La Medida de Haar en Grupos Topológicos Compactos. Edwin A. López Romo Análisis Funcional

(1)

La Medida de Haar en Grupos Topol´

ogicos Compactos

Edwin A. L´

opez Romo

An´

alisis Funcional

(2)

´

_{Indice general}

1. Medida de Haar 2 1.1. Introducci´on . . . 2 1.2. Preliminares . . . 2 1.3. Teorema de Haar . . . 6 2. Ap´endice 11

2.1. Topolog´ıa D´ebil y Topolog´ıa D´ebil* . . . 11 2.2. Integral de Lebesgue . . . 12 2.3. Lema de Urysohn . . . 14

(3)

Cap´ıtulo 1

Medida de Haar

1.1. Introducci´

on

Una de las m´as ´utiles propiedades de la medida de la integral de Lebesgue es su invarianza bajo traslaciones y rotaciones. Esto es que, si 𝑎 ∈ _ℝ𝑛_{, 𝑟} _∈

ℝ𝑛×𝑛 y 𝑓 una funci´on Lebesgue integrable en _ℝ𝑛_, _entonces ∫ ℝ𝑛 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= ∫ ℝ𝑛 𝑓(𝑟𝑥+𝑎)𝑑𝑥.

La noción de la medida de Haar es una generalización de este ejemplo. Resulta que en un grupo compacto (más generalmente localmente compacto) 𝐺,existe una medida 𝑚 tal que

∫ 𝐺 𝑓(𝑥)𝑑𝑚(𝑥) = ∫ 𝐺 𝑓(𝑠𝑥)𝑑𝑚(𝑥).

para una funci´on integrable 𝑓 sobre 𝐺 y un elemento 𝑏∈𝐺.

Esta medida fue introducida por Alfred Haar, matemático Húngaro, en 1933. Él prueba que existe una medida invariante en un grupo localmente compacto y separable. Más tarde,Banach generaliza el teorema definiendo axiomáticamente la congruencia. Además la separabilidad no es esencial en el trabajo de Banach, ya que sus razonamientos son válidos sustituyendo compacidad secuencial por compacidad.

Finalmente el teorema de Haar fue generalizado a grupos localmente compactos y completado en 1936 con el teorema de unicidad debido a von Neumann.

Aqu´ı mostramos una prueba de la existencia y unicidad de la medida de Haar en grupos compactos basada en el teorema de punto fijo de Kakutani y el teorema de Riesz meramente con técnicas de análisis funcional.

1.2. Preliminares

Definición 1.2.1. Sea 𝑋 un espacio topológico y 𝐾 ⊂𝑋.

a. Una colecci´on{𝑉𝛼 :𝛼∈𝐼} de subconjuntos de𝑋 es una cubierta de 𝐾, si𝐾 ⊂ ∪𝛼∈𝐼𝑉𝛼. Si

(4)

b. Diremos que 𝐾 es compacto, si de cualquier cubierta abierta de 𝐾, {𝑉𝛼 :𝛼 ∈𝐼}, se puede

extraer una subcubierta ﬁnita.

Definición 1.2.2. Un espacio topológico 𝑋 se dice localmente compacto en 𝑥 si hay algún subconjunto compacto 𝐶 de 𝑋 que contiene una vecindad de 𝑥.Si𝑋 es localmente compacto en cada uno de sus puntos,𝑋 simplemente se dice localmente compacto.

Definición 1.2.3. Sea 𝑋 un espacio topológico. a. Un conjunto𝐷⊂𝑋 es denso (en 𝑋) si 𝐷=𝑋.

b. Diremos que 𝑋 es separable, si existe 𝐷⊂𝑋 que es denso y numerable.

Definición 1.2.4. Una familia𝒜de subconjuntos de𝑋que satisface las siguientes condiciones se le llama una 𝜎-álgebra de subconjuntos de 𝑋

1. ∅, 𝑋 ∈ 𝒜

2. Si 𝐴 ∈ 𝒜, entonces𝐴𝑐 _{∈ 𝒜}

3. 𝐴𝑛∈ 𝒜 (𝑛 = 1,2, . . .) ⇒

∪∞

𝑛=1𝐴𝑛∈ 𝒜

Definición 1.2.5. La 𝜎-álgebra de Borel sobre un espacio topológico 𝑋 es una 𝜎-álgebra de subconjuntos de 𝑋 asociada a la topolog´ıa de 𝑋. En la literatura matemática se pueden encontrar dos definiciones no equivalentes de ésta:

1. La 𝜎-´algebra generada por los conjuntos abiertos. 2. La 𝜎-´algebra generada por los conjuntos compactos.

La𝜎-álgebra generada por una colección𝒯 de subconjuntos de𝑋se define como la m´ınima

𝜎-álgebra que contiene a 𝒯. Los elementos del álgebra de Borel se llaman conjuntos de Borel o conjuntos borelianos. En espacios topológicos generales, o aún en los localmente compactos, las dos estructuras definidas arriba pueden ser diferentes, aunque este fenómeno se considera patológico en el análisis matemático. De hecho, las dos estructuras coinciden si el espacio en consideración es un espacio localmente compacto, separable y métrico.

