Dpto de Física y Química – Escuela de Formación Básica
FÍSICA I
UNIDAD Nº 4: MECÁNICA RELATIVA
Nota: Recordar que es conveniente realizar un esquema claro de la situación a resolver. Debe indicarse además, el sistema de referencia utilizado para los cálculos y expresar los resultados según el mismo. Si el sistema de referencia está indicado en el enunciado deberá utilizarse ese, caso contrario deberá optar por el que considere más adecuado. Una vez obtenido el resultado, realizar el análisis dimensional del mismo, observando su lógica y sentido físico.
1) Cuando Pierre Nodoyuna maneja su Ferrari junto a su perro Patán debajo de la lluvia, en un tramo recto de la pista, a una velocidad constante de módulo 90 km/h, observa que las gotas forman un ángulo de 60º con la vertical. En cambio, cuando detiene su automóvil, las mismas caen verticalmente. Con estos datos, determinar la velocidad de la lluvia con respecto a Pierre cuando detiene la marcha.
2) Los problemas 11) a 14) de la práctica de la unidad nº 3, describían la siguiente situación: “Un vagón, mediante un mecanismo montado en él, lanza una esfera hacia arriba en dirección perpendicular a la vía con una velocidad de módulo 8 m/s”. Al momento de lanzar la esfera, en el problema 12) el vagón avanza en línea recta con velocidad constante de módulo 5 m/s, en el 13) posee una velocidad de módulo 5 m/s y una aceleración de 1 m/s2, y en el 14) está circulando por una curva horizontal de 250 m de radio, con velocidad de módulo constante de 5 m/s. Determinar en cada una de estas situaciones y para un sistema de referencia fijo al tren:
a) la altura máxima alcanzada por la esfera,
b) la posición de la misma cuando vuelve al nivel desde el que partió, c) la velocidad de la esfera en el punto calculado en el ítem b).
3) El problema 9) de la práctica de la unidad nº 3 decía: “Cuando un ascensor comienza su movimiento acelera brevemente y continúa luego con velocidad constante hasta que se aproxima al piso deseado, tanto en su movimiento hacia arriba como hacia abajo. Considerando que dentro de él se encuentra un hombre de masa m sobre una balanza ubicada en el piso, hallar el peso efectivo de este hombre si el ascensor:
a) acelera hacia arriba a 0,2 g, b) acelera hacia abajo a 0,2 g,
c) sube o baja con velocidad constante.
Si la masa del ascensor (incluido su ocupante) es de 1000 kg ¿cuál es la fuerza en el cable que produce el movimiento, de acuerdo a cada una de las situaciones consideradas en los ítems anteriores?
Supongamos que disponemos de un cable que puede aguantar una fuerza máxima de 12000 N ¿cuál es la máxima aceleración posible hacia arriba del ascensor?”.
Resolver desde un sistema solidario al ascensor. Comparar el valor obtenido de la fuerza en el cable en este caso con el encontrado al resolver la práctica de la unidad n° 3.
4) Un hilo inextensible y de masa despreciable, de longitud L, cuelga del techo sosteniendo una masa puntual m que describe un círculo horizontal de radio R. Encontrar la velocidad angular con la que gira el péndulo según los siguientes sistemas de referencia.
a) el origen coincide con el centro del círculo descrito y su eje x’ pasa por la masa
b) el origen coincide con la masa y el eje x’ pasa por el centro del círculo descrito
c) el origen está situado en R/3 y su eje x’ pasa por la masa y por el centro del círculo descrito
d) el origen coincide con la masa y sus ejes x’ e y’ se mantienen siempre paralelos
5) El juego que se muestra se llama SAMBA. Consta de una plataforma circular que tiene libertad de rotar alrededor de un punto y de inclinarse un determinado ángulo α. Todos sus movimientos van acompañados por música. Los participantes pueden quedarse sentados o tratar de mantenerse parados en equilibrio.
