funciones 1

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(1)Sergio Yansen Núñez PARTE 1 Actividad N° 1 a). Dada la recta %B $C œ "# i) ii). b). dibuje el gráfico. determine los intersectos con los ejes.. Determine la ecuación de la recta cuyo gráfico se da a continuación:. Actividad N° 2 Realice un gráfico y determine los intersectos con los ejes: C œ B#. )B "& RESOLUCIÓN PARTE 1. Actividad N° 1 a). i). Bœ! ÊC œ % Cœ! ÊBœ$.

(2) Sergio Yansen Núñez. intersecto con eje B: B œ $ intersecto con eje C : C œ %. ii) b). Ð!ß $Ñ ; Ð&ß !Ñ 7œ. C# C" !$ $ œ œ B# B" &! &. Cœ . $ &B ,. $ !œ & †&, Cœ . Ê. ,œ$. $ &B $. Actividad N° 2 C œ B#. )B "& (parábola). + œ "! Bœ . , ) #+ œ # œ %. B œ % Ê C œ "'. $# "& œ ". vértice:Ð%ß "Ñ. intersecto con eje C À C œ "& intersecto con eje B À C œ ! Í B# )B "& œ ! ÍBœ$ ” Bœ& la parábola intersecta al eje B en B œ $ y en B œ &..

(3) Sergio Yansen Núñez.

(4) Sergio Yansen Núñez. PARTE 2 Actividad N° 1 Sea 0 ÐBÑ œ È". B#. B% determine:. a) 0 Ð +Ñ b) 0 Ð+# Ñ Actividad N° 2 Determine todos los valores de + tales que 0 Ð+Ñ œ & si 0 ÐBÑ œ #B# B. %. Actividad N° 3 Determine y simplifique la expresión 0 Ð+. 2Ñ 0 Ð+Ñ si 0 ÐBÑ œ " #B.. Actividad N° 4 Determine el dominio más amplio en donde la fórmula dada determina una función:. " B# %B %. a). 0 ÐBÑ œ. b). " 0 ÐDÑ œ È %D#. Actividad N° 5 Determine gráficamente el recorrido (rango) de 0 ÐBÑ œ B#. RESOLUCIÓN PARTE 2 Actividad N° 1 a). 0 ÐBÑ œ È". +#. +%. b). 0 Ð+# Ñ œ È". +%. +). c). 0 Ð +# Ñ œ È ". +%. +). &.

(5) Sergio Yansen Núñez d). 0 Ð!Ñ œ ". e). 0 Ð "Ñ œ È$. f). 0 Ð$Ñ œ È*". Actividad N° 2 0 Ð+Ñ œ & #+# +. %œ&. #+# + " œ ! +œ. "„È* %. +œ" ” +œ . " #. Actividad N° 3 0 Ð+. 2Ñ 0 Ð+Ñ œ " #Ð+. 2Ñ Ð" #+Ñ œ #2. Actividad N° 4 a). H970 œ ÖB − ‘ Î B#. b). H970 œ ÖD − ‘ Î % D # $ !×. %B. % Á !× œ ‘ Ö #×. % D # $ ! Í D # % ! Í ÐD. D# D # ÐD #ÑÐD. _ #Ñ. . H970 œ Ó #ß #Ò Actividad N° 5 C œ B#. & (parábola). #. #ÑÐD #Ñ !. . #. . _.

(6) Sergio Yansen Núñez. V/-0 œ Ò&ß. _Ò.

