Problema 1: LOS CARROS DEL SUPERMERCADO. Problema 3: SUPERVENTAS. Problema 4: TRIÁNGULOS FRACTALES. Problema 5: OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS

Problema 1:

LOS CARROS DEL SUPERMERCADO

Problema 2:

CUBOS

(

Cubos Geogebra

)

Problema 3:

SUPERVENTAS

Problema 4:

TRIÁNGULOS FRACTALES

Problema 5:

OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS

Problema 6:

¿

DÓNDE SE ENCUENTRA EL 2011?

XXVII Olimpiada

Thales

Los carros del supermercado:

Alex, María y Elena están en el supermercado con sus padres respectivos. Mientras esperan en la cola de la caja deciden jugar a ver quién adivina cuánto dinero hay juntando las tres monedas que han metido sus padres en los carros.

Tienen genes matemáticos, por eso no responden al tun tun, sino que hacen cálculos sabiendo que los carros aceptan monedas de 50 céntimos, 1 euro y 2 euros.

• ¿Por qué nadie dice 5’5 euros?

• ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar?

Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal.

• En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar?

• ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar? Razona las respuestas.

Solución:

• ¿Por qué nadie dice 5,5 euros?

Los números con los que podemos jugar son 2, 1 y 0'50.

Si ordenamos de mayor a menor las cantidades, la mayor será:

Menú

•¿Por qué nadie dice 5,5 euros?

Y la siguiente:

Por lo tanto, no puede estar la cantidad de 5,5 euros

•¿Qué cantidad deberían decir para tener más

posibilidad de acertar?

Alex María Elena Cantidad

Total 0'50 0'50 0'50 1'50 0'50 0'50 1 2 0'50 0'50 2 3 0'50 1 0'50 2 0'50 1 1 2'50 0'50 1 2 3'50 0'50 2 0'50 3 0'50 2 1 3'50 0'50 2 2 4'50

Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados

Alex María Elena Cantidad

Total 1 0'50 0'50 2 1 0'50 1 2'50 1 0'50 2 3'50 1 1 0'50 2'50 1 1 1 3 1 1 2 4 1 2 0'50 3'50 1 2 1 4 1 2 2 5

Solución:

Menú

•¿Qué cantidad deberían decir para tener más

posibilidad de acertar?

Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados

Alex María Elena Cantidad Total 2 0'50 0'50 3 2 0'50 1 3'50 2 0'50 2 4'50 2 1 0'50 3'50 2 1 1 4 2 1 2 5 2 2 0'50 4'50 2 2 1 5 2 2 2 6

Solución:

•¿Qué cantidad deberían decir para tener más

posibilidad de acertar?

Ahora hacemos una tabla con las cantidades y las veces que han salido (frecuencia)

Cantidad Total Frecuencia

1'50 1 2 3 2'50 3 3 4 3'50 6 4 3 4'50 3 5 3 5'50 0 6 1

Solución:

Menú

Está claro que la cantidad que van a decir es 3'50 euros, porque tienen genes matemáticos y saben de probabilidad.

•¿Qué cantidad deberían decir para tener más

posibilidad de acertar?

Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la

cantidad es exacta o decimal.

• En este segundo juego, ¿quién tendría más

posibilidad de acertar?

• ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar?

Habría que elegir exacta, pues al realizar el recuento hay 13 cantidades cuya expresión es decimal y las 14 restantes son exactas.

Y puestos a apostar gominolas, apostaremos a decimal o exacto, puesto que la probabilidad de acertar es aproximadamente del 51% (14 casos de 27 = 0’5185), mientras que la de acertar la cantidad 3'50 es aproximadamente del 22 % (6 casos de 27 = 0’222)

Solución:

XXVII Olimpiada

Thales

Solución

CUBOS:

El profesor D. Anacleto Enseñalotodo va paseando con sus alumnos y

alumnas por un museo y al encontrarse con los siguientes cubos de 1 metro de arista apilados sobre el suelo les plantea las siguientes cuestiones:

· ¿Cuál es el volumen de la figura formada por los cubos?

