TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30 E, 40º N).

(1)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30’ E, 40º N).

2.- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sobre una esfera.

Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43’ O, 43º 22’ N), Barcelona (5º 50’ E, 41º 24’ N) y Las Palmas (11º 44’ O, 28º 9’ N).

3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes:

a. Tres lados: a = 60º 00’31’’, b = 137º 20’40’’, c = 116º 00’32’’ b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50’, c = 67º38’,

c. Tres ángulos: A = 70º 00’25’’, B = 131º 10’15’’, C = 94º 50’53’’ d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

a = 64º 24’03’’, b = 42º 30’10’’, C = 58º 40’52’’ e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos

c = 116º 12’05’’, A = 70º 51’15’’, B = 131º 20’26’’ f. Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos

a = 58 º46’22’’, b = 137 º02’50’’, B = 131º 52’33’’ g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos

a = 70º, B = 119º, A = 76º

4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54’54’’, a - b = 13º 40’50’’

(2)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA A=84º30' B C c=104º22' b=54º10'

a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C.

8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica:

1) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.

2) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa.

9.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a)

b) sec A - sec a = 1

c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1.

10.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son:

Madrid: latitud: Norte 40º 24’; longitud: Oeste 3º 41’ Tokio latitud: Norte 35º 40’; longitud: Este 139º 45’ y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide:

a) ¿Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? b) ¿A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente?

c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30’. ¿Sobrevuela el mencionado avión el Círculo Polar Ártico?

11.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geográficas del punto donde se encontrará el avión al cabo de 3 horas de vuelo.

Coordenadas geográficas Madrid: 40º 24’ latitud N, 3º 41’ longitud O Coordenadas geográficas de Nueva York: 40º 45’ latitud N, 74º longitud O Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avión: 6371 km

(3)

12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º35' Norte con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 36º52’ Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en dirección Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha.

NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1 852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.

13.- Un barco que parte del punto A (latitud 36º50' N. y longitud 76º20' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50º 00' O. Encontrar el rumbo

inicial y la distancia recorrida.

14.- Resolver el triángulo esférico tal que:

A = 68º 39’ 07’’, B = 74º 07’ 12’’, a = 51º 42’ 08’’

15.- Un navío parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia máxima. Las coordenadas geográficas de ambos puntos son:

Calcular la distancia recorrida por el navío y el rumbo del mismo. Nota: Radio de la tierra R≈6371 km.

16.- Resolver el triángulo esférico de que se conocen los datos: a=76º00’00’’; A=70º00’00’’; B=119º00’00’’

17.- Resolver el siguiente triángulo esférico rectángulo:

 =  ≡  ₌  Longitud 20º30'40'' E B Latitud 48º50'02'' N  =  ≡  ₌  55 Longitud º48'10'' E A Latitud 55º45'13'' N

(4)

respectivamente A = 70º y B = 119º, y el lado opuesto al ángulo A tiene como valor a = 76º.

Se pide calcular la distancia esférica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a.

20.- Dos triángulos esféricos tienen en común los elementos siguientes: a=51º42’, A=68º39’, B=74º07’. Calcular el lado b en ambos triángulos y analizar si ambas soluciones son válidas.

21. Resolver el siguiente triángulo esférico, sabiendo: a = 79º 48’, b = 53º 12’ y A = 110º 2’

22.- a) Resolver el triángulo esférico rectilátero e isósceles tal que b=c=60º00’00’’

b) Determinar los ángulos de un triángulo esférico equilátero cuya área

sea igual a la mitad del área encerrada por una circunferencia máxima

23.- Dadas las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades: Santiago de Compostela: 42º52’ N ; 8º33’ O

Madrid : 40º24’ N ; 3º41’ O

Girona: 41º59’ N ; 2º49’ E

Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular:

a) Distancias esféricas entre estas ciudades

b) Superficie del triángulo esférico que tiene por vértices dichas ciudades.

24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20º 31’ N, longitud 70º 11’ E) y llegar al puerto B (latitud 42º 22’ N, longitud 10º 45’ W). Calcular:

a) La distancia AB (llamada distancia ortodrómica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km.

b) El rumbo inicial. c) El rumbo final.

25.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (A = 90), sabiendo que: a = 143º 21’ 58’’ y b = 167º 03’ 38’’.

(5)

26.- Un avión vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de 10.000 m. De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela 2.000 km hasta llegar a un punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son

Madrid: 3º 41' Oeste; 40º24' Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Se pide:

a). Distancia entre Madrid y Nueva York. b). Distancia recorrida por el avión.

27.- Un avión parte de un lugar cercano a Nueva York (74º longitud Oeste; 40º45’ latitud Norte) con rumbo 30º10’ (dirección Norte y Oeste). Dar las coordenadas del punto de su recorrido más cercano al Polo Norte.

28.- Resolver el triángulo esférico rectilátero a=90º, A=36º 25’ 08”, c=102º 00’ 00”, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular:

a) La superficie que ocupan él y su triángulo polar.

b) Hallar la mediana esférica del triángulo dado que parte del vértice B.

c) Hallar la distancia esférica desde el vértice A al vértice C, así como desde el vértice B al lado b.

29.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Si A=90º, entonces tgc cosa = senb cotgB.

b) Si A=90°, entonces:  +   −  =     2 a c a c b tg tg tg 2 2 2.

(6)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA lados.

33.- Expresar en función de los lados de un triángulo esférico el producto senA senB senC.

34.- Demostrar que en todo triángulo esférico se verifica que:

< <         + _{ }= ⇔ + _{ }=  _>  _>     a b 180º A B 180º .

35.- Demostrar que si dos ángulos de un triángulo esférico son rectos, los lados opuestos a estos ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo está medido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de un triángulo esférico son rectos, demuéstrese que la superficie esférica del triángulo es un octante de la esfera.

36.- En un triángulo esférico rectángulo la suma de los catetos vale 100º, la hipotenusa mide 80º; calcular el valor del cateto más pequeño.

37.- Si ε es el exceso esférico del triángulo esférico en el que a=b y C=90º, calcular tgε en función de a

38.- Calcular la distancia mínima en km que hubiera tenido que recorrer las naves de Cristóbal Colon en su primer viaje y descubrimiento de América.Datos: Considérese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de Tenerife y llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas

39.- Calcular el valor del coseno del exceso esférico del triángulo cuyos lados miden a=b=

3 π y c= 2 π .

40.- Calcular el área del triángulo esférico y el volumen de la pirámide esférica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro

(7)

equilátero cuyos diedros miden 100° y cuyo vértice es el centro de

dicha esfera.

41.- De un triángulo esférico trazado en una superficie esférica cuyo radio es 10 dm se conocen: A = 71º 20´; B = 119º 25´; C = 60º 45´. Se pide:

a) Resolver el triángulo. b) Hallar su área.

c) Hallar el volumen de la pirámide esférica cuyo vértice es el centro de la esfera y su base el triángulo dado.

42.- Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden 87° 16’, 108° 34’, 126° 23’, 150° y 156° 48’ en una esfera de 16 dm de radio.

43.- En todo triángulo esférico isósceles (b=c), se verifican las relaciones siguientes:

a) sena = senb sen⋅ A

2 2

b) cosA = senB cos⋅ a

2 2

44.- De un triángulo esférico se conocen:

a = 74º 05’ 00’’, b = 63º 17’ 00’’, A = 113º 42’ 00’’

a) Analizar cuántos triángulos esféricos se adaptan a estos datos. b) Resolver el ó los triángulos, según proceda.

