Capítulo III Teoría de grupos

Capítulo III

Teoría de grupos

Tema 1. Leyes de composición internas.

1.1 Leyes de composición internas.

Dado un conjunto A ≠ ∅, se define como Ley de composición interna definida en A a toda aplicación, ( , ) A A A x y x y × → → ∗

Donde, A es el conjunto soporte y se deduce que, ∀x y, ∈A x y, ( ∗ ∈ ) A 1.2 Propiedades de las leyes de composición interna

Asociativa ∀x,y,z∈A, (x∗y)∗z=x∗(y∗z) Conmutativa ∀x,y∈A,(x∗y)=(y∗x)

Elemento Neutro ∀x∈A,∃e∈A/(x∗e)=(e∗x)=x Elemento Simétrico ∀x∈A,∃x'∈A/(x∗x')=(x'∗x)=e

Elemento regular por la derecha ∀ ∈x A x a, * =y a* ⇒ = x y por la izquierda ∀ ∈x A a x, * =a y* ⇒ = x y Ejemplos

- Conjunto soporte: R

Leyes de composición: suma ordinaria +

multiplicación ordinaria · Son Leyes de composición internas pues:

∀ ,x y∈R

(

x+y

)

∈R ∀x,y∈ R

(

x⋅y

)

∈R

Y además cumplen las propiedades: Asociativa ∀x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z) ∀x,y,z,(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) Conmutativa ∀x,y,(x+y)=(y+x) _{∀x,y, (x⋅y)=(y⋅x)} El elemento neutro es:

el 0 pues _{∀x,(x+0)=(0+x)=x} el 1 pues ∀x,(x⋅1)=(1⋅x)=x

El elemento simétrico es:

(–x) pues ∀x,(x+(−x))=((−x)+x)=0 −1 pues ∀ ,( ⋅ −1)=( −1⋅ )=1 x x x x x x - Conjunto soporte: nxm

Es una Ley de composición interna pues,

(

)

nxm nxm A B M M B A ∈ + ∈ ∀ ,

Y además cumple las propiedades: Asociativa _{A B C M A}

(

_{B C}

)

_{A B C} nxm + + = + + ∈ ∀ , , ( ) Conmutativa ∀A,B∈Mnxm

(

A+B

)

=(B+ A) El elemento neutro es la matriz nula pues,

(

A O

)

O A A M O M A∈ _nxm∃ _nxm∈ _nxm + _nxm = _nxm + = ∀ / ( )

El elemento simétrico es: la matriz opuesta -A pues,

(

)

nxm nxm nxm A M A A A A O M A∈ ∃ − ∈ + − = − + = ∀ , ( ) / ( ) (( ) ) Conjunto soporte: n

M , las matrices reales, cuadradas y regulares de orden n

Ley de composición: producto de matrices · Es una Ley de composición interna pues:

(

)

n n

A

B

M

M

B

A

∈

⋅

∈

∀ ,

Y además cumple las propiedades, Asociativa _{A B C M A}

(

_{B C}

)

_{A B C} n ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∈ ∀ , , ( ) No es conmutativa ∃A,B∈M_n/

(

A⋅B

)

≠(B⋅A)

El elemento neutro es: la matriz identidad I pues,

∀

A

∈

M

_n

∃

I

_n

∈

M

_n

/

(

A

+

I

_n

)

=

(

I

_n

+

A

)

=

A

El elemento simétrico es: la matriz inversa

A

−1 pues,

(

)

n n n A M A A A A I M A∈ ∃ ∈ ⋅ = ⋅ = ∀ − − − ) ( / 1 1 1 - Conjunto soporte: R Ley de composición: x∗y=xy−1 Es una Ley de composición interna pues: ∀x,y∈R

(

x∗y

) (

= xy−1

)

∈R Propiedades que cumple

No es asociativa 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( , , − − ≠ − − − − ≠ − − − ∗ ≠ ∗ − ∗ ∗ ≠ ∗ ∗ ∈ ∀ x xyz z xyz yz x z xy yz x z xy z y x z y x R z y x Conmutativa 1 1 1 1 ) ( ) ( , , = = − = − ∗ = ∗ ∀ yx xy yx xy x y y x y x

No tiene elemento simétrico puesto que no existe el elemento neutro. Sean ∗ y ∆ dos Leyes de composición interna en A, se dice que son Distributivas:

∗ respecto a ∆ ∀x,y,z∈A,x∗(y∆z)=(x∗y)∆(x∗z) ∆ respecto a ∗ ∀x,y,z∈A,x∆(y∗z)=(x∆y)∗(x∆z)

En el cualquier conjunto numérico N, Z, Q, R, C, el producto es distributivo respecto a la suma ) ( ) ( ) ( , ,y z x y z xy xz x ⋅ + = + ∀

En el conjunto de las partes de U P(U), la intersección es distributiva respecto a la unión y viceversa ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , C A B A C B A U P C B A C A B A C B A U P C B A ∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ ∈ ∀ ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∈ ∀

1.3 Ley de composición cociente

Sea un conjunto A en el que se ha definido una Relación binaria de equivalencia

ℜ.

