Análisis de la interacción de nano jets fotónicos con nanopartículas dieléctricas y conductoras mediante el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para su uso en microscopía de alta resolución

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POSGRADO UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES. “A NÁLISIS DE LA INTERACCIÓN DE NANO-JETS FOTÓNICOS CON NANOPARTÍCULAS DIELÉCTRICAS Y CONDUCTORAS MEDIANTE EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PARA SU USO EN MICROSCOPÍA DE ALTA RESOLUCIÓN ”. T ESIS PRESENTADA POR EL BACHILLER: RONALD M ARCO PASTOR RODRIGUEZ PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE CIENCIAS: CON MENCIÓN EN. A SESOR: MSC. ROLANDO PERCA G ONZALES. AREQUIPA-PERÚ 2019. FÍSICA. M AESTRO EN.

(2) “Análisis de la interacción de Nano-Jets fotónicos con nanopartı́culas dieléctricas y conductoras mediante el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para su uso en microscopı́a de alta resolución” Tesis presentada por: BACH. RONALD MARCO PASTOR RODRIGUEZ. Jurado:. Dr. Francisco Angel Garcı́a Calisaya:. Mg. Juan Ernesto Palo Tejada:. Mg. Rolando Perca Gonzales:.

(3) Al creador de la luz, del cual trata este trabajo. A mi esposa e hijos por su amor y paciencia. A mis padres y hermanos por estimularme en la búsqueda del conocimiento desde pequeño..

(4) Agradecimientos. Al MSc. Rolando Perca Gonzales, por su acompañamiento en la maestría y por el asesoramiento del presente trabajo de investigación. A mis compañeros de la maestría por tener fe en el proyecto y acompañarme hasta el final. A todos lo profesores de la maestría por su apoyo en cada curso. Al Dr. Meint van Albada, un gran amigo, ejemplo de persistencia y maestro en la investigación. A todos los colegas y personal administrativo del DAF y EPF de la UNSA que me brindaron su apoyo..

(5) Índice general Resumen. X. Introducción 1. Marco Teórico 1.1. Marco filosófico o epistemológico de la investigación . . . . . . . . 1.2. Antecedentes de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Bases teóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Teoría Electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo . . . . . . . . 1.3.3. Fronteras absorbentes ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Creación de una fuente de ondas planas - Técnica TF/SF . . 1.3.5. DFDT en un medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Solución de Lorenz-Mie a la dispersión de ondas planas por esferas. XIV. . . . . . . . . .. 1 1 2 3 3 8 15 20 26 28. . . . . . . . . . . .. 31 31 31 34 35 36 39 41 43 44 45 45. 3. Resultados y Análisis 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 47. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 2. Método 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Programa de computadora con el método DFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Evaluación de la onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Evaluación de la frontera ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Introducción de las propiedades electromagnéticas de la malla 3D . . . . 2.2.4. Estado estacionario en la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Algunas especificaciones de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Información recabada del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Caracterización de un nano-jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Cálculos de DFDT con nanopartículas esféricas metálicas . . . . . . . . . . . . . 2.7. Cálculo de la intensidad de campo electromagnético con la teoría de Lorenz-Mie. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. III.

(6) 3.2. Evaluación de los programas por contrastación con el método de Lorenz-Mie . . . . 3.3. Características del nano-jet fotónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Dispersión del nano-jet fotónico por una nanopartícula dieléctrica . . . . . . . . . . 3.4.1. Influencia del tamaño de la nanopartícula dieléctrica . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Influencia del índice de refracción del dieléctrico de la nanopartícula esférica 3.5. Dispersión del nano-jet fotónico por una nanopartícula metálica . . . . . . . . . . . 3.5.1. Dispersión con nanopartículas de oro y plata de diversos tamaños . . . . . . 3.5.2. Influencia del índice de refracción del metal en la nanopartícula . . . . . . . 3.6. Dispersión del nano-jet fotónico por una nanopartícula dieléctrica cúbica . . . . . . .. 47 50 52 52 58 61 61 71 75. Conclusiones. 80. A. Programa en Matlab para cálculo de intensidad con la teoría de Lorenz-Mie. 82. B. Método de validación FSV. 86. Bibliografía. 94.

(7) Índice de tablas 1.1. Índices de refracción en dieléctricos, 𝜆 = 550 𝑛𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.1. Constantes ópticas de algunos metales nobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Constantes usadas para simular medios dispersivos metálicos. . . . . . . . . . . . .. 39 45. 3.1. Características del nano-jet formado por una esfera dieléctrica de 𝐷 = 3 𝜇𝑚, 𝑛 = 1, 3 y 𝜆 = 400 𝑛𝑚, explicadas en la sección 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. B.1. Escala de interpretación FSV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86.

(8) Índice de figuras 1.1. Descripción del rotacional del campo eléctrico 𝐄. (El esquema puede ser encontrado de forma similar en diversos textos, por ejemplo [Gedney, 2011]) . . . . . . . . . . . 1.2. Descripción del rotacional del campo magnético 𝐇. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Evolución temporal de los campos eléctrico y magnético. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Descripción de la zona de trabajo (volumen de interés) y las fronteras absorbentes tipo PML. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Descripción de la formación de ondas planas bajo la técnica TS/SF. . . . . . . . . . 1.6. Origenes de coordenadas para el cálculo del campo incidente . . . . . . . . . . . . . 1.7. Dirección de propagación y polarización de la onda incidente. . . . . . . . . . . . . 1.8. Descripción de la orientación de los campos incidentes como una proyección a lo largo del vector de onda incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Descripción de la orientación de los campos incidentes cuando la onda incidente está dirigida a lo largo de un eje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Coordenadas polares en la dispersión de una onda plana por una esfera de radio 𝑎. . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.. Diagrama de flujo del programa de simulación en 3D por DFDT . . . . . . . . . . . Vista bidimensional de dos planos mutuamente transversales de la onda plana en el vacío Comportamiento de la onda en el eje de la malla 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . Dipolo gaussiano generado en el centro de la malla 3D, en diferentes tiempos. . . . . Mapa de la permitividad en el espacio en estudio bajo la aproximación “staircase” . . Mapa de la permitividad en el espacio en estudio incluyendo el concepto de permitividad efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formación de un nano-jet fotónico en función del tiempo de cálculo en términos del periodo de la onda a lo largo del eje del haz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formación de un nano-jet fotónico en función del tiempo de cálculo en términos del periodo de la onda en la dirección transveral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitud de la onda envolvente en cada posición de la malla 3D. . . . . . . . . . . . Características de un nano-jet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 9 10 16 20 21 24 25 26 28 33 34 35 36 38 39 40 41 44 44. VI.

(9) Índice de figuras. 3.1. Comparación de los cálculos de la intensidad normalizada 𝐸 2 mediante el método de DFDT y la teoría de Lorenz-Mie. A lo largo del eje óptico (paralelo a la dirección de incidencia del haz) de una esfera dieléctrica de 3 𝜇𝑚 de diámetro iluminada por ondas planas de 𝜆 = 400 𝑛𝑚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Intensidad relativa, a lo largo del eje óptico, generada por una esfera dieléctrica de índice 1,6 (𝐷 = 2 𝜇𝑚) iluminada por ondas planas de longitud de onda de 525 𝑛𝑚. 𝐴𝐷𝑀 = 0,002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Intensidad relativa generada por una esfera dieléctrica de índice 1,6, a lo largo de una línea transversal al eje óptico en la posición de máxima intensidad. 𝜆 = 525 𝑛𝑚, 𝐷 = 2 𝜇𝑚. 𝐴𝐷𝑀 = 0,01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Mapa de intensidad de un nano-jet fotónico generado por una esfera dieléctrica de 3 𝜇𝑚 de diámetro, con 𝑛 = 1, 3, 𝜆 = 400 𝑛𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Mapa de intensidad de un nano-jet fotónico generado por una esfera dieléctrica de 3 𝜇𝑚 de diámetro, con 𝑛 = 1, 3, 𝜆 = 400 𝑛𝑚. Plano x-z . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Intensidad sobre un eje transversal al eje del haz de un nano-jet fotónico generado por una esfera dieléctrica de 3 𝜇𝑚 de diámetro, con 𝑛 = 1, 3, 𝜆 = 400 𝑛𝑚 . . . . . . . . 3.7. Intensidad en el eje generado por la interacción de nanopartículas dielectricas (𝑛 = 1,6) de diferentes diámetros colocados en el foco del nano-jet que corresponde a 𝑥 = 2, 11 𝜇𝑚. 3.8. Concentración de intensidad del nano-jet en la parte interna y frontal de la nanopartícula esférica dieléctrica de 400 𝑛𝑚 de diámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Mapa de intensidad de luz en dos planos perpendiculares, para una nano partícula de 50 𝑛𝑚 de diámetro iluminada por nano-jet fotónico de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. Las nanopartículas son colocadas en la misma posición del espacio que corresponde al foco del nano-jet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Efecto de dispersión lateral de la luz frente a la iluminación con el nano-jet a una nanopartícula esférica dieléctrica de 100 𝑛𝑚 de diámetro. . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Mapa de intensidad de luz en dos planos perpendiculares, para una nanopartícula de 200 𝑛𝑚 de diámetro iluminada por nano-jet fotónico de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. Las nanopartículas son colocadas en la misma posición del espacio que corresponde al foco del nano-jet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Mapa de intensidad de luz en el plano xy para una nano partícula de 400 𝑛𝑚 de diámetro iluminada por a)ondas planas de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda y b)nano-jet fotónico de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. Las nanopartículas son colocadas en la misma posición del espacio que corresponde al foco del nano-jet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Evolución de la intensidad de la luz a lo largo del eje del haz, en función del índice de refracción de nanopartículas dieléctricas (𝐷𝑛𝑝 = 400 𝑛𝑚). Las nanopartículas son colocadas en el foco del nano-jet que corresponde a 𝑥 = 2, 11 𝜇𝑚. . . . . . . . . . .. VII. 48. 49. 49 50 51 51 53 54. 55 56. 57. 58. 59.

