MA 2113 Practica 11 pdf

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(1)Práctica 11 Singularidades y Residuos. 1.

(2) 16.2. Problema 1.. Ejercicios Resueltos. Problema 1 Clasificar las singularidades aisladas para : (a) (b) (c) (d) (e) (f) Solución (a). es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito finito. Por lo tanto,. Veamos si es polo doble:. no es polo simple. y. es polo doble de .. 2.

(3) Solución (a). es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito finito. Por lo tanto,. no existe. no es polo simple. y. Veamos si es polo doble:. es polo doble de .. (b) Por lo tanto, en. aquí. . Además, no existe. es singularidad aislada de. por lo que. y es obvio que. no es acotada. es una singualridad esencial para .. (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ). Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ). Estudiamos. que no es finito.. Estudiemos Observamos que con exponente. que no es finito. en. no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonces a: es polo de orden. para .. (d) Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero también es obvio que no son polos simples (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: 3.

(4) Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea e aislada Solución(removible, polo o esencial) el residuo es igual a . (a). es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito finito. Por lo tanto,. no existe. no es polo simple.. 16.2 Ejercicios Resueltos y Veamos si es polo doble:. es polo doble de .. Problema 1 (b) Clasificar las singularidades aisladas para : Por lo tanto, (a) en. aquí. . Además, no existe. es singularidad aislada de. por lo que. y es obvio que. no es acotada. es una singualridad esencial para .. (b) (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ). Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función (c) aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).. (d) Estudiamos. que no es finito.. Estudiemos (e) Observamos que con exponente. que no es finito. en. no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonces a:. (f). es polo de orden. para .. (d) Solución. aislada para : ahora veamos si existe (a) Es evidente es quesingularidad y son singularidades aisladas de , pero tambiénfinito es obvio que no son polos simples (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:. 4.

(5) Sin embargo, en general, al (f) tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea e aislada Solución(removible, polo o esencial) el residuo es igual a . (a). es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito finito. Por lo tanto,. no existe. Solución. no es polo simple.. es singularidad aislada para : ahora veamos si existe fi (a) 16.2 Ejercicios Resueltos y es polo doble de . Veamos si es polo doble:. no es polo simple.. finito. Por lo tanto,. Problema 1 (b) Clasificar las singularidadesVeamos aisladassipara : doble: es polo Por lo tanto, (a) en. aquí. . Además, no existe. (b). y. es singularidad aislada de. por lo que. y es obvio que. no es acotada. es una singualridad esencial para .. (b). (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ). Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función (c) Por lo tanto, aquí es singularid aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).. (d) Estudiamos Estudiemos. (e). Observamos que con exponente. en. . Además, no existe. por lo que. es un. que no es finito.. (c) aislada de . Vamos a utilizar el Teorem quees no singularidad es finito. Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérde en no vamosaparenta a conseguirtener límite finito. entonces polo Pasamos de orden en a: y, sin e. (f). es polo de orden. Estudiamos. para .. que no es finito.. (d) Solución. Estudiemos que no es finito. aislada para : ahora veamos si existe (a) Es evidente es quesingularidad y son singularidades aisladas de , pero tambiénfinito es obvio que no son polos simples (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:. 5.

