DISENO DE CONTROLADORES ROBUSTOS PARA SISTEMAS MECANICOS SUBACTUADOS

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

“DISEÑO DE CONTROLADORES ROBUSTOS PARA SISTEMAS MECÁNICOS SUBACTUADOS”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

SERGIO ALBERTO PUGA GUZMÁN

BAJO LA DIRECCIÓN DE:

DR. LUIS TUPAK AGUILAR BUSTOS

AGOSTO, 2005

A mis ´unicos hijos que adoro: Sergio Alberto, Francisco Miguel, Grecia Karime y Javier por haberles robado un poco de su tiempo para la teminaci´on de esta tesis y tambi´en como una fuente de motivaci´on para sus estudios.

A mis padres: Francisco Javier y Graciela Esperanza por ser los mejores padres y por guiarme por el camino de la verdad y contar siempre con ellos, en los tiempos buenos y malos en la salud y la enfermedad.

A mi esposa Carmen por ser la mejor madre de mis hijos y la mujer de mis tiempos, que me apoy´o con su paciencia y comprenci´on en la terminaci´on de esta tesis.

A mis hermanos: Javier, Alma, Alba, J. Francisca por creer siempre en mi y porque despues de ellos nunca desee tener mejores hermanos.

Agradecimientos

Agradezco a las instituciones IPN y CITEDI por darme la oportunidad de cursar y terminar esta maestr´ıa, a la DGIT y al I.T.T por apoyarme plenamente desde el inicio hasta la conclusi´on de la misma, a la Comisi´on revisora de esta tesis, a los maestros miembros de la Academia de electr´onica del I.T.T a la cual pertenezco, a mis maestros Dr. Luis Gonz´alez H., Dr. Leonardo Acho Zuppa, Dr. Yuri Orlov, Dr. Konstanstin Starkov, Dr. Juan Garc´ıa, M.C. Oscar Montiel R., M.C. Julio Rol´on y sobre todo al Dr. Luis Tupak Aguilar Bustos director de esta tesis por toda su ayuda y paciencia que me brind´o hasta el t´ermino de la misma, al Director del I.T.T Ing. Rafael Quevedo Camacho y a todas las persona que de alguna manera obraron de buena voluntad en el ejercicio de sus funciones para que la realizaci´on y terminaci´on de ´esta tesis fuera posible, a todos, muchas gracias por creer en mi.

Lista de Figuras iv

Lista de Tablas vi

Lista de S´ımbolos y Acr´onimos viii

Resumen ix

Abstract x

I Introducci´on 1

I.1 Antecedentes . . . 1

I.2 Definici´on del problema . . . 3

I.3 Organizaci´on del trabajo . . . 3

II Preliminares te´oricos 5 II.1 Controladores de estructura variable . . . 5

II.1.1 Introducci´on . . . 5

II.1.2 Control tipo twisting . . . 8

II.1.3 Control homog´eneo . . . 9

II.1.4 Consideraciones de robustez usando controladores VSS . . . 10

II.2 Sistemas subactuados . . . 12

II.3 Ejemplo de sistemas subactuados . . . 14

II.3.1 Carro-p´endulo invertido . . . 14

II.3.2 P´endulo de rotaci´on . . . 15

II.3.3 P´endulo de reacci´on de disco . . . 16

II.3.4 Sistema Bola-viga . . . 17

II.3.5 Robot planar de uniones el´asticas . . . 18

II.4 Comentarios . . . 20

ii

III Control de sistemas con uniones el´asticas 21

III.1 Introducci´on . . . 21

III.2 Modelo din´amico . . . 23

III.2.1 Objetivo de control . . . 25

III.3 Estabilizaci´on de la posici´on de la carga con fricci´on . . . 25

III.4 Resultados de simulaci´on . . . 28

III.5 Resultados experimentales . . . 31

III.5.1 Descripci´on de la base experimental . . . 31

III.5.2 Resultados . . . 32

III.6 Comentarios . . . 33

IV Control de Pendubot 36 IV.1 Introducci´on . . . 36

IV.2 Modelo din´amico . . . 37

IV.2.1 Objetivo de control . . . 38

IV.3 Soluci´on al problema de estabilizaci´on . . . 38

IV.4 Simulaci´on num´erica . . . 45

IV.4.1 Controlador twisting . . . 45

IV.4.2 Controlador homog´eneo . . . 47

IV.4.3 Controlador no lineal tanh(x) . . . . 48

IV.5 Comentarios . . . 49

V Control del Acrobot 53 V.1 Introducci´on . . . 53

V.2 Modelo din´amico . . . 54

V.3 Objetivo de control . . . 55

V.4 Metodolog´ıa de control . . . 56

V.5 Swing up (ρ = 1) . . . . 57

V.6 Soluci´on al problema de estabilizaci´on (ρ = 0) . . . 61

V.7 Soluci´on al problema de seguimiento de trayectorias (ρ = 0) . . . . 63

V.8 Resultados de la simulaci´on . . . 67

V.9 Comentarios . . . 69

Conclusiones y recomendaciones 74 A Conceptos b´asicos 78 A.1 Transformaci´on de coordenadas de un sistema . . . 78

A.2 Conceptos b´asicos de estabilidad en el sentido de Lyapunov. . . 80

A.2.1 Equil´ıbrio. . . 80

A.2.2 Estabilidad. . . 81

A.2.3 Estabilidad asint´otica. . . 81

A.2.4 Estabilidad asint´otica global. . . 81

A.2.5 Funci´on definida positiva. . . 81

A.2.6 Funci´on candidata de Lyapunov. . . 82

A.2.7 Funci´on de Lyapunov. . . 82

A.2.8 Teorema de invarianza. . . 82

A.2.9 Teorema de contracci´on de mapas. . . 83

Bibliograf´ıa y referencias 84

II.1 (a) Elipse k₁ =0.5 (b) Elipse k₂ =1.5 (c) Convergencia asint´otica al origen. . . 6

II.2 (a) Plano de fase usando ley de control twisting (b) La se˜nal u(t). . . . 9

II.3 (a) Plano de fase usando ley de control homog´eneo (b) La se˜nal u(t). . . . 10

II.4 Carro-p´endulo invertido. . . 15

II.5 P´endulo de rotaci´on. . . 16

II.6 P´endulo de disco. . . 17

II.7 Bola sobre una viga. . . 18

II.8 Brazo manipulador de uni´on flexible. . . 19

III.1 Diagrama esquem´atico de servomecanismo con uni´on flexible. . . 23

III.2 (a) Estabilizaci´on del sistema con k = 25 (b) Estabilizaci´on del sistema con k = 100. . . . 30

