RESUMEN
Este artículo presenta la caracterización e identificación de un entorno acústico para el diseño y la aplicación de un sistema de control activo de ruido. El entorno acústico consiste en un ducto en el cual se propagan ruidos típicos de ambientes industriales. El modelo del entorno acústico se obtuvo por modelamiento de variables de estado, su caracterización y ajuste de parámetros, se logra experimentalmente mediante el análisis de la respuesta en frecuencia. Los resultados de la caracterización e identificación se utilizaron para el diseñar e implementar un controlador activo de ruido al interior del ducto. En esta aplicación se lograra una atenuación de ruido del orden de 50 dB al interior del ducto.
Palabras clave: control activo de ruido, respuesta en frecuencia, trayectoria acústica primaria, trayectoria acústica secundaria, trayectoria acústica de retroalimentación, presión acústica.
1.INTRODUCCIÓN
Los fundamentos de cancelación activa de ruido se remontan a (Lueg, 1936), quien analizó la superposición de frentes de ondas planas en un tubo, con el objeto de conseguir una interferencia destructiva de ondas en un camino de propagación de la onda. La idea de Paul Lueg se ilustra en la figura 1.
Fig. 1 Configuración de un sistema de control Activo de ruido en un conducto.
El experimento consiste en un dispositivo de control que toma como señal de referencia, la presión acústica medida por un sensor (micrófono de referencia), a partir de esta, el sistema de control genera una nueva señal con características de fase y amplitud especificas, y mediante un dispositivo
electro-acústico (parlante), la nueva señal de actuación del controlador, es convertida en una onda de presión acústica, que se superpone a la señal de referencia (ruido que se desea eliminar) y gracias al fenómeno de interferencia destructiva, las ondas de presión acústica que se propagan al interior del ducto se cancelan.
Fig. 2 Prototipo Experimental
Un micrófono de error cambia las condiciones de control, midiendo el componente residual de la presión acústica y retroalimentando esta señal al sistema de control.
En la figura 2 se aprecia el prototipo experimental para las pruebas en el laboratorio.
2. CARACTERIZACIÓNDEUNDUCTOACÚSTICOEN FUNCIÓNDELARESPUESTAENFRECUENCIA
La caracterización del prototipo de un ducto acústico se logra mediante su respuesta frecuencial en magnitud y fase. Para ello se generan ondas sinusoides mecánicas que se propagan al interior del ducto, con amplitud constante y frecuencia variable en estado permanente.
CARACTERIZACIÓN E IDENTIFICACIÓN DE UN SISTEMA
ACÚSTICO PARA EL CONTROL ACTIVO DE RUIDO EN
DUCTOS
José A. Tumialán Borja
Cesar H. Rodríguez Garavito
Freddy A. Murillo
Willian R. Enciso
Facultad de Ingeniería, programa en Ingeniería en Automatización- Universidad de La Sallé
Bogotá-DC- Colombia
Fig. 3 Características Dimensionales del Prototipo Experimental
Las características dimensionales del prototipo experimental se dan en la figura 3.
La caracterización del sistema comienza con la definición de las trayectorias acústicas que sufre la onda al interior del ducto. Las trayectorias acústicas de la onda se refieren al desplazamiento que sufre la señal al interior del ducto. Con base en la figura 3, se tienen tres trayectorias acústicas; la trayectoria acústica primaria, secundaria y de retroalimentación.
La trayectoria acústica primaria (x e) se refiere al desplazamiento que sufre la señal de ruido hasta la posición del micrófono de error, la trayectoria acústica secundaria (y e) se refiere al desplazamiento que sufre la señal de control hasta la posición del micrófono de error, y la trayectoria acústica de retroalimentación (y x) se refiere al desplazamiento que sufre la señal de control hasta la posición del micrófono de referencia.
Para hallar la respuesta en Magnitud y en Fase del sistema, se genera una señal sinusoidal en la fuente de ruido o en la fuente de control, dependiendo de la trayectoria acústica que se desea identificar.
Para caracterizar la trayectoria acústica primaria se genera una señal sinusoidal a una amplitud fija en el parlante de ruido, y se toma el nivel de presión acústico medido por los micrófonos de referencia y de error como señales de entrada y salida respectivamente, luego se realiza un incremento en frecuencia progresivo sobre la señal, y se toma el nivel presión sonora para la señal a esta nueva frecuencia, así sucesivamente se realiza un incremento en frecuencia en el rango de 100 a 500Hz sobre la señal y se toman las muestras del nivel de presión sonoro para cada incremento en frecuencia.
La gráfica de magnitud, figura 7, corresponde a la relación, entre la salida del micrófono de error y el micrófono de referencia, la relación en magnitud de estas dos señales en dB, se realiza mediante la expresión ( ⁄ )
donde y son los voltajes medidos por los micrófonos
de error y de referencia, para cada incremento en frecuencia tomado en el experimento.
