EXAMEN PAU JUNIO 2009 RESUELTO

Ejercicio A)

1) 2 X⋅ + ⋅ =A X I

(

2 I⋅ +A

)

⋅ =X I Hacemos 2C= ⋅ + , quedando la ecuación I A C X⋅ =I 1 X =C− ⋅ I 1 X =C− 2) Calculamos la matriz C= ⋅ + A2 I ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 0 0 1 0 1 3 0 1 0 2 0 0 0 2 0 2 2 0 0 2 1 1 1 1 1 1 C ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =_{⎜ ⎟ ⎜}+ _{⎟ ⎜}= ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Calculamos la matriz inversa de C:

Det C = -2 0 2 2 1 2 3 2 6 6 AdjC − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =_⎜ − _⎟ ⎜_{− −} ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 1 2 1 2 2 6 2 2 3 6 C− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ − _⎟ − ⎜_{⎝− −} ⎟_⎠ 1 0 1 2 1 1 3 3 1 3 2 X − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −_⎜ − _⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Ejercicio B)

Definimos las incógnitas:

X = número de monedas de 50 céntimos. Y = número de monedas de 20 céntimos. Z = número de monedas de 10 céntimos.

El sistema de ecuaciones lineales quedará entonces:

12 12 0 '5 0 ' 2 0 '1 2 '80 5 2 28 1 1 x y z x y z x y z x y z y z y z + + = + + = ⎧ ⎧ ⎪ _{+ + = ⇒}⎪ _{+ + =} ⎨ ⎨ ⎪ _{+ =} ⎪ _{− = −} ⎩ ⎩

Resolviendo por Cramer obtenemos:

21 3 7 x= = 28 4 7 y= = 35 5 7 z= =

Ejercicio A)

x = número de Lotes A y = número de Lotes B

Maximizar ( , )B x y =6 '5x+8 '5y 3 5 5 5 3 6 4 0 0 x y x y y x x y + ≤ ⎧ ⎪ + ≤ ⎪⎪ _{≤ +} ⎨ ⎪ _≥ ⎪ ≥ ⎪⎩ 2 0

Evaluando el beneficio en los vértices de la región factible, obtenemos:

(0, 4) B(0, 4)=6 '5 0 8 '5 4⋅ + ⋅ =34€ (4, 8) B(4,8)=6 '5 4 8 '5 8⋅ + ⋅ =94€ (9, 5) B(9, 5)=6 '5 9 8'5 5 101€⋅ + ⋅ = (12, 0) B(12, 0)=6 '5 12 8 '5 0⋅ + ⋅ =78€

Ejercicio B)

Llamaremos Si (donde S puede ser PR (pelirrojo), R (rubio) o M (moreno), e i puede ser 1

ó 2), al suceso “el alumno elegido en el lugar i tiene color de pelo S”.

Por ejemplo, R2 significa que el alumno elegido en segundo lugar tiene el pelo rubio.

Ten en cuenta que elegir dos alumnos al azar equivale a realizar una extracción sin

reemplazamiento, es decir, el primer alumno seleccionado no puede ser reelegido o, dicho de otro modo, para elegir al segundo alumno disponemos de un alumno menos del color de pelo del primero y un alumno menos en total.

Atendiendo a todo lo anterior tendemos que:

1 3 ( ) 30 p PR = ( ₁) 15 30 p R = ( ₁) 12 30 p M =

1. El suceso “ los dos alumnos tienen el mismo color de pelo” se producirá si ambos son pelirrojos, ambos son rubios o ambos son morenos, esto es:

(

1 2

)

(

1 2

)

(

1 2

)

3 2 15 14 12 11 348 0 ' 4 30 29 30 29 30 29 870

p PR ∩PR + p R ∩R +p M ∩M = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

La probabilidad de elegir dos alumnos con el mismo color de pelo es del 40 %

2. Este caso lo vamos a plantear a través del suceso contrario, es decir, que ninguno de los dos alumnos sea rubio.

1 2

15 14 210

( ) ( )

30 29 870

p ninguno sea rubio =p R ∩R = ⋅ =

Por lo tanto,

210 660

( ) 1 ( ) 1 0 '7586

870 870

p al menos uno sea rubio = −p ninguno sea rubio = − = =

La gráfica de la función f(x) es: −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y

A la vista de la gráfica, f(x) es continua en x = -2 pero en x = 3 hay una discontinuidad de salto.

