LEYES DE CONSERVACION

(1)

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1. Una barcaza es remolcada por dos barcos, siendo la tracción del primer remolcador de 2,5 · 105_{N a 30º a la izquierda y la del segundo} de 1,0 · 105_{N a 15º a la derecha. ¿Cuál es el trabajo de cada barco}

sobre la barcaza cuando ésta se desplaza d=100 m en dirección del eje x?¿Cuál es el trabajo total de ambos remolcadores sobre la barcaza? Datos: T₁, T₂ y d. Calcular: W₁, W₂ y W_Total

Solución: 30° 15° T1=2,5 · 105 N T2=1,0 · 105 N y x 𝑊𝑊₁ = � 𝑇𝑇𝑟𝑟2 ₁ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟₁ = 𝑇𝑇1 𝑑𝑑 cos 30° = 2,2 ∙10 7 _𝐽𝐽 𝑊𝑊₂ = � 𝑇𝑇𝑟𝑟2 ₂ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟₁ = 𝑇𝑇2 𝑑𝑑 cos 15° = 1,0 ∙ 10 7 _𝐽𝐽 𝑊𝑊_{𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇} = � 𝑇𝑇𝑟𝑟2 ₁ + 𝑇𝑇₂ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟₁ = (𝑇𝑇1+𝑇𝑇2) 𝑑𝑑 cos 15° = 3,2∙ 10 7 _𝐽𝐽

(2)

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2. Un hombre empuja una caja de 60 kg hacia arriba por una rampa que forma 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es μD=0,45. Calcular el trabajo necesario para empujar la caja hasta una altura de 2,5 m con rapidez constante. El empuje tiene dirección paralela a la superficie de la rampa. Datos: m, α, μ_D y h. Calcular: W Solución: 𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° + 𝜇𝜇_𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚cos 30° 30° FR=μDN mg N=mg cos 30° E h 𝑊𝑊 = 𝐸𝐸 𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° = ℎ 𝑑𝑑 𝑊𝑊 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° + 𝜇𝜇_𝐷𝐷 cos 30°) _{𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}ℎ_{30° = 2,6} ∙ 103 𝐽𝐽

(3)

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3. A un resorte ideal horizontal en equilibrio se fija una masa en su extremo (x=0). Si la constante de elasticidad es de 440 N/m, ¿Cuánto trabajo hace el muelle sobre la masa si ésta se mueve de x₁=-0,2 m a x₂=0,4 m? Datos: k, x₁ y x₂. Calcular: W Solución: 𝑊𝑊 = � 𝐹𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2 𝑟𝑟₁ = − � 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥₂ 𝑥𝑥1 = −𝑘𝑘 (𝑥𝑥22−𝑥𝑥₂ 12) = −26 𝐽𝐽

(4)

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4. La fuerza que actúa sobre una partícula es función de la posición, siendo F_x=4x2_{+1, F}

y=2x, Fz=0, donde F(N) y x(m). ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza si la partícula se mueve en línea recta de x=0, y=0, z=0 a x=2,0 m, y=2,0 m, z=0? Datos: F y r. Calcular: W Solución: 𝑊𝑊 = � 𝐹𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2 𝑟𝑟₁ = � 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 + � 𝐹𝐹𝑦𝑦2 _𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦1 + � 𝐹𝐹𝑧𝑧2 _𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧1 x=2 z x y x=y y=2 F 𝑊𝑊 = � 4𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + �22𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 17 𝐽𝐽 2 0 dx=dy

(5)

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5. La velocidad de pequeñas balas puede medirse aproximadamente con masilla balística (al impactar, la bala penetra una distancia

proporcional a su energía cinética). Si una bala de velocidad 160 m/s penetra 0,8 cm en la masilla y una segunda bala idéntica disparada por un arma más potente se introduce 1,2 cm. ¿Cuál es la velocidad de la segunda bala? Datos: v₁, d₁ y d₂. Calcular: v₂ Solución: _𝑑𝑑₁ ₌ _𝑘𝑘 1 2𝑚𝑚𝑣𝑣12 𝑑𝑑₂ = 𝑘𝑘 1₂𝑚𝑚𝑣𝑣₂2 𝑣𝑣₂ = 𝑣𝑣₁ 𝑑𝑑_𝑑𝑑2 1 = 196 𝑚𝑚/𝑠𝑠

