FORMULARIO. x N+1 si N es impar. si N es par

FORMULARIO ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA

Datos: {x1, x2, ..., xN} Media: ¯x = PNi=1xi

N

Mediana: {x1, x2, ..., xN} ordenados de menor a mayor

Me=      xN+1 2 siN es impar xN 2+xN2 +1 2 siN es par

Moda: Valor muestral con la frecuencia m´as alta Percentiles: k-´esimo percentil

1. Ordenar las N observaciones de menor a mayor 2. Calcular N·k

100

(a) Si N·k

100 no es un entero: considerar el entero inmediato posterior y determinar

el valor ordenado correspondiente (b) SiN·k

100 es un entero, digamosj: calcular la media de las observaciones ordenadas j-´esima y (j+ 1)-´esima

Rango: maxi=1,...,N{xi}- mini=1,...,N{xi}

Rango intercuart´ılico: Diferencia entre el tercer y primer cuartil Varianza: s2 ₌ PNi=1(xi−¯x)2 N−1 = PN i=1x2i−N¯x2 N−1 Desviaci´on t´ıpica: s = q_PN i=1(xi−¯x)2 N−1 = q_PN i=1x2i−Nx¯2 N−1

Coeficiente de variaci´on: s

¯ x Coeficiente de asimetr´ıa: CA = PN i=1 (xi−x¯)3 N−1 s3 Coeficiente de curtosis: CC = PN i=1 (xi−x¯)4 N−1 s4 Datos: {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)} Covarianza: sxy = PN i=1(xi−¯x)(yi−¯y) N−1 = PN i=1xiyi−Nx¯y¯ N−1

Recta de regresi´on de Y sobre X: y - ¯y =rxys_sy_x(x−x¯) Y =a+b·X : b= N P_N i=1xi·yi−( P_N i=1xi)·( P_N i=1yi) N(PN_i=1x2 i)−( P_N i=1xi)2 ; a= P_N i=1yi−b( P_N i=1xi) N

Coeficiente de determinaci´on: R2 _=r2

xy X \ Y y1 ... yj ... yc Total x1 o11 ... o1j ... o1c T1. ... ... ... ... ... ... xi oi1 ... oij ... oic Ti. ... ... ... ... ... ... xr or1 ... orj ... orc T1. Total T.1 ... T.j ... T.c T

Ti. es el total de observaciones de la fila i-´esima,T.j es el total de observaciones de la columna j-´esima y T es el total de observaciones.

El coeficiente de contingencia es:

C = s

χ2 T +χ2

dondeχ2 _{se calcula de la siguiente forma:} χ2 ₌ r X i=1 c X j=1 (oij −eij)2 eij , siendoeij = Ti. · T.j / T PROBABILIDAD Leyes de DeMorgan: (∩ iAi) c _{= ∪} iA c i y (∪_iAi)c =∩ iA c i P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C) -P(A∩B) -P(A∩C) -P(B∩C) +P(A∩B∩C) P(A1∩A2∩...∩Ak) =P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)·. . .·P(Ak|A1∩A2∩...∩Ak−1) A1,A2,...,Akindependientes: P(A1∩A2∩...∩Ak) =P(A1)·P(A2)·P(A3)·. . .·P(Ak)

Teorema de la probabilidad total: P(A) = PN_i=1P(Bi)P(A|Bi) Teorema de Bayes: P(Bk|A) = P(Bk_P)P_(A(A₎|Bk) DISTRIBUCIONES DISCRETAS: Uniforme discreta: P(X =xi) = 1 n i = 1, ..., n Binomial(n, p): P(X =x) = µ n x ¶ px_qn−x_{, x= 0,1, ..., n, q = 1−p µ =n·p, y σ}2 _=n·p·q µ n x ¶ = n! x!·(n−x)! siendo n! = n·(n−1)·(n−2)·...·2·1 Poisson(λ): P(X =x) = e −λ_λx x! , x= 0, 1, 2, 3, ... (x ∈ N) µ= λ y σ 2 _{= λ}

Sea X ∼ Bi(n, p). Si n es grande, p peque˜na yn·p moderada, podremos aproximar X

por una Poisson (n·p) ESTIMACI ´ON

Estimador puntual dep: X

N, donde X es el n´umero de ´exitos en los N experimentos Estimador puntual de µ: X

