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SECCION 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos
Ingeniería de
Confiabilidad - Equipos
Sección 4
Medardo Yañez
Hernado Gómez de la Vega
Karina Semeco Soto
Nayrih Medina
Esta sección esta dedicada al estudio de los aspectos físicos y aleatorios del fenómeno falla. Expone los aspectos fundamentales de los dos enfoques que coexisten dentro de la Ingeniería de Confiabilidad. Estos enfoques son: confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas y confiabilidad basada en el análisis probabilístico del deterioro o física de la falla.
1. Ingeniería de confiabilidad.
En su forma más general, la Ingeniería de Confiabilidad puede definirse como la rama de la ingeniería que estudia las características físicas y aleatorias del fenómeno “falla”.
Dentro del área de Ingeniería de Confiabilidad, coexisten dos (2) escuelas con enfoques muy específicos, estas son:
Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas (Statistical Based Reliability Analysis) [2], [10], [14], [25], [26], [31], [37], [49].
Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del deterioro o física de la falla (Physics Based Reliability Analysis) [9], [10], [14], [26], [31], [32], [37], [48].
Ambas escuelas tienen un objetivo común: “caracterizar probabilísticamente la falla para hacer pronósticos y establecer acciones proactivas dirigidas a evitarla o a mitigar su efecto”. Adicionalmente, ambas escuelas proponen el término probabilístico “CONFIABILIDAD” como indicador básico para lograr esta caracterización. Otro punto coincidente es el reconocimiento de la “aleatoriedad e incertidumbre” de las variables analizadas y su consecuente tratamiento probabilístico. Las diferencias entre ambas escuelas están relacionadas con la óptica desde la cual se analiza la falla. La primera mencionada propone predecirla estudiando la frecuencia histórica de ocurrencia o tasa de fallas, mientras que la segunda considera que una falla es la última fase de un proceso de deterioro y se concentra en predecirla a través del entendimiento de “cómo ocurre la falla”, es decir, estudiando la “física del proceso de deterioro”.
Las tendencias más avanzadas y recientes (state of the art) dentro de la Ingeniería de Confiabilidad, proponen modelos híbridos para caracterizar probabilísticamente el fenómeno falla, es decir, modelos que toman en cuenta no solo el proceso físico del deterioro sino también la estadística del historial de fallas. En este capítulo se exploraran detalladamente ambos enfoques.
2. Confiabilidad C(t): Conceptos y relación con análisis de riesgo.
Tal y como se definió en la sección de conceptos básicos Confiabilidad es la probabilidad de que un activo cumpla con su función, en un tiempo determinado y bajo un entorno operacional específico [17].
Probabilísticamente, Confiabilidad C(t)) es el complemento de la Probabilidad de Fallas F(t), es decir, Confiabilidad C(t) es la probabilidad de éxito.
F(t)+C(t) =1 (2.142)
Existe un importante vínculo entre el Análisis de Confiabilidad y el Análisis Probabilístico de Riesgo tal como se describirá con detalle en el Capítulo V. Recordando el Capítulo I, se define Riesgo como “egresos o pérdidas probables consecuencia de la probable ocurrencia de un evento no deseado o falla”. Matemáticamente, se calcula con la siguiente ecuación:
Riesgo(t)=Probabilidad de Fallas(t) x Consecuencias. Riesgo(t)= (1-Confiabilidad(t)) x Consecuencias.
El riesgo se comporta como una balanza que permite pesar la influencia de ambas magnitudes (Probabilidad de Falla y Consecuencia de la Falla) en una decisión particular.
Riesgo
Riesgo= Probabilidad de falla x Consecuencia de la Falla Riesgo=(1-Confiabilidad) x Confiabilidad
Confiabilidad/ Probabilidad de Falla Consecuencias
Basada en la Historia (Estadística del Proceso/Sistema) Basada en la Condición (Monitoreo del Proceso/Sistema)
Impacto Ambiental Impacto Personas
Costo de Reparación Perdidas de Reputación Perdidas de Mercado Perdidas de Producción
Perdidas de Ventajas Tecnológicas Figura 2.96 Relación entre Análisis de Confiabilidad y Análisis de Riesgo.
La figura 2.96 muestra claramente que para calcular riesgo, deben establecerse dos (2) vías, una para el cálculo de la confiabilidad y/o la probabilidad de fallas, con base en la historia de fallas o con base en la física del deterioro, y otra para el cálculo de las consecuencias. En todo caso, el análisis de confiabilidad es parte del análisis probabilístico de riesgo.
3. Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas (Statistical Based Reliability Analysis).
Es la rama de la confiabilidad que estudia la variable aleatoria “tiempo para la falla”. El insumo básico para este tipo de análisis son bases de datos donde se almacenan las historias de fallas (tiempos de fallas y tiempos de reparación) de equipos.
La confiabilidad basada en la estadística de fallas tiene dos grandes áreas de estudio, una que se enfoca en equipos no reparables y otra para equipos reparables.
Los equipos no reparables tienen las siguientes características fundamentales:
Su condición operativa no puede ser restaurada después de una falla.
Su vida termina con una “única” falla y debe ser reemplazado.
La variable aleatoria de interés es el tiempo para la falla.
Para caracterizarlo probabilísticamente se requiere estimar la tasa de fallas h(t).
Dentro de los equipos no reparables muchos exhiben tasas de falla constantes y su comportamiento está definido por la Distribución Exponencial, mientras que para sistemas en los cuales la función de falla no es constante en el tiempo existen alternativas diferentes al uso de la distribución exponencial, tal como, las distribuciones Weibull, Log-Normal, Normal, Gamma, Beta, entre otras.
Por su parte, un equipo reparable es aquel cuya condición operativa puede ser restaurada después de una falla, por una acción de reparación diferente al reemplazo total del mismo. Un equipo reparable tiene las siguientes características fundamentales:
Su condición operativa puede restaurarse después de fallar, con una reparación.
En su vida puede ocurrir más de una falla.
La variable aleatoria de interés es el Número de Fallas en un período específico de tiempo.
Para caracterizarlo probabilísticamente se requiere estimar la “tasa de ocurrencia de fallas (t)” y la “tasa de reparación (t)”.
Además de la confiabilidad se requiere calcular la disponibilidad, que es la probabilidad de que el equipo esté disponible (es decir, que no esté en reparación) a un tiempo “t”. Para calcular disponibilidad se requiere analizar estadísticamente los tiempos para la falla, y los tiempos en reparación.
En el caso de los sistemas reparables, hasta 1996 estaban definidos dos procesos de punto estocástico para modelar su tratamiento. La primera asume la reparación hacia su condición original, todo basado en el Proceso Ordinario de Renovación (independiente e idénticamente distribuido), la segunda asume una reparación mínima basando sus cálculos mayoritariamente en el Proceso no Homogéneo de Poisson. A partir de 1996, se ha propuesto un nuevo desarrollo para tomar en cuenta los estados diferentes a los indicados anteriormente, el cual está basado en un modelo probabilístico denominado “Proceso Generalizado de Restauración”.
En esta sección se explorarán en detalle el análisis de confiabilidad basado en la historia de fallas tanto para equipos no reparables como para equipos reparables.
3.1. Confiabilidad en Activos no Reparables. 3.1.1. Activos no Reparables.
Como se mencionó previamente, se define como activos no reparables, aquellos que tienen las siguientes características fundamentales:
Su condición operativa no puede ser restaurada después de una falla.
Su vida termina con una “única” falla y debe ser reemplazado.
