Modelação de Ligações Viga-Pilar na Análise de Estruturas Porticadas Planas de Betão Armado

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Ricardo Joel Teixeira Costa

MODELAÇÃO DE LIGAÇÕES VIGA-PILAR NA ANÁLISE DE

ESTRUTURAS PORTICADAS PLANAS DE BETÃO ARMADO

Dissertação de Doutoramento na área científica de Engenharia Civil, especialidade de Estruturas, orientada pelo Professor Doutor Paulo Manuel Mendes Pinheiro da Providência e Costa e pelo Professor Doutor Alfredo Manuel Pereira Geraldes Dias e apresentada ao Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra.

Trabalho realizado com o apoio da Fundação para a Ciência e Tecnologia por intermédio da bolsa SFRH/BD/36605/2007 no âmbito do QREN - POPH - Tipologia 4.1 - Formação Avançada, comparticipado pelo Fundo Social Europeu e por fundos nacionais do MCTES.

Ricardo Joel Teixeira Costa

MODELAÇÃO DE LIGAÇÕES VIGA-PILAR NA ANÁLISE DE

ESTRUTURAS PORTICADAS PLANAS DE BETÃO ARMADO

Dissertação de Doutoramento na área científica de Engenharia Civil, especialidade de Estruturas, orientada pelo Professor Doutor Paulo Manuel Mendes Pinheiro da Providência e Costa e pelo Professor Doutor Alfredo Manuel Pereira Geraldes Dias e apresentada ao Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra.

Resumo

Os modelos convencionais de análise de estruturas porticadas de betão armado assumem que (i) as ligações viga-pilar são rígidas ou (ii) o seu comportamento pode ser representado por modelos vocacionados para simular o comportamento de elementos lineares. No primeiro caso despreza-se o efeito do comportamento das ligações viga-pilar sobre o comportamento global da estrutura. No segundo caso as ligações viga-pilar são substituídas por prolongamentos dos elementos lineares adjacentes, o que reduz a complexidade do problema original. Existe uma convicção generalizada, ainda que não fundamentada, de que os erros associados a estes modelos são admissíveis. No entanto, ambos os modelos são desadequados, na medida em que o primeiro obscurece o efeito do comportamento da ligação, enquanto o segundo não contempla as diferenças de comportamento entre ligações viga-pilar e elementos lineares.

Foram desenvolvidos, por diversos investigadores, vários modelos mecânicos de comportamento para ligações viga-pilar de estruturas porticadas de betão armado que podem ser classificados em dois grupos: (i) modelos rigorosos, especialmente para o caso das acções cíclicas e (ii) modelos simplificados, habitualmente materializados por molas angulares nas extremidades das vigas. Os modelos do primeiro grupo são vocacionados para a simulação numérica de ensaios experimentais de ligações viga-pilar isoladas e são desadequados para uma utilização corrente, na medida em que (i) são complexos, não permitindo a construção de modelos estruturais de forma célere, (ii) são computacionalmente exigentes e (iii) dependem de muitos parâmetros sem significado físico evidente. Os modelos do segundo grupo, apesar de poderem ser calibrados para situações específicas, (i) não conduzem a resultados aceitáveis numa gama de configurações suficientemente grande para permitir a sua utilização generalizada, (ii) não simulam adequadamente os modos de deformação dominantes nas ligações e (iii) não é simples o relacionamento entre as grandezas estáticas e cinemáticas usadas para definir o seu comportamento e as grandezas estáticas e cinemáticas habitualmente consideradas mais relevantes para qualificar o comportamento das ligações viga-pilar.

O presente estudo pretende contribuir para a clarificação do comportamento quase-estático monotónico das ligações viga-pilar de estruturas porticadas de betão armado, para a identificação dos seus efeitos e para a sua adequada modelação.

O estudo é iniciado com a revisão bibliográfica, que estabelece o estado de conhecimento actual sobre ligações viga-pilar em estruturas porticadas de betão armado, sobre o qual o presente estudo se alicerçou. Segue-se uma análise exploratória que visa avaliar, de forma simples e expedita, se é necessária a existência de modelos mecânicos consistentes para ligações viga-pilar em estruturas porticadas de betão armado, concluindo-se que, em determinadas situações, é.

De modo a complementar este resultado, avaliou-se, com o auxílio do programa de elementos finitos ATENA 3D, se o dimensionamento da armadura longitudinal das vigas e pilares com

devem ser consideradas como um prolongamento das vigas e pilares adjacentes, mas sim como elementos estruturais independentes.

No seguimento destas conclusões, é desenvolvido um modelo de ligação viga-pilar baseado no método das componentes. Para tal, foram inicialmente identificadas as componentes relevantes das ligações viga-pilar de estruturas porticadas de betão armado, com pormenorizações de armadura correntes, e seguidamente, foram desenvolvidos, analisados e validados modelos de comportamento para estas componentes.

Com o modelo de ligação viga-pilar desenvolvido formulou-se um novo elemento, que foi adicionado ao programa de elementos finitos EvalS, vocacionado para análise de estruturas reticuladas planas, juntamente com um modelo seccional de fibras para elementos lineares, para o que foi necessário ter em consideração as especificidades do método das forças fictícias (MFF), o procedimento de análise materialmente não linear implementado no EvalS.

Este programa foi seguidamente utilizado para avaliar o efeito do comportamento das ligações viga-pilar (i) sobre a capacidade de carga e a deformabilidade lateral de estruturas porticadas correntes e (ii) sobre os resultados da avaliação do desempenho sísmico de estruturas dimensionadas de acordo com as disposições actuais recorrendo a uma análise pushover. Concluiu-se que a não consideração do comportamento efectivo das ligações viga-pilar pode conduzir a resultados pouco rigorosos.

Tendo em atenção estes resultados, foram estabelecidos procedimentos simplificados para avaliar, de forma expedita, a relevância da deformabilidade das ligações viga-pilar em estruturas porticadas de betão armado e, desta forma, identificar em que condições é adequada a utilização dos modelos simplificados referidos acima.

Por fim, avaliou-se, novamente com o auxílio do programa ATENA 3D, o impacto de diversos factores na rigidez e na capacidade resistente das ligações viga-pilar, entre os quais, a pormenorização da armadura, a configuração da ligação e o esforço axial nos pilares.

Abstract

Conventional structural models of reinforced concrete frames assume beam-column joints to be either rigid or represented by a centreline joint model. The rigid joint model fully ignores the influence of the beam-column joint behaviour over the overall behaviour of the frame. The centreline joint model replaces the beam-column joint by one-dimensional beams and columns framing into the joint, thus reducing the complexity of the original problem. There is a widespread belief that the error associated with either of these models is admissible. However, both models are inadequate because the former obscures the effect of the behaviour of the beam-column joint while the latter excludes the behaviour differences between beams/columns and beam-column joints.

Several investigators have developed mechanical models for beam-column joints in reinforced concrete frames that may be included in two main groups: (i) complex models, mainly aimed for cyclic actions, and (ii) simplified models, where the beam-column joint flexibility is simulated through hinges at the ends of the beams framing into the beam-column joint. Models in the former group are more suitable for numerical simulation of experimental tests and are not suited for everyday use in design offices, because (i) they are too complicated, the development of a structural model becoming a hard task, (ii) they are computationally demanding and (iii) they depend on many parameters without a clear physical meaning. The models in the latter group can be calibrated for specific situations, but (i) they do not provide acceptable accuracy for a widespread use, (ii) they do not simulate properly the main deformation modes in beam-column joints and (iii) their constitutive laws are not directly related to the most relevant variables for beam-column joint behaviour.

The objectives of the present study are threefold. First, to contribute to the clarification of the quasi-static monotonic behaviour of beam-column joints in reinforced concrete frames. Second, to identify the effects of this behaviour. And, finally, to define appropriate modelling approaches for beam-column joints in reinforced concrete frames.

The study begins with a literature review, establishing the current state of knowledge on beam-column joints in reinforced concrete frames. This is followed by an exploratory analysis aiming to evaluate, in a simple way, if consistent mechanical models are required for beam-column joints in reinforced concrete frames. It was found that, in certain situations, these more rigorous models are required.

In order to complement the former analysis, the finite element program ATENA 3D was used in order to assess if it is safe to design the reinforcement of beams and columns in accordance with the internal forces at the joint boundary. The results of this analysis strengthened the previous findings that beam-column joints should be modelled as independent structural elements and not as simple extensions of beams and columns.

Following these findings, a model based on the components method was developed for beam-column joints in reinforced concrete frames. This required the identification of the relevant components of beam-column joints in reinforced concrete frames, for standard rebar detailing

A new element was developed according the proposed beam-column joint model. This element was implemented in EvalS, a finite element program for the nonlinear the analysis of skeletal structures, along with a sectional fibre model for linear elements. The implementation of these models took into account the particularities of the Fictitious Forces Method (MFF), the analysis procedure implemented in EvalS for material nonlinear analysis.

EvalS was then used to evaluate the effect of the behaviour of beam-column joints (i) on the load capacity and lateral deformability of reinforced concrete frames and (ii) on the results of the evaluation of the seismic performance of structures designed according to the current codes using a pushover analysis. It was found that beam-column joint behaviour must be taken into account in order to get accurate results.

