrada se obtiene

Notemos que esta forma de la ecuación de continuidad elimina la velocidad vertical del formalismo e introduce una nueva variable η.

Puesto que el fluído es homogéneo la presión dinámica p es independiente de la profundidad (ecuación hidrostática). Por otro lado, en ausencia de una presión atmosférica constante sobre la superficie oceánica la presión dinámica p en el nivel “Reference” (figura 7.1) está dada por

todo nivel z.

Sustituyendo p en las ecuaciones de momento se obtiene un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas u,v, η y variables independientes x,y,t:

Este sistema de ecuaciones lleva por nombre “modelo de aguas someras”.

7.2 Modelo de aguas someras linealizado

Para estudiar las ondas barotrópicas consideraremos algunas simplificaciones del modelo de aguas someras anterior.

Se considera el caso de número de Rossby pequeño

lo cual implica considerar flujos lentos, de escala horizontal grande y de rotación rápida. De esta forma los términos no lineales de las ecuaciones son despreciables.

Por otro lado consideramos flujos con numero temporal de Rossby del órden de la unidad

para mantener las aceleraciones locales.

La combinación de Ro y RoT implica considerar flujos lentos de evolución rápida (vale que L/T>>U). O sea que consideraremos fenómenos ondulatorios para los cuales la transmision de informacion (C=L/T es la velocidad de la onda) es mucho más rápida que el movimiento de las partículas materiales (U).

Recordemos que los numeros de Rossby se pueden definir basado en la componente local de la rotacion terrestre como Ro=U

fL, RoT=_fT1 .

Para linealizar la ecuación de continuidad expandimos

considerando que el fondo es plano (b=0). Si ΔH es la escala vertical del desplazamiento de la superficie libre η se obtiene que los términos de la ecuacion anterior son del orden de

Pero como L/T>>U y ΔH<<H es posible despreciar todos los términos excepto el tercero.

Por lo tanto el sistema de ecuaciones que se obtiene es

y gobierna la dinámica lineal de ondas en un océano homogéneo, con fondo plano y sin fricción.

Notar que para f=cte de estas ecuaciones se puede derivar

∂ ∂t  f −  H=0

7.3 Ondas de gravedad sin rotacion

Notemos que en el caso de un fluido que no rota (f=0) el modelo queda de la forma ∂u ∂t=−g ∂ ∂x ∂v ∂t=−g ∂  ∂y ∂ ∂tH ∂u ∂x ∂v ∂y=0

De este sistema de ecuaciones se puede obtener una ecuación para la evolución del desplazamiento de la superfice

∂2 ∂t2=gH ∂2 ∂x2 ∂2 ∂y2

la cual es una ecuación de ondas bidimensional que describe la propagación de ondas en el plano. La solución general es de la forma

=ℜAeikxxkyy−wt_

donde la velocidad de fase c=w/k=(gH)1/2_{, por lo que estas ondas son} no-dispersivas. Estas ondas gravitatorias describen, por ejemplo, el movimiento cuando se tira una piedra en el agua.

Otro ejemplo de ondas barotrópicas son los tsunamis. Tienen longitudes de onda de decenas a centenas de kilómetros, pero como tienen períodos muy cortos de minutos los tsunamis no son afectados significativamente por Coriolis y pueden ser descritos usando el modelo de aguas someras sin rotación. Un ejemplo de propagación se muestra en la figura 7.2, correspondiente al tsunami del 26 de diciembre de 2004 en Sumatra.

7.4 Ondas de Kelvin de superficie

La onda de Kelvin es una perturbación que requiere el soporte de una frontera lateral, como por ejemplo la costa de un continente.

Para estudiar este tipo de ondas consideraremos un océano de forma rectangular con un continente en uno de sus lados, por ejemplo en x=0 que consideraremos como la frontera oeste (ver figura 7.2). En esta frontera la velocidad normal debe ser nula (u=0) pero la ausencia de fricción permite una velocidad tangencial meridional (v). Aquí consideraremos que la velocidad u=0, no sólo en la frontera sino en todos lados.