· Si pintáramos de rojo las caras que se pueden ver. ¿Cuántos cubos tienen exactamente una, dos, tres, cuatro y cinco caras coloreadas?

Razona las respuestas.

Solución:

Vamos a comenzar descomponiendo la estructura en los diferentes cubos que la forman.

A continuación trasladamos los datos a la siguiente tabla: Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13

Es bastante sencillo observar que el volumen de la figura es 14 m3_.

Solución:

Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo

Repetimos el mismo procedimiento con el resto de los cubos y, completamos la tabla

Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

X

Menú

Enunciado

Solución:

CUBO 2 Caras Coloreadas

1 2 3 4 5 Cubo 1

X

Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo

Solución:

X

X

X

Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo

Menú

Solución:

X

X

X

Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo

Solución:

CUBO 5 Caras Coloreadas

1 2 3 4 5 Cubo 1

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo

X

Menú

Solución:

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo

Solución:

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo

X

Menú

Solución:

X

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 1 cara de color rojo

Solución:

X

X

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 5 caras de color rojo

X

Menú

Solución:

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo

Solución:

CUBO 11 _{Caras Coloreadas}

1 2 3 4 5 Cubo 1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo

X

Menú

Solución:

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo

Solución:

CUBO 13 Caras Coloreadas

1 2 3 4 5 Cubo 1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo

X

Menú

Solución:

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Solución:

Enunciado

Cubos con 3 caras coloreadas : ₂ Cubos con 4 caras coloreadas : 5 Cubos con 5 caras coloreadas : 1

Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Cubos con 2 caras coloreadas : ₅ Cubos con 1 cara coloreada : ₁

Superventas:

Últimamente todos los habitantes de Todolandia ocupan todos sus ratos libres en la lectura de todos los libros que tienen relación con las matemáticas.

D. Perfecto Leeselotodo está muy preocupado porque por haber estado de viaje fuera del país no ha podido seguir las novedades en la lista de superventas de las últimas semanas.

Observa la relación de superventas de esta semana y ayuda al Sr. Leesolotodo diciéndole qué libro o libros son nuevos en ella. Indica también, de forma razonada, qué posición ocupaba la semana pasada cada uno de los libros de la relación, si sabemos que en ningún caso la subida o bajada en la lista ha sido superior a tres puestos con respecto a la semana anterior.

1.  El hombre que calculaba 2. = Cuentos con cuentas

3.  ¿Matemágicas o matetrágicas? 4.  El diablo de los números

5. = El teorema del loro

Nota: Los signos = ,  y  nos indican respectivamente si el libro continúa en el mismo puesto o ha ascendido o descendido en la lista

6.  El curioso incidente del perro a medianoche 7.  ¡Malditas matemáticas!

8.  El asesinato del profesor de matemáticas 9. = El país de las Matemáticas

10.  Las matemáticas en la vida

Solución:

• Hay algunos superventas que ya sabemos en qué lugares estaban la semana pasada, ¿no crees?

Bien, pues comencemos por ellos…

Clasificación de superventas de la semana pasada 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Solución:

• Comencemos ahora por arriba…

Clasificación de superventas de la semana pasada 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

¿Qué libro fue 1º la semana pasada?

Cuentos con cuentas

El teorema del loro

El país de las matemáticas Matemágicas o Matetrágicas

Menú

Solución:

• ¿Qué libros pudieron ocupar los lugares 3º y 4º?

Clasificación de superventas de la semana pasada

1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas

3. 4.

5. El teorema del loro 6.

7. 8.

9. El país de las matemáticas 10.

• El hombre que calculaba y ¡Malditas matemáticas!, evidentemente.

• Pues situémoslos…

El hombre que calculaba Malditas matemáticas

Solución:

• Y solo hay ahora un libro que pudo ocupar el 7º puesto…

Clasificación de superventas de la semana pasada

1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas

3. El hombre que calculaba 4. ¡Malditas matemáticas! 5. El teorema del loro 6. El diablo de los números 7.

8.