III.3 Error (e₁ y e₂) con control (τ ) sin conmutaci´on (α₂ = 0 y β₂ = 0.) . . . 31

III.4 Error (e₁ y e₂) con perturbaci´on constante (kωk =1.3 Nm.) . . . . 32

III.5 Error (e₁ y e₂) con perturbaci´on constante (kωk =1.4 Nm.) . . . . 33

III.6 Base experimental de control. . . 34

III.7 Resultado experimental de estabilizaci´on de la posici´on angular de la carga y error de posici´on angular de la carga. . . 35

III.8 Entrada de control. . . 35

IV.1 Diagrama esquem´atico del Pendubot. . . 37

IV.2 Estabilizaci´on del eslab´on 1 usando control twisting. . . 46

IV.3 Estabilizaci´on del eslab´on 2 usando control twisting. . . 47

IV.4 Entrada de control τ usando control twisting. . . . 48

IV.5 Estabilizaci´on del eslab´on 1 usando control homog´eneo. . . 49

IV.6 Estabilizaci´on del eslab´on 2 usando control homog´eneo. . . 50

IV.7 Entrada de control τ usando control homog´eneo. . . . 50

IV.8 Estabilizaci´on del eslab´on 1 usando control tanh(x). . . . 51

IV.9 Estabilizaci´on del eslab´on 2 usando control tanh(x). . . . 51 v

IV.10 Entrada de control τ usando control tanh(x). . . . 52

V.1 Diagrama esquem´atico del Acrobot. . . 56

V.2 Trayectoria de q₁ y q₂ sujeto a la ley de control τ . . . 68

V.3 Estabilizaci´on del eslab´on 1 usando t´ecnica Swing up. . . 69

V.4 Estabilizaci´on del eslab´on 2 usando t´ecnica Swing up. . . 70

V.5 Entrada de control τ usando t´ecnica Swing up. . . . 71

V.6 Error de posici´on e₁(eslab´on 1) y e₂(eslab´on 2). . . 71

V.7 Seguimiento de trayectoria de q₁ centrado en π y error de posici´on e₁. . . 72

V.8 Seguimiento de trayectoria de q₂ centrado en π y error de posici´on e₂. . . 72

V.9 Entrada de control τ para seguimiento de trayectoria centrada en π. . . . 73

III.1 Par´ametros del sistema uni´on el´astica. . . 29 IV.1 Par´ametros del sistema Pendubot. . . 46 V.1 Par´ametros del sistema Acrobot. . . 57

vii

λmin: Valor propio m´ınimo.

λmax: Valor propio m´aximo.

| · |: Valor absoluto.

k · k₁: Norma uno.

k · k: Norma Euclidiana.

∈: Pertenece.

∃: Existe.

∀: Para todo.

⇒: Implica.

→: Se aproxima a.

∞: Infinito.

⊂: Subconjunto.

i.e: Esto es.

e.g: Por ejemplo.

PI: Proporcional integral.

PD: Proporcional derivativo.

PID: Proporcional integral derivativo.

CD: Corriente directa.

viii

Resumen

En la presente tesis se dise˜nan controladores robustos para sistemas mec´anicos subactuados.

Los sistemas mec´anicos subactuados presentan un reto en ingenier´ıa porque tienen menos actu- adores que grados de libertad. Esta caracter´ıstica no permite que controladores dise˜nados para mecanismos completamente actuados funcionen adecuadamente. Sin embargo hay un gran in- ter´es en el estudio del control de estos mecanismos por la gran cantidad de aplicaciones que existen: robots b´ıpedos, mecanismos subacuaticos, cohetes, plataformas marinas, barcos, es- tabilidad de edificios, entre otros. Los problemas a resolver son regulaci´on y seguimiento de trayectorias de una clase de sistemas subactuados sujetos a perturbaciones. En ´esta tesis se usar´an controladores de estructura variable de segundo orden para controlar los mecanismos de uniones el´asticas, Pendubot y Acrobot. Para el an´alisis de estabilidad se usa la teor´ıa de Lyapunov. Se complementa el estudio con simulaciones num´ericas y algunos experimentos.

Abstract

The purpose of the present thesis is to design robust controllers for underactuated mechanical systems. These systems represent a challenge in control theory because they can not be sta- bilized under control design strategies for fully-actuated systems. Motivation of the study of underactuated systems are the great collection of these mechanisms such as walking robots, underwater mechanisms, rockets, marine platforms, boats, buildings stability, among others.

The aim of this thesis is to extend the arsenal of variable structure controllers to solve the reg- ulation and tracking control problems of some classes of perturbed underactuated mechanical systems. The developed controllers are applied to stabilize elastic joints mechanisms, Pendubot and Acrobot. Stability analysis was performed within the framework of Lyapunov functions.

Numerical simulations and some experiments complement this study.

Introducci´on

I.1 Antecedentes

El desarrollo de sistemas de control para sistemas mec´anicos asi como otros sistemas, siem- pre ha sido un reto para los investigadores. En el transcurso de los a˜nos el hombre ha creado sistemas m´as sofisticados con el fin de cubrir sus necesidades, por ejemplo: La producci´on de un tel´efono celular donde se usan microcomponentes para disminuir peso y tama˜no del mismo, la perforaci´on de posos petroleros a profundidades de cientos de metros bajo la superficie del mar, la alimentaci´on de combustible de un avi´on en pleno vuelo, el transporte de carga con rapidez y seguridad, los proyectiles y cohetes espaciales, la exploraci´on espacial y submarina, la demanda de energ´ıa el´ectrica cada vez m´as grande con la m´as alta eficiencia empleando diferentes medios en su generaci´on, las comunicaciones. Estas y otras aplicaciones han moti- vado al desarrollo de las t´ecnicas de control de mecanismos. El estudio de estos mecanismos a mostrado que la din´amica que caracteriza a un sistema mec´anico se puede comprender como un conjunto de movimientos independientes y sincronizados de cada una de sus partes que in- tegran el mecanismo. A cada uno de estos movimientos se le conoce como grado de libertad.

