Control de la bifurcación de Hopf

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(1)CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Juan Andrés Castillo Valenzuela. Mayo del 2007.

(2) Universidad de Sonora Repositorio Institucional UNISON. Excepto si se señala otra cosa, la licencia del ítem se describe como openAccess.

(3) 2.

(4) Agradecimientos A mis padres quienes con mucho esfuerzo y sacrificio pudieron darme una educación y a quienes les debo la persona que soy. A mi maestro y amigo el Dr. Fernando Verduzco por haberme dado la oportunidad de hacer este trabajo con él. Al Centro Cultural Universitario, un lugar muy especial el cual me dió alojamiento para poder realizar mis estudios y en donde conocı́ varios amigos. A mis amigos. 3.

(5) 4.

(6) Índice general 1. Introducción. 7. 2. Herramientas Matemáticas 2.1. Teorı́a de la Variedad Central . . . . . . . . . . . . 2.1.1. La Variedad Central . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Teorema de la Variedad Central . . . . . . . 2.1.3. Cálculo de la Variedad Central . . . . . . . 2.1.4. Variedad Central dependiente de parámetros 2.2. Teorema de la Bifurcación de Hopf . . . . . . . . . 2.2.1. La Bifurcación de Hopf . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Teorema de la Bifurcación de Hopf . . . . . 2.3. Control de una Bifurcación . . . . . . . . . . . . . . 3. Control de la Bifurcación de Hopf 3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . 3.2. Caso b1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Variedad Central . . . . . . . . . . 3.2.2. Dinámica sobre la Variedad Central 3.2.3. Diseño de la ley de control . . . . . 3.2.4. Teorema Principal . . . . . . . . . 3.2.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Caso b1 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Variedad Central . . . . . . . . . . 3.3.2. Dinámica sobre la Variedad Central 3.3.3. Diseño de la ley de control . . . . . 3.3.4. Teorema Principal . . . . . . . . . 3.3.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 9 9 9 11 12 14 14 14 18 20. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 23 23 25 26 34 39 42 43 50 51 54 56 58 58. . . . .. 4. Una aplicación al péndulo de Furuta. 65. 5. Conclusiones. 71 5.

(7) 6. ÍNDICE GENERAL.

(8) Capı́tulo 1. Introducción Las ecuaciones diferenciales ordinarias son ampliamente utilizadas para modelar fenómenos o procesos que evolucionan de manera continua en el tiempo. Fué Issac Newton, hace más de 300 años, quien tuvo que inventar esta herramienta matemática para poder dar una explicación de cómo funcionaba el universo. Desde entonces, las ecuaciones diferenciales se han utilizado en áreas como la fı́sica, quı́mica, biologı́a, ingenierı́a, economı́a, etc. Asimismo, su gran desarrollo, junto con la llegada de las compuadoras, ha propiciado la creación de nuevas áreas del conocimiento, como la apasionante teorı́a del caos. Inicialmente, el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias se limitó a un estudio cuantitativo: se desarrollaron métodos analı́ticos para tratar de encontrar las soluciones explı́citamente, es decir, tratar de expresar las soluciones en términos de funciones elementales. Con el tiempo, se encontró que la familia de ecuaciones diferenciales de interés práctico, que se podı́a resolver usando métodos analı́ticos, era realmente pequeña, y el enfoque cambió. En vez de tratar de encontrar las soluciones explı́citamente, se buscó mejor investigar el comportamiento de las soluciones a largo plazo, sin tener que resolver el problema cuantitativo, es decir, se buscó determinar el comportamiento asintótico de las soluciones. Este enfoque cualitativo, junto con el uso generalizado de las computadoras, ha propiciado la creación de métodos mas bién geométricos que analı́ticos. En general dado un sistema no lineal ẋ = f (x) es imposible resolverlo, es decir, no es posible encontrar una solución en términos de funciones elementales. Sin embargo, es posible obtener una gran cantidad de información de tipo cualitativo acerca del comportamiento local de las soluciones. El estudio de los sistemas dinámicos consiste en entender la geometrı́a de las curvas solución en el espacio de fase. Los sistemas dinámicos se definen como unas estructuras matemáticas que modelan fenómenos de la naturaleza y cuyo estado viene definido por una serie de variables que dependen del tiempo (variables de estado) y por una serie de leyes, una dinámica, que expresan las variaciones de las variables de estado a lo largo del tiempo, y que en los casos más sencillos suelen ser un sistema de ecuaciones diferenciales. La representación de los sistemas dinámicos se lleva a cabo en un espacio denominado espacio de fase en 7.

(9) 8. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. el que cada punto define un estado y cada trayectoria una evolución del sistema. En los problemas de aplicaciones es frecuente encontrar ecuaciones diferenciales cuyos campos vectoriales dependen de ciertos parámetros, los cuales tienen que ver con la problemática que se esté modelando. Por ejemplo, en problemas de poblaciones, los parámetros pueden representar tasas de nacimiento o mortandad, mientras que en problemas de robótica, los parámetros suelen ser longitudes, centros de masas, etc. Por lo general sólo se tienen estimaciones para estos parámetros, las cuales dependen de que tanta información se tenga de la problemática que se pretende estudiar. Por ejemplo, en robótica es relativamente sencillo calcular ciertos parámetros, como longitudes y centros de masas, no ası́ coeficientes de fricción. Un problema importante es entonces, analizar las soluciones de una ecuación diferencial cuyo campo vectorial depende de parámetros. Ahora bien, la teorı́a de bifurcaciones estudia los cambios que ocurren en el comportamiento cualitativo de los sistemas dinámicos ante la variación de parámetros. Las bifurcaciones se clasifican en estacionarias (estáticas) y dinámicas. Las primeras tienen que ver con cambios en la estructura de los puntos de equilibrio (en número ó estabilidad), mientras que las segundas con cambios en los ciclos lı́mite (creación o destrucción de órbitas periódicas). La bifurcación de Hopf cae en la segunda clasificación (es generada una solución periódica). En los últimos años ha habido un gran interés en sistemas de control que puedan exhibir fenómenos de bifurcación. Aplicaciones importantes han surgido en sistemas de potencia, lanzamiento de satélites, alteraciones cardiácas, robótica, etc. El objetivo en el control de bifurcaciones es diseñar un controlador que modifique las caracterı́sticas del fenómeno de bifurcación en el sistema de control, como por ejemplo, desplazar arbitrariamente el punto de bifurcación en el espacio de parámetros, modificar la cuenca de atracción, modificar la amplitud de órbitas periódicas, cambiar la dirección de la bifurcación, etc. En este trabajo estableceremos condiciones suficientes para controlar la bifurcación de Hopf en sistemas no-lineales. Usaremos la variedad central para reducir el sistema dinámico a dimensión dos y encontraremos expresiones en términos de los campos vectoriales originales..

(10) Capı́tulo 2. Herramientas Matemáticas 2.1. 2.1.1.. Teorı́a de la Variedad Central La Variedad Central. Considere el sistema no lineal ẋ = f (x). (2.1). con x ∈ Rn y f : U ⊂ Rn → Rn un campo vectorial suave. Sea x0 un punto de equilibrio hiperbólico de (2.1), es decir que Df (x0 ) no tiene valores propios con parte real cero. Sabemos por el teorema de Hartman-Grobman, que el comportamiento de las soluciones cercanas a x0, es topológicamente conjugado, a las soluciones del sistema linealizado ẏ = (Df (x0 ))y. (2.2). Sea A = (Df (x0 )) y sean λ1 , λ2 , ..., λn sus valores propios. Teorema 2.1. 1) Si Re(λi ) < 0 ∀ i = 1, 2, · · · , n entonces el equilibrio x0 es asintóticamente estable en forma local. Es tipo atractor local (Sumidero). 2) Si Re(λi ) > 0 ∀ i = 1, 2, · · · , n entonces el equilibrio x0 es inestable. Es tipo repulsor local (Fuente). 3) Si Re(λj ) > 0 para algun j, y Re(λk ) < 0 para algún k 6= j entonces el equilibrio x0 es inestable. Es un punto tipo silla. 4) Re(λi ) = 0 para algún j, entonces no se puede concluir nada sobre la estabilidad de x0. Clasifiquemos ahora los n vectores propios de A. {v1, v2, · · · , vn1 } son vectores propios (inclusive, generalizados) tales que sus respectivos valores propios tienen parte real 9.

(11) 10. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS. negativa, {u1, u2 , · · · , un2 } son vectores propios (inclusive, generalizados) tales que sus respectivos valores propios tienen parte real positiva y {w1, w2 , · · · , wn3 } son vectores propios (inclusive, generalizados) tales que sus respectivos valores propios tienen parte real cero. Observe que n1 + n2 + n3 = n.        v 1             v2          .   .     .               v n  1                 λ u 1  1             λ2     u2   → .. ..     .  .                λ      u n    n2            w 1          w2             ..       .           w   n3. Sean E s = hv1, v2, · · · , vn1 i = {s1 v1 + s2 v2, · · · , sn1 vn1 |s1 , s2 , · · · , sn1 ∈ R}, el espacio generado por {v1 , v2, · · · , vn1 }. E u = hu1 , u2, · · · , un2 i = {s1 u1 + s2 u2 + · · · + sn2 un2 |s1 , s2, · · · , sn2 ∈ R} es el espacio generado por {u1 , u2, · · · , un2 }. E c = hw1 , w2, · · · , wn3 i = {s1 w1 + s2 w2 + · · · + sn3 wn3 |s1 , s2, · · · , sn3 ∈ R} es el espacio generado por {w1 , w2, · · · , wn3 }. Entonces 1) E s , E u y E c son subespacios vectoriales de Rn . 2) E s , E u y E c son invariantes bajo el flujo de ẏ = Df (x0 )y. (2.3). Es decir, si z ∈ E a , a = s, u ó c entonces la solución de (2.3) ϕ(t; z) es tal que ϕ(t, z) ∈ E a ∀ t ∈ R. 3) Si z ∈ E s ⇒ ϕ(t; z) →t→+∞ 0. 4) Si t ∈ E u ⇒ ϕ(t; z) →t→−∞ 0. E s , E u y E c son llamados espacios estable, inestable y central respectivamente..

(12) 2.1. TEORÍA DE LA VARIEDAD CENTRAL. 11. Figura 2.1: E s , E u y E c Definimos la variedad estable local de x0 , como s (x0 ) = {x ∈ U |ϕt (x) −→ x0 , cuando t −→ ∞, y ϕt (x) ∈ U para toda t ≥ 0} Wloc donde V es una vecindad del punto de equilibrio x0 . De manera similar definimos la variedad inestable local de x0 , como u (x0 ) = {x ∈ U |ϕt (x) −→ x0 , cuando t −→ −∞, y ϕt(x) ∈ U para toda t ≤ 0} Wloc s u (x0) y Wloc (x0) representan el análogo no Las variedades locales estable e inestable Wloc s u lineal de los eigenespacios E y E de un sistema lineal.. 2.1.2.. Teorema de la Variedad Central. Teorema 2.2. Considere la ecuacion diferencial ẋ = f (x) con x ∈ Rn , y f un campo suave. Sea x0 un punto de equilibrio no-hiperbólico. Entonces s u existen variedades invariantes, estable e inestable, Wloc (x0 ) y Wloc (x0 ) tangentes a E s u c y E en x0, respectivamente. Además existe una variedad invariante central, Wloc (x0 ), c s u c tangente a E en x0. Wloc (x0 ) y Wloc (x0) son únicas, mientras que Wloc (x0 ) no lo es necesariamente. dim(E a) = dim(W a), donde a = s, u, c..