La mayoría de los componentes electrónicos suelen ser considerados “no reparables”. Los bombillos o bulbos de luz son los clásicos ejemplos de equipos no reparables. Sin embargo, es importante destacar que en esencia, cualquier equipo es reparable; inclusive un bombillo, y es la política o estrategia de mantenimiento y/o reparación la que realmente dice cómo se debe clasificar un equipo o componente. Si la política de mantenimiento es “reemplazar” después de la falla, entonces se
clasificará al activo como “no reparable”; si por el contrario, la política es “reparar y reinstalar” después de la falla, se definirá al activo como “reparable”. Adicionalmente, para clasificar activos, debe tenerse en cuenta el “volumen de control y contexto operacional especifico” al cual se hace referencia. Para entender estos conceptos se analizará la Figura 2.97.
Si se define volumen de control, a nivel de componentes, en este caso los tubos de un intercambiador, y se analiza la falla de un tubo, éste es “reemplazado al fallar” y en la mayoría de las plantas de proceso poseen tubos de repuesto para este fin. En este caso, el tubo es considerado un activo no reparable, no obstante, si el volumen de control se define como el intercambiador de calor completo, al fallar un tubo, no se reemplaza todo el intercambiador; solo el tubo. En este caso, el tubo sigue siendo un activo no reparable, pero el intercambiador es un activo reparable.
COMPONENTE
TUBO
EQUIPO
INTERCAMBIADOR
DE CALOR
Figura 2.97 Diferentes Volúmenes de Control (Componente, Equipo).
Otro ejemplo sería analizar una lámpara de luz cuando le falla el bombillo. En este caso, el bombillo es un activo “no reparable” y la lámpara es un “activo reparable”.
Adicionalmente existen otros aspectos de carácter estratégicos como el contexto operacional considerado, que contribuyen a catalogar para efectos prácticos, un componente o sistema como reparable o no reparable.
Por ejemplo, un sensor instalado en el fondo de un pozo de crudo profundo, de fallar conllevaría a una logística de recursos técnicos y económicos significativos a fin de extraerlo del subsuelo y proceder a repararlo o reemplazarlo. Ese mismo sensor, instalado en una planta en la superficie, debidamente atendida, muy posiblemente pueda ser reparado sin muchos inconvenientes. Bajo esta panorámica, el sensor en el subsuelo muy posiblemente convenga clasificarlo como componente no reparable, en cuyo caso será importante estudiar su confiabilidad; mientras que el sensor en la superficie se clasifique como componente reparable, en cuyo caso además de la confiabilidad, la disponibilidad es otro parámetro de interés. Como conclusión, para clasificar un activo como reparable o no reparable, se debe tomar en cuenta la política de mantenimiento y/o reparación, el volumen de control del cual ya se hecho referencia y el contexto operacional especifico. Las referencias [2], [26], [48] ofrecen información particularmente detallada sobre el tópico de Confiabilidad en activos no reparables
3.1.2. Conceptos Básicos.
A.- La Función Confiabilidad (C(t)).
Confiabilidad de un activo no reparable, evaluada en un tiempo misión (tm), es la probabilidad de que la variable aleatoria “tiempo para la falla” sea igual o mayor al periodo de análisis o tiempo misión (tm). En otras palabras, es la probabilidad de que el activo opere sin fallas un tiempo igual o superior al periodo de análisis o tiempo misión (tm) [17].
) m t t Pr( ) t ( dad Confiabili
Supóngase que se tiene una muestra representativa de datos, es decir, períodos de operación hasta la falla (ti, i=1,2……n) de n equipos similares. Supóngase adicionalmente que con estos datos, y siguiendo los procedimientos descritos en la sección de estadística para laconfiabilidad (ver apartados 4.3 y 4.3.1), se logra caracterizar esta muestra con una distribución de probabilidades. La figura 2.98, muestra distribuciones de probabilidad de frecuencia y acumuladas directa e inversa, de la variable aleatoria objeto de estudio “tiempo para la falla”.
Como el lector habrá deducido ya en este punto, la función “Confiabilidad” definida en la ecuación 2.143, corresponde a la distribución acumulada inversa del tiempo para la falla, ya que esta distribución expresa la probabilidad de que t (tiempo de falla) sea mayor o igual que tm (tiempo misión). Con apoyo de la ecuación 2.143 y en la ecuación 2.29 del Capitulo II, lo anterior se expresa matemáticamente con la siguiente ecuación:
,000 ,032 ,096 ,128 f(t) t 0,00 13,75 41,25 55,00
DISTRIBUCIOND DEL TIEMPO PARA FALLAR DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS ,000 ,500 ,750 1,000 0,00 13,75 27,50 41,25 55,00 C(t) F(t)
DISTRIBUCION DEL TIEMPO PARA FALLAR DISTRIBUCIONES ACUMULADAS
t f(t)
,025
Figura 2.98 Distribuciones de Probabilidad del Tiempo para Fallar.
m t m m) Pr(t t ) f(t)dt t ( C m t m m m) 1 Pr(t t ) 1 f(t)dt 1 F(t ) t ( C (2.143)
El figura 2.99 muestra gráficamente los conceptos previamente explicados.
,000 ,032 ,096 ,128 ,000 ,500 ,750 1,000 0,00 13,75 27,50 41,25 55,00 f(t) tm t 0,00 13,75 41,25 55,00 C(t)=Confiabilidad DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL TIEMPO PARA FALLAR
DISTRIBUCIONES ACUMULADAS DEL TIEMPO PARA FALLAR
m m t m t m m) Pr(t t ) f(t)dt 1 f(t)dt 1 F(t ) t ( C t ) t ( C m tmFigura 2.99 Confiabilidad evaluada en un tiempo misión tm: C(tm). B.- Tiempo Promedio Para Fallar (TPPF).
El TPPF es el estimado puntual más “clásico” en el área de Confiabilidad; y es un parámetro de mucho interés para la selección de equipos y diseño de sistemas.
El TPPF o Tiempo Esperado para la Falla, corresponde a la media de la distribución de la variable aleatoria tiempo para la falla; y se calcula utilizando la ecuación 2.17 del Capitulo II, que expresada en términos de tiempo es:
0 dt ) t ( C 0 dt ) t ( f . t TPPF t (2.144) ,000 ,032 ,096 ,128 f(t) t=TPPF t 0,00 41,25 55,00 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL TIEMPO PARA FALLAR
27,50
0 0 tTPPF
t
.
f
(
t
)
dt
C
(
t
)
dt
Figura 2.100 TPPFC.- La Función de Velocidad de Incremento del Peligro (H(t)) o Tasa de Fallas.
La función de velocidad de incremento del peligro o tasa de fallas h(t), es un camino alternativo a la función confiabilidad C(t), para describir el comportamiento de la variable aleatoria tiempo para la falla. La función h(t) describe el comportamiento del número de fallas de una población por unidad de tiempo, y viene dada por la siguiente expresión:
) t ( F 1 ) t ( f ) t ( C ) t ( f ) t ( h (2.145)
En términos probabilísticos, la ecuación 2.145 dice que h(t) es la probabilidad condicional de falla en un intervalo de tiempo t+Δt; dado que el componente, equipo o sistema ha sobrevivido hasta el tiempo t. (Ver concepto de probabilidad condicional en la sección de estadística para laconfiabilidad).
Al igual que las funciones f(t), F(t) y C(t) que se observan en la figura 2.98, la función h(t) es una característica única de la variable tiempo para fallar de una población de componentes, equipos o sistemas.
Existe una importante relación entre la función Confiabilidad C(t) y la función h(t), que se resume en la siguiente expresión: dt )). t ( h (
e
)
t
(
C
(2.146)La ecuación 2.146 implica que al definir la función h(t) se puede definir la función C(t), y viceversa.
Como se explicó previamente, la función h(t) describe el comportamiento del número de fallas de una población por unidad de tiempo, y la misma puede ser creciente (el número de componentes de la población que fallan por unidad de tiempo aumenta progresivamente), decreciente (el número de componentes de la población que fallan por unidad de tiempo disminuye progresivamente), o constante.