45.- En un triángulo esférico se verifica 2p=a+b+c=180º. Demostrar que cosA+cosB+cosC=1.

(8)

48.- Determinar los ángulos A y B de un triángulo esférico conocida su diferencia B-A=32º14’ y los lados opuestos a=67º25’35’’ y b=143º44’46’’.

49.- En un triángulo esférico rectángulo (A=90º) la suma de los catetos vale 100º y la hipotenusa 80º, calcular los catetos.

50.- Un avión parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40º N, 3º O. Su rumbo es 78º NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y su velocidad de 610 km/h.

Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avión atraviesa el paralelo 30ºN y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar, considerando el radio de la tierra de 6373 km.

51.- En la Tierra, sea el círculo máximo que pasa por los puntos A (latitud 0º, longitud 60º O) y B (latitud 60º N, longitud 0º)

Se pide:

a) Distancia en kilómetros entre los puntos A y B. b) Puntos en que dicho círculo máximo corta el Ecuador

c) Puntos en que dicho círculo máximo corta el paralelo 60º N Nota: Radio de la Tierra R = 6378 km

52.- Sea el triángulo esférico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyos vértices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas: B (longitud: 120º Este, latitud: 40º Norte), C (longitud: 30º Oeste, latitud: 60º Norte)

Se pide:

a) Resolver el triángulo.

b) Calcular la superficie del triángulo.

53.- Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud 42º ¿Cuál es la longitud del punto de llegada?, si:

a) Parte de la longitud 125º O. b) Parte de la longitud 160º E.

(9)

54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia máxima desde la localidad de Dutch Harbor (latitud: 53º 53’ N, longitud: 166º 35’ O) hasta un punto M (latitud: 37º 50’ S, longitud: 144º 59’ O). Se pide: a) Calcular la distancia y el rumbo de salida (ángulo que forma la trayectoria con el meridiano del punto de salida indicando polo y dirección Este u Oeste).

b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador.

c) Hallar el área del triángulo esférico determinado por el Polo Norte y ambos lugares.

55.- Un avión parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar el

rumbo y la distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Talavera la Real y Nueva York son:

Talavera la Real: 6º 46’ 24'’ Oeste; 38º52'35’’ Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera).

Determinar cual es la máxima latitud que alcanza dicho vuelo

56.- Un avión parte de Kopervik (Noruega) hacia Fortaleza (Brasil). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son:

Kopervik (longitud: 5º 18’ E, latitud: 59º 17’ N) Fortaleza (longitud: 38º 29’ O, latitud: 3º 41’ S) Tomando como radio de la tierra R = 6371 km, hallar: a) La distancia entre ambas ciudades.

b) La distancia recorrida por el avión que vuela a 10 km de altura. c) Las coordenadas geográficas del punto H en que la trayectoria corta al ecuador.

(10)

58.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a:

a) Mediana sobre el lado c. b) Bisectriz del ángulo C.

59.-

a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10º 29’ N, 68º 00’ O) y Cádiz (España) (36º 30’ N, 6º 20’ O).

b) Hallar el rumbo inicial y el rumbo final de un barco que se dirija de Puerto Cabello a Cádiz.

c) Calcular la latitud y longitud de la posición del barco cuando haya recorrido 3000 km.

d) Si el barco no parase en Cádiz, sino que siguiera navegando por la circunferencia máxima que une ambas ciudades, localizar el punto del recorrido más próximo al polo norte (dar su latitud y longitud).

Nota: tomar como radio de la tierra 6370 km.

60.- Un barco realiza un viaje desde Bergen (Noruega) (60º 24’ 00”N, 5º 19’ 00”E) hasta St. John’s (Canadá) (47º 34’ 00”N, 52º 41’ 00”O). Se pide calcular:

a) La distancia entre ambas ciudades.

b) El rumbo inicial (ángulo entre el norte del meridiano y la trayectoria medido en sentido de las agujas del reloj).

c) La distancia más corta del Polo Norte a la trayectoria.

61.- Un avión parte de una ciudad A(Cádiz) hacia otra ciudad B(Bristol). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son:

A (longitud: 6º 20’ O, latitud: 36º 30’ N); B (longitud: 2º 38’ O, latitud: 51º 27’ N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades d(A B).

b) Sabiendo que las coordenadas geográficas de otra ciudad C(Oviedo) son (longitud: 5º 50’ O, latitud: 43º 22’ N) y conocidas las distancias: d(A, C) = 764.6003 km, d(B, C) = 930.1393 km, hallar la distancia aproximada a la que pasa el avión de la ciudad C.

Nota: tomar, en ambos apartados, el radio de la esfera sobre la que realizar los cálculos R = 6370 km.

(11)

62.- Un barco sale de un punto A (38º 3’ N, 40º 20’ O) con un rumbo N 23º 20’ E. Tras haber realizado una travesía por una circunferencia máxima entra en un punto B con un ángulo de 43º 15’ (43º 15’ =ángulo ABN). Se pide, calcular:

a) Las coordenadas del punto B. b) La distancia entre A y B

63.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston (EEUU) con dirección a Monrovia (Liberia). Sabiendo que las coordenadas geográficas de dichas ciudades son:

Boston (longitud: 71º 03’ O, latitud: 43º 23’ N) Monrovia (longitud: 10º 49’ O, latitud: 6º 20’ N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades.

b) Hallar la longitud del punto donde la trayectoria corta al Ecuador.

64.- Desde un punto M de la Tierra situado sobre el meridiano de Greenwich y con latitud 45ºN parte un avión hacia otro punto P. Este punto P equidista del Polo Norte, del Punto M y de un punto Q de coordenadas (65º31’48.72”º E, 45º N). El avión se ve obligado a aterrizar en un punto A, cuando lleva recorridos 2/3 de su camino, al Este de M. Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio y que la altitud de vuelo del avión es despreciable frente a esta magnitud. Hallar:

a) Las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje

b) El tiempo que tardó en efectuar éste si llevó una velocidad constante de 800 km/h

c) El área del triángulo esférico definido por los puntos M, A y el Polo Norte

65.- Calcular la superficie del triángulo esférico que tiene por vértices las siguientes ciudades

(12)

Y conocidas las distancias esféricas entre Tokio y Honolulu (Hawaii) que es de 6.146,812 km y entre Tahití y Honolulu que es de 4.430,312 km.

Siendo el radio de la Tierra es de 6.373 km. Se pide:

a) Calcular la distancia esférica entre Tokio y Tahití, expresada en km. b) Calcular la superficie esférica del triángulo formado por Tokio,

Tahití y Honolulu.

67.- Un avión parte con rumbo 30º 10’ (ángulo que forma el meridiano con la trayectoria medido en el sentido de las agujas del reloj) desde un punto A de coordenadas

A → longitud 74º 00’ 00” O, latitud: 40º 45’ 00”N

a) Calcular las coordenadas geográficas (latitud y longitud) del punto de la trayectoria más cercano al Polo Norte.

b) Hallar la distancia en unidades sexagesimales y en km desde el punto A hasta Madrid → longitud 3º 41’ 00” O, latitud: 40º 24’ 00”N.

68.- Tomando como radio de la tierra 6370 km:

a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10º 29’ N, 68º 00’ O) y Cádiz (España) ( 36º 30’ N, 6º 20’ O).

b) Hallar el rumbo de un avión que se dirija de Puerto Cabello a Cádiz.

c) Calcular la latitud y longitud de la posición del avión cuando haya recorrido 3000 km desde Puerto Cabello.

d) Si el avión no aterrizase en Cádiz, sino que siguiera volando por la

circunferencia máxima que une ambas ciudades, localizar el punto del recorrido más próximo al polo norte (dar su latitud y longitud).