(10) Índice de figuras. 3.14. Mapas de intensidad calculadas para la interacción de nanopartículas esféricas dielectricas (𝐷𝑛𝑝 = 400 𝑛𝑚), con diferentes índices de difracción, colocadas en el foco del nano-jet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Comparación entre mapas de intensidad calculadas para la interacción de nanopartículas esféricas de oro de 100 𝑛𝑚 y 200 𝑛𝑚 de diámetro, con el nano-jet fotónico. Las nanopartículas son colocadas en el foco del nano-jet que corresponde a 𝑥 = 2, 11 𝜇𝑚. 3.16. Comparación de mapas de intensidad ampliados en el plano x-z, calculadas para la interacción de nanopartículas esféricas de oro con el nano-jet fotónico. Las nanopartículas son colocadas en el foco del nano-jet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17. Comparación de gráficos de contorno entre nanopartículas de oro de 100 𝑛𝑚 y 200 𝑛𝑚 de diámetro iluminadas por nano-jet de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. . . . . . . . . . 3.18. Comparación entre mapas de intensidad calculadas para la interacción de nanopartículas esféricas de oro de 100 𝑛𝑚 y 200 𝑛𝑚 de diámetro, con ondas planas de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. a) Intensidad en el plano 𝑥𝑦 para nanopartícula de oro de 100 𝑛𝑚, b) Intensidad en el plano 𝑥𝑧 para nanopartícula de oro de 100 𝑛𝑚, c) Intensidad en el plano 𝑥𝑦 para nanopartícula de oro de 200 𝑛𝑚, d) Intensidad en el plano 𝑥𝑧 para nanopartícula de oro de 100 𝑛𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19. Intensidad a lo largo de tres ejes, considerando la interacción de nanopartículas esféricas de oro (𝐷𝑛𝑝 = 100 𝑛𝑚) con ondas planas de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. Las figuras b) y c) corresponde a ejes paralelos a el eje 𝑦 y eje 𝑧 respectivamente, por un punto que pasa por el foco del nano-jet. La nanopartícula está centrada 𝑥 = 2, 11 𝜇𝑚. 3.20. Intensidad a lo largo de tres ejes, considerando la interacción de nanopartículas esféricas de oro (𝐷𝑛𝑝 = 100 𝑛𝑚) con un nano-jet de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. Las figuras b) y c) corresponde a ejes paralelos a el eje 𝑦 y eje 𝑧 respectivamente, por un punto que pasa por el foco del nano-jet. La esfera dieléctrica generadora es de 3 𝜇𝑚 de diámetro centrada en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21. Mapas de intensidad calculadas para la interacción de nanopartículas esféricas de plata de 400 𝑛𝑚 de diámetro, con un nano-jet de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. . . . . . . . 3.22. Intensidad a lo largo de tres ejes, considerando la interacción de nanopartículas esféricas de plata (𝐷𝑛𝑝 = 400 𝑛𝑚) con un nano-jet de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda , líneas sólidas, y con ondas planas de la misma longitud de onda, líneas a puntos. Las figuras a) y b) corresponden a ejes paralelos al eje 𝑦 y eje 𝑧 respectivamente, por un punto que pasa por el foco del nano-jet. La esfera dieléctrica generadora es de 3 𝜇𝑚 de diámetro centrada en el origen y la nanopartícula está centrada en 𝑥 = 2, 11 𝜇𝑚. . . . . . . . .. VIII. 60. 62. 63 64. 65. 66. 67 68. 69.

(11) 3.23. Intensidad a lo largo de tres ejes, considerando la interacción de nanopartículas esféricas de plata (𝐷𝑛𝑝 = 200 𝑛𝑚) con un nano-jet de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. Las figuras b) y c) corresponde a ejes paralelos al eje 𝑦 y eje 𝑧 respectivamente, por un punto que pasa por el foco del nano-jet. La esfera dieléctrica generadora es de 3 𝜇𝑚 de diámetro centrada en el origen y la nanopartícula está centrada 𝑥 = 2, 11 𝜇𝑚. . . . . 3.24. Comparación de gráficos de contorno de intensidad para nanopartículas esféricas de plata y oro (𝐷𝑛𝑝 = 200 𝑛𝑚), en el plano x-y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.25. Comparación de gráficos de contorno de intensidad para nanopartículas esféricas de plata y oro (𝐷𝑛𝑝 = 200 𝑛𝑚), en el plano x-z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.26. Comparación de la intensidad en el eje x para nanopartículas esféricas de plata y oro (𝐷𝑛𝑝 = 200 𝑛𝑚). Los parámetros para la simulación de estas partículas se muestran en la tabla 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.27. Comparación de intensidad generada por la interacción con nanopartículas dieléctricas esféricas y cúbicas (Diámetro=Arista= 100 𝑛𝑚). 𝑛𝑛𝑝 = 1,6 a) Intensidad a lo largo del eje x (eje óptico) b) Intensidad en dirección transversal al eje óptico, paralela al eje 𝑦, en la posición 𝑥 = 2, 25 𝜇𝑚 c) Intensidad en dirección transversal al eje óptico, paralela al eje 𝑧, en la posición 𝑥 = 2,25 𝜇𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.28. Intensidad generada por la interacción con nanopartículas dieléctricas cúbicas (Arista= 100 𝑛𝑚). 𝑛𝑛𝑝 = 1,6 a) Mapa de intensidad en el plano xy, b) Mapa de intensidad en el plano xz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.29. Comparación de intensidad generada por la interacción con nanopartículas dieléctricas esféricas y cúbicas (Diámetro=Arista= 400 𝑛𝑚). 𝑛𝑛𝑝 = 1,6 a) Intensidad a lo largo del eje x (eje óptico) b) Intensidad en dirección transversal al eje óptico, paralela al eje 𝑦, en las posición 𝑥𝑚 indicada c) Intensidad en dirección transversal al eje óptico, paralela al eje 𝑧, en la posición 𝑥𝑚 indicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30. Intensidad generada por la interacción con nanopartículas dieléctricas cúbicas (Arista= 400 𝑛𝑚). 𝑛𝑛𝑝 = 1,6 a) Mapa de intensidad en el plano xy, b) Mapa de intensidad en el plano xz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1. B.2. B.3. B.4.. Comparación de los datos originales antes del procesamiento . . . . . . Transformada de Fourier discreta de las dos series de datos comparados Datos correspondientes a la señal envolvente de alta frecuencia . . . . . Datos correspondientes a la señal envolvente de baja frecuencia . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 70 72 73. 74. 76. 77. 78. 79 87 87 88 88.

(12) Resumen En la presente tesis se muestra un análisis teórico de la interacción de un nano-jet fotónico con nanopartículas dieléctricas esféricas y cúbicas y, nanopartículas esféricas de plata y oro. El propósito es buscar evidencia teórica de que la señal reflejada y dispersada por estas nanopartículas, permite identificarlas y diferenciarlas por tamaño e índice de refracción. Además por su forma en el caso de nanopartículas dieléctricas. Para este fin, se hace uso del método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para solucionar las ecuaciones diferenciales de Maxwell. Para la discretización del espacio de estudio se usa una malla cúbica según el algoritmo de Yee, junto a una frontera absorbente del tipo CPML y una fuente de ondas planas generadas por la técnica TF/SF. Para la solución de la interacción del nano-jet fotónico con nanopartículas conductoras de plata y oro se utiliza el método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo con una ecuación diferencial auxiliar ADE-FDTD, usando el modelo de Drude para la conductividad de los metales. La solución para la generación del nano-jet se compara con la solución mediante la teoría de Lorenz-Mie para una esfera dieléctrica y con la solución proporcionada por Devilez, [Devilez et al., 2008]. Esta comparación es validada con un análisis FSV. Para mejorar la respuesta en la interface de dos materiales diferentes, se ha utilizado una permitividad eléctrica efectiva. El medio donde se genera el nano-jet es el vacio y la esfera dieléctrica generadora del nano-jet tiene un índice de refracción de 1, 3, con un diámetro de 3𝜇𝑚 e iluminada por ondas planas de 400𝑛𝑚. No se ha considerado la absorción y dispersión de la luz en los materiales dieléctricos. Todos los cálculos han sido realizados mediante códigos escritos en lenguaje Matlab procesados en una PC con 64 GB de memoria RAM lo que nos permitió usar una resolución de 𝜆∕35 en la discretización de la malla. El tiempo típico de cálculo es de entre 42 y 130 horas de cómputo por proceso. En nuestro análisis se ha encontrado una notable diferencia en la intensidad debido a la variación en diámetro de las nanopartículas dieléctricas. La característica principal es la variación en la intensidad máxima y el contorno de intensidad en el eje del haz así como la distribución lateral pasando de una mayor concentración de luz dentro y al frente para nanopartículas mas grandes hasta una mayor dispersión transversal en un plano paralelo a la dirección de polarización e inclusive crear una zona de “absorción” para nanopartículas mas pequeñas, 50𝑛𝑚 de diámetro en nuestro caso, quiza debido a una pobre resolución. Así mismo, el nano-jet fotónico muestra la habilidad de permitir diferenciar. X.