Sea A/ℜ el conjunto de las clases de equivalencia definidas en A también llamado conjunto cociente

Sea ∗ una Ley de composición interna en A

Se dice que la Relación binaria de equivalencia ℜ y la Ley de composición interna ∗ son compatibles si,

∀x, y ∈A [x] ∗ [y] = [x∗y] Ejemplo

Se define la Relación binaria de equivalencia en el conjunto de los números enteros positivos +: x ℜ y ⇔ x – y = 4

i

El conjunto cociente será: +/4 = {[0], [1], [2], [3]}, el conjunto de las clases residuales módulo 4.

Se definen las Leyes de composición internas en +: suma (+) y producto (·) ordinarios.

Ambas Leyes son compatibles con la Relación binaria de equivalencia puesto que,

[a + b]= [a]+[b] y [a · b]= [a] · [b] Lo que se resume en las siguientes tablas,

+ 0 1 2 3 · 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3

2 2 3 0 1 2 0 2 0 2

Tema 2. Estructuras algebraicas

2.1 Estructuras algebraicas

Sea un conjunto A donde se ha definido un Ley de composición interna ∗, entonces se dice que el par (A, ∗) es una estructura algebraica.

2.2 Homomorfismos

Dadas dos estructuras algebraicas (A, ∗) y (B, ∆), se dice que la aplicación f: (A, ∗) → (B, ∆)

es un homomorfismo si para cualquier x, y ∈ A se verifica f ( x ∗ y ) = f (x) ∆ f (y) Ejemplos

- Sea (A, +) la estructura algebraica cuyo conjunto soporte es el conjunto de las funciones reales integrables en el intervalo [0,1], y la Ley de composición interna + es la suma de funciones. La aplicación:

∫ → 1 0 : φ ϕ R A f

Es un homomorfismo puesto que,

1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 φ φ+ = φ + φ

∫

∫ ∫

- La aplicación ) ln( ) , ( ,·) ( : * x x R R f ₊ → +

Es un homomorfismo puesto que:

y x y x y f x f y x f ln ln ) ln( ) ( ) ( ) ( + = ⋅ + = ⋅ 2.3 Grupo

Sea G un conjunto no vacío, * una Ley de composición interna definida en G Se dice que el par (G, ∗) tiene estructura de grupo si se verifican las siguientes propiedades para la ley *, Asociativa, * tiene Elemento neutro e ∈ G, existe elemento simétrico ∀x ∈ G.

Se dice que (G, ∗) es un grupo abeliano si, además se verifica la conmutativa. 2.4 Propiedades

- El elemento neutro es único

- Cada elemento x∈G tiene un solo elemento simétrico x’∈G - (a∗b)’ = b’ ∗ a’ para cualesquiera a, b ∈ G

- (a’)’= a para todo a de G

- Todos los elementos de G son regulares o simplificables - La ecuación a ∗ x = b tiene solución única x = a’∗b y la ecuación x ∗ a = b tiene solución única x = b∗a’ Ejemplos

(Q-{0}, ·), (R-{0}, ·) y (C-{0}, ·) son grupos abelianos

(

M

_nxm,+) siendo

M

_nxm el conjunto de las matrices reales de orden n x m, (n,m naturales) es un grupo abeliano.

(

M

_n, ·) siendo

M

_n el conjunto de las matrices reales y cuadradas de orden n (n natural) no es un grupo.

2.5 Grupos finitos

Se dice que un grupo es finito cuando tiene un número finito de elementos. Orden de un grupo finito o(G): es el número de elementos del grupo.

Ejemplos

- El grupo [Z(n), +]; n ∈ N, n > 1 es finito pues o(G) = n siendo los elementos de Z(n) = {0, 1, 2, ..., n -1}

- El grupo {-1, 1, i, -i} es finito de orden 4 2.6 Orden de un elemento

Es el menor número natural n que verifica

veces ... n n a a∗ ∗ ∗ = ⇔a e a = e Ejemplos

- El grupo [Z(4), +] cuya Tabla de Cayley es,

+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 El orden de 1 es 4 pues 1 + 1+ 1 + 1 = 1 = 0 4 El orden de 2 es 2 pues 2 + 2 = 2 = 0 2 El orden de 31 es 4 pues 3 + 3 + 3 + 3 = 3 = 0 4 El orden de 0 es 1 pues 0 = 0 1

2.5 Subgrupos

Sea (G, ∗) un grupo y sea H un subconjunto de G. Se dice que (H, ∗) es subgrupo de G si:

-

(

a

,

b

∈ )

H

⇒

a

∗

b

∈

H

- El elemento neutro e de (G, ∗) pertenece a H - a∈H ⇒a'∈H

2.6 Teorema de caracterización de subgrupos

(H, ∗) es subgrupo de (G, ∗) si y solo si se verifican las dos condiciones: i ) H ≠ ∅

ii ) a, b ∈ H ⇒ a ∗ b’ ∈ H

La intersección de subgrupos de G es a su vez un subgrupo de G. Ejemplos

- Todo grupo G tiene como subgrupos, entre otros, a (G, ∗) y a ({e}, ∗), llamados subgrupos impropios.