La relación entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada en dB, nos brinda información respecto al nivel de presión acústica medido por los sensores.
De la repuesta en frecuencia de la trayectoria acústica primaria figura 7, se observa que las presiones acústicas medidas por el micrófono de referencia, van a ser mayores en su totalidad a las presiones acústicas medidas por el micrófono de error.
Con base en la figura 7, se tiene que para señales en las
cuales los rangos de frecuencia se encuentre en 400, 450, 460 y 500 Hz, la presión acústica medida por el micrófono de error, va ser mayor a la presión medida por el micrófono de referencia, en estos rangos de frecuencia el sistema podría ser inestable, esto se debe, a que no se cumple en su totalidad con el principio de causalidad [4].
La causalidad se relaciona con el tiempo requerido para ejecutar la acción de control y con los retardos existentes en el sistema [1]. Para que el sistema sea causal la distancia entre el parlante de control y el micrófono de referencia debe ser mayor a la proporción de los retardos eléctricos del sistema y a la velocidad de sonido al interior del ducto [4].
Si se propaga un sinusoide, en el parlante de control y se toma las salidas, como las señales medidas por el micrófono de error y la señal de entrada como la señal medida por el micrófono de referencia, obtenemos la función característica del camino acústico secundario figura 8.
De la figura 8 se tiene, que el promedio del número de puntos de presiones acústicas mayores a la presión generada por el parlante de control, es casi igual al número de presiones acústicas generadas por el parlante de ruido.
De los 23 puntos en frecuencia en los cuales la presión generada por el parlante de control es mayor a la presión acústica medida por el micrófono de error, abran puntos de presión acústica en los cuales el sistema no es casual, lo que provocaría inestabilidades en el sistema de control, los 18 puntos restantes en los cuales la presión acústica medida por el micrófono de error es mayor a la presión acústica generada por el parlante de control, se podría garantizar de forma a priori, que se cumple en su totalidad la causalidad en el sistema y por consiguiente, estabilidad en el sistema de control [1].
Para determinar la trayectoria de retroalimentación acústica figura 9, se varían las condiciones de salida del caso anterior (caracterización del camino acústico secundario), En este caso se toma como señal de entrada la señal generada por el parlante de control y como salida la presión medida por el micrófono de referencia.
3.IDENTIFICACIÓNDELSISTEMA DUCTO-PARLANTE
El modelamiento del entorno acústico consiste en modelar en ecuaciones diferenciales y en variables de estado el esquema físico del modelo [3], mostrado en la figura 4.
Modelado del ducto
Fig. 4 Modelo del ducto acústico
Donde son las distancias del parlante de ruido, el parlante de control y la posición del punto de medida de presión acústica, con respecto al extremo derecho del ducto,
es lalongitd del ducto, es área de los parlantes, y es el diámetro del ducto.
( ) ( ) ∑ ( ) ( )
Donde ( ) presión acústica, a una distancia x al interior del ducto en un tiempo t, c es la velocidad de propagación del sonido en el aire, es la densidad del aire [3].
La presión acústica en términos de coordenadas modales puede ser expresada como:
( ) ∑ ( ) ( )
( )
Donde ( ) ( ), son los nodos de presión acústica. Bajo las condiciones de contorno, extremos del ducto cerrado (cerrado-cerrado) [3], se obtienen las condiciones de frontera:
( ) (
) ( )
Donde x es un punto arbitrario al interior del ducto, aplicando la condición de ortogonalidad [2], y sustituyendo la ecuación 3 y 2 en la ecuación 1, e integrando el resultado, la presión acústica modal puede ser expresada como [3]:
̈ ∑ ( ) ̈ ( ) Dónde: ( )
Es la frecuencia natural modal del ducto, es el área en el modo de propagación del parlante.
Al asumir el área del parlante como una sección transversal, el lado derecho de la ecuación 4 puede ser escrita como:
∑ ∫ ( ) ̈ ( )
Donde es el área del parlante y , indica la posición de los micrófonos 1 y 2 en la poción , finalmente integrando la ecuación 6 [3], y sustituyéndola en la ecuación 3, se obtiene la ecuación final que gobierna la dinámica del ducto:
̈ ̇ ∑ ̈ ( ) ( ) * ( ) ( )+ ( )
En síntesis la ecuación 7 relaciona la información sobre las entradas y la dinámica interna del ducto, las ecuaciones 2 y 3 dotan la información requerida de la salida del sistema.
Se observa que la sumatoria infinita sobre el índice modal (n) es truncada cuando el número de modos (N), es lo suficientemente grande para que las expresiones 7 y 8 converjan, al ancho de banda de interés [3].