(6)

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6. Un bloque en reposo se deja deslizar desde una altura de 1,5 m por un plano inclinado 15º con la horizontal. Al final de la rampa, la velocidad de la masa es de 3,5 m/s. Calcular el coeficiente de rozamiento μD. Datos: α, h y v. Calcular: μ_D Solución: 𝑊𝑊 = ∆𝐸𝐸_𝐶𝐶 = 1₂𝑚𝑚𝑣𝑣2 15° FR=μDN mg N=mg cos 15° h 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 15° = ℎ_𝑑𝑑 𝜇𝜇_𝐷𝐷 = 𝑡𝑡𝑚𝑚 15° − ₂_𝑚𝑚 _𝑑𝑑𝑣𝑣_{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐}2 = 0,16 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹_{𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇} 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 15° − 𝜇𝜇_𝐷𝐷 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑

(7)

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7. Una partícula de 50 g que se mueve a lo largo del eje x experimenta una fuerza F_X=-Ax3_{, donde A=50 N/m}3_{. Calcular la función energía}

potencial correspondiente. Si la partícula se libera desde el reposo en x=0,50 m, ¿Cuál es su rapidez al pasar por el origen?

Datos: F, A y x₁. Calcular: U y v_(x=0) Solución: 𝑈𝑈 = − � 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 4𝐴𝐴𝑥𝑥4 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥0=0 1 4𝐴𝐴 𝑥𝑥12 − 𝑥𝑥22 = 1 2𝑚𝑚 𝑣𝑣22 − 𝑣𝑣12 𝑊𝑊 = −∆𝑈𝑈 = ∆𝐸𝐸_𝐶𝐶 X₀=0 F=-Ax3 X X₂=0 m X₁=0,50 m F=-Ax3 ¿v₂? _v 1=0 m/s X 𝑣𝑣₂ = 𝑥𝑥₁2 _2𝑚𝑚𝐴𝐴 = 5,6 𝑚𝑚/𝑠𝑠

(8)

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Datos: F, x y m. Calcular: v_(x=0) Solución: _𝐹𝐹 ₌ _𝑘𝑘 _𝑥𝑥 1 2𝑘𝑘 𝑥𝑥2 = 1 2𝑚𝑚 𝑣𝑣2 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 _𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝐹𝐹_𝑚𝑚𝑥𝑥 = 64,5 𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑈𝑈₁ − 𝑈𝑈₂ = 𝐸𝐸_𝐶𝐶2 − 𝐸𝐸_𝐶𝐶1 x ≡ _flecha

8. Un arco puede considerarse como un resorte. Para estirar un arco (resorte) en 0,52 m y mantener la flecha en dicha posición, es preciso realizar una fuerza de 160 N. Al soltar la flecha, ¿Cuál será su rapidez cuando el resorte alcanza su posición de equilibrio? La masa de la flecha es de 0,020 kg y se supone que el resorte no tiene masa.

(9)

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Datos: m, k y l. Calcular: F

Solución: a) Al caer, la energía cinética del montañero aumenta, y cuando la cuerda se tensa, dicha energía se transfiere como energía potencial elástica

1

2𝑚𝑚 𝑣𝑣2 =

1

2𝑘𝑘 𝑥𝑥2

9. Una cuerda puede considerarse como un resorte largo que almacena energía potencial elástica cuando se tensa. Un montañero de 80 kg, sujeto por una cuerda de nylon (k=9,3 · 103_{N/m) de 10 m de longitud, cae desde} una altura de 10 m sobre el punto de anclaje en una pared vertical hasta una altura de 10 m bajo dicho punto. Calcular la fuerza máxima que ejerce la cuerda sobre el montañista durante la detención. Repetir el cálculo si la longitud de la cuerda es de 5 m. x ≡ l=10m l+x l 𝑣𝑣2 = 2 𝑚𝑚 𝑙𝑙 = 19,8 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑙𝑙 = 1₂𝑚𝑚 𝑣𝑣2 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚_𝑘𝑘 = 2,5 𝑚𝑚 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 13∙ 103𝑁𝑁 b) Suponiendo 𝑥𝑥1 𝑙𝑙₁ = 𝑥𝑥₂ 𝑙𝑙₂ 𝑘𝑘2 = 2𝑘𝑘1 𝑥𝑥2 = 𝑣𝑣2 𝑚𝑚 𝑘𝑘₂ = 1,3 𝑚𝑚 𝐹𝐹2 = 𝑘𝑘2 𝑥𝑥2 = 13 ∙103𝑁𝑁 ; ; ; ; ; ;