El movimiento de cada parte o componente del sistema puede generarse por la acci´on directa

1

de un actuador o a trav´es de otros componentes al cual se encuentra interconectado. La clasi- ficaci´on de los mecanismos de acuerdo a la relaci´on de grados de libertad y actuadores es de dos tipos: Los mecanismos completamente actuados, que son los que tienen igual n´umero de grados de libertad que actuadores en el sistema y los mecanismos subactuados, que son los que tienen menos actuadores que grados de libertad. Esta tesis esta enfocada a resolver el problema de control de algunos mecanismos subactuados. La motivaci´on del estudio radica principal- mente al amplio espectro de aplicaciones como: helic´opteros, aviones de despegue vertical, cohetes espaciales, proyectiles, submarinos, barcos, robots caminantes, mecanismos espaciales entre otros. Es claro que la din´amica de estos mecanismos es muy compleja y su control no es f´acil de derivar, es por eso que es conveniente primero tener un conocimiento previo de otros tipos de mecanismos subactuados did´acticos como el Carro-p´endulo invertido, Pendubot, P´endulo de rotaci´on, P´endulo de reacci´on de disco, Acrobot, Robot planar de uni´on flexible o floja, Sistema Bola-Viga, Helic´optero. Para la comprensi´on del material incluido en esta tesis se requiere el conocimiento de ecuaciones diferenciales, algebra lineal, modelado de sistemas por medio de ecuaciones Euler-Lagrange, y concepto de estabilidad. El modelado de sistemas mec´anicos por medio de las ecuaciones Euler-Lagrange, conceptos de estabilidad, y din´amica cero se encuentran en el ap´endice A, pero informaci´on m´as amplia del tema se puede encontrar en [17],[18]. Los controladores usados en los mecanismos subactuados est´an: Controladores H_∞, Controladores basados en la energ´ıa (Pasivos), Controladores adaptivos, Controladores lineales ´optimos y Controladores de estructura variable (VSS) entre otros. Los controladores usados en esta tesis son los llamados de Estructura variable [34] ya que son controladores ro- bustos porque pueden hacer converger las trayectorias del sistema al origen de forma exacta a´un cuando el sistema a controlar est´a sujeto a perturbaciones e incertidumbres.

I.2 Definici´on del problema

Los sistemas subactuados tienen menos actuadores que grados de libertad, ´esto significa que algunos elementos del sistema no est´an sujetos a la acci´on directa de un actuador por lo tanto las leyes de control derivadas para sistemas completamente actuadas no funcionan para sis- temas subactuados. La manipulaci´on de las articulaciones no actuadas se hace aprovechando el acoplamiento que existe con las articulaciones actuadas. Los problemas a resolver en esta tesis son:

• Encontrar una ley de control que garantice que el origen del sistema subactuado en lazo cerrado sea un punto de equil´ıbrio estable o asint´oticamente estable.

• Resolver el problema de regulaci´on para mecanismos con uniones el´asticas.

• Resolver el problema de regulaci´on para el Pendubot.

• Resolver el problema de regulaci´on y seguimiento de trayectorias para el Acrobot.

La herramienta de control empleada sera siguiendo los procedimientos de dise˜no para con- troladores de estructura variable [13, 14]. A pesar de las ventajas presentadas por estos con- troladores [26], aparecen oscilaci´ones de alta frecuencia en el par de entrada una vez que las trayectorias llegan al equil´ıbrio.

I.3 Organizaci´on del trabajo

La presente tesis se forma de seis cap´ıtulos y un ap´endice. En el segundo cap´ıtulo se presenta una introducci´on a los sistemas subactuados y algunos ejemplos de ellos. El servomecanismo con uniones el´asticas se presenta en el cap´ıtulo tres. En el cap´ıtulo cuatro se analiza el Pendubot para resolver el problema de regulaci´on de posici´on a trav´es de controlador tipo twisting, ho- mog´eneo (twisting suavizado) y tangente hiperb´olico, los controladores homog´eneo y tangente

hiperb´olico se usan para el´ıminar el inconveniente de oscilaci´on de alta frecuencia que presenta el controlador twisting en el equil´ıbrio. El cap´ıtulo cinco trata el problema de regulaci´on y de seguimiento de trayectorias para el Acrobot usando controladores twisting. Finalmente se complementa el trabajo con conclusiones en el cap´ıtulo seis.

Preliminares te´oricos

II.1 Controladores de estructura variable

II.1.1 Introducci´on

Los sistemas de control de estructura variable tienen su origen en Rusia en los a˜nos 60’s por Emelyanov y Barbashin, mientras que los conceptos fueron divulgados en los a˜nos 70’s fuera de Rusia por Itkis y Utkin [11]. Los conceptos se han aplicado con ´exito en problemas tan diversos como controladores autom´aticos de vuelo, control el´ectrico de motores, procesos qu´ımicos, control de estabilidad de helic´opteros, sistemas espaciales y robots. En los controladores de estructura variable la ley de control cambia de acuerdo algunas reglas definidas que dependen de los estados del sistema.

Ejemplo 1 Por ejemplo el sistema:

¨

y = u(t) (II.1)

si se considera una ley de control del tipo u(t) = −ky(t), la soluci´on del sistema es ˙y²+ky² = c donde k, c son estrictamente positivos, entonces tenemos en el plano de fase un c´ırculo si k = 1,

5

−5 0 5

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

−5 0 5

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

−5 0 5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3

(a) (b) (c)

dy/dt

y

dy/dt dy/dt

y

y

I

II

III IV

I

II III

IV

Figura II.1: (a) Elipse k₁ =0.5 (b) Elipse k₂ =1.5 (c) Convergencia asint´otica al origen.

una elipse si k 6= 1 (ver Figura II.1(a) y II.1(b)). Si el sistema (II.1) est´a gobernado por:

u(t) =







−k1y(t), si y ˙y > 0;

−k₂y(t), si y ˙y < 0.

(II.2)

entonces el sistema se estabiliza asint´oticamente como se muestra en la Figura II.1(c). Esto se demuestra si se considera a c²(y, ˙y) = y² + ˙y² donde c(y, ˙y) es la distancia del origen a cualquier punto de la trayectoria. Entonces derivando respecto al tiempo

2c ˙c(y, ˙y) = 2y ˙y + 2 ˙y¨y (II.3)

usando la ecuaci´on de lazo cerrado (II.2) en (II.1) y sustituyendo en (II.3) se tiene

˙c(y, ˙y) = 1

c˙y(y + u) =







1

cy ˙y(1 − k1), si y ˙y < 0

1

cy ˙y(1 − k2), si y ˙y > 0

(II.4)

Para los valores de k₁ y k₂ asignados y c > 0 entonces ˙c(y, ˙y) < 0, demostrando que la distancia est´a siempre disminuyendo.