Figura 7.3 – Esquema de onda de Kelvin con desplazamiento positivo de la superficie. Supongamos que y indica la dirección norte y x la dirección este. En este caso las ecuaciones del modelo de aguas someras linealizado quedan

−f v=−g ∂  ∂x ∂v ∂t=−g ∂ ∂y ∂ ∂tH ∂v ∂y=0

o sea que las corrientes en dirección paralela a la costa asociadas a las ondas estarán en equilibrio geostrófico. Como existe solamente equilibrio geostrófico en una dirección, el movimiento se dice semi-geostrófico.

Usando las últimas dos ecuaciones para eliminar la elevación de la superficie

∂2v ∂t2=c

2∂2v

∂y2

c2=

_

La ecuación anterior gobierna la propagación de ondas no-dispersivas uni-dimensionales y tiene la solución general

que consiste en la suma de dos ondas viajando según y en direcciones opuestas a velocidad c.

En general las ondas pueden clasificarse de acuerdo a su mecanismo de restauración que se opone a la inercia del fluído. En este caso el mecanismo de restauración es la fuerza de la gravedad y por lo tanto las ondas de Kelvin son un tipo de ondas gravitatorias. De hecho, la velocidad de propagación de las ondas de Kelvin es la misma que la velocidad de propagación de ondas gravitatorias de superficie en un fluído que no rota (sección 7.3).

Teniendo la solución general de v es posible encontrar la solución general de η a través de alguna de las ecuaciones segunda y tercera iniciales. Así

=−

_

_

Usando la primera ecuación inicial podemos hallar las amplitudes V1 y V2

lo cual implica

donde la longitud R está definida como

Notar que si f>0 la solución V2 tiende a aumentar con x, por lo que no es físicamente realizable. Por lo tanto, la solución general del problema es

donde F es un función cualquiera.

La escala R se denomina radio de deformación de Rossby (barotrópico). Una escala similar fue encontrada en el problema de ajuste de Rossby en la sección 5.4, y caracterizaba la escala horizontal necesaria para llegar al equilibrio geostrófico (en este caso es el radio de deformación de Rossby baroclínico que discutiremos mas adelante).

En este caso R se puede interpretar como la distancia recorrida por una onda viajando a velocidad c durante un período inercial T=2π/f. Asimismo, de la solución, R caracteriza el decaimiento exponencial de la onda en la dirección perpendicular a la dirección de propagación. Por lo tanto, R es la distancia

que pueden viajar las ondas gravitatorias antes de sentir el efecto de la rotación, la cual tiende a restringir la perturbación a una región cerca de la frontera. En esta longitud R la tendencia de la gravedad a horizontalizar la superficie es balanceada por la tendencia de la fuerza de Coriolis a deformar la superficie. Dado que R es finita se dice que la onda de Kelvin está atrapada. Notar que en el límite de f->0, R se hace infinitamente grande por lo que la onda deja de estar atrapada y se reduce a una onda de gravedad con crestas y valles orientadas en forma perpendicular a la costa.

El sentido de propagación de la onda de Kelvin depende del hemisferio. Aquí consideramos f>0 y obtenemos que las líneas de fase constante cumple y+ct=cte, o sea que y=-ct+cte, por lo que el sentido es hacia el sur en la frontera oeste. En regla general la onda de Kelvin se propaga de tal forma de tener la frontera a la derecha del sentido de propagación en el H.N., y a la izquierda en el H.S.

Es bueno resaltar que si bien el sentido de propagación de la onda es siempre el mismo, las velocidades meridionales tienen signo arbitrario. Para una onda con desplazamiento de la superficie positivo, el equilibrio geostrófico da lugar a una velocidad v que es máxima en la altura máxima (ya que el gradiente en la dirección x es máximo), y con dirección sur (H.N.) (ver figura 7.3). Puesto que las velocidades geostróficas disminuyen a ambos lados del máximo de elevación se generan regiones de convergencia al sur y divergencia al norte del mismo. Este patrón de convergencia-divergencia sube y baja el nivel del mar haciendo que la onda se propage.

El caso de una onda con desplazamiento negativo se muestra en la figura 7.4.

Figura 7.4 - Esquema de onda de Kelvin con desplazamiento negativo de la superficie.