9. El país de las matemáticas 10.

El curioso incidente del perro a medianoche

Menú

Solución:

• ¿Pero podemos saber quiénes ocuparon los lugares 8º y 10º?

Clasificación de superventas de la semana pasada

1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas

3. El hombre que calculaba 4. ¡Malditas matemáticas! 5. El teorema del loro

6. El diablo de los números

7. El curioso incidente del perro a medianoche 8.

9. El país de las matemáticas 10.

Solución:

• No podemos saber con seguridad los lugares que ocuparon dos de los

superventas, aunque podemos afirmar que “El asesinato del profe de mates”

ocupó el 10º o el 11º puesto, y “Las matemáticas para la vida” el 11º, 12º o

13º.

Enunciado

Clasificación de superventas de la semana pasada

1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas

3. El hombre que calculaba 4. ¡Malditas matemáticas! 5. El teorema del loro

6. El diablo de los números

7. El curioso incidente del perro a medianoche 8.

9. El país de las matemáticas 10.

Un libro que ya no está entre los 10 superventas

El asesinato del profesor de matemáticas o un libro de los que ya no son superventas

XXVII Olimpiada

Thales

Solución 1

TRIÁNGULOS FRACTALES

(in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”)

Todos los estudiantes de Todolandia andan como locos intentando calcular las superficies de todos los triángulos equiláteros coloreados que se van obteniendo al ir uniendo los puntos medios de los lados de los triángulos no coloreados como se observa en las figuras.

Sabiendo que el triángulo equilátero del que se parte tiene como superficie la unidad, ayúdales calculando la superficie que está coloreada después de

haber realizado 2 transformaciones.

¿Cuál es la superficie que se obtiene después de 4 transformaciones?

¿Cómo calcularías la superficie coloreada tras realizar “n” transformaciones?

Triángulo inicial

Solución 2

Transformación 1ª Transformación 2ª

Solución 1 :

Superficie del triángulo inicial: 1

Transformación 1ª

Solución 1:

Transformación 2ª

Superficie coloreada:

Menú

Solución 1:

Solución 1:

Superficie coloreada:

Menú

Solución 1:

Superficie coloreada para “n” transformaciones

Solución 2:

Enunciado

También podríamos calcular la superficie coloreada para “n”

transformaciones restando al triángulo unidad la parte no coloreada:

Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería: Transformación 1ª

Transformación 2ª Transformación 3ª Transformación 4ª

Solución

OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS

Cada año se presentan muchos chicos y chicas a nuestras Olimpiadas

Matemáticas Thales. Deduce de forma razonada cuántos olímpicos y olímpicas se presentaron en cada una de las provincias de Andalucía Occidental

sabiendo que:

• El número total de participantes en estas cuatro provincias coincide con el que se obtiene al sumar los números de la fecha de hoy (día + mes + año).

•El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos y esta proporción se mantuvo también en la provincia de Sevilla.

Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas.

En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla.

En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro

provincias.

Solución:

Primero vamos a calcular el número de participantes. Hoy es 26 de marzo de 2011, entonces el total es:

26+3+2011=2040

Solución:

El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos.

Esto nos indica que debemos de dividir entre 3 el total de

participantes, y el número obtenido será el de chicas y el resto, que es el doble, el de chicos.

2040:3=680

680 x 2=1360

Menú

Solución:

En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla.

Esto nos hace deducir que debemos de dividir el total de

participantes entre 2’5, que sería uno de Sevilla otro entre Cádiz y Huelva y la mitad para Córdoba.

Solución:

Vamos entonces a repartir a los participantes por provincias

SEVILLA: 816 Participantes

Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que en Sevilla se mantenía la

proporción de doble número de chicos que de chicas.

816:3=272

272x2=544

Menú

Solución:

CÓRDOBA: 408 Participantes

Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que Córdoba fue la única provincia

igualitaria en chicos y chicas.