Bearing in mind these results, simplified procedures were established to evaluate, in a simple manner, the significance of the deformability of the beam-column joints in reinforced concrete frames and thus identify the conditions under which it is appropriate to use the simple models mentioned above.

Finally, it was evaluated, again with ATENA 3D, the impact of various factors on the stiffness and load capacity of beam-column joints, including the detailing of the rebars, the connection configuration and the value of axial force in the columns.

Palavras-chave

ligações viga-pilar betão armado estruturas porticadas

método dos elementos finitos método das componentes flexibilidade/rigidez classificação

Keywords

Agradecimentos

Ao Professor Doutor Paulo Providência e Costa e ao Professor Doutor Alfredo Dias, meus orientadores científicos, por aceitarem orientar-me, pelas incontáveis horas que despenderam, pela paciência e disponibilidade com que o fizeram, pelos ensinamentos, pelas inúmeras sugestões e correcções, pelo apoio, pela amizade, incentivo, confiança e camaradagem, a minha profunda gratidão e sincero reconhecimento.

Ao Professor Doutor Luís Cruz Simões, coordenador do Laboratório de Estruturas, agradeço o apoio e as condições que proporcionou para a realização deste trabalho.

Ao Professor Fernando Gomes não posso deixar de agradecer as longas e agradáveis discussões, os esclarecimentos, as sugestões e a disponibilidade.

Ao Miguel Ferreira, pela amizade e camaradagem, pela disponibilidade, pelas inúmeras sugestões, por facultar e explicar o código do EvalS e ter auxiliado nas tarefas de programação, o meu muito obrigado.

Ao Pedro Gala quero agradecer a amizade, a disponibilidade, os esclarecimentos e as discussões relativas ao MFF.

Da mesma forma manifesto a minha gratidão e reconhecimento ao Anísio Andrade pela amizade, pelas sugestões, pelas agradáveis conversas, pelo carácter e pelo rigor científico. À minha família, em particular aos meus pais, agradeço os sacrifícios, o apoio, a compreensão e encorajamento permanente.

Um agradecimento muito especial à Marina por tudo e em particular pelo carinho, incentivo, compreensão e apoio incondicionais em todos os momentos.

Finalmente, a todos os que de alguma forma contribuíram para o meu percurso académico, ao Ricardo Oliveira, à Dulce Marques e aos demais colegas do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Coimbra, o meu muito obrigado pelo apoio, preocupação e encorajamento.

Índice geral

Índice geral ... xiii

Índice de figuras ... xxi

Índice de tabelas ... xxxiii

Simbologia ... xxxvii

Letras latinas minúsculas ... xxxvii

Letras latinas maiúsculas ... xxxix

Letras gregas minúsculas ... xlii Letras gregas maiúsculas... xliv Subscritos ... xliv Sobrescritos ... xlv Abreviaturas ... xlvi Capítulo 1 Introdução ... 1 1.1. Enquadramento do tema ... 1 1.2. Objectivos do estudo ... 4

1.3. Organização deste documento ... 5

Capítulo 2 Revisão bibliográfica e terminologia... 9

2.1. Introdução ... 9

2.2. Terminologia básica ... 10

2.2.1. Ligação viga-pilar ... 10

2.2.2. Classificação das ligações viga-pilar ... 12

2.2.2.1. Classificação das ligações de acordo com o tipo de solicitação ... 12

2.2.2.2. Classificação das ligações de acordo o número e disposição de elementos adjacentes (configuração da ligação) ... 12

2.2.2.3. Classificação das ligações de acordo com a pormenorização da armadura ... 13

2.2.2.4. Classificação das ligações de acordo com as suas propriedades mecânicas ... 14

2.3. Modelação de ligações viga-pilar em estruturas de betão armado ... 19

2.3.1. Modelos de ligação viga-pilar implícitos ... 19

2.3.2.2. Modelos mecânicos/macro-elementos ... 26

2.3.3. Modelação corrente de ligações viga-pilar em estruturas de betão armado ... 29

2.4. Estudos experimentais ... 30

2.5. Normas e outras especificações técnicas ... 35

2.5.1. NP EN 1992-1-1 ... 36

2.5.2. NP EN 1998-1 ... 36

2.5.2.1. Edifícios de classe de ductilidade média (DCM) ... 37

2.5.2.2. Edifícios de classe de ductilidade elevada (DCH) ... 37

2.5.2.3. Disposições relativas a amarrações ... 39

2.5.2.4. Outras disposições relevantes ... 40

2.5.3. ACI-ASCE 352 ... 40

2.5.4. ACI 318-08 ... 44

2.5.5. ASCE/SEI 41-06 ... 45

2.6. Notas finais ... 47

Capítulo 3 Importância de um modelo mecânico consistente para ligações viga-pilar ... 49

3.1. Introdução ... 49

3.2. Influência da dimensão da ligação na grandeza dos esforços utilizados no dimensionamento das vigas e pilares ... 50

3.2.1. Relação entre esforços na interface da ligação e na intersecção dos eixos dos elementos .... 50

3.2.2. Relação entre esforços nas extremidades efectivas da viga e do pilar ... 52

3.3. Efeito da flexibilidade das ligações viga-pilar no comportamento de estruturas porticadas de betão armado ... 53

3.3.1. Generalidades ... 53

3.3.2. Critérios simplificados para avaliação da relevância da flexibilidade das ligações viga-pilar .. 54

3.3.3. Avaliação do efeito da deformabilidade das ligações viga-pilar sobre a capacidade de carga das estruturas de betão armado ... 62

3.3.3.1. Conversão dos resultados experimentais... 63

3.3.3.2. Validação dos resultados experimentais ... 66

3.3.3.3. Análise estrutural não linear ... 68

3.3.3.4. Estudo paramétrico ... 73

3.4. Notas finais ... 84

Capítulo 4 Análise dos campos de tensões nas armaduras em ligações viga-pilar de estruturas porticadas de betão armado ... 87

4.1. Introdução ... 87

4.2. Resultados experimentais relevantes ... 88

4.3. O programa ATENA 3D ... 89

4.3.1. Selecção do programa informático de análise por elementos finitos ... 89

4.3.2.1. Betão ... 90

4.3.2.2. Armaduras ... 97

4.3.2.3. Aderência aço-betão ... 97

4.3.3. Elementos finitos, geração da malha e resolução do sistema de equações ... 99

4.4. Validação do programa ATENA 3D para modelação de ligações viga-pilar de betão armado ... 99

4.4.1. Introdução ... 99

4.4.2. Malhas e tipos de elementos finitos adoptados ... 100

4.4.3. Modelos materiais adoptados e respectivos parâmetros ... 102

4.4.4. Calibração dos parâmetros da lei constitutiva do betão ... 104

4.4.5. Objectividade da malha ... 107

4.4.6. Efeito das condições de aderência ... 109

4.5. Estudo do estado de tensão nas armaduras longitudinais das vigas e pilares no interior da ligação viga-pilar... 110 4.5.1. Introdução ... 110 4.5.2. Ligações interiores ... 111 4.5.2.1. Carregamento gravítico (CG) ... 112 4.5.2.2. Carregamento lateral (CL) ... 115 4.5.3. Ligações de extremidade ... 123

4.5.4. Ligações de cobertura de extremidade ... 129

4.5.4.1. Momentos de fecho (MF) ... 131

4.5.4.2. Momentos de abertura (MA) ... 132

4.6. Notas finais ... 133

Capítulo 5 Modelo para ligações viga-pilar de estruturas porticadas de betão armado ... 135

5.1. Introdução ... 135

5.2. O método das componentes ... 136

5.2.1. Enquadramento do método das componentes ... 136

5.2.2. Fundamentos do método das componentes ... 137

5.2.3. Aplicação do método das componentes às estruturas metálicas e mistas ... 138

5.3. Modelação de ligações viga-pilar de betão armado ... 140

5.3.1. Porquê um macro-elemento? ... 141

5.3.1.1. Continuidade do pilar na zona da ligação ... 141

5.3.1.2. Contabilização rigorosa dos esforços ... 141

5.3.1.3. Dimensão relativa da ligação viga-pilar ... 142

5.3.1.4. O cálculo manual ... 142

5.3.1.5. Adequação da simplificação da modelação da componente alma do pilar ao corte ... 142

5.3.2. Modelo de ligação viga-pilar proposto ... 143

5.3.2.1. Componentes relevantes em ligações viga-pilar de betão armado ... 143

5.3.2.2. Caracterização do comportamento das componentes ... 145

5.4. Componentes amarração em tracção e compressão ... 154 5.4.1. Introdução ... 154 5.4.2. Amarrações rectilíneas ... 155 5.4.2.1. Formulação do problema ... 155 5.4.2.2. Modelo simplificado ... 156 5.4.3. Amarrações curvilíneas ... 158 5.4.3.1. Formulação do problema ... 160 5.4.3.2. Modelo simplificado ... 161

