SOLUCIONARIO UNIDAD 1. NÚMEROS REALES

(1)

1. (5 - 8) - [(3 - 6) - 9] - (5 - 7) = - 3 - [ - 3 - 9 ] - (- 2) = - 3 +12 + 2 = 11 2. 5(-3) - (4 + 8 - 9)²+ (-3 + 6)²= -15 - 3²+ 3²= -15

3. 6(-3) - 4·7 + 5(-2) - (6 + 3 -10 )³= -18 -28 -10 - (-1)³= - 56 - (-1) = - 56 +1 = - 55

4. (3 - 7) - [(1 - 7) - (3 - 35)] - (2 - 28) = - 4 - [- 6 - (-32)] - (-26)= - 4 - [- 6 + 32] + 26 =- 4 - 26 + 26 = -4 5. 5²- [12 : 4 + 3(-7)] - 8 = 25 - [3 - 21] - 8 = 25 - (-18) - 8 = 25 + 18 - 8 = 35

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. 6/11 = 0,5454…. Periódico puro.

5/6 = 0,8333…… Periódico mixto.

58/99 = 0,5858… Periódico puro.

122/990 = 0,1232323… periódico mixto.

1 5 8

3 8

3 8 3 1

− = . Alos 3 =8

8 le corresponden 6 euros, a : le corrresponden 6 3 2 euros.

Luego, a le corresponden

: =

⋅ = = 8 1

8 8

8 1 88 2 16 euros.⋅ = 1 3

14 11 14

11

14 11 1

− = . A los 11 =14

14 le corresponden 33 m, a : le corresponden 33/11 3 m Luego, a le corre

=

⋅ = =

14 1 14

14

14 1 ssponden 14 3⋅ =42 metros.

3 4 36

3 36

4 27 27

= x = ⋅ = 36 x

; , la fracción es 3

4 1 2

3

4 2 1

4

5 4

1 16

5 4

2 2

⎛ −

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⎛ −

⎝⎜

⎞

⎠⎟= ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⎛−

⎝⎜

⎞

⎠⎟= ⎛−

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

: : : −− 4 = −

80 1 20 5

4 3 2

7 4

10 21

10 12

70 84

5 6

10 6

5 : 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+⎛ ⋅

⎝⎜

⎞

⎠⎟= + = + = =

1 6

1 10

1 15

1 3

2 15

3 10

5 6

19

+ + = ; + + =15

1 2

1 3

1 5

15 10 6 30

31 30

2 7

3 5

5 6

11 + + = + + = ; + − =210 2

3 5 2 5 3 3

17

3 10 3 2

2 10 3 2

17 2

7

9 1 16 9

2

3 2 4

+ = + ⋅ = ; − = ⋅ − = ; + = ; − = − 33 5

6 4 5

25 24 30

1 30

15 4

14 3

45 56 12

11 12

8 9

7 18

16 7 18

9

− = − = ; − = − = − ; − = − =18=11

2 UNIDAD 1. NÚMEROS REALES

SOLUCIONARIO SOLUCIONARIO

UNIDAD 1. NÚMEROS REALES

(2)

16. x = 0,1818….

100 x = 18,1818…, restando 100 x = 18,1818

x = 0,1818….

99 x = 18 entonces x = 18/99 = 2/11

0,3636… = 4/11 0,15272727…. = 42/275 0,363363… = 121/333

17. Escribe tres fracciones con denominadores 2²= 4, 2³= 8, 2⁴= 16 y comprueba que conducen a un decimal exacto, cualquiera que sea el numerador.

18. x = 0,999….

10 x = 9,999…, restando 10 x = 9,999..

x = 0,999….

9 x = 9 entonces x = 9/9 = 1

1,999… = 2 3,1999…. = 16/5 0,099… = 1/10

19.

0 2/3 1

-4/9 0 4/9 1

1 2 12/5 3

(3)

20.

21.

22. [-6, 2]

(4,

∞

) (-

∞

, -1)

23.

, los extremos del intervalo son: 6 - 3 = 3 y 6 + 3 = 9

24.

, como

-2 0 4

x x x

x x

≥ ≥ ≥

− ≥ → ≤ −

⎧⎨

5 5⎩ 5

5 5

, como

3

0 2 3 2

x− ≥1 3

-5 0 5

0 3 9

x− ≤6 3

x ≤ 1 ^-1 ⁰ ¹

-1 0

0 4

-6 0 2

0 1 2 2 6

6

2

(4)

25. [ -6, 10] es el conjunto de números que cumplen que [ -5, -1] es el conjunto de números que cumplen que

26. E = 1/ 3 - 0,33 =

27.

28. 2³· 3⁰= 8 · 1 = 8; (5 ·2)⁰= 10⁰=1; a^-3· a⁴= a^-3+4= a; (a^-1)⁰= a^{(-1) 0}= a⁰= 1

29.

30.

31.

32. 0,36790000 = 3,679·10^-1; 0,000000 827 = 8,27·10^-7; 1436,987 = 1,436987·10³ 33. 7,91 · 10⁶- 9,71 · 10³+ 7,19 · 10⁵+ 1,79 · 10⁴= (7,91 · 10³- 9,71 + 7,19 · 10²+

+ 1,79 · 10) · 10³= (7910 - 9,71 + 719 +17,9 ) · 10³= 8,637·10⁶ 34. Calculamos el número de segundos que tiene un año:

365 · 24 · 60 · 60 = 31 536 000 segundos.

Ahora multiplicamos esta cantidad por 300 000 km/s:

31 536 000 · 300 000 = 9,4608·10¹²km.

35.

36. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2 9 2 9 2 18

5 4 5 4 125 4 125 2

2 2 2 2

2

4 3 3 4 3 3

4 2 3

4

= = ⋅ = ⋅ =

= = ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅

125 2³ 125 2 2 250 2

3 3 4 3 3 3

(x x) x ; a b a b

x− − ≤( 3) 2 x− ≤2 8

5 1 5 1 5 ⁵0 0 0 81 3 3 64 2 2

1

5 4 4 4 6 6 6

= ⋅ =· ; = = ; = = ; = =

a b

b c

a

c a

b b

c a c

a b c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = ⋅

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⋅ = ⋅

−1 −2 3

2 3

3

1 1 2

5 3 2

3 3 2 5 3 3

2

2 5 3 2 5

9 8 5 72

4 2

3

4

1 3 2

2 3

⋅ ⋅

⋅⁻₋ ⋅⁻ = ⋅ ⁻₋ ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻ ⋅ ⁻ = ⋅ = 4 1

2 4 1

1 4

4 4 16 4 1 2

1 4

1 1 2

1 1

2

2 4

⋅⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = ⋅ = ⋅ = ⋅⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = ⋅

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=

−

− −

; 66 16 1

32 4 32 1 64

1

2 25 5 5

3 1

: =

⋅ ⁻ = ⋅ = ; ⋅ ⁻ =

E= 2 1 41 1 42 1 41 0 01− < − = e= E < = = 2

0 01

1 41 0 007 0 7

, , , , ; ,

, , , %

1 3

33 100

1 300

1300 13

3 300

1 100 1

− = e= = = = %

(5)

37.

