Límites DEFINICIÓN. una función de dos variables. Si z se aproxima a un valor fijo L cuando x,

(1)

L L L

Límites

DEFINICIÓN

Sea z f x( , )y una función de dos variables. Si z se aproxima a un valor fijo L

cuando



x y,



se aproxima a un punto fijo

 

a b, , entonces el límite de f x( , )y

cuando



x y,

  

 a b, es L y se escribe como:





 

, ,

lim ,

x y a b f x y L

Esto es cierto si:   0   0 f x y



,



 L  Siempre que 0



xa

 

2 yb



2 

Esto significa que para todo  0 existe  0 tal que para cualquier punto

interior



x y,



dentro de un círculo de radio  y con centro en

 

a b, , su imagen

se encuentra en el intervalo



L,L



.

x

y z

(a,b) _(x,y)

TEOREMA

Si f y g son funciones de dos variables, entonces se cumple lo siguiente:

1.





 

     

,lim, ,lim, ,lim,

x y a b f g x y a b f x y a b g

2.

 

   

,lim, ,lim, ,lim, x y a b f g x y a b f x y a b g 3.

 

          , , , , , , lim lim lim x y a b x y a b x y a b f f g g

(2)

CÁLCULO DE LÍMITES

Como en el caso de una variable, y apoyándonos del teorema anterior, se puede demostrar que los límites de funciones de dos variables se calculan sustituyendo directamente los valores de x y y en la función.

Ejemplo 1: Obtenga



2 2



1 2 3 2     ,lim, x y x xy y Solución:

Sustituyendo x1 y y 2 en la función se obtiene:



2 2





 

2

    

2



 

1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 2 2 1 2 1 1

                

,lim, ,lim, ,lim,

x y x xy y x y x y Ejemplo 2: Obtenga

 

2 3 , , lim ln ln x y  x  y xy Solución:

Sustituyendo x2 y y3 en la función se obtiene:

 

    









2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 0 693 1 098 6 5 595 5 595 , , , , , , , ,

lim ln ln lim ln ln lim . .

lim . . x y x y x y x y x y xy                     

Ejercicios: Obtenga los límites que se indican a continuación:

1. 3 3 2 1 3 5 5 ,lim, . x y x y xy          2.

 

2 0 1 , , lim ln x y   xy   3. ₁





2 3 0 366

,lim, sen cos .

x y  xy xy  

Para ciertas funciones no es posible sustituir los valores de x y y ya que el resultado produce una indeterminación. En estos casos se puede aplicar la siguiente regla:

* Si los límites de una función a lo largo de trayectorias distintas que van al punto

 

a b, son iguales, entonces el límite existe y toma ese valor. En caso

contrario se dice que el límite no existe. Una trayectoria es una curva en el plano cartesiano definida por la relación y f x

 

y que pasa por el punto

 

a b, .

(3)

Ejemplo 3: Obtenga 2 2 2 2 0 0 , , lim x y x y x y      _    Solución:

Si sustituimos directamente los valores de x y y en la función aparece una

indeterminación, por lo que probaremos con dos trayectorias diferentes.

Existen una infinidad de curvas que pasan por el punto

 

0 0, por lo que

debemos elegir arbitrariamente a dos de ellas.

Consideremos las trayectorias T₁2x y T2x2. Ambas curvas pasan por el

punto

 

0 0, .

Debemos sustituir por separado las dos trayectorias y obtener el límite que resulta en términos de una variable.

Para T1: y2x

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 4 3 4 2      _          _ _   _ _        _ _   , ,

lim lim lim lim

x y x x x x x x y x x x u x y x x x x 2 5x 3 5           Para T₂: y x2

 

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 0 0 0 2 2 0 0      _     _ _     _ _  _ _    _    _ _   , ,

lim lim lim lim

x y x x x x x x x y x x v x y _x _x x x



2



2 1x x













2 2 2 0 1 1 0 1 1 0                       lim x x

Como los valores de u y v son distintos entonces concluimos que el límite de

la función no existe, cuando ésta se aproxima al punto

 

0 0, .