(13) 12. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS. 2.1.3.. Cálculo de la Variedad Central. Considere la ecuación diferencial no lineal ż = F (z). (2.4). con z ∈ Rn y F un campo suave. Supongamos que z = 0 es un equilibrio no-hiperbólico de F y que E u = ∅ (⇔ W u (z0) = ∅). Sean E s = hv1 , v2, · · · , vn1 i y E c = hw1 , w2 , · · · , wn2 i con n1 + n2 = n Sea J = DF (0) y P la matriz cambio de base tal que   0 (A)n2 ×n2 −1 P JP = 0 (B)n1 ×n1 n×n donde An2 ×n2 posee los valores propios con parte  real cero y Bn1 ×n1 posee los valores x propios con parte real negativa. Sea P −1 z = , x ∈ Rn2 y ∈ Rn1 . y Veamos como se expresa nuestro sistema original (2.4) en términos de las nuevas variables x, y     x x −1 P z= ⇔ z=P y y   d x(t) = dtd (P −1 z(t)) y(t) dt Sabemos que 1 F (z) = F (0) + DF (0)z + D2 F (0)(z, z) + ... 2 F (z) = Jz + F2(z) + ... donde F2(z) representa los términos de orden dos. Entonces   ẋ = P −1 ż = P −1 (F (z)) ẏ = P −1 (Jz + F2(z) + · · · ) = P −1 Jz + P −1 F2(z) + · · · = P −1 JP. . ẋ ẏ. . =. . =. . . A 0 0 B Ax By. . x y. . . +. .    x + P −1 F2 P + ··· y. x y. . + F˜2(x, y) + · · ·. f (x, y) g(x, y). .

(14) 2.1. TEORÍA DE LA VARIEDAD CENTRAL. @ @ @ @ @ @ @  @  @ @ . 13. Es. Es. ? ? ?. P −1 −→. E. 6 6 6. c. ż = F (z). Ec. ẋ = Ax + f (x, y) ẏ = Bx + g(x, y). Figura 2.2: Rotación de los ejes ẋ = Ax + f (x, y) ẏ = By + g(x, y). (2.5). Una vez calculado el sistema anterior, se procede a calcular W c Proponemos h : Rn2 → Rn1 tal que h(0)=0 con Dh(0)=0 d (y(t)) dt ẏ By + g(x, y) Bh(x) + g(x, h(x)). d (h(x(t))) dt = Dh(x)ẋ = Dh(x)[Ax + f (x, y)] pero y = h(x) = Dh(x)[Ax + f (x, h(x))] =. Dh(x)[Ax + f (x, h(x))] − Bh(x) − g(x, h(x)) ≡ 0. (2.6). La ecuación (2.6) nos permite calcular la función h. Es decir, nos permite calcular W c . El siguiente teorema establece condiciones para determinar la estabilidad de las soluciones sobre W c ..

(15) 14. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS. c Teorema 2.3. El comportamiento de las soluciones sobre Wloc (0) del sistema (2.6) esta c determinado por la ecuación diferencial sobre E. ẋ = Ax + f (x, h(x)), x ∈ E c , |x| < , x ∈ Rn1. 2.1.4.. Variedad Central dependiente de parámetros. Supongamos que el sistema (2.5) depende de un parámetro. En este caso escribimos (2.5) en la forma ẋ = Ax + f (x, y, µ), ẏ = By + g(x, y, µ),. (x, y, µ) ∈ Rc × Rs × R,. donde f (0, 0, 0) = 0, g(0, 0, 0) = 0,. Df (0, 0, 0) = 0, Dg(0, 0, 0) = 0,. ẋ = Ax + f (x, y, µ), µ̇ = 0, ẏ = By + g(x, y, µ),. 2.2. 2.2.1.. Teorema de la Bifurcación de Hopf La Bifurcación de Hopf. Considere el sistema en R2 ẋ = dµx − (w + cµ)y + (ax − by)(x2 + y 2 ) ẏ = (w + cµ)x + dµy + (bx + ay)(x2 + y 2) con a, b, c, d, w constantes y µ un parámetro. Para analizar la dinámica de este sistema lo transformaremos a coordenadas polares. Haciendo r2 = x2 + y 2 y tanθ =. y x. Derivamos la primera expresión rṙ = xẋ + y ẏ = x[dµx − (w + cµ)y + (ax − by)(x2 + y 2 )] +y[(w + cµ)x + dµy + (bx + ay)(x2 + y 2)] = dµr2 + r2 [x(ax − by) + y(bx + ay)] = r2 (dµ + ar2).

(16) 2.2. TEOREMA DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. 15. Entonces ṙ = r(dµ + ar2 ) Ahora, derivamos la segunda expresión sec2θθ̇ = (1 + tan2θ)θ̇ = (1 +. y2 )θ̇ = x2 r2 θ̇ = = = = =. xẏ − y ẋ x2 xẏ − y ẋ x2 xẏ − y ẋ x2 xẏ − y ẋ x[w + cµ)x + dµy + (bx + ay)(x2 + y 2)] −y[dµx − (w + cµ)y + (ax − by)(x2 + y 2 )] (w + cµ)r2 + r2 [x(bx + ay) − y(ax − by)] (w + cµ)r2 + r2 (br2 ) r2 (w + cµ + br2 ). Entonces θ̇ = w + cµ + br2 Deseamos bosquejar el retrato fase en una vecindad del origen. Si µ = 0, a 6= 0 ṙ = r(ar2 ) = ar3 En esta situación si a > 0, entonces ṙ > 0 y tenemos espirales que se alejan del orien, es decir, tenamos un foco inestable; Ahora, si a < 0, entonces ṙ < 0 y entonces tenemos espirales que convergen al origen, es decir, tenemos un foco estable. Ahora, para µ suficientemente pequeña ṙ = r(dµ + ar2 ) observamos que ṙ = 0 si y sólo si r = 0 ó dµ + ar2 = 0 (que representa una órbita periódica) Vamos a determinar cuando nace esta órbita periódica Tenemos que dµ r2 = − a q si dµ <0 entonces r = − dµ a a < 0 (existe una órbita Supongamos que da > 0, entonces si µ < 0 se cumple que dµ a periódica) y si µ > 0 entonces no existe órbita periódica. < 0 (existe una Ahora supongamos que da < 0, entonces si µ > 0 se cumple que dµ a órbita periódica) y si µ < 0 entonces no existe órbita periódica. Entonces tenemos los siguientes casos.

(17) 16. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 1) a > 0 y d > 0 2) a < 0 y d < 0 3) a > 0 y d < 0 4) a < 0 y d > 0. Analicemos el primero: Sabemos que para µ = 0 el origen es un foco inestable. Si µ > 0, entonces ṙ = r(dµ + ar2 ) > 0, por lo tanto el origen q es un foco inestable.. Si µ < 0, sabemos que existe la órbita periódica r = r0 = − dµ a Consideremos la solución que inicia con la condición inicial (θ1, r1 ) en el interior de la órbita periódica, es decir con 0 < r1 < r0 . ṙ|(θ1 ,r1 ) = r1 (dµ + ar12 ) Entonces r12 < r02 = − r12 < −. dµ a. dµ a. dµ + ar12 < 0 Por lo tanto ṙ|(θ1 ,r1 ) = r1 (dµ + ar12 ) < 0 entonces el origen es un foco estable. Consideremos ahora una condición inicial (θ2, r2 ), exterior a la órbita periódica, es decir con r2 > r0 > 0. ṙ|(θ2 ,r2 ) = r2 (dµ + ar22 ) Entonces r22 > r02 = − r22 > −. dµ a. dµ a. dµ + ar22 > 0 Por lo tanto ṙ|(θ2 ,r2 ) = r2 (dµ + ar22 ) > 0 entonces las soluciones se alejan de la órbita periódica. Concluimos entonces que r = r0 es una órbita periódica repulsora (ver figura 2.3). Los otros casos son similares. Si la órbita periódica es estable, diremos que tenemos una bifurcación de Hopf supercrı́tica, mientras que si es inestable la órbita periódica, diremos que la bifurcación de Hopf es subcrı́tica..

(18) 2.2. TEOREMA DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. 17. Figura 2.3: En este diagrama se puede ver claramente como las soluciones dentro de la órbita periódica convergen al origen, mientras que las que estan fuera se alejan de ella.. Figura 2.4: En este diagrama se puede ver a la bifurcación de Hopf como la proyección del movimiento de una canica sobre un sombrero.

(19) 18. 2.2.2.. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS. Teorema de la Bifurcación de Hopf. Teorema 2.4. Supongamos el sistema ẋ = f (x, µ). con x ∈ Rn , µ ∈ R tiene un equilibrio (x0 , µ0 ) el cual satisface las siguientes propiedades: (A1) Dx f (x0 , µ0 ) posee un único par de valores propios complejos con parte real cero. (A2) Sea λ(µ), λ(µ) los valores propios de Dx f (x0 , µ) los cuales son imaginarios en µ = µ0 , tales que d (Re(λ(µ))) |µ=µ0 = d 6= 0 dµ. (2.7). Entonces existe una única variedad central tridimensional, pasando por (x0, µ0 ) ∈ Rn × R y un sistema de coordenadas suave, cuya expansión en serie de Taylor, hasta grado tres sobre la variedad central, esta dado, en forma polar, por la siguiente expresión ṙ = (dµ + ar2)r θ̇ = ω + cµ + br2 Si a 6= 0 entonces existe una superficie de órbitas periódicas en la variedad central, las cuales tienen tangencia cuadrática con el eigenespacio generado por λ(µ0 ), λ(µ0 ). Si a < 0 las órbitas periódicas son estables, mientras que si a > 0 son inestables. Para sistemas en el plano, existe una expresión para calcular el llamado primer coeficiente de Lyapunov a. Considere el sistema. ẋ = J x + F (x),. donde J =. . 0 −ω ω 0.    F1(x) , F (x) = , F (0) = 0 y DF (0) = 0. Entonces F2(x) a=. 1 (R1 + ωR2 ), 16ω. (2.8).