38.

39.

40.

41.

20= 4 5⋅ = 4⋅ 5=2 5; 99=3 11; ³ 24=³8 3· =³8·³3=2 3³ ; ³81=3 3³

5 5

5 5 5 5

5 5

5 5 6

3

6 3 3 3

6 3

3 2 3

5 5

5 5 5 5

5 5

3

2 3

3 3 2

2 3

2

= ⋅ = = =

⋅ = =

= ⋅ = =

;

; x

33 x

3

2

3 3

2

6

2 2

6 2 2

2 2 2 2

6 2 2

4 2

6 2

= ⋅ = =

+ = −

+ − = −

− =

x x

x x

x x

x x

( )

( )( )

( )

( −− = −

− = +

− + = +

− = + = +

2

2 6 3 2

14

3 2

14 3 2

3 2 3 2

14 3 2 9 2

14 3 2

7 6 2 2

)

( )

( )( )

( ) ( )

11

3 2

3 2 3 2

3 2

3 2 3 2

4

7 3

4 7 3

7 3 7 3 7 3

+ = −

+ − = −

− = −

− = +

+ − = +

( )( )

( )

( )( )

15 5

15

5 3 112

7

112

7 16 4

30 56

6 30

5 36 6

3 4

2

= = = = =

= = ⋅ = = ⋅

⋅ =

;

; x x ( )

x x

x xx x

x

4 x

12 ⋅12 3 =12 7

2 18 36 6 3 9 27 3

5 3 5 3 5 3 5 3 2

8 3 7 8 3 7

3 3 3

2 2

⋅ = = ⋅ = =

+ − = − = − =

+ −

;

( )( ) ( ) ( )

( )( ))= − =64 63 1

8 18 98 2 3 2 7 2 2 2 3 2 7 2 2 2

45 180 20 3 5 6 5 2 5 7 5 2 27

3 2 2

+ − = + ⋅ − ⋅ = + − = −

+ − = + − =

− 22 12 9 75 47 3+ =

(6)

1. a) log381 = log33⁴= 4 ; b) log3243 = log33⁵= 5 ; c) log3729 = log33⁶= 6

2. a) ; b)

c)

3. a) log 10 = 1; b) log 100 = log 10²= 2; c) log 1000 = log 10³= 3

4. a) log 0,1 = log 10^-1= -1; b) log 0,01 = log 10^-2= -2; c) log 0,001 = log 10^-3= -3 5. a) log (a·b) = log a + log b = 1,39794 + 1,77815 = 3,17609.

b) log (a·b·c) = log a + log b + log c = 1,39794 + 1,77815 + 2,09691 = 5,273.

c)

d)

e) log a³= 3 log a = 3· 1,39794 = 4,19384

f) log (a²· b⁵· c³) = log a²+ log b⁵+ log c³= 2 log a + 5 log b + 3 log c =

= 2· 1,39794 + 5· 1,77815 + 3· 2,09691 = 17,97736.

g)

6. Precio en la tienda A : PA= 765(1 - 0,25) = 765· 0,75 = 573,75 euros.

Precio en la tienda B: PB= 742(1 - 0,20) = 742· 0,80 = 593,60 euros.

Es más barato en la tienda A

7. Podemos calcular el índice total: 0,78· 1,16 = 0,9048.

Aplicamos el índice a los precios y resulta:

El de 35; 35· 0,9048 = 31,668 . 31,67 euros El de 56; 56· 0,9048 = 50,6688 . 50,67 euros El de 85; 85· 0,9048 = 76,908 . 76,91 euros

8. Se aplica la fórmula y se despeja el precio inicial: 256 = Pi· 0,85.

9. Se aplica la fórmula y se despeja el precio inicial: 53,20 = Pi· 0,75.

10. Se aplica la fórmula y se despeja el tiempo.

20 = 4 000 · 0,06 · t ; 20 = 240 t ; años ; es decir, 1 mes .

11. Se aplica la fórmula; teniendo en cuanta que 8 meses son 8/12 años y se despeja el capital inicial.

400 0 1 8

12 400 0 1 2 3

3 400 0 2 6000

= ⋅ ⋅C , ; = ⋅ ⋅C , ; C= ⋅ =

, euros.

t= 20 = = 240

2 24

1 12 P_i =53 20=

0 75, 71

, euros

P_i = 256 = ≈ 0 85 301 1176 30 12

, , ,

log log( ) log log , ,

a b₄ ₃ a b a b

5

4 3

5

4 3

5

4 1 39794 3 1 77815

5 2

⋅ = · = + = ⋅ + ⋅ =

,,185242

loga b log log log , , , ,

c⋅ = a+ b− c=1 39794 1 77815 2 09691 1 07918+ − =

loga log , , ,

b= a−log 1 39794 1 77815b= − = −0 38021 log ,₂0 125 log₂1 log₂ ³

8 2 3

= = ⁻ = −

log ,₂0 25 log₂1 log₂ ²

4 2 2

= = ⁻ = −

log ,₂0 5 log₂ 1 log₂ ¹

2 2 1

= = ⁻ = −

UNIDAD 2. MATEMÁTICA FINANCIERA UNIDAD 2. MATEMÁTICA FINANCIERA

(7)

12. Se transformas los datos a los plazos indicados en el enunciado; 5% anual, son 5/2 = 2,5% semes- tral; el numero abono de intereses será 10 · 2 = 20 abonos; con estos datos se aplica la formula:

C = 200 000 · (1 + 0,025)²⁰= 200 000 · (1,025)²⁰= 327 723,28 euros.

13. Se aplica la fórmula y se despeja C (capital inicial):

100 000 = C (1 + 0,04)⁶= C (1,04)⁶= C · 1,2653319

14. Al rédito anual 9% le corresponde un rédito mensual 9/12 = 3/4 % = 0,0075 cada mes, el capital se multiplica por 1,0075; por tanto, en un año se multiplicará por

1,0075¹²= 1,0938069 . 1 + 0,0938 = 1 + . Luego la T. A. E será 9,38%

15. 800; 800 · 0,25 = 200; 200 · 0,25 = 50; 50 · 0,25 = 12,5; 12,5 · 0,25 = 3,125, y así sucesivamente.