(13) nanopartículas dieléctricas de diferentes índices de refracción relativa en el rango 1,2 a 1,6. La variación de intensidad observada es entre 70 y 250 veces respecto a la intensidad con sólo la onda plana y creciendo en el sentido del aumento en índice de refracción de la nanopartícula dieléctrica. La simulación con nanopartículas metálicas de oro y plata muestra características diferentes a las de una nanopartícula dieléctrica. En especial la intensidad de retrodispersión es mayor que en otras zonas, con casos especiales debido a la formación de zonas intensas de luz a manera de polos de campo cercano. Una forma dipolar con nanopartículas de 100𝑛𝑚 de diámetro y una forma cuadrupolar con una nanopartícula de 200𝑛𝑚 de diámetro, ambas de oro, e iluminadas con un nano-jet de 400𝑛𝑚 de longitud de onda. La nanopartícula de plata de 400𝑛𝑚 de diámetro, la mas grande de las nanopartículas metálicas estudiadas, concentra prácticamente toda la luz en la zona de restrodispersión, es decir se comporta con un espejo esférico, esto es debido a que este obstáculo es del orden de 𝜆. La intensidad formada por la distribución dipolar en nanopartículas de oro de 100𝑛𝑚 es unas 75 veces la intensidad de esta distribución polar formada con ondas planas, haciendo muy conveniente las aplicaciones con nanopartículas metálicas como biosensores, cuando son iluminadas con un nano-jet fotónico. Se ha demostrado por primera vez, un fenómeno de acumulación de intensidad en la zona lateral transversal a la dirección del haz, para nanopartículas dieléctricas de 100𝑛𝑚 de diámetro e índice de refracción 1, 6. Esta mayor concentración lateral es unas 4 veces la intensidad en el foco del nano-jet. El mismo efecto ocurre con nanopartículas cúbicas de lado igual a 100𝑛𝑚. La dirección transversal es paralela al plano de oscilación del campo eléctrico de la luz polarizada usada en nuestra simulación. Se ha observado la posibilidad de detectar la forma de nanopartículas cúbicas y diferenciarlas de nanopartículas esféricas, analizando la intensidad de luz retrodispersada, que es más importante en nanopartículas esféricas de 400𝑛𝑚 de diámetro. Para nanopartículas más pequeñas no se encuentra una diferencia apreciable entre la forma esférica y cúbica. Palabras clave: Nano-jet fotónico, 3D FDTD, detección de nanopartículas..

(14) Abstract In the present thesis a theoretical analysis of the interaction of a photonic nanojet with spherical and cubic dielectric nanoparticles and spherical nanoparticles of silver and gold, is shown. The purpose is look for theoretical evidence that the signal reflected and dispersed by these nanoparticles, makes it possible to identify and differentiate them by size and refractive index. In addition to its shape in the case of dielectric nanoparticles. For this purpose, the method of Finite differences in the time domain is used to solve Maxwell’s differential equations. For the discretization of the space of study, a cubic mesh is used according to the Yee algorithm, together with an absorbing bondary of the CPML type and a plane wave source generated by the TF/SF technique. For the solution of the interaction of the photonic nanojet with silver and gold conductive nanoparticles, the method of Finite Differences in the Time Domain with an auxiliary differential equation ADE-FDTD, is used, using the Drude model for the conductivity of metals. The solution for the generation of the nanojet is compared with the solution given by the Lorenz-Mie theory for a dielectric sphere and with the solution provided by Devilez, [Devilez et al., 2008]. This comparison it’s validated with an FSV analysis. To improve the response at the interface of two different materials, an effective electrical permittivity has been used. The medium where the nanojet is generated is the vacuum and the generating dielectric sphere of the nanojet has a refractive index of 1,3, with a diameter of 3𝜇𝑚 and illuminated by plane waves of 400𝑛𝑚. Has not been considered absorption and dispersion of light in dielectric materials. All the calculations have been made through codes written in Matlab language, processed in a PC with 64 GB RAM which allowed us to use a resolution of 𝜆∕35 in the discretization of the mesh. The typical calculation time is between 42 and 130 computing hours per simulation. In our analysis we found a remarkable difference in intensity due to variation in diameter of the dielectric nanoparticles. The main characteristic is the variation in the maximum intensity and the intensity contour on the beam axis as well as the lateral distribution going from a greater concentration of light in and to the front for larger nanoparticles to a greater transverse dispersion in a plane parallel to the direction of polarization and even create a zone of “absorption” for smaller nanoparticles, 50𝑛𝑚 in diameter in our case, maybe due to poor resolution. Likewise, the photonic nanojet shows the ability to differentiate dielectric nanoparticles of different relative refractive indexes in the range 1.2 to 1.6..

(15) The intensity variation observed is between 70 and 250 times compared to the intensity with only the plane wave and growing in the sense of increased refractive index of the dielectric nanoparticle. The simulation with gold an silver metallic nanoparticles shows different characteristics from those of a dielectric nanoparticle. In particular, the the backscatter intensity is higher than in other areas, with special cases due to the formation of intense zone of light in the manner of poles in the near field. A dipolar form with nanoparticles of 100𝑛𝑚 in diameter and a quadrupolar shape with a nanoparticle of 200𝑛𝑚 in diameter, both of gold, and illuminated with a nanojet of 400𝑛𝑚 wavelength. The 400𝑛𝑚 silver nanoparticle in diameter, the largest of the metal nanoparticles studied, concentrates practically all the light in the backscatter zone, that is it’s behaves like a spherical mirror, this is because this obstacle is of the order of 𝜆. The intensity formed by the dipolar distribution in nanoparticles of 100nm gold is about 75 times the intensity of this polar distribution formed with plane waves, applications with metallic nanoparticles as biosensors are very convenient, when they are illuminated with a photonic nanojet. It has been shown for the first time, a phenomenon of accumulation of intensity in the lateral zone transverse to the direction of the beam, for dielectric nanoparticles of 100𝑛𝑚 in diameter and refractive index 1,6. This higher lateral concentration is about 4 times the in nanojet focus. The same effect occurs with cubic nanoparticles of side equal to 100𝑛𝑚. The transverse direction is parallel to the plane of oscillation of the electric field of polarized light used in our simulation. It has been observed the possibility of detecting the cubic nanoparticle shape and differentiate them from spherical nanoparticles, analyzing the intensity of backscattered light, which is more important in spherical nanoparticles of 400𝑛𝑚 in diameter. For smaller nanoparticles no appreciable difference between the spherical and cubic shape is found. Keywords:. Photonic nanojet, 3D FDTD, nanoparticle detection.. XIII.