Modelado del Parlante
Los parlantes son modelados, como una bobina conectada a un diafragma de forma cónica, la cual esta inmersa en un campo magnético [2]. Al alimentar la bobina con corriente eléctrica, se produce un desplazamiento del diafragma, provocando de esta manera un desplazamiento en el área del cono, figura 5 (a).
En [3] se modela la salida del parlante en términos de la
aceleración, este modelo integra el modelo mecánico del parlante figura 5(a), con el modelo eléctrico figura 5(b),
Fig. 5 Modelo del Parlante
Del modelo de la figura 5(a), se tiene que M es la masa del parlante, A es la sección transversal del cono y, b y k son los coeficientes de amortiguamiento, ( ) es la presión acústica
de entrada que actúa en el área del cono.
La ecuación dinámica que describe el comportamiento del modelo mecánico mostrado en la figura 8a es:
̈ ̇ ( ) ( )
Acoplando el modelo Acústico/mecánico mediante la ecuación 8 junto con las expresiones 2 y 3 la ecuación 9 puede escribirse en términos modales como:
̈ ̇ ∑
( ) ( )
Para completar la expresión matemática que integra el modelo mecánico (figura 8a), con el modelo eléctrico (figura 8b), se suman los voltajes de la malla eléctrica (figura 8b), la ecuación que describe el comportamiento eléctrico es:
̇ ( ) ̇ ( )
Donde, y son las inductancia y la resistencia de los parlantes respectivamente y ( ) es el voltaje de entrada, en este caso produce un voltaje, proporcional a la velocidad de salida de la bobina del parlante ( ̇) la cual se opone
a la tensión aplicada.
Topología del sistema ducto parlante
Las entradas al sistema corresponden a la aceleración de las partículas de aire que generan los parlantes (parlantes de ruido y control), es decir con base en la figura ¿? se tendrán 2 variables de entrada, la aceleración del parlante de ruido ̈( ) y la aceleración generada por el parlante de control ̈ ( ) las salidas del sistema van a estar dadas por la fuerza perturbarte al interior del ducto generada por el parlante de ruido ( ) así como, la generada por el parlante de control ( ) por último, las presiones medidas por los micrófonos de referencia
( ) y error ( ) son tomadas como salidas del sistema. La figura 6 muestra la topología del sistema.
Fig. 6 Topología del sistema ducto-parlante
1) Matriz de estado del ducto: El análisis del modelo en espacio de estados se da en [3], la primera simplificación sobre el modelo, es la combinación de los términos que aparecen como constantes en la expresión 7 con la ecuación 8. Esta combinación de términos se indica con el termino ( ), y se puede escribir como :
( )
( ) ( )
La aceleración es considerada como variable de entrada en el sistema, se remplaza el término ̈ por el termino . Por último se considera que el número de modos de presión se puede truncar en un número finito N. La derivada más alta de la ecuación 7 [3] se convierte en
̈ ̇ ( ) ( ) ( )
En [3], se determina la derivada de los estados modales de propagación, Estos son expresados como
̇ . Usando estás condiciones de estado junto con las ecuación 13 la matriz queda
[ ] ( )
Debido a que los coeficientes de la ecuación 13, solo existen en las filas pares de la matriz , las filas impares de la matriz
serán cero, lo anterior es escrito como:
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( )
Las expresiones 2 y 3 definen la presión acústica en un punto arbitrario al interior del ducto, combinado las ecuaciones 2 y 3 el punto de presión acústica al interior del ducto puede ser escrita como:
( ) ∑ ( ) ( ) ( )
Donde es la localización del punto de presión acústica del micrófono de referencia y el micrófono de error respectivamente, simplificando mediante el uso de la derivada más alta [3] la ecuación 16, es descrita como:
( ) ∑ ( )
( )
Por último la ecuación que define la salida del ducto en términos de la fuerza perturbante generada por los parlantes es:
( ) ( ) ( )
De esta forma la matriz es expresada como:
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )
Finalmente la matriz es representada como una matriz de ceros, ya que los estados del sistema ya se completaron.
* + ( )
2) Matriz de estado del parlante: La configuración de las matrices de estado de los parlantes [3] se describen como:
[ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ] [ ⁄ ⁄ ] ( ) [ ⁄ ⁄ ⁄ ] [ ⁄ ] ( )
La matriz representa la dinámica de estado del parlante, los voltajes de entrada están representados por la matriz , la aceleración de las partículas de aire al interior del ducto son representadas por la matriz , por último la matriz de retroalimentación de estados está dada por la configuración
.
Los parámetros de validación del modelo de la figura 10 en espacio de estados se dan en la tabla 1. La respuesta en magnitud y en fase de las trayectorias acústicas del modelo en espacio de estados se observa en la figuras 7,8 y 9.