La progresión será: 800, 200, 50, 12,5, 3,125,

16. a) El cociente 9/7 es distinto al cociente 3/1=3; por lo, que los números de esta serie no forman progresión geométrica.

b) Los cocientes de un término al anterior es constante.

c) Los cocientes de un término al anterior valen 0,1.

d) Los cocientes de un término al anterior es constante.

17. Se aplica la fórmula;

18. La razón de la progresión será : . El término a4= a3· r = 0,2· 5 = 1

El término a8= a1· r⁷= 0,008 · 5⁷= 625.

19. Se aplica la fórmula:

La secuencia siguiente determina el capital final:

1,07 8 1 1,07 1000 0,07 10977,989

El capital final será: 10 977,99 euros.

20. Aplicamos la fórmula:

12 1 0 06 1 0 06 1

0 06 12 1 06 1 06 1

0 06 0 7

A A ^t ^t

= ⋅ +( , ) (⋅ +

(

, ) −

)

₌ ⋅ −

, ; , ( , )

, ; , 22 1 06 1 06 1 1 06 1 0 72

1 06 0 6792452 1 06 1 679245

= ⋅ −

− = = =

. ( , )

, ,

, , ; , ,

t

t t

22; tlog ,1 06=log ,1 6792452;

x^y - = H H

÷

⁼

C A r r

r

t

= ⁽ + ^{) (}⎡⎣ + −⁾ ⎤⎦= ⁽ + ^, ^{) (}

(

+ ^, ⁾ −

)

₌

,

1 1 1 1000 1 0 07 1 0 07 1 ( 0 07

1000 1

8 ,, )( , )

,

07 1 07 1 0 07

8− 0 04

0 008, 5

, =

S a r

10 r

1

10 1 10

1

200 0 01 1

0 01 1 202 0202

= −

− = −

− =

( ) ( , )

, ,

2 3 2

2 9 2 3

2 27

2 9

2 9 2 27

1

= = = =3

·

· 1

4 1 2

1 8 1 4

1 16 1 8

1 32

1 16

16 32

1

= = = = =2

9 38 100

, C= 100000 =

1 2653319 79031 45

, , euros

(8)

Aproximadamente, 9 años.

21. Se aplica la fórmula y se despeja t. ;

126,22 = 450· 1,08 (1,08t -1) ; 126,22 = 486 (1,08t - 1)

Se toman logaritmos y queda:

La siguiente secuencia calcula t :

1.08 126,22 486 1 2,99993 El tiempo será: t = 3 años

22. Se aplica la fórmula y se tiene en cuenta que se capitaliza por meses. Al 6 % anual le correspon- de 6/12 = 0,5 % mensual y se realizan 15 · 12 = 180 pagos.

23. Se aplica la fórmula ; se opera sobre esta ecuación para transfor- marla en otra en la que se puedan tomar logaritmos.

Se toman logaritmos: t ln 1,06 = -ln 0,712; de donde

La siguiente secuencia calcula t: 1,06 10,712 5,8294789

Se toma como valor de t: 5,83 años, que corresponde a 5 años y 10 meses aproximadamente (0,83 = meses/12, meses = 0,83·12 = 9,96).

La secuencia siguiente determina la anualidad:

1.08 10 11 11 0,08 100000 14902.949

La anualidad que corresponde pagar es de 14 902,95 euros.

Por el préstamo devolvemos: 149 029,2 euros.

Intereses pagados: 149 029,2 - 100 000 = 49 029,2 euros.

x^y = - = Mⁱⁿ + = H H

÷

^{MR =}

A= ⋅ +

+ − =

100000 0 08 1 0 08 1 0 08 1

100000 0 08 1 0

10

· , ( , )

( , )

· , · , 88 1 08 1

10

, 10−

ln Mⁱⁿ ln ±

÷

^MR ⁼

t= −ln , ln ,

0 712 1 06 2500 1 06 1 720 1 06 1 06 1 0 288 1 06

1 0 288 1 06

( , ) · , ; , , · ,

( , )· ,

t t t t

t

− = − =

− ==1 0 712 1 06 =1 1 06 = 1 0 712

; , · , ; ,

,

t t

1 6792452

1 06 8 8995 log ,

log , ,

t= = años

2500 12000 0 06 1 06 1 06 1

= −

· , · , ,

t t

C=^{50 1 1 005}⋅ + ⋅ +

(

^{1 0 005} −¹

)

_{= ⋅} ^⋅ ⁻

0 005

50 1 005 1 005 1

180 180

( , ) ( , )

,

, ( , )

00 005 14613 64

, ≈ , euros

log Mⁱⁿ

÷

⁼ ⁺ ^{= log}

÷

^{MR =}

tlog , log , t

;

log , log , 1 08 126 22

486 1

126 22 486 1

= ⎛ + 1 0

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

⎛ +

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

88 126 22

486 1 08 1 126 22

486 1 1 08

, , ,

= ^t− → + = , ^t

1577 75 450 1 0 08 1 0 08 1 , ( , 0 08) ( , )

= ⋅ + ,⋅ +

(

^t −

)

(9)

Por el piso se habrá pagado: 20 000 + 15 · 10431,25 = 176 468,75 euros.

26. Se aplica la fórmula y se tiene en cuenta que los pagos son mensuales.

Por el coche se pagan: 24 · 617,66 = 14 823,78 euros.

27.

28.

29.

30. Tasa de variación Significa que el

=12980 13290− = − 12980 0 023, ííndice bajó un 2,3%.

a) I₁₉₉₅

2003

17 8 28 8 0 618

= , =

, , ó, multiplicado por 100, 61,8 ó, multiplicado por 100, 173,6 I₂₀₀₂

1986

25 14 4 1 736

= =

, ,

b) SSabemos que I luego

I

I I

20021980

19951980

19952000

198020

=78 8

=

,

000

20001980

17 8 29 1

17 8 29 10 788

17 8 0 788

29 0 484 48 8

= = = ⋅ =

, ,

,

, ,

I

ó

22002 1980

20021995

19801995

2517 8 1 0 484

25 0 484 17 8 0 6

=I = = ⋅ =

I

, ,

,

, , 779 67 9

0 788 29

0 788

20001980 2000

1980 1980

1980

ó

I x

x x x

,

, , ,

c) Si = = = = 229

0 788 36 8 , = , , es decir, el precio será 36,8 dólares el barrril.

a) I

I

2007 I

2001

20072004

20012004

0 9 1 1 16

0 9 1 16 1 044 104

= = , = ⋅ =

,

, , , ó ,, .