(16) Introducción La microscopía óptica posee un límite natural establecido por la longitud de onda de la luz visible. Este límite conduce a que no se puedan resolver objetos menores a aproximadamente 𝜆∕2, donde 𝜆 es la longitud de onda de la luz. Una manera de lograr una mejora en la observación es mediante la microscopia confocal, pero aún limitada por la longitud de onda mínima de luz. Desde que en el 2004 se reportara la predicción teórica de un fenómeno de subdifracción con propiedades que conducen a la observación de objetos más allá del límite de difracción natural [Chen et al., 2004], se han publicado numerosos trabajos teóricos y experimentales en búsqueda de estudiar su utilidad en diversas ramas tecnológicas [Allen et al., 2014],[Yi et al., 2007], [Dantham et al., 2011], [Born et al., 2015]. La denominación de este fenómeno como photonics Nano-jets, es debido a Chen y colegas [Chen et al., 2004]. Los estudios de interacción de un nano-jet con nanopartículas se han limitado a nanopartículas metálicas [Li et al., 2005] y estructuras dieléctricas periódicas [Gritsevich et al., 2017], así como a la manipulación de nanopartículas dieléctricas [Wang et al., 2016]. Hui Yang y colegas [Yang et al., 2015] muestran la posibilidad de detección de nanopartículas de oro y nanopartículas fluorescentes dentro de un fluido en movimiento, cuando este es iluminado por un arreglo de nano-jet fotónicos. Sin embargo, aún no existe una sistemática evaluación de la posibilidad de detectar y diferenciar nanopartículas interactuantes con un nano-jet. Esta evaluación debería proporcionar el alcance de esta propiedad de tal manera pueda ser utilizada para evidenciar características como el tamaño y asimetría (no esfericidad) de las nanopartículas. La información experimental puede obtenerse con equipos especializados [Kim et al., 2011], [Yang et al., 2015], sin embargo, la información que se puede recoger debe ser interpretada en base a una formulacion teórica la cual consiste en la solución de las ecuaciones de Maxwell. La primera demostración de la formación de los nano-jet fotónicos (photonic Nano-jets) en el 2004 [Chen et al., 2004] fué realizada mediante la interacción de ondas planas con cilindros dieléctricos infinitos. En este trabajo se utilizó una simulación numérica mediante el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo en dos dimensiones, la cual era suficiente para demostrar el fenómeno pero, no su completa utilidad. En el 2005 Li [Li et al., 2005] realiza el primer cálculo de interacción de nano-jets fotónicos con nanopartículas de oro usando la teoría de Mie para la generación de los nano-jets con micro esferas dieléctricas (a manera de lentes convergentes). En este trabajo evaluaron la relación de la mejora de la señal retrodispersada para varios diámetros de nanopartículas. Lecler [Lecler et al., 2005] en el mismo. XIV.

(17) año, presenta la solución mediante la teoría de Mie de la formación de nano-jets fotónicos en tres dimensiones. En este trabajo se muestra la asimetría del Nano-jet fotónico debido a la polarización de la luz. Itagi [Itagi and Challener, 2005] muestra en ese mismo año una teoría completa de la formación de estos nano-jets describiendo sus caracteristicas físicas. En el 2007 Heifetz [Heifetz et al., 2007] muestra por primera vez la formación experimental, en forma indirecta, de nano-jets en el rango de microondas. Ferrand [Ferrand et al., 2008] publica por primera vez la formación de nano-jets fotónicos demostrando completamente la certeza de las predicciones teóricas realizadas desde el 2004. En ese mismo año se publicó un trabajo [Kong et al., 2008] donde se utiliza el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo en tres dimensiones para estudiar una aplicación en el almacenamiento de datos. Se puede observar que cuando se desea estudiar las aplicaciones de los nano-jets la solución “exacta” de Mie o Lorentz-Mie ya no es conveniente pues las estructuras y la geometría necesarias tienen mayor complejidad y asimetrías. Otros trabajos que utilizan este método referente a la interacción con nano-jets fotónicos son [Liu and Chang, 2014], [Liu, 2014], [Liu and Wang, 2014], [Geints et al., 2015], [Wu et al., 2015], [Nayak and Saha, 2016], [Gritsevich et al., 2017]. En este útimo trabajo se realizan simulaciones en tres dimensiones para verificar las características de la interacción de los nano-jets con una muestra de polímero de la superficie de un disco blu-ray. Las simulaciones en tres dimensiones son ahora más difundidas debido al abaratamiento y mejora de las computadoras, sin embargo una simulación con la resolución y precisión necesaria requiere aún gran cantidad de memoria y tiempos grandes de cómputo. Aun así, el método de diferencias finitas en el dominio de tiempo (DFDT), ha sido usado ampliamente para solucionar problemas de interacción de ondas electromagnéticas y sonoras con medios materiales. El esquema propuesto por Yee [Yee, 1966] en 1966 resulta el mas conveniente y es utilizado hasta hoy en los softwares comerciales para solucionar el sistema de ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo[Wikipedia contributors, 2018a]. En las últimas decadas, con la obtención de computadoras de mayor capacidad computacional a menor costo, el método de diferencias finitas se ha convertido en un método numérico más atractivo en el cálculo a escala nanométrica, donde se necesita gran resolución. Así pues, en el presente trabajo se presentan los resultados del análisis numérico por diferencias finitas en el dominio del tiempo en tres dimensiones, de la formación e interacción de un nano-jet fotónico con nano partículas dieléctricas y metálicas, con diversas propiedades opticas, tamaño y forma (esferas y cubos), lo cual nos proporciona resultados que permiten discriminar la información obtenida en función de estos parámetros, todo esto con el fin de detectar y diferenciar nanopartículas.. Objetivos de la investigación El proyecto de investigación propuesto presenta los siguientes objetivos:. XV.

(18) Objetivo General Analizar, mediante el método de diferencias finitas en el dominio de tiempo aplicado a la solución de las ecuaciones de Maxwell, la perturbación producida por nanopartículas al campo de luz áltamente convergente generado por micro esferas dieléctricas (nano-jet fotónico) de tal manera se pueda establecer relaciones que permitan conducir a una posible detección experimental y discriminación en el tamaño y forma de estas nanopartículas.. Objetivos Específicos Implementar un código de computadora con la metodología de diferencias finitas en el dominio del tiempo (DFDT) en tres dimensiones, incluyendo una fuente de ondas planas mediante el método de TF/SF (total field/scattered field), además de fronteras absorbentes CPML (convolutional perfect matched layer), para la simulación de un espacio continuo. Verificar la validez del código con la teoría de dispersión de Lorenz-Mie. Simular la interacción de un nano-jet fotónico en un medio no absorbente y no dispersivo con nanopartículas dielectricas y metálicas, para analizar la dispesión del haz y evidenciar su detección, mediante relaciones compatibles con mediciones experimentales. Implementar en el lenguaje matlab el análisis de intensidad de la dispersión del nano-jet fotónico en partículas nanométricas con simetría esférica y cúbica. Validar nuestros resultados con la información bibliográfica existente, tanto de resultados experimentales como de simulaciones a nivel teórico respecto a la detección de nanopartículas. Elaborar un reporte final de los resultados.. XVI.

(19) Capítulo 1 Marco Teórico 1.1.. Marco filosófico o epistemológico de la investigación. Las primeras ideas sobre la luz provienen del antiguo Egipto y el imperio Griego. La cultura islámica proporcionó una gran contribución a la conceptualización de la luz, inclusive se atribuye la creación de la óptica moderna a Alhazen (965-140) [Zubairy, 2018]. Las ideas actuales de la dualidad de la luz se inician con Newton [I., 1671] y Huygens [Huygens, 2005], sin embargo, el comportamiento ondulatorio de la luz fue primero comprobado experimentalmente, así que su concepción y teorías fueron las primeras en proporcionar un entendimiento completo de fenómenos relacionados a la luz. Así mismo, una de las primeras contribuciones del electromagnetismo, fue la comunicación con ondas en el rango electromagnético de ondas de radio. La teoría electromagnética de Maxwell nos proporciona una estructura matemática y conceptual de la naturaleza de la luz y es aplicada hasta la actualidad, proporcionando cambios en la sociedad que aún no terminan de sorprender. Un ejemplo claro es en las telecomunicaciones pero también en los instrumentos ópticos, como telescopios, microscópios, etc, los cuales han sufrido mejoras y avances significativos. Por ejemplo los microscopios confocales mejoran el contraste de la imagen por medio de una abertura pequeña (“pinhole") sin embargo, aún supeditado a el límite de difracción natural que es del orden 𝜆∕2, la mitad de la longitud de onda. La necesidad de vencer este límite es clara en aplicaciones como biologia molecular, medicina y fotónica donde se necesita identificar objetos nanométricos. Con la publicación de Chen y colegas en el 2004 se abrió una nueva ventana hacia la mayor resolución óptica de los microscópios ([Chen et al., 2004]). Si bien este fenómeno, que implica la formación del llamado nano-jet fotónico, aún está en fase de estudio, nosotros podemos contribuir en las investigaciones que permitan lograr una microscopia de alta resolución. Las investigaciones teóricas suelen ser mas abiertas y abundantes, sin la búsqueda de una rentabilidad económica como podrian ser las investigaciones experimentales, de las cuales por su dificultad hay pocas. La ciencia nunca se ha restringido en buscar lo seguro o evidente, y es por eso que su contribucion a la humanidad es inapelable. Son otros factores no científicos, que llevan a que estos conocimientos tengan aplicaciones deshumanizadoras. 1.