El análisis del comportamiento de fallas de una gran cantidad de poblaciones de componentes o equipos observados durante largos períodos de estudio, han mostrado una función tasa de fallas decreciente en el primer período, la primera etapa del período de observación (fenómeno conocido como mortalidad infantil), seguido por una función tasa de fallas aproximadamente constante, y finalmente una función tasa de fallas creciente durante la última etapa del período de observación. La figura 2.101 muestra la forma que toma la función tasa de fallas para el comportamiento previamente descrito. T A S A D E F A LL A h (t ) TIEMPO (t)
Figura 2.101 Comportamiento típico de h(t) para poblaciones de componentes.
La forma de la función h(t) mostrada en la figura 2.101, es ampliamente conocida como curva de la bañera. A continuación se explica cómo interpretar en detalle la curva mencionada.
Curva de la Bañera: La Curva de la Bañera es un gráfico que muestra el probable comportamiento de la tasa de fallas de
un tipo de componente o equipo para diferentes instantes de tiempo, y se construye observando y registrando el comportamiento histórico de fallas de una población de ese tipo de componente o equipo.
Una forma práctica de entender la curva de la bañera es analizar el caso de los seres humanos. Supóngase que se analizan las vidas de 100 personas, nacidas en el año 1900, seleccionadas aleatoriamente. Con toda seguridad, si se revisa la fecha en que fallecieron, se encontrará que una buena parte de ellos, murieron entre 0 y 3 años debido a problemas congénitos, problemas en el nacimiento o enfermedades infantiles severas; otros tantos, aunque un poco menos entre 3 y 6 años, y menos aún entre 6 y 9 años. De esto puede inferirse que el número de personas que murió por año, fue decreciendo entre 0 y 9 años. A partir de allí se observa que la tasa de mortalidad se estabiliza, es decir, el número de personas que muere por año entre los 9 y los 45 años se mantiene aproximadamente constante. Finalmente, a partir de los 45 años, se encuentra que el número de personas que muere por año es cada vez mayor, con un incremento lento entre los 45 y los 65 años, y con un incremento más severo a partir de los 65 años.
2.102, conocida como curva de la bañera (bathtub curve). T A S A D E F A LL A h (t ) TIEMPO (t) Mortalidad Infantil Periodo de Fallas Aleatorias Envejecimiento o Desgaste Tasa de Fallas creciente Tasa de Fallas decreciente Tasa de Fallas constante
Figura 2.102 Curva de la Bañera
El análisis del comportamiento de la curva permite asegurar que el “peligro” de que una persona cualquiera muera entre 0 y 3 años es mayor que el peligro de que muera entre 3 y 6 y es menor aún entre 6 y 9 años. También permite decir que el peligro de morir a los 20 años es aproximadamente igual que el peligro de morir a los 40 años y que en ambos casos es menor que el peligro de morir entre 0 y 6 años. No obstante, el peligro de morir se incrementa a partir de los 45 años y va aumentando lentamente. A partir de los 65 años, el peligro de morir se hace mayor más rápidamente. Esta curva no dice a qué edad va a morir un ser humano específico; pero refleja como cambia el peligro de morir con la edad.
Es importante reconocer que esta curva se construyó observando una población específica de seres humanos, y permite hacer predicciones sobre otros seres humanos.
PATRON “C”
PATRON “D” PATRON “E” PATRON “F”
PATRON “A” PATRON “B” TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO TA SA D E F A LLA h( t) TIEMPO TA SA D E F A LLA h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO T ASA D E F A LL A h( t) TIEMPO TA SA D E F A LLA h( t) TIEMPO TA SA D E F A LLA h( t)
Figura 2.103 Otros Patrones de Falla.
Este concepto es extrapolable a componentes y equipos. Si se dispone de un número significativo de unidades de un mismo componente o equipo, y se les pusiera a operar a partir de un tiempo inicial t0, y observando el comportamiento en el número de fallas por unidad de tiempo podría construirse su particular curva de la bañera. Típicamente una población de componentes o equipos en general presentan una tasa de falla alta en el primer período de vida que decrece hasta que alcanza un nivel constante por un período de tiempo, (conocido como etapa aleatoria), y finalmente por efecto del envejecimiento característico o desgaste de los componentes, comienza a aumentar nuevamente (desgaste) (12), tal como el caso de los seres humanos reflejado en la figura 2.102.
No obstante, es necesario mencionar que el patrón de fallas mostrado en la figura 2.102 no se corresponde exactamente con el comportamiento de una amplia variedad de sistemas eléctricos, electrónicos y mecánicos (9).
En la Figura 2.103 (página anterior), se puede observar los diversos patrones de fallas encontrados para varios equipos y sistemas en función de sus edades operativas.
Estudios realizados han mostrado que el 4% de los sistemas se corresponden con el patrón “A”, 2% con el patrón “B”, 5% con el patrón “C”, 7% con el patrón “D”, 14% con el patrón “E” y aproximadamente el 68% con el patrón “F” (9).
3.1.3. Estimación de la Confiabilidad.
Hasta este punto se han descrito las funciones y parámetros más importantes de un análisis de confiabilidad para equipos no reparables (C(t), h(t), TPPF). Como el lector puede constatar en las ecuaciones 2.143, 2.144 y 2.145, para definir estas funciones, es necesario definir la distribución paramétrica de probabilidades del tiempo para la falla f(t). En caso de no encontrar ninguna distribución paramétrica que ajuste al conjunto de datos disponibles, se debe hacer uso de una distribución “no paramétrica o empírica” (ver el apartado 4.2 de la sección de estadística para la confiabilidad) y estimar la confiabilidad apoyados en “estadística no paramétrica o estadística de la muestra”.
En las secciones sucesivas se estudiará cómo estimar confiabilidad usando estadística paramétrica y usando estadística no paramétrica.
A.- Estimación de Confiabilidad de Activos no Reparables con Estadística Paramétrica.
Para estimar confiabilidad con estadística paramétrica, es necesario caracterizar probabilísticamente la variable tiempo para fallar, es decir; encontrar la distribución paramétrica f(t) que mejor se ajusta a los datos; usando para ello el procedimiento descrito en el apartado 4.3 de la sección de estadística para la confiabilidad. En este caso los datos a analizar deben ser tiempos de operación de n equipos similares con los cuales se definirá la distribución de densidad de probabilidades f(t). Una vez definida f(t), utilizando las ecuaciones 2.41 y 2.43 de la sección de estadística para la confiabilidad, se obtienen la distribución acumulada directa F(t) que corresponde a la probabilidad de fallas y la distribución acumulada inversa C(t) que corresponde a la confiabilidad.
Sin embargo, el proceso de caracterización probabilística de la variable “tiempo de operación para la falla” requiere un tratamiento especial para su respectiva caracterización; que está relacionado con el concepto de datos censados, que se explica a continuación.
Para entender el concepto de datos censados, es necesario analizar la figura 2.104. En la misma se representan con líneas los tiempos de operación de una población de “n” equipos. Estos tiempos fueron medidos de manera continua en cada equipo desde que iniciaron su operación. Las líneas punteadas, con una “X” al final representan aquellos equipos que han fallado antes del tiempo tmisión o periodo de análisis, y las líneas continuas aquellos equipos que no han fallado y continúan operando después de finalizado el período de análisis.
Las líneas punteadas constituyen la información de fallas; mientras que las líneas continuas, es decir, los tiempos t3 y t6 son datos de equipos que permanecen confiables (no han fallado) para el momento del análisis, y son parte importante de la información. A t3 y t6 se les conoce como datos censados.