Definición 1.2.6. Diremos que 𝜇 es una función de conjuntos definida en 𝒜 una 𝜎-álgebra definida para un conjunto 𝑋 si 𝜇 asigna a cada 𝐴 ∈ 𝒜 un número 𝜇(𝐴) ≥ 0 del sistema ampliado de los números reales. 𝜇es aditiva si 𝐴∩𝐵 =∅implica

𝜇(𝐴∪𝐵) =𝜇(𝐴) +𝜇(𝐵),

y es aditiva numerable si 𝐴𝑖∩𝐴𝑗 =∅ (𝑖∕=𝑗) implica

𝜇( ∞ ∪ 𝑛=1 𝐴𝑛) = ∞ ∑ 𝑛=1 𝜇(𝐴𝑛).

(5)

Definición 1.2.7. Si 𝜇 es una función de conjuntos aditiva numerable definida en una 𝜎 -´

algebra definida para un conjunto 𝑋, entonces 𝜇 es una medida. Si la medida está definida sobre la 𝜎-álgebra de Borel se le llama medida de Borel, y si 𝜇(𝑋) = 1 se dice que 𝜇 es una medida de probabilidad

Definición 1.2.8. Se dice que una medida 𝜇 definida en una 𝜎-álgebra 𝒜 definida para un espacio topológico𝑋 es regular si es cierto lo siguiente: Para cada𝐴 ∈ 𝒜y cada𝜀 >0,existen conjuntos 𝐹, 𝐺tales que 𝐹 es cerrado, 𝐺es abierto, 𝐹 ⊂𝐴⊂𝐺 y

𝜇(𝐺)−𝜀≤𝜇(𝐴)≤𝜇(𝐹) +𝜀.

Ejemplo 1.2.1. Si𝑝∈𝑋 la delta de Dirac es la probabilidad boreliana tal que

𝛿𝑝(𝐴) =

{

0 si𝑝 /∈𝐴

1 si𝑝∈𝐴.

Definición 1.2.9. Un espacio de medida es un conjunto 𝑋 para el que se ha definido una

𝜎-álgebra 𝒜 de conjuntos medibles y una función de medida concreta 𝜇 que asigna un valor real o medida a cada elemento de la 𝜎-álgebra. A la tripleta (𝑋,𝒜, 𝜇) se le llama espacio de medida, si la medida es de probabilidad se le llama espacio de probabilidad

Definición 1.2.10. Sean (𝑋,𝒜, 𝜇) un espacio de medida, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 una función continua y sobreyectiva, decimos que 𝜇 es𝑇-invariante si para todo𝐴∈ 𝒜 tenemos que 𝑇−1(𝐴)∈ 𝒜 y

𝜇(𝑇−1₍_𝐴_{)) =}_𝜇₍_𝐴₎_.

Definición 1.2.11. Sea 𝑋 un espacio topológico. El 𝑠𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 de𝑓 :𝑋 →_ℝ es

𝑠𝑢𝑝𝑝𝑓 ={𝑥∈𝑋 :𝑓(𝑥)∕= 0}.

Definición 1.2.12. Sea 𝑋 un conjunto,𝑇 :𝑋 →𝑋 una función. Un subconjunto 𝑌 ⊂ 𝑋 se dice 𝑇-invariante si 𝑇(𝑌)⊂𝑌.

Definición 1.2.13. Sea 𝐺 conjunto con una operarción binaria ⋅ : 𝐺×𝐺 → 𝐺 y sea 𝜏 una familia de subconjuntos de 𝐺.Decimos que 𝐺 es un grupo topológico si

a. (𝐺,⋅) es un grupo.

b. (𝐺, 𝜏) es un espacio topol´ogico, y

c. las funciones 𝑚:𝐺×𝐺→𝐺 e 𝑖:𝐺→𝐺 dadas por

(𝑥, 𝑦)7−→𝑥⋅𝑦, 𝑥7−→𝑥−1

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Aqu´ı, 𝐺×𝐺es visto como un espacio topol´ogico con la Topolog´ıa producto. Sea 𝐺un grupo abeliano compacto y ℬ(𝐺) su 𝜎-´algebra de Borel.

Denotaremos por 𝐶(𝑋,_ℝ) o 𝐶(𝑋) el espacio de funciones continuas 𝑓 : 𝑋 → _ℝ con la topolog´ıa de convergencia uniforme i. e. Con la norma del supremo.

∥𝑓∥0 = sup

𝑥∈𝑋

∣𝑓(𝑥)∣

Si𝑋 es un espacio topol´ogico compacto. Escribimos

𝒫(𝑋) = 𝑀 𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐵𝑜𝑟𝑒𝑙 𝑒𝑛 𝑋,

Teorema 1.2.1. (Riesz.) Si 𝐹 :𝐶(𝑋)→_ℝ es un funcional lineal positivo (i.e. 𝐹(𝑓)≥0 si

𝑓 ≥0) y acotado tal que 𝐹(1) = 1, entonces existe una ´unica 𝜇∈ 𝒫(𝑋) tal que

𝐹(𝑓) =

∫

𝑋

𝑓 𝑑𝜇, ∀𝑓 ∈𝐶(𝑋).

La topolog´ıa d´ebil* en 𝒫(𝑋) se deﬁne por:

l´ım 𝑛 𝜇𝑛 =𝜇⇔ ∀𝑓 ∈𝐶(𝑋), l´ım𝑛 ∫ 𝑓 𝑑𝜇𝑛= ∫ 𝑓 𝑑𝜇.