Según el sistema de referencia S’ que se muestra en la figura (correspondiente a un participante sentado en el borde de esta plataforma circular) y que rota con su eje x’ siempre en dirección al centro de rotación O:
a) realizar el diagrama de cuerpo libre del segundo participante, que se mantiene parado y en equilibrio, marcando pares de acción – reacción.
b) determinar el coeficiente de roce estático entre la plataforma y este participante, de tal manera que se encuentre en equilibrio.
Datos: R = 5 m; a = 2,5 m; ω = 1,27 s-1; θ = 20º
6) Una plataforma horizonal de radio R que posee una muesca coincidente con su radio, puede girar con respecto a un eje fijo que pasa por su centro. Cuando está rotando con velocidad angular de módulo constante ω, un pequeño cuerpo de masa m se desplaza sobre la muesca en la dirección coincidente con el eje x’, con velocidad de módulo constante v’. Para el instante en
que m se encuentra en la mitad del radio y desde el sistema de referencia S’ solidario a la plataforma:
a) realizar el diagrama de cuerpo libre,
b) determinar el módulo, dirección y sentido de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Datos: m = 1 kg: R = 8 m; ω = 5 s-1; v’ = 50 cm/s o’ o y’ x’ a ω α ω y’ x’ z’ m v’
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
1) Un camión transporta una caja sobre el piso de su parte posterior. El mismo circula por una calle con pendiente longitudinal nula, en línea recta, mientras aumenta su velocidad en forma proporcional al tiempo. Para un sistema S’ solidario al camión:
a) aislar dicha caja y marcar pares de acción y reacción, b) calcular la máxima aceleración, con la que puede
circular por dicha calle, para que la caja no deslice con respecto al piso del camión.
Datos: m = 10 kg; μe = 0,4
2) El problema 7) de complementarios de la práctica de la unidad nº 3 decía: “Parte de un juguete consiste en un cono, como se observa en la figura, sobre cuya superficie gira un pequeño objeto de 500 g de masa, describiendo una circunferencia en un plano horizontal cada 3 segundos. Por medio de un hilo de 40 cm de longitud, el objeto se sujeta a una varilla vertical fija al vértice del cono. Despreciando el rozamiento entre ambas superficies, determinar la tensión en el hilo”. Resolver ahora este problema desde un sistema S’ cuyo origen está fijo al objeto, y el eje x’ pasa por el centro de la circunferencia que describe.
3) El problema 2) de integración de la práctica de la unidad nº 3 decía: “Un niño que está de pie sobre un bloque de madera pretende avanzar con el mismo tirando de una cuerda atada a una columna (figura a). Como resultado de su acción avanza una distancia L, pero a la vez se desliza sobre el bloque (figura b): a) realizar el diagrama de cuerpo libre del niño y del bloque,
marcando pares de acción y reacción,
b) calcular el tiempo que tardan en alcanzar la posición que se muestra en la figura b,
c) calcular la distancia que recorre el bloque.
Datos: mbloque = 40 kg; mniño = 28 kg; F = 150 N; L = 2,5 m; μNB = 0,2; μBP = 0,05
Resolver ahora este problema desde un sistema S’ cuyo origen está fijo en el trozo de madera.
4) En ciertos medios de transporte de pasajeros, por ejemplo, los subterráneos de Buenos Aires, se utilizan agarraderas que cuelgan del techo para que los pasajeros que viajan parados tengan donde asirse. Cuando el subterráneo circula por una curva de radio R con velocidad angular constante, se observa que las agarraderas forman un ángulo de inclinación θ con la vertical. Calcular dicha velocidad, a partir del sistema S´ pegado al techo, que se observa en la figura. Modelizar la situación considerando a la agarradera como una partícula de masa m y a la cuerda que la sostiene de masa despreciable, inextensible y de longitud L. Datos: m = 700 g; R = 20 m; d = 0,5 m; L = 0,5 m; θ= 15° μ m θ L z’ x’ o R m 20º ω y’ x’
ω y’ θ μ m L x’
5) Un cuerpo de masa m se encuentra girando sobre una superficie cónica lisa, alrededor del eje z’ con una velocidad angular constante de módulo ω. Para el sistema S’ indicado cuyo eje x’ gira solidario a la masa m:
a) calcular las fuerzas que actúan sobre la masa m,
b) determinar la velocidad angular necesaria para reducir a cero la reacción del plano sobre m.