0 T ie m p o t E q u i p o 1 E q u i p o 2 E q u i p o 3 E q u i p o 4 E q u i p o 5 E q u i p o 6 E q u i p o n X X X X X t1 t2 t3 t4 t5 t6 tn tm is io n Figura 2.104 Datos censados y no censados.
La existencia de datos censados es generalmente obviada por los analistas, quienes en la mayoría de las ocasiones se concentran en los equipos que han fallado, y no toman en cuenta los datos censados. Esto se traduce en cálculos pesimistas de la confiabilidad.
En este punto el lector podría preguntarse cómo incluir los datos censados en el cálculo de confiabilidad, y la respuesta está en el proceso de caracterización probabilística; tal como se explica a continuación:
El paso 1 de una caracterización probabilística es plantear las hipótesis acerca de las distribuciones paramétricas que podrían hacer un buen ajuste con los datos.
El paso 2, es calcular los parámetros de cada una de las distribuciones hipótesis con los datos de la muestra. Las ecuaciones para calcular estos parámetros normalmente se obtienen con el método de máxima verosimilitud explicado. El paso 3 consiste en realizar alguna de las pruebas de bondad de ajuste estudiadas en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2 en las que normalmente se comparan cada una de las curvas de las distribuciones hipótesis teóricas obtenidas con los parámetros estimados en el paso anterior, con el histograma de los datos de la muestra. De esta comparación se calcula para cada distribución hipótesis un valor llamado “valor del test” y se compara contra un valor llamado “valor critico”. Si el valor del test es menor que el valor crítico para un determinado nivel de significancia, entonces la distribución hipotética se considera un buen ajuste y la hipótesis no es rechazada. Si por el contrario, el valor del test es mayor que el valor crítico, la hipótesis se rechaza.
El paso 4 es seleccionar entre las distribuciones hipotéticas no rechazadas, aquella que tenga el valor del test más bajo, y ésta se considera el mejor ajuste y por lo tanto la distribución paramétrica que mejor representa el set de datos de la muestra.
La forma de tomar en cuenta los datos censados en el proceso de caracterización probabilística se centra en el paso 2 del procedimiento previamente descrito, es decir, en el cálculo de los parámetros con los datos de la muestra; ya que las ecuaciones para el cálculo de los parámetros de las distribuciones probabilísticas son diferentes cuando existen datos censados.
Como el lector recordará, el método de máxima verosimilitud permite definir las ecuaciones de los parámetros. Para ¨´refrescar´´ la memoria, recuérdese el método de máxima verosimilitud:
Paso 1: Para un set de datos ti (i=1, 2, 3...n) crear la ecuación de máxima verosimilitud: n 1 i ) , i t ( f
L ; donde ti son los tiempos de ocurrencia de fallas y t el parámetro o los parámetros de la distribución probabilística.
Paso 2: Derivar la ecuación de verosimilitud respecto a cada parámetro;
L
Paso 3: Hallar el valor de que maximiza L; es decir resolver L0
En caso de existir datos censados, la ecuación de verosimilitud definida en el paso 1, cambia a la siguiente forma: w 1 j ) , j t ( C * m 1 i ) , i t ( f L
; Donde:m = Número de equipos que han fallado. ti = Tiempo de falla del equipo i.
w = Número de datos censados o equipos no fallados.
tj = Tiempos de operación de equipos que no han fallado (datos censados).
Parámetros de la distribución de probabilidad.
Por esta variación en el procedimiento, las ecuaciones para el cálculo de parámetros que se obtienen cuando existen datos censados son diferentes a las ecuaciones que se obtienen cuando no los hay. La Figura 2.105 muestra un flujograma del proceso de selección de la distribución que mejor ajusta a una muestra de datos que incluye datos censados.
A n a liz a r lo s d a to s d e la m u e s tra y g e n e ra r la s h ip ó te s is o d is trib u c io n e s p a ra m e tric a s q u e p o d ria n a ju s ta r a lo s d a to s d e la m u e s tra
fk(t ;j )
D o n d e :
k = 1 ,2 ....m ; d o n d e m = n ú m e ro d e h ip ó te s is g e n e ra d a s
j = p a rá m e tro s d e la d is trib u c ió n h ip o te tic a fi(t)
H a y d a to s c e n s a d o s ? k = 1 , q = 0 S i N o M e to d o d e M a x im a V e ro s im ilitu d P a s o 1 : P a ra lo s d a to s d e fa lla s ti (i= 1 ,2 ,3 ... n ) c re a r la e c u a c ió n d e v e ro s im ilitu d :
P a s o 2 : D e riv a r la e c u a c ió n d e v e ro s im ilitu d re s p e c to a c a d a p a rá m e troj; P a s o 3 : H a lla r e l v a lo r d e j q u e m a x im iza L ; e s d e c ir re s o lv e r n i n i t f L 1 2 1, ,..., ) ; ( L 0 L M e to d o d e M a x im a V e ro s im ilitu d P a s o 1 : P a ra lo s d a to s d e fa lla s ti (i= 1 ,2 ,3 ... z ), y lo s d a to s c e n s a d o s tl (l= 1 ,2 ,3 … .w ) c re a r la e c u a c ió n d e v e ro s im ilitu d :
P a s o 2 : D e riv a r la e c u a c ió n d e v e ro s im ilitu d re s p e c to a c a d a p a rá m e troj; P a s o 3 : H a y a r e l v a lo r d e j q u e m a x im iza L ; e s d e c ir re s o lv e r L 0 L w l n l z i n i Ct f L 1 1 2 1 1 2 ) ,..., , , ( * ) ,..., , , ( H a lla r lo s v a lo re s d e lo s p a ra m e tro sj, c o n lo s d a to s d e la m u e s tra , u tiliza n d o la s e c u a c io n e s e s p e c ific a s p a ra la d is trib u c io n h ip o te tic a fk(t ), o b te n id a s c o n e l m e to d o d e M a x im a
V e ro s im ilitu d
P a ra c a d a v a lo r ti d e la m u e s tra d e d a to s (i= 1 ,2 … .n ), c a lc u le la p ro b a b ilid a d d e fa lla te o ric a
Fi(t) D o n d e 1, 2, ... j, s o n lo s p a ra m e tro s d e la d is trib u c io n , h a y a d o s e n la fa s e p re v ia .
i t j k i t f t dt F 0 2 1, ,... ) ; ( ) ( P a ra c a d a v a lo r ti d e la m u e s tra d e d a to s (i= 1 ,2 … .n ), c a lc u le la p ro b a b ilid a d d e fa lla e m p iric a D o n d e n = n u m e ro d e to s d e la m u e s tra n i t Fˆi( ) 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 0 5 00 1 00 0 1 50 0 2 000 2 50 0 t (tie m p o ) Pr obabi lidad de Fal la F (t) E m p iric a F (t) T e o ric a G ra fic a r la P ro b a b ilid a d d e F a lla T e o ric a F (t) y la P ro b a b ilid a d d e F a lla E m p iric aFˆ(t)V s tC o n lo s c a lc u lo s d e P ro b . d e F a lla T e o ric a Fi(t) y la P ro b a b ilid a d d e F a lla E m p iric a , a p lic a r e l te s t d e B o n d a d d e A ju s te d e K o lm o g o ro v -S m irn o v , •C a lc u la r e l v a lo r d e l te s t: “K -Sk” •C a lc u la r e l v a lo r c ritic o “V ck” p a ra u n n iv e l d e c o n fid e n c ia e s p e c ific o ) ( ˆt Fi K -Sk< V ck S i N o fk(t) e s u n a h ip o te s is n o re c h a za d a y e s c a n d id a ta a “m e jo r a ju s te ” q = q + 1 fk(t) e s u n a h ip o te s is re c h a za d a k < m k < m k = k + 1 S i N o N o k = k + 1 S i F IN E n tre la s “q ” d is trib u c io n e s q u e fu e ro n n o fu e ro n re c h a za d a s , la q u e m e jo r a ju s ta a l s e t d e d a to s c o rre s p o n d e a la q u e te n g a u n m e n o r v a lo r d e l te s t d e b o n d a d d e a ju s te “K -S ” M e jo r F it: K -S m in im o
La Tabla 2.35 resume las ecuaciones para el cálculo de parámetros para las distribuciones probabilísticas más usadas en análisis de confiabilidad de equipos no reparables, tanto para muestras con sólo datos de falla, como para muestras con datos censados.