El teorema de Riesz implica que el l´ımite es ´unico. Otra forma de ver la topolog´ıa en𝒫(𝑋) es con las bolas abiertas las cuales son de la siguiente forma:

𝑉𝑓,𝜀(𝜇) ={𝜈 ∈ 𝒫(𝑋) : ∫ 𝑓 𝑑𝜈 − ∫ 𝑓 𝑑𝜇 < 𝜀}. Donde𝜀 >0 y 𝑓 ∈𝐶(𝑋).

Proposici´on 1.2.1. Si 𝜇𝑛, 𝜇 ∈ 𝒫(𝑋) entonces l´ım𝑛𝜇𝑛 = 𝜇 si, y s´olo si l´ım𝑛𝜇𝑛(𝑈) = 𝜇(𝑈)

para todo abierto 𝑈 ⊂𝑋 tal que 𝜇(∂𝑈) = 0.

Demostraci´on. 1.Veamos que para todo 𝜀 > 0 y todo abierto 𝑈 con 𝜇(∂𝑈) = 0 existe

𝑓 ∈𝐶(𝑋) tal que

𝐼𝑈 ≤𝑓 ≤1 𝑦

∫

𝑋

𝑓 𝑑𝜇≤𝜇(𝑈) +𝜀

Sea 𝑈𝑘 := {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑑(𝑥, 𝑈) < _𝑘1}. Entonces 𝑈 ↓ 𝑈𝑘. Como 𝜇 es ﬁnita y 𝜇(∂𝑈) = 0,

l´ım𝑘𝜇(𝑈𝑘) = 𝜇(𝑈) =𝜇(𝑈). T´omese 𝑘 tal que𝜇(𝑈𝑘)< 𝜇(𝑈) +𝜀. Por el lema de Urysohn para

𝑈 y 𝑈_𝑘𝑐 , existe 𝑓 ∈𝐶(𝑋) con 𝐼𝑈 ≤𝑓 ≤𝐼𝑈𝑘.

2. Si 𝑈 ⊂ 𝑋 es abierto, 𝜇(∂𝑈) = 0 y 𝜀 > 0 sea ℎ la funci´on obtenida en 1 para 𝑈𝑐. Sea

𝑔 = 1−ℎ. Entonces 0≤𝑔 ≤𝐼𝑈, 𝑦 ∫ 𝑔𝑑𝜇≥𝜇(𝑈)−𝜀. (⇒). Luego si l´ım𝜇𝑛 =𝜇, l´ım sup 𝑛 𝜇𝑛(𝑈)≤l´ım sup 𝑛 ∫ 𝑓 𝑑𝜇≤𝜇(𝑈) +𝜀,

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l´ım inf

𝑛 𝜇𝑛(𝑈)≥l´ım inf𝑛

∫

𝑔𝑑𝜇≥𝜇(𝑈)−𝜀

Haciendo 𝜀→0 obtenemos que l´ım𝑛𝜇(𝑈) =𝜇(𝑈).

3.Veamos que si 𝑓 ∈ 𝐶(𝑋) y 𝜀 > 0 entonces existen ﬁnitos abiertos {𝑈𝑖} con 𝜇(∂𝑈𝑖) = 0 y

𝑎𝑖 ∈ℝ tales que para 𝑔 =

∑ 𝑖𝑎𝑖𝐼𝑢𝑖, ∫ 𝑓 𝑑𝜇− ∫ 𝑔𝑑𝜇 < 𝜀 (1.1) l´ım 𝑛 𝜇𝑛(𝑋∖ ∪ 𝑖 𝑈𝑖) = 0 (1.2)

Como 𝑋 es compacto,𝑓 es uniformemente continua. Luego existe 𝛿 >0 tal que

𝑑(𝑥, 𝑦)< 𝛿 ⇒ ∣𝑓(𝑋)−𝑓(𝑦)∣< 𝜀.

Sea {𝐵𝑖} una cobertura ﬁnita de 𝑋 por abiertos con 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐵𝑖) < 𝛿 y 𝜇(∂𝐵𝑖) = 0. Sean

𝑈𝑘 :=𝐵𝑘∖∪𝑘𝑖=1−1𝐵𝑖, 𝑦𝑘∈𝑈𝑘, 𝑎𝑘:=𝑓(𝑦𝑘). Tenemos que ∣𝑓(𝑥)−𝑔(𝑋)∣< 𝜀,∀𝑥∈ ∪𝑘𝑈𝑘, 𝜇(𝑋∖ ∪𝑘𝑈𝑘)≤ ∑ 𝑖 𝜇(∂𝐵𝑖) = 0.

Esto prueba 1.1, para 1.2 observe que 𝜇(∪𝑘𝑈𝑘) = 1, y

l´ım 𝑛 𝜇𝑛(∪𝑘𝑈𝑘) = ∑ 𝑘 l´ım 𝑛 𝜇𝑛(𝑈𝑘) = ∑ 𝑘 𝜇(𝑈𝑘) =𝜇(∪𝑘𝑈𝑘) = 1. l´ım 𝑛 𝜇𝑛(𝑋∖ ∪𝑘𝑈𝑘) = 1−l´ım𝑛 𝜇(∪𝑘𝑈𝑘) = 0.