(20) 2.2. TEOREMA DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. 19. donde R1 = (F1x1 x2 (F1x1x1 + F1x2x2 ) −F2x1x2 (F2x1x1 + F2x2 x2 ) −F1x1x1 F2x1x1 + F1x2 x2 F2x2x2 )|x=0 R2 = (F1x1 x1 x1 + F1x1 x2 x2 + F2x1x1 x2 + F2x2x2 x2 )|x=0.. Tenemos entonces, los siguientes cuatro escenarios posibles: a. Si d > 0, a < 0. El origen es estable para µ < 0, inestable para µ > 0, y rodeado por una órbita periódica estable para µ > 0. Esta situación es mostrada en la figura (2.5). b. Si d < 0, a < 0. El origen es inestable para µ < 0 y estable para µ > 0. El origen es rodeado por una órbita periódica estable para µ < 0. c. Si d > 0, a > 0. El origen es estable para µ < 0 e inestable para µ > 0. Además, el origen es rodeado por una órbita periódica inestable para µ < 0. d. Si d < 0, a > 0. El origen es inestable para µ < 0, estable para µ > 0, y rodeado por una órbita periódica inestable para µ > 0. Esta situación es mostrada en la figura (2.6). Llamaremos los coeficientes de estabilidad a d y a, donde d es la velocidad de cruce y a es el primer coeficiente de Lyapunov. Diremos que tenemos el control de la bifurcación de Hopf si es posible establecer a priori el signo de d y a..

(21) 20. 2.3.. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS. Control de una Bifurcación. La investigación teórica sobre la bifurcación de los sistemas de control es un tópico relativamente nuevo. La primer pregunta que tenemos que contestar es ¿Qué queremos decir con la terminologı́a bifurcación de sistemas de control?. Revisemos la bifurcación de un sistema dinámico clásico ξ˙ = f (ξ, µ). La teorı́a de bifurcaciones clásica estudia el cambio en las propiedades cualitativas del sistema dinámico cuando se varı́a el parámetro. ¿Cuáles son las propiedades cualitativas? Algunas propiedades importantes incluyen la topologı́a del conjunto de puntos de equilibrio, la estabilidad y la existencia de soluciones periódicas. Por lo tanto si alguna de esas propiedades cambia en un sistema dinámico cuando se varı́a el parámetro, decimos que el sistema exhibe una bifurcación. Bifurcaciones tı́picas incluyen a la silla-nodo, transcrı́tica, horquilla (en todas, la topologı́a del conjunto de puntos de equilibrio y la estabilidad son cambiadas). Sigamos con la misma forma de pensar para los sistemas de control. La teorı́a de bifurcaciones de los sistemas de control deberı́a estudiar el cambio de las propiedades cualitativas. ¿Cuáles son las propiedades cualitativas importantes en los sistemas de control? Algunas propiedades importantes de un sistema de control incluyen: La controlabilidad, la estabilidad y la topologı́a del conjunto de puntos de equilibrio. Problema 1. Bifurcación de sistemas de control. Éste se enfoca en el cambio de las propiedades cualitativas de los sistemas de control tales como la controlabilidad, estabilidad y la topologı́a del conjunto de equilibrios. Ası́ que la bifurcación de un sistema de control puede tener un significado diferente a la bifurcación de sistemas dinámicos sin control. Uno puede preguntarse cual es la relación entre la bifurcación de un sistema de control y la bifurcación clásica de un sistema dinámico? Sabemos que si una ley de control es aplicada a un sistema de control, éste se convierte en un sistema dinámico sin control (si una ley de control es aplicada, éste es un sistema con un parámetro). Sin embargo si distintas leyes de control se aplican al mismo sistema pueden resultar bifurcaciones completamente diferentes. Este fenómeno nos deja el segundo problema de investigación. Problema 2. Control de bifurcaciones usando una ley de control. El problema se enfoca en el diseño de la ley de control para lograr la estabilidad alrededor de un punto crı́tico, o para lograr el comportamiento deseado por cambios cualitativos en bifurcaciones clásicas. Sabemos que las propiedades cualitativas tales como la controlabilidad y estabilidad de un sistema de control son invariantes bajo cambios de coordenadas y el control regular u = α(ξ) + β(ξ)v si β(ξ) 6= 0. También es sabido que los sistemas pueden hacerse mas simples si se aplican cambios sutiles de coordenadas y leyes de control. Sin embargo, dos sistemas que pueden verse diferentes, es posible que en realidad sean equivalentes uno al otro bajo un cambio de coordenadas y una ley de control..

(22) 2.3. CONTROL DE UNA BIFURCACIÓN. 21. Ası́ los dos sistemas tienen las mismas propiedades cualitativas y la misma bifurcación. Por lo tanto, si podemos encontrar sistemas de control simples que son equivalentes a una familia de sistemas de control complicados, la bifurcación encontrada para estos sistemas simples representa la bifurcación de todos los sistemas en la familia. Esta investigación simplifica significativamente el problema. Este punto de vista nos deja la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los sistemas más simples bajo cambios de coordenadas y control para una familia dada de sistemas de control?. Esto es equivalente al siguiente problema de formas normales. Problema 3. Dada una familia de sistemas de control no-lineales, encontrar un conjunto de formas normales equivalentes a los sistemas en la familia bajo cambios de coordenadas y control. El presente trabajo se desarrolla en el contexto de problema 2: diseñaremos una ley de control que nos permita manipular los distintos escenarios alrededor de la bifurcación de Hopf..

(23) 22. CAPÍTULO 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS. r2 = −µ da. z2 6. ?. •. • 6. M. µ. • 6. 6. z1. Figura 2.5: Bifurcación de Hopf Supercrı́tica: Una órbita periódica estable y un punto de equilibrio inestable surgen de un punto de equilibrio estable.. r2 = −µ da. z2 6. ?. •. • 6. M. µ. • 6. 6. z1. Figura 2.6: Bifurcación de Hopf Subcrı́tica: Un equilibrio estable y una órbita periódica inestable se funden en un punto de equilibrio inestable..

(24) Capı́tulo 3. Control de la Bifurcación de Hopf 3.1.. Planteamiento del problema. Considere el sistema de control no lineal ξ˙ = F (ξ) + G(ξ)u,. (3.1). donde ξ ∈ Rn es el vector de estado y u ∈ R es el parámetro de control. Los campos vectoriales F (ξ) y G(ξ) se supone que son lo suficientemente suaves, con F (0) = 0. Supongamos que   JH 0 J = DF (0) = 0 JS   0 −ω0 , y JS ∈ R(n−2)×(n−2) es una matriz Hurwitz, es decir, una con JH = ω0 0 2×2 matriz con valores propios con parte real negativa.       G1 (ξ) z F1 (ξ) , G(ξ) = ,yξ= , con Supongamos que F (ξ) = w F2 (ξ) G2 (ξ) z ∈ R2, w ∈ Rn−2 , F1, G1 : R2 × Rn−2 → R2 , y F2 , G2 : R2 × Rn−2 → Rn−2 . Entonces expandiendo en serie de Taylor el sistema (3.1) alrededor de ξ = 0 nos queda   1 1 1 2 3 2 ξ˙ = Jξ + D F (0)(ξ, ξ) + D F (0)(ξ, ξ, ξ) + ... + b + Mξ + D G(0)(ξ, ξ) + ... u, 2 6 2 pero  ∂ 2F  ∂2F ∂z 2 ∂z∂w   , ∂F , D2 F (z, w) =  DF (z, w) = ∂F ∂z ∂w ∂ 2F ∂w∂z. 23. ∂2F ∂w 2.

(25) 24. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. ∂ (D2 F (z, w) ∂z. D3 F (z, w) =. 3. D F (z, w). . z w. . ,. ∂ ∂w.  (D2 F (z, w))) = M.             z z z z z , , = (z, w)M , (z, w)M w w w w w. Entonces. F (z, w) =. . +. G(z, w) =. . b1 b2. . JH 0 0 JS. . z w. . . 1 + (z, w)  2. ∂2F ∂z 2. (0, 0). ∂2F (0, 0) ∂w∂z. ∂2F (0, 0) ∂z∂w ∂2F (0, 0) ∂w 2.  . . z w. . 1 ∂ 3F (0, 0)(z, z, z) + ... 6 ∂z 3. +. . M1 M2 M3 M4. . z w. . . 1 + (z, w)  2. ∂2G (0, 0) ∂z 2. ∂2G (0, 0) ∂z∂w. ∂2G (0, 0) ∂w∂z. ∂2G (0, 0) ∂w 2.  . . z w. . Entonces (3.1) es equivalente a ż = JH z + F21(z, w) + F31(z, w) + · · · +(b1 + M1 z + M2w + G21 (z, w) + · · · )u, ẇ = JS w + F22(z, w) + F32(z, w) + · · · +(b2 + M3 z + M4w + G22 (z, w) + · · · )u,. donde G(0) = b =. . b1 b2.    M1 M2 , DG(0) = con b1 ∈ R2 , b2 ∈ Rn−2 ,y M3 M4. 2 1 T ∂ 2 Fj 1 T ∂ 2 Fj T ∂ Fj z (0, 0)w + w (0, 0)z + z (0, 0)w, 2 ∂z 2 ∂z∂w 2 ∂w2 2 1 T ∂ 2 Gj 1 T ∂ 2Gj T ∂ Gj z (0, 0)w + w (0, 0)z + z (0, 0)w, G2j (z, w) = 2 ∂z 2 ∂z∂w 2 ∂w2 1 ∂ 3 Fj (0, 0)(z, z, z) + ..., F3j (z, w) = 6 ∂z 3. F2j (z, w) =. para j = 1, 2.. (3.2). + ....

(26) 3.2. CASO B1 = 0. 25. Deseamos diseñar una ley de control u = u(z, µ), con µ un parámetro real, tal que el sistema original (3.1) sufra una bifurcación de Hopf en ξ = 0 y µ = 0, y que podamos controlarla, es decir, que podamos decidir la estabilidad y la dirección de la solución periódica.. 3.2.. Caso b1 = 0. Consideramos la ley de control u(z, µ) = β1µ + β2(z12 + z22) = β1µ + β2z T z,. (3.3). donde β1, β2 ∈ R. Ahora, usamos la ley de control (3.3) en el sistema (3.2), (M1 z + M2 w + G21 + · · · )u = (M1 z + M2 w + G21 + · · · )(β1 µ + β2z T z) = β1µM1 z + β1µM2 w + β1 µG21 (z, w) +β2z T z(M1z + M2 w) + · · · (b2 + M3 z + M4 w + G22 + · · · )u = (b2 + M3z + M4 w + G22 + · · · )(β1µ + β2z T z) = β1µb2 + β1µM3 z + β1µM4 w + β1 µG22 (z, w) +β2z T z(b2 + M3 z + M4 w) + · · · , Luego, obtenemos el sistema en lazo cerrado ż = JH z + F1(z, w, µ) ẇ = β1 b2µ + JS w + F2 (z, w, µ),. (3.4). donde. F1 (z, w, µ) = β1µM1 z + β1 µM2 w + F21(z, w) + β1µG21 (z, w) +β2z T z(M1 z + M2 w) + F31(z, w) + ..., F2 (z, w, µ) = β1µM3 z + β1 µM4 w + F22(z, w) + β1µG22 (z, w) +β2z T z(b2 + M3 z + M4 w) + F32(z, w) + ..., Entonces nuestro objetivo es encontrar β1 y β2 tal que el sistema (3.4) sufra una bifurcación de Hopf que pueda ser controlable. Para esto utilizamos la teorı́a de la variedad central..