, , ; ,

,

4

5 8 1 16 5 8

1 16 5

20042001 2004

2001 2001

b) I x 2001

x x x

= = = = = €kgg

I x kg x

x x

20072004 2007

2004 2007

5 8 0 9 2007 0 9 5 8 5 22

= = = = ⋅ =

, , ; , , , €

años 2001 2002 2003 2004 2005 2006

parados 1930,1 2049,6 2096,9 2113,7 2069,9 2039,4

I_t/2001 100 106,1 108,6 109,5 107.2 105,6

I_t/2004 91,3 96,8 99,1 100 97,8 96,4

A= ⋅ +

+ − =

13520 0 0075 1 0 0075 1 0 0075 1

13520 0 0075 1 00

24

, ( , )

( , )

· , · , 775

1 0075 1 617 66

24

, 24 ,

− ≈ euros

A= ⋅ +

+ − = ⋅ ⋅

100000 0 062 1 0 062 1 0 062 1

100000 0 062 1 062

15

, ( , ) 1

( , )

, , ⁵⁵

1 06215 1 10431 25

, ,

− ≈ euros

(10)

1. a) Trinomio de grado tres; b) binomio de grado cuatro; c) monomio de grado cero.

2. Para x = 3; q(3) = 4· 3³- 7· 3²+ 5 = 50 Para x = 2; q(2) = 4· 2³- 7· 2²+ 5 = 9

Para x = -2; q(-2) = 4· (-2)³- 7· (-2)²+ 5 = - 55 Para x = -1; q(-1) = 4· (-1)³- 7· (-1)²+ 5 = - 6

3. 2p(x) + q(x) = 2(4x⁴+ 3x³- 8x²+ 10x - 5) + (2x³+ 3x²- 6x - 9) = 8x⁴+ (6x³+ 2x³) + + (-16x²+ 3x²) + (20x - 6x) + (- 10 -9) = 8x⁴+ 8x³- 13x²+14x - 19.

3p(x) - 2q(x) = 3(4x⁴+ 3x³- 8x²+ 10x - 5 ) - 2(2x³+ 3x²- 6x - 9) =12x⁴+ (9x³- 4x³) + + (- 24x²- 6x²) + (30x + 12x) + (-15 +18) = 12x⁴+ 5x³- 30x²+ 42x +3.

4. a) 3x²(x³- 4x -2) = 3x⁵-12x³- 6x²; b) 3x³(5x²+ 7x - 6) = 15x⁵+ 21x⁴- 18x³; c) 0,5x(4x³+ 6x + 16) = 2x⁴+ 3x² + 8x.

5. a) 6x⁴- 4x³+ 8x²= 2x²(3x²-2x + 4); b) 3x⁶+ 12x⁵- 18x³= 3x³(x³+ 4x²- 6).

6. a) ( x²+ 5x + 2)(x + 3) = ( x²+ 5x + 2) x +( x²+ 5x + 2) 3 = x³+ 5x²+ 2x + 3x²+ + 15x + 6 = x³+ 8x² + 17x + 6.

b) (x⁴- 2x²+ 6x - 4)(x² + 2x + 3) = (x⁴- 2x²+ 6x - 4) x²+ (x⁴- 2x²+ 6x - 4) 2x + + (x⁴- 2x²+ 6x - 4) 3 = x⁶-2x⁴+ 6x³- 4x² + 2x⁵- 4x³ + 12x²- 8x + 3x⁴- 6x²+ + 18x - 12 = x⁶+2x⁵+ x⁴+ 2x³+ 2x²+10x -12.

c) (2x³- 3x²+ 4)(x²+ 3) = (2x³- 3x²+ 4) x²+ (2x³- 3x²+ 4) 3 =

= 2x⁵- 3x⁴+ 4x²+ 6x³- 9x²+12 = 2x⁵- 3x⁴ + 6x³- 5x²+ 12.

d) (4x⁴+ 5x²+ 3x)(x²+ 3x -6) = (4x⁴+ 5x²+ 3x) x²+ (4x⁴+ 5x²+ 3x) 3x +

+ (4x⁴+ 5x²+ 3x)(-6) = 4x⁶+ 5x⁴ + 3x³ + 12x⁵ + 15x³ + 9x²- 24x⁴- 30x²- 18x =

= 4x⁶+ 12x⁵- 19x⁴+ 18x³- 21x²- 18x.

7. a) (2x + 3)²= 4x² + 12x + 9 ; b) (3x - 2)²= 9x²- 12x + 4;

c) (3x + 2 )( 3x - 2) = 9x²- 4;

d) (2x²+ x - 3)²= (2x²+ x - 3) (2x²+ x - 3) = 4x⁴+ 4x³- 11x²- 6x + 9.

8. a) (36x⁴- 16x³+ 8x²) : (4x²) = 9x²- 4x + 2;

b) (24x⁵- 12x³+ 18x) : (-3x) = - 8x⁴+ 4x²- 6.

UNIDAD 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS UNIDAD 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

(11)

9. El grado del cociente será 6 - 2 = 4. El grado del resto es menor que 2.

10. a) Cociente: 2x +1; resto: cero; b) cociente: 2x - 2; resto: cero.

11.

x⁴ + 2 x²+ a x + b x²- 3 x + 2 - x⁴+ 3 x³ - 2 x² x²+ 3 x + 9

3 x³+ + a x + b - 3 x³+ 9 x² - 6 x

9 x²+ (a - 6) x + b - 9 x² + 27 x - 18

(a + 21) x + (b - 18) Resto Queremos que el resto sea cero: ; Solución: a = - 21 y b = 18

12. a) Cociente = 2; resto = 0; .

b) Cociente = 3; resto = 12;

c) Cociente = 4x - 14; resto = 50;

d) Cociente = 2x - 3; resto = - 9x+11;

e) Cociente = 2x²- 12x + 40; resto = - 139x + 84;

f) Cociente = 2x³+ 4x²+ 12x + 24; resto = 47x + 12;

13.

a) 2 x³ + 2 x² + a x + b x²- 3 x + 2 - 2 x³ + 6 x² - 4 x 2 x + 8

8 x²+ (a - 4) x + b - 8 x² + 24 x - 16

(a + 20) x + ( b - 16)

2 4 12

2 2 4 12 24 47 12

2

5 3

2

3 2

2

x x x

x x x x x x

x x

+ − +

− = + + + + +

−

2 6 5 4

3 2 2 12 40 139 84

3 2

4 3

2

x x x

x x x x x

x x

− + +

+ − = − + + − +

+ −

6 17 5 8

3 4 1 2 3 9 11

3 4 1

3 2

2 2

x x x

x x x x

x x

− + +

− + = − + − +

− +

4 2 8

3 4 14 50

3 x2 x

x x

x

− ++ = − + + 6 12

2 3 12

2 x

x x

+ = +

4 6

2x 3 2 x

++ = a b

+ =

− =

⎧⎨

⎩

21 0 18 0

(12)

Deseamos que el resto sea x + 7:

Solución: a = -19; b = 23.

b) 4 x³ + 2 x² + a x + b x²+ 2x - 4 - 4 x³ - 8 x² + 16 x 4 x - 6

- 6 x²+ (a + 16) x + b 6 x² + 12 x - 24

(a +28) x + ( b - 24) Deseamos que el resto sea x + 7:

Solución: a = - 27; b = 31.