Generalizando para un sistema no lineal de una entrada y una salida

˙x = f (x) + g(x)u (II.5)

y = h(x)

donde x ∈ IRⁿ son los estados del sistema, u ∈ IR la entrada de control, y ∈ IR la salida del sistema; f (x), g(x), h(x) son funciones vectoriales suaves de dimensi´on apropiada. Entonces si el sistema (II.5) posee un grado relativo r [17, p. 560] globalmente definido, la din´amica entrada-salida del sistema se expresa como [14]:

y^(r)= L^r_fh(x) + L_gL^r−1_f h(x)u (II.6)

donde L_g y L_f son las derivadas de Lie [17, p. 559]. Si la condici´on L_gL^r−1_f h(x) 6= 0 se cumple, entonces la derivada y^r est´a definida, . Si se define el vector ξ = [y, ˙y, ¨y, . . . , y^r−1] y el vector η ∈ IR^n−r entonces el mapeo x = φ(ξ, η) es un diffeomorfismo en IRⁿ y ˙η = χ(ξ, η) es la din´amica interna [17, p. 541] donde η es el vector de estados de ´esta din´amica. N´otese que si r = n entonces no existe din´amica interna y el sistema es completamente linealizable.

Def´ınase el error e = ξ − ξ_R y ξ_R = [y_R, ˙y_R, ¨y_R, . . . , y_R^r−1] donde y_R es la respuesta de salida deseada, entonces la din´amica del error es:

e^r= L^r_fh(x) + LgL^r−1_f h(x)u − y_R^r (II.7)

Entonces se asume que la din´amica interna ˙η = χ(ξ, η) es estable si para cualquier ξ(t) acotado, los estados internos de η(t) permanecen acotados para cualquier condici´on inicial.

El problema de control de seguimiento de retroalimentaci´on de salida se resuelve en dos pasos.

1. Identificar una funci´on s = s(e, ˙e, ¨e, . . . , e^p), p ≤ r − 1 llamada deslizante, tal que

cualquier movimiento del sistema dentro de la variedad s = 0, existe una tendencia de convergencia asint´otica del vector (e, ˙e, ¨e, . . . , e^p) al origen[14].

2. Encontrar una entrada de control u la cual estabilice el sistema din´amico.

s^r−p = ∂s^r−p−1

∂e^r−1

£L^r_fh(x) + L_gL^r−1_f h(x)u − y^r_R¤

= ϕ(ξ, ξ_R, η) + γ(ξ, η)u (II.8)

considerando que las funciones que aparecen en (II.8) est´an acotadas sin necesidad de conocer o estimar s, ˙s, ¨s, . . . , s^r−p−1. Se supone que las funciones γ y φ globalmente satisface las condiciones:

|ϕ(ξ, ξ_R, η)| ≤ F (ξ, ξ_R) 0 < Γ₁≤ γ(ξ, η) ≤ Γ₂

donde F : IR^r × IR^r → IR es una funci´on positiva conocida y Γ1 y Γ2 son constantes conocidas.

II.1.2 Control tipo twisting

El sistema (II.1) sujeto a la ley de control discontinua de la forma:

u = −k₁sign(y) − k₂sign( ˙y), k₁ > k₂ > 0 (II.9)

converge al origen en tiempo finito [13], como se muestra en la Figura II.2. El tiempo de convergencia depende de la selecci´on de k [13, 14] y es dado por:

T =(1 +√

k)²| ˙y(0)|

k₁− k₂

X∞ i=1

kⁱ⁻¹

−2 −1 0 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 0 1 2

y − (rad)

dy/dt − (rad/seg)

(a)

0 2 4 6 8 10

−6

−4

−2 0 2 4 6

(seg)

u(t)

(b)

Figura II.2: (a) Plano de fase usando ley de control twisting (b) La se˜nal u(t).

donde k = ^k_k^1−k2

1+k2 tal que para k < 1 la serie es convergente.

II.1.3 Control homog´eneo

El sistema (II.1) con la ley de control homog´enea [27] dada por:

u = −k₁p

|y|sign(y) − k₂p

| ˙y|sign( ˙y), k₁ > k₂ > 0 (II.10)

converge en tiempo finito al origen [27], como se muestra en la Figura II.3. El tiempo de convergencia de las trayectorias del sistema es finito y esta demostrado en [27].

Los sistemas homog´eneos se definen como:

• Para una funci´on vectorial: Un campo de vectores ϕ : IRⁿ 7→ IRⁿ se dice que es ho- mog´eneo de grado η ∈ IR con respecto a la dilataci´on (r₁, . . . , r_n) donde r_i > 0, i = 1, . . . , n si existe una constante c > 0, tal que ∀i, ∀x 6= 0 y ∀c > 0, ϕ_i(c^r1x₁, . . . , c^rnx_n) = c^η+riϕi(x) [27].

• Para una funci´on escalar: Una funci´on V : IRⁿ 7→ IR se dice que es homog´enea de grado η ∈ IR con respecto a la dilataci´on (r₁, . . . , r_n) done r_i > 0, i = 1, . . . , n si existe una constante c > 0, tal que V (c^r1x₁, . . . , c^rnx_n) = c^η+riV (x) [27].

−2 0 2 4 6

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3

y − (rad)

dy/dt − (rad/seg)

0 5 10 15

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

(seg)

u(t)

(a) (b)

Figura II.3: (a) Plano de fase usando ley de control homog´eneo (b) La se˜nal u(t).

Por ejemplo, las siguientes funciones son homog´eneas:

1. f (y) = |y|, porque si y₁ = cy entontes f (y₁) = |y₁| = |cy| = |c||y| = c|y| = cf (y) = f (cy) como la costante c > 0 y c^η+r = c entonces (η + r) = 1 si η = 0 y r = 1, entonces es una funci´on homog´enea de grado cero y dilataci´on uno.

2. f (y) = sign(y), es homogenea (f (cy) = csign(y)) si si la funci´on tiene grado η = −1 y dilataci´on r = 1 (c^η+r, con (η + r) = 0).

3. f (y) = −k₁p

|y|sign(y) − k₂p

| ˙y|sign( ˙y) es homog´enea si el grado es η = −1 y r₁ = r₂ = 2, entonces f(c^r1y, c^r2˙y) = c^η+r1f (y, ˙y) = c^η+r2f (y, ˙y) (ver [4]).