Tabla 2.35: Ecuaciones de parámetros.
Distribución Parámetros muestra han fallado (tTodos los “n” equipos de la
i :1,2...n)
Solo “m” equipos han fallado (ti :1,2...m)
y “w” equipos no han fallado( tj:1,2.... w
) (datos censados) Exponencial λ n 1 i i t n w 1 j j m 1 i i t t m Weibull α / 1 n 1 i i n t
1 w 1 j j m 1 i i m t t β
n 1 i i n 1 i i n 1 i i i lnt n 1 1 t t ln x
m 1 i i w 1 j j m 1 i i w 1 j j j m 1 i i i t ln m 1 1 t t t ln t t ln t Gamma α
n 1 i 2 X i 2 2 n 1 i i t n t 1 n Solución numérica β
n 1 i i n 1 i 2 X i t ) 1 n ( t . n Solución numérica Normal μ n t n 1 i i Solución numérica σ
n 1 i 2 i 2 t 1 n 1 Solución numérica Log- Normal μτ n ) t ln( n 1 i i t Solución numérica στ
n 1 i 2 i 2 t ln(t ) n 1 Solución numéricaAdicionalmente, en la tabla 2.36 que se muestra a continuación, se resumen las ecuaciones para el cálculo de la probabilidad de fallas F(t), la confiabilidad C(t), la velocidad de incremento del peligro o tasa de fallas h(t) y el TPPF, para las distribuciones probabilísticas más usadas en análisis de confiabilidad de equipos no reparables.
Tabla 2.36: Ecuaciones para diversas distribuciones de probabilidad. Distribución f(t) F(t) C(t) h(t) TPPF Exponencial t e ) t ( f F(t)1et C(t)et h(t) TPPF1 Weibull t e t t f 1 ) ( t e t F() 1 t e ) t ( C 1 t ) t ( h 1 1 TPPF Gamma
t 1 e t ) t ( f Ft
t e dt t t
1 0 1 ) ( C(t)1F(t) ) t ( F 1 ) t ( f ) t ( h TPPF Normal 2 t 2 1 e 2 1 ) t ( f Ft e dt t
2 2 1 2 1 ) ( C(t)1F(t) 1F(t) ) t ( f ) t ( h TPPF Log- Normal 2 t t ) t ln( 2 1 t e 2 t 1 ) t ( f 0 dt ) t ( f ) t ( F C(t)1F(t) ) t ( F 1 ) t ( f ) t ( h 2 2 1 e TPPF Para fijar los conceptos y procedimientos asociados a la estimación de confiabilidad, a continuación se presentan dos ejemplos prácticos de aplicación que serán de gran utilidad para el lector.
Ejemplo 2.22: Análisis de Confiabilidad Equipos No Reparables.
En el presente ejemplo se analizará una base de datos correspondiente una a población de 53 bombas electro-sumergibles instaladas en sendos pozos de producción de petróleo.
Se ha hecho un seguimiento a cada bomba desde su instalación hasta la falla. De las 53 bombas de la muestra de estudio 49 han fallado en los períodos observados, cuyos datos se registran en la Tabla 2.37; mientras que las 4 bombas restantes, aún permanecen operando, acumulando las horas de operación mostradas en la Tabla 2.38.
Por política de mantenimiento, estas bombas son reemplazadas por una bomba nueva al fallar, para minimizar el tiempo de paro del pozo productor.
Ejercicio:
Calcular la tasa de fallas y la confiabilidad de una bomba electrosumergible del mismo tipo, que operará en condiciones similares a las bombas de la muestra, para períodos de 500, 1800 y 5000 hrs.
Calcular la probabilidad para que esta bomba supere las 6000 hr. de operación y el TPPF de la población de bombas.
Tabla 2.37 Tiempos de Operación de Equipos Fallados. Tiempo de Operación hasta la falla (hrs)
Bombas Electrosumergibles 21.6 373.6 746.6 1519.0 2773.0 63.0 430.6 756.7 1589.0 2894.0 65.1 434.0 758.8 1676.0 2939.0 83.3 446.8 977.9 1769.0 2969.0 120.5 516.8 1082.0 1789.0 3438.0 121.0 597.9 1082.0 1832.0 3595.0 135.1 629.7 1178.0 2072.0 4083.0 184.2 647.6 1282.0 2259.0 5804.0 246.4 719.7 1373.0 2290.0 6415.0 298.5 737.6 1447.0 2554.0
Tabla 2.38 Tiempos de Operación de Equipos Censados. Tiempo de Operación (hrs) Bombas
Electrosumergibles 6870.0 6900.0 6550.0 7000.0 Solución:
Para contestar las preguntas planteadas en el enunciado, es necesario seguir las siguientes etapas:
Etapa 1: Caracterizar probabilísticamente la variable tiempo en operación hasta la falla, analizando la muestra de n = 53 datos mostrados en las tablas 2.37 y 2.38 siguiendo el procedimiento resumido en el flujograma de la Figura 2.105 Etapa 2: Una vez conocida la distribución de probabilidades del tiempo de operación hasta la falla, se realizará el cálculo de confiabilidad, probabilidad de fallas y tasa de fallas utilizando las ecuaciones 2.143 y 2.145 respectivamente. El tiempo promedio para fallar se hallará utilizando la ecuación 2.144.
Etapa 3: Para destacar la importancia y el efecto de considerar los datos censados como parte de la información que debe considerarse en un análisis de confiabilidad; se realizará la caracterización probabilística en dos fases; primero considerando sólo los datos de equipos fallados y posteriormente se incluirían los datos de los equipos que no han fallado aún para constatar y discutir las diferencias.
Caracterización probabilística con datos de equipos fallados solamente:
Según el flujograma de la Figura 2.105, el primer paso para caracterizar probabilísticamente una variable es plantear hipótesis de posibles modelos paramétricos que pudieran ajustar bien en los datos de la muestra.
En este ejemplo, por tratarse de tiempos, las hipótesis que se plantean son los modelos paramétricos más usados tradicionalmente para este fin, es decir:
Hipótesis 1: Distribución Exponencial. Hipótesis 2: Distribución Weibull. Hipótesis 3: Distribución Gamma.
