ejercicios vectores corregido
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(2) Sergio Yansen Núñez. c). como ? ì @ œ m?m † m@m † -9=Ð!Ñ se tiene que : %! œ È$! † È'" † -9=Ð!Ñ es decir, el ángulo entre ? y @ es ! œ #!ß ('º. d). â â3 4 â ?‚@ œ â" & â â% '. œº. & '. â 5 â â #â â $â. # " 3º º $ %. # " & 4º 5 º $ % 'º. œ a "& "#b3 a $ )b4 a' #!b5 œ $3 &4 "%5 œ Ð $ß &ß "%Ñ e). m#Ð? ‚ @Ñ %? $@m œ m#Ð $ß &ß "%Ñ %Ð"ß &ß #Ñ $Ð%ß 'ß $Ñm œ mÐ#ß "#ß #*m œ È% "%% )%" œ È*)*. Sergio Yansen Núñez.
(3) Sergio Yansen Núñez. 3.. Determine: a). un vector unitario (de longitud igual a ") y que sea paralelo, con sentido opuesto, al vector #3 %4 $5 .. b). un vector de norma igual a & y que sea paralelo al vector $3 #4 5.. Solución: a). Sea. ? œ #3 %4 $5 œ Ð#ß %ß $Ñ. " È#* Ð#ß %ß $Ñ. . b). &†. es unitario y tiene sentido opuesto a ?. ? œ $3 #4 5 œ Ð$ß #ß "Ñ. " È"% Ð$ß #ß. m ?m œ È#*. tiene longitud igual a " y es paralelo a ?. " È#* Ð#ß %ß $Ñ. Sea. ,. ,. m ?m œ È"%. "Ñ es unitario y es paralelo a ?. " È"% Ð$ß #ß. "Ñ tiene longitud igual a & y es paralelo a ?. Por lo tanto, existen dos posibilidades: i). & È"% Ð$ß #ß. "Ñ tiene longitud igual a & y es paralelo (con el. mismo sentido) a ?. ii). . & È"% Ð$ß #ß. "Ñ tiene longitud igual a & y es paralelo (con el. sentido opuesto) a ?.. Sergio Yansen Núñez.
(4) Sergio Yansen Núñez. 4.. Determine un vector perpendicular al vector ? œ Ð#ß $ Ñ. Solución: se tiene que un vector pedido es @ œ Ð$ß # Ñ pues @ ì ? œ ! Observación: Existen infinitas posibilidades. Basta determinar cualquier vector Ð+ß ,Ñ que cumpla Ð+ß ,Ñ ì Ð#ß $ Ñ œ !, o sea #+ $, œ !. Sergio Yansen Núñez.
(5) Sergio Yansen Núñez. 5.. Considere el triángulo de vértices E œ Ð"ß $ß #Ñ, F œ Ð$ß #ß %Ñ y G œ Ð%ß #ß $Ñ. Determine el valor del ángulo EFG . Solución:. Sean → ? œ FE œ Ð"ß $ß #Ñ Ð$ß #ß %Ñ œ Ð #ß &ß #Ñ → @ œ FG œ Ð%ß #ß $Ñ Ð$ß #ß %Ñ œ Ð"ß %ß "Ñ como ? ì @ œ m? m † m@ m † -9=Ð!Ñ se tiene que : #! œ È$$ † È") † -9=Ð!Ñ es decir el valor del ángulo EFG : ! œ $%ß )&%º. Sergio Yansen Núñez.
(6) Sergio Yansen Núñez. 6.. Determine - − ‘, si existe, tal que los vectores + œ Ð"ß #-ß "Ñ y , œ Ð!ß "ß "Ñ formen un ángulo de %& grados. Solución: como + ì , œ m+ m † m, m † -9=Ð%&Ñ se tiene que #- " œ È# %- # † È# † #- " œ È# %- #. È# #. ß #- " % !. Î ÐÑ#. %- # %- " œ # %- # %- " œ # %- œ " -œ . " %. este valor no satisface la condición #- " % ! por lo tanto, no existe valor de - que cumpla las condiciones establecidas.. Sergio Yansen Núñez.