(7) Sergio Yansen Núñez. PARTE 3 Actividad N° 1 Exprese el área E de un cuadrado como una función de su perímetro T . Indique dominio de la función. Actividad N° 2 Exprese el volumen Z de una esfera como una función del área de su superfice W . Indique dominio de la función. % (Z œ 1<$ ß W œ %1<# ). $ Actividad N° 3 Considere un rectángulo que tiene base B y perímetro "!!. Exprese su área E como función de B. Indique dominio de la función. Actividad N° 4 Sean 0 ÐBÑ œ ÈB # , 1ÐBÑ œ ÈB Þ Determine Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ e indique su dominio. Actividad N° 5. " Sean 0 ÐBÑ œ #B $ , 1ÐBÑ œ È Þ Determine Ð1 ‰ 0 ÑÐBÑ e indique su dominio. B RESOLUCIÓN PARTE 3 Actividad N° 1 E œ +# T œ %+ Ê + œ EœÐ Eœ. T %. T %. Ñ#. T# "' ,. T. Actividad N° 2. !.

(8) Sergio Yansen Núñez Z œ. % $ $ 1<. W œ %1<# Ê < œ Ê Z œ. % W $ Ê $ 1 † Ð %1 Ñ. Z œ. ÈW $ , W $†È%1. W %1. !. Actividad N° 3 #C. #B œ "!!. B. Í B œ &! B. ! • &! B. E œ BÐ&! BÑ. ! ß B − Ò!ß &!Ó. Actividad N° 4 Ð0 ‰ 1Ñ œ ÉÈB # B. ! • ÈB #. ÈB #. ! Í B. H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ò%ß Actividad N° 5. " Ð1 ‰ 0 Ñ œ È #B$ #B $ $ ! Í B $. $ #. ! % _Ò.

(9) Sergio Yansen Núñez. $ H97Ð1 ‰ 0 Ñ œ Ó ß #. _Ò.

(10) Sergio Yansen Núñez PARTE 4 Actividad N° 1 Sea. 0 ÐBÑ œ. È%BB# #. ". Determine H970 . Actividad N° 2 Sean 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ ÐB #Ñ# 1 À H971ïïïïpV/-1, definida por. 1ÐBÑ œ #. " ÈB ". a). Determine Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ y H97Ð0 ‰ 1Ñ.. b). ¿Existe la inversa de 1? En caso afirmativo, determine 1" ÐBÑ.. Actividad N° 3 Un cono de papel con diámetro de % pulgadas y altura de % pulgadas está inicialmente lleno de agua. Se le hace un pequeño hoyo en el fondo y el agua comienza a fluir. Sea 2 y < la altura y el radio, respectivamente, del agua en el cono > minutos después de que el agua empieza a fluir. a) b) c). Exprese < como una función de 2. Exprese al volumen Z como una función de 2. (Z œ Si la altura del agua después de > minutos está dada por exprese Z como una función de >.. " # $ 1< 2 ). 2Ð>Ñ œ !ß &È> ,.

(11) Sergio Yansen Núñez. RESOLUCIÓN PARTE 4 Actividad N° 1 Sea. 0 ÐBÑ œ. È%BB# #. ". Determine H970 . H970 œ ÖB − ‘ Î %B B# %B B#. B B. !×. ! Í B# %B Ÿ ! Í BÐB %Ñ Ÿ !. _ %. BÐB %Ñ. !. %. . . . H970 œ Ò!ß %] Actividad N° 2 Sean. 0 ÐBÑ œ ÐB #Ñ#. a). Determine Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ y H97Ð0 ‰ 1Ñ. Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ Ð# H970 ‰ 1. b). ". 1ÐBÑ œ #. ÈB " #Ñ#. ÈB ". "œB. œ ÖB − ‘ Î B − H971 • 1ÐBÑ − H970 × œ ÖB − ‘ Î B − Ò"ß _Ò • # ÈB " − ‘× œ Ò"ß _Ò. ¿Existe la inversa de 1? En caso afirmativo, determine 1" ÐBÑ. 1Ð+Ñ œ 1Ð,Ñ. 1 es inyectiva,. Ê. # È+ " œ # È, " È+ " œ È, " +"œ," +œ,. _.