5.4.4. A localização das deformações ... 166

5.4.5. Implementação dos modelos ... 167

5.4.5.1. Justificação da abordagem adoptada ... 167

5.4.5.2. Modelo de amarração rectilínea ... 172

5.4.5.3. Modelo de amarração curvilínea... 172

5.4.6. Validação dos modelos simplificados ... 174

5.4.7. Tendências experimentais em amarrações com troços curvilíneos ... 179

5.4.8. Componente amarração traccionada e componente amarração comprimida ... 180

5.5. Componente núcleo da ligação ao corte ... 183

5.5.1. Introdução ... 183

5.5.2. Modelos de comportamento para o núcleo da ligação ao corte ... 184

5.5.2.1. Modelos de painel ... 185

5.5.2.2. Modelos de escora diagonal ... 187

5.5.2.3. Modelos não fundamentados em analogias físicas ... 191

5.5.3. Análise comparativa dos modelos de comportamento para o núcleo da ligação ao corte ... 196

5.6. Notas finais ... 205

Capítulo 6 Análise estrutural com modelação explícita das ligações viga-pilar ... 207

6.1. Introdução ... 207

6.2. Implementação do modelo de ligação viga-pilar no EvalS ... 208

6.2.1. Relações de equilíbrio e compatibilidade ... 209

6.2.2. Matriz de rigidez do elemento ligação viga-pilar ... 210

6.2.3. Relação de equilíbrio na configuração deformada da ligação ... 212

6.2.4. Interface gráfico do EvalS para ligações viga-pilar ... 218

6.3. Modelo seccional de fibras para elementos lineares – implementação no EvalS ... 220

6.3.1. Modelo de fibras ... 221

6.3.1.1. Propriedades geométricas da secção transversal ... 222

6.3.1.2. Cálculo dos esforços na secção recorrendo ao modelo de fibras ... 224

6.3.1.3. Relação momento-curvatura-esforço axial ... 225

6.3.3. Interface gráfico do EvalS para modelos de fibras ... 232

6.4. O método das forças fictícias (MFF) ... 234

6.4.1. Integração do modelo seccional de fibras no MFF ... 235

6.4.2. Integração de modelo de ligação viga-pilar no MFF ... 238

6.4.3. Formula recursiva para as formulações total e incremental do MFF ... 240

6.5. Validação dos modelos ... 243

6.5.1. Elementos 1D ... 243

6.5.1.1. Estruturas com solução analítica ... 243

6.5.1.2. Tirantes de betão armado ... 246

6.5.1.3. Vigas de betão armado em flexão simples ... 247

6.5.1.4. Ocorrência de localização das deformações em elementos viga-pilar de betão armado ... 250

6.5.1.5. Flexão composta e beam growth em elementos viga-pilar de betão armado ... 252

6.5.1.6. Notas finais relativas à modelação de elementos lineares ... 256

6.5.2. Subestruturas com ligações viga-pilar ... 256

6.5.2.1. Ligações viga-pilar interiores ... 257

6.5.2.2. Ligações viga-pilar de extremidade ... 260

6.5.2.3. Notas finais relativas à modelação de substruturas ... 264

6.6. Influência da ligação viga-pilar sobre a capacidade de carga da estrutura ... 265

6.6.1. Análise de subestruturas (estruturas arquétipo) ... 267

6.6.1.1. Subestruturas utilizadas ... 268

6.6.1.2. Propriedades mecânicas e geométricas das vigas, pilares e ligação viga-pilar ... 268

6.6.1.3. Efeito da resistência da ligação viga-pilar sobre a capacidade de carga da subestrutura ... 271

6.6.1.4. Efeito conjunto da resistência e da flexibilidade da ligação viga-pilar na capacidade de carga da estrutura arquétipo ... 273

6.6.1.5. Efeito da flexibilidade da ligação viga-pilar sobre a deformabilidade lateral da subestrutura ... 275

6.6.2. Análise de estruturas porticadas completas ... 276

6.6.2.1. Caracterização da estrutura ... 277

6.6.2.2. Propriedades mecânicas e geométricas das vigas, pilares e ligações viga-pilar... 278

6.6.2.3. Efeito do comportamento da ligação viga-pilar na capacidade de carga da estrutura completa ... 280

6.6.2.4. Efeito do comportamento da ligação viga-pilar na deformabilidade lateral da estrutura completa ... 283

6.7. Influência da deformação da ligação viga-pilar nos resultados da análise pushover... 284

6.7.1. Considerações gerais ... 284

6.7.2. Caracterização da estrutura analisada ... 285

6.7.3. Modelação do comportamento da estrutura ... 286

6.7.4.2. Curvas de capacidade ... 288

6.7.4.3. Pontos de desempenho ... 289

6.7.4.4. Deslocamento relativo entre lajes ... 289

6.7.4.5. Esforços e deformações locais ... 290

6.7.4.6. Sensibilidade aos efeitos de segunda ordem ... 292

6.8. Notas finais ... 293

Capítulo 7 Avaliação simplificada da necessidade de modelação explícita de ligações viga-pilar ... 295

7.1. Introdução ... 295

7.2. Análise crítica do critério de classificação de acordo com a rigidez da NP EN 1993-1-8 ... 296

7.3. Avaliação da representatividade da estrutura arquétipo ... 297

7.3.1. Condições de fronteira das estruturas arquétipo ... 298

7.3.2. Esforços nas secções extremas das vigas e pilares ... 300

7.3.3. Deslocamento lateral relativo ... 302

7.3.4. Notas finais relativas à representatividade das estruturas arquétipo ... 303

7.4. Estrutura arquétipo com ligação viga-pilar explícita ... 303

7.4.1. Simplificações na estrutura arquétipo ... 303

7.4.2. Rigidez efectiva ou equivalente ... 306

7.5. Comparação dos modelos rígido e explícito para ligação viga-pilar ... 312

7.5.1. Erro relativo dos deslocamentos laterais ... 312

7.5.2. Incremento dos esforços e redução de capacidade de carga ... 314

7.5.3. Evolução das parcelas do erro relativo dos deslocamentos laterais ... 317

7.5.4. Classificação das ligações viga-pilar ... 319

7.5.4.1. Efeito da deformação das ligações sobre os campos de esforços... 319

7.5.4.2. Efeito da deformação da ligação viga-pilar sobre o drift (CSC4-DR) ... 326

7.6. Comparação dos modelos de eixos e explícito para ligação viga-pilar ... 327

7.6.1. Variação relativa dos deslocamentos ... 327

7.6.2. Evolução das parcelas do erro relativo dos deslocamentos laterais ... 329

7.6.3. Incremento dos esforços ... 331

7.6.4. Classificação das ligações viga-pilar ... 331

7.6.4.1. Efeito da deformação da ligação sobre os campos de esforços ... 331

7.6.4.2. Efeito da deformação da ligação viga-pilar sobre o drift (CSC4-DE) ... 334

7.7. Avaliação e exemplificação dos critérios simplificados de classificação ... 334

7.7.1. Modelo rígido vs. modelo explícito ... 336

7.7.2. Modelo de eixos vs. modelo explícito ... 338

7.8. Notas finais ... 339

Capítulo 8 Estudo paramétrico do comportamento de ligações viga-pilar recorrendo ao MEF ... 341

8.2. Caracterização do comportamento do núcleo da ligação viga-pilar ... 342

8.3. Espécimes laboratoriais de referência ... 345

8.3.1. Ligação viga-pilar interior (IJ) ... 345

8.3.2. Ligação viga-pilar de extremidade (EJ) ... 346

8.4. Ligação viga-pilar interior ... 348

8.4.1. Análise do modelo IJ-Ref ... 348

8.4.2. Efeito da quantidade de armadura transversal na ligação ... 350

8.4.3. Efeito de varões verticais intermédios nos pilares ... 356

8.4.4. Efeito de varões diagonais na ligação ... 358

8.4.5. Efeito da resistência à compressão do betão ... 364

8.4.6. Efeito do esforço axial nos pilares ... 365

8.4.7. Efeito da configuração da ligação na direcção ortogonal ao plano do pórtico ... 368

8.5. Ligação viga-pilar de extremidade ... 371

8.5.1. Análise do modelo EJ-Ref... 371

8.5.2. Efeito da quantidade de armadura transversal na ligação ... 373

8.5.3. Efeito de varões verticais intermédios nos pilares ... 376

8.5.4. Efeito de varões diagonais na ligação ... 377

8.5.5. Efeito do diâmetro interno da dobra dos varões da armadura longitudinal das vigas ... 378

8.5.6. Efeito das chapas de ancoragem na armadura longitudinal da viga ... 382

8.5.7. Efeito da resistência à compressão do betão ... 383

8.5.8. Efeito do esforço axial nos pilares ... 386

8.5.9. Efeito da configuração da ligação na direcção ortogonal ao plano do pórtico ... 387

8.6. Notas finais ... 390

Capítulo 9 Principais conclusões e propostas para estudos adicionais ... 395

9.1. Resumo do estudo efectuado ... 395

9.2. Principais conclusões ... 396

9.3. Propostas de estudos adicionais ... 398

Anexo Modelação simplificada da componente amarração... 401

A.1. Introdução ... 401

A.2. Relações tensão de aderência-escorregamento ... 401

A.2.1. MC90/MC2010 ... 403

A.2.2. Tensão de aderência constante por troços ... 406

A.3. Modelos simplificados para amarração rectilínea e relação constitutiva τ-s constante por troços ... 407