- (Z, +) es subgrupo de (R, + )

- El grupo aditivo de las matrices cuadradas de orden n admite como subgrupo al conjunto de las matrices cuadradas simétricas de orden n

- El grupo multiplicativo de los reales no nulos admite como subgrupo al conjunto de los reales estrictamente positivos

2.7 Teorema de Lagrange

Los órdenes de los posibles subgrupos son divisores del orden del grupo. 2.8 Subgrupo normal, invariante o distintivo

Un subgrupo H de G se considera normal o invariante si para todo x ∈ G se verifica x H∗ =H∗x, es decir, todos los elementos de G conmutan con un elemento cualquiera h de G. La condición necesaria y suficiente para que el subgrupo H de G sea normal es que ∀ ∈ ∀ ∈x G; h H x h x; ∗ ∗ ∈ ' H

Ejemplos

El grupo no conmutativo dado por la Tabla de Cayley

* e u v a b c e e u v a b c u u v e c a b v v e u b c a a a b c e u v b b c a v e u c c a b u v e

Entonces, un subgrupo normal o invariante de G es {e,u,v} pues basta probar que: a * H = H * a, b* H = H * b, c * H = H * c, efectivamente,

2.9 Subgrupo generado por C

Dado un subconjunto C de un grupo G se llama subgrupo generado por C al subgrupo H intersección de todos los subgrupos de G que contienen a C. El conjunto C se llama sistema de generadores de H.

2.10 Grupo monógeno engendrado por a

En el caso particular de que el subconjunto C sea unitario, esto es, C = {a}, el subconjunto {an,∀ ∈Z}, donde n toma valores positivos, 0 o negativos: n

n> 0 : veces ... n n a = ∗ ∗a a ∗ ; n = 0 a a0 = ; n < 0 e veces ... n n a = ∗ ∗a a ∗ a Se dice que C es un grupo monógeno engendrado por a.

2.11 Grupo cíclico

Si las potencias de x

a no son todas distintas, entonces existe un n ∈N tal que

x

a = y el menor número natural n que satisface la igualdad anterior no es mas que el e orden de a =y n el orden de G, entonces G es un grupo cíclico de orden n.

Ejemplos

- El grupo [Z(4), +] cuya Tabla de Cayley es:

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Es un grupo cíclico de orden 4 generado por 3 pues o(3) = o(Z(4)) y las sucesivas potencias de 3 generan los elementos del grupo: 4 3 2 1

3 =0; 3 =1; 3 =2; 3 = 3 - El grupo (A, ·) con A = {-1, 1, i -i} cuya Ttabla de Cayley es:

· 1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i

i i -i -1 1

-i -i i 1 -1

Es un grupo cíclico de orden 4 generado por i pues o(i) = o(A) y las sucesivas potencias de i generan los elementos del grupo: i4 =1; i3 = −i i; 2 = −1; i1 = . Pruebe que -i i también genera al grupo.

2.12 Propiedades de los grupos cíclicos - Los grupos cíclicos son abelianos

- Todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos

- Considerando que todos los elementos del grupo cíclico serán de la forma a , siendo m a el elemento generador, entonces:

Si m es divisor de n (orden del grupo) entonces el elemento a y sus potencias m generan un subgrupo

Si m es primo con n entonces a genera al grupo. m 2.13 Homomorfismos de grupos

Dados dos grupos (G, ∗) y (B, ∆), se dice que la aplicación: f : (G, ∗) → (B, ∆)

Es un homomorfismo de grupos si:

∀ x, y ∈ G f (x ∗ y) = f (x) ∆ f (y) Ejemplo - La aplicación: x e x R R f :( ,+)→( *,⋅) +

Es un homomorfismo de grupos puesto que:

y x y x e e e y f x f y x f ⋅ = ⋅ = + + ) ( ) ( ) ( - La aplicación: ' ) ( ) , ( ) , ( : f f d F D d + → +

Donde F es el conjunto de las funciones reales definidas en R

D es el conjunto de las funciones reales definidas en R que son derivables (D, +) y (F, +) son grupos

d es la aplicación que a cada función le asigna su derivada Es un homomorfismo de grupos puesto que:

' ' )' ( ) ( ) ( ) ( g f g f g d f d g f d + = + + = +

2.14 Propiedades de los Homomorfismos

Si f : G → B es un homomorfismo del grupo (G, ∗) en el grupo (B, ∆) se verifica, - f (e) = E (donde e y E son los elementos neutros de G y B)

- f (a’) = f (a)’ ∀ a ∈ G

- G* es subgrupo de G ⇒ f (G*) es subgrupo de B

- La composición de aplicaciones de dos homomorfismos es también un homomorfismo.

2.15 Núcleo e Imagen de un Homomorfismo

Si f : G → B es un homomorfismo del grupo (G, ∗) en el grupo (B, ∆) se verifica: - El conjunto imagen f (G) es un subgrupo de (B, ∆) y se denomina Imagen del homomorfismo f, Im ( f )

- Siendo E el elemento neutro de B se llama Núcleo del homomorfismo f, N( f ) a: N( f )= {x ∈G / f (x) = E}

2.16 Homomorfismos inyectivos