(12) Sergio Yansen Núñez 1 es epiyectiva pues G9.970 œ V/-0 ß por lo tanto 1 es biyectiva y tiene inversa. Sea. C œ # ÈB " C # œ ÈB " ÐC #Ñ# œ B " B œ ÐC #Ñ#. ". 1" ÐBÑ œ ÐB #Ñ#. ". Actividad N° 3 Un cono de papel con diámetro de % pulgadas y altura de % pulgadas está inicialmente lleno de agua. Se le hace un pequeño hoyo en el fondo y el agua comienza a fluir. Sea 2 y < la altura y el radio, respectivamente, del agua en el cono > minutos después de que el agua empieza a fluir. a). Exprese < como una función de 2. 2 <. b). œ %# Ê < œ 2#. Exprese al volumen Z como una función de 2. $. 2 Z œ "$ 1<# 2 œ "$ 1Ð 2# Ñ# 2 œ 1"#. c). Si la altura del agua después de > minutos está dada por 2Ð>Ñ œ !ß &È> , exprese Z como una función de >. $. 2 Z œ 1"# œ. 1Ð!ß&È>Ñ$ "#. œ. 1ÐÈ>Ñ$ *'.

(13) Sergio Yansen Núñez PARTE 5 Actividad N° 1 Sean 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ È# B 1 À H971ïïïïpV/-1, definida por a) b) c) d). # 1ÐBÑ œ "B #. Trace el gráfico de 0 . Pruebe que 0 " existe y determine 0 " ÐBÑ. Determine H97Ð1 ‰ 0 Ñ y Ð1 ‰ 0 ÑÐBÑ . Determine 5 − ‘ tal que 1Ð5 "Ñ œ "# .. Actividad N° 2 Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con un área de #Þ%!! 7# . También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. Exprese la longitud total de cerca que se requiere para este proyecto como una función de B. Además determine el dominio de la función obtenida.. Actividad N° 3. B# %B "# $B. ( si B Ÿ $ si B $ $. Sea. 0 ÐBÑ œ œ. a) b). Calcule, si es posible, 0 Ð0 Ð&ÑÑ. Trace el gráfico de 0 . ¿Es 0 inyectiva? Justifique. RESOLUCIÓN PARTE 5. Actividad N° 1 a). C œ È# B , C. !. C# œ # B B œ C#. #. ÐC !Ñ# œ ÐB #Ñ.

(14) Sergio Yansen Núñez Corresponde a la ecuación de una parábola "abierta hacia la izquierda" de vértice en Ð#ß !Ñ.. La gráfica de 0 es:. b). Como 0 es epiyectiva pues G 9.970 œ V/-0 , entonces basta probar que 0 es inyectiva en su dominio: 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ È# + œ È# , #+ œ#, +œ, Se tiene que 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ Ê + œ , . Por tanto, 0 es inyectiva lo que significa que 0 es biyectiva, por tanto tiene inversa. Puesto que B œ C#. c). H97Ð1 ‰ 0 Ñ. # se tiene que 0 " ÐBÑ œ # B#. œ Ö B − H970 Î 0 ÐBÑ − H971× œ Ö B − Ó _ß #Ó Î È# B − ‘×.

(15) Sergio Yansen Núñez. œ Ó _ß #Ó Ð1 ‰ 0 ÑÐBÑ œ. "ÐÈ#BÑ# #. 1Ð5. d). œ B" #. "Ñ œ. Í. "Ð5"Ñ# #. Í. 5#. Í. 5 œ ". #5. " #. œ "# "œ!. Actividad N° 2 Sea C la longitud que se muestra en la figura:. B $ !ß C $ ! #BC œ #Þ%!! Ê C œ "Þ#!! B Sea : la longitud total de la cerca, : œ %B Por tanto, : œ %B. $Þ'!! B. $C œ %B. $Þ'!! B. ; B$!. Actividad N° 3 a) b). 0 Ð&Ñ œ $ 0 Ð0 Ð&ÑÑ œ 0 Ð $Ñ œ Ð $Ñ# % † Ð $Ñ Para B Ÿ $ Sea C œ B# %B +œ"$!. (. , B œ #+ œ # , satisface condición B Ÿ $.. ( œ #).