(

)

3 2 3

( )

3

( )

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4 2 3 3 3 8 8 8 8 16 16 48 32 8 8 8 8 16 10 '67 3 3 3 3 3 3 3 x Área x dx x − − ⎡ ⎛ ₋ ⎞⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = − =_⎢ − _⎥ = _⎜ − ⋅ _⎟−_⎜⎜ − ⋅ − ⎟_⎟ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ _⎣⎝ _{⎠ ⎝ ⎠⎦} ⎡⎛ ⎞ ⎛− ⎞⎤ − =_⎢⎜ − _{⎟ ⎜}− + _⎟⎥= − + − = − = = − = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫

Observa que el signo negativo se debe a que toda la región se encuentra por debajo del eje OX. Por lo tanto el área pedida tiene un valor de 10’67 u2.

Ejercicio B)

Para la función 2 ( ) 2 10 9 t E t = − +t tenemos: 1) 2 2 1 2 ( ) 2 10 2 9 18 72 0 2 18 324 288 12 2 t E t t t x t x t = − + = − + = = − ⎧ − ± − = _{= ⎨} = − ⎩

Se obtiene una elasticidad de 2 para -2ºC o para -12ºC de temperatura. 2) 2 '( ) 2 0 9 18 9 2 E t t t = − = = =

Dado que la gráfica de E es una parábola con las ramas hacia arriba, podemos decir que la elasticidad es mínima a 9ºC. 3) 2 9 (9) 2 9 10 1 9 E = − ⋅ + =

La elasticidad mínima tiene un valor de 1.

Alternativamente podemos representar la gráfica de E y contestar a partir de ella:

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x y

(

p 0’80 O _I

)

=_{0 ' 40}

(

/

)

0 '80 p O I =

(

)

0 '10 p O∩NI = I 0’40 0’20 NO 0’17 O 0’60 NI 0’83 NO

Para resolver este ejercicio mediante un diagrama de árbol debes tener en cuenta que los valores resaltados en negrita los tienes que calcular a partir de los datos del enunciado de la siguiente manera:

, es decir,

(

)

( ) ( / ) 0 '10

p O∩NI = p NI ⋅p O NI = 0 '60⋅p O NI

(

/

)

=0 '10. Por lo tanto x= p O NI

(

/

)

= 170 '

Aunque como podrás comprobar no es necesario, porque todas las probabilidades que se utilizan están dadas en el enunciado.

1)

(

)

(

)

( ) 0 ' 40 0 '80 0 '10 0 ' 42

p O = p I∩O +p NI∩O = ⋅ + =

La probabilidad de que el estudiante elegido tenga ordenador en casa es del 42%. 2)

( ) (

)

( ) / 0 ' 40 0 '80 0 '3

p O∩ =I p I ⋅p O I = ⋅ = 2

La probabilidad de que el estudiante elegido tenga ordenador en casa y haya recibido clases de informática es del 32%.

3)

(

)

(

_{( )}

)

0 '32 / 0 0 ' 42 p I O p I O p O ∩ = = = '76

La probabilidad de que el estudiante elegido haya recibido clases de informática, sabiendo que tiene ordenador en casa, es del 76%.

Ejercicio B)

Ordenamos los datos del enunciado de la siguiente manera:

81 51 2 ' 4 . . 1 97% 0 '9700 n x cm cm N C σ α = = = = − = =

Calculamos el valor crítico k correspondiente al nivel de confianza:

(

)

1 0 '9700

0 '9850 2

p Z ≤k = + =

Buscando en la tabla de la N(0,1) obtenemos el valor k =2 '17.

Calculamos los extremos del intervalo de confianza aplicando la expresión

2 ' 4 51 2 '17 51'58 81 2 ' 4 51 2 '17 50 ' 42 81 pulsaciones x k n pulsaciones σ ⎧ +⎪⎪ ⋅ = ± ⋅ _{⇒ ⎨} ⎪ − ⋅ = ⎪⎩

“En el 97% de todas las muestras posibles de 81 varones recién nacidos, la talla media de éstos se encontrará entre 50’42 y 51’58 cm.”

También sería correcto,

“Elegidos al azar 81 varones recién nacidos, hay una probabilidad del 97% de que la