(6) (a). (f). es singularidad aislada para : ahora vea. Solución (a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito (a) finito. Por lo Solución tanto, no es polo simp (b) es singularidad aisla (a) y Veamos si .es polo doble: finito. Por lo tanto, no es polo simple a es: (c) ahora veamos si existe finito no existe singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito noloexiste finito. Por tanto, y es polo doble de . Veamos si es polo doble: ofinito. es polo . Porsimple lo tanto, no es polo simple. (b) Veamos si es polo doble: (d). y doble: si es polo. (b) (e). es polo y doble de .. es polo doble de .. Por lo tanto, en. (b). . Además, no existe. aquí. por lo qu. Por lo tanto, aquí es singularidad Por lo aislada tanto, de y es obvi (f) (c) eses singularidad de . Vamos util Además, no existe que esobvio una singualridad p aquí es. singularidad aislada de es y es obviopor queloaislada no . Además, no a exist en aislada to, en aquí singularidad de acotada y es que no es esencial acotada. Pero hay que descartar que no sea polo de orden m. por lo que para . . Además, no existe es una singualridad por lo queesenciales una singualridad esencial para . aparenta tener polo de orden en Solución (c) (pensando es singularidad (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema que seaislad trat Perode hay descartar .esVamos utilizar el Teorema (pensando quepolo deveamos un polo de es singularidad aislada para : trata ahora si orden existe finito (a) Peroahay que descartar que no sea de orden menor (recuérdese del ejemplo queque sigue singularidad aislada de . Vamos a utilizar elseTeorema (pensando que se). trata unque polo de orden ). no que noten es , la función olo orden menor (recuérdese delorden ejemplo que(recuérdese sigue Estudiamos al Teorema aparenta , la función quededescartar que no seaaparenta polo de menor del ejemplo que sigue al Teorema tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos qu de ordenaparenta en finito. y, polo sinloembargo, que era polo.de orden ). que era polo de orden ). Por tanto, simple tener de orden encontramos en no esy,polo sin embargo, encontramos. Estudiamos es polo doble: que no es finito. que no essifinito. os Veamos. que no es finito. os Estudiemos. que no es finito.. Estudiemos que no e Estudiamos que y no es finito. es polo doble de . en no v Observamos que con exponente Estudiemos. que no es finito.. Observamos que con exponen (b) en Observamos no exponente vamosque a conseguir límiteno finito. Pasamos entonces a: finito.aPasamos vamos a conseguir límite entonces mos que con en no vamos conseguir límite a: finito. Pasamo conenexponente es polo de orden . es Por lo tanto, aquí singularidad aislada polo de orden para de. y es obvio q (d) para es es polo de ord 6.

(7) (b). (b) (b) Por lo tanto, Por tanto, . Además, no existe (c)loen . Además, no existe en. aquí. es singularidad aislada de. y es obvio que. no. aquí aislada deesencial y es obvio por lo quees singularidad es una singualridad para que . por lo que. es una singualridad esencial para .. es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo (d) (c) Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un po aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorem (e) aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era pol Estudiamos. (f) Estudiamos Estudiemos. que no es finito.. queque nono eses finito. finito.. Solución en que nonoesvamos Observamos que con exponente Estudiemos finito.a conseguir límite finito. Pasamos entonces a: es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito (a) es polo de orden para . en no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonce Observamos que con exponente finito. Por lo tanto, no es polo simple. es polo de orden para (d). Veamos si es polo doble: (d). y. es polo doble de .. Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero también es obvio que no son po (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:. (b) Es evidente que y son singularidades aisladas 195 de , pero también es obvio que no son (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: Por lo tanto, aquí es singularidad aislada de y es obvio que en (c). . Además, no existe. por lo que 195. es una singualridad esencial para .. es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema. (pensando que se trata de un 7.

(8) (b). Veamos si es polo doble: (b) (b) Por lo tanto, (b). Por tanto, . Además, no existe (c)loen (b) Por lo tanto, . Además, no existe en. y. aquí. es polo doble de .. es singularidad aislada de. y es obvio que. no. aquí aislada deesencial y es obvio por lo quees singularidad es una singualridad para que . por lo que. aquí. es singularidad aislada de. y es. es una singualridad esencial para .. . Además, no existe por lo que es una singualridad esenc en Por lo tanto, aquí es singularidad aislada obvio (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensandode que yseestrata deque un polo n (d) Pero hay queno noexiste sea polo de orden ejemplo que sigue para al Teorema . Además, pormenor lo que (recuérdese es unadel singualridad esencial . en que descartar (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un se po (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo quedel sigue al Teorem Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese ejemplo que s (e) (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un pol aparenta tenerque polo de orden enpolomenor y,(recuérdese sin embargo, encontramos era pol aparenta tener de orden en y, sin embargo,que encontramo Pero hay que descartar no sea polo de orden del ejemplo que sigue al Teorem Estudiamos que no es finito. aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo (f) Estudiamos que no es finito. Estudiamos queque nono eses finito. Estudiemos finito. Estudiamos que no es finito. que no es límite finito. finito. Pasamos entonces a: Solución en que nonoesvamos Observamos que Estudiemos con exponente Estudiemos finito.a conseguir Estudiemos no es finito. es singularidad aislada para : ahoraque veamos (a) polo de límite orden finito. paraPasa . en si existe nofinito vamos aes conseguir Observamos que con exponente. en no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonce Observamos que con exponente no vamos a conseguir límite finito. Pasamoses entonces Observamos que con exponente polo de finito. Por lo tanto, no esen polo simple . es polo de orden para (d). es polo de orden. Veamos si es polo doble:. y. para. es polo doble de .. Es evidente que (d) y son singularidades aisladas de , pero también es obvio que no son po (d) (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: (d) Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero también es ob (b) lo tanto, pensemos en polos dobles: Esque evidente (demuéstrelo!). que y ysonPor son singularidades aisladas , pero tambiénes esobvio obvio que Es evidente singularidades aisladas de de , pero también queno noson son 195 (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: Por lo tanto, aquí es singularidad aislada de y es obvio que 195 195es una singualridad esencial para . . Además, no existe por lo que en. 195. (c). es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema. (pensando que se trata de un 8.