Seguidamente es necesario calcular los parámetros de cada distribución, con los de la Tabla 2.37, y las ecuaciones para parámetros resumidas en la Tabla 2.35:
Hipótesis 1: Parámetros de Distribución Exponencial:
000682 , 0 49 1 i i t 49 n 1 i i t n
Hipótesis 2: Parámetros de la Distribución Weibull:
n 1 i 9987 . 0 i t ln n 1 1 n 1 i i t n 1 i i t ln i t ; 869 . 1464 / 1 n n 1 i i t Hipótesis 3: Parámetros de la Distribución Gamma:
1.0469 n 1 i 2 X i t 2 n 2 n 1 i i t 1 n ;
87 . 1399 n 1 i i t ) 1 n ( n 1 i 2 X i t . n Una vez calculados los parámetros para las diferentes hipótesis, deben calcularse las probabilidades acumuladas hipotéticas F(ti) para cada valor tide la muestra. Para hacer esto, se debe ordenar en forma ascendente, los datos de la muestra, y aplicar las ecuaciones para el cálculo de F(t) de la tabla 2.36:
Hipótesis 1: Distribución Exponencial: i t 000682 . 0 e 1 ) i t ( F i t e 1 ) i t ( F ; (2.147)
(En Excel la función “Expdist(ti,λ, verdadero)=” reali・ za este cálculo) Hipótesis 2: Distribución Weibull :
998 . 0 86 . 1464 i t e 1 ) i t ( F i t e 1 ) i t ( F
; (2.148)(En Excel la función “Weibull(ti,α・,β,verdadero)=” realiza este cálculo) Hipótesis 3: Distribución Gamma:
dt t e 1 i t t 0 1 ) i t ( F (2.149)(En Excel la función “Gammadist(ti, α ,β・ ,verdadero)=” realiza este cálculo)
Seguidamente, debe calcularse los valores de la probabilidad acumulada empírica, para cada valor ti de la muestra. Como se indicó en el diagrama de la Figura 2.45 una vez que los datos de la muestra se han ordenado en forma ascendente, la probabilidad empírica se calcula con la siguiente expresión:
n i ) t ( Fˆ i ; (2.150) Donde:
i = número acumulado de fallas en el periodo ti
n = número de elementos de la muestra = 49
La tabla 2.39 muestra los resultados de aplicar las ecuaciones 2.147, 2.148, 2.149 y 2.150 a los datos de la Tabla 2.37. La figura 2.106 muestra los gráficos de Probabilidad Acumulada Empírica y Probabilidad Acumulada Teórica calculada con cada una de las distribuciones hipotéticas vs. Tiempo.
A simple vista, las tres distribuciones hipotéticas (Exponencial, Weibull y Gamma) parecen ajustar bastante bien a los datos de la muestra; no obstante, para saber si estas hipótesis son estadísticamente válidas y para seleccionar la que mejor ajusta a los datos, se debe realizar un Test de Bondad de Ajuste, de los estudiados en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2. En este ejercicio se realizará el Test de Kolmogorov – Smirnov.
Como se indicó en la sección de estadística para laconfiabilidad en el apartado 4.3.2-B el Test de Kolmogorov-Smirnov consiste básicamente en calcular los valores absolutos de las diferencias entre valores de las probabilidades acumuladas teóricas F(ti) y empíricas Fˆ(ti) para todos los datos de la muestra, como se indica en las siguientes ecuaciones: F(ti)Fˆ(ti) y F(ti)Fˆ(ti1). El resultado o valor del test, denotado como K-Svalue, es el valor absoluto de la máxima diferencia encontrada: KSvaluemaximo
F(ti)Fˆ(ti);F(ti)Fˆ(ti1)
.0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2 0.0 10 00.020 00 .03 00 0.040 00 .05 00 0.06 00 0.070 00 .0 tiem po (hrs) P robabi li dad de F a ll a s
F(t) E xponenc ial F (t) E m pirica F(ti)= i/n
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.0 1 00 0.02 00 0 .030 00 .04 00 0.05 0 00 .060 00 .070 0 0.0 tiem po (hrs) P rob ab il id ad d e F a ll a s
F(t) W eib ull F(t) E m pirica F(ti)= i/n
F(t) Empírica y F(t) Exponencial Vs. tiempo F(t) Empírica y F(t) Weibull Vs. tiempo F(t) Empírica y F(t) Gamma Vs. tiempo 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 .0 1 0 0 0.02 0 0 0 .03 0 0 0 .04 0 0 0 .0 5 0 0 0 .06 0 0 0 .07 0 0 0 .0 tiem po (hrs) P robab il idad de F a ll a s
F(t) Gam m a F(t) E m pirica F(ti)=i/n
Tabla 2.39 Cálculo de las F(t) para las distribuciones hipotéticas y F(t) empíricas para los datos de la muestra. Falla
No "i" (hrs) ti Exponencial F(t) Weibull F(t) Gamma F(t)
F(t) Empirica F(ti)=i/n 1 21.6 0.01466 0.01474 0.01236 0.02041 2 63.0 0.04206 0.04224 0.03723 0.04082 3 65.1 0.04345 0.04364 0.03852 0.06122 4 83.3 0.05528 0.05550 0.04956 0.08163 5 120.5 0.07894 0.07921 0.07195 0.10204 6 121.0 0.07925 0.07952 0.07224 0.12245 7 135.1 0.08805 0.08835 0.08066 0.14286 8 184.2 0.11810 0.11845 0.10964 0.16327 9 246.4 0.15473 0.15512 0.14541 0.18367 10 298.5 0.18429 0.18471 0.17454 0.20408 11 373.6 0.22503 0.22547 0.21501 0.22449 12 430.6 0.25455 0.25500 0.24452 0.24490 13 434.0 0.25630 0.25675 0.24628 0.26531 14 446.8 0.26276 0.26321 0.25276 0.28571 15 516.8 0.29713 0.29758 0.28732 0.30612 16 597.9 0.33500 0.33544 0.32557 0.32653 17 629.7 0.34924 0.34968 0.33999 0.34694 18 647.6 0.35718 0.35761 0.34804 0.36735 19 719.7 0.38800 0.38843 0.37936 0.38776 20 737.6 0.39543 0.39584 0.38691 0.40816 21 746.6 0.39915 0.39956 0.39070 0.42857 22 756.7 0.40328 0.40369 0.39490 0.44898 23 758.8 0.40413 0.40454 0.39577 0.46939 24 977.9 0.48687 0.48722 0.48025 0.48980 25 1082.0 0.52205 0.52237 0.51627 0.51020 26 1082.0 0.52205 0.52237 0.51627 0.53061 27 1178.0 0.55235 0.55264 0.54734 0.55102 28 1282.0 0.58302 0.58327 0.57880 0.57143 29 1373.0 0.60812 0.60834 0.60457 0.59184 30 1447.0 0.62741 0.62761 0.62438 0.61224 31 1519.0 0.64527 0.64545 0.64272 0.63265 32 1589.0 0.66182 0.66197 0.65971 0.65306 33 1676.0 0.68131 0.68144 0.67972 0.67347 34 1769.0 0.70090 0.70101 0.69982 0.69388 35 1789.0 0.70496 0.70505 0.70398 0.71429 36 1832.0 0.71349 0.71357 0.71273 0.73469 37 2072.0 0.75676 0.75679 0.75707 0.75510 38 2259.0 0.78590 0.78589 0.78686 0.77551 39 2290.0 0.79038 0.79037 0.79144 0.79592 40 2554.0 0.82493 0.82488 0.82667 0.81633 41 2773.0 0.84923 0.84915 0.85136 0.83673 42 2894.0 0.86118 0.86109 0.86347 0.85714 43 2939.0 0.86538 0.86528 0.86772 0.87755 44 2969.0 0.86810 0.86801 0.87048 0.89796 45 3438.0 0.90422 0.90410 0.90688 0.91837 46 3595.0 0.91395 0.91383 0.91663 0.93878 47 4083.0 0.93832 0.93819 0.94089 0.95918 48 5804.0 0.98094 0.98085 0.98248 0.97959 49 6415.0 0.98744 0.98736 0.98863 1.00000
Tabla 2.40 Test de Kolmogorov-Smirnov para la hipótesis 1. Hipótesis 1: Distribución Exponencial
Datos de la Muestra Probabilidad Acumulada Test de Kolmogorov-Smirnov
Falla "i" ti F(t) Teórica F(t) Empírica