Una importante caracter´ıstica de (II.10) es que la oscilaci´on de alta frecuencia debida a los t´erminos sign(·) cuando el sistema converge al origen es atenuada considerablemente, esto no sucede con la ley de control twisting (II.9).

II.1.4 Consideraciones de robustez usando controladores VSS

La robustez de un sistema din´amico usando control de lazo cerrado es tal que pese a pertuba- ciones o incertidumbres param´etricas del sistema, el objetivo de control se cumple. Un con- trolador es robusto si hace cumplir el objetivo de control bajo perturbaciones o incertidumbres

del modelo del sistema. Algunos controladores como el H_∞, Pasivo, Adaptivo son consid- erados robustos [32]. Por ejemplo los controladores basados en H_∞ ajustan la ganacia L₂ (L₂ = R_∞

t=0kf (t)k²dt < ∞) del sistema en lazo cerrado (considerando el peor caso de la relaci´on entrada-salida con respecto a la norma L₂) llevando al sistema a ser L₂estable, si existe perturbaci´on sobre el sistema las desviaciones originadas son corregidas y el sistema permanece estable en la posici´on deseada, dando como consecuencia propiedad de robustez al sistema. Los controladores basados en pasividad aprovechan la pasividad de los sistemas din´amicos, esto es que la relaci´on entrada-salida de los sistemas est´an relacionadas con la conservaci´on, disipaci´on y transporte de energ´ıa. Los controladores basados en pasividad no cancelan las no linealidades del sistema, como consecuencia, tienen buenas propiedades de robustez. Los controladores adaptivos consideran los cambios param´etricos del sistema (masas, longitudes, inercias, etc.), estimando los cambios de los par´ametros hasta que el error param´etrico sea cero, por lo tanto, el sistema se estabiliza en el valor deseado, dando por consecuencia propiedades de robustez al sistema.

En los controladores de estructura variable la principal idea es encontrar una superficie deslizante que no dependa de los par´ametros del sistema en lo posible y adem´as que las trayec- torias del sistema en lazo cerrado lleguen o corten la superficie deslizante. Sobre ´esta superficie el comportamiento del sistema se espera como se desea. La ventaja es que el sistema din´amico es insensible a incertidumbre del modelo empleado y a perturbaciones cuando las trayectorias del sistema se deslizan sobre la ´esta superficie hasta llegar al origen, dando como consecuencia buenas propiedades de robustez [11, 13, 28, 34]. Por ejemplo un sistema din´amico representado por la ecuaci´on diferencial:

¨

y = −k_px₁− k_dx₂− k_αsign(x₁) − k_βsign(x₂) + w,

donde w es una perturbaci´on acotada (kwk < M ), donde M es una constante positiva. Entonces

el sistema en lazo cerrado usando la entrada de control es



x˙₁

˙ x₂



 =



 x₂

−k_px₁− k_dx₂− k_αsign(x₁) − k_βsign(x₂) + w





Entonces para el an´alisis de robustez se propone la funci´on de Lyapunov:

V = 1

2x²₁ +1

2x²₂+ k_α|x₁|

tal que la derivada respecto al tiempo sea:

V = −k˙ _dx²₂− k_β|x₂| + kwk|x₂|

= − k_dx²₂− (k_β − M)|x₂|

entonces ˙V es semidefinida negativa si y solo si:

k_β > M. (II.11)

II.2 Sistemas subactuados

En la mayor´ıa de los sistemas mec´anicos, como en robots articulados de enlaces r´ıgidos, se asume que existe una fuerza independiente actuando sobre cada articulaci´on. Esta clase de sistemas din´amicos son f´acil de analizar y diferentes metodolog´ıas de dise˜no de control lin- eal y no lineal se pueden aplicar de manera sencilla, por ejemplo, control PI, PID, modos deslizantes, entre otros [11, 13, 28, 34, 32, 20]. Existen una clase de sistemas, donde una fuerza independiente (actuador) est´a ausente de por lo menos una de las articulaciones, a este tipo de sistemas se le conoce como subactuados. Debido a la naturaleza de estos sistemas, existe siempre un acoplamiento entre los enlaces que son interesantes de analizar, ya que una

linealizaci´on (entrada-salida) genera una din´amica interna que depende s´olo de los estados del sistema. Dise˜no de controladores que operen de manera adecuada para sistemas subactuados han sido objeto de estudios desde hace varios a˜nos. Diversas metodolog´ıas como PI, PID, H_∞, control adaptivo, control basado en pasividad, control deslizante entre otros, han sido extendi- das para tratar este problema [15]. Particularmente esta tesis trata el estudio de algunos sistemas subactuados usando controladores de estructura variable.

Los sistemas mec´anicos subactuados se representan mediante la formulaci´on Euler-Lagrange [30, p. 142]:

M(q)¨q + C(q, ˙q) ˙q + g(q) + F (q, ˙q) = B(q, ˙q)τ (II.12)

donde q ∈ IRⁿ es el vector de coordenadas generalizadas, τ ∈ IR^m con (n > m) es el vector de torques aplicados a las uniones, ˙q y ¨q son los vectores de velocidad y aceleraci´on, respecti- vamente; M (q) ∈ IR^n×nes la matriz de inercia; C(q, ˙q) es la matriz de Coriolis; el vector g(q) representa los pares gravitacionales; F (q, ˙q) es un vector que representa las fuerzas no conser- vativas y el vector B representa la cantidad y posici´on de los pares aplicados al sistema. Si la cantidad de pares aplicados al sistema es menor a los grados de libertad entonces el sistema es llamado subactuado (rango{B} = m, ∀(q, ˙q)) de lo contrario es completamente actuado (rango{B} = n).

Desde el punto de vista f´ısico los mecanismos subactuados son aquellos que por dise˜no o por fallas t´ecnicas presentan menos actuadores que grados de libertad. Es importante se˜nalar que las t´ecnicas de control aplicadas a mecanismos completamente actuados no son aplicables a los mecanismos subactuados haci´endolos un interesante reto en ingenier´ıa de control.