69.- Un barco parte del punto A de latitud 58º17' Norte y longitud

128º31’ Oeste y navega 132 millas con un rumbo 243º. Hallar la posición del punto de llegada.

NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1 852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.

70.- Dado el triángulo esférico rectilátero a=90º, A=36º 25’ 08”, c=102º 00’ 00” sobre una esfera de radio 5 km, hallar:

a) La mediana esférica del triángulo dado que parte del vértice B. b) Distancia del vértice A al vértice C.

(13)

71.- Un avión despega de Londres (50ºN, 0º) con su piloto en estado semiinconsciente, con rumbo desconocido (sobre un círculo máximo hacia el cuadrante sureste) y vuela una distancia indeterminada hasta que el piloto recupera el uso de sus facultades y gira 90º hacia la derecha. Al cabo de 2400 millas volando sobre un círculo máximo vuelve a cruzar el

meridiano de Greenwich y, en ese momento, lleva un rumbo de 240º. Se pide:

a) ¿Cuál es su latitud en ese momento?

b) ¿A qué distancia se encuentra de Londres?

c) Si el avión en su recorrido atraviesa el Ecuador, indicar su longitud. d) Obtener la distancia en millas que recorre el avión mientras el piloto está inconsciente.

72.- Se conocen las coordenadas geográficas de las dos ciudades siguientes: Ciudad A: Toronto  = =  Longitud 79º 24' 59'' O Latitud 43º42' 00'' N Ciudad B: Pretoria  = =  Longitud 28º 35' 41'' E Latitud 30º 47' 00'' S

a) Calcular la distancia entre ambas ciudades, tomando como radio aproximado de la tierra R = 6371 km.

b) Un avión se dirige de Toronto a Pretoria siguiendo un círculo máximo. Hallar la latitud del punto P en el que el avión sobrevuela el meridiano

de Greenwich, así como el rumbo que lleva el avión en ese momento. c) Si al llegar al mencionado punto P el avión cambiara de rumbo y girase hacia el este siguiendo el paralelo de P, ¿qué distancia d recorrería hasta sobrevolar el meridiano de Pretoria?

(14)

a) La distancia entre las ciudades A y B, y representar gráficamente el triángulo sobre la esfera que se utiliza.

b) Rumbo inicial.

c) Coordenadas del punto X donde la trayectoria del avión corta al Ecuador, justificando si el avión atraviesa el ecuador antes o después de su paso por el meridiano de Greenwich y representar gráficamente el triángulo esférico empleado.

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver los siguientes triángulos esféricos:

1) A=90º, b=38º 17’ 46”, c=37º 04’ 13”. 2) A=90º, B=52º 38’ 34”, C=50º 38’ 15”.

3) b=114º 31’ 18”, B=119º 42’ 34”, C=72º 03’ 16”. 4) A=112º 24’ 32”, B=61º 12’ 40”, a=72º 36’ 24”. 5) A=161º 16’ 32”, B=126º 57’ 15”, a=163º 17’ 55”.

(15)

1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30’ E, 40º N). Solución: 360º 1º R 2 L L 1º R 2 º 360 P _⇒ ₌ π _P    → π → .

Hay que hallar el radio del paralelo de Pequín R . _P

Llamando R al radio de la tierra (6371 km) y llamando O y _T O’ a los centros del ecuador y del paralelo de Pequín P, respectivamente, se tiene que:

4880.4663 50º sen R R R R OP P O' 50º sen _P _T T P ⇒ = = = = km. Sustituyendo en 360º 1º R 2 L= π P , se obtiene L= 85.1802 km. O’ O P RP RT 50º

(16)

2.- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sobre una esfera.

Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43’ O, 43º 22’ N), Barcelona (5º 50’ E, 41º 24’ N) y Las Palmas (11º 44’ O, 28º 9’ N).

Solución: Planteamiento:

Con las coordenadas geográficas de las tres ciudades podemos calcular las distancias entre ellas, lo que nos proporciona el valor de los lados del triángulo esférico PBN determinado por las tres ciudades. Con los tres lados y aplicando el teorema del coseno podemos calcular los tres ángulos de dicho triángulo necesarios para la obtención del área pedida.

En el triángulo esférico CBN (Coruña, Barcelona, Polo Norte): CN = colatitud de la Coruña = 90º - 43º 22’ = 46º 38’

BN = colatitud de Barcelona = 90º - 41º 24’ = 48º 36’

Ángulo CNB= long. Coruña + long. Barcelona = 4º 43’ + 5º 50’ = 10º 33’ Por el teorema del coseno:

cosCB = cosCN cosBN + senCN senBN cos(CNB) = 0,9901927456⇒ CB=8º 1’ 51.42”. Análogamente en el triángulo CNP (Coruña, Las Palmas, Polo Norte):

CN = Colatitud de la Coruña = 90º - 43º 22’ = 46º 38’ PN= colatitud de Las Palmas = 90º - 28º 9’ = 61º 51’

Ángulo PNC = long. Las Palmas - long. Coruña = 11º 44’ - 4º 43’ = 7º 1’ Por el teorema del coseno:

cosCP = cosCN cosPN + senCN senPN cos(PNC) = 0.9601396347⇒CP=16º13’53.79” Y para el triángulo PBN (Las Palmas, Barcelona, Polo Norte):

PN= colatitud de Las Palmas = 90º - 28º 9’ = 61º 51’ BN = colatitud de Barcelona = 90º - 41º 24’ = 48º 36’

Ángulo PNB = long. Las Palmas + long. Barcelona = 11º 44’ + 5º 50’ = 17º 34’ Por el teorema del coseno:

Cos PB = cos PN cos BN + sen PN sen BN cos(PNB) = 0.9425365278⇒ PB= 19º 31’ 4.83”.

Ahora calculamos los ángulos del triángulo PBC.

(Para facilitar la notación les vamos a designar por la letra de la ciudad, es decir: P= ángulo(CPB); B= ángulo (PBC); C = ángulo (BCP))

Por el teorema del coseno

.06" 1 ' 8 º 24 912594357 . 0 cos cos -CB os cos = = ⇒P= senPB senCP PB CP c P 0.32" 2 ' 53 º 54 5751626179 . 0 cos cos -CP os cos = = ⇒B= senPB senCB PB CB c B B P C N

(17)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 4.81" 6' º 102 209641375 . 0 cos cos -PB os cos = =− ⇒C = senCB senCP CB CP c C

Así, el exceso esférico es E = P + B + C – 180º = 1º 07’ 26.19”, al ser un valor muy pequeño nos indica que el triángulo tiene poca deformación con respecto al triángulo plano PBC. El área es (1º07 '26.19") º 180 63702 π = S = 795976,0562 km2

Nota: del triángulo PCB hemos calculado todos sus elementos y conviene comprobar que los cálculos son correctos:

Comprobación: =0,3416961; =0,3416961; =0,3416961 senC senPB senB senCP senP senCB

(18)

3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes:

a. Tres lados: a = 60º 00’31’’, b = 137º 20’40’’, c = 116º 00’32’’ b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50’, c = 67º38’,

c. Tres ángulos: A = 70º 00’25’’, B = 131º 10’15’’, C = 94º 50’53’’ d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

a = 64º 24’03’’, b = 42º 30’10’’, C = 58º 40’52’’ e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos

c = 116º 12’05’’, A = 70º 51’15’’, B = 131º 20’26’’ f. Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos

a = 58 º46’22’’, b = 137 º02’50’’, B = 131º 52’33’’ g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos

a = 70º, B = 119º, A = 76º Solución:

a) Aplicando el teorema del coseno: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A ⇒

senc senb

c b a

A cos cos cos

cos = − = 0,2912659729⇒

A=73º03’58’’. Análogamente:

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B ⇒

senc sena

c a b

B cos cos cos

cos = − = - 0,6632204119⇒ B=131º32’45’’ cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C ⇒

senb sena

b a c

C cos cos cos

cos = − = - 0,1207886561⇒ C=96º56’15’’

Comprobación: Usando el teorema del seno obtenemos información acerca de la validez o precisión de los resultados.