14. a) Cociente: x²+ 5x -1. Resto: 8 b) Cociente: 2x²+ 4x + 4. Resto: 14 c) Cociente: 4x²- 12x + 26. Resto: - 74 d) Cociente: x³- 2x²+ x + 3. Resto: 1

15. Por el teorema del resto: a) El valor numérico para x = 1 es 8; b) El valor numérico para x = 2 es 14; c) El valor numérico para x = -3 es -74; d) El valor numérico para x = -2 es 1.

16. a) 1 1 4 6 9

5 -1 8

Para el resto seguir la secuencia correspondiente y comprobar los resultados.

b) 14; c) -74; d) 1.

17. Se aplica la regla de Ruffini.

a) 2 -8 9 m 3 6 -6 9

2 -2 3 m + 9 = Resto Deseamos que el resto sea cero; m + 9 = 0; m = - 9 b)

2 - 8 9 m -2 - 4 20 - 58

2 - 10 29 m - 58 = Resto Deseamos que el resto sea cero; m - 58 = 0; m = 58

Mⁱⁿ H + = H MR - = H MR + =

a b

+ =

− =

⎧⎨

⎩

28 1 24 7 a

b + =

− =

⎧⎨

⎩

20 1 16 7

(13)

18.

1 - 7 2 4 a -2 - 2 18 - 40 72

1 - 9 20 - 36 a + 72 = Resto

Deseamos que el resto sea 130; a + 72 = 130; a = 58 19.

3 0 - 6 b a 2 6 12 12 2b + 24

3 6 6 (b + 12) (2b + a +24) = Resto

3 0 - 6 b a -3 - 9 27 - 63 - 3b +189

3 - 9 21 (b - 63) (-3b + a + 189) = Resto se imponen las condiciones que indica el enunciado.

; se resuelve al sistema: y se obtiene a = - 88 ; b = 32.

20. Seguir las secuencias:

1 1 0 3 2 9

1 -2 0 9 = p(1)

2 1 0 3 2 9

2 1 4 17 = p(2)

-2 1 0 3 2 9

- 2 1 0 9 = p(2)

21. Se aplica Ruffini y el resto debe dar cero:

a) Cociente 5x²+ 2x + 3; resto 0.

b) Cociente 4x²+ 3x - 5; resto 0 c) Cociente x⁴- x³- 3x²- 3x + 11; resto 0 d) Cociente 6x²- 13x + 6; resto 0.

Mⁱⁿ H + = H MR - = H MR + = H MR + =

a b

+ + =

− + =

⎧⎨

⎩

2 24 0 3 189 5

(14)

22. Un polinomio de tercer grado puede tener como máximo tres raíces.

Las posibles raíces enteras son

1 2 - 5 - 6 2 2 8 6

1 4 3 0 = resto

Una de las raíces es x = 2; las otras posibles se obtienen de la ecuación:

x²+ 4x + 3 = 0.

La soluciones de esta ecuación son x = - 1 y x = - 3.

23. El polinomio p(x) tiene por raíces x = 2, x = -3 y x = 4.

El polinomio q(x) tiene por raíces x = 3, x = 3,5 y x = 4,4.

24. a) Las raíces enteras del polinomio se encuentran entre los divisores de 1; es decir, {±1}.

Se aplica Ruffini dividiendo por x -1 y se obtiene resto cero y cociente x²- x +1, que no tiene raíces; por tanto, el polinomio propuesto tiene por raíz x = 1.

b) Las raíces enteras del polinomio se encuentran entre los divisores de 12; es decir, {±1, ±2,

±3, ±4, ±6, ±12}.

Se aplica Ruffini dividiendo por x + 4 y se obtiene resto cero y cociente x²- 2x + 3, que no tiene raíces; por tanto el polinomio propuesto tiene por raíz x = - 4

25. Se aplica Ruffini.

1 a - 5 b

3 3 3a + 9 9a + 12

1 a + 3 (3a + 4) ( 9a + 12 + b) = Resto

1 a - 5 b -1 -1 - a + 1 a + 4

1 a - 1 (- a - 4) (a + 4 + b) = Resto

Los restos deben ser cero por tanto: .

Las soluciones del sistema son: a = - 1 y b = - 3.

9 12 0

4 0

a b

+ + = + + =

⎧⎨

⎩

± ± ± ±

{

^{1 2}^, ^, ³^, ⁶

}

(15)

26. Se aplica Ruffini.

a) x³+ 6x²- x - 30 = (x - 2)(x + 3)(x + 5) b) x³+ 2x²- 5x - 6 = (x + 1)(x - 2)(x + 3) c) x³+ 5x²+7x + 3 = (x + 1)²(x + 3) d) x⁴- 10x²+ 9 = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 3)

27. Son igualdades notables:

a) x²- 8x + 16 = (x - 4)² b) x⁴+ 12x²+ 36 = (x²+ 6)² c) x²- 25 = (x + 5)(x - 5) d) 9x²- 25 = (3x + 5)(3x - 5)

28. Se aplica Ruffini y la formula de la ecuación de segundo grado.

a) 2x³+ 11x²+ 2x -15 = (x -1)(x + 5)(2x + 3) b) 3x⁴ -18x²+15x =

c) 4x²+ 12x + 9 = (2x + 3 )² d) 25x²- 4 = (5x + 2)(5x - 2)

29. Se descomponen en producto de factores los polinomios p(x) y q(x):

p(x) = (x + 1)(x - 1) ; q(x) = (x - 1)²

M.C.D. [p(x),q(x)] = x - 1; M.C.M. [p(x), q(x)] = (x+1)(x-1)²

30. Se descomponen en producto de factores los polinomios p(x) y q(x):

p(x) = x(x - 5)³; q(x) = x³(x + 1)(x - 5).

