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1. Sistema de coordenadas polares.

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Academic year: 2021

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(1)

1. Sistema de coordenadas polares.

En esta sección estudiaremos las coordenadas polares y su relación con las coordenadas cartesia-nas. Un punto del plano tiene un único par de coordenadas cartesiacartesia-nas. Sin embargo, tiene infinitos pares de coordenadas polares. Esto tiene interesantes consecuencias cuando usamos coordenadas polares para representar y dibujar curvas, como veremos en la próxima sección de esta lección. DEFINICIÓN (COORDENADAS POLARES). Fijamos un origen O (usualmente el origen de coordenadas)

en el plano y un rayo que parte de O (usualmente el semieje positivo OX).

Cada punto P del plano se puede definir asignándole un par de coordenadas polares

( )

r,θ , de for-ma que r es la longitud del segmento OP y θ es el ángulo (orientado) desde el rayo inicial hasta el segmento OP.

OBSERVACIÓN. El ángulo polar θ es positivo cuando se mide en sentido contrario al movimiento de

las agujas del reloj y es negativo cuando se mide en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. El ángulo polar no es único: basta sumar al ángulo polar 2π para obtener el mismo punto, es decir, los puntos de coordenadas polares

( )

r,θ y

(

r,θ+2π

)

son el mismo. Esta problema de unici-dad se resuelve fijando la variación del ángulo polar en un intervalo de amplitud 2 ,π que suele ser el intervalo

[

0, 2π

)

. No obstante, a veces, interesa considerar valores negativos del ángulo polar y considerar la variación en otro intervalo de longitud 2 ,π por ejemplo

(

−π π,

]

, pero también se pue-den usar otros. Por ejemplo, el punto de coorpue-denadas polares r =2 y

6

π

θ = también tiene coorde-nadas r=2 y 11 .

6

π θ = −

(2)

OBSERVACIÓN. Si mantenemos r fijo en un valor constante r= >a 0, el punto ( , )P r θ dista a

uni-dades del origen O. Cuando el ángulo polar θ varía en un intervalo de amplitud 2π el punto P recorre una circunferencia de radio a>0, centrada en el origen O.

Por el contrario, si mantenemos fijo el ángulo polar en un valor constante θ θ= 0 y hacemos variar r en el intervalo

[

0,∞

)

, el punto ( , )P rθ recorre un rayo que parte del origen de coordenadas O

que forma un ángulo θ0 con el eje OX.

Relación entre coordenadas polares y cartesianas. Observa el siguiente dibujo.

Sabemos que la relación entre coordenadas polares y cartesianas viene dada por las igualdades

cos

x=r θ e y=rsen .θ Recíprocamente, se verifica que r= x2+y2. La fórmula para el ángulo polar es algo más complicada. En primer lugar recordemos la gráfica de la función arcotangente.

(3)

Si x>0, entonces arctan y. x

θ = Por otra parte, si x=0, entonces 2 π θ = si y>0, pero 2 π θ = − si 0.

y< Si x<0 e y>0, entonces arctan arctan , 0 . 2 y y x x π − ⎛ ⎞ = ∈ − − ⎝ ⎠ Entonces arctan , . 2 y x π θ = + ∈⎜π ⎛ π⎞ ⎝ ⎠

Por el contrario, si y<0, entonces arctan arctan 0, . 2 y y x x π − ⎛ ⎞ = ∈⎜ − ⎝ ⎠ Entonces arctan , . 2 y x π θ = − ∈ − −π ⎛ π ⎞ ⎝ ⎠

EJEMPLO. (1) Vamos a calcular la ecuación polar de la circunferencia de ecuación cartesiana

(

)

2 2

3 9.

x + y− = Observa la figura.

Operando obtenemos que

(

)

2

2 2 2 2

3 9, 6 0, 6 sen 0, 6sen .

x + y− = x +yy= rr θ = r= θ

(4)

ecuación polar 4 . 2 cos sen r

θ θ

=

− Operando como antes, teniendo en cuenta que

cos , sen , x r y r θ θ = ⎧ ⎨ = ⎩ ob-tenemos que

(

2 cos sen

)

4, 2 cos sen 4, 2 4.

r θ − θ = r θ −r θ = y− =x

Se trata de los puntos de la recta de ecuación 2y− =x 4.

Simetría en coordenadas polares. Dado un punto ,P de coordenadas cartesianas

( )

x y, , recorde-mos que el simétrico del punto ,P respecto del eje OY, tiene por coordenadas

(

x y,

)

. Por otra parte, el simétrico de P, respecto del eje OX, tiene por coordenadas

(

x,−y

)

. Finalmente, el simé-trico del punto ,P respecto del origen ,O tiene por coordenadas

(

− −x, y

)

. Recuerda que esto es particularmente interesante para estudiar la simetría de la gráfica de ciertas funciones. Algo similar podemos hacer con coordenadas polares. Observa el siguiente gráfico.

Dado el punto P de coordenadas polares

( )

r,θ ; el simétrico de ,P respecto del eje OX, tiene co-ordenadas polares

(

r,−θ

)

; el simétrico de P, respecto del eje OY, tiene coordenadas polares

(

r,π θ−

)

; el simétrico de ,P respecto del origen ,O tiene coordenadas polares

(

r,θ π+

)

.

EJERCICIO 1. Calculas la coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados por sus coordena-das polares

( )

r,θ : 2, , 4 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

1, 0 , 5 3, , 6 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 3, 3 π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y 4 5, arctan . 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Dibuja en el plano

di-chos puntos.

EJERCICIO 2. Dibuja los puntos del plano cuyas coordenadas polares verifican las siguientes ecua-ciones o desigualdades: a) 2,r= b) r≥1, c) 0 , 1, 6 r π θ ≤ ≤ ≥ d) 1≤ ≤r 2, e) 2 , 1 3, 3 r π θ = ≤ ≤ f) , 1 2, 2 2 r π θ π − ≤ ≤ ≤ ≤

(5)

e) 1 , sen 2 cos r θ θ = − f) r= −1 cos ,θ g) 2 4 cos , r = − r θ h) r =2 cosθ +2 sen .θ

EJERCICIO 4. Determina las ecuaciones polares equivalentes a las ecuaciones cartesianas:

a) x=7, b) y=x, c) x2+y2 =4, d) x2−y2 =1, e) 2 2 1, 9 4 x y + = f) 2,xy= g) y2 =4 ,x h) x2+xy+y2 =1, i)

(

x−3

) (

2+ y+1

)

2 =4.

EJERCICIO 5. Determina la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de radio a>0

cuyo centro es el punto ( , 0).a

EJERCICIO 6. Determina la ecuación en coordenadas cartesianas de la ecuación en coordenadas

polares r=acosθ +bsenθ y comprueba que la curva que representa es parte de una circunferencia, calculando su centro y su radio.

EJERCICIO 7. Sea L la recta vertical de ecuación x=1, calcula las ecuaciones, en coordenadas po-lares y en coordenadas cartesianas, de las curvas formadas por los puntos P tales que

distancia de al origen = distancia de a la recta P O P L ε en los casos 1, 2 ε = ε =1 y ε =2.

NOTA. Las curvas que debes obtener son cónicas y la constante ε se llama excentricidad de la

cóni-ca. Las cónicas con excentricidad menor que 1 son elipses, las cónicas con excentricidad igual a 1 son parábolas y las que tienen excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.

Referencias

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