(27) 26. 3.2.1.. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Variedad Central. La ecuación (3.4) representa una familia µ-parametrizada de sistemas, la cual puede escribirse como un sistema extendido. .   0 0 ż JH  µ̇  =  0 0 0 0 β1 b2 JS ẇ  F1 (z, w, µ) + 0 F2 (z, w, µ). .  z  µ  w  .. En esta forma, el sistema tiene una variedad central tridimensional alrededor del origen. Para encontrar esta variedad necesitamos cambiar de coordenadas para poner la parte lineal en forma diagonal. Usaremos el cambio de coordenadas    x z  µ  = P  µ , y w . donde. .  JH 0 0 1 0 , P= 0 −1 0 −β1JS b2 JS  −1  JH 0 0 P −1 =  0 1 0 . −2 0 β1 JS b2 JS−1. Ahora, como .        z x x z  µ  = P  µ  =⇒  µ  = P −1  µ  w y y w .         ẋ 0 0 ż JH z F1(z, w, µ)  µ̇  = P −1  µ̇  = P −1  0  0 0   µ  + P −1  0 ẏ 0 β1b2 JS F2(z, w, µ) ẇ w     x F1(z, w, µ) −1 −1    , µ 0 +P = P AP y F2(z, w, µ).

(28) 3.2. CASO B1 = 0. 27. donde    JH JH 0 0 0 0 0 0 JH−1 1 0  0 0 0  0 1 0  P −1 AP =  0 −2 −1 −1 0 β1JS b2 JS 0 β1 b2 JS 0 −β1JS b2 JS    I2×2 JH 0 0 0 0  0 0 0 1 0  =  0 −1 −1 0 JS β1b2 I(n−2)×(n−2) 0 −β1JS b2 JS   JH 0 0  0 0 0  = 0 0 JS .   −1   JH 0 0 F1(z, w, µ) F1 (z, w, µ)  =  0  P −1  0 1 0  0 −2 −1 F2(z, w, µ) 0 β1 JS b2 JS F2 (z, w, µ)   −1 JH F1(z, w, µ)   0 = −1 J F2(z, w, µ)  S−1  JH F1(JH x, −β1JS−1 b2 µ + JS y, µ)  0 =  −1 −1 JS F2(JH x, −β1JS b2 µ + JS y, µ) . Entonces podemos poner (3.4) en    ẋ JH  µ̇  =  0 ẏ 0. su forma estándar     0 0 x f (x, µ, y) , 0 0  µ  +  0 0 JS y g(x, µ, y). ó ẋ = JH x + f (x, µ, y), µ̇ = 0, ẏ = JS y + g(x, µ, y),. (3.5). f (x, µ, y) = JH−1F1 (JH x, µ, −β1JS−1 b2µ + JS y), g(x, µ, y) = JS−1F2 (JH x, µ, −β1JS−1 b2µ + JS y).. (3.6) (3.7). donde.

(29) 28. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Buscamos una variedad central 1 1 y = h(x, µ) = xT H1 x + xT H2 µ + H3 µ2 + · · · 2 2. (3.8). tal que h(0, 0) = 0 con Dh(0, 0) = 0, h : R3 → Rn−2 y 1 1 hi (x, µ) = xT H1i x + xT H2i µ + H3i µ2 + · · · 2 2 para i = 1, 2, 3, ..., n − 2. Sustituyendo (3.8) en (3.5) y usando la regla de la cadena, obtenemos ẏ = Entonces. ∂h(x, µ) ∂h(x, µ) ẋ + µ̇ ∂x ∂µ. ∂h(x, µ) ẋ = JS h(x, µ) + g(x, µ, h(x, µ)). ∂x. Luego, obtenemos ∂h(x, µ) [JH x + f (x, µ, h(x, µ))] − JS h(x, µ) − g(x, µ, h(x, µ)) ≡ 0, ∂x. La cual, hasta orden dos se reduce a ∂h(x, µ) JH x − JS h(x, µ) − g2 (x, µ) ≡ 0, ∂x. (3.9). donde g(x, µ, h(x, µ)) = g2 (x, µ) + O(|x, µ|3) Esta ecuación diferencial parcial para h la resolveremos para el caso particular en que JS es diagonal, es decir,   0 λ1   .. JS =  , . 0 λn−2 con λj < 0 para cada j.     . ∂h1 ∂x ∂h2 ∂x. .. .. ∂hn−2 ∂x. . .     J x −   H  . . λ1 λ2 ... . λn−2.    . h1 h2 .. . hn−2. . .     −  . g21 g22 .. . g2,n−2. .   ≡0 .

(30) 3.2. CASO B1 = 0. 29 ∂h1 JH x − λ1 h1 − g21 ≡ 0 ∂x ∂h2 JH x − λ2 h2 − g22 ≡ 0 ∂x .. . ∂hn−2 JH x − λn−2 hn−2 − g2,n−2 ≡ 0 ∂x. Ahora, estamos interesados en calcular H1 porque haremos µ = 0 cuando calculemos el primer coeficiente de Lyapunov a. Ahora, si 1 1 g2 (x, µ) = xT N1 x + xT N2 µ + N3 µ2 , 2 2. (3.10). con 1 1 g2i (x, µ) = xT N1i x + xT N2i µ + N3i µ2 , 2 2 para i = 1, 2, 3, ..., n − 2. Entonces de (3.9) obtenemos,. ∂hi (x, µ) JH x − λi hi (x, µ) − g2i (x, µ) = (xT H1i + H2i µ)JH x ∂x 1 1 −λi ( xT H1i x + xT H2i µ + H3i µ2 ) 2 2 1 T 1 T −( x N1i x + x N2i µ + N3i µ2 ) 2 2 1 1 T = x (H1i JH − λi H1i − N1i )x 2 2 +xT (JHT H2 iT − λi H2i − N2i)µ 1 1 +(− λi H3i − N3i )µ2 2 2 ≡ 0 Ahora, como haremos µ = 0 nada mas tenemos 1 1 xT (H1i JH − λi H1i − N1i )x ≡ 0 2 2.

(31) 30. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Lo cual puede suceder si y sólo si   1 1 0 −δi H1i JH − λi H1i − N1i = Ai = δi 0 2 2 1 1 H1i (JH − λi I) − N1i = Ai 2 2 1 1 H1i (JH − λi I) = Ai + N1i 2 2 1 1 H1i = (Ai + N1i )(JH − λi I)−1 2 2 H1i = (2Ai + N1i )Ri. donde I =. . 1 0 0 1. . y. Ri = = = = = =. 1 1 (JH − λi I)−1 2 2  −1   1 λi 0 1 0 −ω0 − ω0 0 0 λi 2 2 −1  1 1 − 2 λi −ω0 ω0 − 12 λi 2  1 −1 − 4 λi − 12 ω0 1 ω − 14 λi 2 0   −1 λi −2ω0 λi λ2i + 4ω02 2ω0   −1 λi −2ω0 2ω0 λi ∆i. donde ∆i = λ2i + 4ω02 Ahora vamos a calcular N1 . Observemos de (3.7), g(x, µ, h(x, µ)) = JS−1 F2 (JH x, µ, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) donde. (3.11).

(32) 3.2. CASO B1 = 0. 31. F2(JH x, µ, −β1JS−1b2 µ + JS h(x, µ)) = β1µM3 JH x + β1 µM4 (−β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) +F22(JH x, −β1JS−1 b2 µ + JS h(x, µ)) +β2xT JHT JH x(b2 + M3 JH x +M4(−β1JS−1 b2 µ + JS h(x, µ))) +β1µG22 (JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) +F32(JH x, −β1JS−1 b2 µ + JS h(x, µ)) + · · · Los términos que interesan son F22(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) y β2 xT JHT JH xb2, donde 1 T T ∂ 2 F2 x JH (0, 0)JH x + · · · 2 ∂(JH x)2 = β2 xT ω02 Ixb2 = β2 ω02xT xb2,. F22(JH x, −β1JS−1 b2 µ + JS h(x, µ)) = β2 xT JHT JH xb2. ya que JHT JH. =. . 0 ω0 −ω0 0. . 0 −ω0 ω0 0. . =. . ω02 0 0 ω02. . = ω02 I.. Entonces 1 ∂ 2 F2 g(x, µ, h(x, µ)) = JS−1 ( xT JHT (0, 0)JH x + β2ω02 xT xb2 + · · · ) 2 ∂(JH x)2 1 −1 T T ∂ 2F2 = J (x JH (0, 0)JH x) + β2 ω02 xT xJS−1b2 + · · · 2 S ∂(JH x)2 con 1 −1 T T ∂ 2F2 1 JS (x JH (0, 0)JH x) = xT Ax 2 2 ∂(JH x) 2.

(33) 32. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF 2. donde A = A(ω0, λi , ∂∂zF22 (0, 0)), y .  β2 ω02xT xJS−1b2 = β2 ω02 xT x  .  = β2 ω02  .  = β2 ω02 . b21 λ1. .. .. b2,n−2 λn−2. b21 T x x λ1. .. ..      . b2,n−2 T x x λn−2 xT ( bλ211 I)x. .. .. xT (. b2,n−2 I)x λn−2.   . = β2 ω02 xT Bx. donde Bi =. b2i I λi 2. . 2×2. .Por lo tanto, 1 T x Ax + β2 ω02xT Bx + · · · 2 1 T = x (A + 2β2ω02 B)x + · · · , 2. g(x, µ, h(x, µ)) =. Entonces de (3.10), N1 = A + 2β2 ω02 B Ahora, de (3.11) obtenemos H1i = (2Ai + N1i )Ri = (2Ai + Ai + 2β2ω02 Bi )Ri          −1 c1i c2i 1 0 λi −2ω0 0 −2δi 2 b2i + + 2β2ω0 = 2δi 0 c2i c3i 2ω0 λi 0 1 λi ∆i    2 b2i −2δi + c2i −1 c1i + 2β2 ω0 λi λi −2ω0 = 2 b2i 2ω λi 2δ + c c + 2β ω ∆i 0 i 2i 3i 2 0 λi   −1 λi (c1i + 2β2ω02 bλ2ii ) + 2ω0 (−2δi + c2i ) −2ω0 (c1i + 2β2 ω02 bλ2ii ) + λi (−2δi + c2i) = −2ω0 (2δi + c2i ) + λi (c3i + 2β2 ω02 bλ2ii ) λi (2δi + c2i) + 2ω0 (c3i + 2β2ω02 bλ2ii ) ∆i   α1i α2i , entonces igualando las entradas podemos calcular la δi Ahora, si H1i = α2i α3i.