M.C.D. [p(x),q(x)] = x(x - 5) ; M.C.M.[p(x), q(x)] = x³(x - 5)³(x + 1)

31. Se descomponen en producto de factores el numerador y el denominador.

a) ; b)

32. Se calcula el M. C. M. De los denominadores de cada una de las fracciones.

a) M.C.M. = (x - 1)(x - 2)(x - 3) x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

−

− + + −

− + = −

− − + −

− − = − −

1

5 6

2

4 3

1

3 2

2

1 3

1

2 2 ( )( ) ( )( )

( )( 11 2 2

1 2 3

2 1 4 4

1 2

2 2

) ( )( )

( )( )( )

( )( )(

+ − −

− − − =

− + + − +

− − −

x x

x x x

x x x x

x x x 33

2 6 5

6 11 6

2

3 2

) = − +

− + −

x x

x x x

x x

2

4 3

2

1 3

1 2

3 2

+ +

− − = + +

+ − = +−

( )( )

x x x

x x

3 2

3 2 2

4 6

7 16 12

1 2 3

2 3

1 2

+ + −

+ + + = − + +

+ + = −+

( )( )( )

( ) ( )

3 1 1 21

2

1 21 x x( − )⎛x− + x 2

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ −⎛ −

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

(16)

b) M.C.M. = x³- 1.

c) M.C.M. = (x - 1)²(x + 1)

d) M.C.M. = (x + 2)(x - 3)(x + 3)

33.

a)

b)

4 2 1

2 1

4 1 2 1

1 1

4 4 2

2 2 2

2

x x

x x x

x x

x x x

− + + +

− = + + + −

− + = + + + −

( ) ( )( )

( ) ( ) (xx x

x x

− + = + +

− +

1 1

5 2

1 1

2

) ( ) ( ) (2 ) x

x x

x x x

x

x x x

x

x x

x

− + + −

− = − − −

− = − + −

− = − +

2 1

2 1 2

1

2 2 2 1

4 2

2 3 3

2

3

( )( ) 2

33−1

3

5 6

2 6

3 3 2 3

2 3 3

3 9

2 2

x x

x

x x

x x x

x x

+ + − −

− − = − − − +

+ − + = − −

( ) ( )( )

( )( )( )

22

3 2

2

3 2

6

2 9 18

2 3

2 9 18

− +

+ − − = − + −

+ − −

x

x x x

x x

x x x

x x

x

2

4 4 2

6 2 3

4 4

6 3 2

2 3

3

+ +

− −

+− = + +

− − ⋅ −+ = + −

: ( − ) ( )

( )((x+ ) = 2₂ 1

x x

x

x x

x x x

x x

2

2 2

4 4

1

1 2

2 1

1 1 2

2 1

− +

− ⋅ −

+ = − −

− + + = −

+

( ) ( )

( )( )( )

( )

( )(xx+ 2)

(17)

INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

Actividad 1

a) Soluciones: x = 2 y x = 3.

b) Soluciones: x = 2 y x = 3.

Actividad 2

Soluciones: x = -- 1 y x = 0.

Actividad 3

a) Por ejemplo 3x – 12 ≤ 6 ; x – 4 ≤ 2 ; – x + 4 ≥ – 2.

b) 2x + 8 > – 4 ; x + 4 > – 2 ; 2x > – 12.

c) 5x + 3 < 2x – 4; 10x + 6 < 4x – 8; 3x < – 7.

Actividad 4

Se trasforma la primera en la segunda aplicando los principios de equivalencia.

Ecuación:

Multiplicar por 3: 3x – 5x + 24 < 6.

Transponer términos: – 2x < – 18.

Multiplicar por – 1: 2x > 18.

Actividad 5

Se transforma la primera en la segunda aplicando los principios de equivalencia.

Ecuación:

Multiplicar por 6: 9x + 48 ≤ 12 + 2x.

Transponer términos: 9x + 36 ≤ 2x.

Dividir por 9:

Actividad 6 a)

La solución gráfica es:

b)

-6 0

x x

x x x x

+ < +3 + < + < − < − 3

1

5 ; 5 15 3 3 2; 12; 6.

-2 0 2 12

3 4

5 8 3 4 40 3 36 12

x+ > ; x+ > ; x> ;x> .

x x

+ ≤4 2 9 .

3 3

2 8 2 1

x− x+ ≤ +3x. x−5x+ <

3 8 2.

INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

(18)

c)

d)

e)

f)

Actividad 7

Actividad 8

Las soluciones son los semiplanos coloreados:

a) b) c) d) e)

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

II

+ I

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

II

I +

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

I

+

II

I

II +

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Sea el peso del paquete.Coste 1º p = +3 0 10p Coste 2º=

100, 4

; ,55 0 06

100 3 0 10

100 4 5 0 06 100 300 0 1 450 0 06 0

+ → + = + →

→ + = + →

, ,

p p p

p p

,,040p=150→ = 3 750 gramos.p -1 0 1 3

1 2

1 3

5 5 5 2 6 3 3

+ < +x x + < + − < − >

x x x x

; ; ; .

-6 -1 0 1

-1 0 1

-2 0 2

x x

x x x x

− ≥ −2 − ≥ − − ≥ − ≤

4

2 4

3 ; .3 6 8 16; 5 10; 2

x x x x

x x x x x

+ − ≤ + − +2 + − ≤ + − − ≤ −

6 24 1 3

1

4 ; 4 8 8 8 6 6; 6.

x x x

x x x x x

+ ≥ + − +2 + ≥ + − − ≥ − ≥ −

3 9

24

1

4 ; 8 16 9 6 6 13; 13; 1.

(19)

Actividad 9

La soluciones son los semiplanos coloreados.

a) b) c) d)

Actividad 10

En primer lugar se simplifica:

Se suma –x + y a los dos miembros:

Se opera:

Se multiplica por (–10) : 25x – 6y < 20.

Se representa gráficamente.

Actividad 11

Actividad 12

a) Se representa la recta 3x + 4y = 12; los puntos del semiplano en color azul, incluida la frontera es la solución general.

b) La inecuación simplificada es x – 3y > 0; se representa la recta x – 3y = 0, los puntos del semiplano azul son la solución general; los puntos de la recta frontera no son solución.

c) La inecuación simplifica es 4x + 3y < 6; se representa la recta 4x + 3y = 6, los puntos del semiplano azul son la solución general, los puntos de la recta frontera no son solución.

d) La inecuación simplificada es –3x + 4y ≥ 24; se representa la recta –3x + 4y = 24, los puntos del semiplano azul son la solución general de la inecuación, los puntos de la recta frontera también son solución.

a) 3 5

2 6 10 5 10 2

x x

x x x x

− > ; − > ; > ; > . La solución general es el intervalo: (2, ) . La

∞

− < − − < − < <

b) 6x 12 3(x 1 6); x 12 3x 3 3; x 9;x 3 solución general es el intervalo: ( )

;

− ∞

− ≤ +

, 3 6 12 3

2 6

c) x x

112x− <24 3x+12 9; x≤36;x≤4. La solución general será el inteervalo: ( , 4]

; L

− ∞

− − ≥ − − − ≥ − ≥ ≥

d) 3 6

2 3 2 6 12 6 4 9 18 2

x x

x x x x; x ;x . aa solución general será el intervalo: [2, )∞

−5 + > − 2

3

5 2

x y .