(9) (b). y Veamos si es polo doble: (b) Por lo tanto, no es polo simple. (b) Por lofinito. (b) tanto, aquí. Veamos si (b) es polo doble: no existe Por tanto, . Además, (c)loen Por lo tanto, . Además, no existe en. es polo doble de .. es singularidad aislada de y es obvio que no yaquí es polo doble de . y es obvio aislada deesencial por lo quees singularidad es una singualridad para que . aquí es singularidad aislada de y es. por lo que. es una singualridad esencial para .. . Además, no existe por lo que es una singualridad esenc en Por lo tanto, aquí es singularidad aislada obvio (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensandode que yseestrata deque un polo n (b)(d) Pero hay queno noexiste sea polo de orden ejemplo que sigue para al Teorema . Además, pormenor lo que (recuérdese es unadel singualridad esencial . en que descartar (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un se po (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de Por lohay tanto, aquí es singularidad aislada deejemplo y es obvio que es as Pero que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del quedel sigue al no Teorem Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese ejemplo que (e) (c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un pol aparenta tenerque polo de orden enpolomenor y,(recuérdese sin embargo, encontramos era pol . Además, no existe por lo que es singualridad esencial para .que en aparenta tener de una orden en y, sin embargo, encontramo Pero hay que descartar no sea polo de orden del ejemplo que sigue al Teorem Estudiamos que no es finito. aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo (f) Estudiamos que no es finito. que se trata de un polo de or (c) Estudiemos es singularidad aislada de . Vamosque a que utilizar Teorema (pensando Estudiamos nono esel finito. es finito. Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor del ejemplo que sigue al Teorema , la Estudiamos que no(recuérdese es finito. que no es límite finito. finito. Pasamos polo de orden y, sin embargo, encontramos que era entonces polo de ord Solución en queennonoesvamos a conseguir a: Observamosaparenta que Estudiemos con tener exponente Estudiemos finito. Estudiemos no es finito. es singularidad aislada para : ahoraque veamos (a) polo de límite orden finito. paraPasa . en si existe nofinito vamos aes conseguir Observamos que con exponente Estudiamos que no es finito. en no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonce Observamos que con exponente no vamos a conseguir límite finito. Pasamoses entonces Observamos que con exponente polo de finito. Por lo tanto, no esen polo simple . es polo de orden para Estudiemos que no es finito. es polo de orden para (d). Veamos si es polo doble:. y. es polo doble de .. en no vamos aisladas a conseguir Pasamos entonces Observamos que que con exponente (d) Es evidente y son singularidades de límite , perofinito. también es obvio que no a: son po (d) (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: (d) es polo de de orden para . es ob Es evidente que y son singularidades aisladas , pero también (b) lo tanto, pensemos en polos dobles: Esque evidente (demuéstrelo!). que y ysonPor son singularidades aisladas , pero tambiénes esobvio obvio que Es evidente singularidades aisladas de de , pero también queno noson son 195 (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles: (d)Por lo tanto, aquí es singularidad aislada de y es obvio que 195 195es una singualridad esencial para . . Además, no existe por lo que en 195 Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero también es obvio que no son polos s (demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:. (c). es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema 195. (pensando que se trata de un 9.

(10) (a) (b). Ejercicios. (c). (d) (e) (f) Solución (a). es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito finito. Por lo tanto,. Veamos si es polo doble:. no es polo simple. y. es polo doble de .. (b) Por lo tanto, en. . Además, no existe. aquí por lo que. es singularidad aislada de. y es obvio. es una singualridad esencial pa 10.