(34) 3.2. CASO B1 = 0. 33. b2i b2i ) + λi (−2δi + c2i ) = λi (2δi + c2i ) + 2ω0 (c3i + 2β2 ω02 ) λi λi b b2i 2i λi (−2δi + c2i − 2δi − c2i ) = 2ω0 (c3i + 2β2 ω02 + c1i + 2β2 ω02 ) λi λi b2i −4δi λi = 2ω0 (c1i + c3i + 4β2ω02 ) λi 1 ω0 b2i δi = − tr(Ai ) − 2β2ω03 2 2 λi λi. −2ω0 (c1i + 2β2ω02. Pero. Ai.  0 −δi = δi 0 = δi I0 1 ω0 b2i = − tr(Ai)I0 − 2β2ω03 2 I0 2 λi λi . Luego, entonces. H1i = (2Ai + Ai + 2β2 ω02Bi )Ri ω0 b2i = (− tr(Ai)I0 − 4β2 ω03 2 I0 + Ai + 2β2ω02 Bi )Ri λi λi ω0 b2i = (Âi + 2β2ω02 Bi − 4β2 ω03 2 I0)Ri , con Âi = Ai − tr(Ai )I0 λi λi b2i b2i = (Âi + 2β2ω02 I − 4β2 ω03 2 I0)Ri λi λi b2i = (Âi + 2β2ω02 2 (λi I − 2ω0 I0))Ri λi   2ω0 λi 2 b2i = (Âi + 2β2ω0 2 )Ri −2ω0 λi λi b2i = (Âi − 2∆i β2ω02 2 RTi )Ri λi b2i = Âi Ri − 2∆i β2ω02 2 RTi Ri λi.

(35) 34. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF RTi Ri.    1 2ω0 λi λi −2ω0 = −2ω0 λi 2ω0 λi ∆2i   1 ∆i 0 = 2 0 ∆i ∆i 1 I = ∆i. Entonces H1i = Āi + 2β2ω02 B̄i donde Āi = Âi Ri , y B̄i = − bλ2i2 I i Finalmente de (3.8), 1 h(x, µ) = xT H1 x + · · · , 2 donde H1 = Ā + 2β2ω02 B̄. 3.2.2.. Dinámica sobre la Variedad Central. Sobre la variedad central, la dinámica está dada por ẋ = JH x + f (x, µ, h(x, µ)),. (3.12). Observemos de (3.6), f (x, µ, h(x, µ)) = JH−1 F1 (JH x, µ, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) donde F1 (JH x, µ, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) = β1µM1 JH x + β1µM2 (−β1JS−1 b2 µ + JS h(x, µ)) +F21(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) +β1µG21 (JH x, −β1JS−1b2 µ + JS h(x, µ)) +β2xT JHT JH x(M1JH x +M2 (−β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ))) +F31(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) + · · · , Los términos que interesan son β1µM1 JH x, F21(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)), β2xT JHT JH xM1JH x.

(36) 3.2. CASO B1 = 0. 35. y F31(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) donde 1 T T ∂ 2 F1 x JH (0, 0)JH x 2 ∂z 2 ∂ 2 F1 (0, 0)(−β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) + ... +xT JHT ∂z∂w 3 ∂ 1 F 1 (0, 0)(z, z, z) + ... F31(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) = 6 ∂z 3. F21(JH x, −β1JS−1 b2µ + JS h(x, µ)) =. entonces f (x, µ, h(x, µ)) = JH−1F1 (JH x, µ, −β1JS−1 b2 µ + JS h(x, µ)) = β1µJH−1 (M1 − bT2 (JS−1 )T F1wz (0, 0))JH x 1 + JH−1 (xT JHT F1zz (0, 0)JH x) 2 +JH−1(xT JHT F1zw (0, 0)JS h(x, µ)) +β2JH−1 (xT JHT JH x)M1 JH x 1 + JH−1 (xT JHT F1zzz (0, 0)JH x)JH x + · · · , 6 Pero, definimos M = JH−1(M1 − bT2 (JS−1 )T F1wz (0, 0))JH ; 1 1 T x Qx = JH−1 (xT JHT F1zz (0, 0)JH x); 2 2. (3.13). 2. donde Q = Q(ω0 , ∂∂zF21 (0, 0)), y 1 C(x, x, x) = JH−1 (xT JHT F1zw (0, 0)JS h(x, µ)) 6 +β2JH−1 (xT JHT JH x)M1 JH x 1 + JH−1 (xT JHT F1zzz (0, 0)JH x)JH x. 6 Observemos que 1 1 −1 T T JH (x JH F1zzz (0, 0)JH x)JH x = C0 (x, x, x) 6 6. (3.14).

(37) 36. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. 3. con C0 = C0(ω0 , ∂∂zF31 (0, 0)); β2JH−1 (xT JHT JH x)M1 JH x = β2ω02 xT x(JH−1 M1JH )x     1 0 m11 m12 0 −ω0 2 T ω0 x = β2 ω 0 x x − ω10 0 m21 m22 ω0 0   1  0 ω0 m12 −ω0m11 2 T ω0 = β2 ω 0 x x x − ω10 0 ω0 m22 −ω0m21   m22 −m21 2 T = β2 ω 0 x x x −m12 m11   m22x1 − m21x2 2 2 2 = β2ω0 (x1 + x2 ) −m12x1 + m11x2   (x21 + x22)(m22x1 − m21x2) 2 = β2 ω 0 (x21 + x22 )(−m12x1 + m11x2) = β2ω02 CM (x, x, x), con CM =. . m22I2 −m21I2 −m12I2 m11I2. . ,. (3.15). y 1 JH−1 (xT JHT F1zw (0, 0)JS h(x, µ)) = JH−1 (xT JHT F1zw (0, 0)JS ( xT (Ā + 2β2ω02 B̄)x)) 2 1 −1 T T = JH (x JH F1zw (0, 0)JS (xT Āx)) 2 +β2 ω02JH−1 (xT JHT F1zw (0, 0)JS (xT B̄x)) 1 C (x, x, x) + β2ω02 CB̃ (x, x, x) = 2 Ã 2. 2. ∂ F1 con CÃ = CÃ (ω0 , λi , ∂∂zF22 (0, 0), ∂z∂w (0, 0)) y. CB̃ (x, x, x) = JH−1 (xT JHT F1zw (0, 0)JS (xT B̄x)).

(38) 3.2. CASO B1 = 0. 37. Ahora vamos a calcular CB̃ .Observemos que F1zw (0, 0) =. . 1 F1zw (0, 0) 2 (0, 0) F1zw. . ,. (3.16). donde. j F1zw (0, 0). =.  . = . j F1z (0, 0) 1w j F1z2 w (0, 0) ∂ 2 F1j (0,0) , ∂w1 ∂z1 ∂ 2 F1j (0,0) , ∂w1 ∂z2.  ..., ...,. ∂ 2 F1j (0,0) ∂wn−2 ∂z1 ∂ 2 F1j (0,0) ∂wn−2 ∂z2.   2×(n−2). y .  JS (xT B̄x) =  .  = . 0. λ1 .. 0. . λn−2. xT (λ1 B̄1 )x .. .. .  xT (B̄1 )x   ..  , . T x (B̄n−2 )x   ,. xT (λn−2 B̄n−2 )x   −xT ( bλ211 I)x ..   =   . T b2,n−2 −x ( λn−2 I)x. (n−2)×1. T. = x B̃x. donde B̃i =. −b2i I, λi 2. entonces T. T. F1zw (0, 0)JS (x B̄x) = F1zw (0, 0)(x B̃x) =. donde. . 1 F1zw (0, 0)(xT B̃x) 2 (0, 0)(xT B̃x) F1zw. . ,.

(39) 38. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Pn−2. ∂ 2 F1j (0,0) T k=1 ∂wk ∂z1 x B̃k x Pn−2 ∂ 2 F1j (0,0) T k=1 ∂wk ∂z2 x B̃k x. j (0, 0)(xT B̃x) = F1zw. j. ∂ 2 F1 (0,0) k=1 ∂wk ∂z1 B̃k )x Pn−2 ∂ 2 F j (0,0) xT ( k=1 ∂w1k ∂z2 B̃k )x  xT S1j x xT S2j x. xT (. = . =. Pn−2. ! !. con. Sij. =. n−2 2 j X ∂ F (0, 0) 1. ∂wk ∂zi. k=1 n−2 X. = −. k=1. B̃k. ∂ 2F1j (0, 0) b2k I ∂wk ∂zi λk. para i, j = 1, 2.. Entoces ahora, x. x. T. T. JHT. = (x1, x2). . 0 ω0 −ω0 0. JHT F1zw (0, 0)(xT B̃x). . = ω0 (−x2 , x1), entonces. = ω0 (−x2, x1). . xT S1j x xT S2j x. .  = ω0 −x2(xT S1j x) + x1 (xT S2j x)   −x2(xT S11 x) + x1 (xT S21 x) = ω0 , −x2(xT S12 x) + x1 (xT S22 x) por lo tanto JH−1(xT JHT F1zw (0, 0)xT B̃x). . . −x2(xT S11 x) + x1 (xT S21 x) = −x2(xT S12 x) + x1 (xT S22 x)   −x2 (xT S12x) + x1 (xT S22 x) = x2 (xT S11 x) − x1 (xT S21 x)   2 S2 −S12 (x, x, x), = −S21 S11 0 1 −1 0. .

(40) 3.2. CASO B1 = 0. 39. entonces CB̃ =. . S22 −S12 −S21 S11. . (3.17). Ahora reescribimos (3.14) 1 1 1 C = C0 + β2ω02 CM + CÃ + β2 ω02 CB̃ , 6 6 2. (3.18). Finalmente, la dinámica sobre la variedad central está dada por 1 1 ẋ = Jµ x + Q(x, x) + C(x, x, x) + · · · 2 6. (3.19). donde Jµ = JH + β1µM     0 −ω0 M11 M12 = + β1 µ ω0 0 M21 M22   β1µM11 −ω0 + β1µM12 = ω0 + β1µM21 β1µM22. 3.2.3.. Diseño de la ley de control. En esta sección vamos a probar, usando el teorema (2.4), bajo que condiciones el sistema (3.19) sufre la bifurcación de Hopf en x = 0 con µ = 0. Primero, vamos a probar que los valores propios de Jµ atraviezan el eje imaginario cuando µ = 0, y segundo, mostraremos que el primer coeficiente de Lyapunov a es diferente de cero. 1)Valores propios de Jµ : La ecuación caracterı́stica de la parte lineal de (3.19) está dada por λ2 − tr(Jµ )λ + det(Jµ ) = 0 donde tr(Jµ ) = β1µtr(M) det(Jµ ) = β12µ2 (M11M22) + (ω0 + β1 µM21)(ω0 − β1µM12 ) = β12µ2 (M11M22) + ω02 + β1 µω0 (M21 − M12) − β12µ2 (M12M21) = ω02 + β1µω0 (M21 − M12) + β12µ2 det(M),.