Las ondas de Kelvin pueden ser forzadas por marejadas asociadas a tormentas, o por variaciones de los vientos a lo largo de las costas. Además, estas ondas son escenciales para describir las mareas. Para un océano profundo (H=5000 m) en latitudes medias, el radio de deformación de Rossby es cercano a 3000 km. Como la plataforma continental se extiende unos 100 km “offshore”, a esta escala el talud continental es practicamente indistinguible de una frontera vertical. Por lo tanto, una onda de Kelvin barotrópica se extiende muy lejos de la costa y ocupa una fracción sustancial

de una cuenca oceánica típica. La mayor parte de la energía de las ondas de marea viajando a lo largo de los continentes se transmite en forma de ondas de Kelvin con una velocidad de 200 m/s.

Para mares someros y regiones costeras R es del orden de 200 km. El decaimiento de la amplitud de la onda al alejarse de la costa se manifiesta claramente en el Canal de la Mancha (figura 7.5). La marea del Atlántico norte entra el Canal desde el oeste y viaja hacia el este hacia el Mar del Norte. Para ello, la onda “se apoya” sobre Francia ya que en el H.N. debe tener la costa a la derecha. Esto explica por qué las mareas son mayores en la costa de Francia que en la costa de Inglaterra.

Figura 7.5 - Lineas cotidales (une puntos con igual marea alta simultánea, punteadas) con el tiempo en horas lunares para la marea M2 en el Canal de la

Mancha mostrando la progresión de la marea. Lineas de igual nivel de marea (solidas, valores en metros) muestran amplitudes mayores a lo largo de la

costa de Francia. 7.5 Ondas de Poincare

Consideremos ahora las ecuaciones del modelo de aguas someras linealizado sin simplificaciones adicionales. No hay fronteras y tampoco u=0. Se considera f constante; mas adelante veremos cómo cambian las soluciones cuando f depende de la latitud.

Para resolver el sistema buscamos soluciones de la forma

donde el símbolo R denota la parte real. Sustituyendo, obtenemos

Se obtiene así la relación de dispersión para las ondas descritas por el sistema de ecuaciones

y se muestra en la figura 7.6.

Figura 7.6 – Relación de dispersión de las ondas de Poincare y de Kelvin para f=cte.

La raíz ω=0 corresponde a una situación estacionaria de flujo geostrófico. Las otras dos soluciones cumplen

=∓



que corresponden a ondas viajeras llamadas ondas de Poincare. De las ecuaciones anteriores también vale que

U=k_xik_yfA/k2_H

V=k_y−ik_xfA/k2_H Notar que:

– la frecuencia es siempre mayor que la inercial.

– en el límite f->0 la frecuencia está dada por =k



fase es c=/k=



Rossby k2≫f2/gH las ondas de Poincare se comportan como ondas gravitatorias de superfice en un fluído que no rota. En ese límite las ondas son tan cortas que no sienten la rotación.

– en el límite de longitudes de onda largas k2≪f2_/gH los efectos de la

rotación dominan y ~f . En este límite la estructura del flujo es lateralmente uniforme y todas las parcelas se mueven al unísono, cada una describiendo un círculo inercial con radio V/f donde V es el módulo de la velocidad.

– estas ondas son dispersivas pues c=c(k).

Como las ondas de Poincare exhiben características de ondas gravitatorias y de ondas inerciales, se las llama ondas gravito-inerciales.

La velocidad de grupo cg es

c_g=gH

w kx, ky= gH

w k

o sea que cg es en la dirección de k. En la figura 7.6 cg es la pendiente de la curva.

El cociente de velocidades de grupo y de fase es asimismo

∣c_g∣ w/k= gHk2 w2 = R2k2 1R2k21

Si la longitud de la onda es mucho menor que el radio de deformación de Rossby (R2_k2 _{>>1) entonces el cociente tiende a la unidad; si la longitud de} onda es mucho mayor que el radio de deformación el cociente tiende a cero. Para visualizar el movimiento de las parceles de fluido supongamos que elegimos la dirección x como la dirección de propagación de la onda; entonces ky=0. Por lo tanto la onda de Poincare satisface

=Acosk_xx−wt u=A/k_xHcosk_xx−wt

v=fA/k_xHsink_xx−wt

De esta solución podemos ver que la rotación terrestre solo afecta la componente v de la onda, o sea la perpendicular a la dirección de propagacion. En la direccion x la onda es idéntica a una onda gravitatoria de aguas someras. La solución se muestra en la figura 7.7. Las trayectorias de las parcelas son elipses con ejes mayores en la dirección del vector número de onda. La razón de los ejes de la elipse es ω/f, o sea que la componente perpendicular a la dirección de movimiento es significativa si ω ̴f.