(16) Sergio Yansen Núñez B $ # ". C œ B# % $ %. )B "$. ÐBß CÑ Ð$ß %Ñ Ð#ß $Ñ vértice Ð"ß %Ñ. Para B $ $ Sea C œ "# $B B $ %. CœB $ !. #. ÐBß CÑ Ð$ß $Ñ Ð%ß !Ñ. Gráfico de 0. 0 no es inyectiva pues la recta horizontal, por ejemplo, C œ (# corta al gráfico de 0 en dos puntos..

(17) Sergio Yansen Núñez PARTE 6 Actividad N° 1 0 Ð2Ñ0 Ð+Ñ " Sea 0 ÐBÑ œ B" . Determine y simplifique la expresión para 2 Á + . 2+. Actividad N° 2 Sea 0 ÐBÑ œ # È#B B# $ . Sabiendo que H970 œ Ò "ß $Ó , determine todos los valores de - − H970 , tales que 0 Ð-Ñ œ 3 . Actividad N° 3 Sea. 0 ÐBÑ œ " È" B. a). i) ii). b). Determine, si es posible, + − H970 tal que 0 Ð+. ¿ # − H970 ? ¿ $ − H970 ? "Ñ. #œ!. Actividad N° 4 Sea. 0 ÐBÑ œ È "# . Determine - $ ! tal que 0 ÐÈ- # B * RESOLUCIÓN PARTE 6. Actividad N° 1 Solución: 0 Ð2Ñ0 Ð+Ñ 2+. œ œ œ. " " 2" +". 2+. +"2" Ð2"ÑÐ+"Ñ. 2+. +2 Ð2"ÑÐ+"Ñ. 2+. *Ñ œ %.

(18) Sergio Yansen Núñez Ð2+Ñ. œ Ð2"ÑÐ+"ÑÐ2+Ñ " œ Ð2"ÑÐ+"Ñ. Actividad N° 2 Solución: 0 Ð-Ñ œ 3 #. È#- - #. #- - #. $ œ$. $œ". - # #- # œ ! È$ − H970 ” - œ " È$ − H970. -œ" Actividad N° 3 Solución a). b). i). 0 Ð#Ñ no existe por tanto # Â H970. ii). 0 Ð $Ñ existe por tanto $ − H970. 0 Ð+. "Ñ. #œ!. " È" Ð+. "Ñ. È+ œ$ + œ * − H970 Por tanto + œ * Actividad N° 4 Solución: 0 ÐÈ - #. %Ñ œ %. #œ!.

(19) Sergio Yansen Núñez " ÉÐÈ-# *Ñ# * " -. œ%. - œ "%. œ%.

(20) Sergio Yansen Núñez PARTE 7 Actividad N° 1 En cada caso, determine H970 . a). " 0 ÐBÑ œ B# %B%. b). 0 ÐDÑ œ È " # %D. Actividad N° 2 Determine la función lineal cuya gráfica se da a continuación:. Recuerde:. La ecuación de la recta que pasa por ÐB" ß C" Ñ à ÐB# à C# Ñ es C œ 7B C C con 7 œ B# B" . #. ". Actividad N° 3 Sea 0 ÐBÑ œ B# a) b) c). )B "&. Trace el gráfico de 0 Determine V/-0 Determine los intersectos de la gráfica de 0 con los ejes B e C .. Actividad N° 4 B# #B. si B Ÿ $ " si B $ $. Sea. 0 ÐBÑ œ œ. a) b) c) d). Calcule 0 Ð"Ñ , 0 Ð$Ñ , 0 Ð&Ñ. Trace el gráfico de 0 . Determine V/-0 . Determine B − ‘ tal que 0 ÐBÑ œ (. RESOLUCIÓ PARTE 7. Actividad N° 1. ,;.