905354 , 0 ; 905353 , 0 ; 905355 , 0 = = = senC senc senB senb senA sena

(5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error menor que 1 segundo)

b) Se trata de un triángulo rectilátero en a = 90º luego su polar es rectángulo en Ap =

90º y los elementos conocidos de dicho polar son:

Ap=180º- a = 90º; Bp =180º- b =131º 10’; Cp = 180º- c = 112º 22’

(19)

cosap= cotgBp cotgCp =

( ) ( )

p p tgC B tg 1 = 0,3598094492 ⇒ ap = 68º 54’ 41.42”

cosBp=sen(90º-bp)senCp = cosbp senCp ⇒

) ( cos cos p p p C sen B b = = -0,7118022192 ⇒ bp= 135º 22’ 54.2”

cosCp=sen(90º-cp)senBp = coscp senBp ⇒

) ( cos cos p p p B sen C c = = -0,5054907662. ⇒ cp= 120º 21’ 50.1”

Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos 9330259 , 0 ; 9330260 , 0 ; 9330258 , 0 = = = senC senc senB senb senA sena

Y ahora calculamos los datos del triángulo dado que nos faltaban:

A = 180º - ap = 111º 5’ 18.58” (si queremos dar solo hasta los minutos A ≈ 111º 5’)

B = 180º - bp = 44º 37’ 5.8” (si queremos dar solo hasta los minutos B ≈ 44º 37’)

C = 180º - cp = 59º 38’ 9.9” (si queremos dar solo hasta los minutos C ≈ 59º 38’)

c) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:

cos A cos B cos C

cos A cos B cos C senBsenC cos a cos a 0, 530015814 senBsenC + = − + ⇒ = = Ap=90º 90º-cp 90º-bp ap ap Bp bp cp Ap Cp Bp Cp

(20)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Comprobación: =0,902369; =0,902369; =0,902369 senC senc senB senb senA sena

d) Aplicando el teorema del coseno:

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C = 0,6352607851 ⇒ c = 50º 33’ 38.42” Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para calcular A y B: senc senb c b a

A cos cos cos

cos = − = -0,06951358 ⇒ A = 93º 59’ 9.32” senc sena c a b

B cos cos cos

cos = − = 0,6644274671 ⇒ B = 48º 21’ 41.7” Comprobación: =0,904025; =0,904025; =0,904024 senC senc senB senb senA sena

e) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:

cos C= −cos A cos B senAsenB cos c+ = −0, 0965239⇒ C 95º 32'21''= Y ahora teorema del coseno para los ángulos de nuevo para calcular a y b:

senC cos cos cos cos senB C B A a= + = 0,5242012028 ⇒ a = 58º 23’ 7.86” senC cos cos cos cos senA C A B b= + = -0,7361569118 ⇒ b = 137º 24’ 18.2” Comprobación: =0,901456; =0,901457; =0,901456 senC senc senB senb senA sena

f) Por el teorema del seno:

   < ⇔ < = < ⇔ < = ⇒ = ⇒ = b a B ' 51' 51' º 110 A b a B ' 09' 08' 69º A 1 0.93442821 A sen B sen b sen A sen a sen

Las dos soluciones son válidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos soluciones. Resolvemos ahora dos triángulos esféricos:

Uno para A1=69º 08’ 09’’ y otro para A2=110º 51’ 51’’

Datos conocidos del 1º triángulo: A1= 69º08’09’’, a, b, B

Aplicando las analogías de Neper:

1 1 1 A B cos c ₂ a b tg tg 1, 5370151 A B 2 2 cos 2 + + = = − ⇒ 2 1 c _{= 56º 57’ 5.92” ⇒ c} 1= 113º 54’ 12” 2 2 cos 2 cos 2 1 1 B A tg b a b a C tg + + − = = 1,04520437 ⇒ 2 1 C = 46º 15’ 58.25” ⇒ C1= 92º 31’ 57”

(21)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Comprobación: 0,9151243; 0,9151244 1 1 ₌ = = senC senc senB senb senA sena

Datos conocidos del 2º triángulo: A2=110º51’51’’, a, b, B

2 2 cos 2 cos 2 2 2 2 _tg a b B A B A c tg + − + = = 3,810561712 ⇒ 2 2 c =75º 17’ 13.2” ⇒ c2= 150º 35’ 27.8” 2 2 cos 2 cos 2 2 2 B A tg b a b a C tg + + − = = 3,436280124 ⇒ 2 2 C = 73º 46’ 27.66”⇒C2= 147º32’55.3” Comprobación: 2 2 senc sena senb 0, 9151243; 0, 91512439

senA =senB = senC =

g) Por el teorema del seno:

8470342211 , 0 º 76 º 119 º 70 = = = sen sen sen senA senasenB senb ⇒    = − = = = " 34 ' 6 º 122 " 26 ' 53 º 57 º 180 " 26 ' 53 º 57 2 1 b b

b .pero al ser B>A ha de verificarse que b > a =70º, luego, en este caso b = b2 = 122º 6’ 34” y solo hay una solución válida.

2 2 cos 2 cos 2 b a tg B A B A c tg + − + = = 1,322596405 ⇒ 2 c _{= 52º 54’ 27” ⇒ c= 105º 48’ 53.9”} 2 2 cos 2 cos 2 A B tg b a b a C tg + + − = = 1,121304997 ⇒ 2 C_{= 48º 16’ 22.24” ⇒ C= 96º 32’ 44.49”}

(22)

4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54’54’’, a - b = 13º 40’50’’

Solución:

Dividiendo miembro a miembro en las analogías de Neper:

⇒ = + ⇒ − + = − + ⇒            + − = − + − = + '' 33 ' 02 º 21 tg '' 27 ' 57 º 68 tg '' 25 ' 50 º 6 tg 2 b a tg 2 B A tg 2 B A tg 2 b a tg 2 b a tg 2 B A sen 2 B A sen 2 c tg 2 b a tg 2 B A cos 2 B A cos 2 c tg 2 b a tg '.34 53' 2' º 78 b a '.67 26' 1' º 39 2 b a 810479989 . 0 2 b a tg + = ⇒ + = ⇒ + =

Por hipótesis, a−b=13º40'50''. Resolviendo el sistema lineal    = − = + ' 50' 40' º 13 b a '.34 53' 2' º 78 b a , se obtiene:    = = ' 2' 11' º 32 b ' 52' 51' º 45 a .