(7) Sergio Yansen Núñez. 7.. Determine un vector de longitud $ que sea paralelo a ? ‚ @, siendo ? œ Ð"ß %ß &Ñ y @ œ Ð#ß %ß $Ñ . Solución: â â3 4 â ?‚@ œ â" % â â# % œº. â 5â â &â â $â. % & " & " % 3º 4º 5 º º % $ # $ # %º. œ a"# #!b3 a$ "!b4 a% )b5 œ )3 (4 %5 œ Ð )ß (ß %Ñ m? ‚ @m œ mÐ )ß (ß %Ñm œ È"#* " È"#* Ð. $†. )ß (ß %Ñ es un vector unitario paralelo a ? ‚ @. " È"#* Ð. )ß (ß %Ñ tiene longitud $ y es paralelo a ? ‚ @. Por lo tanto, existen dos posibilidades: $ È"#* Ð )ß (ß. . %Ñ (con el mismo sentido de ? ‚ @). $ È"#* Ð )ß (ß. %Ñ (con el sentido opuesto a ? ‚ @). Sergio Yansen Núñez.
(8) Sergio Yansen Núñez. 8.. → → → Si m→ + m œ m , m ¿son los vectores → + , y→ + , perpendiculares ?. Solución → → → → → Se tiene que Ð→ + , Ñ † Ð→ + ,Ñœ → + † Ð→ + , Ñ , † Ð→ + ,Ñ → → → → œ → + † → + → + †Ð ,Ñ , † → + , †Ð ,Ñ → → → → œ → + † → + → + † , , † → + , † , → → → œ m→ + m# → + † , , † → + m , m# → → œ → + † , → + † , œ! → → luego Ð→ + , Ñ ¼ Ð→ + ,Ñ 9.. Determine un vector perpendicular a la recta que pasa por los puntos : E œ Ð"ß $Ñ y F œ Ð$ß &Ñ.. Solución → se tiene que → ? œ EF œ Ð#ß #Ñ es un vector director de la recta por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : → ? ¼ œ Ð #ß #Ñ 10.. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación C œ #B $.. Solución se tiene que E œ Ð!ß $Ñ ß F œ Ð $# ß !Ñ son puntos de la recta → con lo cual → ? œ EF œ Ð $# ß $Ñ es un vector director de la recta por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : → ? ¼ œ Ð$ß $ Ñ #. Sergio Yansen Núñez.
(9) Sergio Yansen Núñez. 11.. Determine un vector unitario que sea perpendicular a una recta de pendiente igual a $& .. Solución como la pendiente es 7 œ $& ß se tiene que un vector director de la recta es È → ? œ Ð "ß $& Ñ y como m→ ? m œ &$% por lo tanto, un vector unitario que sea perpendicular a ella es : → ? ¼ œ & Ð $ ß "Ñ È$%. 12.. &. Determine un vector de norma igual a & y que sea perpendicular a la recta $B #C œ &.. Solución como la pendiente es 7 œ $# ß se tiene que un vector director de la recta È es → ? œ Ð "ß $# Ñ y como m→ ? m œ #"$ por lo tanto, un vector de norma igual a & y que sea perpendicular a ella es : → ? ¼ œ 10 Ð $ ß "Ñ È13. 13.. #. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación C œ 7B 8 , 7 Á !.. Solución como la pendiente es 7 ß se tiene que un vector director de la recta es → ? œ Ð "ß 7 Ñ por lo tanto, un vector que sea perpendicular a ella es : → ¼ ? œ Ð 7ß "Ñ. Sergio Yansen Núñez.