(21) Sergio Yansen Núñez. a). H970 œ ÖB − ‘ Î B#. b). H970 œ ÖD − ‘ Î % D # $ !×. %B. % Á !× œ ‘ Ö #×. % D # $ ! Í D # % ! Í ÐD. D# D # ÐD #ÑÐD. _ #Ñ. #ÑÐD #Ñ !. #. #. . . . H970 œ Ó #ß #Ò Actividad N° 2 la recta pasa por los puntos: Ð!ß $Ñ y Ð&ß !Ñ la recta viene dada por:. C œ 7B. cálculo de la pendiente:. !$ 7 œ B# B" œ &! œ &$ # ". C œ $& B. ,. C C. ,. cálculo de ,: ! œ $& † & C œ $& B. ,. Ê. ,œ$. $. Por tanto; 0 ÐBÑ œ $& B. $. Actividad N° 3 a). C œ B#. )B "& (ecuación de una parábola). + œ "! , ) B œ #+ œ # œ%. B œ % Ê C œ "' vértice:Ð%ß "Ñ. $# "& œ ". _.

(22) Sergio Yansen Núñez. b). V/-0 œ Ó _ß "Ó. c). La gráfica de 0 intersecta al eje C en C œ "& Para obtener dónde la gráfica de 0 intersecta al eje B, se resuelve la ecuación: B#. )B "& œ ! Í B œ $ ” B œ &. Por tanto, la gráfica de 0 intersecta al eje B en B œ $ y en B œ &. Actividad N° 4 a). 0 ÐBÑ œ œ. B# #B. si B Ÿ $ " si B $ $. 0 Ð"Ñ œ " 0 Ð$Ñ œ " 0 Ð&Ñ œ * b) B $ #. C œB# " !. ÐBß CÑ Ð$ß "Ñ Ð#ß !Ñ. B $ %. C œ #B & (. ". ÐBß CÑ Ð$ß &Ñ Ð%ß (Ñ.

(23) Sergio Yansen Núñez. c). Del gráfico de 0 se obtiene que V/-0 œ Ó _ß "Ó. d). B # œ ( Ê B œ & ß satisface condición B Ÿ $. #B. "œ (. Ê B œ % ß satisface condición B $ $.. Por tanto, para B œ & ” B œ % , se tiene que 0 ÐBÑ œ (.

(24) Sergio Yansen Núñez. PARTE 8 Actividad N° 1 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ œ. B# #B si B % B# %B si B %. a). Calcule 0 Ð $Ñ, 0 Ð$Ñ Þ. b). Trace el gráfico de 0 .. c). Determine B − ‘ tal que 0 ÐBÑ œ !.. d). ¿Tiene 0 inversa? Justifique.. e). Determine V/-0 .. Actividad N° 2 B $ 0 À H970 ïïïïpV/-0 , definida por 0 ÐBÑ œ É B# ". a). Determine H970 .. b). Pruebe que 0 tiene inversa en su dominio.. c). Determine 0 " ÐBÑ.. Actividad N° 3 Exprese el área E de un cuadrado como una función de su perímetro T . Indique dominio de la función obtenida. Actividad N° 4 Un rectángulo tiene área de "' m# . Exprese el perímetro T del rectángulo como una función de la longitud B de uno de sus lados. Determine el dominio de la función obtenida. RESOLUCIÓN PARTE 8 Actividad N° 1.

(25) Sergio Yansen Núñez a). 0 Ð $Ñ œ #" 0 Ð$Ñ œ $. b). Considerando C œ B# #B , B œ #+ œ # no satisface la condición B %, por tanto ese valor no será considerado en la siguiente tabla de valores. B % &. C œ B# ) "&. #B. ÐBß CÑ Ð %ß )Ñ Ð &ß "&Ñ. considerando C œ B# %B , B œ #+ œ # satisface la condición B %, por tanto ese valor será considerando en la siguiente tabla de valores. B % # (vértice) $. c). B# B#. #B œ !. C œ B# $# % $. %B. ÐBß CÑ Ð %ß $#Ñ Ð#ß %Ñ Ð$ß $Ñ. Ê B œ ! ” B œ #ß no satisfacen condición B %.. %B œ !. Ê B œ ! ” B œ %ß satisfacen condición B. Por tanto, para B œ ! ” B œ % se tiene que 0 ÐBÑ œ !. d). %..