A.3.1. Modelo com aderência dependente da tensão longitudinal no varão ... 407

A.3.1.1. Relações estruturais ... 408

A.3.1.2. Particularização das relações estruturais ... 409

A.3.2. Modelo com valor da tensão de aderência independente da tensão normal do varão ... 413

A.3.2.1. Relações constitutivas ... 414

A.3.2.2. Determinação do comportamento da amarração ... 415

A.4. Notas finais ... 430

Referências bibliográficas ... 433

Índice de figuras

Figura 1.1 – Representação esquemática dos capítulos da tese e das principais relações entre eles. ... 8

Figura 2.1 – Terminologia básica: (a) vista lateral de uma ligação viga-pilar com vigas de secção transversal de diferentes alturas e (b) vista em planta de uma ligação viga-pilar excêntrica. ... 10

Figura 2.2 – Identificação das secções transversais das vigas e pilares. ... 10

Figura 2.3 – Terminologia utilizada pela NP EN 1993-1-8 (IPQ [2010c]), (a) configuração de junta só num lado, (b) configuração de junta em dois lados. ... 15

Figura 2.4 – Modelação da junta (IPQ [2010c]) nos casos de (a) viga num só lado, (b) viga de ambos os lados. ... 16

Figura 2.5 – Juntas de resistência total (IPQ [2010c]), (a) ligação viga-pilar de cobertura de extremidade, (b) ligação viga-pilar de extremidade. ... 17

Figura 2.6 – Classificação das juntaspor rigidez (IPQ [2010c]). ... 18

Figura 2.7 – Modelos implícitos de ligação viga-pilar, (a) modelo de eixos, (c) modelo de troços rígidos (0 ≤β≤ 1), (b) modelo de ligação rígido. ... 20

Figura 2.8 – Modelo de ligação proposto por Elmorsi, Kianoush et al. [2000]... 22

Figura 2.9 – Modelo de ligação proposto por Fleury, Reynouard et al. [2000]. ... 22

Figura 2.10 – Modelo de ligação proposto por Youssef e Ghobarah [2001]. ... 27

Figura 2.11 – Modelo de ligação proposto por Lowes e Altoontash [2003]... 27

Figura 2.12 – Modelo de ligação proposto por Altoontash [2004]. ... 28

Figura 2.13 – Modelo de ligação proposto por Shin e LaFave [2004]. ... 28

Figura 2.14 – Modelo de ligação proposto por Tajiri, Shiohara et al. [2006]. ... 28

Figura 2.15 – Ligação viga-pilar no Cypecad (a) modelação da ligação viga-pilar, (b) equilíbrio de esforços na ligação viga-pilar (adaptado de CYPE Ingenieros S.A. [2012b]). ... 30

Figura 2.16 – Diagramas de esforços no interior da ligação, (a) momentos flector e (b) esforço transverso (adaptado de CYPE Ingenieros S.A. [2012b]). ... 30

Figura 2.17 – Configurações de ensaios experimentais, (a) ligações de cobertura de extremidade submetidas a momento de abertura, (b) ligação de extremidade, (c) ligação interior. ... 31

Figura 2.18 – Pormenorização da armadura das ligações viga-pilar (Taylor [1974]). ... 31

Figura 2.19 – Resultados experimentais das ligações viga-pilar de cobertura de extremidade reportados por Nilsson e Losberg [1976]. ... 32

Figura 2.20 – Pormenorizações da armadura das ligações viga-pilar (Sarsam [1983]). ... 32

Figura 2.21 – Pormenorizações tipo utilizadas por Roeser [2002]. ... 34

Figura 2.22 – Contribuições relativas para o deslocamento das subestruturas RK4 (ligação viga-pilar de extremidade) e RA2 (ligação viga-pilar interior) (Roeser [2002]). ... 34

Figura 2.23 – Modelação da flexibilidade da ligação ao corte (ASCE [2007b]). ... 46

Figura 3.1 – Alçado lateral (parcial) de uma estrutura porticada plana. ... 50

Figura 3.2 – Carregamento e condições de apoio simplificadas, (a) caso I, (b) caso II. ... 51

Figura 3.3 – Evolução do quociente Me/Mp com o parâmetro f. ... 51 Figura 3.4 – Ligação viga-pilar de extremidade de estrutura com Lce/hc=Lbe/hb= 7.5 sujeita a acções

Figura 3.5 – Efeito da rigidez da ligação na distribuição de esforços em vigas submetidas a cargas uniformemente distribuídas, (a) caso geral, (b) k = 0, (c) k =∞. ... 53 Figura 3.6 – Efeito da rigidez da ligação no valor (a) dos momentos flectores M1 e M2 e (b) da flecha δ. 54 Figura 3.7 – Ligações viga-pilar de betão armado de extremidade ensaiadas por Sarsam [1983]. ... 56 Figura 3.8 – Determinação experimental da distorção da ligação viga-pilar (Sarsam [1983]). ... 57 Figura 3.9 – Relações experimentais Mb-γ segundo Sarsam [1983] e rigidez mínima requerida pela NP EN 1993-1-8 para classificação das ligações como nominalmente rígidas. ... 58

Figura 3.10 – (a) Configuração deformada da substrutura, (b) rigidez de flexão de uma viga

simplesmente apoiada Kbsa, (c) cálculo da relação linear Mbj-θb. ... 60 Figura 3.11 – Relação Mbj-θb para o modo de deformação da viga representado na Figura 3.10(c) e relação Mbj-γ experimental (Sarsam [1983]). ... 61 Figura 3.12 – Situações em que a ligação viga-pilar pode ser considerada nominalmente rígida de acordo com a expressão (3.8): porções das curvas a cheio abaixo da curva a tracejado (para os espécimes EX1 e EX3 ensaiados por Sarsam [1983]). ... 62 Figura 3.13 – Situações em que a ligação viga-pilar pode ser considerada nominalmente rígida de acordo com a expressão (3.9): porções das curvas na zona a sombreado (para os espécimes EX1 e EX3 ensaiados por Sarsam [1983]). ... 62 Figura 3.14 – Regularização dos resultados experimentais, (a) representação esquemática da curva proposta por Richard e Abbott [1975], (b) resultados experimentais e aproximação analítica contínua. 63 Figura 3.15 – Modelo de ligação viga-pilar (Mitra e Lowes [2007]), (a) momento distorcional Mγ e

distorção γ, (b) sistema de esforços na periferia da ligação. ... 65 Figura 3.16 – Comparação dos resultados experimentais (Sarsam [1983]) com modelos de comportamento (Roeser [2002], LaFave e Kim [2011]). ... 67 Figura 3.17 – (a) Estrutura porticada regular não contraventada (estrutura original), (b) estrutura arquétipo e sua configuração deformada. ... 70 Figura 3.18 – Curvas de comportamento características para P constante, (a) rotura material ou foi atingido Mγ,max, (b) rotura por instabilidade. ... 71 Figura 3.19 – Limite de esbelteza λmin (§5.8.3.1(1) da NP EN 1992-1-1). ... 74 Figura 3.20 – Variação de Hmax com o esforço axial no pilar superior. ... 75 Figura 3.21 – Redução relativa de Hmax associada à distorção da ligação viga-pilar. ... 76 Figura 3.22 – Deslocamento da extremidade livre do pilar superior para H =Hmax. ... 78 Figura 3.23 – Variação relativa de dH provocado pelo efeito da deformabilidade da ligação. ... 79 Figura 3.24 – Componentes da deformabilidade da subestrutura representada na Figura 3.17, (a) flexão da viga e dos pilares, (b) distorção da ligação viga-pilar. ... 81 Figura 3.25 – Evolução de fj /(fj +fbend) com Lce (esq.) e Lbe (dir.) ... 83 Figura 4.1 – Modelo de comportamento para betão em tracção: (a) critério de cedência de Rankine, (b) comprimento característico e resistência à tracção corrente (Červenka e Papanikolaou [2008]). ... 92 Figura 4.2 – Superfície de cedência e direcção de retorno plástico. ... 94 Figura 4.3 – Função 1/r(θ, e) para 1.0 ≥e ≥ 0.5. ... 94 Figura 4.4 – Traços da superfície definida pela expressão (4.25) no plano desviatório para ft=fc’/10: (a) e= 0.5, (b) e= 0.6, (c) e= 0.7. ... 95 Figura 4.5 – Evolução de σ com a extensão plástica equivalente (Červenka, Jendele et al. [2010]),

(a) endurecimento, (b) amaciamento. ... 96 Figura 4.6 – Movimento relativo das armaduras e do betão envolvente (Červenka, Červenka et al.