(11) Luego,. , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .. Problema 2. Problema 2 Demostrar Problemaque 2. tiene en. tiene en Demostrar que Solución es singularidad aislada de Solución es singularidad aislada de. un polo simple.. un polo simple.. es polo simple de. es polo simple de. Problema 3 Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y . Problema 3 Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y . Solución Del ejercicio . Solución Del ejercicio . se demostró que es polo doble de . Luego, por las fórmulas del cálc (a) fórmula (b): (a). se demostró que. es polo doble de . Luego, por las fórmulas del c. fórmula (b): 11.

(12) es polo simple de. es polo simple de. Problema 3.. Calcular los residuos respectivos para las funciones de los problemas 1 y 2. Problema 3 Problema 3 Calcularpara los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios Calcular los residuos respectivos las funciones de los ejercicios y . Solución Del ejercicio . (a) fórmula (b):. y .. Solución Del ejercicio . se demostró que (a). es doble de por las doble fórmulas se polo demostró que . Luego,es polo de del. cálculo Luego, de porresiduos, las fórmu. fórmula (b):. (b) se demostró que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de en se demostró que es singularidad esencial para , luego, para c necesitamos desarrollar (b) en serie de Laurent:. necesitamos desarrollar con. en serie de Laurent:. que será el coeficiente de. con. que será el coeficiente de. 196. 196. 12.

(13) (b) se demostró que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de necesitamos desarrollar en serie de Laurent:. en. (b) se demostró que es singularidad esencial para , luego, para calcula con que será coeficiente de necesitamos desarrollar en el serie de Laurent: con. que será el coeficiente de 196. 196. Por lo tanto, (c). aquí demostramos que. es un polo de orden. para. Por lo tanto, por la fórmula (b) del Cálculo de Residuos:. Ahora, Por lo tanto,. (d). y. son polos dobles de . Por lo tanto,. 13.

(14) Por lo tanto, Por lo tanto,. (c). (c). aquí demostramos que aquí demostramos que. es un polo de orden. es un polo de orden. para .. para .. lo tanto, Por Por loPor tanto, por la fórmula (b) del Cálculo de Residuos: lo tanto, por la fórmula (b) del Cálculo de Residuos: (c). aquí demostramos que. es un polo de orden. para .. Por lo tanto, por la fórmula (b) del Cálculo de Residuos:. Ahora, Ahora,. Por lo tanto,. Por lo tanto, Ahora, (d). (d) Por lo tanto,. (d). y. son polos dobles de . Por lo tanto,. y. son polos dobles de . Por lo tanto,. y. son polos dobles de . Por lo tanto,. Demuestre que. (e) Demuestre que. Ya se demostró que. y. son polos simples de. y que. 14.

(15) Por lo tanto,. (d). y. son polos dobles de . Por lo tanto,. Demuestre que. (e). Ya se demostró ¿Que ocurreque en -i?. y. utilizando la fórmula. son polos simples de. y qu. del Cálculo de Residuos.. 15.

(16) Demuestre que. Demuestre que. Demuestre queYa se demostró que. (e). (e). y. son polos simples de. Ya se demostró que. (e). Ya se demostró que utilizando la fórmula. son polos simples de. y. es singularidad esencial de. utilizando la fórmula Luego,. (f). son polos simples de. (f) Luego,. Del ejercicio .. del Cálculo de Residuos.. es singularidad esencial de. (fórmula (d) del Cálculo de Residuos). se demostró que tiene polo simple en. Del ejercicio .. Cálculos restantes p1. f y p2. Del ejercicio .. se demostró que tiene polo simple en. Problema 4 Utilizar explícitamente la definición : de los residuos de los ejercicios. y que. Demostramos que es singularidad esencial de y que (fórmula (d) del Cálculo de Residuos).. se demostró que tiene polo simple en. Ejercicios 2. Luego,. y que. del Cálculo de Residuos. y que. (fórmula (d) del Cálculo de Residuos).. Demostramos que. y que. del Cálculo de Residuos.. utilizando la fórmula. Demostramos que. (f). y. y que. con. curva de Jordan y. y que. y que. y que para el cálculo. (a) y (c).. Problema 4 Solución (a). : Utilizar explícitamente la definición Sabemos que es singularidad aislada de . Sea Problema 4 de los residuos de los ejercicios (a) y (c).. Utilizar explícitamente la definición :. Solución de los residuos de los ejercicios Sabemos que (a). 197. con de Jordan y una curvacurva de Jordan en orientada. con. (a) y (c). es singularidad aislada de . Sea. curva de Jordan y. 16 una curva de Jordan.

