Relaci¶ on de Problemas M¶³nimos de C¶ alculo de I.T.T.
Curso 2000/2001
Tema 1: L¶³mite y Continuidad
1. Resolver los siguientes l¶³mites:
a) lim
n!1 µ n
n2+ 1 + n
n2+ 2 + : : : + n n2+ n
¶
b) lim
n!1
ln n n c) lim
n!1
pn
n2+ n d) lim
n!1
ln
µ
1 +1
2 + ¢ ¢ ¢ + 1 n
¶
ln(ln n)
2. Estudiar la existencia de los siguientes l¶³mites, y calcular su valor o el de sus l¶³mites laterales, cuando existan:
a) lim
x!2
x2+ x ¡ 6
x2¡ 4 b) lim
x!1
xp
x ¡ x +p x ¡ 1 x ¡ 1
3. Probar que existe un n¶umero real x0tal que:
x50¡ 4x0+ 1 = 7; 21 4. Describir el dominio de los siguientes campos escalares:
a) f(x; y) =
px2+ y2¡ 9
x b) g(x; y; z) = x
p9 ¡ x2¡ y2¡ z2 5. Hallar, si existen, los siguientes l¶³mites:
a) lim
(x;y)!(0;0)
Ãx2¡ y2 x2+ y2
!2
b) lim
(x;y)!(0;0)
x2¡ y2
x2+ y2 c) lim
(x;y)!(0;0)
x2+ y3 x2+ y2 d) lim
(x;y)!(0;0)
5x2y
x2+ y2 e) lim
(x;y)!(1;1)
x2¡ y
x ¡ py f) lim
(x;y)!(1;1)
1 ¡ cos(x2¡ y) (x ¡ py)2 6. Estudiar la continuidad de la siguiente funci¶on:
f (x; y) =
8>
><
>>
:
x3
px2+ y2 si (x; y) 6= (0; 0) 28 si (x; y) = (0; 0)
7. Describir las curvas o super¯cies de nivel, para los siguientes campos y los valores de k que se indican:
a) f(x; y) =q25 ¡ x2¡ y2 k = 0; 1; 2; 3; 4; 5 b) f(x; y) = x2+ y2 k = 0; 2; 4; 6; 8 c) f(x; y) = xy k = §1; §2; ¢ ¢ ¢ ; §6
Tema 2: Derivada de Funciones
8. Hallar y00, usando derivaci¶on impl¶³cita donde: x3¡ 3xy + y3 = 1.
9. Usar derivaci¶on logar¶³tmica para hallar dy=dx:
y = x2e2xcos 3x
10. Estimar la cantidad sen 62±usando la f¶ormula f(a + h) = f(a) + f0(a) ¢ h:
11. Calcular los siguientes l¶³mites aplicando la regla de L'H^opital:
d) lim
x!1+(x2¡ 1) ¢ tg
µ¼x 2
¶
e) lim
x!0+ Ã1
x ¡ 1
ln(1 + x)
!
f) lim
x!0
x cos x ¡ sen x x3 12. Escribir el polinomio f (x) = x3¡ 2x2+ 3x + 5 en potencias de x ¡ 2.
13. Deducir los desarrollos en serie de Taylor de las siguientes funciones en los puntos indicados y de los ordenes indicados:
a) f(x) = ex; orden n en 0 b) f(x) = sen x; orden n en 0 c) f(x) = exsen x; orden 8 en 0 d) f(x) = tg x; orden 5 en 0 14. Calcular el valor correcto en cuatro cifras decimales de e¡0:2y de ln 0:8.
15. Demostrar que la suma de un n¶umero y su rec¶³proco es al menos 2.
16. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen entre todos aquellos que tienen la super¯cie total constante.
17. Una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1 m. de largo en dos trozos. Uno de ellos se va a doblar en forma de c¶³rculo y el otro en forma de cuadrado. >C¶omo debe cortarse el alambre para que la suma de las ¶areas sea m¶axima?
Tema 3: Derivada de Campos
18. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
a) f(x; y) = 3x ¡ x2y2+ 2x3y b) f(x; y; z) = z sen xy2+ 2z 19. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:
a) f (x; y) = y cos xy b) f (x; y; z) = xy y2+ z4
20. Hallar la derivada de f (x; y) = x2+ 3xy2 en el punto P0 = (1; 2) y en la direcci¶on que apunta hacia el origen.
21. Usando la de¯nici¶on de diferenciabilidad, comprobar que la funci¶on f (x; y) = xy2 es diferenciable en (0; 0), y calcular su diferencial en dicho punto.
22. Calcular el gradiente de f (x; y) = 3x2¡ 2y2 en el punto (¡1; 3).
23. Calcular la ecuaci¶on del plano tangente a x2+ y2+ z2= 1 en el punto (p
3=4; 1=4;p 3=2).
24. Estimar p
2; 012+ 1; 982+ 1; 052 y compararlo con la calculadora.
25. Hallar @w=@s y @ w=@t para w = 2xy, donde x = s2+ t2 e y = s=t.
26. Calcular @z=@x y @z=@ y, sabiendo que 3x2z ¡ x2y2+ 2z3+ 3xz ¡ 5 = 0.
27. Calcular los extremos relativos de:
a) f (x; y) = x2+ 3xy + y2 b) f(x; y) = ¡x3+ 4xy ¡ 2y2+ 1
28. Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con un v¶ertice en el origen. Hallar el volumen m¶aximo de la caja si su v¶ertice opuesto al origen pertenece al plano 6x+4y+3z = 24.
29. Utilizar el m¶etodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones del rect¶angulo de mayor ¶area que puede inscribirse en la elipse x2
16 + y2
9 = 1 con los lados paralelos a los ejes coordenados.