[2003]). ... 98 Figura 4.7 – Componentes do escorregamento identificável a nível macroscópico. ... 98 Figura 4.8 – Tension stiffening (Červenka, Jendele et al. [2010]). ... 103 Figura 4.9 – Representação simplificada do ensaio experimental realizado por Roeser [2002]. ... 104 Figura 4.10 – Efeito do parâmetro wd na relação F1-w1 para rcmin= 0.8. ... 105 Figura 4.11 – Efeito do parâmetro rcmin na relação F1-w1 para wd= 5 mm. ... 106 Figura 4.12 – Efeito do parâmetro wd na relação F1-w1 para rcmin= 0.7. ... 106 Figura 4.13 – Extensão nas armaduras longitudinais das vigas (secções A e B). ... 106 Figura 4.14 – Representação do modelo de EF. ... 107 Figura 4.15 – Relação F1-w1 dos modelos adoptados na avaliação da objectividade da malha. ... 108 Figura 4.16 – Extensão nas armaduras longitudinais das vigas nos modelos adoptados na avaliação da objectividade da malha. ... 108 Figura 4.17 – Relação F1-w1 dos modelos adoptados na avaliação do efeito das condições de aderência. ... 109 Figura 4.18 – Extensão nas armaduras longitudinais das vigas dos modelos adoptados na avaliação do efeito das condições de aderência. ... 109 Figura 4.19 – Numeração das armaduras longitudinais das vigas/pilares e das cintas da ligação do espécime RA2 (Roeser [2002]). ... 111 Figura 4.20 – Cargas aplicadas e condições de apoio: (a) carregamento gravítico (CG), (b) carregamento lateral (CL). ... 111 Figura 4.21 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal das vigas dos modelos (a) RA2-CG-Ref e (b) RA2-CG-SC. ... 113 Figura 4.22 – Tensão normal na armadura longitudinal das vigas na ligação viga-pilar. ... 114 Figura 4.23 – Tensão normal na armadura longitudinal das vigas no interior da ligação (campo de esforços simétricos na ligação): (a) esforços na periferia da ligação, (b) representação simplificada das resultantes em metade da ligação. ... 114 Figura 4.24 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal das vigas dos modelos (a) RA2-CL-Ref e (b) RA2-CL-SC. ... 116 Figura 4.25 – Distribuição de ε3p no plano médio do modelo RA2-CL-Ref: (a) F =Fmax= 99.0 kN, (b) F= 93.2 kN (pós-pico). ... 117 Figura 4.26 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal dos pilares dos modelos (a) RA2-CL-Ref, (b) e RA2-CL-SC. ... 118 Figura 4.27 – Evolução da tensão normal nas cintas na ligação do modelo RA2-CL-Ref. ... 119 Figura 4.28 – Representação esquemática da evolução da tensão nas cintas da ligação do modelo RA2-CL-Ref. ... 119 Figura 4.29 – Tensão normal na armadura longitudinal das vigas na ligação viga-pilar. ... 120 Figura 4.30 – Tensão normal na armadura longitudinal dos pilares na ligação viga-pilar. ... 121 Figura 4.31 – Tensão normal na armadura longitudinal dos pilares nos modelos RA2-CL-Ref e RA2-CL-CC-ASC-FY. ... 122 Figura 4.32 – Tensão normal na armadura longitudinal das vigas nos modelos RA2-CL-SC e RA2-CL-SC-ASV-FY. ... 123

Figura 4.34 – Modelo BCJ4-Ref no ATENA 3D: (a) malha de elementos finitos, (b) disposição da armadura. ... 125 Figura 4.35 – Numeração dos elementos da armadura da viga, pilares e ligação dos modelos BCJ4/BCJ3. ... 125 Figura 4.36 – Cargas aplicadas e condições de apoio. ... 125 Figura 4.37 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal da viga do modelo BCJ4-Ref. ... 126 Figura 4.38 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal dos pilares no modelo BCJ4-Ref. .. 126 Figura 4.39 – Evolução da tensão normal nas cintas na ligação do modelo BCJ4-Ref. ... 126 Figura 4.40 – Distribuição de ε3p no plano médio do modelo BCJ4-Ref para: (a) F =Fmax= 88.2 kN, (b) F= 56.5 kN (pós-pico). ... 127 Figura 4.41 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal da viga do modelo BCJ4-SC-R65. .. 127 Figura 4.42 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal dos pilares no modelo BCJ4-SC-R65. ... 128 Figura 4.43 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal da viga do modelo BCJ4-SC-R130. 128 Figura 4.44 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal dos pilares no modelo BCJ4-SC-R130. ... 129 Figura 4.45 – Ligações de cobertura de extremidade submetidas a (a) momentos de fecho (MF) e (b) momentos de abertura (MA). ... 130 Figura 4.46 – Sistema de cargas aplicadas: (a) momentos de fecho e (b) momentos de abertura. ... 131 Figura 4.47 – Identificação dos varões: (a) momentos de fecho e (b) momentos de abertura. ... 131 Figura 4.48 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal da viga e do pilar na ligação viga-pilar de cobertura de extremidade submetida a momento de fecho. ... 132 Figura 4.49 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal da viga para a ligação viga-pilar de cobertura de extremidade submetida a momento de abertura. ... 133 Figura 4.50 – Evolução da tensão normal na armadura longitudinal do pilar para a ligação viga-pilar de cobertura de extremidade submetida a momento de abertura. ... 133 Figura 5.1 – Exemplo de modelo das componentes para uma junta (Faella, Piluso et al. [2000]). ... 138 Figura 5.2 – (a) Campo de esforços na periferia da ligação, (b) parcelas do esforço de corte horizontal a meia altura da ligação (Faella, Piluso et al. [2000]). ... 139 Figura 5.3 – Tensão de aderência na armadura na interface armadura-betão: (a) segmento de viga com comprimento igual à altura da secção transversal do pilar, (b) ligação viga-pilar. ... 144 Figura 5.4 – Subcampos de esforços auto equilibrados e modos de deformação correspondentes: (a) campo de esforços genérico, (b) modo de corte puro, (c) modos de flexão simétricos, (d) modos de flexão anti-simétricos, (e) modos axiais simétricos, (f) modos axiais anti-simétricos. ... 147 Figura 5.5 – Esforço de corte no plano horizontal a meia altura da ligação, (a) decomposição dos momentos flectores em binários, (b) seccionamento da ligação e correspondentes diagramas de corpo livre (0 ≤α1≤ 1, 0 ≤α2≤ 1). ... 148 Figura 5.6 – Modelos para o núcleo da ligação ao corte (Charney e Marshal [2006]): (a) modelo de

scissors, (b) modelo de Krawinkler original, (c) modelo de Krawinkler modificado. ... 148 Figura 5.7 – Representação (traço cheio grosso) da configuração deformada da estrutura nas imediações da ligação (Charney e Marshal [2006]): (a) modelo de Krawinkler e (b) modelo de scissors. ... 148 Figura 5.8 – Modelos de ligação viga-pilar com perfis em I ou H, com molduras cuja altura é diferente de

Rubin et al. [1998]), (c) efeito do esforço transverso da viga (Alves [2008]). ... 149 Figura 5.9 – Modelação do núcleo da ligação ao corte, (a) M1, (b) M2, (c) M3. ... 150 Figura 5.10 – Modelo desenvolvido. Versões alternativas para a componente núcleo da ligação ao corte: (a) mola linear, (b) mola angular. ... 151 Figura 5.11 – Modelação de amarrações em tracção: (a) ligações de extremidade com amarração rectilínea ou em cotovelo, (b) ligação interior com armadura rectilínea contínua, (c) modelação da armadura longitudinal contínua da viga em ligação interior. ... 152 Figura 5.12 – Distribuição das tensões de aderência na armadura longitudinal quando as faces opostas da ligação apresentam momento flector com sentido (a) simétrico e (b) igual. ... 153 Figura 5.13 – Modelação da amarração rectilínea: (a) amarração rectilínea, (b) modelo proposto e (c) célula genérica i. ... 156 Figura 5.14 – Amarração curvilínea (Minor e Jirsa [1975]): (a) escorregamento associado à deformação radial do betão, (b) tensões de aderência para varões rectilíneos e curvilíneos. ... 159 Figura 5.15 – Segmento infinitesimal de varão de amarração curvilínea: (a) esforços, (b) esforços simplificados, (c) movimento de corpo rígido na direcção radial... 160 Figura 5.16 – Amarração curvilínea, (a) modelo proposto, (b) célula genérica i. ... 161 Figura 5.17 – Célula curvilínea genérica i (versão alternativa). ... 163 Figura 5.18 – Células de extremidade numa amarração com troços curvilíneos e rectilíneos: (a) troço curvilíneo e (b) troço rectilíneo. ... 163 Figura 5.19 – Ensaios realizados por Soroushian, Obaseki et al. [1987]. ... 165 Figura 5.20 – Comprimento máximo da célula do modelo da amarração que garante rigidez positiva. . 168 Figura 5.21 – Escorregamento ao longo da extremidade da amarração para diferentes valores de smin. ... 171 Figura 5.22 – Espécime 3 (Viwathanatepa, Popov et al. [1979a]): (a) relação σs-s da extremidade solicitada, (b) distribuição de τ ao longo da amarração. ... 176 Figura 5.23 – Espécime EX3 (Viwathanatepa, Popov et al. [1979a]): (a) distribuição de σs ao longo da amarração, (b) distribuição de s ao longo da amarração. ... 176 Figura 5.24 – Relação σs-s da extremidade solicitada (Ueda, Lin et al. [1986]): (a) espécime S61, (b) espécime S64, (c) espécime S101, (d) espécime S107. ... 177 Figura 5.25 – Relação σs-s da extremidade solicitada (Ueda, Lin et al. [1986]): (a) espécime B81, (b) espécime B103, (c) espécime B104. ... 177 Figura 5.26 – Distribuição de σs para σs1=fy : (a) espécime B81, (b) espécime B103. ... 178 Figura 5.27 – Espécime J11-90-15-5-L (Marques e Jirsa [1975]): (a) relação σs-s da extremidade solicitada, (b) distribuição de σs para σs1=fy ... 178 Figura 5.28 – Comportamento da amarração: efeito do (a) do angulo de dobragem θ, (b) raio de dobragem interno ri. ... 180 Figura 5.29 – Representação em corte horizontal da deformação na ligação viga-pilar provocada pela resultante de compressão transmitida pela viga: (a) configuração indeformada, (b) configuração deformada com betão indeformável, (c) configuração deformada com deslocamento do betão na periferia da ligação igual ao do varão. ... 181 Figura 5.30 – Análise da secção transversal da viga/pilar na interface da ligação viga-pilar: (a) geometria da secção transversal, (b) distribuição de extensões, (c) distribuição de tensões, (c) resultantes de tracção e compressão. ... 182 Figura 5.31 – Modelos físicos de comportamento da ligação viga-pilar: (a) painel, (b) escora diagonal. 183