−3 − − + > − 2

2

5 2

x x y y .

0 ≤6 +

0 ≥9 0 ≤3

+

0 ≥12 +

II

4 2

-2 -4 -6

-1 1

I

(20)

Soluciones gráficas:

a) b) c) d)

Actividad 13

a) x²-- x -- 6 ≥ 0 Se descompone el trinomio (x -- 3)(x + 2) ≥ 0 Se divide la recta en los intervalos (-- ∞, -- 2) (-- 2, 3) (3, ∞).

Se toman valores en los intervalos y se ve si cumplen la inecuación.

Para x = -- 3; (-- 3 -- 3)(-- 3 + 2) ≥ 0; -- 6·(-- 1) ≥ 0 verdadero; la solución es el intervalo (-- ∞, -- 2]

Para x = 1; (1 -- 3)(1 + 2) ≥ 0; -- 2·3 ≥ 0, falso, el intervalo (-- 2, 3) no es solución.

Para x = 4; (4 -- 3)(4 + 2) ≥ 0; 1·6 ≥ 0, verdadero, el intervalo [3, ∞) es solución.

b) x²-- 4x + 4 ≤ 0. Se descompone el trinomio (x –2)²≤ 0 únicamente se cumple para x = 2.

c) x²-- 5x + 6 ≥ 0; se descompone el trinomio, (x -- 3)(x -- 2) ≥ 0

Para x = 1; (1 – 3)(1 – 2) =( -- 2)·(--1) ≥ 0; verdadero, (-- ∞, 2] es solución.

Para x = 2,5; (2,5 – 3)(2,5 – 2) = (-- 0,5)(0,5) ≥ 0; falso, (2, 3) no es solución.

Para x = 4; (4 – 3)(4 – 2) = 1·2 ≥ 0; verdadero, [4, ∞) es solución.

Actividad 14

Se representa las funciones cuadráticas correspondientes y a partir de ellas se obtienen las soluciones.

a) b)

a) Solución [– 3, 2] b) Solución (–∞, ∞) Actividad 15

a) 2 1 3 4 1

3 1 2 7

2 2 3 4 1

3 3 2 7

2

( ) ( )

(x ) x ; ;

x x

+ + ≥ +

− ≤ −

⎧⎨

⎩

+ + ≥ +

− ≤ −

⎧⎨

⎩

− xx x

x x

≥ −

≤ −

⎧⎨

⎩

≤

≤ −

⎧⎨

⎩ −∞ −

4 4

2

4 4

; ; ( , ].

(-3, 0) (2,0)

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

-1 1 2 3 4 3x + 4y = 12

+

4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 3y = 0−

+

15 10 5

-5 -10

-15 -10 -5 5 10 15 + 3x + 4y = 24

+ 20

(21)

Actividad 16

a) Si 3 6 0 entonces 2 4 2 3 6; sistema 3 6 0 4 16 0

x x x x

+ > − ≤ + x+ >

− − ≤

( ) ⎧⎧

⎨⎩

> − ≥ −

Solución analítica: x 2 y x 4; o sea el intervalo Si entonces ; sistema

( , )

( )

− ∞

+ < − ≥ +

2

3 6 0 2 4 2 3 6 3

x x x x++ <

− − ≥

⎧⎨

⎩

< − ≤ −

6 0 4 16 0

2 4

x

x x

Solución analítica: y ; o seaa el intervalo La solución de la ecuación s

(−∞ −4, ] eerá:

Si entonces ; sistema

( , ] ( , )

( )

−∞ − − ∞

− > ≤ −

4 2

4 0 5 4

∪

b) x x x

Solución analítica: y ; o sea, el x x

x x

− >

− ≥

⎧⎨

⎩

> ≥

4 0 4 20 0 4 5 intervalo Si entonces ; sistema

[ , )

( )

5

4 0 5 4 4

∞

− < ≥ − −

x x x x <<

− ≤

⎧⎨

⎩

< ≤

0 4 20 0

4 5

x

x x

Solución analítica: y ; o sea, el interrvalo La solución de la ecuación será:

( , ) ( , ) [ ,

−∞

−∞ ∞

4 4 ∪ 5 ))

( )

c) Si 2 8 0 entonces ; sistema4 2 8 3 8 2 8 0 5 40

x x x x

+ > + < − x + >

+ < 00

4 8

⎧⎨

⎩

> − < −

Solución analítica: x yx ; o sea, el intervalo vvacio.

Si 2 8 0 entonces 4 2 8 3 8; sistema 2 8 0

x x x 5x

+ < + > − x + <

( )

++ >

⎧⎨

⎩

< − > −

40 0

4 8

Solución analítica: x y x ; o sea, el intervaalo Solución de la ecuación

Si entonc

( , ) ( , )

− −

>

8 4 8 4

0

d) x ees ; sistema

Solución analítica: x >

2 8 4 0

2 8 0

x x x

+ > x >

− <

⎧⎨

⎩

00 y x < 4; o sea, el intervalo (0, 4) Si x < 0 entonces 2x + 8 < 4x, sistema

Solución analítica: x < 0

x x

<

− >

⎧⎨

⎩ 0

2 8 0

y x > 4; o sea el intervalo vació.

Solución de la ecuaciónn (0, 4) b)

x x

− + ≤ − + + ≥ +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

− + ≤ −

+ + ≥ +

⎧ 2

4 2 3

1 6 4

2 1 5

2 10

3 6 8 2 2

5 20 2 2

; ⎨⎨

⎩

≤ −

≥ −

⎧⎨

⎩

≤ −

≥ −

⎧⎨

⎩ − −

; x ; ; [ , ].

x

x x 4

4 20

4

5 5 4

(22)

Actividad 17

a) b)

Actividad 18

a) b)

Actividad 19

Se representan los semiplanos solución de cada inecuación, la intersección nos da la solución del sistema.