(41) 40. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. con M = (Mij ). Entonces, para µ suficientemente pequeña, los valores propios están dados por 1 λ(µ) = tr(Jµ ) ± i 2. s det(Jµ) −. . 1 tr(Jµ ) 2. 2. .. entonces, λ(0) = ±iω0 y 1 1 Re(λ(µ)) = tr(Jµ ) = β1µtr(M) 2 2 pero, de (3.13), tr(M) = = = =. tr(M1 − bT2 (JS−1 )T F1wz (0, 0)) tr(M1 ) − tr(bT2 (JS−1 )T F1wz (0, 0)) tr(M1 ) − tr(bT2 (JS−1 )T F1wz (0, 0))T T tr(M1 ) − tr(F1zw (0, 0)JS−1 b2 ).. Ahora bien de (3.16), T (0, 0)JS−1 b2 = F1zw. 1 2 F1zw JS−1 b2 F1zw JS−1 b2. . donde. j F1zw (0, 0)JS−1 b2. = =. entonces. .  j F1z (0, 0)JS−1 b2 1w j F1z (0, 0)JS−1 b2 2w Pn−2 ∂ 2 F1j (0,0) b2k ! k=1. ∂wk ∂z1 λk ∂ 2 F1j (0,0) b2k k=1 ∂wk ∂z2 λk. Pn−2. ,.

(42) 3.2. CASO B1 = 0. 41. T (0, 0)JS−1 b2) tr(F1zw. n−2 X b2k ∂ 2F 1(0, 0) 1. =. +. n−2 X b2k ∂ 2F 2(0, 0) 1. λk ∂wk ∂z1 λk ∂wk ∂z2 k=1   b2k ∂ 2F11(0, 0) ∂ 2F12(0, 0) = + λk ∂wk ∂z1 ∂wk ∂z2 k=1   1 n−2 X ∂F12 b2k ∂ ∂F1 = (0, 0) + (0, 0) λk ∂wk ∂z1 ∂z2 k=1 n−2 X. k=1. n−2 X b2k ∂ = (divz F1)(0, 0), λk ∂wk k=1. Por lo tanto, Re(λ(µ)) =. β1 µ K1, 2. donde n−2 X b2k ∂ K1 = tr(M1 ) − (divz F1)(0, 0), λk ∂wk. (3.20). k=1. y de (2.7), d Re(λ(µ))|µ=0 dµ β1 K1 = 2. d =. 2)Primer coeficiente de Lyapunov: De (2.8), a=. 1 (R1 + ω0 R2 ) 16ω0. entonces de nuestro sistema (3.19), haciendo µ = 0 1 ẋ = J0 x + Q(x, x) + 2 1 = J0 x + Q(x, x) + 2 = J0 x + f (x). 1 C(x, x, x) + ... 6 1 1 C0 + β2ω02 CM + CÃ + β2 ω02 CB̃ 6 2. (3.21).

(43) 42. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. donde. 1 1 1 f (x) = Q(x, x) + C0 + β2ω02 CM + CÃ + β2ω02 CB̃ 2 6 2  1 1 T 1 x Q1x + C01 + β2ω02 (x21 + x22)(m22x1 − m21x2 ) + CÃ1 2 6 2  + −x2(xT S12x) + x1(xT S22x)  1 1 T 1 x Q2x + C02 + β2ω02 (x21 + x22)(−m12x1 + m11x2 ) + CÃ2 f2 (x) = 2 6 2  T 1 T 1 + x2 (x S1 x) − x1 (x S2 x). f1 (x) =. f1x1 x1 x1 f1x1 x2 x2 f2x1 x1 x2 f2x2 x2 x2. = = = =. β2 ω02(6(m22 + s22)) + O(1) β2 ω02(2(m22 + s22)) + O(1) β2 ω02(2(m11 + s11)) + O(1) β2 ω02(6(m11 + s11)) + O(1). R1 |x=0 = γ1 R2 = 8β2 ω02 ((m11 + m22) + (s11 + s22)) + γ2  2 1 ! n−2 2 2 X ∂ b F (0, 0) F (0, 0) ∂ 2k 1 1 + γ2 = 8β2 ω02 tr(M1) − + λk ∂wk ∂z1 ∂wk ∂z2 k=1. =. 8β2 ω02 K1. + γ2 1 (γ1 + ω0 (8β2 ω02K1 + γ2 )) 16ω0 1 β2 ω02 K1 + γ = 2. a =. Hemos probado el siguiente resultado.. 3.2.4.. Teorema Principal. Teorema 3.1. Considere el sistema de control ξ˙ = F (ξ) + G(ξ)u, con F (0) = 0 y DF (0) = J =. . JH 0 0 JS.    0 −ω0 ,con JH = y ω0 0. (3.22).

(44) 3.2. CASO B1 = 0. 43. JS = diag{λ  1 ,· · · , λn−2 } Hurwitz. Si K1 , dado por (3.20) es diferente de cero, b1 G(0) = , con b1 = 0, entonces existen β1 y β2, tales que con la ley de control b2 u = β1µ + β2 (z12 + z22 ), el sistema sufre la bifurcación de Hopf en x = 0 con µ = 0. Mas aún, es posible controlar la estabilidad y la dirección de la órbita periódica cerca del origen, seleccionando el signo de d y a en (3.21) y (3.22), respectivamente.. 3.2.5.. Ejemplo. Consideremos un sistema no lineal en R3      a1z12 + a2z1 w 0 −ω0 a4z13 z+ ż = + + ... ω0 0 a5z1z22 a3z1 z2       m1 0 m3 + w + ... β1µ + β2(z12 + z22 ) z+ 0 m2 0  2 ẇ = λ1 w + b2 β1µ + β2(z1 + z22) . z˙1 = −ω0 z2 + (a1 z12 + a2 z1w + β1 m1µz1 + β1m3µw) +(a4z13 + m1β2 z1(z12 + z22) + m3 β2w(z12 + z22)) z˙2 = ω0 z1 + (a3z1z2 + m2β1µz2 ) + (a5 z1z22 + β2m2z2 (z12 + z22 )) ẇ = λ1 w + b2β1µ + β2b2(z12 + z22 ). Expresado como un sistema extendido serı́a     0 −ω0 z˙1   z˙2  ω0 0    =    µ̇  0 0  0 0 ẇ  F11(z, w, µ)  F12(z, w, µ) +  0 F14(z, w, µ) . .    .    0 0 0 0 (0) (0) β1b2 λ1.  z1   z2     µ  w .

(45) 44. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. donde F11(z, w, µ) = (a1 z12 + a2 z1w + β1 m1µz1 + β1m3µw) +(a4 z13 + m1 β2z1(z12 + z22 ) + m3β2w(z12 + z22 )) F12(z, w, µ) = (a3 z1z2 + m2β1µz2 ) + (a5z1 z22 + β2 m2z2(z12 + z22 )) F14(z, w, µ) = β2 b2(z12 + z22) Ahora, como. . . . 0. x1 −1  x2   ω0  =   µ   0 0 y . 1 ω0. . 1 ω0. 0 0 0. 0 0 1. 0 0 0. β1 b2 λ21. 1 λ1. .  z1    z2    µ   w. F11(−ω0 x2 , ω0 x1, µ, λ1 y − f (x1, x2 , µ, y) = −1 0 F12(−ω0 x2 , ω0 x1, µ, λ1 y − ω0 ! β1 b2 1 F (−ω x , ω x , µ, λ y − µ) 12 0 2 0 1 1 ω0 λ1 = β1 b2 −1 F (−ω x , ω x , µ, λ y − µ) 11 0 2 0 1 1 ω0 λ1   f1(x1 , x2, µ, y) = f2(x1 , x2, µ, y) 0. β1 b2 µ) λ1 β1 b2 µ) λ1. !.   1 β1 b2 g(x1 , x2, µ, y) = F14 −ω0 x2, ω0 x1 , µ, λ1 y − µ λ1 λ1 1 β2b2 ω02(x21 + x22) = λ1 donde  1 −a3ω02 x1x2 + m2β1µω0 x1 − a5ω03 x2 x21 + β2m2 ω03 x1(x21 + x22) ω0 = −a3ω0 x1x2 + m2β1µx1 − a5ω02 x2 x21 + β2m2 ω02 x1(x21 + x22)   −1 β1b2 2 2 (a1ω0 x2 − a2ω0 x2 λ1 y − µ − β1m1 µω0 x2 − a4ω03 x32 f2(x1 , x2, µ, y) = ω0 λ1 3 2 2 −m1β2ω0 x2(x1 + x2))   β1b2 2 µ + β1 m1µx2 + a4ω02 x32 = −a1ω0 x2 + a2 x2 λ1 y − λ1 +m1β2ω02 x2(x21 + x22). f1(x1 , x2, µ, y) =.

(46) 3.2. CASO B1 = 0. 45. La variedad central que buscamos es 1 1 y = h(x, µ) = xT H1 x + xT H2 µ + H3 µ2 + · · · 2 2 ẏ = xT H1 ẋ λ1 h(x, µ) + g(x, µ, h(x, µ)) = xT H1 JH x xT H1 JH x − λ1 h(x, µ) − g(x, µ, h(x, µ)) ≡ 0 1 β2b2 ω02 T x Ix ≡ 0 xT H1 JH x − λ1 xT H1 x − 2 λ1 1 β2b2 ω02 I)x ≡ 0 xT (H1 JH − λ1 H1 − 2 λ1 x. T. . α11 α12 α12 α22. xT. . 0 −ω0 ω0 0. . α12 ω0 − 12 λ1 α11 −. 1 − λ1 2. . α11 α12 α12 α22. β2 b2 ω02 λ1. α22ω0 − 12 λ1 α12. . β2 b2ω02 − λ1. . −α11 ω0 − 12 λ1 α12 −α12ω0 − 12 λ1 α22 −. β2 b2 ω02 λ1. Si resolvemos el sistema para α11, α12 y α22 obtenemos α11 =. Entonces H1 =. −2β2 b2 ω02 I, λ21. −2β2 b2 ω02 λ21. = α22, α12 = 0. luego y = h(x, µ) =. −β2 b2 ω02 (x21 λ21. + x22). Cálculo de la velocidad de cruce Jµ = JH + β1µM     0 m2 0 −ω0 + β1 µ = 0 m1 − λb21 a2 ω0 0   −ω0 β1 µm2 = ω0 β1µ(m1 − λb21 a2). 1 0 0 1. !. . x≡0. x≡0.