Figura 5.33 – Forças internas num elemento de betão armado com fendilhação diagonal (Paulay e Priestley [1992]). ... 184 Figura 5.34 – Mecanismo de escora diagonal equivalente (Parra-Montesinos e Wight [2002]). ... 188 Figura 5.35 – Comportamento de betão confinado em compressão (Sheikh e Uzumeri [1982]). ... 190 Figura 5.36 – Relação entre a distorção e a rotação da diagonal (Roeser [2002]). ... 193 Figura 5.37 – Modelo proposto por Kim e LaFave [2009]: (a) relação τjh-γ, (b) efeito dos parâmetros não geométricos, (c) efeito dos parâmetros geométricos. ... 195 Figura 5.38 – Representação esquemática das ligações viga-pilar interiores ensaiadas por Roeser [2002]. ... 197 Figura 5.39 – Resultados experimentais as ligações viga-pilar interiores ensaiadas por Roeser [2002], confrontados com estimativas teóricas. ... 198 Figura 5.40 – Representação esquemática das ligações viga-pilar de extremidade ensaiadas por Roeser [2002]. ... 200 Figura 5.41 – Comportamento das ligações viga-pilar de extremidade ensaiadas por Roeser [2002]. ... 201 Figura 5.42 – Comportamento das ligações viga-pilar de extremidade ensaiadas por Sarsam [1983]. ... 202 Figura 6.1 – Elemento de ligação viga-pilar, (a) numeração das componentes, (b) graus de liberdade e forças nodais. ... 209 Figura 6.2 – Exemplos de modos de deformação unitários correspondentes aos graus de liberdade (a) u7, (b) u6, (c) u4 e (d) u5. ... 211

Figura 6.3 – Modo de deformação associado a u5, (a) Modo inicial com u5= 1 e

u4=u6=u10=u11=u12= 0, modos correctivos para impor (b) u1=u7= 0, (c) u2=u8= 0 e (d) u3=u9= 0. ... 211 Figura 6.4 – Forças nodais equivalentes em elementos lineares, (a) equilíbrio das forças nodais na configuração deformada, (b) forças nodais independentes consideradas, (c) forças nodais dependentes obtidas por equilíbrio na configuração inicial e (d) carregamento equivalente. ... 213 Figura 6.5 – Forças nodais equivalentes em ligações viga-pilar. ... 215 Figura 6.6 – Exemplo 1, (a) equilíbrio na configuração deformada, (b) equilíbrio na configuração indeformada com forças nodais equivalentes. ... 216 Figura 6.7 – Exemplo 2, (a) equilíbrio na configuração deformada, (b) equilíbrio na configuração indeformada com forças nodais equivalentes. ... 216 Figura 6.8 – Exemplo 3, (a) equilíbrio na configuração deformada, (b) equilíbrio na configuração indeformada com forças nodais equivalentes. ... 217 Figura 6.9 – Exemplo 4, (a) equilíbrio na configuração deformada, (b) equilíbrio na configuração indeformada com forças nodais equivalentes. ... 217 Figura 6.10 – Janela principal do EvalS. ... 218 Figura 6.11 – Janela para definição da biblioteca de componentes tipo e de ligações viga-pilar tipo... 219 Figura 6.12 – Janela para definição da lei de comportamento não linear de cada componente tipo. .... 219 Figura 6.13 – Janela para selecção da tipologia de ligação viga-pilar e do ângulo dos seus lados com o sistema de eixos de referência da estrutura. ... 220 Figura 6.14 – Visualização dos esforços na ligação viga-pilar e nas componentes. ... 220 Figura 6.15 – Forma poligonal j vazada, (a) numeração dos vértices, (b) trapézios auxiliares. ... 222

Figura 6.16 – Discretização da secção transversal, (a) secção transversal original e o sentido positivo dos esforços, (b) decomposição em subdomínios, (c) fibras referenciadas pelo centro geométrico do subdomínio. ... 224 Figura 6.17 – Comportamento de um tirante de betão armado, (a) geometria do tirante, (b) diagrama carga-extensão média do tirante, (c) diagrama de tensões de tracção do betão (smeared). ... 227 Figura 6.18 – Comportamento do betão em tracção (a) relação N-εm no tirante (Fib [2010b]), (b) relação

σcm-εm (betão efectivo), (c) relação constitutiva local do betão em tracção (betão não efectivo). ... 229 Figura 6.19 – Relação constitutiva não local para o betão em tracção. ... 230 Figura 6.20 – Área efectiva de betão em tracção, (a) viga com secção parcialmente comprimida, (b) laje com secção parcialmente comprimida e (c) elemento com secção transversal toda em tracção. ... 231 Figura 6.21 – Raio da área de betão efectivo para cada tirante. ... 232 Figura 6.22 – Janela para caracterização dos materiais. ... 233 Figura 6.23 – Janela para definição de relações σ-ε por pontos. ... 233 Figura 6.24 – Janela para criar a secção transversal tipo. ... 233 Figura 6.25 – Janela para definição dos modelo de fibras. ... 234 Figura 6.26 – Janela para avaliação de reserva de resistência e ductilidade. ... 235 Figura 6.27 – Esforços fictícios do MFF. ... 236 Figura 6.28 – Carregamento fictício num elemento linear. ... 236 Figura 6.29 – Integração do modelo de fibras no procedimento iterativo do MFF. ... 238 Figura 6.30 – Procedimento iterativo do MFF aplicado a uma estrutura constituída por uma componente. ... 239 Figura 6.31 – Ilustração da formulação incremental do MFF para o caso 0D. ... 241 Figura 6.32 – Exemplo simplificado para avaliação do incremento de forças equivalentes: (a) problema original, (b) equilíbrio na configuração deformada, (c) equilíbrio na configuração indeformada com forças equivalentes. ... 242 Figura 6.33 – Primeiro problema utilizado na validação do modelo de fibras. ... 243 Figura 6.34 – Configuração deformada da estrutura. ... 244 Figura 6.35 – Segundo e terceiro problema utilizado na validação do modelo de fibras. ... 244 Figura 6.36 – Evolução da curvatura e da extensão axial. ... 246 Figura 6.37 – Validação da implementação do modelo de tension stiffening no EvalS. ... 247 Figura 6.38 – Geometria das vigas modeladas, carregamento e condições e apoio. ... 247 Figura 6.39 – Malhas de elementos finitos utilizadas na análise das vigas VT1/VT2. ... 249 Figura 6.40 – Influência da malha de elementos finitos utilizada na simulação do comportamento das vigas VT1/VT2. ... 249 Figura 6.41 – Influência do número de fibras na simulação do comportamento das vigas VT1/VT2. ... 250 Figura 6.42 – Simulação numérica e resultados experimentais das vigas em flexão simples. ... 250 Figura 6.43 – Representação esquemática de respostas (a) objectiva e (b) não objectiva (adaptado de Calabrese, Almeida et al. [2010]). ... 251 Figura 6.44 – Efeito do beam growth (Kim, Stanton et al. [2004]). ... 253 Figura 6.45 – Modelação da viga VT1/VT2, (a) modelo 1D original, (b) modelo 1D com “controlo de deslocamento” e (c) discretização no ATENA 3D. ... 254 Figura 6.46 – Efeito da restrição ao alongamento axial na viga VT1/VT2. Variação com a carga da