(20) Al comenzar la presente investigación, se enfrentó un gran reto de apostar por dar una contribución, aunque pequeña, de algo que aun no viene bien establecido, que es la microscopía de alta resolución mediante el uso de nano-jet fotónicos. Este es el objetivo principal, no obstante para llegar a ello, se recurre a aspecto teóricos y matemáticos que, aunque muy difundidos en muchos publicaciones, no son muy utilizadas en nuestro entorno académico. Entonces con la presente investigación se presenta otra contribución desde el punto de vista académico, a través del análisis de la teoría y metodología matemática implementada en programas de computadora. Por último, espero que en un futuro, las aplicaciones de este fenómeno puedan producir cambios positivos en nuestra sociedad y con la que espero haber contribuido.. 1.2.. Antecedentes de la investigación. En el 2004 Chen [Chen et al., 2004] publica la generación de, los denominados por ellos, nano-jet fotónicos (photonic nanojets), mediante la interacción de ondas planas con cilindros dieléctricos infinitos. En este trabajo se utilizó una simulación numérica mediante el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo en dos dimensiones, la cual era suficiente para demostrar el fenómeno pero, no su completa utilidad, por ejemplo en este primer reporte se muestra la mejora en la intensidad retrodispersada por nanopartículas de oro. Sin embargo esta solución no es correcta, pues no se puede describir apropiadamente una nanopartícula en dos dimensiones. En el 2005 Li [Li et al., 2005] realiza el primer cálculo de interacción de nano-jets fotónicos con nanopartículas de oro usando la teoría de Mie para la generación de los nano-jets con micro esferas dieléctricas (a manera de lentes convergentes). En este trabajo evaluaron la relación de la mejora de la señal retrodispersada para varios diámetros de nanopartículas. En el 2006 [Chen et al., 2006] presenta los primeros cálculos de la interacción de nano-jets con nanopartículas dieléctricas de varios diámetros. La solución es a través de la teoría de Lorentz-Mie y proporciona la primera solución tridimensional, sin considerar los efectos de campo cercano, mas sí de la retrodispersión. Ferrand [Ferrand et al., 2008] publica por primera vez la formación de nano-jets fotónicos demostrando completamente la certeza de las predicciones teóricas realizadas desde el 2004. En ese mismo año se publicó un trabajo (Soon-Cheol Kong [Kong et al., 2008]) donde se utiliza el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo en tres dimensiones para estudiar una aplicación en el almacenamiento de datos. Se puede observar que cuando se desea estudiar las aplicaciones de los nano-jets la solución “exacta” de Mie o Lorentz-Mie ya no es conveniente pues las estructuras y la geometría necesarias tienen mayor complejidad. Otros trabajos que utilizan este método referente a la interacción con nano-jets fotónicos son [Liu and Chang, 2014], [Liu, 2014], [Liu and Wang, 2014], [Geints et al., 2015], [Wu et al., 2015], [Nayak and Saha, 2016], [Gritsevich et al., 2017]. En este útimo trabajo se realizan simulaciones en tres dimensiones para verificar las características de la interacción de los nano-jets con una muestra de polímero de la superficie de un disco blu-ray. No se presenta en la bibliografía un estudio del análisis de las características de la interacción de nano-jets con nanopartícu2.

(21) las y su caracterización según el tipo de material, el tamaño y la simetría de la nanopartícula con fines de explorar la utilidad de los nano-jets como sistema de observación de nanopartículas. Por otra parte el método de diferencias finitas en el dominio de tiempo, FDTD de su denominación en inglés, ha sido usado ampliamente para solucionar problemas de interacción de ondas electromagnéticas y sonoras con medios materiales. El esquema propuesto por Yee [Yee, 1966] en 1966 resulta el mas conveniente y es utilizado hasta hoy en los softwares comerciales para solucionar el sistema de ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo [Wikipedia contributors, 2018a]. En las últimas decadas, con la obtención de computadoras de mayor capacidad computacional a menor costo, el método de diferencias finitas se ha convertido en un método numérico más atractivo en el cálculo a escala nanométrica, donde se necesita gran resolución.. 1.3.. Bases teóricas. 1.3.1.. Teoría Electromagnética. 1.3.1.1.. Ecuaciones de Maxwell. Siguiendo la notación dada por Taflove presentamos las ecuaciones de Maxwell [Taflove and Hagness, 2005], donde las cantidades vectoriales se muestran en negrita. Estas ecuaciones están expresadas en el Sistema Internacional de unidades en forma diferencial e integral, según la compilación que actualmente se conoce, aunque no es la original dada por Maxwell. Ley de Faraday 𝜕𝐁 = −∇ × 𝐄 − 𝐌 𝜕𝑡 𝜕 𝜕𝑡. x. 𝐁 ⋅ 𝑑𝐀 = −. 𝐴. ∮𝐿. 𝐄 ⋅ 𝑑𝐋 −. (1.1) x. 𝐌 ⋅ 𝑑𝐀. (1.2). 𝐴. Ley de Ampere 𝜕𝐃 =∇×𝐇−𝐉 𝜕𝑡 𝜕 𝜕𝑡. x. 𝐃 ⋅ 𝑑𝐀 =. 𝐴. ∮𝐿. 𝐇 ⋅ 𝑑𝐋 −. (1.3) x. 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀. (1.4). 𝐴. Ley de Gauss para el campo eléctrico ∇⋅𝐃=𝜌 { 𝐴. 𝐃 ⋅ 𝑑𝐀 =. ∫𝑉. (1.5) 𝜌𝑑𝑣. (1.6). Ley de Gauss para el campo magnético ∇⋅𝐁=0. (1.7) 3.

(22) {. 𝐁 ⋅ 𝑑𝐀 = 0. (1.8). 𝐴. En estas ecuaciones los símbolos mostrados se definen como: 𝐄 : campo eléctrico (𝑉 ∕𝑚) 𝐃 : densidad de flujo eléctrico (𝐶∕𝑚2 ) 𝐇 : campo magnético (𝐴∕𝑚) 𝐁 : densidad de flujo magnético (𝑊 𝑏∕𝑚2 ) A : superficie cerrada (𝑚2 ) 𝑑𝐀 : vector diferencial normal a la superficie A (𝑚2 ) L : contorno cerrado que rodea la superficie A (𝑚) 𝑑𝐋 : vector diferencial longitudinal tangente al contorno L (𝑚) 𝐉 : densidad de corriente eléctrica (𝐴∕𝑚2 ) M : densidad de corriente magnética equivalente (𝑉 ∕𝑚2 ) 𝜌 : densidad volumétrica de carga eléctrica (𝐶∕𝑚3 ) Adicionalmente en un medio lineal, isotrópico y no dispersivo se cumplen las expresiones de las ecuaciones: 𝐃 = 𝜖𝐄 = 𝜖𝑟 𝜖0 𝐄 (1.9) 𝐁 = 𝜇𝐇 = 𝜇𝑟 𝜇0 𝐇. (1.10). donde 𝜖 y 𝜇 son la permitividad eléctrica (𝐹 ∕𝑚) y permeabilidad magnética (𝐻∕𝑚) respectivamente. Cuando deseamos considerar las pérdidas de energía electromagnética debido al material, como en las fronteras absorbentes o las nanopartículas metálicas, que serán tratadas en el siguiente capítulo, las ecuaciones rotacionales del campo electromagnético se modifican como en las ecuaciones: ) 𝜕𝐇 1 1( =− ∇×𝐄− 𝐌𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝜎 ∗ 𝐇 𝜕𝑡 𝜇 𝜇. (1.11). ) 𝜕𝐄 1 1( = ∇×𝐇− 𝐉𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝜎𝐄 (1.12) 𝜕𝑡 𝜖 𝜖 donde 𝜎 y 𝜎 ∗ son la conductividad eléctrica (𝑆∕𝑚) y conductividad magnética equivalente (Ω∕𝑚). Así mismo cuando se considera las pérdidas en un material podemos dividir la contribución a los campos en 𝐉𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 y 𝐌𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 debido a las cargas inducidas por polarización de la materia y la contribución de 4.

(23) cargas libres como 𝐉𝐥𝐢𝐛𝐫𝐞 = 𝜎𝐄 y 𝐌𝐥𝐢𝐛𝐫𝐞 = 𝜎 ∗ 𝐇. La constante 𝜎 ∗ se escribe para establecer ecuaciones de Maxwell completas, sin embargo está asociada a pérdidas de energía por efectos magnéticos, mayormente en forma de calor. En nuestro caso, esta constante se considera cero. Cuando queremos que la onda tenga una dirección de oscilación preferencial, es decir la onda esté poralizada, existen algunos “modos” de especial interés. El modo TM (Transverse magnetic) corresponde a una onda con solo el campo 𝐸𝑧 y las componentes magnéticas 𝐻𝑥 y 𝐻𝑦 transversales a este. Asi también, el modo TE (Transverse electric) corresponde a una onda con solo el campo 𝐻𝑧 y las componentes eléctricas 𝐸𝑥 y 𝐸𝑦 transversales a este. 1.3.1.2.. Energía de una onda electromagnética. Una onda electromagnética como otro tipo de ondas, transportan energía mientras viajan en un medio. El flujo de energía 𝐒(𝐱, 𝑡) (energía/tiempo× área) y la densidad de energía 𝑢(𝐱, 𝑡) de los campos electromagnéticos se denominan juntos Teorema de Poynting [Pollack and Stump, 2002] y se expresan así: 1 (1.13) 𝐒= 𝐄×𝐁 𝜇0 𝑢=. 𝜖0 2 1 2 𝐸 + 𝐵 2 2𝜇0. (1.14). donde 𝜖0 y 𝜇0 son la permitividad eléctrica del vacio y la permeabilidad magnética del vacio respectivamente. En una onda electromagnética los campos 𝐄 y 𝐁 son mutuamente ortogonales. La magnitud del vector de Poynting esta dado por la ecuación: 1 (1.15) 𝑆 = 𝐸𝐵 𝜇0 Si tenemos un campo oscilante sinusoidal 𝐸 = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥−𝜔𝑡) de una onda moviendose en la dirección 𝑥, la magnitud del vector de Poynting será: 𝑆=. 1 𝐸0 𝐵0 𝑐𝑜𝑠2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝜇0. (1.16). El valor instántaneo del vector de Poynting es de poco interés experimental, mas bien se mide el valor promedio dado por: 1 𝑆𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐸0 𝐵0 𝑐𝑜𝑠2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (1.17) 𝜇0 Usando la relación 𝐵0 = 𝐸0 ∕𝑐0 y el resultado 𝑐𝑜𝑠2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 1∕2 el valor promedio del vector de Poynting es: 1 𝑆𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑐0 𝜖0 𝐸02 (1.18) 2 donde se ha usado la importante relación 𝑐0 =. 1 , √ 𝜇0 𝜖0. que es la velocidad de la luz en el vacio.. 5.