Figura 7.7 – Onda de Poincare propagándose hacia la derecha. Arriba muestra la elevación de la superficie, y abajo se muestra la trayectoria de las parcelas vista desde arriba. Las parcelas se mueven en sentido anticiclónico. Las flechas marcan la posicion de la parcela de acuerdo a la elevación de la

superficie (H.N.). 7.6 Ondas de Rossby

Para estudiar las ondas de Kelvin y de Poincare se consideró f constante, o en forma equivalente, se consideró que el movimiento meridional de las parcelas es relativamente chico. Esa es la aproximación del plano-f, que considera que el movimiento se desarrolla en un plano tangencial a la superficie terrestre. Movimientos ondulatorios de gran extensión meridional, como por ejemplo los meandros en la corriente del Golfo, deben ser descritos considerando la esfericidad terrestre. Esto es, es necesario considerar que el parámetro de Coriolis f depende de la latitud. En este caso la aproximación se denomina plano-β aunque ya no describe la dinamica en un plano.

Considerando una latitud de referencia φ0, se puede aproximar f como f=2sin~2sin₀df d y a...=2sin02  acos0y=f00y

Notar que esta aproximación es válidad para movimientos meridionales de longitud característica L que satisfacen

₀L

f₀ ≪1

Como sabemos, el balance de primer orden es el geostrofismo, por lo tanto estas ecuaciones tienen términos relativamente grandes (f0, g y H) y términos mas chicos (β0 y derivadas temporales). Considerar la derivada temporal “chica” es equivalente a considerar RoT<<1, o sea flujos de evolución lenta. Los términos “chicos”, que pueden considerarse como perturbaciones del equilibrio geostrófico, gobiernan la evolución de los movimientos ondulatorios. Entonces, se tiene que a primer orden

u≈−g f₀ ∂  ∂y v≈ g f₀ ∂  ∂x

Usando esta aproximación para los términos mas chicos se obtiene

lo cual despejando u y v:

Estas igualdades muestran que las velocidades horizontales están compuestas por un primer término geostrófico y dos términos de menor orden ageostróficos que pueden considerarse como perturbaciones del equilibrio geostrófico. El segundo término se denomina isalobárico (depende de tendencias en la presión o elevaciones en la superficie) y el tercero es debido al efecto de la esfericidad terrestre.

Sustituyendo en la ecuacion de continuidad se obtiene una ecuación para la elevación de la superficie

donde R es el radio de deformación de Rossby R=(gH)1/2_/f0.

Insertando una solución del tipo =ℜ₀eikxxkyy−wt_ se obtiene la relación de

Las ondas que verifican esta ecuación se denominan ondas de Rossby u ondas planetarias. Notemos que si β0=0 la frecuencia de la onda es 0, y corresponde a la solución w=0 de la solución de dispersión encontrada en la sección 7.5, y que corresponde al balance geostrófico en el plano-f. Las otras soluciones para w no aparecen pues al considerar RoT<<1 estamos filtrando las soluciones de variación rápida (frecuencia > f0) como las ondas de Poincare. La velocidad de fase de las ondas de Rossby es

c_y=w k_y= −₀R2k_x k_y[1R2_k x 2_k y 2_]

o sea que es siempre hacia el oeste. El signo de cy no está determinado. Por lo tanto estas ondas pueden propagarse hacia el noroeste, hacia el oeste, o hacia el suroeste.

Para ondas muy largas, R2_k2_{<<1, la velocidad de fase (y la de grupo) es}

por lo que son no-dispersivas, se propagan siempre hacia el oeste a la máxima velocidad permitida.

Para ondas muy cortas cx=

w k_x= −₀ k2_xk y 2 y son dispersivas.

Las líneas de w=cte en el plano de numeros de onda son círculos definidos por

y se muestran en la figura 7.8. Estos radios pueden existir si el término de la derecha es positivo, o sea si

∣w∣w_max=0R

2

lo cual define una frecuencia máxima de las ondas de Rossby.