(23)

5.- Resolver, si es posible, los siguientes triángulos esféricos rectángulos, siendo A=90º:

a) a=60º 07’ 13”, C=59º 00’ 12”. b) b=167º 03’ 38”, B=157º 57’ 33”. c) a=112º 42’ 36”, b=76º 44’ 15”. Solución: a) cos(90º-c) = senasenC = 0,743252702177866 a C A 13 c 48 1º 5 º 00 '33 9 ' 27 '' ''  _{< ⇔ <}  ⇒_ ⇒  = c=48º 00' 33'' cosa =cotgBcotgC ⇒ atgC tgB cos 1 = = 1,205950365 ⇒ B = 50º 20’ 1.49”

cosC=cotga tgb ⇒tgb=tga cos C=0,8963258673⇒ b 41º 52'14''=

Comprobación: =0,86707311; =0,86707310; =0,86707312 senC senc senB senb senA sena b) sena=senb/senB = 0,5966976997 1 2 a 36º 38'02'' b A B a 143º 21'58'' b A B  ₌ _{< ⇔} _<  ⇒  = < ⇔ < 

No podemos rechazar ninguno de los valores obtenidos luego: Existen dos soluciones de tal forma que b es obtuso:

2 1 c 34º 34 ' 34'' tg b sen c 0.56749939 c 145º 25 ' 26'' tg B =  = = _{⇒ } =

 , ya que al ser a aguda, 1 c y b han de 1 ser ambos obtusos.

cos B senC 0, 95106682 cos b = = ⇒ 2 1 C 72º 00'07 '' C 107º 59'53''  ₌   =

(24)

6.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo.

Solución:

Por tanto, hemos de calcular primero los ángulos B y C: cosB= senc sena c a b cos cos cos − = 0.820952891⇒ B =34 49 11º ' '' cosC= senb sena b a c cos cos cos − _{= -0.484454398⇒ C =} 118 5º 8 ' 6 ''3

Luego al ser B = 34º 49’ 11’’< 90º y C = 118º 58’ 36’’> 90º, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H

senh= senBsenc = 0.562321217⇒ h = 34º 12 ' 59 '' 145 º 47' 1''>90º

Si la altura sobre el lado a es interior (h), al triángulo ABC, entonces h, B y C han de ser todos agudos o todos obtusos, pues son ángulos que se oponen al cateto h, en los triángulos rectángulo en que h),divide al triángulo ABC. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h, B y (180º- C) agudos u obtusos simultáneamente es decir, B y C han de tener distinto carácter.

a b c A B C h h H

(25)

7.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: a) Altura sobre el lado c.

b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C. Solución:

a) Previamente obtenemos a: cosa = cosbcosc + senbsenc cosA= -0.06998607184 ⇒ a = 94º 00’ 47.47”. Se verifica que al ser b<a<c, entonces B<A<C, luego Ay B son ambos agudos y, por tanto, la altura es interior y de carácter agudo.

Se descompone el triángulo en dos

triángulos rectángulos y obtenemos la altura por el teorema del seno en AHC: senh = senb.senA=0.8069909576 ⇒ h = 53º 48’ 10.7”

b) Puesto que, en el triángulo de la izquierda, conocemos dos lados y el ángulo comprendido, utilizamos el teorema del coseno:

cosm = cosbcos(c/2) + senbsen(c/2)cosA = 0,4203330312 (con c/2 = 52º 11’) luego la mediana es:

m = 65º 08’ 40’’

c) Calculamos, en primer lugar, el ángulo C en el triángulo ABC, aplicando el teorema del coseno:

cos c cos a cos b

cos C C 104º 50 '30 ''

senasenb −

= ⇒ =

Hallamos ahora el ángulo AZC (que designamos Z)

A=84º30' B C c=104º22' b=54º10' A=84º30' B C c=104º22' b=54º10' A=84º30' B C c=104º22' b=54º10' h H m c/2 C/2 z Z

(26)

8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. b) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa.

Solución:

a) Por el pentágono de Neper: cosB=sen(90º-b)senC=cosbsenC b 90º y B<90º cos B senC 0 b>90º y B>90º cos b <  ⇒ = _{> ⇒ } 

b y B ambos agudos o ambos obtusos.

b) Ahora es: cosa=sen(90º-b)sen(90º-c)=cosbcosc b 90º cos b 0

cos a cos b cos c 0 a 90º c 90º cos c 0 < ⇒ >  ⇒ = > ⇒ <  < ⇒ _{> } b 90º cos b 0

cos a cos b cos c 0 a 90º c 90º cos c 0 > ⇒ <  ⇒ = > ⇒ <  > ⇒ _{< } b 90º cos b 0

cos a cos b cos c 0 a 90º c 90º cos c 0 < ⇒ >  ⇒ = < ⇒ >  > ⇒ _{< } Recíprocamente:

a<90º⇒cos a=cos b cos c> ⇒0 signo(cos b)=signo(cos c)⇒b y c son ambos agudos o ambos obtusos.

a >90º⇒cos a =cos b cos c< ⇒0 signo(cos b)≠signo(cos c)⇒b y c son de distinto cuadrante.

(Esta demostración se puede ver también en los apuntes de teoría, publicados en la Escuela)

(27)

9.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a)

b) sec A - sec a = 1

c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1. Solución:

Equilátero: los tres lados iguales a=b=c

Y por el teorema del coseno cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A=cos2a + sen2a cos A Y despejando 2 2 cos a cos a cos A sen a − = a) 2 2 2

cos a cos a cos a(1 cos a) cos a(1 cos a) cos a cos A

(1 cosa)(1 cosa) 1 cosa sen a 1 cos a − − − = = = = + − + − b) Por el apartado

anterior:sec A sec a 1 1 1 cos a 1 1 cos a 1 1 cos A cos a cos a cos a cos a

+ + −

− = − = − = =

c) Sabemos que: cos 1 cos

2 2 α + α   =     y 1 cos sen 2 2 α − α   =  

  y así en nuestro caso: = − + = − + = 1 cosa 1 cosA 2 A cos 1 2 a cos 1 2 2 A sen 2 a cos 2 cos a 1 1 cos a 1 1 cos a 1 1 cos a 1 cos a = + − = + =

(28)

10.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son:

Madrid: latitud: Norte 40º 24’; longitud: Oeste 3º 41’ Tokio latitud: Norte 35º 40’; longitud: Este 139º 45’ y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide:

a) ¿Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? b) ¿A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente?

c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30’. ¿Sobrevuela el mencionado avión el Círculo Polar Ártico? Solución:

Planteamiento:

a) Con las coordenadas geográficas de Madrid y Tokio podemos calcular la distancia entre ellas. b) La distancia h al Polo Norte se calcula en el

triángulo rectángulo MPN (donde P es el pie del arco perpendicular a MT por N.

c) El valor obtenido para d nos indicará si la trayectoria del avión corta al Círculo Polar Ártico o no.

a) Calculamos MT en el triángulo MTN donde: MN= colatitud de Madrid = 90º- 40º 26’= 49º 34’ TN= colatitud de Tokio =90º-35º 40’= 54º 20’

Ángulo MNT= long. Madrid + long. Tokio = 3º 42’ + 139º45’=143º 27’ Aplicando el teorema del coseno:

cos MT = cosMN cosTN + senMN senTN cos(MNT)= - 0,1186149437 ⇒ distancia de Madrid a Tokio en unidades angulares = MT = 96º 48’ 43.83”. Ahora bien, para calcular en unidades lineales la distancia recorrida por el avión hemos de tener en cuenta que vuela a 10 km por encima de la superficie terrestre, luego:

Distancia recorrida por el avión = d = 96º48'43.83" º 180 ) 10 6370 ( + π = 10780,23 km b) Para calcular h usamos el triángulo MPN . En él conocemos P = 90º y MN =

colatitud de Madrid 49º 34’, necesitamos un dato más, por ello calculamos el ángulo M= NMT en el triángulo utilizado en el apartado anterior:

Aplicando el teorema del coseno:

senMT sen cos cos cos cos MN MT MN NT M = − = 0,8732584817 ⇒ M = 29º 09’37,68’’ (rumbo M T h N P

(29)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA del avión desde Madrid).