Los sistemas subactuados se pueden transformar a una forma regular (ver ap´endice A) para facilitar el an´alisis del mismo. Por ejemplo, consider´ese un sistema subactuado representado por

˙x = f (x) + g(x)u

donde x ∈ IRⁿ, u ∈ IR^m, f (x) y g(x) son funciones continuas, con rango{g} = m. As´umase que existe un diffeomorfismo (z, y) = T (x) para todo x ∈ IRⁿtal que el sistema transformando se pueda representar en la forma regular [17, p. 541]

˙z = η(z, y) (II.13)

˙y = ξ(z, y) + γ(z, y)u (II.14)

donde z ∈ IR^n−m, y ∈ IR^m y rango{γ} = m. La din´amica (II.13) es la parte interna que no depende del vector de control y la din´amica (II.14) es la parte externa. Si existe una entrada de control u tal que la din´amica externa tenga un punto de equil´ıbrio asint´oticamente estable (i.e.

y ≡ 0) entonces la din´amica interna

˙z = η(z, 0)

se le conoce como din´amica cero [17, p. 541]. Si el comportamiento de esta din´amica cero es estable entonces el sistema es llamado de fase m´ınima y en caso contrario es de fase no m´ınima.

En esta tesis consideraremos ambos casos.

II.3 Ejemplo de sistemas subactuados

A continuaci´on se dar´an algunos ejemplos de sistemas subactuados.

II.3.1 Carro-p´endulo invertido

Este sistema es motivado por aplicaciones tales como el control de misiles y sistemas de control antisismos en edificios. El sistema consiste de una varilla usada como p´endulo, cuyo extremo se une a un eje montado en una plataforma m´ovil, la varilla se balancea libremente y solamente hay una fuerza que actua sobre el carro (ver Figura II.4). El reto de control es mantener en posici´on vertical la varilla a trav´es del movimiento del carro. N´otese que s´olo hay una fuerza

Péndulo

z θθθθ

F

M Carro

mg l

y

Figura II.4: Carro-p´endulo invertido.

F para estabilizar la posici´on del carro x y la posici´on del p´endulo θ, por lo tanto es un sistema subactuado.

El modelo din´amico est´a gobernado por (II.12) donde [15]

M(q) =



M + m ml cos θ ml cos θ ml²



 , C(q, ˙q) =



0 −ml ˙θ sin θ

0 0



 , g(q) =



 0

−mgl sin θ





donde q = [z θ]^T, B = [1 0]^T, τ = F es la fuerza aplicada al carro, M es la masa del carro, m es la masa del p´endulo, l es la distancia desde la posici´on del pivote al centro de gravedad del p´endulo, I es la inercia del p´endulo alrededor de su centro de gravedad y g es la aceleraci´on de gravedad.

II.3.2 P´endulo de rotaci´on

El P´endulo de rotaci´on es similar al Carro-p´endulo invertido, s´olo que a trav´es de un movimiento angular, el p´endulo unido al brazo, gira libremente. El brazo est´a r´ıgidamente unido al eje del motor (ver Figura II.5). El reto es mantener verticalmente estable al p´endulo. Aqu´ı el sistema cuenta con un actuador τ y dos grados de libertad: La posici´on del extremo de rotaci´on debida

θθθθ0

ττττ Motor

Pendulo

I₀ L₀

m1g θθθθ1

J1

Brazo

l1

Figura II.5: P´endulo de rotaci´on.

al motor θ₀y la posici´on del pendulo θ₁. El modelo din´amico est´a gobernada por (II.12) donde [15]

M(q) =



I₀+ m₁(L²₀+ l²₁sin²θ₁) m₁l₁L₀cos θ₁ m₁l₁L₀cos θ₁ J₁+ m₁l₁²



 , g(q) =



 0

−m₁gl₁sin θ₁





C(q, ˙q) =





1

2m₁l²₁˙θ₁sin(2θ₁) −m₁l₁L₀˙θ₁sin θ₁+ ¹₂m₁l²₁˙θ₀sin(2θ₁)

−¹₂m₁l₁²˙θ₀sin(2θ₁) 0





con F (q, ˙q) = 0, q = [θ0 θ1]^T es el vector de posiciones articulares, B = [1 0]^T, τ es el par aplicado al brazo, I₀ es la inercia del brazo, m₁ es la masa del p´endulo, L₀ es la longitud total del brazo, l₁es la distancia al centro de gravedad del p´endulo, J₁ es la inercia del p´endulo alrededor de su centro de gravedad.

II.3.3 P´endulo de reacci´on de disco

Este sistema se compone de una varilla usada como p´endulo con un disco rotatorio en el ex- tremo final de la varilla, el disco gira actuado directamente por un motor de corriente directa, la varilla del p´endulo se balancea sobre su pivote debido al torque de acoplaciento generado por la aceleraci´on angular del disco (ver Figura II.6). El objetivo es mantener en posici´on vertical

w q₁

ττττ

Disco Péndulo

x y

l₁ m₁g l_c1

I₁

m₂ I₂

Figura II.6: P´endulo de disco.

al p´endulo. Mediante la entrada τ se debe estabilizar la posici´on angular del p´endulo q₁ y la velocidad angular del disco w = ˙q₂. El modelo din´amico est´a dado por (II.12) donde [15]

M(q) =



m₁l²_c1+ m₂l²₁+ I₁+ I₂ I₂

I₂ I₂



 , g(q) =



−(m₁l_c1+ m₂l₁)g sin q₁ 0



 ,

C(q, ˙q) = F (q, ˙q) = 0 donde q = [q₁ q₂]^T es el vector de posici´on angular, B = [0 1]^T, τ es el torque aplicado al disco, m₁ es la masa del p´endulo, m₂ es la masa del disco, l₁ es la longitud del p´endulo, l_c1 es la distancia al centro de masa del p´endulo, I₁ es la inercia del p´endulo y I₂ es la inercia del disco.

II.3.4 Sistema Bola-viga

Este sistema consiste en una bola que se mueve a lo largo de la viga debido a una fuerza f_b aplicada directamente a la bola. La viga est´a sobre un par de resortes id´enticos con constante de deformaci´on k (ver Figura II.7). La finalidad es mantener estable la bola sobre la viga

aplicando solamente la fuerza f_b. El estudio de este sistema es motivado por el control de peque˜nas oscilaciones en plataformas y veh´ıculos en suspensi´on. El modelo din´amico es dado

Bola

Viga q₂

f_b

q₁ m₁I₁

I₂ k

l

k

Figura II.7: Bola sobre una viga.

por (II.12) donde [15]

M(q) =



m₁ 0

0 m₁q²₁+ I₁+ I₂



 , C(q, ˙q) =



 0 −m₁q₁˙q₂ m₁q₁˙q₂ m₁q₁˙q₁



 ,

g(q) =



 m1g sin q2

m₁gq₁cos q₂



 , F (q) =



 0

2kl²cos q₂sin q₂



 .

con q = [q₁ q₂]^T es el vector de posici´on, B = [1 0]^T, y F (q) es la fuerza ejercida por los resortes, m₁ es la masa de la bola, I₁ es la inercia de la bola, I₂ es la inercia de la viga, l es la distancia de la posici´on de los resortes al pivote de la viga y k es la constante el´astica del resorte.