La velocidad de grupo, o sea la velocidad de propagación de la energía, es perpendicular a las líneas de w=cte (figura 7.8). La expresión de los componentes de la velocidad de grupo es

c_g=∂w ∂k_x, ∂w ∂k_y= ₀R2 [1R2_k x 2_k y 2_]R 2_k x 2_−1−R2_k y 2_,2R2_k xky

La línea que divide la propagación de energía hacia el este o hacia el oeste es por lo tanto la hipérbola

k_x2

=k_y2 1

R2

y que se muestra en la figura 7.8. La cg apunta siempre hacia el centro del círculo.

Por lo tanto ondas largas tienden a propapagar energía hacia el oeste, mientras que las ondas cortas tienden a propagar energía hacia el este.

Notar que el signo de cgy es opuesto al de cy por lo que ondas con velocidad de fase hacia el norte tienen propagación de energía hacia el sur.

Figura 7.8 – Representacion geométrica de la relación de dispersión en el plano (kx,ky). Contornos muestran frecuencia en unidades de wmax. Los

contornos son circulares y se reduce a un punto para w=wmax. No existen

ondas de Rossby para frecuencias mayores. La línea cortada es la hipérbola que separa velocidades de grupo hacia el este y el oeste.

El campo de velocidades asociado con las ondas de Rossby es, a primer orden, el campo geostrófico dado por

u_g, v_g=k_y,−k_xg0

f₀sinkxxkyy−wt

La figura 7.9 muestra un ejemplo. A pesar de que el movimiento predominante es el geostrófico, una característica escencial para la dinámica de la onda es la componente ageostrófica mostrada por las pequeñas flechas de líneas cortadas. La parte agoestrófica tiene dos componentes: la isalobárica que es

perpendicular a las líneas de presión constante, y la debido al efecto β que es paralela a la corriente geostrófica. Ambas componentes generan convergencia al oeste de la alta presión induciendo un aumento del nivel de la superficie y causando que el patrón se propage hacia el oeste.

Figura 7.9 – Propagación de onda de Rossby.

El mecanismo de propagación de las ondas de Rossby se puede ver claramente considerando la conservación de la vorticidad potencial. Asumamos un océano con fondo plano (H=cte) y consideremos que los desplazamientos de la superficie libre son pequeños. La figura 7.10 muestra el estado inicial de reposo del océano visto desde arriba sometido al gradiente de vorticidad planetaria (β), y un estado posterior en el cual fue perturbado superponiendo una perturbación ondulatoria.

En este esquema, para conservar (f+ς), las parcelas de fluído que fueron movidas hacia el norte y vieron incrementada su vorticidad planetaria, deberán adquirir vorticidad relativa negativa, o sea giro anticiclónico. Lo contrario ocurre para parcelas desplazadas hacia el sur. Como consecuencia las parcelas situadas en los nodos originales también tenderán a moverse en el sentido que indica la figura. De izquierda a derecha de la figura, los desplazamientos son hacia el sur de cresta a valle y hacia el norte de valle a cresta. Como movimientos hacia el sur generan valles y movimientos hacia el norte generan crestas, esto resulta en un movimiento hacia el oeste de todo el patron de ondas. Por lo tanto, para las ondas de Rossby, el mecanismo de restauración es el gradiente de vorticidad planetaria debido a la esfericidad terrestre dado por β0.

Veamos la partición de energía en las ondas de Rossby. La energía cinética está dada por la componente geostrófica de las corrientes asociadas. Entonces

EK=1 2Hug 2_v g 2_=g2_H 02 4f₀2kx 2_k y 2 

donde la barra significa que se hace un promedio en una longitud de onda. La energía potencial es

EP=1

2g 2₌1

4g 02 Entonces el cociente entre energías es

EK EP=

k2_xk2_ygH

f₀2 =k 2_R2

Por lo tanto ondas de Rossby largas (comparadas con el radio de deformación de Rossby) tienen la mayor parte de su energía en forma de energía potencial, mientras que ondas cortas la tienen en forma de energía cinética.

Las ondas barotrópicas oceánicas son producidas por el viento y por lo tanto tienen escalas de longitud meridionales cercanas a 1000 km. Esta longitud es menor que el radio de deformación de Rossby (unos 2000 km) y por lo tanto se las considera ondas cortas cuya energía es mayormente cinética.