El pentágono de Neper correspondiente al triángulo MPN es:

sen(90-h) = senM. senMN = 0,3708812703 ⇒

   = 11.92" 46' º 21 -180º 11.92" 46' º 21

h pero h y su ángulo opuesto M han de tener el mismo carácter luego h ha de ser agudo. Por tanto:

distancia al Polo N es h = 21º 46’ 11.92”

Vamos a aproximar esta distancia en unidades de longitud (km) por la distancia a la vertical del Polo a 10 km de altitud:

Distancia desde el avión = h = 21º46'11.92"" º 180 ) 10 6370 ( + π = 2424,14 km

c) Al ser h=21º46’11.92 ’’ < (90º-60º30’) =29º30’ (colatitud del Círculo Polar Ártico:

SÍ SE SOBREVUELA EL CÍRCULO POLAR

P=90º MN M 90º-h 90º-MH N

(30)

11.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geográficas del punto donde se encontrará el avión al cabo de 3 horas de vuelo.

Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 24’ latitud N, 3º 41’ longitud O.

Coordenadas geográficas de Nueva York: 40º 45’ latitud N, 76º longitud O.

Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avión: 6371 km.

Solución:

Sea A = Madrid, B = Polo Norte, C = Nueva Cork, C’ = Punto donde se encuentra el avión al cabo de tres horas de vuelo. En el triángulo esférico ABC:

c = 90º - 40º 24’ = 49º 36’ a = 90º - 40º 45’ = 49º 15’ B = 76º – 3º 41’ = 72º 19’.

Teorema del coseno en ABC para hallar b:

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B = 0.5936860994 ⇒ b = 53º 15’ 04’’.51

Teorema del coseno de nuevo, para calcular A: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

cos a- cos b cos c

cos A A 64º 15 ' 42 ''

senb senc

⇒ = ⇒ =

Del triángulo AB’C’, se conocen:

A=64º 15 ' 42 '', c = 49º 36’ y puede calcularse fácilmente b’ pues es la distancia recorrida por el avión en tres horas de vuelo: b'=990km/h ⋅3h=2970km.

En unidades angulares, resulta ser: b' 26º42'35''.46 ' b km 2970 360º km 6371 2 = ⇒    → → ⋅ π .

Se aplica el teorema del coseno al triángulo AB’C’, para obtener el lado a’, que corresponde a la colatitud de C’:

cos a’ = cos b’ cos c + sen b’ sen c cos A ⇒ a’ = 43º 18’ 50’’ Latitud del punto C’ = 90º - 43º 18’ 50’’ = 46º 41’ 10’’ N.

Se aplica el teorema del seno al triángulo AB’C’, para obtener el ángulo B’: sen b' sen a' sen b' sen A

sen B' B ' 36º 10' 17''

sen B' sen A sen a'

⋅

= ⇒ = ⇒ =

Nótese que B’ ha de ser agudo por ser B’< B.

Longitud el punto C’ = 36º 10’ 17’’ + 3º 41’ = 39º 51’ 17’’ O B C A a c C’ b a’ b’ B’

(31)

12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º35' Norte con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 36º52’ Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en dirección Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha.

NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1 852 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.

Solución:

Se conocen en millas las longitudes de los arcos de paralelos AA’ y BB’; las millas divididas por los cosenos de las latitudes da en minutos los ángulos A’NA y B’NB, cuya diferencia es el ángulo A’NB’:

R= radio de la Tierra R r cos ⇒ =

ϕ siendo ϕ la latitud del paralelo. Luego la longitud de la circunferencia máxima será: ⇒ π = π

ϕ 2 r 2 R

cos y la distancia recorrida por cada barco expresada en millas o minutos:

     20 56 A ' NA 1693.044819 cos 48º 35 ' A ' NB ' A ' NA B ' NB 433.0981050 18 56 B ' NB 1259.946714 cos 36º 52 ' ⋅  = = _ ⇒ = − =  ⋅ _ = = 

minutos que son

7º.218301749 ⇒ =7º13’05’’. ecuador paralelo R ϕ R

r

Paralelo N=Polo Norte A’ B Greenwich A B’

(32)

13.- Un barco que parte del punto A (latitud 36º50' N. y longitud 76º20' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50º 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida. Solución:

* Planteamiento

En el triángulo esférico CAB: Conocemos CA: (90º – Latitud de A). Conocemos CB: (90º – Latitud de B). Conocemos el ángulo C.

* datos del triángulo C=76º20’-50º00’=26º20’ b=90º-36º50’=53º10’ a=90º

Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados.

cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C

cos c = 0 + 0,8003827 . 1. 0,8962285 = 0,1773257 de donde c = 44º09’57’’ la distancia recorrida viene dada por

L = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km Obteniéndose L = 4911 km

Ahora se calcula el rumbo:

Queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. senA=sena.senC/senc= 0.6901737602, luego el rumbo será 140º27’21’’ O bien,

cos a = cosb cosc + senb senc cos A

0 = 0,5994893 . 0,7173257 + 0,8003827. 0,696738 cosA cos A = - 0,7711352

A = 140º 27’21’’ (Rumbo medido desde el Norte ) Ecuador C=Polo Norte A B Greenwich b a Latitud 36º50' A Longitud 76º20' =  ≡  ₌  Latitud 0º B Longitud 50º =  ≡  ₌ 

(33)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 14.- Resolver el triángulo esférico tal que:

A = 68º 39’ 07’’, B = 74º 07’ 12’’, a = 51º 42’ 08’’ Solución:

Por el teorema del seno: sen a sen b sen b 0.8104585953 sen A =sen B⇒ = ⇒ 1 2 b 54º 08' 26.7'' b 125º 51' 33.3'' =   ₌  b a B

A< ⇔ < , luego ambos valores de b son válidos. 1ª solución: A, B, a y b1=54º08'26.7'' ¿c , 1 C ? 1

⇒ = − + + = ⇒ + − = + 4228571561 . 0 2 B A cos 2 B A cos 2 b a tg 2 c tg 2 c tg 2 B A cos 2 B A cos 2 b a tg 1 1 1 1 c1 _{22º 55' 17''} 2 = ⇒ 1

c =45º 50' 34''y luego teorema del coseno para obtener C : ₁

⇒ = − = ⇒ + = 0.5244613013 b sen sena b cos a cos c cos cosC cosC b sen sena b cos a cos c cos 1 1 1 1 1 1 1 1 C1=58º 22’ 4.9’’ 2ª solución: A, B, a y b₂ =125º51'33.3'' ¿c , ₂ C ? ₂ Aplicando las analogías de Neper:

⇒ = − + + = ⇒ + − = + 01422834 . 15 2 B A cos 2 B A cos 2 b a tg 2 c tg 2 c tg 2 B A cos 2 B A cos 2 b a tg 2 2 2 2 c2 86º 11' 22.3'' 2 = ⇒ 2

c =172º 22' 44.6'' y luego teorema del coseno para obtener C : 2

⇒ − = − = ⇒ + = 0.9875366309 b sen sena b cos a cos c cos cosC cosC b sen sena b cos a cos c cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C2 = 170º 56’ 40.6’’

(34)

15.- Un navío parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia máxima. Las coordenadas geográficas de ambos puntos son:

Calcular la distancia recorrida por el navío y el rumbo del mismo. Nota: Radio de la tierra R≈6371 km.