Figura 6.47 – Efeito das condições fronteira e do confinamento do betão sobre a variação da carga máxima com (a) a flecha vertical e (b) o esforço axial. ... 255 Figura 6.48 – Sistema de aplicação de cargas adoptado por Roeser [2002], (a) ligação viga-pilar interior, (b) ligação viga-pilar de extremidade. ... 257 Figura 6.49 – Condições de apoio e aplicação de carga nas simulações numéricas efectuadas, (a) ligação viga-pilar interior, (b) ligação viga-pilar de extremidade. ... 257 Figura 6.50 – Procedimento adoptado para mimetizar o procedimento de controlo de deslocamento em substruturas com ligação viga-pilar (a) interior e (b) exterior. ... 258 Figura 6.51 – Relação F-δ para as subestruturas com ligação viga-pilar interior. ... 259 Figura 6.52 – Mecanismos de transferência de tensões dos varões para o betão, (a) reforços em U, (b) chapas de ancoragem. ... 261 Figura 6.53 – Relação F-δ para as subestruturas com ligação viga-pilar de extremidade. ... 263 Figura 6.54 – Comportamento das componentes, (a) rígido com resistência ilimitada (R, US), (b) rígido com resistência limitada (R,LS), (c) comportamento não linear (F). ... 266 Figura 6.55 – Estrutura arquétipo, (a) dimensões dos espécimes, (b) condições de apoio e carregamento. ... 267 Figura 6.56 – Relação momento curvatura para (a) vigas e (b) pilares. ... 269 Figura 6.57 – Comportamento das componentes (a) C1 a C8 e (b) C9 das ligações viga-pilar. ... 270 Figura 6.58 – Mecanismo de colapso da estrutura arquétipo, (a) C9, (b) vigas. ... 272 Figura 6.59 – Evolução dos parâmetros α2, α3, α4 e α5, (a) SE1, (b) SE2, (c) SE3. ... 274 Figura 6.60 – Relação H-δ para n =0.3, (a) SE1, (b) SE2, (c) SE3. ... 276 Figura 6.61 – Estrutura porticada completa. ... 277 Figura 6.62 – Geometria do eixo das armaduras longitudinais utilizada no modelo de comportamento da amarração, (a) ligações viga-pilar de extremidade e de cobertura exterior, (b) ligações viga-pilar de cobertura exterior e interior. ... 278 Figura 6.63 – Relação constitutiva para as componentes amarração. ... 279 Figura 6.64 – Relação constitutiva para o núcleo da ligação ao corte. ... 279 Figura 6.65 – Configuração deformada da estrutura para as cargas qv= 32 kN/m e qh= 1 kN/m para 2nd,F e ρj= 0.11% para pilares encastrados (esq.) e articulados (dir.) na base. ... 281 Figura 6.66 – Diagrama de momentos flectores para as cargas qv= 32 kN/m e qh= 1 kN/m para 2nd,F e

ρj= 0.11% para pilares encastrados (esq.) e articulados (dir.) na base. ... 281 Figura 6.67 – Quocientes Δ9/Δ9,fmax (não delimitado por parêntesis) e f9/f9,max (entre parêntesis) para

qv= 32 kN/m e qh=qh,max (2nd,F), (a) ENC e ρj= 0.56%, (b) ART e ρj= 0.56%, (c) ENC e ρj= 0.11%, (d) ART e ρj= 0.11%. ... 282 Figura 6.68 – Curvas de capacidade para pilares com base, (a) encastrada, (b) articulada. ... 284 Figura 6.69 – Dimensões gerais da estrutura porticada de 4 níveis (Arêde [1997]). ... 286

Figura 6.70 – Comportamento da amarração para: (a) um varão de diâmetro φ1, (b) um varão de

diâmetro φ2 >φ1, (c) nφ1+nφ2 varões de diâmetro φ1 e φ2. ... 287 Figura 6.71 – Curvas de capacidade do pórtico interior para distribuição de forças laterais (a) uniforme e (b) modal. ... 288 Figura 6.72 – Aumento da deformação lateral da estrutura. ... 288 Figura 6.73 – Análise pushover para o Sismo 1 assumindo uma distribuição modal de forças laterais.

Deslocamento lateral das lajes: (a) absoluto e (b) relativo (drift). ... 290 Figura 6.74 – Momento flector e esforço axial nas extremidades das vigas e pilares correspondentes ao ponto de desempenho com ligações viga-pilar rígidas (S1/M/R). ... 290 Figura 6.75 – Momento flector e esforço axial nas extremidades das vigas e pilares correspondentes ao ponto de desempenho com ligações viga-pilar deformáveis (S1/M/F). ... 290 Figura 6.76 – Curvatura para o ponto de desempenho com ligações viga-pilar rígidas (S1/M/R), (a) extremidades das vigas, (b) extremidades dos pilares, (c) representação gráfica de χ/χy nas extremidades das vigas/pilares. ... 291 Figura 6.77 – Curvatura para o ponto de desempenho com ligações viga-pilar flexíveis (S1/M/F), (a) extremidades das vigas, (b) extremidades dos pilares, (c) representação gráfica de χ/χy nas extremidades das vigas/pilares. ... 291 Figura 6.78 – Deformação das componentes para o ponto de desempenho com ligações viga-pilar flexíveis (ST1/M/F), (a) componentes 1 a 8, (b) componente 9. ... 292 Figura 7.1 – Modelos simplificados da estrutura porticada: (a) modelo completo, (b) modelo simplificado para cargas laterais, (c) modelo simplificado para cargas verticais. ... 298 Figura 7.2 – Estruturas arquétipo: (a) com cargas ao nível do piso – Estrutura 1 (E1), (b) sem cargas ao nível do piso – Estrutura 2 (E2). ... 299 Figura 7.3 – Soluções da equação (7.3). ... 300 Figura 7.4 – Desvio da secção de momento nulo relativamente à secção de meio vão. ... 300 Figura 7.5 – Erro relativo nos momentos nas extremidades das vigas da estrutura E1 (Figura 7.2(a)). .. 301 Figura 7.6 – Erro relativo nos momentos nas extremidades das vigas da estrutura E2 (Figura 7.2(b)). .. 301 Figura 7.7 – Estrutura arquétipo com modelação explícita da ligação viga-pilar (E3): (a) modelo completo, (b) pormenor da ligação. ... 304 Figura 7.8 – Estruturas arquétipo com modelação explícita da ligação viga-pilar: (a) E4, (b) E5. ... 304 Figura 7.9 – Parcelas da deformação do par de componentes amarração em compressão e tracção. ... 304 Figura 7.10 – Sistema de coordenadas nodais para um elemento linear com rotação livre numa extremidade. Configuração inicial e configuração deformada genérica. ... 307 Figura 7.11 – Modos de deformação e distribuição de momentos flectores para o elemento encastrado-articulado. ... 308

Figura 7.12 – Variação da rigidez elementar efectiva com o nível de carga para diferentes:

(a) percentagens geométricas armadura longitudinal e (b) comprimentos do pilar. ... 309 Figura 7.13 – Variação da rigidez elementar efectiva com o nível de carga (no caso 1.86-0.00) para vários valores: (a) da tensão de rotura à compressão do betão e (b) da tensão de cedência do aço. ... 311 Figura 7.14 – Efeito do esforço axial sobre a rigidez elementar efectiva. ... 311 Figura 7.15 – Efeito de εd1st e αcrRig em (a) εM e (b) εu. ... 316 Figura 7.16 – Variação de εd,jγ1stkjγ. ... 318

Figura 7.17 – Variação de εd,jb1stkjb. ... 319 Figura 7.18 – Variação de εd,jc1stkjc. ... 319 Figura 7.19 – Critérios simplificados de classificação de ligações viga-pilar de acordo com a sua deformabilidade tendo em consideração o incremento de esforços totais. ... 320 Figura 7.20 – Superfície definida pela expressão (7.68). ... 321 Figura 7.21 – Interpretação geométrica do procedimento adoptado. ... 322 Figura 7.22 – Variação de αcrRig com ζ e θ de acordo com a expressão (7.77). ... 323

Figura 7.24 – Efeito da variação de λj,c. ... 324 Figura 7.25 – Associação de três molas em série. ... 325 Figura 7.26 – Subestrutura arquétipo E6 com modelação implícita da ligação viga-pilar (modelo de eixos). ... 327 Figura 7.27 – Variação de εd,jγ1st,ekjγ. ... 329