(10) Sergio Yansen Núñez. 14.. Sean → ? y→ @ vectores no nulos de ‘$ . ¿ son los vectores m→ ? m→ @ m→ @ m→ ? y m→ ? m→ @ m→ @ m→ ? perpendiculares ?. Solución Ð m→ ? m→ @ m→ @ m→ ? Ñ † Ð m→ ? m→ @ m→ @ m→ ?Ñ œ m→ ? m→ @ † Ð m→ ? m→ @ m→ @ m→ ? Ñ m→ @ m→ ? † Ð m→ ? m→ @ m→ @ m→ ?Ñ œ m→ ? m# Ð→ @ †→ @ Ñ m→ ? m→ @ † m→ @ m→ ? m→ ? m→ ? † m→ @ m→ @ m→ @ m# Ð→ ? †→ ?Ñ œ m→ ? m# m→ @ m# m→ ? m m→ @ mÐ→ @ †→ ? Ñ m→ @ m m→ ? mÐ→ ? †→ @ Ñ m→ @ m# m→ ? m# œ! es decir, son perpendiculares 15.. → Sean → + , , dos vectores tales que: → → + y , es 1$ y el vector la magnitud de , es #È"(, el ángulo formado por → → → → + , es perpendicular a , . Calcule la magnitud del vector → +.. Solución. → → considerando los datos, se tiene que , con los vectores → + , , ,→ + , es posible formar un triangulo rectángulo de hipotenusa → +. se tiene : -9=Ð=Ñ œ. → m,m m→ +m. Í. " #. œ. #È"( m→ +m. con lo cual : m→ + m œ %È"(. Sergio Yansen Núñez.
(11) Sergio Yansen Núñez. 16.. → → Sean los vectores → ? œ→ + $, y→ @ œ→ + & , , tales que → ? es → perpendicular a → @ y m→ + m œ % , m , m œ ". Determine el ángulo formado por → → los vectores + y , .. Solución como → ? ¼→ @ se tiene que → ? †→ @ œ! → → Í Ð→ + $ , Ñ † Ð→ + &,Ñœ! → → → Í → + † Ð→ + & , Ñ $ , † Ð→ + &,Ñœ! → → → → Í Ð→ + †→ + Ñ &Ð→ + † , Ñ $Ð , † → + Ñ "&Ð , † , Ñ œ ! → → + † , Ñ "&m , m# œ ! Í m→ + m# #Ð→ → Í "' #Ð→ + † , Ñ "& œ ! → → Í + † , œ "# por otro lado,si ! es el angulo formado por los vectores, se tiene que :. Í Í. → → → + † , œ m→ + m † m , m † -9=Ð!Ñ "# œ % † -9=Ð!Ñ ! œ E<--9=Ð ") Ñ œ *(ß ")!(º. Sergio Yansen Núñez.
(12) Sergio Yansen Núñez. 17.. → Dados → + œ Ð#ß $Ñ y , œ Ð"ß #Ñ determine dos vectores → ? y→ @ que cumplan simultáneamente: → i) ? tenga la dirección de → +. → → ii) @ sea perpendicular a + . → iii) → ? → @ œ ,.. Solución ¼ De las condiciones, se puede concluir que : → + œ Ð $ß #Ñ. → → ? œ :<9C → + , œ. →→ , †+ m→ + m#. → → ¼ , œ @ œ :<9C → +. †→ + œ. → →¼ , †+ ¼ m→ + m#. ) "$. † Ð#ß $Ñ. †→ + œ ¼. " "$. † Ð $ß #Ñ. con lo cual → ? y→ @ satisfacen las condiciones pedidas. Sergio Yansen Núñez.