Solución:

En el triángulo esférico CAB:

Conocemos CA: (90º – Latitud de A). b=90º-55º45’13’’=34º14’47’’

Conocemos CB: (90º – Latitud de B). a=90º-48º50’02’’=41º09’58’’

Conocemos el ángulo C: C=55º48’10’’-20º30’40’’=35º17’30’’

Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C

cos c = 0,924639118 de donde c = 22º23’10’’ la distancia recorrida viene dada por

D = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km. Obteniéndose 2489 km Ahora se calcula el rumbo: queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. senA=sena.senC/senc= 0,853689, luego el rumbo será 86º55’02’’ o bien, 93º 04’ 58’’ Por el teorema del coseno:

cos a = cosb cosc + senb senc cos A cos A cos a cos b cos c senbsenc

−

⇒ = = -0,053774288.

A = 93º 04’ 58’’

El rumbo inicial de A a B será: 360º-A=266º 55’ 02’’ ecuador C=Polo Norte A B Greenwich b a  =  ≡  ₌  20 Longitud º30'40'' E B Latitud 48º50'02'' N  =  ≡  ₌  Longitud 55º48'10'' E A Latitud 55º45'13'' N

(35)

16.- Resolver el triángulo esférico de que se conocen los datos: a=76º00’00’’; A=70º00’00’’; B=119º00’00’’ Solución:

Por el teorema del seno:

sen a sen b sen a

sen b senB =0,9031035

sen A =sen B⇒ = sen A ⇒

b= 64º 34' 08'' b 115º 25' 52'' >a B A   = ⇔ >  Aplicando las analogías de Neper:

A B cos c ₂ a b cos(94º 30 ') tg tg tg(95º 42 '56 '') 0,86151311 A B 2 2 cos( 24º 30 ') cos 2 + + = = = − − , c=81º 29' 26'' y luego

teorema del coseno para obtener C ó bien: a b cos C ₂ cos( 19º 42 '55 '') tg 0, 743969 a b A B 2 cos(95º 42 '56 '')tg(94º 30 ') cos tg 2 2 − − = = = ⇒ + + C= 73º 17’ 46’’

(36)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 17.- Resolver el siguiente triángulo esférico rectángulo:

A = 90º, b = 46º 46’ 04’’, B = 57º 28’ 03’’ Solución:

A = 90º Obtenemos las fórmulas a partir del pentágono de Neper a

B C

90º-c 90º-b

(

)

senb

cos 90º b senb sena senB sena= senB − = = ⇒ = 0.8641859432 1 2 59º 47 ' 24 '' a a 120º12 '36 '' a =  ⇒ =  ₌  ;

A=90º > B ⇒ a > b. Luego, ambas soluciones son válidas. Sen c = cotg B cotg (90 – b) = tgb

tgB = 0.6784953626 1 2 42º 43'34 '' c c 137º16 ' 26 '' c =  ⇒ =  ₌  , ya que al ser 1 a <90º y b<90º, debe ser c1<90º.

cos B = sen C sen (90º-b) = sen C cos b senC cos B cos b ⇒ = = 0.7851265898 1 2 51º 43'57 '' C C 128º16 '03'' C =  ⇒ =  ₌

 , pues c1 y C1 han de ser ambos agudos o ambos obtusos. Hay, entonces, dos soluciones:

(37)

18.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (Â = 90º) sabiendo que: ˆ

B= 157º 57’ 33’’ b = 167º 3’ 38’’ Solución:

Por el teorema del seno:

sen a sen b sen A sen b sen a

sen A=sen B⇒ = sen B

a 36º 38 '02 '' b A B a 143º 41'58 '' b A B = < ⇔ <  ⇒  ₌ _{< ⇔} _<  .

A = 90º Obtenemos las fórmulas a partir del pentágono de Neper a

B C

90º-c 90º-b

Resolvemos ahora dos triángulos esféricos: Sen c = cotg B cotg (90 – b) = tgb

tgB 2 1 34º 34' 34'' c c 145º 25' 26'' c =  ⇒ =  ₌  , ya que al ser a1<90º y b>90º, debe ser c₁>90º.

cos B = sen C sen (90º -b) = sen C cos b senC cos B cos b ⇒ = 2 1 72º 00'07 '' C C 107º 59'53'' C =  ⇒ =  ₌  , pues c1 y C1 han de ser ambos agudos o ambos obtusos.

Hay, entonces, dos soluciones:

a=36º38’02’’; c=145º25’26’’; C=107º59’53’’ y a=143º21’58’’; c=34º34’34’’; C=72º00’07’’

(38)

b=  

c

19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitúan 3 puntos, A, B y C,

vértices de un triángulo esférico. Los ángulos en A y B valen respectivamente A = 70º y B = 119º, y el lado opuesto al ángulo A tiene como valor a = 76º.

Se pide calcular la distancia esférica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a.

Solución:

Lo que se pide en el problema es calcular la altura d sobre el lado a

Para calcular d se resuelve el triángulo rectángulo A’BH, del que se conocen H=90º y B=119º. Se necesita, por tanto, otro dato y éste puede ser el ángulo C.

Para calcular el lado c, se resuelve el triángulo ABC

Se tiene un triángulo en el que se conocen dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos. Aplicando el teorema del seno sen b 0, 903103573sen a sen B .

sen a

= =

b=64º34’9’’ solución no válida pues B > A ⇒ b > ( a = 76º ) b=115º25’51’’ cos 2 _0,861486188 2 _cos 2 2 A B c a b tg tg A B + + = ₋ = ⇒ c = 81º 29’ 20’’

por el teorema del coseno se obtiene C = 73º 17' 40''

(NOTA: se podía haber calculado directamente C sin calcular c/2, ya que en este caso no se utilizará c para calcular la altura esférica)

Como C es agudo y B obtuso, el triángulo corresponde a la figura dibujada y la altura es exterior. Ahora hay que resolver el triángulo rectángulo A’HB conocidos H,B y c

Por el teorema del seno 0,864988471 . 90º

= sen b sen C =

sen d

sen

d = 59º52’53’’

d = 120º7’7’’ solución no válida puesto que C < H ⇒ d > (b = 115º 25’ 51’’) Pasando el ángulo a radianes

d = 1,045127397 rad ⇒ distancia= d . R = 6657,461 km A=70º C a=76 b d H=90º B=119º A’

(39)

20.- Dos triángulos esféricos tienen en común los elementos siguientes: a=51º42’, A=68º39’, B=74º07’. Calcular el lado b en ambos triángulos y analizar si ambas soluciones son válidas.

Solución:

Calcular el lado b en ambos triángulos.