(26) Sergio Yansen Núñez. 0 no es inyectiva pues, por ejemplo, la recta horizontal C œ # corta a su gráfico en dos puntos. Por tanto, 0 no tiene inversa. e). Del gráfico de 0 se obtiene que V/-0 œ Ó _ß %Ó A Ó)ß. _Ò. Actividad N° 2 a). H970 œ ˜B − ‘ Î B. # Á !× œ ‘ ˜ #×. b). Como 0 es epiyectiva pues G 9.970 œ V/-0 ß basta probar que 0 es inyectiva en du dominio. 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ + , $ $ É É +# " œ ,# " + +#. , " œ ,# ". + +#. , œ ,#. +Ð, +,. #Ñ œ ,Ð+ #+ œ ,+. #Ñ #,. #+ œ #, +œ, 0 es inyectiva en su dominio, por tanto 0 es biyectiva y tiene inversa. c). Sea. B $ CœÉ B# ".

(27) Sergio Yansen Núñez. B C$ œ B# ". C$. B " œ B#. ÐC $. "ÑÐB. #Ñ œ B. C$ B. #C$. B. #œB. C$ B œ # #C$ Bœ. ##C$ C$. $ Luego, 0 " ÐBÑ œ ##B $ B. Actividad N° 3 Sean +, E , T : lado, área y perímetro de un cuadrado, respectivamente. E œ +# T œ %+ Ê + œ T% E œ Ð T% Ñ# # E œ T"' ,. T $ ! (dominio). Actividad N° 4 Sean B, C lados del rectángulo y T su perímetro. BC œ "' Ê C œ "' B T œ #B. #C. T œ #B. # † "' B. T œ #B. $# B. ; B $ ! (dominio).

(28) Sergio Yansen Núñez PARTE 9 Actividad N° 1 B# %B #B &. ( si B $ si B $. Sea. 0 ÐBÑ œ œ. a) b) c). Trace el gráfico de 0 . Calcule, si es posible, Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ Determine, en caso de existir, todos los valores de 5 − H970 , tales que 0 Ð5Ñ œ %.. Actividad N° 2. $ È #B". Sea. 0 ÐBÑ œ È $ B#. a) b) c). Determine H970 . Pruebe que 0 es inyectiva en su dominio. $ ‰ È Determine, si es posible, 2 − ‘ tal que 0 ˆ #2" # 2# œ. Actividad N° 3 Considere las funciones 0 À Ó _ß !Òqqqqqp‘ definida por 0 ÐBÑ œ È" #B # $ 1 À Ó _ß #ÓqqqqqpÓ _ß # Ó definida por 1ÐBÑ œ "B #. a) b). Determine H97Ð0 ‰ 1Ñ y Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ ¿Tiene 1 inversa? En caso afirmativo, determine 1" ÐBÑ. RESOLUCIÓN PARTE 9. Actividad Nº1 a). :. Para B $ ; sea C œ B# %B , B œ #+ œ#$. (.

(29) Sergio Yansen Núñez B $ # ! Para B. C œ B# %B % $ (. (. ÐBß CÑ Ð$ß %Ñ Ð#ß $Ñ Ð!ß (Ñ. $ à sea C œ #B & B $ %. C œ #B & " $. ÐBß CÑ Ð$ß "Ñ Ð%ß $Ñ. Gráfico de 0 :. b). Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ œ 0 Ð0 Ð"ÑÑ 0 Ð"Ñ œ "# % † ". (œ%. Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ œ 0 Ð%Ñ œ # † % & œ $ Por tanto, Ð0 ‰ 0 ÑÐ"Ñ œ $ c). Si 5 $ 0 Ð5Ñ œ % Í 5# %5 ( œ % Í Ð5 $ÑÐ5 "Ñ œ ! Í 5œ$ ” 5œ" 5 œ $ no satisface condición 5 $ 5 œ " satisface condición 5 $.