Figura 7.28 – Variação de εd,jb1st,e kjb. ... 330 Figura 7.29 – Variação de εd,jc1st,e kjc. ... 330 Figura 7.30 – Efeito da variação de λj,b. ... 330 Figura 7.31 – Efeito da variação de λj,c. ... 330 Figura 7.32 – Variação de εd,hb1st,e+ εd,hc1st,e. ... 331 Figura 7.33 – Variação de εd,hb1st,e+ εd,hc1st,e. ... 331 Figura 7.34 – Exemplo de aplicação: geometria do pórtico e forças aplicadas. ... 335 Figura 8.1 – Esforço de corte no plano horizontal a meia altura da ligação viga-pilar. ... 342 Figura 8.2 – Pontos de monitorização nos modelos de EF no plano do pórtico. ... 342 Figura 8.3 – Determinação da distorção da ligação viga-pilar (primeira abordagem). ... 343 Figura 8.4 – Determinação da distorção da ligação viga-pilar (segunda abordagem). ... 344 Figura 8.5 – Secções transversais: (a) pilares e (b) vigas. ... 345 Figura 8.6 – Geometria das ligações viga-pilar de extremidade para o modelo EJ-Ref. ... 347 Figura 8.7 – Identificação dos pontos de monitorização de tensão nas armaduras do modelo IJ-Ref. ... 348 Figura 8.8 – Resultados dos modelos de EF: (a) relação H-d dos modelos de EF IJ-Ref e IJ-RIG e (b) tensão nas cintas na ligação do modelo IJ-Ref. ... 349 Figura 8.9 – Tensão nas armaduras longitudinais do modelo de EF IJ-Ref: (a) secção AA’ e (b) secção BB’. ... 349 Figura 8.10 – Modelo de EF IJ-Ref: (a) distorção do núcleo da ligação e (b) tensão tangencial no plano médio do núcleo da ligação. ... 350 Figura 8.11 – Curvas H-d para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes percentagens mecânicas de armadura transversal. ... 351 Figura 8.12 – Curvas τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes percentagens mecânicas de armadura transversal. ... 351 Figura 8.13 – Comportamento da ligação viga-pilar interior para os modelos com maior e menor percentagem mecânica de armadura transversal na ligação (Hmax e dHmax são a força horizontal aplicada máxima e o correspondente deslocamento horizontal). ... 352 Figura 8.14 – Redução do braço interno provocado pelo escorregamento dos varões da armadura longitudinais das vigas no interior da ligação. ... 353 Figura 8.15 – Tensão na armadura longitudinal das vigas na periferia da ligação na secção CC’: (a) modelo de EF IJ-JTR-27.7 e (b) modelo de EF IJ-JTR-0.0. ... 354 Figura 8.16 – Relação τjh-γ determinada pelos modelos de (a) LaFave e Kim [2011] e (b) Roeser [2002] para as ligações viga-pilar dos modelos de EF indicados. ... 355 Figura 8.17 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes quantidades de varões verticais intermédios. ... 357 Figura 8.18 – Varões na diagonal em ligações viga-pila interiores: (a) varões da armadura longitudinal

dos pilares e (b) varões diagonais com dispositivos mecânicos de amarração. ... 358 Figura 8.19 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes quantidades de varões da armadura longitudinal dos pilares dispostos na diagonal da ligação. ... 359 Figura 8.20 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ de modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes tensões de cedência nos varões rectilíneos da armadura longitudinal dos pilares (p = 0.50). ... 360 Figura 8.21 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ de modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes tensões de cedência nos varões rectilíneos da armadura longitudinal dos pilares (p = 0.75). ... 361 Figura 8.22 – Evolução da tensão nas cintas dos modelos 0.50, 0.50-800, 0.75 e IJ-DR-0.75-800. ... 362 Figura 8.23 – Efeito da perda de aderência entre os varões das armaduras longitudinais rectilíneas do pilar e das vigas e o betão envolvente. ... 362 Figura 8.24 – Eficiência dos varões diagonais de tracção e compressão no comportamento de ligações viga-pilar interiores: (a) identificação das diagonais, (b) comportamento da ligação viga-pilar. ... 363 Figura 8.25 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes valores da tensão de rotura do betão à compressão. ... 364 Figura 8.26 – Relação τjh-γ determinadas pelos modelos de (a) LaFave e Kim [2011] e (b) Roeser [2002] para as ligações viga-pilar dos modelos de EF indicados na Tabela 8.8. ... 365 Figura 8.27 – Comparação das relações τjh-γ determinadas pelos modelos de Roeser [2002] e de LaFave e Kim [2011] com as determinadas pelos modelos de EF (a) IJ-CS-20 e (b) IJ-CS-50. ... 366 Figura 8.28 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para os modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes níveis de esforço axial nos pilares. ... 366 Figura 8.29 – Comportamento experimental e modelação numérica do painel PV20 (Vecchio e Collins [1986]). ... 367 Figura 8.30 – Elementos transversais na ligação viga-pilar interior. ... 368 Figura 8.31 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar interiores com diferentes configurações na direcção ortogonal ao plano do pórtico. ... 369 Figura 8.32 – Relação τjh-γ para os modelos de EF analisados confrontada com a determinada pelo modelo de LaFave e Kim [2011] para as ligações viga-pilar desses modelos. ... 370 Figura 8.33 – Identificação dos pontos de monitorização de tensões nas armaduras do modelo EJ-Ref. ... 371 Figura 8.34 – Resultados dos modelos de EF: (a) relação H-d para os modelos EJ-Ref e EJ-RIG e (b) tensão nas cintas na ligação do modelo EJ-Ref. ... 372 Figura 8.35 – Tensão nas armaduras longitudinais do modelo de EF EJ-Ref: (a) secção CC’ e (b) secção

AA’. ... 372 Figura 8.36 – Modelo de EF EJ-Ref: (a) distorção do núcleo da ligação e (b) tensão tangencial no plano médio do núcleo da ligação. ... 373 Figura 8.37 – Expansão lateral localizada da ligação viga-pilar: (a) representação esquemática e (b) padrão de fendilhação da ligação no modelo de EF EJ-Ref. ... 373 Figura 8.38 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidades com diferentes percentagens de armadura transversal. ... 374 Figura 8.39 – Relação τjh-γ determinadas pelos modelos de (a) LaFave e Kim [2011] e (b) Roeser [2002] para as ligações viga-pilar dos modelos de EF indicados na Tabela 8.14. ... 375

Figura 8.41 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidade com diferentes quantidades de varões da armadura longitudinal dos pilares dispostos na diagonal da ligação. ... 378 Figura 8.42 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para os modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidade com diferentes raios internos de dobra dos varões da armadura longitudinal da viga no interior da ligação. ... 379 Figura 8.43 – Comparação das curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidade em que a amarração da armadura longitudinal da viga é efectuada recorrendo a chapas de ancoragem e à dobragem para o interior da ligação. ... 382 Figura 8.44 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidade constituídas por betões com valor diferente da tensão de rotura à compressão. ... 384 Figura 8.45 – Relação τjh-γ determinada pelos modelos de (a) LaFave e Kim [2011] e (b) Roeser [2002] para as ligações viga-pilar dos modelos de EF indicados na Tabela 8.24. ... 385 Figura 8.46 – Comparação das relações τjh-γ determinadas pelos modelos de Roeser [2002] e de LaFave e Kim [2011] com as determinadas pelos modelos de EF (a) EJ-CS-20 e (b) EJ-CS-50. ... 385 Figura 8.47 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para os modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidade com diferentes níveis de esforço axial nos pilares. ... 386 Figura 8.48 – Elementos transversais na ligação viga-pilar de extremidade. ... 388 Figura 8.49 – Curvas (a) H-d e (b) τjh-γ para os modelos de EF de estruturas com ligações viga-pilar de extremidade com diferentes configurações na direcção ortogonal ao plano do pórtico. ... 388 Figura 8.50 – Relação τjh-γ determinada para os modelos de EF pelo ATENA 3D e para as respectivas ligações pelo modelo de LaFave e Kim [2011]. ... 389 Figura A.1 – Mecanismo de resistência por aderência para armaduras nervuradas (Eligehausen, Popov et al. [1983]), (a) fase inicial, (b) fase intermédia, (c) fase final. ... 402 Figura A.2 – Relação tensão de aderência-escorregamento (MC90 [1990]). ... 403 Figura A.3 – Amarração rectilínea, (a) σs0 =fy, (b) σs0 >fy. ... 410 Figura A.4 – Relação constitutiva para a amarração. ... 413 Figura A.5 – Relação constitutiva constante por troços para a componente aderência. ... 414 Figura A.6 – Comprimento da amarração. ... 415 Figura A.7 – Cenário 1 e 2 no passo p, (a) distribuição de τa ao longo do varão, (b) esforço na componente aderência da célula 1. ... 419 Figura A.8 – Relação constitutiva F1-s1 até ao instante B (fim do movimento de corpo rígido). ... 420 Figura A.9 – Escorregamento relativo da célula i em relação à célula n para i < n, (a) distribuição das resultantes de aderência, (b) esforços no troço compreendido entre as secções p e i. ... 425 Figura A.10 – Deformação axial de um elemento linear homogéneo, (a) carga concentrada, (b) carga uniformemente distribuída. ... 425 Figura A.11 – Escorregamento relativo da célula i em relação à célula n para i>n, (a) distribuição das resultantes de aderência, (b) esforços no troço compreendido entre as secções i e p. ... 426 Figura A.12 – Distribuição de tensões tangenciais na armadura, (a) cenário 2-1, (b) cenário 2-2. ... 427 Figura A.13 – Valores limite para a cedência das armaduras. ... 427 Figura A.14 – Comportamento de uma amarração curta, (a) relação F0-s0, (b) relações τ-s. ... 430