EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS

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EVERYDAY

ENGINEERING

EXAMPLES FOR SIMPLE

CONCEPTS

MATH 2252 – Calculus II

La Cadena y

la Catenaria

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1 MSEIP – Engineering

Everyday Engineering Examples

La Cadena y la Catenaria

Engage:

1. Introducción:

¿Qué tipo de terreno permite correr suavemente en una bicicleta (motorizada) de ruedas cuadradas?

Video: https://www.youtube.com/watch?v=u-hDEEl67_Y

En este video se observa que el suelo consiste de múltiples curvas llamadas “catenarias invertidas”. La catenaria modela el fenómeno común en ingeniería y física de suspender un cable o cadena entre dos postes. La catenaria es una curva parecida a parecida a una parábola. En esta actividad se explora esta curva, su función, propiedades, y aplicación.

Explore:

Dibuja las siguientes gráficas con la ayuda de una calculadora gráfica o graficador en línea: por ejemplo

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Pa g e

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http://my.hrw.com/math06_07/nsmedia/tools/Graph_Calculator/graphCalc.ht ml y1 = x2 + 1 y2 = ex y3 = e – x y4 = 1 2(𝑒 𝑥_{+ 𝑒}−𝑥₎_{= cosh(x)}

1) Compare las gráficas y1, y2, y3

2) Modifica y1 = ax2_{+ 1 para a = 0.5, a = 0.8, a = 0.3}

3) Observa las diferencias entre la parábola y la catenaria particularmente cerca del (0,1), el vértice de la parábola.

Explain:

Las funciones exponenciales tienen valores positivos: Rango = (0,). La suma de ambas funciones exponenciales produce una combinación de números positivos, y por ser ambas curvas simétricas con respecto al eje de y la curva cosh(x) es igualmente simétrica. Debido a que ambas funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) al sumar se obtiene (0,1) + (0,1) = (0,2). Por esta razón la suma ex + e-x se divide entre 2 para obtener una curva que pasa por (0,1). Cerca del cero la curva cosh(x) No es tan aguda como el vértice de la parábola porque se suman valores menores.

Elaborate:

Analizando la ecuación de la catenaria

La ecuación de la catenaria llamada “coseno hiperbólico” cosh(x), se define:

cosh(𝑥) =1

2( 𝑒

𝑥_{+ 𝑒}−𝑥₎

Grafique la ecuación con el graficador o calculadora gráfica usando la ventana con los siguientes valores para x: [-4 ,4], para y: [-2 ,10].

What did you learn?

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3 Evaluate:

Proyecto: Halla la ecuación que modela una cadena o cable.

En un pedazo de papel cuadriculado grande dibuja el eje de x cerca del borde inferior y el eje-y en el centro.

Coloca una cadena que se suspenda libremente agarrada por los extremos a las esquinas del papel con cinta adhesiva. Colócola de forma que el centro o vértice quede encima del eje de y sin tocar el eje de x.

Indica las coordenadas de (x,y) del vértice y ambos extremos de la cadena. Trata de medir a una precisión de 0.1 unidades.

Vértice: ( _______ , _______ )

Extremo izquierdo: ( _______ , _______ ) Extremo Derecho: ( _______ , _______ ) La ecuación física general para una cadena suspendida por los extremos es dada por: 𝑦 =𝑘 2(𝑒 𝑥 𝑘_{+ 𝑒} −𝑥 𝑘_{) + 𝐶}

Donde el valor de k se determina por la tensión y el peso de la cadena.

Sustituye los valores de (x,y) de los pares ordenados del vértice y del extreme derecho en la ecuación general. Obtienes dos ecuaciones en términos de C y x.

# 1. _________________________________ # 2. _________________________________

Despeja ambas ecuaciones #1, #2 para C. C = _______________________________ (i) C = _______________________________ (ii)

Con la ayuda de una calculadora gráfica, traza ambas ecuaciones (i) y (ii). Halla el punto de intersección de ambas gráficas e indica los valores (k,C) del punto redondeando a la milésima más cercana.

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k = ______________ C = ______________

La ecuación de tu cadena es: y = _____________________________________

Para verificar tu resultado traza la gráfica de tu ecuación. Escoge una buena ventana si usas calculadora gráfica de forma que se ajuste a las coordenadas que usaste en tu papel:

Xmin __________ Xmax ___________ Ymin ___________ Ymax ___________

(Nota: La gráfica debe parecerse a tu cadena. Si No es así cambia la escala o utiliza zoom.)

Verifica usando “TRACE”, que las coordenadas de tu vértice y puntos extremos coinciden con la gráfica en el papel. De otra forma busca y corrige el error. Con cuidado levanta la cadena hacia arriba del papel y pégala a una pared sin mover los extremos pegados al papel. La vas a soltar en esa misma posición luego.

Completa la tabla calculando los valores de y para los valores dados de x en la fórmula de tu función que hallaste en el paso h. Redondea tu contestación a la décima.

X  2  4  6  8  10 Y

Marca e identifica estos puntos en tu papel midiendo con precisión cuidadosamente.

Suelta la cadena. Comenta sobre cuán bien los puntos calculados con tu función coinciden con la cadena que están modelando.

Definiendo las Funciones Hiperbólicas

Considera también la función: sinh(𝑥) =1

2( 𝑒

𝑥_{− 𝑒}−𝑥₎_{. En el graficador halla la}

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Las funciones hiperbólicas cosh(x) y sinh(x) tienen propiedades muy similares a las funciones trigonométricas: cos(x), sin(x). Las funciones trigonométricas tienen una relación con el círculo y las hiperbólicas con la hipérbole:

Hipérbole:

Observa las siguientes similitudes: a) Trigonométrica: cos2(x) + sin2(x) = 1 Hiperbólica: cosh2(x) + sinh2(x) = 1 b) Trigonométrica: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) Hiperbólica: sinh(2x) = 2sinh(x) cosh(x)

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c) Derivadas:

Trigonométrica: y = sin(x), y’= cos(x) Hiperbólica: y = sinh(x), y’= cosh(x) Trigonométrica: y = cos(x), y’= - sin(x) Hiperbólica: y = cosh(x), y’= sinh(x)

Las funciones hiperbólicas también tienen funciones inversas asociadas con ellas que producen nuevas fórmulas de integración:

d) Derivadas de funciones inversas:

Función Inversa Trigonométrica: y = arcsin(x), y’= 1

√1−𝑥2

Hiperbólica: y = sinh-1(x) = ln (𝑥 + √𝑥2_{+ 1)}, y’ = 1

√𝑥2₊₁

Derivar

a) Escribe nuevamente la ecuación de la cadena que obtuviste: y = ___________________________________________ (iii)

b) Nota que usando la función cosh(x) esta ecuación general de la cadena se puede escribir como: k cosh(x/k) + C.

Re-escribe la ecuación en (iii) usado “cosh”

y = _________________________________________ (iv) c) Halla y’ para a ecuación en (iv) y simplifica.

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Construir Bicicleta con Ruedas Cuadradas y pista (Idea para Proyecto de Construcción)

Construye un prototipo a menor escala de una bicicleta con ruedas cuadradas y su pista.

Ruedas: Escoge el tamaño del cuadrado con medida del lado s.

Para la pista: Necesitas una catenaria tal que el largo de 1/2 arco sea igual al lado del cuadrado (s). Puedes usar una cadena que mida 2*s, suspendida en sus extremos para tener la forma exacta de la catenaria.

Construye la pista usando múltiples curvas usando el molde que hallaste en el paso b. Al colocarse hacia abajo (catenaria invertida) formas la pista.