II.3.5 Robot planar de uniones el´asticas

Este sistema consiste en un brazo con dos eslabones que se mueven en un plano horizontal x − y perpendicular a la fuerza de gravedad, el primer eslab´on est´a unido a un eje sobre el cual rota libremente al aplicarle directamente un par y un segundo eslab´on esta unido al primero

q₂

q₁

Eslabón 2 Eslabón 1

Unión Flexible

ττττ x

y m₁I₁

m₂I₂

l₁

l₂ k

Figura II.8: Brazo manipulador de uni´on flexible.

por una uni´on el´astica como un resorte o un hule pl´astico, (ver Figura II.8). Este sistema es tambi´en subactuado considerando que es de dos grados de libertad, dados por los movimientos de los eslabones 1 y 2 representado por las posiciones angulares q₁ y q₂ con s´olo una entrada de control dado por τ . El objetivo es llevar la posici´on angular de los eslabones al equil´ıbrio en alg´un punto particular del espacio del sistema. La motivaci´on del estudio de este sistema es por las aplicaciones espaciales de robots de menos masa y volumen, en donde no sea afectado por la gravedad. El modelo din´amico es dado por (II.12) donde [15]

M(q) =



θ₁+ θ₂+ 2θ₃cos q₂ θ₂+ θ₃cos q₂ θ₂+ θ₃cos q₂ θ₂



 , F (q, ˙q) =



 0 kq₂



 ,

C(q, ˙q) =



−θ₃˙q₂sin q₂ −θ₃˙q₂sin q₂− θ₃˙q₁sin q₂ θ₃˙q₁sin q₂ 0



 ,

con

θ₁ = m₁l²_c1+ m₂l²₁+ I₁, θ₂ = m₂l²_c2+ I₂, θ₃ = m₂l₁l_c2

donde q = [q₁ q₂]^T, B = [1 0]^T, m₁ es la masa del eslab´on 1, m₂ es la masa del eslab´on 2, l₁ es la longitud del eslab´on 1, l₂ es la longitud del eslab´on 2, l_c1es la distancia al centro de masa del eslab´on 1, l_c2 es la distancia al centro de masa del eslab´on 2, I₁ es la inercia del eslab´on 1 respecto a su centro de masa, I₂es la inercia del eslab´on 2 respecto a su centro de masa, g es la aceleraci´on de graveded y k es la constante de rig´ıdez del resorte.

II.4 Comentarios

El sistema mec´anico robot planar con uni´on el´astica ser´a tratado con detalle en el cap´ıtulo III asumiendo que solo se tiene acceso a la posici´on del lado del motor. Los sistemas Pendubot y Acrobot son mecanismos muy similares, de 2 grados de libertad con un actuador, la difer- encia entre ellos es la colocaci´on del actuador, para el Pendubot el actuador esta en el primer eslab´on y para el Acrobot esta en el segundo eslab´on, se tratar´an con detalle en los cap´ıtulos IV y V, respectivamente. Tambi´en es importante se˜nalar que la mayoria de los mecanismos men- cionados excepto el robot planar con uni´on flexible y floja, son inestables en cualquier posici´on excepto la posici´on de reposo, cuando la entrada de control es nula, por lo tanto estos mecanis- mos son considerados de fase no m´ınima. Los sistemas de fase no m´ınima por naturaleza son complicados para controlar y el dise˜no de controladores para estos sistemas es un reto para los dise˜nadores de control.

Control de sistemas con uniones el´asticas

III.1 Introducci´on

La mayor parte de los robots operativos son utilizados para aplicaciones industriales. Un gran porcentaje realizan actividades que requieren de precisi´on en sus movimientos o realizan tar- eas repetitivas. Los sistemas de control retroalimentado permiten al manipulador realizar sus movimientos de manera apropiada.

El an´alisis de leyes de control se facilita si se asume que el acoplamiento entre el actuador y la articulaci´on de un robot manipulador es r´ıgida, pero se sabe que una gran variedad de mecanismos usan acoplamiento mec´anicos no r´ıgidos (el´asticos) para transmisi´on de par, tales como engranes, poleas y acopladores mec´anicos de resorte y variedades de pl´astico, por lo que en sus articulaciones hay deformaciones que deben ser tomadas en cuenta con el objetivo de mejorar el desempe˜no del mecanismo. Al considerar una uni´on el´astica, aumentamos en un grado de libertad el sistema y por lo tanto se hace m´as complejo.

Este cap´ıtulo se centra en resolver el problema de regulaci´on de posici´on de una carga sujeta a fricci´on y acoplada a un motor de corriente directa por medio de una uni´on el´astica. Para fines de an´alisis, se presenta un sistema de acoplamiento actuador-carga introducido en Merzouki et

21

al. [22] y Utkin et al. [35] usando fricci´on de Coulomb y viscosa en el extremo de la carga, se le incluye tambi´en un cierto nivel de incertidumbre en la transmisi´on del par que ser´a tomado en cuenta durante el dise˜no con el objetivo de conocer la robustes del sistema en lazo cerrado sujeto a perturbaci´on usando un controlador VSS.

El controlador propuesto se le conoce de casta˜neteo (chattering [26, 27]) formado por una parte proporcional-derivativa y un t´ermino discontinuo. El controlador se caracteriza por generar oscilaciones en alta frecuencia una vez que las trayectorias del sistema con fricci´on convergen, en tiempo finito, al punto de equil´ıbrio. La particularidad de este controlador, a diferencia de los modos deslizantes ([12, 34]), es que las trayectorias cruzan las superficies de discontinuidad.

El problema de la clase de sistema estudiado aqu´ı es que la ecuaci´on de lazo cerrado presenta discontinuidades debido a la presencia de la funci´on signo del controlador discontinuo y la fricci´on de Coulomb. Entonces, las estrategias de control propuestas por ([10, 16, 19, 24, 31]) no son apropiadas ya que se asume en ´estos que el sistema debe ser diferenciable.