Estimador puntual de σ2_{: S}2 ₌ PNi=1(Xi−X)2

N−1

INTERVALOS DE CONFIANZA:tama˜no muestral =N, nivel de significaci´onα

• A) Intervalo de confianza para µ, con σ2 _{conocida: (x - z}

α/2√σ_N), x + zα/2√σ_N) con

P(Z ≥zα/2) = α/2, Z ∼ N(0,1)

• B) Intervalo de confianza para µ, con σ2 _{desconocida, para Normales:}

(x-tα/2√s_N),x+tα/2√s_N) con P(T≥tα/2) =α/2, T es t- Student conN−1 grados

de libertad

• C) Intervalo de confianza para µ, con σ2 _{desconocida y N grande (N ≥ 30):}

• Selecci´on del tama˜no de la muestra (media): N = (zα/2 ·σ

Error )2

• D) Intervalo de confianza para la diferencia de mediasµ1-µ2, conσ21 yσ22 conocidas,

para muestras aleatorias independientes (N1 = tama˜no muestral de la muestra de

la poblaci´on 1, N2 = tama˜no muestral de la muestra de la poblaci´on 2):

(x1 - x2 ±zα/2 q σ2 1 N1 + σ2 2 N2) con P(Z ≥zα/2) = α/2, Z ∼ N(0,1)

• E) Intervalo de confianza para la diferencia de medias µ1 -µ2, conσ2

1 y σ22

descono-cidas, para muestras aleatorias independientes y tama˜nos muestrales grandes (N1

= tama˜no muestral de la muestra de la poblaci´on 1, N2 = tama˜no muestral de la

muestra de la poblaci´on 2): (x1 - x2 ±zα/2 q s2 1 N1 + s2 2 N2) con P(Z ≥zα/2) = α/2, Z ∼ N(0,1)

• F) Intervalo de confianza para la diferencia de medias µ1 - µ2 de poblaciones

nor-males independientes, con varianzas desconocidas pero iguales (σ2

1 = σ22) (N1 =

tama˜no muestral de la muestra de la poblaci´on 1, N2 = tama˜no muestral de la

muestra de la poblaci´on 2): (x1 - x2 ± tα/2 q (N1−1)s2 1+(N2−1)s22 N1+N2−2 q N1+N2 N1N2 ) con P(T ≥ tα/2) = α/2, T es t-Student

con N1+N2−2 grados de libertad

• G) Intervalo de confianza para la diferencia de medias µ1 - µ2 de poblaciones

nor-males independientes, con varianzasσ2

1,σ22 desconocidas y desiguales (N1 = tama˜no

muestral de la muestra de la poblaci´on 1, N2 = tama˜no muestral de la muestra de

la poblaci´on 2): (x1 -x2 ±tα/2 q s2 1 N1 + s2 2

N2) con P(T ≥tα/2) =α/2, T es t-student con (s21 N1+ s2₂ N2) 2 (s2₁/N₁₎2 N₁−1 + (s2₂/N₂₎2 N₂−1 grados de libertad

• H) Intervalo de confianza para la diferencia de mediasµ1-µ2 para muestras apareadas:

(d ± tα/2 √sd_N) donde d es la media de las diferencias ysd es la desviaci´on t´ıpica de las diferencias. Adem´as, P(T ≥ tα/2) = α/2, T es t-Student con N - 1 grados de

libertad, N es el n´umero de objetos (parejas) de que disponemos • I) Intervalo de confianza para σ2 _{en una poblaci´on normal:}

((N_χ−1)2 s2 α/2 , (N−1)s2 χ2 1−α/2 ) con P(χ 2 _{> χ}2

α/2) =α/2,χ2 es chi- cuadrado conN −1 grados de

libertad

• J) Intervalo de confianza para el cociente σ2

1/σ22 de varianzas de dos poblaciones

normales independientes: (s21 s2 2 1 Fα/2, s2 1 s2 2 1

F1−α/2) donde P( F> Fα/2) =α/2 y F es F de Sndecor con (N1−1,N2−1)

grados de libertad

• K) Intervalo de confianza para una proporci´on p (de una Binomial) cuando N es grande y la proporci´on no es cercana a cero:

(ˆp ±zα/2 q ˆ pqˆ N), donde P( Z > zα/2) = α/2 Z ∼ N(0,1) y ˆp= X /N, ˆq = 1 - ˆp, X = n´umero de ´exitos

• Selecci´on del tama˜no de la muestra (proporci´on):

N =p(1−p)· (zα/2

E )2 ≤ 14 (

zα/2

E )2

• L) Intervalo de confianza para una proporci´on p, si ´esta es muy cercana a cero: (0, 1

2Nχ2α) con P(χ2 > χ2α) = α,χ2 es chi- cuadrado con 2(X+ 1) grados de libertad,

X = n´umero de ´exitos

• M) Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones, con N1 y N2

grandes (N1 = tama˜no muestral de la muestra de la poblaci´on 1, N2 = tama˜no

muestral de la muestra de la poblaci´on 2): ( ˆp1 - ˆp2 ± zα/2 q ˆ p1qˆ1 N1 + ˆ p2qˆ2 N2 ), donde P(Z > zα/2) = α/2 Z ∼ N(0,1), ˆp1 =X1 /N1, ˆ

q1 = 1 - ˆp1, X1 = n´umero de ´exitos en las N1 pruebas y ˆp2 = X2 /N2, ˆq2 = 1 - ˆp2, X2 = n´umero de ´exitos en lasN2 pruebas

CONTRASTE DE HIP ´OTESIS: tama˜no muestral =N, nivel de significaci´onα

• Contraste de hip´otesis para µ, con N grande

Z = X¯−µ0 S/√N ∼ N(0,1) H0 : µ=µ0 H1 Regi´on cr´ıtica µ < µ0 (−∞,−zα) µ6=µ0 (−∞,−zα/2)∪ (zα/2,∞) µ > µ0 (zα,∞)

• Contraste de hip´otesis para µ, con σ2 _{desconocida para una poblaci´on Normal} T = X¯−µ0 S/√N ∼tN−1 H0 : µ=µ0 H1 Regi´on cr´ıtica µ < µ0 (−∞,−tα) µ6=µ0 (−∞,−tα/2)∪ (tα/2,∞) µ > µ0 (tα,∞)

• Pruebas con tablas de contingencia:

χ2 ₌ r X i=1 c X j=1 (oij −eij)2 eij ,

Bajo H0, sigue aproximadamente una distribuci´onχ2 con (r−1)·(c−1) grados de

libertad. La regi´on cr´ıtica (a nivel α) es: (χ2

CONSEJOS:

1. ESTUDIA y haz problemas.

2. Lleva calculadora cient´ıfica, el formulario y las tablas de distribuciones (y si has de entregar alg´un trabajo) y el DNI.

3. No copies (sobre todo no copies de alguien que no haya estudiado).

4. Lee detenidamente cada pregunta y aseg´urate de que respondes lo que te preguntan (no te precipites).

5. Lee todo el examen y comienza por las preguntas que domines m´as y de entre ellas por las que m´as puntuen, te dar´a confianza. Si te l´ıas con alguna, d´ejala para el final, no te ”obsesiones en resolverla”

6. Escribe todos los pasos y c´alculos que realices, no olvides que la profesora no puede leer el pensamiento y ´unicamente corregir´a lo que quede escrito en el papel. Adem´as, cuanto m´as explicado y claro (que se pueda leer) mejor.

7. Cuando obtengas un resultado piensa si es il´ogico o imposible (una varianza no puede ser negativa, rxy estar´a entre -1 y 1, una probabilidad estar´a entre 0 y 1, ¿concuerda con los datos?, etc.), en tales casos repasa los c´alculos o el razonamiento, incluso coge un papel en blanco y comi´enzalo de cero. Si no logras encontrar el error, se˜nala tus dudas.

8. Si alg´un problema no sabes resolverlo, busca semejanzas con otros problemas que conozcas, simplifica tus datos, hazte gr´aficos, ... y al menos, int´entalo, no se pierde nada por intentarlo.

9. Repasa los c´alculos y el examen antes de entregarlo.

10. Descansa la noche antes del examen, cuanto m´as despejad@ y relajad@ est´es mejor 11. ¡Suerte! y ¡s´e positiv@!