1. Sistema de coordenadas polares.
En esta sección estudiaremos las coordenadas polares y su relación con las coordenadas cartesia-nas. Un punto del plano tiene un único par de coordenadas cartesiacartesia-nas. Sin embargo, tiene infinitos pares de coordenadas polares. Esto tiene interesantes consecuencias cuando usamos coordenadas polares para representar y dibujar curvas, como veremos en la próxima sección de esta lección. DEFINICIÓN (COORDENADAS POLARES). Fijamos un origen O (usualmente el origen de coordenadas)
en el plano y un rayo que parte de O (usualmente el semieje positivo OX).
Cada punto P del plano se puede definir asignándole un par de coordenadas polares
( )
r,θ , de for-ma que r es la longitud del segmento OP y θ es el ángulo (orientado) desde el rayo inicial hasta el segmento OP.OBSERVACIÓN. El ángulo polar θ es positivo cuando se mide en sentido contrario al movimiento de
las agujas del reloj y es negativo cuando se mide en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. El ángulo polar no es único: basta sumar al ángulo polar 2π para obtener el mismo punto, es decir, los puntos de coordenadas polares
( )
r,θ y(
r,θ+2π)
son el mismo. Esta problema de unici-dad se resuelve fijando la variación del ángulo polar en un intervalo de amplitud 2 ,π que suele ser el intervalo[
0, 2π)
. No obstante, a veces, interesa considerar valores negativos del ángulo polar y considerar la variación en otro intervalo de longitud 2 ,π por ejemplo(
−π π,]
, pero también se pue-den usar otros. Por ejemplo, el punto de coorpue-denadas polares r =2 y6
π
θ = también tiene coorde-nadas r=2 y 11 .
6
π θ = −
OBSERVACIÓN. Si mantenemos r fijo en un valor constante r= >a 0, el punto ( , )P r θ dista a
uni-dades del origen O. Cuando el ángulo polar θ varía en un intervalo de amplitud 2π el punto P recorre una circunferencia de radio a>0, centrada en el origen O.
Por el contrario, si mantenemos fijo el ángulo polar en un valor constante θ θ= 0 y hacemos variar r en el intervalo
[
0,∞)
, el punto ( , )P rθ recorre un rayo que parte del origen de coordenadas Oque forma un ángulo θ0 con el eje OX.
Relación entre coordenadas polares y cartesianas. Observa el siguiente dibujo.
Sabemos que la relación entre coordenadas polares y cartesianas viene dada por las igualdades
cos
x=r θ e y=rsen .θ Recíprocamente, se verifica que r= x2+y2. La fórmula para el ángulo polar es algo más complicada. En primer lugar recordemos la gráfica de la función arcotangente.
Si x>0, entonces arctan y. x
θ = Por otra parte, si x=0, entonces 2 π θ = si y>0, pero 2 π θ = − si 0.
y< Si x<0 e y>0, entonces arctan arctan , 0 . 2 y y x x π − ⎛ ⎞ = ∈ −⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Entonces arctan , . 2 y x π θ = + ∈⎜π ⎛ π⎞⎟ ⎝ ⎠
Por el contrario, si y<0, entonces arctan arctan 0, . 2 y y x x π − ⎛ ⎞ = ∈⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Entonces arctan , . 2 y x π θ = − ∈ − −π ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝ ⎠
EJEMPLO. (1) Vamos a calcular la ecuación polar de la circunferencia de ecuación cartesiana
(
)
2 23 9.
x + y− = Observa la figura.
Operando obtenemos que
(
)
22 2 2 2
3 9, 6 0, 6 sen 0, 6sen .
x + y− = x +y − y= r − r θ = r= θ
ecuación polar 4 . 2 cos sen r
θ θ
=
− Operando como antes, teniendo en cuenta que
cos , sen , x r y r θ θ = ⎧ ⎨ = ⎩ ob-tenemos que
(
2 cos sen)
4, 2 cos sen 4, 2 4.r θ − θ = r θ −r θ = y− =x
Se trata de los puntos de la recta de ecuación 2y− =x 4.
Simetría en coordenadas polares. Dado un punto ,P de coordenadas cartesianas
( )
x y, , recorde-mos que el simétrico del punto ,P respecto del eje OY, tiene por coordenadas(
−x y,)
. Por otra parte, el simétrico de P, respecto del eje OX, tiene por coordenadas(
x,−y)
. Finalmente, el simé-trico del punto ,P respecto del origen ,O tiene por coordenadas(
− −x, y)
. Recuerda que esto es particularmente interesante para estudiar la simetría de la gráfica de ciertas funciones. Algo similar podemos hacer con coordenadas polares. Observa el siguiente gráfico.Dado el punto P de coordenadas polares
( )
r,θ ; el simétrico de ,P respecto del eje OX, tiene co-ordenadas polares(
r,−θ)
; el simétrico de P, respecto del eje OY, tiene coordenadas polares(
r,π θ−)
; el simétrico de ,P respecto del origen ,O tiene coordenadas polares(
r,θ π+)
.EJERCICIO 1. Calculas la coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados por sus coordena-das polares
( )
r,θ : 2, , 4 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠( )
1, 0 , 5 3, , 6 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 3, 3 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y 4 5, arctan . 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ Dibuja en el plano
di-chos puntos.
EJERCICIO 2. Dibuja los puntos del plano cuyas coordenadas polares verifican las siguientes ecua-ciones o desigualdades: a) 2,r= b) r≥1, c) 0 , 1, 6 r π θ ≤ ≤ ≥ d) 1≤ ≤r 2, e) 2 , 1 3, 3 r π θ = ≤ ≤ f) , 1 2, 2 2 r π θ π − ≤ ≤ ≤ ≤
e) 1 , sen 2 cos r θ θ = − f) r= −1 cos ,θ g) 2 4 cos , r = − r θ h) r =2 cosθ +2 sen .θ
EJERCICIO 4. Determina las ecuaciones polares equivalentes a las ecuaciones cartesianas:
a) x=7, b) y=x, c) x2+y2 =4, d) x2−y2 =1, e) 2 2 1, 9 4 x y + = f) 2,xy= g) y2 =4 ,x h) x2+xy+y2 =1, i)
(
x−3) (
2+ y+1)
2 =4.EJERCICIO 5. Determina la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de radio a>0
cuyo centro es el punto ( , 0).a
EJERCICIO 6. Determina la ecuación en coordenadas cartesianas de la ecuación en coordenadas
polares r=acosθ +bsenθ y comprueba que la curva que representa es parte de una circunferencia, calculando su centro y su radio.
EJERCICIO 7. Sea L la recta vertical de ecuación x=1, calcula las ecuaciones, en coordenadas po-lares y en coordenadas cartesianas, de las curvas formadas por los puntos P tales que
distancia de al origen = distancia de a la recta P O P L ε en los casos 1, 2 ε = ε =1 y ε =2.
NOTA. Las curvas que debes obtener son cónicas y la constante ε se llama excentricidad de la
cóni-ca. Las cónicas con excentricidad menor que 1 son elipses, las cónicas con excentricidad igual a 1 son parábolas y las que tienen excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.