Datos: m = 1,5 kg; θ = 20º; l = 4,57 m; ω = 10 RPM
6) El problema 20) de la práctica de la unidad nº 3 decía: “Las curvas de una pista de bicicletas tienen un ángulo de peralte de 30º, y un radio de curvatura de 50 metros. Un ciclista recorre dicha pista a una velocidad de módulo constante de 40 km/h”.
Desde un sistema de referencia cuyo origen está fijo al rodado y el eje x’ pasa por el centro de la circunferencia que describe: a) realizar el diagrama de cuerpo libre del sistema
ciclista-bicicleta, marcando pares de acción y reacción.
b) determinar, para ese sistema, todas las fuerzas que actúan cuando transita la curva.
Datos: la masa del conjunto es de 65 kg.
7) El camión del problema nº 1 de los complementarios de esta práctica circula ahora por una curva horizontal de 20 metros de radio. Para el sistema de referencia indicado, realizar el diagrama de cuerpo libre de la caja y calcular la máxima velocidad que puede desarrollar el camión para que la caja no deslice con respecto a él, en los siguientes casos:
a) la curva no está peraltada, b) la curva posee un peralte de 20º. Si la caja deslizara con velocidad constante de módulo v´ respecto del interior del camión,
c) ¿cómo se modificaría el diagrama de cuerpo libre de la caja? Justifique su respuesta.
8) Un juguete consiste en una pequeña cuña que puede girar alrededor de una barra unida a ella en un extremo, como muestra la figura. Un muñeco de masa m se encuentra sobre la cuña, y entre sus superficies existe rozamiento. Desde el sistema x’y’ indicado, solidario a la cuña, calcular la velocidad angular con la que debe girar este juguete para que el muñeco:
a) comience a deslizar hacia abajo, b) comience a deslizar hacia arriba, c) no deslice sobre la cuña.
En todos los casos suponer ω constante.
Datos: θ = 30º; μe = 0,20; μd = 0,15; L = 40 cm
PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN
1) Considerar en el problema 3a) de esta práctica, que el sistema está dentro de un ascensor que asciende con aceleración constante de módulo A. Realizar el diagrama de cuerpo libre de la masa m, indicando todas las fuerzas (módulo, dirección y sentido) que actúan sobre ella.
o’ x’ ω R z’ x’ l z’ y’ m ω θ o’
r d A
B
2) Una plataforma horizontal de radio R, rota con velocidad angular constante de módulo ω, mientras desciende con aceleración de módulo A. Un pequeño cuerpo de masa m se desplaza sobre ella en la dirección del eje x’, con velocidad de módulo v’ constante. Para el instante en que m se encuentra en la mitad del radio y desde el sistema S’ indicado:
a) realizar el diagrama de cuerpo libre, indicando pares de acción y reacción,
b) determinar todas las fuerzas que actúan sobre m. Datos: m = 1 kg; R = 8 m; ω = 5 s-1; v’ = 50 cm/s
3) En el instante que se tomó la imagen, las trayectorias de los autos A y B son perpendiculares. El auto A circula por una curva de 20 metros de radio a una velocidad de módulo 10 m/s, mientras B se mueve a una velocidad de módulo 15 m/s, disminuyendo la misma a razón de 0,7 m/s2. Determinar la velocidad y la aceleración con que el auto B observa circular al A.