1 21.6 0.01466 0.02041 0.00575 0.02041 2 63.0 0.04206 0.04082 0.00124 0.02165 3 65.1 0.04345 0.06122 0.01777 0.00263 4 83.3 0.05528 0.08163 0.02636 0.00595 5 120.5 0.07894 0.10204 0.02310 0.00269 6 121.0 0.07925 0.12245 0.04320 0.02279 7 135.1 0.08805 0.14286 0.05480 0.03439 8 184.2 0.11810 0.16327 0.04516 0.02476 9 246.4 0.15473 0.18367 0.02894 0.00853 10 298.5 0.18429 0.20408 0.01979 0.00062 11 373.6 0.22503 0.22449 0.00054 0.02095 12 430.6 0.25455 0.24490 0.00965 0.03006 13 434.0 0.25630 0.26531 0.00900 0.01140 14 446.8 0.26276 0.28571 0.02295 0.00255 15 516.8 0.29713 0.30612 0.00899 0.01142 16 597.9 0.33500 0.32653 0.00847 0.02887 17 629.7 0.34924 0.34694 0.00230 0.02271 18 647.6 0.35718 0.36735 0.01017 0.01024 19 719.7 0.38800 0.38776 0.00025 0.02066 20 737.6 0.39543 0.40816 0.01274 0.00767 21 746.6 0.39915 0.42857 0.02942 0.00902 22 756.7 0.40328 0.44898 0.04570 0.02529 23 758.8 0.40413 0.46939 0.06526 0.04485 24 977.9 0.48687 0.48980 0.00292 0.01749 25 1082.0 0.52205 0.51020 0.01185 0.03225 26 1082.0 0.52205 0.53061 0.00856 0.01185 27 1178.0 0.55235 0.55102 0.00133 0.02174 28 1282.0 0.58302 0.57143 0.01159 0.03200 29 1373.0 0.60812 0.59184 0.01628 0.03669 30 1447.0 0.62741 0.61224 0.01517 0.03558 31 1519.0 0.64527 0.63265 0.01262 0.03303 32 1589.0 0.66182 0.65306 0.00876 0.02917 33 1676.0 0.68131 0.67347 0.00784 0.02825 34 1769.0 0.70090 0.69388 0.00703 0.02743 35 1789.0 0.70496 0.71429 0.00933 0.01108 36 1832.0 0.71349 0.73469 0.02121 0.00080 37 2072.0 0.75676 0.75510 0.00166 0.02207 38 2259.0 0.78590 0.77551 0.01039 0.03080 39 2290.0 0.79038 0.79592 0.00554 0.01487 40 2554.0 0.82493 0.81633 0.00861 0.02902 41 2773.0 0.84923 0.83673 0.01250 0.03291 42 2894.0 0.86118 0.85714 0.00404 0.02444 43 2939.0 0.86538 0.87755 0.01217 0.00823 44 2969.0 0.86810 0.89796 0.02985 0.00945 45 3438.0 0.90422 0.91837 0.01414 0.00626 46 3595.0 0.91395 0.93878 0.02482 0.00441 47 4083.0 0.93832 0.95918 0.02086 0.00045 48 5804.0 0.98094 0.97959 0.00135 0.02175 49 6415.0 0.98744 1.00000 0.01256 0.00784 K-S Value 0.06526
)
(
ˆ
)
(
t
i
F
t
i1F
) ( ˆ ) (ti Fti F Una tabla similar a la Tabla 2.40 puede construirse para las dos restantes hipótesis, y calcular los valores del Test de Kolmogorov. La tabla 2.41 presenta un resumen de los resultados de aplicar este Test a las tres distribuciones hipótesis:
Tabla 2.41: K-Svalue para distribuciones hipotéticas.
Distribución Hipótesis K-Svalue
Exponencial (λ=0.000682) 0.06526
Weibull (α=1464.87; β=0.9987) 0.06484
Gamma (α=1399.8; β=1.0469) 0.07360
De igual forma, como se indicó en la sección de estadística para la confiabilidad en el punto 4.3.2-B-b, el valor crítico, para el Test de Kolmogorov, se calcula dependiendo del nivel de significancia y del número de datos de la Tabla 2.14 de la sección de estadística para la confiabilidad, muestra los valores críticos para diversos tamaños de muestra. Un extracto de esta tabla se muestra en la Tabla 2.42 que resume las fórmulas requeridas para calcular los valores críticos para diversos niveles de significancia para tamaños de muestra superiores a los 35 datos. Adicionalmente, se exponen los valores obtenidos para la muestra bajo análisis, con 49 datos.
Tabla 2.42 Valores Críticos Test Kolmogorov-Smirnov.
Tamaño de muestra “n” Significancia
20% 15% 10% 5% 1% >35 1.07n n 14 . 1 n 22 . 1 n 36 . 1 n 63 . 1 N=49 0.15286 0.16286 0.17429 0.19429 0.23286
Como puede verse, de las Tablas 2.41 y 2.42, los resultados del test para las tres hipótesis son menores que los valores críticos para cualquiera de los niveles de significancia; KSvalueValorCritico. Por esta razón, las tres distribuciones son
hipótesis no rechazadas; pero se selecciona la distribución Weibull (α=1464.87; β=0.9987), como mejor ajuste por presentar el menor K-Svalue.
Caracterización probabilística con datos de equipos fallados y datos censados.
Ahora se repetirá un procedimiento similar, siguiendo el flujograma de la Figura 2.45 pero considerando adicionalmente los llamados “datos censados”; es decir, los datos de equipos que aún no han fallado y que se resumen en la Tabla 2.38. Con esto los datos de la muestra ahora son 53.
Nuevamente el primer paso es plantear hipótesis de posibles modelos paramétricos que pudieran ajustar bien en los datos de la muestra.
En este ejemplo, tomando como premisa los resultados de la sección anterior, se hará una sola hipótesis: Hipótesis 1: Distribución Weibull
Seguidamente se calcularán los parámetros, con las ecuaciones para parámetros considerando datos censados, resumidos en la columna derecha de la Tabla 2.35.
Hipótesis 1: Parámetros de Distribución Weibull, con datos de fallas y datos censados:
0.873 49 1 i i t ln 49 1 1 4 1 j j t 49 1 i i t 4 1 j j t ln j t 49 1 i i t ln i t 45 . 1734 873 . 0 1 49 4 1 j j t 49 1 i i t Una vez calculados los parámetros la hipótesis, deben calcularse las probabilidades acumuladas hipotéticas F(ti) para cada valor ti de la muestra. Para hacer esto, se debe ordenar en forma ascendente, los datos de la muestra, y aplicar las
ecuaciones para cálculo de F(t) de la Tabla 2.36: Hipótesis 1: Distribución Weibull:
873 . 0 45 . 1734 i t e 1 ) i t ( F i t e 1 ) i t ( F
; (2.151)(En Excel la función “Weibull(ti,α・,β,verdadero)=” realiza este cálculo)
Seguidamente, se calculan los valores de la probabilidad acumulada empírica, para cada valor ti de la muestra. Como se indicó en el diagrama de la Figura 2.45 una vez que los datos de la muestra se han ordenado en forma ascendente, la probabilidad empírica se calcula con la siguiente expresión:
N i ) t ( Fˆ i ; (2.152) donde:
i = número acumulado de fallas en el periodo ti
N =n+w = número de elementos de la muestra = 53
La tabla 2.43 muestra en la ultima columna los resultados de Probabilidad Acumulada Empírica calculados con la ecuación 2.151 y en las dos columnas previas los resultados de Probabilidad Acumulada Teórica; una proveniente de una distribución Weibull (ecuación 2.150) cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados y otra procedente de una distribución Weibull calculada sólo con datos de falla en la sección anterior.
La Figura 2.107, muestra los gráficos de los resultados que se resumen en la Tabla 2.43. En este grafico pueden observarse la curva de Probabilidad Acumulada Empírica y dos curvas de Probabilidad Acumulada Teórica; una curva Weibull cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados y otra curva Weibull cuyos parámetros se calcularon sólo con datos de falla que fue obtenida en la sección anterior.