4.Supongamos que l´ım𝑛𝜇𝑛(𝑈) = 𝜇(𝑈), ∀𝑈 ∈ 𝒯𝑋 con 𝜇(∂𝑈) = 0. Si 𝑓 ∈ 𝐶(𝑋) y 𝜀 >0 sea 𝑔

como en 3. Entonces l´ım 𝑛 ∫ 𝑔𝑑𝜇𝑛 = ∫ 𝑔𝑑𝜇 (1.3)

por 3, si 𝑛 es suﬁcientemente grande,

∫ 𝑓 𝑑𝜇𝑛− ∫ 𝑔𝑑𝜇𝑛 ≤ ∫ ∪𝑘𝑈𝑘 (𝑓−𝑔)𝑑𝜇𝑛 +∥𝑓∥0𝜇𝑛(𝑋∖ ∪𝑘𝑈𝑘)≤2𝜀 (1.4)

Ahora 1.1, 1.3 y 1.4 implican que l´ım𝑛

∫

𝑓 𝑑𝜇𝑛=

∫

𝑓 𝑑𝜇. _□

1.3. Teorema de Haar

Definición 1.3.1. Sean (𝑋, 𝜏) espacio topológico, (𝑌, 𝑑) espacio métrico, y 𝑥0 un punto en𝑋.

Un conjunto𝐻 de funciones de𝑋 en𝑌 se dice equicontinuo en 𝑥0 si y solamente si para todo

𝑟 >0, existe 𝐴 entorno de 𝑥0 tal que ∀𝑓 ∈𝐻, 𝑓(𝐴)⊂𝐵𝑟(𝑓(𝑥0)).

Notar que, en particular, si𝐻es equicontinuo en𝑥0, entonces todas las funciones que pertenecen

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Deﬁnici´on 1.3.2. 𝑋 es localmente convexo si existe una base local ℬ cuyos elementos son convexos.

Teorema 1.3.1. 1. Si 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 son conjuntos compactos y convexos en un espacio

vec-torial topol´ogio 𝑋, entonces 𝑐𝑜(𝐴1∪. . .∪𝐴𝑛) es compacto.

2. Si 𝑋 es un espacio vectorial topol´ogico localmente convexo y 𝐸 ⊂ 𝑋 es totalmente acotado, entonces la envolvente convexa 𝑐𝑜(𝐸) es totalmente acotada.

Teorema 1.3.2. (Punto ﬁjo de Kakutani.) Supongamos que

1. 𝐾 es un conjunto compacto, convexo, no vac´ıo en un espacio localmente convexo𝑋, y 2. 𝐺 es un grupo equicontinuo de mapeos aﬁnes que mandan𝐾 en𝐾.

Entonces 𝐺 tiene un punto ﬁjo com´un en 𝐾.

Si𝑓es una funci´on con dominio𝐺,sus trasladados izquierdos𝐿𝑠𝑓 y sus trasladados derechos

𝑅𝑠𝑓 est´an deﬁnidos, para todo 𝑠∈𝐺, por

(𝐿𝑠𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑠𝑥), (𝑅𝑠𝑓)(𝑥) =𝑓(𝑥𝑠) (𝑥∈𝐺).

Teorema 1.3.3. Sea 𝐺 un grupo compacto, supongamos 𝑓 ∈ 𝐶(𝐺), y deﬁnamos 𝐻𝐿(𝑓) la

envolvente convexa del conjunto de todos los trasladados izquierdos de 𝑓, Entonces 1. 𝑠→𝐿𝑠𝑓 es un mapeo continuo de 𝐺en 𝐶(𝐺), y

2. la cerradura de 𝐻𝐿(𝑓) es compacto en 𝐶(𝐺).

Demostraci´on. Fijemos 𝜀 > 0. Como 𝑓 es continua, entonces para cada 𝑎 ∈ 𝐺 le corre-sponde una vecindad 𝑊𝑎 de 𝑒 tal que ∣𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)∣ < 𝜀 si 𝑥𝑎−1 ∈ 𝑊𝑎. La continuidad de las

operaciones en el grupo nos da una vecindad𝑉𝑎 de𝑒 la cual satisface que 𝑉𝑎−1𝑉𝑎⊂𝑊𝑎.Como

𝐺 es compacto, entonces hay un conjunto ﬁnito 𝐴⊂𝐺tal que

𝐺= ∪ 𝑎∈𝐴 𝑉𝑎⋅𝑎. Sea 𝑉 = ∩ 𝑎∈𝐴 𝑉𝑎.

Escojamos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 tal que 𝑦𝑥−1 _∈ _𝑉, _{y escojamos} _𝑎 _∈ _𝐴 _{tal que} _𝑦𝑎−1 _∈ _𝑉

𝑎. Entonces

∣𝑓(𝑦)−𝑓(𝑎)∣< 𝜀,y como𝑥𝑎−1 = (𝑥𝑦−1)(𝑦𝑎−1)∈𝑉−1𝑉𝑎⊂𝑊𝑎,tenemos que ∣𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)∣< 𝜀.

Por tanto ∣𝑓(𝑥)−𝑓(𝑦)∣<2𝜀 siempre y cuando 𝑦𝑥−1 ∈𝑉.

Para un 𝑠 ∈ 𝐺, (𝑦𝑠)(𝑥𝑠)−1 ₌_𝑦𝑥−1_. _{Por lo tanto} _𝑦𝑥−1 _∈ _𝑉 _{implica que} _∣_𝑓₍_𝑥𝑠₎₋_𝑓₍_𝑦𝑠_)∣ _<₂_𝜀.

Esta es otra manera de decir que

∥𝐿𝑥𝑓 −𝐿𝑦𝑓∥<2𝜀

siempre que 𝑦 est´e en una vecindad𝑉𝑥 de 𝑥,esto prueba (1).

Como una consecuencia de (1), {𝐿𝑥𝑓 : 𝑥 ∈ 𝐺} es compacto en el espacio de Banach 𝐶(𝐺).

Por lo tanto (2) se sigue del teorema 1.3.1, ya que 𝐶(𝐺) es de Banach tenemos que𝐻𝐿(𝑓) es

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Teorema 1.3.4. (Haar.)En todo grupo topol´ogico compacto𝐺,existe una ´unica medida de probabilidad de Borel𝑚, regular, la cual es invariante bajo traslaciones izquierdas (derechas), en el sentido de que: 1. ∫ 𝐺 𝑓 𝑑𝑚 = ∫ 𝐺 (𝐿𝑠𝑓)𝑑𝑚 𝑠∈𝐺 𝑓 ∈𝐶(𝐺) 2. ∫ 𝐺 𝑓 𝑑𝑚 = ∫ 𝐺 (𝑅𝑠𝑓)𝑑𝑚 𝑠∈𝐺 𝑓 ∈𝐶(𝐺), y satisface que 3. ∫ 𝐺 𝑓(𝑥)𝑑𝑚(𝑥) = ∫ 𝐺 𝑓(𝑥−1)𝑑𝑚(𝑥)𝑓 ∈𝐶(𝐺) Esta es llamada la medida de Haar.

Demostraci´on.Notemos que los operadores𝐿𝑠satisfacen que𝐿𝑠𝐿𝑡=𝐿𝑡𝑠,ya que (𝐿𝑠𝐿𝑡𝑓)(𝑥) =

(𝐿𝑡𝑓(𝑠𝑥)) = 𝑓(𝑡𝑠𝑥) = (𝐿𝑡𝑠𝑓)(𝑥). Como cada 𝐿𝑠 es una isometr´ıa de 𝐶(𝐺) en s´ı mismo,

{𝐿𝑠 : 𝑠 ∈ 𝐺} es un grupo equicontinuo de operadores lineales en 𝐶(𝐺). Sea 𝑓 ∈ 𝐶(𝐺),

entonces sea𝐾𝑓 la cerradura de𝐻𝐿(𝑓).Tenemos que 𝐿𝑠(𝐾𝑓) = 𝐾𝑓 ∀𝑠∈𝐺. Por el teorema de

punto ﬁjo de Kakutani {𝐿𝑠:𝑠∈𝐺} tiene un punto ﬁjo en 𝐾𝑓,entonces existe 𝜙∈𝐾𝑓 tal que

𝐿𝑠𝜙=𝜙 ∀𝑠∈𝐺. En particular𝜙(𝑠) =𝜙(𝑒), y por lo tanto 𝜙 es constante.

Por deﬁnici´on de 𝐾𝑓, 𝜙 puede ser aproximada por funciones en 𝐻𝐿(𝑓). Lo anterior nos

dice que ∀𝑓 ∈ 𝐶(𝐺) le corresponde una constante 𝑐, la cual puede ser aproximada en 𝐺 por combinaciones convexas de trasladados izquierdos de 𝑓. An´alogamente tenemos que existe 𝑐′

una constante en 𝐺 la cual se puede aproximar por combinaciones convexas de trasladados derechos de 𝑓.

Aﬁrmaci´on: 𝑐=𝑐′

Para ver que 𝑐 = 𝑐′, sea 𝜀 > 0. Existen conjuntos ﬁnitos {𝑎𝑖},{𝑏𝑗} ⊂ 𝐺 y existen n´umeros

𝛼𝑖 >0, 𝛽𝑗 >0, ∑ 𝑖𝛼𝑖 = 1 = ∑ 𝑗𝛽𝑗, tal que ∣𝑐−∑ 𝑖 𝛼𝑖𝑓(𝑎𝑖𝑥)∣< 𝜀 𝑦 ∣𝑐′− ∑ 𝑗 𝛽𝑗𝑓(𝑥𝑏𝑗)∣< 𝜀(𝑥∈𝐺)

Poniendo 𝑥=𝑏𝑗 la primera desigualdad, y multiplicando por 𝛽𝑗 y sumando con respecto de 𝑗

tenemos que

∣𝑐−∑

𝑖,𝑗

𝛼𝑖𝛽𝑗𝑓(𝑎𝑖𝑏𝑗)∣< 𝜀

Poniendo 𝑥=𝑎𝑖 en la segunda desigualdad, multiplicando por 𝛼𝑖 y sumando con respecto de

𝑖, obtenemos

∣𝑐′ −∑

𝑖,𝑗

𝛼𝑖𝛽𝑗𝑓(𝑎𝑖𝑏𝑗)∣< 𝜀

Entonces de esto ´ultimo podemos concluir que 𝑐 = 𝑐′. Tenemos entonces que para cada 𝑓 ∈

𝐶(𝐺) corresponde un ´unico n´umero, al que denotaremos por𝑀 𝑓,es cual puede ser aproximado uniformemente por combinaciones convexas de trasladados izquierdos de𝑓, y de igual manera con trasladados derechos de 𝑓.

𝑀 𝑓 tiene las siguientes propiedades: 1. 𝑀 𝑓 ≥0 si 𝑓 ≥0.

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2. 𝑀1 = 1.

3. 𝑀(𝛼𝑓) = 𝛼𝑀 𝑓 si 𝛼 es un escalar. 4. 𝑀(𝐿𝑠𝑓) =𝑀 𝑓 =𝑀(𝑅𝑠𝑓) ∀𝑠∈𝐺.

5. 𝑀(𝑓+𝑔) =𝑀 𝑓 +𝑀 𝑔.

Claramente se cumplen las primeras 4 propiedades, demostremos la quinta propiedad, ﬁjemos

𝜀 >0. Entonces ∣𝑀 𝑓−∑

𝛼𝑖𝑓(𝑎𝑖𝑥)∣< 𝜀para un conjunto ﬁnito {𝑎𝑖} ⊂𝐺 y algunos escalares

𝛼𝑖 >0 con∑𝛼𝑖 = 1.Deﬁnamosℎ(𝑥) = ∑𝛼𝑖𝑔(𝑎𝑖𝑥).Entoncesℎ ∈𝐾𝑔,y por tanto𝐾ℎ ⊂𝐾𝑔,y

como cada uno de estos conjuntos contiene una ´unica funci´on constante, entonces 𝑀 ℎ=𝑀 𝑔.

De esto se sigue que existe un conjunto ﬁnito{𝑏𝑗} ⊂𝐺,y existen n´umeros𝛽𝑗 >0 con

∑

𝛽𝑗 = 1

tal que

∣𝑀 𝑔−∑𝛽𝑗ℎ(𝑏𝑗𝑥)∣< 𝜀

Por como est´a deﬁnida ℎ tenemos que ∣𝑀 𝑔−∑

𝛼𝑖𝛽𝑗𝑔(𝑎𝑖𝑏𝑗𝑥)∣ < 𝜀 Reemplazando 𝑥 por 𝑏𝑗𝑥

en la primer desigualdad, multiplicando por 𝛽𝑗 y sumando con respecto de 𝑗 obtenemos que

∣𝑀 𝑓−∑

𝛼𝑖𝛽𝑗𝑓(𝑎𝑖𝑏𝑗𝑥)∣< 𝜀 y de aqu´ı es claro que

∣𝑀 𝑓+𝑀 𝑔−∑𝛼𝑖𝛽𝑗(𝑓 +𝑔)(𝑎𝑖𝑏𝑗𝑥)∣<2𝜀

y de aqu´ı como ∑

𝛼𝑖𝛽𝑗 = 1 conclu´ımos 5. Del teorema de Representaci´on de Riesz con las

propiedades de 𝑀 𝑓 obtenemos una medida de probabilidad regular de Borel 𝑚 tal que

𝑀 𝑓 =

∫

𝐺

𝑓 𝑑𝑚 𝑓 ∈𝐶(𝐺).

De la propiedad 4 de𝑀 𝑓obtenemos los puntos 1 y 2 del teorema. Por tanto s´olo falta demostrar la unicidad. Para esto, sea𝜇una medida de probabilidad regular de Borel en𝐺que es invariante bajo traslaciones izquierdas. Como 𝑚 es invariante por trasladados derechos entonces ∀𝑓 ∈

𝐶(𝐺) tenemos ∫ 𝐺 𝑓 𝑑𝜇 = ∫ 𝐺 𝑑𝑚(𝑦) ∫ 𝐺 𝑓(𝑦𝑥)𝑑𝜇(𝑥) = ∫ 𝐺 𝑑𝜇(𝑥) ∫ 𝐺 𝑓(𝑦𝑥)𝑑𝑚(𝑦) = ∫ 𝐺 𝑓 𝑑𝑚.

Y como fue para cualquier 𝑓 ∈𝐶(𝐺) entonces tenemos que 𝜇=𝑚.

La prueba del punto 3 es similar, pongamos 𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥−1). Entonces

∫ 𝐺 𝑑𝑚(𝑦) ∫ 𝐺 𝑔(𝑥𝑦−1)𝑑𝑚(𝑥) = ∫ 𝐺 𝑑𝑚(𝑦) ∫ 𝐺 𝑓(𝑦𝑥−1)𝑑𝑚(𝑦)

Notemos que las dos integrales interiores son independientes de𝑦 y de𝑥,respectivamente. Por lo tanto ∫ 𝐺 𝑔𝑑𝑚= ∫ 𝐺 𝑓 𝑑𝑚. _□

(11)

Ejemplo 1.3.1. El c´ırculo_𝕊1 _{es un grupo topol´}_{ogico abeliano compacto, donde}

𝕊1 lo podemos identiﬁcar de las siguientes maneras:

𝕊1 ={𝑧 ∈ℂ:∣𝑧∣= 1} con el producto de _ℂ

𝕊1 =ℝ/ℤ con la suma usual de _ℝ

𝕊1 = [0,1]/0≡1 con la suma + (mod 1).

Entonces por el teorema de Haar existe una ´unica medida invariante bajo rotaciones, que es precisamente la medida de Lebesgue que coincide con la medida de Haar.