(30) Sergio Yansen Núñez Si 5 Í Í. $ 0 Ð5Ñ œ % #5 & œ % 5 œ *# satisface condición 5. $. Por tanto, 5 œ " ” 5 œ *# Actividad Nº2 a). H970 œ ÖB − ‘ Î B # Á !× œ ‘ Ö#× 0 Ð+Ñ œ 0 Ð,Ñ. b) Í. $ È #+" $ È +#. $ È #,". Í. #+" +#. Í. #+, %+ ,. Í. $+ œ $,. Í. +œ,. œ È $ ,#. œ #," ,# # œ #+, %, +. #. Por tanto, 0 es inyectiva. $ ‰ È 0 ˆ #2" # 2# œ. c). $ ˆ #2" ‰ É # 2# " $ #2". É 2# # %2# 2# " #2" 2# #. $2 $. $ œÈ # ;2Á#. œ#. œ#. 2 œ # ¡contradicción! 2 Á # $ ‰ È Por tanto, no existe valor de 2 tal que 0 ˆ #2" #. 2# œ. Actividad Nº3.

(31) Sergio Yansen Núñez a). H97Ð0 ‰ 1Ñ œ ÖB − H971 Î 1ÐBÑ − H970 × # œ ÖB − Ó _ß #Ó Î "B − Ó _ß !Ò × # # B − H97Ð0 ‰ 1Ñ Í B Ÿ # • "B # !. "B# #. ! Í B# " $ ! Í ÐB. B" B " ÐB. "ÑÐB "Ñ. _. ". . B − Ó _ß "Ò A Ó"ß Se tiene, entonces:. "ÑÐB "Ñ $ !. . ". _. . _Ò B − Ó _ß #Ó • B − Ó _ß "Ò A Ó"ß. _Ò. Por tanto, H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ó _ß #Ó #. ÈB# œ lBl œ B (pues B − Ó _ß #Ó Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ É" #Ð "B # Ñœ b). Gráfico de 1:. Toda recta horizontal corta al gráfico de 1 en a lo más un punto, por lo tanto, 1 es inyectiva. 1 es epiyectiva pues G9.970 œ V/-0 Por lo tanto, 1 es biyectiva y tiene inversa..

(32) Sergio Yansen Núñez Sea. # C œ "B #. #C œ " B# B# œ " #C B œ È" #C pues B − Ó _ß #Ó Por tanto, 1" ÐBÑ œ È" #B.

(33) Sergio Yansen Núñez PARTE 10 Actividad N° 1 Ú B# %B. Sea 0 una función definida por 0 ÐBÑ œ Û B# ' Ü " a) b) c) d). * si B Ÿ " si " B Ÿ # si B $ #. Trace el gráfico de 0 . ¿Es 0 inyectiva? Justifique. Determine V/-0 . Determine, si existe, 5 − H970 tal que 0 Ð5Ñ œ 5 .. Actividad N° 2 Sea 0 À H970 qqqqqpV/-0 definida por 0 ÐBÑ œ # a) b) c). Determine H970 Determine, si es posible, 5 − ‘ tal que #0 Ð5 ¿Tiene 0 inversa? Justifique.. È'B B# & "Ñ 0 Ð$Ñ œ !. Actividad N° 3 Un granjero tiene #! millas de malla para cercar un terreno de pastoreo en forma rectangular a lo largo de un río recto. Si no se requiriese cercar a lo largo del río y los lados perpendiculares al río tuvieran B millas de largo cada uno, exprese el área E del rectángulo como función de B. A partir de consideraciones prácticas, ¿cuál es el dominio de la función obtenida? RESOLUCIÓN PARTE 10 Actividad N° 1 a). Para B Ÿ " , se tiene 0 ÐBÑ œ B# %B C œ B# %B. *. * (ecuación de una parábola, abierta hacia arriba). , vértice: B œ #+ œ # , no satisface condición B Ÿ ".. B " !. C œ B# %B ' *. *. ÐBß CÑ Ð"ß 'Ñ Ð!ß *Ñ.