408:2=204

204

Solución:

En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas

representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro provincias

CÁDIZ

Podemos calcular el total de chicas, pues es el 20 % del total que recordemos era de 680.

20% de 680=136

136 x 3 = 408

Menú

Solución:

HUELVA

En el enunciado de Huelva no nos dicen nada, pero como son los únicos valores que nos faltan los podemos calcular restando del total los obtenidos.

1360-544-204-408=204

Solución:

Enunciado

Cádiz

Córdoba

Huelva

Sevilla

Totales

1360

680

Totales

₂₀₄₀

544

272

816

204

204

408

408

136

544

204

68

272

Menú

XXVII Olimpiada

Thales

Solución 1

Thalevago ha contado a su compañera Calculina que su profesora de mates, Eulerina, ha propuesto hoy en clase la siguiente serie de números:

A B C D E 1 4 13 10 7 16 19 28 25 22 31 …

Y les ha pedido que averigüen en qué columna y en qué fila aparecerá en dicha serie el número que corresponde al año actual. Para que practiquen les ha dicho que investiguen buscando primero la posición del número 73.

Ambos se encuentran un poco despistados, ayúdales a encontrar de forma razonada las respuestas.

¿Dónde se encuentra el 2011?

Solución 1:

Vamos a calcular el término general de la serie:

Ordenamos en sentido creciente los números: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, …

a_n = a1 + (n-1)d d = +3

a_n = 1 + (n-1) (+3)= 1 + 3n – 3 = 3n - 2 a_n = 3n - 2

Solución 1:

A B C D E

Para averiguar la columna situamos los números en la tabla siguiente :

Vemos que la diferencia entre dos términos de una misma columna es 15

73 : 15 = 4 Resto = 13 Comenzamos con el número 73

Por tanto se encontrará en la columna A

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 15 15 15 15 15 15

Menú

Enunciado

Solución 1:

A continuación necesitamos conocer la fila en que se encuentra el número 73

Recurrimos al término general cuyo valor en este caso es 73 a_n = 3n - 2 73 = 3n - 2 75 = 3n n = 75 : 3 n= 25 El número 73 ocupa el término de lugar 25

Podemos hacer grupos de 5 (A, B, C, D y E) 25 : 5 = 5 5 grupos de 5, a cada grupo de 5 le corresponden 2 filas,

por tanto 5 X 2 = 10

Solución 1:

Vamos a probar con el número 103 Fila:

103 = 3n - 2 105 = 3n n = 105 : 3 n= 35 35 : 5 = 7 por tanto 7 X 2 = 14

El número 103 se encuentra en la fila 14

Columna:

103 : 15 = 6 Resto = 13

Por tanto se encontrará en la columna A

Menú

Solución 1:

Vamos por fin con el número 2011 Fila:

2011 = 3n - 2 2013 = 3n n = 2013 : 3 n= 671

671 : 5 = 134’2

Por tanto 134 ‘2X 2 = 268’4

El número 2011 se encuentra en la fila 269

Columna:

2011: 15 = 134 Resto = 1

Por tanto se encontrará en la columna B

134 grupos completos + 1 grupo incompleto 268 + 1 = 269

Solución 2:

Si completásemos la tabla podríamos ver que hay una regularidad en la distribución de los términos de la serie

Menú

Solución 2:

73: 15 = 4 Resto = 13

Resto = 13 Implica que se encontrará en la columna A

Cociente = 4 Resto = 13

Nos indica 5 grupos de 2 filas

por tanto 5 X 2 = 10

El número 73 se encuentra en la fila 10

(aunque la última fila se encontraría incompleta – columna A)

Solución 2:

2011: 15 = 134 Resto = 1

Resto = 1 Implica que se encontrará en la columna B

Cociente = 134 Resto = 1

Nos indica 134 grupos completos y 1 fila incompleta por tanto 134 X 2 = 268

268 + 1 = 269

El número 2011 se encuentra en la fila 269

Número 2011

Menú