Como puede verse en la Figura 2.107, a simple vista la curva que mejor ajusta a los valores de F(t) empírica es la curva de la distribución de Weibull cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados. También puede observarse claramente que la curva de la distribución de Weibull cuyos parámetros se calcularon sólo con los datos de falla no ajusta a los valores de la F(t) empírica o F(t) de la muestra.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0 tiempo (hrs) Probabilidad de Falla s
F(t) Teorica solo con datos de Fallas F(t) Teorica con datos censados
F(t) Empirica
Tabla 2.43 Resultados
Falla "i" Ti F(t) Teórica solo datos de falla F(t) Teórica con datos censados F(t) Empirica F(t)=i/53
1 21.6 0.01466 0.02153 0.01887 2 63.0 0.04206 0.05379 0.03774 3 65.1 0.04345 0.05534 0.05660 4 83.3 0.05528 0.06818 0.07547 5 120.5 0.07894 0.09286 0.09434 6 121.0 0.07925 0.09317 0.11321 7 135.1 0.08805 0.10208 0.13208 8 184.2 0.11810 0.13164 0.15094 9 246.4 0.15473 0.16636 0.16981 10 298.5 0.18429 0.19360 0.18868 11 373.6 0.22503 0.23029 0.20755 12 430.6 0.25455 0.25639 0.22642 13 434.0 0.25630 0.25793 0.24528 14 446.8 0.26276 0.26359 0.26415 15 516.8 0.29713 0.29348 0.28302 16 597.9 0.33500 0.32605 0.30189 17 629.7 0.34924 0.33822 0.32075 18 647.6 0.35718 0.34499 0.33962 19 719.7 0.38800 0.37118 0.35849 20 737.6 0.39543 0.37747 0.37736 21 746.6 0.39915 0.38062 0.39623 22 756.7 0.40328 0.38412 0.41509 23 758.8 0.40413 0.38483 0.43396 24 977.9 0.48687 0.45465 0.45283 25 1082.0 0.52205 0.48434 0.47170 26 1082.0 0.52205 0.48434 0.49057 27 1178.0 0.55235 0.51000 0.50943 28 1282.0 0.58302 0.53607 0.52830 29 1373.0 0.60812 0.55755 0.54717 30 1447.0 0.62741 0.57415 0.56604 31 1519.0 0.64527 0.58961 0.58491 32 1589.0 0.66182 0.60401 0.60377 33 1676.0 0.68131 0.62111 0.62264 34 1769.0 0.70090 0.63846 0.64151 35 1789.0 0.70496 0.64207 0.66038 36 1832.0 0.71349 0.64969 0.67925 37 2072.0 0.75676 0.68900 0.69811 38 2259.0 0.78590 0.71620 0.71698 39 2290.0 0.79038 0.72045 0.73585 40 2554.0 0.82493 0.75389 0.75472 41 2773.0 0.84923 0.77829 0.77358 42 2894.0 0.86118 0.79062 0.79245 43 2939.0 0.86538 0.79502 0.81132 44 2969.0 0.86810 0.79789 0.83019 45 3438.0 0.90422 0.83755 0.84906 46 3595.0 0.91395 0.84887 0.86792 47 4083.0 0.93832 0.87898 0.88679 48 5804.0 0.98094 0.94335 0.90566 49 6415.0 0.98744 0.95642 0.92453
Para saber si las hipótesis planteadas son estadísticamente válidas y para seleccionar la que mejor ajusta a los datos, se debe realizar un test de bondad de ajuste, de los estudiados en la sección de estadística para laconfiabilidad en el apartado 4.3.2. Se utilizará nuevamente el test de Kolmogorov – Smirnov; es decir, se calcularán los valores absolutos de las diferencias entre valores de las probabilidades acumuladas teóricas F(ti) y empíricas Fˆ(ti) para estimar K-Svalue, es
F(ti) Fˆ(ti);F(ti) Fˆ(ti 1)
imo max value S K La Tabla 2.44 muestra los resultados del test de Kolmogorov para la hipótesis 1; es decir, la distribución Weibull con parámetros estimados considerando los datos censados:
Tabla 2.44: Resultados Kolmogorov-Smirnov. Hipótesis: Distribución Weibull (α:1734 y β:0.873)
Datos de la Muestra Probabilidad Acumulada Test de Kolmogorov-S Falla
No. i ti (hrs) F(t) Teórica con datos censados F(t) Empirica F(t)=i/53
1 21.6 0.02153 0.018868 0.002661 0.018868 2 63.0 0.05379 0.037736 0.016059 0.034927 3 65.1 0.05534 0.056604 0.001267 0.017601 4 83.3 0.06818 0.075472 0.007287 0.011581 5 120.5 0.09286 0.094340 0.001482 0.017386 6 121.0 0.09317 0.113208 0.020035 0.001167 7 135.1 0.10208 0.132075 0.029997 0.011129 8 184.2 0.13164 0.150943 0.019306 0.000438 9 246.4 0.16636 0.169811 0.003452 0.015416 10 298.5 0.19360 0.188679 0.004920 0.023788 11 373.6 0.23029 0.207547 0.022742 0.041610 12 430.6 0.25639 0.226415 0.029970 0.048838 13 434.0 0.25793 0.245283 0.012642 0.031510 14 446.8 0.26359 0.264151 0.000565 0.018303 15 516.8 0.29348 0.283019 0.010464 0.029332 16 597.9 0.32605 0.301887 0.024165 0.043033 17 629.7 0.33822 0.320755 0.017468 0.036336 18 647.6 0.34499 0.339623 0.005367 0.024235 19 719.7 0.37118 0.358491 0.012690 0.031558 20 737.6 0.37747 0.377358 0.000110 0.018978 21 746.6 0.38062 0.396226 0.015607 0.003261 22 756.7 0.38412 0.415094 0.030978 0.012110 23 758.8 0.38483 0.433962 0.049128 0.030260 24 977.9 0.45465 0.452830 0.001823 0.020691 25 1082.0 0.48434 0.471698 0.012645 0.031513 26 1082.0 0.48434 0.490566 0.006223 0.012645 27 1178.0 0.51000 0.509434 0.000562 0.019430 28 1282.0 0.53607 0.528302 0.007773 0.026641 29 1373.0 0.55755 0.547170 0.010379 0.029247 30 1447.0 0.57415 0.566038 0.008113 0.026981 31 1519.0 0.58961 0.584906 0.004702 0.023570 32 1589.0 0.60401 0.603774 0.000240 0.019108 33 1676.0 0.62111 0.622642 0.001531 0.017337 34 1769.0 0.63846 0.641509 0.003054 0.015814 35 1789.0 0.64207 0.660377 0.018312 0.000556 36 1832.0 0.64969 0.679245 0.029556 0.010688 37 2072.0 0.68900 0.698113 0.009112 0.009756 38 2259.0 0.71620 0.716981 0.000779 0.018089 39 2290.0 0.72045 0.735849 0.015400 0.003468 40 2554.0 0.75389 0.754717 0.000829 0.018039 41 2773.0 0.77829 0.773585 0.004704 0.023572 42 2894.0 0.79062 0.792453 0.001830 0.017038 43 2939.0 0.79502 0.811321 0.016305 0.002563 44 2969.0 0.79789 0.830189 0.032299 0.013431 45 3438.0 0.83755 0.849057 0.011506 0.007362 46 3595.0 0.84887 0.867925 0.019050 0.000182 47 4083.0 0.87898 0.886792 0.007815 0.011052 48 5804.0 0.94335 0.905660 0.037692 0.056559 49 6415.0 0.95642 0.924528 0.031889 0.050757 K-S Value: 0.056559486