(47) 46. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF λ2 − tr(Jµ )λ + det(Jµ ) = 0   b2 tr(Jµ ) = β1 µ m1 + m2 − a2 λ1   b2 2 2 2 det(Jµ ) = ω0 + β1 µ m2 m1 − a2 λ1 s  2 1 1 tr(Jµ ) . λ(µ) = tr(Jµ ) ± i det(Jµ) − 2 2   1 b2 1 Re(λ(µ)) = tr(Jµ ) = β1µ m1 + m2 − a2 2 2 λ1 d Re(λ(µ))|µ=0 dµ   β1 b2 m1 + m2 − a2 = 2 λ1   β1 b2 ∂ = tr(M1) − (divz F1 ) 2 λ1 ∂w β1 K1 = 2. d =. Cálculo del primer coeficiente de Lyapunov Tenemos que f1(x1 , x2, µ, y) = −a3ω0 x1x2 + m2β1µx1 − a5ω02 x2 x21 + β2m2 ω02 x1(x21 + x22)   β1b2 2 µ + β1 m1µx2 + a4ω02 x32 f2(x1 , x2, µ, y) = −a1ω0 x2 + a2 x2 λ1 y − λ1 +m1β2ω02 x2 (x21 + x22) β2ω02 b2 2 β1b2 (x1 + x22) − a2 x2 µ = −a1ω0 x22 − a2x2 λ1 λ1 +β1m1µx2 + a4ω02 x32 + m1β2ω02 x2 (x21 + x22 ) f1x1 x1 x1 = 6β2 m2ω02 f1x1 x2 x2 = 2β2 m2ω02 β2ω02 b2 f2x1 x1 x2 = −2a2 + 2m1 β2ω02 λ1 β2ω02 b2 f2x2 x2 x2 = −6a2 + 6a4 ω02 + 6m1 β2ω02 λ1.

(48) 3.2. CASO B1 = 0. 47. 6. 6. •. 6. • -. •. -. •. •. • -. •. • µ<0. µ=0. • µ>0. Figura 3.1: Cruce positivo de los valores propios a través del eje imaginario. R1 |x=0 = 0 b2 R2 = 8β2 ω02m2 + 8β2 ω02m1 − 8β2ω02 a2 + 6a4ω02 λ1   b 2 = 8β2 ω02 m1 + m2 − a2 + 6a4 ω02 λ1   b2 ∂ 2 (divz F1 ) + 6a4 ω02 = 8β2 ω0 tr(M1 ) − λ1 ∂w 1 (R1 + ω0 R2 ) 16ω0 R2 = 16   1 b2 ∂ 3 2 = β2 ω0 tr(M1) − (divz F1 ) + a4ω02 2 λ1 ∂w 8 1 3 β2 ω02 K1 + a4ω02 = 2 8. a =. Si fijamos los valores ω0 = b2 = m1 = m2 = m3 = 1, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 1, λ1 = −1.

(49) 48. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. tendrı́amos que 3 β1 2 3 3 β2 + a = 2 8. d =. Investiguemos el caso en el que d > 0 y a < 0, es decir cuando tenemos una velocidad de cruce positiva (ver figura 3.1) y un coeficiente de Lyapunov negativo. Entonces para este caso la órbita serı́a atractora y se originarı́a para algún valor µ > 0 (ver figura 3.2). Para que suceda esto fijamos los valores β1 = 1 y β2 = −1. Utilizando el paquete de simulación Simnon encontramos que efectivamente se origina una órbita periódica para µ = 0,1 (ver figura 3.3). Investiguemos ahora el caso en el que a = 0, es decir el caso degenerado. En esta situación tendrı́amos una susceción de cı́rculos para µ = 0 (ver figuras 3.4 y 3.5). Para que suceda esto fijamos los valores β1 = 1 y β2 = − 14 .. Figura 3.2: Escenario de creación de la órbita periódica estable.

(50) 3.2. CASO B1 = 0. 49. Figura 3.3: Órbita periódica estable para µ = 0,1. Figura 3.4: Caso degenerado.

(51) 50. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Figura 3.5: Caso degenerado. 3.3.. Caso b1 6= 0. Consideramos la ley de control u(z, µ) = µ(α1 z1 + α2 z2) + β1z13 + β2 z23 = µLz + C0 (z). (3.23). donde α1 , α2 , β1, β2 ∈ R y L = (α1, α2 ). Ahora, usamos la ley de control (3.23) en el sistema (3.2). (b1 + M1 z + M2 w + · · · )u = = (b2 + M3 z + M4 w + · · · )u = =. (b1 + M1 z + M2 w + · · · )(µLz + C0 (z)) b1 (µLz) + M1 z(µLz) + M2w(µLz) + b1 C0 (z) + · · · (b2 + M3 z + M4 w + · · · )(µLz + C0 (z)) b2 (µLz) + M3 z(µLz) + M4w(µLz) + b2 C0 (z) + · · ·. Obtenemos el sistema en lazo cerrado ż = JH z + µb1 Lz + F3 (z, w, µ) ẇ = JS w + µb2 Lz + F4 (z, w, µ),. (3.24).

(52) 3.3. CASO B1 6= 0. 51. donde F3(z, w, µ) = F21(z, w) + µLz(M1 z + M2w) +F31(z, w) + b1 C0 z + ..., F4(z, w, µ) = F22(z, w) + µLz(M3 z + M4w) +F32(z, w) + b2 C0 z + ...,. 3.3.1.. Variedad Central. La ecuación (3.24) representa una familia µ-parametrizada de sistemas, la cual puede escribirse como un sistema extendido.     JH 0 0 ż z  µ̇  =  0 0 0   µ  ẇ w 0 0 JS   µb1Lz + F3(z, w, µ) . + 0 µb2Lz + F4(z, w, µ) . Entonces podemos poner (3.24) en su forma estándar        ż JH 0 0 z f (z, µ, w)  µ̇  =  0 0 0   µ  +  , 0 ẇ 0 0 JS w g(z, µ, w) ó ż = JH z + f (z, µ, w), µ̇ = 0, ẇ = JS w + g(z, µ, w),. (3.25). f (z, µ, w) = µb1 Lz + F3(z, w, µ) g(z, µ, w) = µb2 Lz + F4(z, w, µ). (3.26) (3.27). donde. Buscamos una variedad central 1 1 w = h(z, µ) = z T H1 z + z T H2 µ + H3 µ2 + · · · 2 2. (3.28).

(53) 52. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. tal que h(0, 0) = 0 con Dh(0, 0) = 0, h : R3 → Rn−2 y 1 1 hi (z, µ) = z T H1i z + z T H2i µ + H3i µ2 + · · · 2 2 para i = 1, 2, 3, ..., n − 2. Sustituyendo (3.28) en (3.25) y usando la regla de la cadena, ẇ = es decir. ∂h(z, µ) ∂h(z, µ) ż + µ̇, ∂z ∂µ. ∂h(z, µ) ż = JS h(z, µ) + g(z, µ, h(z, µ)). ∂z. Entonces, obtenemos ∂h(z, µ) [JH z + f (z, µ, h(z, µ))] − JS h(z, µ) − g(z, µ, h(z, µ)) ≡ 0. ∂z. El término f (z, µ, h(z, µ)) no interesa, entonces nos queda ∂h(z, µ) JH z − JS h(z, µ) − g(z, µ, h(z, µ)) ≡ 0. ∂z. (3.29). Esta ecuación diferencial parcial para h se puede resolver en el caso simple, esto es, cuando Js es diagonal, es decir,   0 λ1   .. JS =  , . 0 λn−2 con λj < 0 para cada j.     . ∂h1 ∂z ∂h2 ∂z. .. .. ∂hn−2 ∂z. . .     J z −  H   . . λ1 λ2 ... . λn−2.    . h1 h2 .. . hn−2. ∂h1 JH z − λ1 h1 − g21 ≡ 0 ∂z. . .     −  . g21 g22 .. . g2,n−2. .   ≡0 .

(54) 3.3. CASO B1 6= 0. 53 ∂h2 JH z − λ2 h2 − g22 ≡ 0 ∂z .. . ∂hn−2 JH z − λn−2 hn−2 − g2,n−2 ≡ 0 ∂z. Ahora, estamos interesados en calcular H1 porque haremos µ = 0 cuando calculemos el primer coeficiente de Lyapunov a. Ahora, si 1 1 g2 (z, µ) = z T N1 z + z T N2 µ + N3µ2 , 2 2. (3.30). con. 1 1 g2i (z, µ) = z T N1i z + z T N2i µ + N3iµ2 , 2 2 para i = 1, 2, 3, ..., n − 2., que representa los términos cuadráticos de g(z, µ, h(z, µ)), entonces de (3.29) obtenemos, ∂hi (z, µ) JH z − λi hi (z, µ) − g2i (z, µ) = (z T H1i + H2i µ)JH z ∂z 1 1 −λi ( z T H1i z + z T H2i µ + H3i µ2 ) 2 2 1 T 1 −( z N1i z + z T N2i µ + N3i µ2 ) 2 2 1 1 = z T (H1i JH − λi H1i − N1i )z 2 2 T T T +z (JH H2 i − λi H2i − N2i )µ 1 1 +(− λi H3i − N3i)µ2 2 2 ≡ 0 1 1 z T (H1i JH − λi H1i − N1i )z ≡ 0 2 2   1 1 0 −δi H1i JH − λi H1i − N1i = Ai = δi 0 2 2 1 1 H1i (JH − λi I) − N1i = Ai 2 2 1 1 H1i (JH − λi I) = Ai + N1i 2 2 1 1 H1i = (Ai + N1i )(JH − λi I)−1 2 2 H1i = (2Ai + N1i )Ri.

(55) 54. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. donde I =. . 1 0 0 1. . y. 1 1 (JH − λi I)−1 2 2  −1 λi −2ω0 = 2 λi λi + 4ω02 2ω0. Ri =. (3.31). Ahora vamos a calcular N1 . Observemos de (3.27), g(z, µ, h(z, µ)) = µb2 Lz + F4(z, µ, h(z, µ)) = µb2 Lz + F22(z, h(z, µ)) + µLz(M3 z + M4 h(z, µ)) +F32(z, h(z, µ)) + b2C0 z + ..., donde 1 T ∂ 2 F2 ∂ 2 F2 T z (0, 0)h(z, µ) (0, 0)z + z 2 ∂z 2 ∂z∂h(z, µ) ∂ 2 F2 1 (0, 0)h(z, µ) + h(z, µ)T 2 ∂h(z, µ)2. F22(z, h(z, µ)) =. entonces. 1 ∂ 2 F2 g(z, µ, h(z, µ)) = z T (0, 0)z + O(z 3 ) 2 ∂z 2 2. Por lo tanto de (3.30), N1 = ∂∂zF22 (0, 0) En este caso N1 no depende de los parámetros de control.. 3.3.2.. Dinámica sobre la Variedad Central. Sobre la variedad central, la dinámica está dada por ż = JH z + f (z, µ, h(z, µ)),. f (z, µ, h(z, µ)) = µb1 Lz + F3(z, µ, h(z, µ)) = µb1 Lz + F21(z, h(z, µ)) + µLz(M1 z + M2 h(z, µ)) +F31(z, h(z, µ)) + b1C0 z + ...,. (3.32).