(17) y. Problema 4. Problema 5 Sea. Problema 5 (a) Clasificar. las singularidades de . Sea (b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas. (a) Clasificar las singularidades, de . (c) Calcular (b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas. (c) Calcular. ,. Solución (a) Las singularidades aisladas de Solución. son claramente. y. (puntos donde. no es anal. (a) Las singularidades aisladas de. y (puntos donde no es analítica). es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de Ahora bien, pareciera que son claramente. Ahora bien, pareciera que. tal efecto estudiamos. es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A. que no es finito (por lo tanto decimos que no exi. tal efecto estudiamos. que no es finito (por lo tanto decimos que no existe). no es. simple. polopolo simple. Estudiemos por lo Estudiemos por lo tanto Ahora con Ahora (b). con ,. tanto. es polo doble de .. es polo doble de .. es un polo simple dees .un. ,. polo simple de .. (b). (c). . Dom. Jordan en. , el. y y. ,. es analítica en A que es un conjunto abierto conexo. singularidades de. están en. es una curva de. . Luego, aplicando el Teorema de los. 17.

(18) dede. . esesunpolo polodoble simple. Estudiemos Ahora con por lo, tanto Ahora con (b). ,. es un polo simple de .. (b). (c). . Dom. Jordan en , el (c) . Dom residuos se tiene: Jordan en , el residuos se tiene:. con. y. ,. y. ,. y. es analítica en A que es un conjunto abierto conexo.. y. singularidades de están en . Luego, aplicando el Teorema de los es analítica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de. singularidades de. con y. 198. y. están en. es una curva de. . Luego, aplicando el Teorema de los. Así la integral . Así la integral. vale . vale. .. 198. Figura 16.3:. Figura 16.3:. 18.

(19) dede. . esesunpolo polodoble simple. Estudiemos Ahora con por lo, tanto Ahora con (b). ,. es un polo simple de .. (b). (c). . Dom. Jordan en , el (c) . Dom residuos se tiene: Jordan en , el residuos se tiene:. con. y. ,. y. ,. y. es analítica en A que es un conjunto abierto conexo.. y. singularidades de están en . Luego, aplicando el Teorema de los es analítica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de. singularidades de. con y. 198. y. están en. es una curva de. . Luego, aplicando el Teorema de los. Así la integral . Así la integral. vale . vale. .. 198. Figura 16.3:. Figura 16.3:. 19.

(20) Problema 5.. Problema Problema 6 6. Problema 6. enpara ellas, para Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos (a) (a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de endeellas, en ellas, para. (a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de. (b)Calcular Calcular (b) Calcular Problema 6 (b). , C descrita por ,C , C descrita pordescrita. por. (a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de. en ellas, para. Solución Solución Solución (b) Calcular ,de C descrita por (a) Las singularidades aisladas son los puntos en dondeen no es analítica, estos son losestos ceros de (por ser de (a) (a) LasLas singularidades aisladas de son los puntos donde no es analítica, son los ceros singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analítica, estos son los un cociente de funciones analíticas). un cociente de funciones analíticas) un cociente de funciones analíticas). Solución (a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde un cociente de funciones analíticas). no es analítica, estos son los ceros de. (. Ahora. Ahora. Ahora. Ahora. pero para. Por lo tanto, pero para. pero para. Por lo tanto,. y para cada .. para cada .. .. son polosy simples de. y. .. y. son polos simples de. y. .. y 4, recorrida en sentido antiorario. . (b) pero es para una circunferencia de centro 0 y radio son polos simples de y Además entre los Por lo tanto,son parapara cada . que están en Por lo tanto,. para cada .. son polos simples de. , los únicos. y. (b) Así. es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Además entre los son para que(b) estánes enuna circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Además e (b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Además entre los para queestán están en son son para que en Así. , los. y porAsí Teorema de los residuos:. Así. 20.

(21) pero para Por lo tanto,. y para cada .. .. son polos simples de. y. (b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Además entre los son para que están en. , los únicos. Así. y por Teorema de los residuos:. Problema 7 Sea (a) Calcular las singularidades de . 199. 21.

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