4) El problema 1) de integración de la práctica de la unidad nº 2 decía: “Un juego de un parque de diversiones consiste en varias tazas alineadas en forma de circunferencia sobre una plataforma circular, en un plano horizontal. Cada taza puede girar con respecto a un eje que pasa por su centro, mientras la plataforma también gira con respecto a un eje central. Si ambas rotan en sentido antihorario, la plataforma a 4 RPM y la taza a 20 RPM”. Para el instante en que dos personas se encuentran en las posiciones indicadas como A y B (extremos
de un diámetro de la taza), y desde un sistema S’ cuyo origen coincide con el centro de dicha taza y el eje x’ pasa siempre por el centro de la plataforma, determinar:
a) la velocidad y la aceleración de las personas,
b) las fuerzas que actúan sobre ellas. Datos: r = 5 m; d = 2 m
5) El problema 2) de integración de la práctica de la unidad nº 2 decía: “Los helicópteros tienen, entre otras posibilidades de movimiento, la capacidad de rotar sobre sí mismos sin trasladarse. El modelo en miniatura de la figura usado para hacer experimentos a escala en condiciones de laboratorio, está girando sobre sí mismo (sin trasladarse) a razón de 1 s-1. El eje de giro es el indicado en la figura, y el sentido de giro es el señalado por la flecha ubicada sobre el rotor grande. A su vez el rotor pequeño gira alrededor de su propio eje a 20 s-1. Si L = 50 cm, y el radio del rotor pequeño es de 5 cm”, determinar ahora la velocidad y la aceleración del punto A con respecto al sistema S’ indicado, cuyo eje x’ gira con el helicóptero. y’ x’ y’ x’ z’ m v’ ω A
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1: En una calesita de un parque infantil, una niña está sentada sobre un caballito ascendiendo y
descendiendo con el mismo. La calesita gira a 3 RPM en sentido antihorario (visto desde arriba). El caballito en un instante está subiendo con velocidad de módulo constante de 0.15 m/s y a una distancia de 7 m del eje de giro. Para esas condiciones, calcular la velocidad y aceleración de la niña y realizar el diagrama de cuerpo libre desde los siguientes sistemas de referencia:
a) un sistema S) solidario a la Tierra,
b) un sistema S1’) solidario a la calesita, cuyo eje z’ coincide con el eje de la misma y el eje x’ gira con la niña,
c) un sistema S2’) solidario al piso de la calesita, cuyo eje z’ coincide con la niña y el eje x’ gira y pasa siempre por el eje de la calesita,
d) un sistema S3’) solidario al piso de la calesita, cuyo origen se encuentra en el borde exterior de la misma a 50 cm de la niña y el eje x’ gira y pasa siempre por el eje de la calesita.
Solución
La idea en este ejercicio es comparar el mismo movimiento (el de la niña sobre un caballito en el momento que sube en una calesita que gira) visto desde distintos sistemas de referencia. El objeto es comprender y justificar el movimiento que percibe cada observador.
Comencemos por realizar un esquema de la situación. Para ello elegimos la imagen de la Figura 1.1, en donde se indica la calesita, su velocidad angular, la posición de la niña sentada sobre el caballito y la velocidad del mismo en el instante solicitado.
Ahora comencemos a analizar el movimiento, determinando la velocidad, la aceleración y las fuerzas que actúan sobre la niña, observadas en las distintas situaciones solicitadas.
a) En un sistema de referencia S) solidario a la Tierra (sistema de referencia inercial), el observador está en reposo y fuera de la calesita. El mismo observa que la niña está describiendo un movimiento circular según un plano horizontal, a la vez que sube y baja según un eje vertical sentada sobre el caballito (en el instante solicitado y para la posición que indica el dibujo la niña está subiendo). Por lo tanto el vector velocidad de la niña tendrá dos componentes: una corresponde al plano horizontal y tiene
dirección tangente a la trayectoria. Su valor, según lo aprendido al analizar el movimiento circular de una partícula con velocidad angular constante (Capítulo 2), se calcula como el módulo de ωR. Su sentido lo da la regla de la mano derecha.
la otra componente se encuentra en un plano vertical, su sentido es hacia arriba y su módulo es igual al módulo de la velocidad del caballito.
ω v Figura 1.1 Figura 1.2 z y x 0
A su vez posee una aceleración radial de módulo ω2R dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe. Esta aceleración es la responsable del cambio de dirección de la velocidad tangencial, como se ha estudiado en el Capítulo 2.