(34) Sergio Yansen Núñez Para B con " B Ÿ # ß 0 ÐBÑ œ B# C œ B#. '. ' (ecuación de una parábola abierta hacia abajo). , vértice: B œ #+ œ ! ß no satisface condición " B Ÿ #. B " #. C œ B# & #. '. ÐBß CÑ Ð"ß &Ñ Ð#ß #Ñ. Gráfico:. b). 0 no es inyectiva, pues por ejemplo: 0 Ð$Ñ œ 0 Ð%Ñ œ ". c). V/-0 œ Ö"× A Ò#ß &Ò A Ò'ß. d). Si 5 Ÿ " 0 Ð5Ñ œ 5 5# %5 * œ 5 5# &5 * œ ! ˜ œ ,# %+- !ß la ecuación no tiene solución en ‘. Si " 5 Ÿ # 0 Ð5Ñ œ 5 5# ' œ 5 5# 5 ' œ ! 5# 5 ' œ ! Ð5 $ÑÐ5 #Ñ œ !. _Ò.

(35) Sergio Yansen Núñez 5 œ $ ” 5 œ# 5 œ $ Â Ó"ß #Ó à 5 œ # − Ó"ß #Ó Si 5 $ # 0 Ð5Ñ œ 5 " œ 5 , no satisface condición 5 $ # Por tanto, 5 œ # Actividad N° 2 Solución: a). H970 œ ÖB − ‘ Î 'B B# & 'B B# & B# 'B. !×. ! Î † Ð "Ñ. &Ÿ!. ÐB 1ÑÐB 5Ñ Ÿ ! Valores críticos: B œ "ß B œ &.. B B. _. " &. ÐB 1ÑÐB 5Ñ. ". . . &. . B − Ò"ß &Ó Por tanto, H970 œ Ò"ß &Ó b). Sea ; œ 5. ". #0 Ð5 Í. "Ñ 0 Ð$Ñ œ !. #0 Ð;Ñ 0 Ð$Ñ œ ! #Ð# È'; ; # & Ñ Ð# '; ; # & ! %. #È'; ; # & % œ !. È' † $ $# & Ñ œ ! ,. _.

(36) Sergio Yansen Núñez. È'; ; # & œ ! '; ; # & œ ! ; # ';. &œ!. Ð; "ÑÐ; &Ñ œ ! ;œ" ” ;œ&, '; ; # & !. ambos. valores. satisfacen. condición. 5 œ;" Si ; œ " entonces 5 œ ! Si ; œ & entonces 5 œ % Por tanto, 5 œ ! ” 5 œ %. c). Del trabajo ralizado en b) se obtuvo que ; œ " ” ; œ & satisfacen la condición #0 Ð;Ñ 0 Ð$Ñ œ !, es decir, 0 Ð;Ñ œ #. Esto quiere decir que ambos valores, que pertenecen al dominio de 0 , tienen la misma imagen. Esto significa que 0 no es inyectiva, por tanto, 0 no tiene inversa.. Actividad N° 3 Solución:. #B. C œ #!. Ê C œ #! #B. E œ BC E œ BÐ#! #BÑ , E en función de B. Dominio:.

(37) Sergio Yansen Núñez. B $ ! • #! #B $ ! Í. B $ ! • B "!. Í. B − Ó!ß "!Ò , dominio de la función..

(38)