(10)

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Datos: μ_A, μ_G,μ_M, P, v y ρ. Calcular: D Solución: _𝑃𝑃 ₌ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 = 𝜇𝜇 1 2 𝑚𝑚 𝑡𝑡 𝑣𝑣2 = 𝜇𝜇 1 2 𝜌𝜌 𝑉𝑉 𝑡𝑡 𝑣𝑣2 = 𝜇𝜇 1 2𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣3

10. Un barco dispone de un aerogenerador que extrae energía del viento y alimenta al motor eléctrico que impulsa el barco. La eficiencia mecánica del molino es del 70% (relación entre la energía cinética del viento y la

energía de rotación de sus aspas). La eficiencia del generador acoplado al molino es del 90% y la del motor eléctrico que impulsa el barco también es del 90%. Calcular el tamaño del aerogenerador para que el motor eléctrico produzca 20.000 CV si la velocidad del viento (relativa) es de 40 km/h. La densidad del aire es 1,29 kg/m3_.

𝜇𝜇 = 𝜇𝜇_𝐴𝐴𝜇𝜇_𝐺𝐺𝜇𝜇_𝑀𝑀

𝐷𝐷 = 4 _𝜋𝜋𝐴𝐴 = 195 𝑚𝑚

(11)

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Datos: α, v y m. Calcular: P

Solución:

11. En punto muerto, un coche que baja por una larga cuesta con pendiente 1:10 alcanza una velocidad máxima de 95 km/h. Esto es, la disminución de energía potencial por unidad de tiempo iguala la potencia necesaria para vencer el rozamiento con el aire y entre los componentes mecánicos del vehículo. Calcular la potencia en CV del motor del coche para circular a 95 km/h en un camino nivelado. La masa del coche es 1.500 kg.

h v α d N mg 𝑃𝑃 = 𝑊𝑊_𝑡𝑡 = −∆𝑈𝑈_𝑡𝑡 = ∆𝐸𝐸_𝑡𝑡𝐶𝐶 𝑃𝑃 = 𝑊𝑊_𝑡𝑡 = 𝐹𝐹_𝑡𝑡𝑑𝑑 = 𝑑𝑑_{𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑚𝑚} 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 52 𝐶𝐶𝑉𝑉

(12)

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Datos: (Caudal), v y ρ. Calcular: P ( )

Solución:

12. Un pequeño ventilador de cocina extrae 8,5 m3_{/min de aire con} una rapidez de 5,0 m/s. La densidad del aire es 1,3 kg/m3_{. ¿Qué}

potencia eléctrica debe consumir el ventilador para transferir al aire expulsado la energía cinética necesaria?

𝑃𝑃 = 𝑊𝑊̇ = 1₂𝑚𝑚_{𝑡𝑡 𝑣𝑣}2 = 1₂𝜌𝜌𝑉𝑉_{𝑡𝑡 𝑣𝑣}2 = 2,3 𝑊𝑊

𝑉𝑉̇ 𝑊𝑊̇

(13)

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Datos: (Caudal), v y ρ. Calcular: P ( )

Solución:

13. En una rueda hidráulica de alimentación inferior circulan 30 kg/s de agua a una velocidad de entrada de 15 m/s. El agua transfiere toda su energía cinética a las aspas (sale con velocidad horizontal nula). Calcular la potencia mecánica que entrega el agua a la rueda.

𝑃𝑃 = 𝑊𝑊̇ = 1₂𝑚𝑚_{𝑡𝑡 𝑣𝑣}2 = 1₂𝜌𝜌𝑉𝑉_{𝑡𝑡 𝑣𝑣}2 = 3,4 ∙103 𝑊𝑊

(14)

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Datos: x, y, m. Calcular: r_G

Solución:

14. La figura muestra la forma de una molécula de ácido nítrico

(HNO₃) y sus dimensiones. Considere los átomos como

partículas y encuentre el centro de masa de esta molécula

Hay un eje de simetría: Y = 0

𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 𝑥𝑥1𝑀𝑀1 +_𝑀𝑀𝑥𝑥2𝑀𝑀2 + 𝑥𝑥3𝑀𝑀3 + 𝑥𝑥4𝑀𝑀4 + 𝑥𝑥5𝑀𝑀5 1 + 𝑀𝑀2 + 𝑀𝑀3 + 𝑀𝑀4 + 𝑀𝑀5 𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 2 ∙0,141 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐₃16 + 0,141_∙ _{16 + 14 + 1}∙ 14 + 0 ∙ 16 − 0,100∙ 1 = 0,13 𝑠𝑠𝑚𝑚 m₁ m₂ m₃ m₄ m₅

(15)

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Datos: L. Calcular: r_G

Solución:

15. Tres piezas cuadradas uniformes de hoja metálica, de dimensiones L x L, se unen a lo largo de sus bordes, de modo que forman tres de los lados de un cubo. ¿Dónde está el centro de masas de los cuadrados unidos?

Hay un eje de simetría: X = Y = Z

𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 𝑥𝑥1𝑀𝑀_𝑀𝑀1 + 𝑥𝑥2𝑀𝑀2 + 𝑥𝑥3𝑀𝑀3 1 + 𝑀𝑀2 + 𝑀𝑀3 𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 𝐿𝐿 2𝐿𝐿2 + 0 ∙ 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿2𝐿𝐿2 𝐿𝐿2 ₊ _𝐿𝐿2 ₊ _𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿 3 𝑚𝑚 1 2 3 x₁ = x₃ = L/2 x₂ = 0

(16)

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Datos: L, R. Calcular: x_G

Solución:

16. Un cubo de hierro tiene dimensiones L x L x L. A través del cubo se taladra un agujero de 𝟏𝟏

𝟒𝟒 L de radio, de modo que un lado

del agujero es tangente a la mitad de una cara a lo largo de toda su longitud. ¿Dónde está el centro de masa del cubo perforado?

Hay un eje de simetría: X = x_G; Y = 0; Z = 0

𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐷𝐷_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶𝐷𝐷 − 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐷𝐷 − 𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 0 ∙ 𝜌𝜌𝐿𝐿 3 _{− 𝐿𝐿} 4 ∙ 𝜋𝜋 𝐿𝐿 2 16𝜌𝜌𝐿𝐿 𝜌𝜌𝐿𝐿3 _{− 𝜋𝜋 𝐿𝐿}2 16𝜌𝜌𝐿𝐿 = −0,061 𝑚𝑚 Z Y X Cuadrado: CD Cilindro: CL O L/4

(17)

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Datos: R, θ. Calcular: r_G

Solución:

17. Una barra delgada uniforme se dobla en forma de un semicírculo de radio R. ¿Dónde está el centro de masa de esta barra?

Hay un eje de simetría: X = 0

𝑑𝑑_𝐺𝐺 = ∫ 𝑑𝑑_𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚 = ∫ 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜆𝜆𝑅𝑅 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝜋𝜋 0 𝑚𝑚 = 𝜆𝜆𝑅𝑅2 𝜆𝜆𝑅𝑅𝜋𝜋 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝜋𝜋 0 𝑑𝑑_𝐺𝐺 = 𝑅𝑅_𝜋𝜋 (−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)₀𝜋𝜋= 2𝑅𝑅_𝜋𝜋 dl = R dθ dm = λ dl = λR dθ 𝑚𝑚 = � 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝜆𝜆𝑅𝑅 � 𝑑𝑑𝜃𝜃𝜋𝜋 0 = 𝜆𝜆𝑅𝑅𝜋𝜋 dm=λdl dθ θ

(18)

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Datos: R, θ. Calcular: r_G

Solución:

18. Un semicírculo de hoja metálica uniforme tiene radio R. Encuentre el centro de masa

Hay un eje de simetría: X = 0

𝑑𝑑_𝐺𝐺 = ∫ 𝑑𝑑_𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚 = ∫ 2𝑑𝑑𝜋𝜋 𝜎𝜎𝜋𝜋𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝜋𝜋 0 𝑚𝑚 = 2𝜎𝜎 1 2𝜎𝜎𝜋𝜋𝑅𝑅2 � 𝑑𝑑𝜋𝜋 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 𝑑𝑑_𝐺𝐺 = ₃4_{𝜋𝜋𝑅𝑅}𝑅𝑅3₂ = 4𝑅𝑅₃_𝜋𝜋 dA = πR dr dm = λ dA = λr dθ 𝑚𝑚 = � 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝜋𝜋 � 𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 = 1 2𝜎𝜎𝜋𝜋𝑅𝑅2 dm = σ dA dr r 𝑑𝑑_𝐺𝐺₍_{𝑁𝑁𝑇𝑇}_._{𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑}_.) = 2𝑑𝑑_𝜋𝜋