A partir del dato de la frecuencia con la que gira la calesita, podemos determinar la velocidad angular de la niña (que es igual a la de la calesita), siendo:
ω = 2 π 3/60 s-1 = 0,314 s-1
Para expresar la velocidad y aceleración de la niña en forma vectorial, es necesario adoptar un sistema coordenado xyz. El mismo está representado en la Figura 1.2. Según el mismo:
Sobre la niña actúan fuerzas de interacción según lo visto en el Capítulo 3. Las mismas y sus reacciones se representan en el diagrama de cuerpo libre indicado en la Figura 1.3. Aplicando la Segunda Ley de Newton y expresando sus componentes según el sistema de coordenadas adoptado tendremos:
0 P N 0 a m F 0 a m F a m F a m F a m F z z y y r x xDe este modo el observador deduce que la aceleración radial que tiene la niña es debida a la fuerza F que el caballito ejerce sobre ella.
Antes de comenzar a estudiar la misma situación desde distintos sistemas de referencia que se mueven con la calesita (sistemas no inerciales), repasemos cuáles son las posibles fuerzas ficticias que requiere introducir un observar O’ fijo a dichos sistemas no
inerciales para explicar las situaciones abordadas. Estas fuerzas, denominadas fuerzas inerciales, no verifican la Tercera Ley de Newton:
Fuerza de arrastre A m FA
donde A es la aceleración del sistema acelerado S’ (no inercial) con respecto al fijo S (inercial). Esta aceleración se manifiesta observando la aceleración del origen del sistema S’ (0’) con respecto al origen de S (0). Fuerza centrífuga ) r' ω ( ω m FC
donde ω es la velocidad angular del sistema S’ con respecto a S y r'es el vector posición del objeto en estudio con respecto a S’. La velocidad se manifiesta observando la rotación de los ejes del sistema S’ (x’y’z’) con respecto a los ejes de S (xyz).
Fuerza de Coriolis ) v' ω m 2 FCor
donde ω es la velocidad angular de S’ con respecto a S y v'es la velocidad del objeto observada desde S’.
¡Ahora sí! Comencemos a estudiar el movimiento y las fuerzas tanto de interacción como las ficticias que actúan desde cada sistema no inercial propuesto en los ítems b), c) y d).
b) El movimiento se analiza desde un sistema de referencia S1’) solidario a la calesita. El observador está ubicado en el origen del sistema coordenado adoptado, sobre el piso de la calesita y girando con ella de manera que siempre mira a la niña (Figura 1.4)
m/s 0,15) ; 2,20 ; (0 v 2 m/s ) 0 ; 0 ; 0,69 ( a P P’ N N’ F F’ Figura 1.3 z y x
Él percibe que la niña sólo sube y baja sobre el caballito. Este observador no ve a la niña girar. Para el instante estudiado en que la niña sube con velocidad constante, la velocidad y aceleración desde este sistema son:
Al analizar las fuerzas que actúan sobre la niña, el observador reconoce inicialmente las de interacción. Pero al pensar en el diagrama de cuerpo libre (Figura 1.5) observa que no es consistente con la condición de aceleración nula. Si quisiera aplicar la 2º Ley de Newton tendría: 0 a 0 a m F
no corresponde a lo observado. Es entonces donde concluye que algo en su razonamiento y/o planteo está mal. Recuerda que él está moviéndose junto a la calesita, y comienza a repasar cada una de las fuerzas inerciales (o ficticias) que estudió, aquellas que no verifican la Tercera Ley de Newton (acción y reacción). Ellas son las responsables de hacerlo suponer que la niña tiene aceleración nula. Entonces:Fuerza de arrastre: al estar 0’ siempre en la misma posición con respecta a 0, A es nula. Concluye que FA 0.
Fuerza centrífuga: el sistema desde el cual observa el movimiento está rotando (en este caso los ejes x’y’ rotan con respecto a xy) ω0 r'0 ωyr'nosonparalelos Fuerza de Coriolis: ω0 v'0 ω//v'
Para calcular la fuerza centrífuga comenzamos por determinar su módulo, para luego obtener su dirección y sentido por la regla de la mano derecha:
R ω α sen r' ω r' ω siendo: ' k ω
ω y r'Ri' con R = 7m y α el ángulo entre k'yi' = 90º. Su dirección y sentido coincide con el eje y1’. Luego: R ω α sen r' ω ω ) r' ω (
ω 2 siendo α = 90º y su dirección y sentido coincide con el eje x
1’ negativo. Y por último:
0 FC 0 FCor i R ω m ) r' ω ( ω m F 2 C m/s ) 0,15 ; 0 ; 0 ( v' 2 m/s ) 0 ; 0 ; 0 ( a' N P F Figura 1.5 ω Figura 1.4 y1’ x1’ z1’ 0 01’
El DCL desde el sistema S1’ se representa en la Figura 1.6. Notar que
la fuerza centrífuga no posee reacción por ser una fuerza ficticia.