(24) 1.3.1.3.. Óptica electromagnética. En esta investigación se ha considerado medios lineales, isotrópicos, no dispersivos y no absorbentes, excepto en las fronteras y las nanopartículas metálicas, donde si se considera la dispersión. Por lo tanto, en general, se puede considerar un medio donde no hay cargas libres ni corrientes debido a cargas libres, es decir 𝜌𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 = 0 y 𝐉𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 = 0. Con esta simplificación las ecuaciones de Maxwell son reducidas a: 𝜕𝐃 𝜕𝐁 ∇×𝐇= (1.19) ∇×𝐄=− 𝜕𝑡 𝜕𝑡 ∇⋅𝐃=0 ∇⋅𝐁=0 (1.20) En un medio dieléctrico la solución de estas ecuaciones es la misma que las ecuaciones de Maxwell en el vacío, pero reemplazando 𝜖0 por 𝜖 y 𝜇0 por 𝜇. En este caso la velocidad de las ondas está dado por: 1 𝑐=√ 𝜖𝜇. (1.21). Está velocidad es menor que la velocidad en el vacio 𝑐0 . El índice de refracción en un material dieléctrico se define como: 𝑐 (1.22) 𝑛= 0 𝑐 Que en terminos de las constantes dieléctricas queda como en la ecuación: √ 𝑛=. 𝜖𝜇 𝜖0 𝜇0. (1.23). En la mayoría de dieléctricos las propiedades magnéticas son muy pequeñas por lo que se puede suponer 𝜇 ≈ 𝜇0 , así la relación (1.23) queda simplificada a: √ 𝑛≅. 𝜖 𝜖0. (1.24). Si denominamos a la permitividad relativa como 𝜖𝑟 = 𝜖∕𝜖0 se obtiene la relación mas útil que es usada en nuestro estudio. √ 𝑛 ≅ 𝜖𝑟 (1.25) En muchos materiales diélectricos la variación del índice de refracción con la longitud de onda o frecuencia de la luz es pequeña, es decir, son medios no dispersivos. Así pues se considera el índice de refracción constante e independiente de la frecuencia. En la tabla 1.1 se muestra valores típicos del índice de refracción en dieléctricos. En el caso de materiales conductores se debe considerar que la permitividad eléctrica es compleja y se define la pemitividad dieléctrica efectiva en la ecuación: 1 [Daimon. and Masumura, 2007]. 6.

(25) Tabla 1.1 – Índices de refracción en dieléctricos, 𝜆 = 550 𝑛𝑚 [Polyanskiy, 2018]. Material Índice de refracción (n) Polydimethylsiloxane 1,4000 PMMA 1,4926 Poliestireno 1,5959 Cuarzo fundido 1,4599 Flint denso 1,6517 Crown ligero 1,4890 Aire 1,00027784 Agua1 1,335. 𝜎 𝜔 Es usual reescribir la permitividad compleja como en la ecuación: 𝜖̃ = 𝜖 + 𝑖. (1.26). 𝜖̃ = 𝜖1 + 𝑖𝜖2. (1.27). 𝜎 donde 𝜖1 , es la parte real de la permitividad o constante dieléctrica “verdadera”, 𝜖2 = es la parte 𝜔 compleja de la permitividad, 𝜎 es la conductividad y 𝜔 es la frecuencia angular de la onda de luz. Los resultados experimentales de la permitividad nos permiten, entonces, calcular la conductividad dependiente de la frecuencia de la luz para los metales: 𝜎 = 𝜖2 𝜔 = 𝜖2𝑟 𝜖0 𝜔. (1.28). donde 𝜖2𝑟 es la parte compleja de la permitividad relativa del medio. En la región visible y del ultravioleta cercano, la constante dieléctrica es negativa en los metales, debido a que la frecuencia de la luz es ligeramente menor a la frecuencia de plasma 𝜔𝑝 , tal como se evidencia del modelo de Drude para la permitividad [Lourtioz et al., 2005] 2 . [ 𝜖̃ = 𝜖0 1 −. 𝜔2𝑝 𝜔2. −𝑖. 𝜔2𝑝 𝜔3 𝜏. ] (1.29). 2. donde 𝜔2𝑝 = 𝑁𝑒 y 𝜏 = 𝛾1 es el tiempo de amortiguación de los electrones en el conductor con 𝛾 la 𝑚𝜖0 frecuencia de amortiguamiento. En esta expresión 𝜔 > 1∕𝜏. Usando las expresiones 1.25 y 1.27 podemos expresar el índice de refracción complejo 𝑛∗ como: 𝑛∗ = 𝑛 + 𝜅𝑖. (1.30). 2 Por. compatibilidad con la ecuación 1.111 se cambia el signo respecto a la expresión original de [Lourtioz et al., 2005] pag. 121. 7.

(26) donde 𝑛 es la parte real del índice de refracción complejo relacionado a la fase de la velocidad y 𝜅 es la parte imaginaria denominada coeficiente de extinción, y se relaciona a la atenuación de la onda al viajar por el medio con este índice de refracción.. 1.3.2.. Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo. 1.3.2.1.. DFDT en tres dimensiones y el algoritmo de Yee. El algoritmo de Yee, propuesto en 1966, es la forma más usada para implementar el método de DFDT, donde se soluciona en forma númerica las ecuaciones rotacionales de Maxwell en forma acoplada, lo que hace que su solución sea mas robusta que solucionar las ecuaciones separadamente para los vectores 𝐄 y 𝐇. La discretización de los campos dentro del espacio tridimensional se realizan de acuerdo a las figuras 1.1 y 1.2. En la figura 1.1 se puede observar que cada componente del campo magnético 𝐇 está rodeado de cuatro componentes del campo eléctrico 𝐄, los cuales “circulan” alrededor de esta componente de campo magnético. Esta es la escencia y significado de la operación rotacional. Del mismo modo cada componente del campo eléctrico 𝐄 está rodeado por cuatro componentes circulantes del campo magnético, figura 1.2.. Figura 1.1 – Descripción del rotacional del campo eléctrico 𝐄. (El esquema puede ser encontrado de forma similar en diversos textos, por ejemplo [Gedney, 2011]). 8.

(27) Figura 1.2 – Descripción del rotacional del campo magnético 𝐇.. Las expresiones para las derivadas espaciales del operador rotacional están aproximadas en diferencias - centradas y de segundo órden de exactitud. Las derivadas temporales en 𝐄 y 𝐇 también son centradas de la forma que es denominada en inglés “leapfrog”, ya que usa información del pasado y del futuro para obtener los campos electromagnéticos en el tiempo presente. Según la figura 1.3 los campos eléctrico y magnético son calculados en tiempos diferentes pues para conocer 𝐄 en un tiempo determinado, se debe conocer 𝐇 en un tiempo anterior y del mismo modo para conocer 𝐇 en el tiempo actual se debe conocer 𝐄 en un tiempo previo. 1.3.2.2.. Notación usada en el algoritmo de Yee. La notación usada es la usual en la mayoría de textos referentes a este tema. La malla rectangular es descrita por unos índices discretos: (𝑖, 𝑗, 𝑘) = (𝑖Δ𝑥, 𝑗Δ𝑦, 𝑘Δ𝑧). (1.31). donde Δ𝑥, Δ𝑦 y Δ𝑧, son los incrementos espaciales en las direcciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧 respectivamente. Así una función que depende de estas coordenadas y del tiempo es representada como: 𝑛 𝑓 (𝑖Δ𝑥, 𝑗Δ𝑦, 𝑘Δ𝑧, 𝑛Δ𝑡) = 𝑓𝑖,𝑗,𝑘. (1.32). 9.

(28) (a) Tiempo real. (b) Tiempo con aproximación “leapfrog”. Figura 1.3 – Evolución temporal de los campos eléctrico y magnético. (a) Evolución de los campos en el tiempo real. (b) Evolución de los campos bajo la aproximación “leapfrog”. Sólo se necesita almacenar los campos en un tiempo anterior para conocer el campo actual.. 10.

(29) donde se toma el superíndice 𝑛 como índice temporal. Bajo esta notación, una derivada espacial de la función 𝑓 se representa como: 𝑛 𝑛 𝑓𝑖+1∕2,𝑗,𝑘 − 𝑓𝑖−1∕2,𝑗,𝑘 𝜕𝑓 (𝑖Δ𝑥, 𝑗Δ𝑦, 𝑘Δ𝑧, 𝑛Δ𝑡) = + 𝑂((Δ𝑥)2 ) 𝜕𝑥 Δ𝑥. (1.33). donde 𝑂((Δ𝑥)2 ) es denominado error de truncamiento. Es importante notar en este ejemplo, que la derivada es centrada en 𝑥 y se toma los valores de la función en 𝑓 (𝑥 − Δ𝑥∕2) y 𝑓 (𝑥 + Δ𝑥∕2), de ahí la notación 𝑖 ± 1∕2. Del mismo modo una derivada temporal se expresa como: 𝑛+1∕2. 𝑛−1∕2. 𝑓𝑖,𝑗,𝑘 − 𝑓𝑖,𝑗,𝑘 𝜕𝑓 (𝑖Δ𝑥, 𝑗Δ𝑦, 𝑘Δ𝑧, 𝑛Δ𝑡) = 𝜕𝑡 Δ𝑡 1.3.2.3.. + 𝑂((Δ𝑡)2 ). (1.34). Ecuaciones de Maxwell en Diferencias Finitas en tres dimensiones. Para discretizar las ecuaciones de Maxwell, es conveniente expresar las ecuaciones rotacionales 1.11 y 1.12 por componentes que se listan en las ecuaciones: [ ] 𝜕𝐻𝑥 1 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧 ∗ = − − (𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑥 + 𝜎 𝐻𝑥 ) 𝜕𝑡 𝜇 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ] [ 1 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑥 ∗ = − − (𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑦 + 𝜎 𝐻𝑦 ) 𝜕𝑡 𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝑧 [ ] 𝜕𝐻𝑧 1 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 ∗ = − − (𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑧 + 𝜎 𝐻𝑧 ) 𝜕𝑡 𝜇 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ] [ 𝜕𝐸𝑥 1 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 = − − (𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑥 + 𝜎𝐸𝑥 ) 𝜕𝑡 𝜖 𝜕𝑦 𝜕𝑧 [ ] 𝜕𝐸𝑦 1 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧 = − − (𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑦 + 𝜎𝐸𝑦 ) 𝜕𝑡 𝜖 𝜕𝑧 𝜕𝑥 [ ] 𝜕𝐸𝑧 1 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 = − − (𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑧 + 𝜎𝐸𝑧 ) 𝜕𝑡 𝜖 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝐻𝑦. (1.35). (1.36) (1.37) (1.38) (1.39) (1.40). Para entender el principio del algoritmo de Yee vamos a deducir una de las ecuaciones del método DFDT, partiendo de la ecuación 1.35 y la figura 1.1 sobre la cara frontal. La discretización de las derivadas queda como la ecuación:. 11.

(30) 𝐻𝑥𝑛+1 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 − 𝐻𝑥𝑛 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1. 1 𝜇𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1. = Δ𝑡 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 − 𝐸𝑦 ⎛ 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+3∕2,𝑘+1 − 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎞ 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+3∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 − ⎟ ⎜ Δ𝑧 Δ𝑦 ⎟ ⎜ 𝑛+1∕2 ∗ 𝑛 ⎟ ⎜ − 𝜎 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 𝐻𝑥 −𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 ⎝ 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎠ 𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1. (1.41) La ecuación 1.41 utiliza valores temporales en el tiempo actual 𝑛 + 1∕2 y necesita conocer el campo 𝐻 en el tiempo posterior 𝑛 + 1, el cual aun no se tiene. Por lo tanto se usa la aproximación semi-implicita: 𝐻𝑥𝑛+1∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1. =. 𝐻𝑥𝑛+1 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 + 𝐻𝑥𝑛 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 2. (1.42). Reemplazando la ecuación 1.42 en la ecuación 1.41 y mutiplicando por Δ𝑡 se obtiene la ecuación: 𝐻𝑥𝑛+1 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 − 𝐻𝑥𝑛 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 =. Δ𝑡 𝜇𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1. 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 ⎛ 𝐸𝑦𝑛+1∕2 ⎞ − 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+3∕2,𝑘+1 − 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+3∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎜ ⎟ − Δ𝑧 Δ𝑦 ⎜ ⎟ ( 𝑛+1 )⎟ ⎜ 𝑛 𝐻𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 + 𝐻𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎜ ⎟ 𝑛 ∗ −𝐽 − 𝜎 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ (1.43). Colectando y despejando 𝐻𝑥𝑛+1 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 se obtiene la ecuación 1.44 para la componente 𝐻𝑥 utilizada en el método de DFDT aplicado a las ecuaciones de Maxwell.. 𝐻𝑥𝑛+1 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1. ⎛ ⎜1 − =⎜ ⎜ ⎜1 + ⎝. 𝜎 ∗ 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 Δ𝑡 ⎞ 2𝜇𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎟ 𝑛 ⎟𝐻 + 𝜎 ∗ 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 Δ𝑡 ⎟ 𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎟ 2𝜇𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎠. 𝑛+1∕2 ⎛ 𝐸𝑦𝑛+1∕2 ⎞ − 𝐸𝑦 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+3∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ ⎜ Δ𝑡 ⎛ ⎞ ⎟ Δ𝑧 ⎜ ⎟ ⎜⎜ 𝜇𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎟ 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 ⎜ ⎟ ⎜ 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+3∕2,𝑘+1 − 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎟ ∗ 𝜎 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 Δ𝑡 ⎟ ⎜− ⎜ ⎟ Δ𝑦 ⎜1 + ⎟⎜ ⎟ 2𝜇 ⎝ 𝑛+1∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎠ ⎜ ⎟ −𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 ⎝ ⎠. (1.44). A continuación presentamos las demás ecuaciones para completar las fórmulas de actualización espacio temporal de las componentes de campo magnético y eléctrico según el método de DFDT. 12.

(31) Las demás componentes de campo magnético son:. 𝐻𝑦𝑛+1. 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1. ⎛ ⎜1 − =⎜ ⎜ ⎜1 + ⎝. 𝜎 ∗ 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 Δ𝑡 ⎞ 2𝜇𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎟ 𝑛 ⎟𝐻 + 𝜎 ∗ 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 Δ𝑡 ⎟ 𝑦 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎟ 2𝜇𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎠ 𝑛+1∕2. 𝑛+1∕2. ⎛ 𝐸𝑧 𝑖+1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 − 𝐸𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎞ Δ𝑡 ⎞⎜ ⎛ ⎟ Δ𝑥 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 𝜇𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 ⎟⎜ ⎜ − 𝐸 𝐸 𝑥 𝑥 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 ⎟ 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+3∕2 𝜎 ∗ 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 Δ𝑡 ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ Δ𝑧 ⎟ ⎟⎜ ⎜1 + 2𝜇𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎠ ⎜ 𝑛+1∕2 ⎝ ⎟ −𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 ⎠ ⎝. (1.45). 𝑦 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1. 𝐻𝑧𝑛+1 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2. ⎛ ⎜1 − =⎜ ⎜ ⎜1 + ⎝. 𝜎 ∗ 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎞ 2𝜇𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ 𝑛 ⎟𝐻 + 𝜎 ∗ 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎟ 𝑧 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ 2𝜇𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎠. 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 ⎛ ⎞ 𝐸𝑥 𝑖,𝑗+3∕2,𝑘+1∕2 − 𝐸𝑥 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 ⎜ ⎟ Δ𝑡 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ Δ𝑦 ⎟⎜ ⎜ 𝜇𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ 𝑛+1∕2 𝑛+1∕2 ⎟ ⎜ 𝐸𝑦 ⎜ − 𝐸𝑦 𝑖+1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ ∗ 𝜎 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎟ ⎜− ⎜ ⎟ Δ𝑥 ⎟ ⎜1 + ⎟ 2𝜇𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎠ ⎜ ⎝ 𝑛+1∕2 ⎜ ⎟ −𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑧 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎝ ⎠. (1.46). Las componentes del campo eléctrico son:. 𝐸𝑥𝑛+1∕2 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2. 𝜎𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎞ 2𝜖𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 ⎟ 𝑛−1∕2 ⎟𝐸 + 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 𝜎𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎟ 𝑥 ⎟ 2𝜖𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 ⎠ 𝑛 𝑛 ⎛ 𝐻𝑧 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 − 𝐻𝑧 𝑖,𝑗,𝑘+1∕2 ⎞ Δ𝑡 ⎛ ⎞⎜ ⎟ Δ𝑦 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 𝜖𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 𝑛 𝑛 ⎜ ⎟ ⎜ 𝐻𝑦 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 − 𝐻𝑦 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘 ⎟ 𝜎𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎟ ⎜− ⎜ ⎟ Δ𝑧 ⎜1 + ⎟⎜ ⎟ 2𝜖𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2 ⎠ ⎜ ⎝ 𝑛 ⎟ ⎝ −𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 ⎠. ⎛ ⎜1 − =⎜ ⎜ ⎜1 + ⎝. (1.47). 𝑥 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1∕2. 13.

(32) 𝐸𝑦𝑛+1∕2. 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2. 𝐸𝑧𝑛+1∕2 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1. 𝜎𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎞ 2𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ 𝑛−1∕2 ⎟𝐸 + 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 𝜎𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎟ 𝑦 ⎟ 2𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎠ 𝑛 𝑛 ⎛ 𝐻𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 − 𝐻𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘 ⎞ Δ𝑡 ⎛ ⎞⎜ ⎟ Δ𝑧 ⎟ ⎜ ⎟⎜ 𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 𝑛 𝑛 ⎜ ⎟ ⎜ 𝐻𝑧 𝑖,𝑗+1,𝑘+1∕2 − 𝐻𝑧 𝑖−1,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎟ 𝜎𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 Δ𝑡 ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ Δ𝑥 ⎟ ⎜1 + ⎟⎜ 𝑛 2𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ −𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1∕2 ⎠ ⎝. (1.48). 𝜎𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 Δ𝑡 ⎞ 2𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎟ 𝑛−1∕2 ⎟𝐸 + 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 𝜎𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 Δ𝑡 ⎟ 𝑧 ⎟ 2𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎠ 𝑛 𝑛 ⎛ 𝐻𝑦 𝑖,𝑗+1∕2,𝑘+1 − 𝐻𝑦 𝑖−1,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎞ Δ𝑡 ⎛ ⎞⎜ ⎟ Δ𝑥 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 𝑛 𝑛 ⎜ ⎟ ⎜ 𝐻𝑥 𝑖−1∕2,𝑗+1,𝑘+1 − 𝐻𝑥 𝑖−1∕2,𝑗,𝑘+1 ⎟ 𝜎𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 Δ𝑡 ⎟ ⎜− ⎜ ⎟ Δ𝑦 ⎜1 + ⎟⎜ ⎟ 2𝜖𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎠ ⎜ ⎝ 𝑛 ⎟ −𝐽 𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑧 𝑖−1∕2,𝑗+1∕2,𝑘+1 ⎝ ⎠. (1.49). ⎛ ⎜1 − =⎜ ⎜ ⎜1 + ⎝. ⎛ ⎜1 − =⎜ ⎜ ⎜1 + ⎝. Estas son las ecuaciones que se implementan en el programa para la actualización de los campos en la malla principal en donde se considera que no hay fuentes de corriente eléctrica ni magnética por lo que haremos 𝐽𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0 y 𝑀𝑓 𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0. Se debe considerar que aunque se tenga índices semi-enteros, estos en la práctica se toman como enteros dentro de los programas de cómputo, pero tomando en cuenta de actualizar los campos en el orden temporal correcto. 1.3.2.4.. Dispersión númerica y estabilidad. El esquema propuesto por Yee es estable y libre de dispersiones, si se establece determinados criterios. Por ejemplo, el intervalo espacial Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧 puede tomarse de acuerdo a la resolución requerida y capacidad de memoria en la computadora. Para fines prácticos este debe ser mayor a 𝜆∕10 para el método DFDT en 3D, donde 𝜆 es la longitud de onda. Sin embargo para la estabilidad de la solución se usa el criterio de Courant, que en tres dimensiones se escribe como [Taflove and Hagness, 2005]: [. [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )] 𝑘𝑦 Δ𝑦 2 𝑘𝑥 Δ𝑥 2 𝑘𝑧 Δ𝑧 2 𝜔Δ𝑡 2 1 1 1 1 𝑠𝑒𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 + 𝑠𝑒𝑛 + 𝑠𝑒𝑛 𝑐Δ𝑡 2 Δ𝑥 2 Δ𝑦 2 Δ𝑧 2. (1.50) 14.

(33) Si tomamos el máximo valor posible en el lado derecho de la ecuación 1.50 debemos hacer: ( 𝑠𝑒𝑛. 𝑘𝑥 Δ𝑥 2. ). ( = 𝑠𝑒𝑛. 𝑘𝑦 Δ𝑦. ). ( = 𝑠𝑒𝑛. 2. 𝑘𝑧 Δ𝑧 2. ) =1. (1.51). Esto nos da la condicion 𝑘𝑥 Δ𝑥 = 𝑘𝑦 Δ𝑦 = 𝑘𝑧 Δ𝑧 = 𝜋 y por lo tanto 𝜔 = 𝑘𝑐 ≈ 𝜋𝑐∕Δ𝑥 para pequeños cambios espaciales Δ𝑥, Δ𝑦 y Δ𝑧. Como 𝑐 = 𝜆∕𝑇 ≈ Δ𝑟∕Δ𝑡 > Δ𝑥∕Δ𝑡. Entonces se tiene el resultado de la ecuación ( ) ( ) 𝜋𝑐Δ𝑡 𝜋𝑐 𝑠𝑒𝑛 ⩾ 𝑠𝑒𝑛 =1 (1.52) 2Δ𝑥 2𝑐 De este modo la ecuación 1.50 queda como: [. 1 𝑐Δ𝑡. ]2. [. 1 ⩾ Δ𝑥. ]2. [. 1 + Δ𝑦. ]2. [. 1 + Δ𝑧. ]2. (1.53). o también: Δ𝑡 ⩽ √ 1 𝑐 (Δ𝑥) + 2. 1 1 (Δ𝑦)2. (1.54) +. 1 (Δ𝑧)2. Esta expresión es el criterio de estabilidad de Courant aplicado a la malla en tres dimensiones. Debido a las múltiples aproximaciones númericas que ocurren en la fase de cálculo computacional, se suele evitar la igualdad de la ecuación 1.54. Para una malla con igual espaciamiento en las tres direcciones se puede utilizar: Δ𝑥 (1.55) Δ𝑡 < √ 𝑐 3 Según la relación de la ecuación 1.50 la velocidad de la onda depende de la dirección de propagación, es decir de las componentes del vector de onda 𝐤. Esta dependencia crea un medio anisótropo dentro de la malla de Yee, lo que conduce a una dispersión de la onda. En nuestro caso la onda viaja en dirección del eje x, por lo que no es necesario realizar una corrección por cambio de fase de la onda. Sin embargo, algunas ondas secundarias viajan diagonalmente y es inevitable que exista algo de dispersión en los resulados obtenidos. Según Taflove y Hagness [2005], la anisotropía entre la dirección diagonal y sobre el eje en una malla de dos dimensiones es aproximadamente 0,2 %.. 1.3.3.. Fronteras absorbentes ABC. En el mundo real las ondas eléctromagnéticas no están confinadas a una región del espacio, salvo que estén en dispositivos como cavidades o guías de ondas, donde la onda es reflejada con el propósito de permanecer restringida a moverse en una determinada región del espacio. El espacio matemático tal como es definido con el algorimo de Yee no considera fronteras y por lo tanto, cuando se restrinja el movimiento de la onda a ún número limitado de celdas, la onda sufrirá reflexiones que no están de acuerdo con el proceso físico real. Para lograr que las ondas no sean reflejadas se introducen las con15.

(34) diciones de frontera absorbentes, por primera vez propuestas, aunque parcialmente, por [Bayliss and Turkel, ]. Las condiciones ABC mas cercanas a las actualmente usadas son debido a Mur [Mur, 1981]. La condición de frontera que se ha implementado es de la forma presentada por [Roden and Gedney, 2000] y se denomina “Convolutional Perfectly Matched Layer” (CPML). A la fecha, este es el método computacional más robusto y eficiente para terminar una malla en DFDT [Gedney, 2011]. Este tipo de frontera es del tipo PML (Perfectly Matched Layer) modificada. En la figura 1.4 se muestra una descripción gráfica de la disposición de esta frontera en tres dimensiones. En general el espesor de la frontera puede ser diferente en cada dirección.. Figura 1.4 – Descripción de la zona de trabajo (volumen de interés) y las fronteras absorbentes tipo PML. En la figura no se muestra las fronteras de dos caras de la malla 3D.. En escencia la frontera CPML consiste en utilizar fórmulas modificadas para las componentes de los campos eléctrico y magnético, deducidas a partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en “coordenadas estiradas” del inglés: stretched coordinate. Las coordenadas complejas estiradas son la forma propuesta por [Kuzuoglu and Mittra, 1996]: 𝑠𝑖 = 𝜅𝑖 +. 𝜎𝑖 , 𝛼𝑖 + 𝑗𝜔𝜖0. (𝑖 = 𝑥, 𝑦 𝑜 𝑧). (1.56). Las expresiones finales para la actualización de los campos en la zona de frontera son [Taflove and Hagness, 2005]:. 16.