Actividad 20

a) b) c) d)

-2 2 4

A(2,6) 12 10 8 6 4 2

6 4 2

-2 -4

-5 5 10 15 +

+ 6 4 2

-2 -4

-5 5 10 15

5 4 3 2 1

-1

-2 2 4

+

(2, 4)

+ + (2,22, 2,22)

+

(4, 2) +

+ 6 4 2

-2 -4 -6

-4 -2 2

(23)

Actividad 21

a) Se determinan las soluciones de cada una de las inecuaciones. El conjunto de las soluciones son los puntos del triángulo de color y el punto (5, 7) es solución del sistema ya que cumple las tres inecuaciones.

b) En este caso el conjunto de las soluciones es la región abierta de color.

c) No tiene solución.

a) b) c)

Actividad 22

Las soluciones aparecen en color:

a) b)

Actividad 23

Las soluciones aparecen en color:

a) b)

+ (3, 1)

0,5

- 0,5

-0,5 0,5

(4, 1)

(4, 0) y

x +

(5, 7)

y

x +

(5, 7)

y

x +

(5, 7)

(24)

1. a) Ecuación; b) identidad; c) ecuación; d) identidad.

2. a) 2·3²- 4·3 - 6 = 0; 0 = 0; si es solución; b) 3²+ 3 - 6 = 0; 6 = 0, falso no es solución.

3. Ejemplos : 2x = 10 ; 3x - 2 = 13.

4. a) 5 + 4x + 5(1 + 3x) = - 4(3 - 2x); 5 + 4x + 5 +15x = -12 + 8x; 19x - 8x = -12 - 10;

11x = - 22 , x = -2.

b) 5x - 2(x - 1) + 5(2 + 3x) = 3(x - 1); 5x -2x + 2 +10 + 15x = 3x - 3;

5x - 2x + 15x - 3x = - 2 -10 - 3, 15x = -15 ; x = -1

c) 6(x - 10) = -3(2x - 7) - 34; 6x - 60 = - 6x + 21 -34; 6x + 6x = 21 -34 + 60;

12x = 47; x = 47/12

d) 8(6 + 2x) = 4(2 - 3x) - 72; 48 + 16x = 8 - 12x -72; 16x + 12x = 8 -72 - 48;

28x = -112; x = - 4

5. a) ; M C M = 8; 2x + 64 = 3x - 2; x = 66

b) ; M C M = 16; 40 -2x - 10x - 3 = 40 - 40x;

28x = 3 ; x = 3/28.

c) ; M C M = 6; 6x - 9 + 102 = 8x + 6 + x + 3; -3x = - 84; x = 28.

d) ; M C M = 24;

9x + 51 - 8 + 32x = 6 - 6x - 36 - 4x; 51x = - 73; x = -73/51

e) ; M C M = 6; 9x - 3 - 2x - 6 = 3x + 3; 4x = 12; x = 3

6. a) x - 3 = ± 8; x = 11, o x = - 5; b) x²+ 10x + 25 = (x + 5)²= 0; x + 5 = 0 ; x = - 5;

c) x²+ 2x - 15 = (x + 1)²- 1 - 15 = 0; (x + 1)²= 16; x + 1 = ± 4; x = 3, o x = -5.

d) x²- 8x + 15 = (x - 4)²- 16 + 15 = 0; (x - 4)²= 1; x - 4 = ± 1; x = 5, o x = 3.

7. a) Soluciones x = 2 y x = 1; b) soluciones x = 4 y x = -7; c) soluciones x = 3/2 y x =- 5; d) soluciones x = 1/3 y x = 1/4; e) soluciones x = 6 y x = -7.

8. a) 4 2 1 ; M C M = 5x ; 20 - 2x²- x = 5x; 2x²+ 6x - 20 = 0;

5 1

x

− x+ = 3 1

2

3 3

1 2 x− − + = +x x 3 17

8

1 4 3

1 4

9 6 x+ − − = − − +x x x

2 3

2 17 4 3

3

3 6 x− + = + + +x x 20

8

10 3 16

10 10

− − + = −x x 4 x

x x

4 8 3 2

+ = 8−

UNIDAD 4. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES UNIDAD 4. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES

(25)

x²+ 3x - 10 = 0: soluciones x = 2 y x = -5.

b) ; M C M = (x + 2)(3x - 1); 2(3x-1) -1(x + 2) = 4;

5x = 8; x = 8/5.

9. Se calculan los puntos de corte con los ejes y el vértice y se construye una tabla de valores.

10. a) Soluciones: x = 6 y x = -2; (x - 6)(x + 2) = 0.

b) Soluciones; x = 5 y x = 1; 3(x - 5)(x - 1) = 0.

c) Soluciones x = -1 doble; 3(x + 1)²= 0.

d) No tiene solución y por tanto no se factoriza.

11. a) x = 4 y x = 2; b) x = - 3 y x = 2; c) x = 5 y x = - 6; d) x = 7 y x = - 9.

12. a) x = 5 y x = - 5; b) x = 1 y x = - 1; c) x = 0; d) 2x²- 3x = x(2x - 3) = 0; de donde, x = 0 y x = 3/2.

13. a) - 3x + x²= x(- 3 + x) = 0; de donde, x = 0 y x = 3.

b) - 5x = x²; x²+ 5x = x(x + 5) = 0; de donde, x = 0 y x = - 5.

c) x²+ 10 = 19; x²= 9; de donde, x = 3 y x = - 3.

d) x² + 3x = 17x; x²-14x = 0; x(x - 14) = 0; de donde, x = 0 y x = 14.

14. a) x⁴- x³- 6x²= 0; x²(x²- x - 6) = 0; de donde ; las soluciones de estas ecua- ciones son x = 0 ; x = 3 y x = - 2.

b) x³+ 5x²- x - 5 = 0; se aplica Ruffini para dividir por x +1 y se obtiene como cociente x²+ 4x - 5, se resuelve la ecuación x²+ 4x - 5 = 0 y se obtienen las soluciones; x = 1; x = - 5, esta junto a x = -1 serán las soluciones de la ecuación propuesta.

c) 16x³- 16x²- 9x + 9 = 0; se aplica la misma técnica que para el ejercicio anterior y se obtie- nen las soluciones: x = 1; x = 3/4 y x = - 3/4.

d) x³- x²- 14x + 24 = 0; se resuelve como las dos anteriores las soluciones son: x = 3; x = 2 y x = - 4.

x

x x

2

0 6 0

=

− − =

⎧⎨

⎪

⎩⎪

(0,78 , 0) (5,25 , 0)

+ (3 , 2,5)

(- 4,24 , 0) (5,40 , 0)

(2, 6)

2 2

1 3 1

4 2 3 1 x+ − x− =(x+ )( x− )