Se aplica el T. del seno:

=

⇒

=

⋅

⇒

A

sen

B

sen

a

sen

b

sen

B

sen

b

sen

A

sen

a

sen

sen b = 0,8104309 1 2 b 54º 08' b 125º 52' =  ⇒  ₌

 son las soluciones buscadas, puesto que tanto una como otra verifican: b > a y a + b < 180º

(40)

21. Resolver el siguiente triángulo esférico, sabiendo: a = 79º 48’, b = 53º 12’ y A = 110º 2’

Solución:

Se aplica el T. del seno: sen a sen b sen B sen A sen b

sen A sen B sen a

⋅

= ⇒ = ⇒

sen B = 0,764362 B 49º 51' 01''<A b<a B 130º 08' 59'' = ⇔ ⇒ = No valida   

Aplicando las analogías de Neper: A B cos c ₂ a b cos 49º 51'01'' tg tg tg 66º 30 ' 0, 464224 A B 2 2 cos 30º 05 '30 '' cos 2 + + = = = ⇒ − Luego: c = 49º 48’ 14”

Para calcular el ángulo C, se aplica el T. del coseno para ángulos: cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B · cos c ⇒

cos C = - (- 0’2208826) + 0’4634744 = 0’684357 ⇒

(41)

22.- a) Resolver el triángulo esférico rectilátero e isósceles tal que b=c=60º00’00’’

b) Determinar los ángulos de un triángulo esférico equilátero cuya área sea igual a la mitad del área encerrada por una circunferencia máxima

Solución: a) Rectilátero y b=c=6000 '00 '', luego, a=90. ⇒ − = − = ⇒ + = 3 1 c sen b sen c cos b cos a cos A cos A cos c sen b sen c cos b cos a cos A=109 28 ' 16 '' ⇒ = − = ⇒ + = 3 1 c sen a sen c cos a cos b cos B cos B cos c sen a sen c cos a cos b cos B=54 44 ' 08 ''= C

b) Área de un círculo máximo: 2 r π

Área del triángulo esférico:

(

)

2 2 r r S A B C 180 2 180 π π = + + −  = ⇒  A+ + −B C 180 =90 ⇒ + + =A B C 270 Por tanto, 3A=270 ⇒ A=B=C=90

(42)

23.- Dadas las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades: Santiago de Compostela: 42º52’ N ; 8º33’ O

Madrid : 40º24’ N ; 3º41’ O

Girona: 41º59’ N ; 2º49’ E

Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular:

a) Distancias esféricas entre estas ciudades

b) Superficie del triángulo esférico que tiene por vértices dichas ciudades Solución:

a) distancia Santiago (S) – Madrid (M) triángulo P (polo norte), M, S

datos lado m = 90º - 42º52’ = 47º08’ lado s = 90º - 40º24’ = 49º36’ ángulo P = 8º33’ - 3º41’ = 4º52’ solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos m * cos s + sen m * sen s * cos P p=4º23’37’’

la distancia es d (S,M)= 0,076682979941 (rad)*6371= 488,547 km distancia Madrid (M) – Girona (G)

triángulo P, G, M

datos lado m = 90º - 41º59’=48º01’ lado g = 90º - 40º24’ = 49º36’ ángulo P = 3º41’+2º49’= 6º30’ solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos g * cos m + sen g * sen m * cos P p=5º08’23’’

la distancia es d (M,G)= 0,089705075(rad)*6371= 571,511 km distancia Santiago (S) – Girona (G)

triángulo P, S, G

datos lado s = 90º - 41º59’=48º01’ lado g = 90º - 42º52’ = 47º08’ ángulo P = 8º33’+2º49’= 11º22’ solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos g * cos s + sen g * sen s * cos P p=8º25’49’’

la distancia es d (M,G)= 0,147136104 (rad)*6371= 937,404 km

b) Se necesita calcular los ángulos del triángulo SGM del que se conocen los tres lados: m = 8º25’49’’ s = 5º08’23’’ g = 4º23’37’’ Resolviendo el triángulo M = 124º11’53’’ S = 30º21’30’’ G = 25º36’25’’

Ahora se aplica la fórmula de la superficie del triángulo esférico S+G+M = 180º 09’ 48’’ S = (πR2/180º) (S+G+M-180º) S = (πR2/180º) (0º9’48’’) = 115709,07 km2 P M G g m p P S G g s p M S G g s m

(43)

24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20º 31’ N, longitud 70º 11’ E) y llegar al puerto B (latitud 42º 22’ N, longitud 10º 45’ W). Calcular:

a) La distancia AB (llamada distancia ortodrómica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km. b) El rumbo inicial. c) El rumbo final. Solución: Punto A. Longitud = 70º 11’ E. Latitud = 20º 31’ N. Punto B. Longitud = 10º 45’ W. Latitud = 42º 22’ N.

a) Cálculos del triángulo PBA

a = 90º - Latitud de B = (90º - 42º 22’ N) = 47º 38’. b = 90º - Latitud de A = (90º - 20º 31’N) = 69º 29’.

P = Longitud A + Longitud B = 70º 11’ + 10º 45’ = 80º 56’. Aplicando el t. del coseno para lados:

cos p = cos a · cos b + sen a · sen b · cos P. Luego:

cos p = cos(47º 38’ )· cos(69º29’) + sen(47º 38’) sen(69º 29’)·cos(80º 56’)= = 0.345223879

p = arc cos 0.345223879 = 69,804537º

Considerando la Tierra esférica con radio R = 6.371 km, el valor de un ciclo es 2πR = 40.030 km. Un grado de ciclo valdrá: 40.030 / 360º = 111,2 km por grado

La distancia AB en km es 69,80 . 111,2 km = 7762,26 km. b) Rumbo inicial: 360º- A Rumbo inicial: 360º- A =360º- 51º1’26’’= 308º 58’ 34’’ c) Rumbo final: 180º + B ' 26' 1' 51º A 0,6289926 0,87898975 0,55287811 p sen b sen p cos b cos -a cos A cos = = ⇒ = ⋅ =

(44)

25.- Resolver el triángulo esférico rectángulo ( A = 90º ), sabiendo que: a = 143º 21’ 58’’y b = 167º 03’ 38’’.

Solución:

Por el teorema del seno o bien utilizando el pentágono de Neper: sen b sen A sen167º 03'38 ''sen 90º

sen B 0, 375266076 sen a sen143º 21'58 '' = = = ⇒ B= 22º 02' 27 '' No valido 157º 57 ' 33'' A b a   > ⇔ < 

cosa=sen(90º-b) sen(90º-c)=cosb cosc cos a

cos c 0,823372356 cos b

= = ⇒ c=34º 34' 34''

cosC=cotga cotg(90º-b)=tgb cotga tgb

cos C 0, 3089837 tga

(45)

26.- Un avión vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de 10.000 m.

De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela 2.000 km hasta llegar a un punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son:

Madrid: 3º 41' Oeste; 40º24' Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera).

Se pide:

a). Distancia entre Madrid y Nueva York. b). Distancia recorrida por el avión. Solución:

a) distancia Madrid (A) – Nueva York (B) triángulo P (polo norte), A, B datos:

lado a = PB = 90º - 40º45’ = 49º15’ lado b = PA = 90º - 40º24’ = 49º36’ ángulo P = 74º - 3º41’ = 70º19’ solución: aplicando el teorema del coseno

cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P=0,6173829954 p=51º52’29’’ La distancia es d (A,B)=p R 180º π = 0,9053847013 (rad)*6371= 5768 km ecuador P=Polo Norte B p Greenwich A ₂ 2 Longitud 74º W= B Latitud 40º45' N= = λ  ≡  ₌ _ϕ  λ2 λ1 φ 2 φ 1 P

(46)

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 1

1

cos p cos a cos c

cos P 0, 9366772827 senasenc P 20º 29 '57 '' − = = ⇒ = 2º triángulo P, B, C datos: lado b = 38º30’12’’ lado c = 49º15’ ángulo P = 70º19’=P1+P2=20º29’57’’+P2 P2=P-P1= 49º49’03’’

solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos b cos c + sen b sen c cos P2

p=35º23’56’’ la distancia es d (B;C)= p R 180º π = 35º23’56’’ 180º π 6371= 3936,177 km Ahora la distancia total recorrida será:

d(A,C)+d(C,B)= 3936,177 + 2000 = 5936,177 km

P2

B C

c b=38º30’12’’