Se puede mantener la forma de la Segunda Ley de Newton planteando la sumatoria de fuerzas desde S1’ indicada a continuación:
c) El movimiento se analiza desde un sistema de referencia S2’) solidario a la calesita. El observador está ubicado en el origen del sistema coordenado adoptado, O2’, sobre el piso de la calesita coincidiendo con la niña y girando con ella. El eje x2’ pasa siempre por el centro de giro (Figura 1.7). Para este observador:
Si el observador desde O2’ considera sólo las fuerzas de interacción no puede explicar que la niña no esté acelerada. Como en el caso b), para justificar esta situación debe introducir alguna fuerza que equilibre la fuerza de interacción F entre la niña y el caballo. Dado que no existe ningún agente del medio que realice tal fuerza, debe recurrir a una fuerza inercial o ficticia.
Analizando y calculando cada una de las fuerzas inerciales que pueden actuar sobre la niña, se obtiene:
Fuerza de arrastre: 0’ describe un movimiento circular alrededor del eje de giro de la calesita, por lo cual su aceleración es radial: ar ω2Ri, donde R =
7m F mA mω2R
i A Fuerza centrífuga: ω0 r'0 Fuerza de Coriolis: ω0 v'0 ω//v'Se realiza el DCL con todas las fuerzas de interacción y las inerciales (sólo fuerza de arrastre en este caso) según se muestra en la Figura 1.8 y se plantea la sumatoria de fuerzas desde el sistema S2’
0 FCor
0 P N 0 a' m F' 0 a' m F' 0 F F 0 a' m F' ' a m F' z z y y C x x 0 FC m/s ) 0,15 ; 0 ; 0 ( v' a'(0;0;0)m/s2 ω z2’ y2’ x2’ 02’ Figura 1.7 P P’ N N’ F F’F
C Figura 1.6 z1’ y1’ x1’ P P’ N N’ F F’F
A Figura 1.8 z2’ y2’ x2’d) El movimiento se analiza desde un sistema S3’) solidario a la calesita, con el observador ubicado en el origen O3’, sobre el piso de la misma y a 50 cm hacia afuera y el eje x2’ pasa siempre por el centro de giro. Para este observador:
Analizando las fuerzas que actúan sobre la niña:
Fuerza de arrastre: 0’ describe un movimiento circular alrededor del eje de giro de la calesita, por lo cual posee aceleración radial FA 0
Fuerza centrífuga: ω0 r'0 ωyr'nosonparalelos Fuerza de Coriolis: ω0 v'0 ω//v' Cálculo de la fuerza de arrastre:
i R ω
ar 2 FA mAmω2Ri donde R = 7,5m (distancia entre 0 y 0’)
Cálculo de la fuerza centrífuga: r' ω α sen r' ω r' ω siendo r'0,5mi' y α el ángulo entre ωyr' = 90º. Su dirección y sentido coincide con el eje y3’ negativo. Luego:
r' ω α sen r' ω ω ) r' ω ( ω 2 siendo α = 90º y su dirección y sentido coincide con el eje x3’ negativo. Y por último:
El DCL desde el sistema S3’ se indica en la Figura 1.10.
0 FC 0 FCor i r' ω m ) r' ω ( ω m F 2 C
0 P N 0 a' m F' 0 a' m F' 0 F F 0 a' m F' ' a m F' z z y y A x x m/s ) 0,15 ; 0 ; 0 ( v' a'(0;0;0)m/s2 Figura 1.9 ω z3’ y3’ x3’ 03’Se plantea la sumatoria de fuerzas desde S3’, siendo:
