Funciones vectoriales

(1)

833

12

Funciones vectoriales

En este capítulo se introduce el concepto

de funciones vectoriales. También

pueden emplearse para estudiar curvas en

el plano y en el espacio. Esas funciones

también pueden usarse para estudiar el

movimiento de un objeto a lo largo de

una curva.

En este capítulo, se aprenderá:

n

Cómo analizar y bosquejar una curva

en el espacio representada por una

función vectorial. Cómo aplicar los

conceptos de límites y continuidad a

las funciones vectoriales. (

12.1

)

n

Cómo derivar e integrar funciones

vectoriales. (

12.2

)

n

Cómo describir la velocidad y

aceleración asociada con una función

vectorial y cómo usar una función

vectorial para analizar el movimiento

de proyectiles. (

12.3

)

n

Cómo encontrar vectores tangentes y

vectores normales. (

12.4

)

n

Cómo encontrar la longitud de arco y

la curvatura de una curva. (

12.5

)

833

12

Vector-Valued Functions

A vector-valued function maps real numbers to vectors. You can use a vector-valued function to represent the motion of a particle along a curve. In Section 12.3, you will use the first and second derivatives of a position vector to find a particle’s velocity and acceleration.

a(0) v(0) a(1) v(1) a(0) v(0) a(0) v(0) a(1) v(1) a(2) v(2) a(0) v(0) a(1) v(1) a(2) v(2) a(3) v(3)

Jerry Driendl/Getty Images

This chapter introduces the concept of

vector-valued functions. Vector-valued

functions can be used to study curves in

the plane and in space. These functions

can also be used to study the motion of

an object along a curve.

In this chapter, you should learn the

following.

■

_{How to analyze and sketch a space}

curve represented by a vector-valued

function. How to apply the concepts of

limits and continuity to vector-valued

functions. (12.1)

■

_{How to differentiate and integrate}

vector-valued functions. (

12.2

)

■

_{How to describe the velocity and}

acceleration associated with a

vector-valued function and how to use a

vector-valued function to analyze

projectile motion. (12.3)

■

_{How to find tangent vectors and normal}

vectors. (

12.4

)

■

_{How to find the arc length and curvature}

of a curve. (12.5)

A Ferris wheel is constructed using the basic principles of a bicycle wheel. You can use a vector-valued function to analyze the motion of a Ferris wheel, including its position and velocity. (See P.S. Problem Solving, Exercise 14.)

■

1053714_cop12.qxd 10/27/08 11:47 AM Page 833

Una rueda de la fortuna está construida usando los principios básicos de una bicicleta. Se puede usar una función vectorial para analizar el movimiento de una rueda de la fortuna, incluidas su posición y velocidad. (Ver solución de problemas, ejercicio 14.)

Una función vectorialmapea números reales a vectores. Se puede usar una función vectorial para representar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva. En la sección 12.3 se usarán la primera y segunda derivadas de un vector de posición para encontrar la velocidad y aceleración de una partícula.

a(0) v(0) a(1) v(1) a(0) v(0) a(0) v(0) a(1) v(1) a(2) v(2) a(3) v(3) a(0) v(0) a(1) v(1) a(2) v(2) 12-1.qxd 3/12/09 18:08 Page 833

(2)

834

CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

12.1 Funciones vectoriales

n Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial. n Extender los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.

Curvas en el espacio y funciones vectoriales

En la sección 10.2 se definió una

curva plana

como un conjunto de pares ordenados

junto con sus ecuaciones paramétricas

y

donde y son funciones continuas de

t

en un intervalo

I

. Esta definición puede

exten-derse de manera natural al espacio tridimensional como sigue. Una curva en el espacio C

es un conjunto de todas las ternas ordenadas

junto con sus ecuaciones

paramétricas

y

donde ƒ,

g

y

h

son funciones continuas de

t

en un intervalo

I

.

Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de función,

llamada función vectorial. Este tipo de función asigna vectores a números reales.

Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de

pun-tos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma

gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por

tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la

misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras.

Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r y las

fun-ciones reales ƒ,

g

y

h

. Todas son funciones de la variable real

t

, pero r(

t

) es un vector,

mien-tras que ƒ(

t

),

g

(

t

) y

h

(

t

) son números reales (para cada valor específico de

t

).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas.

Tomando como parámetro

t

, que representa el tiempo, se puede usar una función

vecto-rial para representar el

movimiento

a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se

puede usar una función vectorial para

trazar la gráfica

de una curva. En ambos casos, el

punto final del vector posición r(

t

) coincide con el punto (

x

,

y

) o (

x

,

y

,

z

) de la curva dada

por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha

en la curva indica la

orientación

de la curva apuntando en la dirección de valores

cre-cientes de

t

.

Analyze and sketch a space curve given by a vector-valued function. Extend the concepts of limits and continuity to vector-valued functions.

Space Curves and Vector-Valued Functions

In Section 10.2, a plane curve was defined as the set of ordered pairs

together with their defining parametric equations

and

where and

are continuous functions of on an interval

This definition can be

extended naturally to three-dimensional space as follows. A space curve

is the set

of all ordered triples

together with their defining parametric equations

and

where

and are continuous functions of on an interval

Before looking at examples of space curves, a new type of function, called a

vector-valued function, is introduced. This type of function maps real numbers to

vectors.

Technically, a curve in the plane or in space consists of a collection of points and

the defining parametric equations. Two different curves can have the same graph. For

instance, each of the curves given by

y

has the unit circle as its graph, but these equations do not represent the same curve—

because the circle is traced out in different ways on the graphs.

Be sure you see the distinction between the vector-valued function

and the

real-valued functions

and

All are functions of the real variable

but

is a

vector, whereas

and

are real numbers for each specific value of .

Vector-valued functions serve dual roles in the representation of curves. By

letting the parameter

represent time, you can use a vector-valued function to

represent motion along a curve. Or, in the more general case, you can use a

vector-valued function to trace the graph of a curve. In either case, the terminal point of the

position vector

coincides with the point

or

on the curve given by the

parametric equations, as shown in Figure 12.1. The arrowhead on the curve indicates

the curve’s orientation by pointing in the direction of increasing values of t.

x, y, z

x, y

r t

t

h t

g t ,

f t ,

r t

t,

h.

g,

f,

r

r t

sen t

2

_i

_{cos t}

2

_j

r t

sen t i

cos t j

I. t

h

g,

f,

z

h t

y

g t ,

x

f t ,

f t , g t , h t

C

I. t

g

f

y

g t

x

f t

f t , g t

834 Chapter 12 Vector-Valued Functions

12.1 Vector-Valued Functions

DEFINITION OF VECTOR-VALUED FUNCTION

A function of the form

Plane

or

Space

is a vector-valued function, where the component functions

and are

real-valued functions of the parameter Vector-valued functions are sometimes

denoted as

r t

f t , g t

or r t

f t , g t , h t .

t.

h

g,

f,

r t

f t i

g t j

h t k

r t

f t i

g t j

x r(t₀) r(t₁) r(t₂) Curve in a plane C y Curve in space C x y r(t₀) r(t₁) r(t₂) z

Curve is traced out by the terminal point of position vector Figure 12.1 rt. C 1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 834

z

5 h

s

t

d

y

5 g

s

t

d

,

x

5 f

s

t

d

,

s

f

s

t

d

,

g

s

t

d

,

h

s

t

dd

g

f

y

5 g

s

t

d

x

5 f

s

t

d

s

f

s

t

d

,

g

s

t

dd

Curva en el espacio C x y r(t₀) r(t₁) r(t₂) z x r(t₀) r(t₁) r(t₂) Curva en un plano C y

La curva Ces trazada por el punto final del vector posición r(t)

Figura 12.1

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL

Una función de la forma

Plano.

o

Espacio.

es una función vectorial, donde las funciones componentes

ƒ

,

g

y

h

son funciones

del parámetro

t

. Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como

o r

s

t

d

5 k

f

s

t

d

,

g

s

t

d

,

h

s

t

dl

.

r

s

t

d

5 k

f

s

t

d

,

g

s

t

dl

r

s

t

d

5 f

s

t

d

i

1 g

s

t

d

j

1 h

s

t

d

k

r

s

t

d

5 f

s

t

d

i

1 g

s

t

d

j

(3)

SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales

835 A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función

vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ,

g

y

h

. Por

ejemplo, el dominio de

es el intervalo

EJEMPLO 1

Trazado de una curva plana

Dibujar la curva plana representada por la función vectorial

Función vectorial.

Solución

A partir del vector de posición r(

t

), se pueden dar las ecuaciones paramétricas

x

5 2 cos

t

y

5 2

3 sen

t

. Despejando cos

t

y sen

t

y utilizando la identidad cos

2

_t

₁

sen

2

_t

₅

_{1 se obtiene la ecuación rectangular}

Ecuación rectangular.

La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva

está orientada en el

sentido de las manecillas del reloj

. Es decir, cuando

t

aumenta de 0 a

2

p

, el vector de posición r(

t

) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus

pun-tos finales describen la elipse.

EJEMPLO 2

Trazado de una curva en el espacio

Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial

Función vectorial.

Solución

De las dos primeras ecuaciones paramétricas

y

5 4 sen

t

, se

obtiene

Ecuación rectangular.

Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado

en el eje

z

. Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica

En la figura 12.3, nótese que a medida que

t

crece de 0 a

el punto

sube

en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real

se muestra en el dibujo inferior de la izquierda.

En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva

corres-pondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una

fun-ción vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma

paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por

ejem-plo, para representar en el espacio la recta dada por

y

5

3 t

y

se usa simplemente la función vectorial dada por

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de

repre-sentar la gráfica mediante una función vectorial se reduce a hallar un conjunto de

ecua-ciones paramétricas.

r

s

t

d

5 s

2

1 t

d

i

1

3 t

j

1 s

4

2 t

d

k.

z

5

4

2 t

x

5

2

1 t

,

s

x

,

y

,

z

d

4 p

,

z

5 t

.

x

2

1 _y

2

5 _16.

x

5 4 cos

t

0

≤

t

≤

4 p

.

r

s

t

d

5 4 cos

t

i

1 4 sin

t

j

1 t

k,

x

2

1 y

2

3

2

5

1.

0

≤

t

≤

2p.

r

s

t

d

5 2 cos

t

i

2 3 sin

t

j,

s

0, 1

g

.

r

s

t

d

5 s

ln

t

d

i

1

!

1

2 t

j

1 t

k

x2 + y2 = 16 Cilindro: (4, 0, 4 ) (4, 0, 0) 4 π π x y 4 r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + tk z x r(t) = 2 cos ti − _{3 sen tj} −3 −1 1 3 2 1 y

La elipse es trazada en el sentido de las manecillas del reloj a medida que t aumen-ta de 0 a 2p

Figura 12.2

A medida que tcrece de 0 a se describen dos espirales sobre la hélice Figura 12.3

4p,

En 1953 Francis Crick y James D.

Watson descubrieron la estructura de

doble hélice del ADN.

sen

ln

t

12-1.qxd 3/12/09 18:08 Page 835

(4)

836 EJEMPLO 3

Representación de una gráfica mediante

una función vectorial

Representar la parábola

mediante una función vectorial.

Solución

Aunque hay muchas maneras de elegir el parámetro

t

, una opción natural es

tomar

Entonces

y se tiene

Función vectorial.

Nótese en la figura 12.4 la orientación obtenida con esta elección particular de parámetro.

Si se hubiera elegido como parámetro

, la curva hubiera estado orientada en

direc-ción opuesta.

EJEMPLO 4

Representación de una gráfica mediante

una función vectorial

Dibujar la gráfica

C

representada por la intersección del semielipsoide

y el cilindro parabólico

Después, hallar una función vectorial que represente la

gráfica.

Solución

En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el

ejemplo 3, una opción natural para el parámetro es

Con esta opción, se usa la

ecuación dada

para obtener

Entonces

Como la curva se encuentra sobre el plano

xy,

hay que elegir para

z

la raíz cuadrada

posi-tiva. Así se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes.

y

La función vectorial resultante es

Función vectorial.

(Obsérvese que el componente k de r(

t

) implica

De los puntos (

2 2, 4, 0)

y (2, 4, 0) que se muestran en la figura 12.5, se ve que la curva es trazada a medida que

t

crece de

2 2 a 2.

EXAMPLE

3 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Represent the parabola given by

by a vector-valued function.

Solution

Although there are many ways to choose the parameter a natural choice

is to let

Then

and you have

Vector-valued function

Note in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter.

Had you chosen

as the parameter, the curve would have been oriented in the

opposite direction.

EXAMPLE

4 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Sketch the space curve

represented by the intersection of the semiellipsoid

and the parabolic cylinder

Then, find a vector-valued function to represent the

graph.

Solution

The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in

Example 3, a natural choice of parameter is

For this choice, you can use the

given equation

to obtain

Then, it follows that

Because the curve lies above the

plane, you should choose the positive square root

for and obtain the following parametric equations.

and

The resulting vector-valued function is

Note that the -component of

implies

From the points

and

shown in Figure 12.5, you can see that the curve is traced as increases

from

to 2.

The curve is the intersection of the semiellipsoid and the parabolic cylinder.

Figure 12.5 ■ C y 4 2 5 C: x = t y = t2 (6 + t2₎₍₄−_t2₎ 6 z = Curve in space Parabolic cylinder Ellipsoid (2, 4, 0) (−_{2, 4, 0)} (0, 0, 2) z

2

2 t

s

2, 4, 0

d

s

2 2, 4, 0

d

2

2 #

t

#

2. d

r

s

t

d

k

s

2

2 #

t

#

2. r

s

t

d

5 t

i

1 t

2

_j

1 !

s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

6 k

,

z

5 !

s

6

1 t

2

ds

₄

₂

_t

2

d

6 y

5 t

2

_,

x

5 t

,

z

xy

-z

2

4

5

1

2 x

2

12

2 y

2

24

5

1

2 t

2

12

2 t

4

24

5

24

2

2 t

2

2 _t

4

24

5 s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

24 .

y

5 t

2

_.

y

5 x

2

x

5 t

.

y

5 x

2

_.

z

$

0 x

2

12

1 y

2

24

1 z

2

4

5 1,

C

x

5 2

t

r

s

t

d

5 t

i

1 s

t

2

1 ₁

d

_j

_.

y

5 t

2

1 ₁

x

5 t

.

t

,

y

5 x

2

1 ₁

5 4 3 2 2 −1 −2 1 x t = 2 t = 1 t = −₁ y = x2_{+ 1} t = 0 t = −₂ y

There are many ways to parametrize this graph. One way is to let

Figure 12.4

x5t.

NOTE Curves in space can be specified in various ways. For instance, the curve in Example 4 is described as the intersection of two surfaces in space.

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 836

EXAMPLE

3 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Represent the parabola given by

by a vector-valued function.

Solution

Although there are many ways to choose the parameter a natural choice

is to let

Then

and you have

Note in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter.

Had you chosen

as the parameter, the curve would have been oriented in the

opposite direction.

EXAMPLE

4 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Sketch the space curve

represented by the intersection of the semiellipsoid

and the parabolic cylinder

Then, find a vector-valued function to represent the

graph.

Solution

The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in

Example 3, a natural choice of parameter is

For this choice, you can use the

given equation

to obtain

Then, it follows that

Because the curve lies above the

plane, you should choose the positive square root

for and obtain the following parametric equations.

and

The resulting vector-valued function is

Note that the -component of

implies

From the points

and

shown in Figure 12.5, you can see that the curve is traced as increases

from

to 2.

Figure 12.5 ■ C y 4 2 5 C: x = t y = t2 (6 + t2₎₍₄−t2₎ 6 z = Curve in space Parabolic cylinder Ellipsoid (2, 4, 0) (−_{2, 4, 0)} (0, 0, 2) z

2

2 t

s

2, 4, 0

d

s

2 2, 4, 0

d

2

2 #

t

#

2. d

r

s

t

d

k

s

2

2 #

t

#

2. r

s

t

d

5 t

i

1 t

2

_j

₁

!

s

6

1 t

2

ds

4

2 t

2

d

6 k

,

z

5 !

s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

6 y

5 t

2

_,

x

5 t

,

z

xy

-z

2

4

5

1

2 x

2

12

2 y

2

24

5

1

2 t

2

12

2 t

4

24

5

24

2

2 t

2

2 _t

4

24

5 s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

24 .

y

5 t

2

_.

y

5 x

2

x

5 t

.

y

5 x

2

_.

z

$

0 x

2

12

1 y

2

24

1 z

2

4

5 1,

C

x

5 2

t

r

s

t

d

5 t

i

1 s

t

2

1 ₁

d

_j

_.

y

5 t

2

1 ₁

x

5 t

.

t

,

y

5 x

2

1 ₁

5 4 3 2 2 −1 −2 1 x t = 2 t = 1 t = −₁ y = x2_{+ 1} t = 0 t = −2 y

Figure 12.4

x5t.

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 836

EXAMPLE

3 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Represent the parabola given by

by a vector-valued function.

Solution

Although there are many ways to choose the parameter a natural choice

is to let

Then

and you have

Note in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter.

Had you chosen

as the parameter, the curve would have been oriented in the

opposite direction.

EXAMPLE

4 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Sketch the space curve

represented by the intersection of the semiellipsoid

and the parabolic cylinder

Then, find a vector-valued function to represent the

graph.

Solution

The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in

Example 3, a natural choice of parameter is

For this choice, you can use the

given equation

to obtain

Then, it follows that

Because the curve lies above the

plane, you should choose the positive square root

for and obtain the following parametric equations.

and

The resulting vector-valued function is

Note that the -component of

implies

From the points

and

shown in Figure 12.5, you can see that the curve is traced as increases

from

to 2.

Figure 12.5 ■ C y 4 2 5 C: x = t y = t2 (6 + t2₎₍₄−_t2₎ 6 z = Curve in space Parabolic cylinder Ellipsoid (2, 4, 0) (−_{2, 4, 0)} (0, 0, 2) z

2

2 t

s

2, 4, 0

d

s

2 2, 4, 0

d

2

2 #

t

#

2. d

r

s

t

d

k

s

2

2 #

t

#

2. r

s

t

d

5 t

i

1 t

2

_j

₁

!

s

6

1 t

2

ds

4

2 t

2

d

6 k

,

z

5 !

s

6

1 t

2

ds

₄

₂

_t

2

d

6 y

5 t

2

_,

x

5 t

,

z

xy

-z

2

4

5

1

2 x

2

12

2 y

2

24

5

1

2 t

2

12

2 t

4

24

5

24

2

2 t

2

2 _t

4

24

5 s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

24 .

y

5 t

2

_.

y

5 x

2

x

5 t

.

y

5 x

2

_.

z

$

0 x

2

12

1 y

2

24

1 z

2

4

5 1,

C

x

5 2

t

r

s

t

d

5 t

i

1 s

t

2

1 ₁

d

_j

_.

y

5 t

2

1 ₁

x

5 t

.

t

,

y

5 x

2

1 ₁

5 4 3 2 2 −1 −2 1 x t = 2 t = 1 t = −₁ y = x2_{+ 1} t = 0 t = −₂ y

Figure 12.4

x5t.

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 836

y

5 t

2

_,

x

5 t

,

EXAMPLE

3 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Represent the parabola given by

by a vector-valued function.

Solution

Although there are many ways to choose the parameter a natural choice

is to let

Then

and you have

Note in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter.

Had you chosen

as the parameter, the curve would have been oriented in the

opposite direction.

EXAMPLE

4 Representing a Graph by a Vector-Valued Function

Sketch the space curve

represented by the intersection of the semiellipsoid

and the parabolic cylinder

Then, find a vector-valued function to represent the

graph.

Solution

The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in

Example 3, a natural choice of parameter is

For this choice, you can use the

given equation

to obtain

Then, it follows that

Because the curve lies above the

plane, you should choose the positive square root

for and obtain the following parametric equations.

and

The resulting vector-valued function is

Note that the -component of

implies

From the points

and

shown in Figure 12.5, you can see that the curve is traced as increases

from

to 2.

Figure 12.5 ■ C y 4 2 5 C: x = t y = t2 (6 + t2₎₍₄−t2₎ 6 z = Curve in space Parabolic cylinder Ellipsoid (2, 4, 0) (−_{2, 4, 0)} (0, 0, 2) z

2

2 t

s

2, 4, 0

d

s

2 2, 4, 0

d

2

2 #

t

#

2. d

r

s

t

d

k

s

2

2 #

t

#

2. r

s

t

d

5 t

i

1 t

2

_j

₁

!

s

6

1 t

2

ds

4

2 t

2

d

6 k

,

z

5 !

s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

6 y

5 t

2

_,

x

5 t

,

z

xy

-z

2

4

5

1

2 x

2

12

2 y

2

24

5

1

2 t

2

12

2 t

4

24

5

24

2

2 t

2

2 _t

4

24

5 s

6

1 t

2

ds

₄

2 _t

2

d

24 .

y

5 t

2

_.

y

5 x

2

x

5 t

.

y

5 x

2

_.

z

$

0 x

2

12

1 y

2

24

1 z

2

4

5 1,

C

x

5 2

t

r

s

t

d

5 t

i

1 s

t

2

1 ₁

d

_j

_.

y

5 t

2

1 ₁

x

5 t

.

t

,

y

5 x

2

1 ₁

5 4 3 2 2 −1 −2 1 x t = 2 t = 1 t = −₁ y = x2_{+ 1} t = 0 t = −₂ y

Figure 12.4

x5t.

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 836

y

5 t

2

_.

y

5 x

2

x

5 t

.

y

5 x

2

_.

z

≥

0 x

2

12

1 y

2

24

1 z

2

4

5 1,

x

5 2

t

r

s

t

d

5 t

i

1 s

t

2

1 ₁

d

_j.

y

5 t

2

1 ₁

x

5 t

.

y

5 x

2

1 ₁

5 4 3 2 2 −1 −2 1 x t = 2 t = 1 t = −₁ y = x2_{+ 1} t = 0 t = −₂ y

Hay muchas maneras de parametrizar esta gráfica. Una de ellas es tomar x5t Figura 12.4 y x 4 2 5 C: x = t y = t2 (6 1t2₎₍₄₂_t2₎ 6 z = Curva en el espacio Cilindro parabólico Elipsoide (2, 4, 0) (−_{2, 4, 0)} (0, 0, 2) z

Las curvas en el espacio pue-den especificarse de varias maneras. Por ejemplo, la curva del ejemplo 4 se describe como la intersección de dos superficies en el espacio. n

NOTA

La curva Ces la intersección del semielipsoide y el cilindro parabólico Figura 12.5

(5)

837 Límites y continuidad

Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se

pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden

sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente.

La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y

extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para

sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene

Suma.

Resta.

De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar se tiene

Multiplicación escalar.

División escalar.

Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a

funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de

una función vectorial.

Si

tiende al vector

cuando

la longitud del vector

tiende a 0. Es

decir,

cuando

Esto se ilustra de manera gráfica en la figura 12.6. Con esta definición del límite de una

función vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los

teo-remas del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones

vectoriales es la suma de sus límites individuales. También, se puede usar la orientación

de la curva r(

t

) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición

siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.

t

→

a

.

i

r

s

t

d

2 L

i

→

0 r

s

t

d

2 L

t

→

a

,

L

r

s

t

d

5 f

1

s

t

d

c

i

1 g

1

s

t

d

c

j.

c

Þ

0 r

s

t

d

c

5 f

f

₁

s

t

d

i

1 g

₁

s

t

d

j

g

c

,

5 cf

₁

s

t

d

i

1 cg

₁

s

t

d

j

c

r

s

t

d

5 c

f

₁

s

t

d

i

1 g

₁

s

t

d

j

g

5 f

f

1

s

t

d

2 f

2

s

t

dg

i

1 f

g

1

s

t

d

2 g

2

s

t

dg

j.

r

₁

s

t

d

2 r

₂

s

t

d

5 f

f

₁

s

t

d

i

1 g

₁

s

t

d

j

g

2 f

f

₂

s

t

d

i

1 g

₂

s

t

d

j

g

5 f

f

₁

s

t

d

1 f

₂

s

t

dg

i

1 f

g

₁

s

t

d

1 g

₂

s

t

dg

j

r

1

s

t

d

1 r

2

s

t

d

5 f

f

1

s

t

d

i

1 g

1

s

t

d

j

g

1 f

f

2

s

t

d

i

1 g

2

s

t

d

j

g

O L r(t) r(t ) − L O L r(t)

A medida que ttiende a a, r(t) tiende al límite L. Para que el límite Lexista, no es necesario que r(a) esté definida o quer(a) sea igual a L

Figura 12.6

DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

1. Si es una función vectorial tal que

entonces

Plano.

siempre que existan los límites de y cuando

2. Si es una función vectorial tal que

entonces

Espacio.

siempre que existan los límites de

f,

g

y cuando

h

t

→

a.

lim

t→a

r

s

t

d

5

3 lim

t→a

f

s

t

d

4 i

1

3

t

lim

→a

g

s

t

d

4 j

1

3 lim

t→a

h

s

t

d

4 k

r

s

t

d

5 f

s

t

d

i

1 g

s

t

d

j

1 h

s

t

d

k,

r

t

→

a.

g

f

lim

t→a

r

s

t

d

5

3

t

lim

→a

f

s

t

d

4 i

1

3 lim

t→a

g

s

t

d

4 j

r

s

t

d

5 f

s

t

d

i

1 g

s

t

d

j,

r

lím

12-1.qxd 3/12/09 18:08 Page 837

(6)

838 De acuerdo con esta definición, una función vectorial es continua en

si y sólo si

cada una de sus funciones componentes es continua en

EJEMPLO 5

Continuidad de funciones vectoriales

Analizar la continuidad de la función vectorial

aes una constante.

cuando

Solución

Cuando

t

tiende a 0, el límite es

Como

se concluye que r es continua en

Mediante un razonamiento similar, se concluye

que la función vectorial r es continua en todo valor real de

t

.

Para cada

la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5,

aes una constante.

es una parábola. Uno se puede imaginar cada una de estas parábolas como la intersección

del plano vertical

con el paraboloide hiperbólico

como se muestra en la figura 12.7.

y

2

2 _x

2

5 _z

y

5 a

r

s

t

d

5 t i

1 a j

1 s

a

2

₂

_t

2

d

_k

a,

t

5

0.

5 a j

1 a

2

_k.

5 0 i

1 a j

1 a

2

_k

lim

t→0

r

s

t

d

5

3 lim

t→0

t

4 i

1

3 lim

t→0

a

4 j

1

3 lim

t→0

s

a

2

2 _t

2

d

4 _k

t

5

0. r

s

t

d

5 t i

1 a j

1 s

a

2

2 _t

2

d

_k

t

5 a.

t

5 a

y x 2 4 4 −4 2 4 6 8 10 12 14 16 a = −4 a = −₂ a = 4 a = 2 a = 0 z

Para todo a, la curva representada por la función vectorial

es una parábola Figura 12.7

rstd5ti1aj1sa2₂_t2d_k

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Una función vectorial r es continua en un punto dado por

si el límite de

cuando existe

y

Una función vectorial r es continua en un intervalo

I

si es continua en todos los

puntos del intervalo.

lim

t→a

r

s

t

d

5 r

s

a

d

.

t

→

a

r

s

t

d

t

5 a

TECNOLOGÍA

Casi cualquier tipo de dibujo tridimensional es difícil hacerlo a

mano, pero trazar curvas en el espacio es especialmente difícil. El problema consiste en

crear la impresión de tres dimensiones. Las herramientas de graficación usan diversas

técnicas para dar la “impresión de tres dimensiones” en gráficas de curvas en el espacio:

una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.

lím

From this definition, it follows that a vector-valued function is continuous at

if and only if each of its component functions is continuous at

EXAMPLE

5 Continuity of Vector-Valued Functions

Discuss the continuity of the vector-valued function given by

is a constant.

at

Solution

As approaches 0, the limit is

Because

you can conclude that

is continuous at

By similar reasoning, you can

conclude that the vector-valued function

is continuous at all real-number values

of

■

For each value of

the curve represented by the vector-valued function in

Example 5,

is a constant.

is a parabola. You can think of each parabola as the intersection of the vertical plane

and the hyperbolic paraboloid

as shown in Figure 12.7.

y

2

⫺

_x

2

⫽

_z

y

⫽

a

r

t

⫽

t

i

⫹

a

j

⫹

a

2

⫺

_t

2

_k

a

,

t

.

r

t

⫽

0. r

⫽

a

j

⫹

a

2

_k

r

0 ⫽

0 i

⫹

a

j

⫹

a

2

_k

⫽

a

j

⫹

a

2

_k.

⫽

0 i

⫹

a

j

⫹

a

2

_k

lim

t→0

r

t

⫽

lim

t→0

t

i

⫹

lim

t→0

a

j

⫹

lim

t→0

a

2

⫺

_t

2

_k

t

⫽

0.

a

r

t

⫽

t

i

⫹

a

j

⫹

a

2

⫺

_t

2

_k

t

⫽

a

.

t

⫽

a

y x 2 4 4 −4 2 4 6 8 10 12 14 16 a = −₄ a = −₂ a = 4 a = 2 a = 0 z

For each value of the curve represented by the vector-valued function

is a parabola. Figure 12.7

rt)⫽ti⫹aj⫹a2⫺_t2_k

a,

DEFINITION OF CONTINUITY OF A VECTOR-VALUED FUNCTION

A vector-valued function is continuous at the point given by

if the

limit of

exists as

and

A vector-valued function is continuous on an interval if it is continuous

at every point in the interval.

I

r

lim

t→a

r

t

⫽

r

a

.

t

→

_a

r

t

⫽

a

r

Almost any type of three-dimensional sketch is difficult to do by

hand, but sketching curves in space is especially difficult. The problem is in trying

to create the illusion of three dimensions. Graphing utilities use a variety of

techniques to add “three-dimensionality” to graphs of space curves: one way is to

show the curve on a surface, as in Figure 12.7.

TECHNOLOGY

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 838 12-1.qxd 3/12/09 18:08 Page 838

(7)

839

En los ejercicios 1 a 8, hallar el dominio de la función vectorial. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

En los ejercicios 9 a 12, evaluar (si es posible) la función vecto-rial en cada valor dado de

9. a) b) c) d) 10. a) b) c) d) 11. a) b) c) d) 12. a) b) c) d)

En los ejercicios 13 y 14, hallar 14.

13.

En los ejercicios 15 a 18, representar el segmento de recta desde

P hasta Q mediante una función vectorial y mediante un

con-junto de ecuaciones paramétricas.

15. P(0, 0, 0),Q(3, 1, 2) 16. P(0, 2,21), Q(4, 7, 2) 17. P (22, 5,23),Q(21, 4, 9)

18. P(1,26, 8),Q(23,22, 5)

Para pensar En los ejercicios 19 y 20, hallar ¿Es el resultado una función vectorial? Explicar.

19. ,

20. ,

En los ejercicios 21 a 24, asociar cada ecuación con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c) y d).]

21. 22. 23. 24.

25. Para pensar Las cuatro figuras siguientes son gráficas de la

función vectorial Asociar cada

una de las gráficas con el punto en el espacio desde el cual se ve la hélice. Los cuatro puntos son (220, 0, 0) y

a) b)

c) d)

26. Dibujar tres gráficas de la función vectorial vistas desde los puntos.

a) s0, 0, 20d b) s10, 0, 0d c) s5, 5, 5d

rstd5t i1t j12k

y

Generada con Mathematica

z

y

x

y x

z

y

z s10, 20, 10d. s20, 0, 0d, s0, 0, 20d, rstd54 cos t i14 sin t j1 t 4 k. 0.1 ≤ t ≤ 5 rstd5t i1ln t j12t 3 k, 22 ≤ t ≤ 2 rstd5t i1t2_j1_e0.75t_k, 21 ≤ t ≤ 1 rstd5cossptdi1sinsptdj1t2 _k, 22 ≤ t ≤ 2 rstd5t i12t j1t2_k, ustd5k4 sin t, 26 cos t, t2l rstd5k3 cos t, 2 sin t, t22l ustd5t2_i2_8j1_t3_k rstd5s3t21di11₄t3_j1_4k rxtc

?

uxtc. rstd5sin 3t i1cos 3t j1t k rstd5!t i13t j24t k

||

rxtc

||

. rs91 Dtd2rs9d rsc12d rs4d rs0d rstd5!t i1t3y2_j₁_e2ty4 _k rs11 Dtd2rs1d rst24d rs23d rs2d rstd5ln t i11 t j13t k rspy61 Dtd2rspy6d rsu 2 pd rspy4d rs0d rstd5cos t i12 sin t j rs21 Dtd2rs2d rss11d rs0d rs1d rstd51₂t2 _i2s_t2₁d_j t. Gstd5_!3_{t i}1 1 t11 j1st12dk Fstd5t3_i2_{t j}1_{t k,} rstd5Fstd3Gstd where Gstd5sin t j1cos t k Fstd5sin t i1cos t j, rstd5Fstd3Gstd where Gstd5i14t j23t2 _k Fstd5ln t i15t j23t2 _k, rstd5Fstd2Gstd where Gstd5cos t i1sin t j Fstd5cos t i2sin t j1!t k, rstd5Fstd1Gstd where rstd5sin t i14 cos t j1t k rstd5ln t i2et_j₂_{t k} rstd5!42t2_i₁_t2_j₂_{6t k}

In Exercises 1– 8, find the domain of the vector-valued function. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

In Exercises 9–12, evaluate (if possible) the vector-valued function at each given value of

9. (a) (b) (c) (d) 10. (a) (b) (c) (d) 11. (a) (b) (c) (d) 12. (a) (b) (c) (d)

In Exercises 13 and 14, find 13.

14.

In Exercises 15–18, represent the line segment from to by a vector-valued function and by a set of parametric equations.

15. 16.

17. 18.

Think About It In Exercises 19 and 20, find Is the result a vector-valued function? Explain.

19. 20.

In Exercises 21–24, match the equation with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), and (d).]

a) b) c) d) 21. 22. 23. 24.

25. Think About It The four figures below are graphs of the vector-valued function

Match each of the four graphs with the point in space from which the helix is viewed. The four points are

and

(a) (b)

(c) (d)

26. Sketch the three graphs of the vector-valued function as viewed from each point.

(a) 0, 0, 20 (b) 10, 0, 0 (c) 5, 5, 5 r t t i t j 2k y Generated by Mathematica z y x Generated by Mathematica Generated by Mathematica y x z Generated by Mathematica z 10, 20, 10 . 20, 0, 0 , 20, 0, 0 , 0, 0, 20 , r t 4 cos t i 4 sin t j t 4 k. 0.1 t 5 r t t i ln t j 2t 3 k, 2 t 2 r t t i t2_j _e0.75t_k, 1 t 1 r t cos t i sin t j t2 _k, 2 t 2 r t t i 2t j t2_k, y x z 4 2 2 4 x y z 1 1 1 y x z 2 −2 ₂ 2 4 y x z 4 −2 2 4 2 u t 4 sin t, 6 cos t, t2 r t 3 cos t, 2 sin t, t 2 , u t t2_i _8j _t3_k r t 3t 1 i 1₄t3_j _4k, r t u t . P 1, 6, 8), Q 3, 2, 5 P 2, 5, 3 , Q( 1, 4, 9 P 0, 2, 1 , Q 4, 7, 2 P 0, 0, 0 , Q 3, 1, 2 Q P r t sin 3t i cos 3t j t k r t t i 3t j 4t k r t . r 9 t r 9 r c 2 r 4 r 0 r t t i t3 2_j _e t 4 _k r 1 t r 1 r t 4 r 3 r 2 r t ln t i 1 t j 3t k r 6 t r 6 r r 4 r 0 r t cos t i 2 sin t j r 2 t r 2 r s 1 r 0 r 1 r t 1₂t2 _i _t _{1 j} t. G t 3_{t i} 1 t 1 j t 2 k F t t3_i _{t j} _{t k,} r t F t G t where G t sin t j cos t k F t sin t i cos t j, r t F t G t where G t i 4t j 3t2 _k F t ln t i 5t j 3t2 _k, r t F t G t where G t cos t i sin t j F t cos t i sin t j t k, r t F t G t where r t sin t i 4 cos t j t k r t ln t i et_j _{t k} r t 4 t2_i _t2_j _{6t k} r t 1 t 1i t 2j 3tk 12.1 Vector-Valued Functions 839

12.1 Exercises

See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 839 sen donde sen sen donde donde donde sen sen sen sen sen sen sen sen

12.1 Ejercicios

In Exercises 1– 8, find the domain of the vector-valued function. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

In Exercises 9–12, evaluate (if possible) the vector-valued function at each given value of

9. (a) (b) (c) (d) 10. (a) (b) (c) (d) 11. (a) (b) (c) (d) 12. (a) (b) (c) (d)

In Exercises 13 and 14, find 13.

14.

In Exercises 15–18, represent the line segment from to by a vector-valued function and by a set of parametric equations.

15. 16.

17. 18.

Think About It In Exercises 19 and 20, find Is the result a vector-valued function? Explain.

19. 20.

In Exercises 21–24, match the equation with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), and (d).]

a) b) c) d) 21. 22. 23. 24.

25. Think About It The four figures below are graphs of the vector-valued function

Match each of the four graphs with the point in space from which the helix is viewed. The four points are

and

(a) (b)

(c) (d)

26. Sketch the three graphs of the vector-valued function as viewed from each point.

(a) 0, 0, 20 (b) 10, 0, 0 (c) 5, 5, 5 r t t i t j 2k y Generated by Mathematica z y x Generated by Mathematica Generated by Mathematica y x z Generated by Mathematica z 10, 20, 10 . 20, 0, 0 , 20, 0, 0 , 0, 0, 20 , r t 4 cos t i 4 sin t j t 4 k. 0.1 t 5 r t t i ln t j 2t 3 k, 2 t 2 r t t i t2_j _e0.75t_k, 1 t 1 r t cos t i sin t j t2 _k, 2 t 2 r t t i 2t j t2_k, y x z 4 2 2 4 x y z 1 1 1 y x z 2 −2 2 2 4 y x z 4 −2 2 4 2 u t 4 sin t, 6 cos t, t2 r t 3 cos t, 2 sin t, t 2 , u t t2_i _8j _t3_k r t 3t 1 i 1₄t3_j _4k, r t u t . P 1, 6, 8), Q 3, 2, 5 P 2, 5, 3 , Q( 1, 4, 9 P 0, 2, 1 , Q 4, 7, 2 P 0, 0, 0 , Q 3, 1, 2 Q P r t sin 3t i cos 3t j t k r t t i 3t j 4t k r t . r 9 t r 9 r c 2 r 4 r 0 r t t i t3 2_j _e t 4 _k r 1 t r 1 r t 4 r 3 r 2 r t ln t i 1 t j 3t k r 6 t r 6 r r 4 r 0 r t cos t i 2 sin t j r 2 t r 2 r s 1 r 0 r 1 r t 1₂t2 _i _t _{1 j} t. G t 3_{t i} 1 t 1 j t 2 k F t t3_i _{t j} _{t k,} r t F t G t where G t sin t j cos t k F t sin t i cos t j, r t F t G t where G t i 4t j 3t2 _k F t ln t i 5t j 3t2 _k, r t F t G t where G t cos t i sin t j F t cos t i sin t j t k, r t F t G t where r t sin t i 4 cos t j t k r t ln t i et_j _{t k} r t 4 t2_i _t2_j _{6t k} r t 1 t 1i t 2j 3tk 12.1 Vector-Valued Functions 839

12.1 Exercises

See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

1053714_1201.qxp 10/27/08 11:48 AM Page 839 12-1.qxd 3/12/09 18:08 Page 839