Tabla 1. Parámetros de validación del modelo teórico
DUCTO PARLANTES
parámetros valor parámetros valor
A b K M - -
Fig. 8 Identificación de la trayectoria caustica secundaria
Fig. 9 Identificación de la trayectoria caustica de retroalimentación
La respuesta obtenida con el modelo teórico fue bastante satisfactoria, se pudo identificar el patrón característico de la respuesta del sistema, el margen de correlación entre la respuesta del modelo teórico y la respuesta en frecuencia del sistema está en el orden de 85%.
4.SIMULACIÓNDE MODELOSDECONTROL ACTIVODERUIDO
Una vez validado el modelo teórico mediante variables de estado, el paso a seguir es su validación, junto con los modelos de control [1].
De ésta validación [1] se identificaron las estructuras de control más eficientes para el control de ruido al interior del ducto, tabla 2.
Tabla 2. Categorización para la implementación de los modelos de control para la cancelación activa de ruido.
alg o rit m o Nu m ero d e co eficie n tes Ve lo cid ad d e co n v erg en cia esta b il id ad An ch o d e b an d a De l siste m a d e co n tr o l Gra d o d e d ifi cu lt ad p ara la imp lem en tac i ón FXLMS Feedforward
60 Media Alta Medio
Medio FBXLMS 120 Media Media Medio Medio
Feedforward FXLMS
Feedback 60 Baja Baja Bajo Fácil FXLMS
Hibrido
120 Alta Media Alto
Difícil FBXLMS
Hibrido 120 Media Media Medio Difícil Para las pruebas experimentales, del sistema de control activo de ruido en el prototipo experimental, se utilizó la unidad de control de National Instruments Compact RIO 9014 (NI cRIO-9014), que es un controlador embebido que trabaja en tiempo real con características Freescale MPC5200 de 400 MHz.
Durante las pruebas realizadas con el prototipo experimental se lograron atenuar señales sinusoidales hasta de tres tonos, la figura 10 muestra la repuesta del controlador FBFXLMS en tiempo real para un tono de 160 HZ, en esta se puede apreciar la atención lograda sobre esta señal, la cual está por el orden de los 22 dB.
Fig. 10 Respuesta del controlador modelo FBFXLMS en tiempo real para una señal de un tono de 160 HZ. En la figura 11 se aprecia la respuesta del controlador FBFXLMS para una señal de dos tonos, la atenuación lograda sobre esta señal se encuentra por el orden de los 35 dB
Fig. 11 Respuesta del controlador modelo FBFXLMS en tiempo real para una señal de dos tonos de 190 y 390 HZ. La figura 12 muestra la respuesta del controlador FXLMS en tiempo real para una señal sinusoidal de 330 HZ, la figura 16 muestra la respuesta del controlador para una señal monotonal de 190 y 390 HZ, en estas figuras se aprecian los niveles de presión acústica atenuados, los cuales están por el orden de los 30 dB, y 20 dB respectivamente para cada señal.
Figura 12 Respuesta del controlador modelo FXLMS en tiempo real para una señal de un tono de 170 HZ.
Figura 13 Respuesta del controlador modelo FXLMS en tiempo real para una señal de dos tonos de 180 y 380 HZ.
5.CONCLUSIONES
El ajuste del modelo teórico, con el modelo experimental, se logró mediante la respuesta en frecuencia característica del sistema. Entre más reducido sea el margen de correlación entre la respuesta del modelo teórico y del modelo experimental, la predicción de los rangos de funcionamiento del controlador ajustado en la simulación, se acerca más a los rangos de funcionamiento reales del controlador validado en tiempo real. Con base en la caracterización y la identificación del sistema acústico, se logró validar el sistema de control activo de ruido al interior del ducto, identificando las estructuras de control más eficientes para la aplicación.
6.AGRADECIMIENTOS
A la Universidad De La Salle, a su departamento de Ingeniería en Automatización, a su laboratorio de Investigaciones perteneciente al grupo AVARC, Automatización, Visión Artificial, Robótica y Control.
7.REFERENCIAS
[1] CARDENAS NUÑEZ, Israel Jorge, “O Controle Ativo de Ruído em Dutos: Um Estudo Teórico - Experimental”, Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecánica Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecánica, 2005, Brasil.
[2] BISNETTE, Jesse B, “Active Noise Control Using Modally Tuned Phase-Compensated Filters”, BS, University of Pittsburgh, 2002, EE.UU.
[3] DELFINO, Leandro Cesar, “Tesis de Maestría En, Controle Ativo de Ruído em Dutos Utilizando Processadores Digitais de sinais”, Universidad Federal de Uberlândia, 2005, Brasil.
[4] MURILLO R, Freddy A. ENCISO N, William R “Metodología De Control Activo De Ruidos En Ductos”, Universidad de la sallé, 2009 Colombia .