De hecho el teorema de Haar es más complejo, admitiendo grupos topológicos localmente compactos, pero la demostración es mucho más complicada, lo que le quita belleza al teorema. Un ejemplo de un grupo topológico localmente compacto es (_ℝ𝑛,+) el cual sabemos que la medida de Lebesgue en _ℝ𝑛 _{es invariante bajo traslaciones, pero el teorema de Haar extendido}

(12)

Cap´ıtulo 2

Ap´

endice

2.1. Topolog´ıa D´

ebil y Topolog´ıa D´

ebil*

Definición 2.1.1. Sean 𝑋 un espacio normado y𝑋∗ su dual. La topolog´ıa débil en𝑋, deno-tada por 𝜎(𝑋, 𝑋∗) o simplemente por 𝜔, es la topolog´ıa que tiene como base local de 𝑥0 ∈𝑋

a los conjuntos de la forma

𝑉(𝑥0, 𝑥∗1, 𝑥 ∗ 2, . . . , 𝑥 ∗ 𝑘, 𝜀) = 𝑘 ∩ 𝑖=1 {𝑥∈𝑋 :∣⟨𝑥_𝑖∗, 𝑥−𝑥0⟩∣< 𝜀} (2.1)

con 𝑥∗₁, 𝑥∗₂, . . . , 𝑥∗_𝑘∈𝑋∗ y 𝜀 >0, donde⟨𝑥∗, 𝑥⟩ signiﬁca lo mismo que 𝑥∗(𝑥).

Entonces un conjunto 𝑈 ⊂𝑋 es d´ebilmente abierto, o 𝜔 abierto, si y s´olo si para toda 𝑥0 ∈𝑈

existen 𝑥∗₁, 𝑥∗₂, . . . , 𝑥∗_𝑘 ∈𝑋∗ y 𝜀 >0 tales que

𝑉(𝑥0, 𝑥∗1, 𝑥

∗

2, . . . , 𝑥

∗

𝑘, 𝜀)⊂𝑈.

Cuando𝑥0 = 0 denotaremos la vecindad 2.1 simplemente por

𝑉(𝑥∗₁, 𝑥∗₂, . . . , 𝑥∗_𝑘, 𝜀) Lema 2.1.1. 𝑉(𝑥0, 𝑥∗1, 𝑥 ∗ 2, . . . , 𝑥 ∗ 𝑘, 𝜀) =𝑥0+𝑉(𝑥∗1, 𝑥 ∗ 2, . . . , 𝑥 ∗ 𝑘, 𝜀), 𝑉(𝜆𝑥0, 𝑥∗1, 𝑥 ∗ 2, . . . , 𝑥 ∗ 𝑘, 𝜆𝜀) =𝜆𝑉(𝑥0, 𝑥∗1, 𝑥 ∗ 2, . . . , 𝑥 ∗ 𝑘, 𝜀)𝑠𝑖 𝜆 >0

y además la topolog´ıa débil es de Hausdorff.

Sea 𝑋 un espacio normado, entonces 𝑋∗ se puede ver tanto como el espacio dual de 𝑋,

también como el espacio cuyo espacio dual es 𝑋∗∗. Por lo tanto, además de las topolog´ıas de la norma y la débil 𝜎(𝑋, 𝑋∗), se puede definir otra importante topolog´ıa en𝑋∗ :

Definición 2.1.2. Sean 𝑋 un espacio normado y 𝑋∗ su dual. La topolog´ıa débil* en 𝑋∗,

denotada por 𝜎(𝑋∗, 𝑋) o simplemente por 𝜔∗, es la topolog´ıa que tiene como base local de

𝑥∗₀ ∈𝑋∗ a los conjuntos de la forma

𝑉(𝑥∗₀, 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘, 𝜀) = 𝑘 ∩ 𝑖=1 {𝑥∗ ∈𝑋∗ :∣⟨𝑥₀∗−𝑥∗, 𝑥𝑖⟩∣< 𝜀} (2.2) con 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘∈𝑋 y 𝜀 >0.

(13)

2.2. Integral de Lebesgue

Definición 2.2.1. Sea 𝑠una función de valores reales definida en 𝑋.si el rango de 𝑠es finito, decimos que 𝑠 es una función simple.

Supongamos que el rango de 𝑠 consta de los n´umeros distintos 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛.Sea

𝐸𝑖 ={𝑥:𝑠(𝑥) = 𝑐𝑖} (𝑖= 1,2, . . . , 𝑛). Entonces 𝑠= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑐𝑖𝜒𝐸𝑖,

Esto es que toda función simple es combinación lineal finita de funciones caracter´ısticas, es evidente que 𝑠 es medible si, y sólo si los conjuntos𝐸𝑖 son medibles.

Un resultado importante es que toda funci´on puede aproximarse por funciones simples:

Teorema 2.2.1. Sea 𝑓 una funci´on real en 𝑋. Existe una sucesi´on{𝑠𝑛}de funciones simples

tales que 𝑠𝑛(𝑥) → 𝑓(𝑥) si 𝑛 → ∞, para todo 𝑥 ∈ 𝑋. Si 𝑓 es medible, puede elegirse {𝑠𝑛} de

modo que sea una sucesi´on de funciones medibles. Si𝑓 ≥0{𝑠𝑛}puede elegirse tal que sea una

sucesi´on mon´otona creciente.

Definiremos la integración en un espacio medible𝑋,en el que𝒜,es la𝜎-álgebra de conjuntos medibles, y 𝜇 es la medida.