(56) 3.3. CASO B1 6= 0. 55. donde 1 T ∂ 2 F1 ∂ 2 F1 T F21(z, h(z, µ)) = z (0, 0)h(z, µ) (0, 0)z + z 2 ∂z 2 ∂z∂h(z, µ) 1 ∂ 2 F1 + h(z, µ)T (0, 0)h(z, µ) 2 ∂h(z, µ)2 1 ∂ 3 F1 (0, 0)(z, z, z) + ... F31(z, h(z, µ)) = 6 ∂z 3 entonces 1 ∂ 2 F1 1 ∂ 3 F1 f (z, µ, h(z, µ)) = µb1Lz + b1C0 z + z T (0, 0)z + (0, 0)(z, z, z) 2 ∂z 2 6 ∂z 3 ∂ 2 F1 (0, 0)h(z, µ) + ... +z T ∂z∂h(z, µ) entonces 1 ∂ 2 F1 1 ∂ 3 F1 ż = (JH + µb1 L)z + b1C0 z + z T (0, 0)z + (0, 0)(z, z, z) 2 ∂z 2 6 ∂z 3 ∂ 2 F1 (0, 0)h(z, µ) + ... +z T ∂z∂h(z, µ) 1 T ∂ 2 F1 1 ∂ 3 F1 z (0, 0)z + (0, 0)(z, z, z) = Jµ + b1 C0 z + 2 ∂z 2 6 ∂z 3 ∂ 2 F1 (0, 0)h(z, µ) + ... +z T ∂z∂h(z, µ) donde 0 −ω0 ω0 0. . +µ. . b11 b12. . (α1 , α2 )     b11α1 b11α2 0 −ω0 +µ = ω0 0 b12α1 b12α2   −ω0 + µb11 α2 µb11α1 = ω0 + µb12α1 µb12α2. Jµ =. Jµ. . (3.33).

(57) 56. 3.3.3.. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Diseño de la ley de control. En esta sección vamos a probar, usando el teorema (2.4), bajo que condiciones el sistema (3.33) sufre la bifurcación de Hopf en z = 0 con µ = 0. Primero, vamos a probar que los valores propios de Jµ atraviezan el eje imaginario cuando µ = 0, y segundo, mostraremos que el primer coeficiente de Lyapunov a es diferente de cero. 1)Valores propios de Jµ : La ecuación caracterı́stica de la parte lineal de (3.33) está dado por λ2 − tr(Jµ )λ + det(Jµ ) = 0. tr(Jµ ) = µ(b11α1 + b12α2 ) = µ (α1 , α2). . b11 b12. . = µLb1. det(Jµ) = µ2 b11b12 α1α2 − (ω0 + µb12α1 )(−ω0 + µb11 α2) = µ2 b11b12 α1α2 + ω 2 − ω0 µb11α2 + ω0 µb12 α1 − µ2 b11 b12α1α2 = ω 2 − ω0 µ(b11 α2 − b12α1 ) Entonces los valores propios estan dados por la siguiente expresión s 2 1 1 tr(Jµ ) − det(Jµ ). λ1,2 (µ) = tr(Jµ ) ± 2 2 Si µ = 0, entonces tr(J0 ) = 0 y det(J0) = w02 entonces q λ1,2(0) = ± −w02 = ±iw0 Ahora, para µ suficientemente pequeña, los valores propios están dados por s  2 1 1 tr(Jµ ) . λ(µ) = tr(Jµ ) ± i det(Jµ) − 2 2 1 1 Re(λ1,2(µ)) = tr(Jµ ) = µLb1 , 2 2 por lo tanto d=. d 1 (Re(λ1,2 (µ))) = Lb1 dµ 2. (3.34).

(58) 3.3. CASO B1 6= 0. 57. 2)Primer coeficiente de Lyapunov: 1 1 F (z) = b1 C0 z + z T F1zz (0, 0)z + F1zzz (0, 0)(z, z, z) 2 6 2 ∂ F 1 (0, 0)h(z, µ) + ... +z T ∂z∂h(z, µ) 1 1 F1(z) = b11(β1 z13 + β2 z23) + z T S1 z + C1 z + Ch1 z 2 6 1 1 F2(z) = b12(β1 z13 + β2 z23) + z T S2 z + C2 z + Ch2 z 2 6. R1 = F1z1 z2 (F1z1 z1 + F1z2 z2 ) − F2z1 z2 (F2z1 z1 + F2z2z2 ) − F1z1 z1 F2z1 z1 + F1z2z2 F2z2 z2. F1z1 = F1z1 z1 = F1z1 z2 = F1z2 = F1z2 z2 = F2z1 = F2z1 z1 = F2z1 z2 = F2z2 = F2z2 z2 =. 3b11 β1z12 + O(z) + O(z 2) 6b11 β1z1 + O(1) + O(z) O(1) + O(z) 3b11 β2z22 + O(z) + O(z 2) 6b11 β2z2 + O(1) + O(z) 3b12 β1z12 + O(z) + O(z 2) 6b12 β1z1 + O(1) + O(z) O(1) + O(z) 3b12 β2z22 + O(z) + O(z 2) 6b12 β2z2 + O(1) + O(z). R1 = [O(1) + O(z)][6b11β1 z1 + O(1) + O(z) + 6b11 β2z2 + O(1) + O(z)] −[O(1) + O(z)][6b12β1z1 + O(1) + O(z) + 6b12 β2z2 + O(1) + O(z)] −[6b11β1z1 + O(1) + O(z)][6b12β1 z1 + O(1) + O(z)] +[6b11β2z2 + O(1) + O(z)][6b12β2z2 + O(1) + O(z)] R1 |z=0 = C1.

(59) 58. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. R2 = F1z1 z1 z1 + F1z1 z2 z2 + F2z1 z1 z2 + F2z2 z2 z2 = [6b11β1 + O(1)] + [O(1)] + [O(1)] + [6b12β2 + O(1)] = 6b11β1 + 6b12β2 + O(1) + C2. 1 (R1 + wR2 ) 16w 1 = [C1 + w(6b11 β1 + 6b12β2 + O(1) + C2 )] 16w   3 b11 (β1 , β2) = +K b12 8 3 a = βb1 + K 8 a =. 3.3.4.. (3.35). Teorema Principal. Teorema 3.2. Considere el sistema de control ξ˙ = F (ξ) + G(ξ)u, .    0 −ω0 con F (0) = 0 y DF (0) = J = y ,con JH = ω 0 0   b1 , con b1 6= 0 entonces existen α1 , JS = diag{λ1 , · · · , λn−2 } Hurwitz. Si G(0) = b2 α2, β1 y β2 , tales que con la ley de control JH 0 0 JS. u = µ(α1 z1 + α2z2 ) + β1z13 + β2z23, el sistema sufre la bifurcación de Hopf en z = 0 con µ = 0. Mas aún, es posible controlar la estabilidad y la dirección de la órbita periódica cerca del origen, seleccionando el signo de d y a en (3.34) y (3.35), respectivamente.. 3.3.5.. Ejemplo. Consideremos el mismo sistema no lineal en R3 que en el ejemplo para el caso b1 = 0, sólo que ahora aplicamos la ley de control para este caso.

(60) 3.3. CASO B1 6= 0. 59. .      0 −ω0 a1z12 + a2z1w a4z13 ż = z+ + + ... a3z1z2 ω0 0 a5 z1z22       m1 0 m3 + b1 + w + ... (µLz + C0 (z)) z+ 0 m2 0 ẇ = λ1 w + b2 (µLz + C0 (z)). z˙1 = −ω0 z2 + b11µLz + (a1z12 + a2z1w) +(m1z1µLz + m3wµLz + a4z13 + b11C0 (z)) + ... z˙2 = ω0 z1 + b12µLz + (a3z1 z2) +(m2z2µLz + a5z1 z22 + b12C0 (z)) + ... ẇ = λ1 w + b2 µLz + b2 C0(z) En lazo extendido serı́a   z˙1  z˙2     µ̇  = ẇ.     . . 0 −ω0 ω0 0  0 0  0 0.  . 0 0 (0) (0).  . 0 0 (0) λ1 .  .  z1   z2     µ  w. b11µLz + F11(z, w, µ)  b12µLz + F12(z, w, µ)   +   0 b2 µLz + F14(z, w, µ) donde. F11(z, w, µ) = a1z12 + m1z1 µ(α1 z1 + α2 z2) + a4 z13 +b11(β1z13 + β2z23 ) F12(z, w, µ) = a2z1 z2 + m2z2 µ(α1 z1 + α2 z2) + a5z1z22 +b12(β1z13 + β2z23 ) F14(z, w, µ) = b2(β1 z13 + β2 z23). entonces f1 = a1 z12 + a4 z13 + b11 (β1z13 + β2 z23) f2 = a3 z1z2 + a5z1z22 + b12(β1z13 + β2z23 ).

(61) 60. CAPÍTULO 3. CONTROL DE LA BIFURCACIÓN DE HOPF. Cálculo del primer coeficiente de Lyapunov f1z1 = f1z1 z1 = f1z1 z2 = f1z2 = f1z2 z2 = f2z1 = f2z1 z1 = f2z1 z2 = f2z2 = f2z2 z2 =. 3b11β1z12 + 3a4 z12 + 2a1 z1 6b11β1z1 + 6a4z1 + 2a1 0 3b11β2z22 6b11β2z2 3b12β1z12 + a5z22 + a3z2 6b12β1z1 2a5z2 + a3 3b12β2z22 + 2a5 z1z2 + a3z1 6b12β2z2 + 2a5z1. R1|z=0 = 0 R2 = f1z1 z1 z1 + f1z1 z2 z2 + f2z1 z1 z2 + f2z2 z2 z2 = 6b11 β1 + 6b12 β2 + 6a4. a=. 3 R2 = (βb1 + a4) 16 8. Nuevamente, si fijamos los valores ω0 = b2 = m1 = m2 = m3 = 1, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 1, λ1 = −1     b11 1 = b1 = 0 b12 tendrı́amos que 1 1 Lb1 = α1 2 2 3 (βb1 + a4) a = 8 3 (β1 + 1) = 8. d =.

(62) 3.3. CASO B1 6= 0. 61. Investiguemos el caso en el que d > 0 y a < 0, es decir cuando tenemos una velocidad de cruce positiva y un coeficiente de Lyapunov negativo. Entonces para este caso la órbita serı́a atractora y se originarı́a para algún valor µ > 0. Para que suceda esto fijamos los valores β1 = −2 y α1 = 1 (ver figuras 3.6 y 3.7). Investiguemos ahora el caso en el que a = 0, es decir el caso degenerado. En esta situación tendrı́amos una sucseción de cı́rculos para µ = 0. Para que suceda esto fijamos β1 = −1 (ver figuras 3.8 y 3.9).. Figura 3.6: Órbita periódica estable para µ = 0,1.

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