El presente trabajo tiene la siguiente estructura: En la secci´on III.2 se presenta el modelo din´amico utilizado en el an´alisis. En la secci´on III.3 se estudia la estabilizaci´on de la posici´on de la carga con un controlador tipo chattering [3, 26] para resolver el problema de regulaci´on. La prueba de estabilidad se basa en la teor´ıa de estabilidad de Lyapunov. Para mostrar el desempe˜no del controlador se realizan simulaciones num´ericas en la secci´on III.4. En la secci´on III.5 se hace un estudio experimental del controlador propuesto. Finalmente los comentarios en la secci´on III.6.

Se utiliza la siguiente notaci´on en el documento: Los valores propios m´ınimos y m´aximos de una matriz cuadrada A se denotan por λmin{A} y λmax{A} respectivamente, y k · k denota la norma Euclideana.

Mg k l

J₂ J₁

F_lcF_lv

Motor Unión Carga

Elástica

q₂ q₁

Figura III.1: Diagrama esquem´atico de servomecanismo con uni´on flexible.

III.2 Modelo din´amico

Consid´erese el siguiente modelo din´amico de un servomecanismo acoplado a una carga, afec- tado por fricci´on de Coulomb y viscosa ([22, 35]) de la Figura III.1:

M(q₁)¨q₁+ C(q₁, ˙q₁) ˙q₁+ g(q₁) + F ( ˙q₁) = k(q₂− q₁) (III.1) J₂q¨₂+ k(q₂− q₁) = τ + ω(q₁, q₂) (III.2)

con

M(q₁) = J₁, g(q₁) = Mgl sin(q₁), C(q₁, ˙q₁) = 0,

F ( ˙q1) = Flcsign( ˙q1) + Flv˙q1 (III.3)

donde q₁, q₂ ∈ IR son la posici´on angular de la carga y del motor respectivamente, ˙q₁, ¨q₁, ˙q₂ q¨₂ corresponden a la velocidad y aceleraci´on angular de la carga y del motor, τ ∈ IR es la entrada de control, M (q₁) es la matriz de inercia del robot y J₂ es la inercia del motor, k > 0 es el coeficiente de rigidez, F ( ˙q₁) corresponde a los t´erminos de fricci´on de Coulomb y viscosa de la carga y F_lc, F_lv son los par´ametros de fricci´on. La funci´on signo se define como

sign(z) =













1 si z > 0 [-1,1] si z = 0

−1 si z < 0.

(III.4)

La definici´on de la funci´on signo (III.4) en z = 0 tiene sentido f´ısico porque refleja el efecto de la fricci´on de Coulomb a bajas velocidades (e.g., error en estado estable).

Propiedad 1 ([33]) El torque gravitacional g(q) es Lipschitz, esto significa que existe una constante positiva k_g tal que,

kg(x) − g(y)k ≤ k_gkx − yk

para toda x,y ∈ IRⁿ. La constante k_g satisface la siguiente relaci´on

k_g ≥

°°

°°∂g(q)

∂q

°°

°° .

Se considera un cierto grado de incertidumbre ω(q₁, q₂) en el modelo de la uni´on el´astica debido a imperfecciones de acoplamiento y caracteristicas diversas de los materiales usados que son dif´ıciles de modelar y se asume que est´a superiormente acotada por una constante M > 0:

kω(q1, q2)k ≤ M ∀ t. (III.5)

Comentario 1 N´otese que el sistema (III.1)-(III.2) tiene dos grados de libertad (q₁, q₂) y una entrada de control τ por lo tanto es subactuado.

III.2.1 Objetivo de control

Para el sistema no lineal (III.1)-(III.2) se especifica el siguiente objetivo de control: Considerar el sistema din´amico (III.1)-(III.2), suponiendo que las posiciones y velocidades del actuador est´an disponibles. El problema es encontrar una ley de control τ tal que el desplazamiento angular de la carga q₁ converja asint´oticamente a la posici´on deseada q_d1 ∈ IR y q₂ converja asint´oticamente a la posici´on deseada q_d2 ∈ IR, que se asumen constantes para todo t:

t→∞lim q₁(t) = q_d1. (III.6)

t→∞lim q₂(t) = q_d2. (III.7)

III.3 Estabilizaci´on de la posici´on de la carga con fricci´on

Primeramente, consid´erese los siguientes cambios de variables,

e1= q1− qd1 (III.8)

e₂= q₂− q_d2 (III.9)

donde e₁, e₂son los errores de posici´on angular de la carga y el motor, q_d1= cte para todo t ≥ 0 es la posici´on angular deseada de la carga; q_d2 es la posici´on deseada del motor y se propone como una funci´on de q_d1[33] de la forma:

q_d2 = q_d1+ k⁻¹g(q_d1) (III.10)

donde g(qd1) es un valor constante dado por el par gravitacional en la posici´on deseada qd1.

Teorema 1 Consid´erese el sistema en lazo abierto (III.1) y (III.2) con la condici´on (III.10) y

sujeto a la ley de control:

τ2 = g(qd1) − kpe2− kd˙e2− α2sign(e2) − β2sign( ˙e2) (III.11)

donde α₂ > (F_lc+ β₂) (ver [28]). Entonces el origen del sistema en lazo cerrado (e, ˙e) = (0, 0) es asint´oticamente estable si λ_min{K_u} > k_g > k^∂(g(q_∂q1¹⁾k donde la matriz K_u es:

Ku =



 k −k

−k k + k_p





y k_g es definido en la propiedad 1, cumpliendose por tanto el objetivo de control (III.6, III.7).

Prueba. El sistema en lazo cerrado sujeto al teorema 1 es

d dt











 e₁

˙e₁ e₂

˙e2













=













˙e₁

M⁻¹(q₁)[k(e₂− e₁) − g(q₁) + g(q_d1) − F ( ˙q₁) − C(q₁, ˙e₁) ˙e₁]

˙e₂

J₂⁻¹[ke1− (kp+ k)e2− kd˙e2− α2sign(e2) − β2sign( ˙e2) + ω]













(III.12)

Analizando los equil´ıbrios del sistema ˙q₁^∗ = ˙q₂^∗ ≡ 0, y

k(e2− e1) − g(e1+ qd1) + g(qd1) − Flcsign(0) = 0 (III.13)

−k(e₂− e₁) + k_pe₂− α₂sign(e₂) − β₂sign(0) + ω = 0 (III.14)

entonces (e^∗₁, e^∗₂) = (0, 0) es soluci´on de (III.13 y III.14). Para el an´alisis de estabilidad, consid´erese la funci´on Lyapunov:

V =1

2M(e₁+ q_d1) ˙e²₁+1

2J₂˙e²₂+ U(e₁+ q_d1) − U(q_d1) + g(q_d1)(e₁+ q_d1)