Deﬁnici´on 2.2.2. Supongamos que

𝑠(𝑥) =

𝑛

∑

𝑖=1

𝑐𝑖𝜒𝐸𝑖(𝑥) (𝑥∈𝑋, 𝑐𝑖 >0)

es medible y que 𝐸 ∈ 𝒜. Deﬁniremos

𝐼𝐸(𝑠) = 𝑛

∑

𝑖=1

𝑐𝑖𝜇(𝐸∩𝐸𝑖).

Si𝑓 es medible y no negativa deﬁniremos

∫

𝐸

𝑓 𝑑𝜇= sup𝐼𝐸(𝑠), (2.3)

donde se ha tomado el supremo sobre todas las funciones simples tales que 0≤𝑠≤𝑓.

Al primer miembro de 2.3 se le llama Integral de Lebesgue de 𝑓 con respeto de la medida

𝜇, sobre el comjunto 𝐸.

Deﬁnici´on 2.2.3. Sea 𝑓 medible, y consideremos las dos integrales

∫ 𝐸 𝑓+𝑑𝜇, ∫ 𝐸 𝑓−𝑑𝜇. (2.4)

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Si al menos una de las integrales de 2.4 es ﬁnita, deﬁniremos ∫ 𝐸 𝑓 𝑑𝜇= ∫ 𝐸 𝑓+𝑑𝜇− ∫ 𝐸 𝑓+𝑑𝜇. (2.5)

Si las dos integrales de 2.4 son ﬁnitas, entonces la integral de 2.5 es ﬁnita, y diremos que𝑓 es integrable en el sentido de Lebesgue, con respecto a𝜇 y escribiremos 𝑓 ∈ ℒ(𝜇) en 𝐸.

Teorema 2.2.2. (Teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue). Supongamos que 𝐴∈ 𝒜. Sea {𝑓𝑛} una sucesi´on de funciones medibles, tales que

0≤𝑓1(𝑥)≤𝑓2(𝑥)≤ ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥∈𝐴).

Sea 𝑓 deﬁnida por

𝑓𝑛(𝑥)→𝑓(𝑥) (𝑥∈𝐴) cuando𝑛 → ∞. Entonces ∫ 𝐴 𝑓𝑛𝑑𝜇→ ∫ 𝐴 𝑓 𝑑𝜇

Teorema 2.2.3. (Teorema de Fatou). Supongamos que 𝐴∈ 𝒜. Si{𝑓𝑛} es una suceci´on de

funciones medibles no negativas, y

𝑓(𝑥) = l´ım inf 𝑛 𝑓𝑛(𝑥) (𝑥∈𝐴), entonces ∫ 𝐴 𝑓 𝑑𝜇≤ ∫ 𝐴 l´ım inf 𝑛 𝑓𝑛𝑑𝜇.

Teorema 2.2.4. (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue) Supongamos que 𝐴∈ 𝒜. Sea {𝑓𝑛} una sucesi´on de funciones medibles, tales que

𝑓𝑛(𝑥)→𝑓(𝑥) (𝑥∈𝐴)

Cuando𝑛 → ∞.Si existe una funci´on𝑔 ∈ ℒ(𝜇) en 𝐴, tal que

∣𝑓𝑛(𝑥)∣ ≤𝑔(𝑥) entonces l´ım 𝑛 ∫ 𝐴 𝑓𝑛𝑑𝜇= ∫ 𝐴 𝑓 𝑑𝜇.

(15)

2.3. Lema de Urysohn

Sea 𝑋 un espacio topol´ogico.

Definición 2.3.1. Supongamos que los conjuntos que contienen un sólo punto son cerrados en𝑋. Entonces 𝑋 se dice 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 si para cada par consistiendo de un punto 𝑥 y un conjunto cerrado 𝐵, 𝑥 /∈ 𝐵, existen abiertos, disjuntos que contienen a 𝑥 y a 𝐵 respectivamente. El espacio se dice 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 si para cada par de subconjuntos no vac´ıos disjuntos y cerrados 𝐴, 𝐵

de𝑋, existen conjuntos abiertos y disjuntos 𝑈, 𝑉 tales que 𝐴⊂𝑈, 𝐵⊂𝑉.

Lema 2.3.1. (Urysohn).Un espacio topol´ogico (𝑋, 𝜏) es normal si y s´olo si para cada 𝐴y 𝐵

subconjuntos de 𝑋 no vac´ıos, cerrados y disjuntos, existe una funci´on continua 𝑓 :𝑋 →[0,1] tal que 𝑓(𝐴) = 0 y 𝑓(𝐵) = 1.

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Bibliograf´ıa

[1] Konstantin Athanassopoulos, Notes on Ergodic Theory of Dynamical Systems from a geo-metric point of view, Department of Mathematics, University of Crete.

[2] Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc.

[3] Ricardo Mañé,Ergodic Theory and Differentiable Dynamics, Springer-verlag, 1987. [4] I.P. Cornfeld, S.V. Fomin and Ya. G. Sinai,Ergodic Theory, Springer-Verlag, 1982.

[5] F. Galaz Fontes,Elementos de análisis funcional, Centro de Investigación en Matemáticas, México, 2006.

[6] M. Cruz López,Dinámica en Grupos Abelianos Compactos, Departamento de Matemáticas, Universidad de Guanajuato, 2009.