(19)

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Datos: m₁, m₂, Δx₁. Calcular: Δx_G Solución:

19. Un camión de 6.000 kg está en la parte delantera de la cubierta de un ferry de 80.000 kg. Inicialmente ambos están en reposo. Si el camión retrocede 15 m ¿Cuánto se moverá el ferry hacia delante en relación con el agua? No considerar el efecto del rozamiento. F = 0 p = cte p_i = p_f= 0 Δ𝑥𝑥_𝐺𝐺 = 0 = Δ𝑥𝑥𝐶𝐶𝑚𝑚_𝑚𝑚𝐶𝐶 + Δ𝑥𝑥𝐹𝐹𝑚𝑚𝐹𝐹 𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝐹𝐹 = −15 ∙ 6.000 + Δ𝑥𝑥_𝐹𝐹 80.000 86.000 Δ𝑥𝑥_𝐹𝐹 = 1,05 m

(20)

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Datos: m₁, m₂, v₁. Calcular: v_G

Solución:

20. Una bala de 15 g que se mueve a 260 m/s se dispara hacia un bloque de madera de 2,5 kg. ¿Cuál es la velocidad del centro de masa del sistema bala-bloque?

F = 0 p = cte p_i = p_f 𝑣𝑣_𝐺𝐺 = 𝑣𝑣1𝑚𝑚_𝑚𝑚1 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚2 1 + 𝑚𝑚2 = 260 ∙0,015 + 0 ∙ 2,5 2,515 𝑣𝑣_𝐺𝐺 = 1,6 m/s

(21)

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Datos: m_L, R, T. Calcular: L

Solución:

21. La Luna (m = 7,35 x 1022_{kg) se mueve alrededor de la Tierra} en una órbita circular (aproximada) de 3,8 x 108_{m de radio en} 27,3 días. Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento angular de la Luna. Suponga que el origen de coordenadas está en el centro de la Tierra.

𝐿𝐿 = 𝑑𝑑⃗ × 𝑝𝑝⃗

(22)

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Datos: ω, r, m. Calcular: L

Solución:

22. Previamente al lanzamiento de una piedra desde una honda, un nativo boliviano gira la piedra a 3,0 rev/s alrededor de un círculo de 0,75 m de radio. La masa de la piedra es de 0,15 kg. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de la piedra en relación con el centro del círculo?

𝐿𝐿 = 𝑑𝑑⃗ × 𝑝𝑝⃗

(23)

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Datos: m, v₀, α, g. Calcular: L₀, L_y-max, L_x-max

Solución:

23. Considere un proyectil de masa m lanzado a 45° con una rapidez v₀ desde el origen de coordenadas. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del proyectil en el instante del lanzamiento, cuál es en el instante en que alcanza la máxima altura y cuál en el instante en que golpea el suelo? ¿Se conserva la cantidad de movimiento angular con esta elección del origen?

𝐿𝐿₀ = 𝑑𝑑⃗ × 𝑝𝑝⃗ = 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐 = 0 𝐿𝐿_{𝑦𝑦−𝑚𝑚𝑇𝑇𝑥𝑥} = 𝑑𝑑⃗ × 𝑝𝑝⃗ = 𝑣𝑣_{𝑚𝑚 𝑚𝑚}02 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐 𝚤𝚤⃗ 𝚥𝚥⃗ 𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐 1₂𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐 0 𝑣𝑣₀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐 0 0 = 2_8𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣03 𝐿𝐿_{𝑥𝑥−𝑚𝑚𝑇𝑇𝑥𝑥} = 𝑑𝑑⃗ × 𝑝𝑝⃗ = 2𝑣𝑣_{𝑚𝑚 𝑚𝑚}02 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐 _{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐}𝚤𝚤⃗ ₀𝚥𝚥⃗ 𝑘𝑘₀ 𝑣𝑣₀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐 −𝑣𝑣₀𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐 0 = 2𝑚𝑚𝑣𝑣₀3 2𝑚𝑚