Tema 4: Integral de¯nida y Primitivas
30. Dada la funci¶on
f (x) =
( 2x + 3 si x · 2 x si x > 2 Calcular
Z 3
¡4f (x) dx.
31. Calcular el l¶³mite:
nlim!1 µ 1
n2+ 1+ 2
n2+ 4¢ ¢ ¢ + n n2+ n2
¶
32. Usar el teorema fundamental del c¶alculo para calcular las siguientes derivadas:
a) d dt
µZ t 0
px2+ 1 dx
¶
b) d dt
ÃZ t2
0 cos x2dx
!
33. Usar integraci¶on por partes para resolver las siguientes integrales:
a)
Z
x cos x dx b)
Z
arctg x dx
34. Resolver las siguientes integrales racionales:
a)
Z 2x
1 + x4 dx b)
Z x + 4
(x2¡ x + 1) dx c)
Z 3x + 5
x3¡ x2¡ x + 1 dx 35. Usar el m¶etodo de sustituci¶on para resolver las siguientes integrales :
a)
Z
xp
2x ¡ 1 dx b)
Z 1 xp
x ¡ 1dx 36. Resolver las siguientes integrales irracionales:
a)
Z px3¡ 4x
9 ¡ x2 dx b)
Z dx
(2x + 3)p
2x2+ x ¡ 1 37. Resolver las siguientes integrales trigonom¶etricas:
a)
Z
sen3x cos2x dx b)
Z
sen4x dx c)
Z
sen 2x cos 3x dx d)
Z 1 + sen x 1 + cos xdx
Tema 5: Aplicaciones de la Integral
38. Hallar el ¶area total de la regi¶on acotada por las curvas dadas:
a) f (x) = x2; g(x) =p
x b) f (x) = x2; g(x) = ¡x + 2 y el eje OX
39. En los siguientes apartados usar el m¶etodo de discos para hallar el volumen del s¶olido generado al girar la regi¶on dada entre los l¶³mites dados sobre el eje indicado:
(a) Limitada por y = 2 ¡ x2; y = 1 alrededor de la recta y = 1.
(b) Limitada por y = x2+ 1; y = 0; x = 0; x = 1 alrededor el eje OY .
40. En los siguientes apartados usar el m¶etodo de las capas para hallar el volumen del s¶olido generado al girar la regi¶on con los l¶³mites dados alrededor del eje indicado:
(a) Limitada por y = x3+ x + 1; y = 1; x = 1 alrededor de la recta x = 2.
(b) Limitada por y = x2; y = 1 alrededor de la recta x = 2.
41. Se corta una cu~na de un tronco (cil¶³ndrico) de radio 2 dm dando dos cortes con una sierra mec¶anica que llegan hasta el centro del tronco. Si uno de los cortes se hace perpendicular y el otro formando un ¶angulo de 20±con el primero, >qu¶e volumen tendr¶a la cu~na?
42. Deducir la f¶ormula V = 4
3¼a3para el volumen de la esfera de radio a, usando el m¶etodo de capas.
43. Calcular la longitud de arco de la gr¶a¯ca f(x) = x3 6 + 1
2x sobre [12; 2].
44. Calcular el ¶area de la super¯cie formada al girar la gr¶a¯ca de f (x) = x3 en el intervalo [0; 1] alrededor del eje x.
45. Calcular las siguientes integrales impropias:
a)
Z 1
0
dx
p3x b)
Z 2
¡1
dx
x3 c)
Z 1
0 ln x dx d)
Z 1
0
px(x + 1)dx
Tema 6: Series de n¶ umeros reales
46. Estudiar el car¶acter de las siguientes series num¶ericas:
a) X n!
2n! + 1 b) X µ1 n¡ 1
2n
¶
c) X 1
n ln n d) X 1
2 +p n e) X sen(1=n)
n2+ 1 f) Xe2n
nn g) X
pn
pn3+ 1 h) X(4n3+ 5) ¢ sen(1=n) n2 3n
i) X2n
n! j) Xnn
n! k) X(¡1)n n
ln 2n l) X(¡1)nln n n 47. Sumar, si es posible, las siguientes series num¶ericas:
a) X1
n=0
3
2n b) X1
n=1
1
(2n + 1)(2n + 3) c) X1
n=1
2 4n2¡ 1 d) X1
n=1
2n + 5
n(n + 1)(n + 2) e) X1
n=1
(¡1)n1
n f) X1
n=0
n2+ 5n ¡ 4 (n + 1)!
Tema 7: Series Funcionales
48. Determinar el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:
a)
X1
n=1
xn
n2 b)
X1
n=1
n! xn c)
X1
n=1
(¡1)nx2n 2n d)
X1
n=1
xn
n! e)
X1
n=0
3(x ¡ 2)n f)
X1
n=0
(¡1)n(x + 1)n 2n 49. Sumar las siguientes series expres¶andolas en t¶erminos de funciones elementales:
a)
X1
n=0
xn
(n + 3)! b)
X1
n=0
(n + 1)(n + 2)xn
50. Probar que las series trigonom¶etricas
X(¡1)ncos nx n2
X sen nx np
n
X 1
n!(cos nx ¡ sen nx) son uniformemente convergentes.
51. Calcular las series de Fourier de las siguientes funciones de periodo 2¼:
f(x) =
( 0 en [¡¼; ¡¼=2) [ (¼=2; ¼]
1 en [¡¼=2; ¼=2] g(x) = x
¼ en [¡¼; ¼]
52. Desarrollar en serie de Fourier la funci¶on de periodo 2¼:
f(x) =
( x2+ ¼x si x 2 [¡¼; 0]
¼x ¡ x2 si x 2 [0; ¼]
Aplicar dicho desarrollo para obtener la suma de la siguiente serie num¶erica:
X1
n=0
(¡1)n 1 (2n + 1)3