2 2 2 2 0 0    _{ }  _    , , lim x y x y x y Ejemplo 4: Obtenga 2 2 1 1 2 2      _    , , lim x y x y x y Solución:

Consideremos las trayectorias T1  x y

2

2 

T x . Ambas curvas pasan por el punto

 

1 1, .

(4)

 

















2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 ₂ ₁ 2 2 2 2 2 1 2 2 1         _  _ _ _    _ _     _ _ _ _ _ _ _ _       __ __      _ _      _ _  _ _         _ _ , ,

lim lim lim lim

lim lim lim

x y x x x x x x x x _{x x} x y x x u x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x



x1





x x



x



x1







 

1 1 2 4 4      _{ }        lim_  _ lim  x x x x Para T₂:













2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1              _ _  _ _ _ _   _  _     _ _   , ,

lim lim lim

lim x y x x x x x x y x x v x y x x x x x x









1 1   x x x 1 2



1



1

 

4 4      _  _      lim lim x x x x

Como los valores de u y v son iguales entonces concluimos que el límite de la función existe y es igual a 4.

2 2 1 1 2 2 4       _    , , lim x y x y x y

Ejercicios: Obtenga los límites que se mencionan a continuación.

1. ₂ ₃ 1 1 2       _    , , lim x y xy x y T1x, T2  2 x 2. 4 4 3 1 2 2 2 0 0 0    _ _ _  _    , , lim , x y x y T x T x x y 3. 2 2 2 2 0 0 2 2        _    , , lim x y x y x y 2 1 , 22 T x T x 4. 3 2 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 6 2       _ _{ } _ _  _    ,lim, , x y x x y xy y T x T x x y

(5)

Continuidad

Se dice que una función f de dos variables es continua en

 

a b, si se cumple que:





,lim, ,

x ya b f a b Ejemplo 5: Determine si la función   3

1

,

f x y x xy es continua en

 

1 0, .

Solución:

Obtengamos en primer lugar la imagen de la función para el punto en cuestión:

  3   3   

1 1 0 1 1 0 1 2

, ,

f x y x xy  f    

Posteriormente calculamos el límite:





3 1 0 1 1 01 0 1 2 ,lim, ,lim, x y x xy x y         

Como ambos resultados coinciden concluimos que la función es continua en el punto

 

1 0, .

Ejemplo 6: Determine si la función





2 2 3 3 , x y f x y x y    es continua en

 

0 0, . Solución:

Calculamos la imagen de la función para el punto en cuestión:





23 23

 

23 23 0 0 0 0 , x y , x y f x y f x y x y          

Como no existe la imagen de la función en

 

0 0, concluimos que no es continua en dicho punto.

(6)

UNIVERSIDAD DEL MAR

MATEMÁTICAS II

ALUMNO: _______________________________________ TAREA # 2

Fecha de entrega:

Obtenga los límites que se indican enseguida:

1. 1 2 2 2 ,lim, x y x y y x      _    2. 2 2 3 3 1 1 2 2 , , lim x y x xy y x y       _    3.





3 2

,lim, sen cos

x y  x xy 4. 5 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ,lim, x y x x y x y y T x T x x y            _    5. 2 2 1 2 1 2 ₂ 2 1 ,lim, x y x y T x T x xy     _ _ _  _    6. 3 2 2 3 2 1 2 2 2 0 0 2 ,lim, x y x x y xy y T x T x x y       _ _  _    7. 2 2 1 2 2 2 0 0 2 5 3 4 ,lim, x y x xy y T x T x x y      _ _{ }  _    8. 4 4 2 1 2 2 2 0 0 3 ,lim, x y x y T x T x x y     _ _{ }  _   

Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto que se indica:

9.





2 2 2 1 2 , x y f x y x xy      en p

 

0 0, 10.





3 2 2 3 2 2 , x x y y x y f x y x y      en p

 

0 0,