(13) Sergio Yansen Núñez. 18.. → Sean → +, ,, → - tres vectores no nulos de ‘$ . → Si uÐ→ +,→ - Ñ œ uÐ , , → - Ñ. → → → ¿ es el vector m , m + m→ + m , perpendicular al vector → - ?. Solución → como uÐ→ +,→ - Ñ œ uÐ , , → - Ñ se tiene que : → → → - †→ + œ m→ - m † m→ + m † -9=Ð!Ñ y → - † , œ m→ - m † m , m † -9=Ð!Ñ con lo cual ,dado que : → → → → → - † Ðm , m→ + m→ +m, Ñ œ→ - † m , m→ + → - † m→ +m, → → œ m , m→ - †→ + m→ + m→ - † , → → œ m , m m→ - m † m→ + m † -9=Ð!Ñ m→ + m m→ - m † m , m † -9=Ð!Ñ œ! → → con lo cual : Ð m , m→ + m→ +m, Ñ ¼ → -. 19.. → Sean → + y , dos vectores no nulos. Determine ! − ‘ tal que : → → → + ! , sea perpendicular a , .. Solución se tiene que :. → → → → → → , †Ð+ !, Ñ œ ! Í , † → + , † (! , Ñ œ ! → → → + !( , † , Ñ œ ! Í , † → Í ! œ. → → ,† + →→ ,†,. Í ! œ. → → ,† + → m , m#. Sergio Yansen Núñez.
(14) Sergio Yansen Núñez. 20.. Sean. → → → → + œ 3 4 5 → → → → , œ 3 $4 -5 → → → → - œ#3 4 5. Calcule, si es posible, el valor de - tal que el ángulo formado por → + ‚→ - y → , es igual a 1% . Solución → se tiene que À → + œ Ð"ß "ß "Ñ à , œ Ð "ß $ß -Ñ à → - œ Ð#ß "ß "Ñ â→ â 3 â → → y como : + ‚ - œ â " â â# con lo cual, ya que. → 4 " ". → ââ 5â " ââ œ Ð!ß $ß $Ñ " â. → → Ð→ + ‚→ - Ñ † , œ m→ + ‚→ - m † m , m † -9=Ð 1% Ñ. se debe cumplir que À * $- œ $È#È"! -#. È# #. Í $ - œ È"! -# Í Ð$ -Ñ# œ "! -# Í * '- - # œ "! -# Í. Sergio Yansen Núñez. - œ. " '.
(15) Sergio Yansen Núñez. 21.. Determine el área del triángulo de vértices : EÐ"ß #ß %Ñ , FÐ "ß $ß &Ñ y GÐ$ß #ß $Ñ.. Solución Dados los puntos Eß Fß G considertemos los vectores → → → → + œ EF œ Ð #ß "ß "Ñ à , œ EG œ Ð#ß %ß "Ñ → se tendra que : E><3+Þ œ "# m , m † É m→ + m# m:<9C→→ + m# ,. → pero : m , m œ È#" ß m→ + m œ È' ß :<9C →→ + œ ,. → → +†, → m , m#. → † , œ . * #". † Ð#ß %ß "Ñ œ. con lo cual: E><3+Þ œ "# È#" † É ' . * %*. † #" œ. $ (. † Ð #ß %ß "Ñ. $È& #. otra forma, es considerando el producto cruz → E><3+Þ œ "# m → + ‚ ,m â → â 3 → â → donde + ‚ , œ â # â â #. → 4 " %. luego E><3+Þ œ "# mÐ$ß !ß 'Ñm œ. → ââ 5â " ââ œ Ð$ß !ß 'Ñ " â. $È& #. Sergio Yansen Núñez.
(16) Sergio Yansen Núñez. 22.. → Sean → + y , dos vectores de ‘$ , pruebe que el área del paralelógramo → generado por → + y , -→ + es igual al área del paralelógramo generado → por → + y ,.. Solución → el área del paralelógramo generado por → + y , esta dado por : → E:+<+6Þ œ m → + ‚ ,m con lo cual, se tendra que : → el área del paralelógramo generado por → + y , -→ + esta dado por : → + Ñm E:+<+6Þ œ m → + ‚ Ð , -→ → œ m→ + ‚ , → + ‚ Ð-→ + Ñm → œ m→ + ‚ , -Ð→ + ‚→ + Ñm → œ m→ + ‚ , m. Sergio Yansen Núñez.
(17) Sergio Yansen Núñez. 23.. → → → Sean → + y , vectores de ‘$ tales que → + , es perpendicular a → + ,, → → m→ + , m œ È#(, el ángulo formado por → + y , es '!o . Determine el área → del paralelógramo generado por los vectores → + y , &→ +.. Solución → el área del paralelógramo generado por → + y , &→ + es la misma que el → área del paralelógramo generado por → + y , , luego → → E:+<+6Þ œ m → + ‚ , m œ m→ + m † m , m † =/8Ð!Ñ → œ m→ + m † m , m † =/8Ð'!ºÑ œ. È$ → # m+ m. → †m,m. → → pero → + , es perpendicular a → + , → → luego : Ð → + , Ñ † Ð→ + ,Ñœ! → → → → Í → + m# m , m# œ ! Í m→ + m œm,m + †→ + , † , œ ! Í m→ luego se tiene que : E:+<+6Þ œ por otro lado,como :. È$ → # # m+ m. → → m→ + , m œ È#( Í m→ + , m# œ #( → → Í Ð→ + , Ñ † Ð→ + , Ñ œ #( → → Í m→ + m# # → + † , m , m# œ #( → + † , œ #( Í #m→ + m# # → → → pero → + † , œ m→ + m † m , m † -9=Ð'!ºÑ œ "# m→ + m# → luego : #m→ + m# # → + † , œ #( Í #m→ + m# m→ + m# œ #( Í m→ + m# œ 9 por lo tanto :. E:+<+6Þ œ. È$ → # # m+ m. œ. 9È $ #. Sergio Yansen Núñez.
(18) Sergio Yansen Núñez. 24.. → Sean → + y , vectores no nulos de ‘$ , que satisfacen las condiciones → → → → → + † , œ # , m→ + m œ " , m , m œ %. Considere → - œ #Ð→ + ‚ ,Ñ$,. → Determine → + †Ð, → -Ñ → b) Expresar → - como combinación lineal de → + y , a). Solución a). b). → → → → → → + †Ð, → + † , → + †→ + † , → + † Ð#Ð→ -Ñœ → - œ → + ‚ ,Ñ$,Ñ → → → œ → + ‚ , Ñ $→ + † , #→ + † Ð→ + † , œ # ! 'œ % → → → → → → → → , ‚ → - œ , ‚ Ð#Ð→ + ‚ , Ñ $ , Ñ œ # , ‚ Ð→ + ‚ , Ñ $Ð , ‚ , Ñ → → → → → → + ‚ , Ñ œ # Ð , † , Ñ→ œ # , ‚ Ð→ + #Ð , † → + Ñ , → œ $# → + %,. Sergio Yansen Núñez.
(19) Sergio Yansen Núñez. 25. Dada la recta P À ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß !Ñ -Ð #ß "ß #Ñ à - − ‘, los puntos T ß V − P que están a una distancia $ del punto W œ Ð"ß #ß !Ñ y el punto U œ Ð"ß !ß "Ñ. Calcular el área del triangulo de vértices :T ß Uß V Solución sea X œ ÐBß Cß DÑ − P Í X œ Ð" #-ß # -ß #- Ñ tal que À .ÐX ß WÑ œ $ Í ÈÐ #-Ñ# Ð -Ñ# Ð#-Ñ#. œ$. Í $¸- ¸ œ $ Í - œ " ” - œ " con lo cual : T œ Ð "ß $ß # Ñ ß V œ Ð$ß "ß # Ñ → → consideremos los vectores : T U œ Ð#ß $ß $Ñ à T V œ Ð%ß #ß %Ñ → → se tiene que E><3+Þ œ "# m T U ‚ T V m œ "# mÐ 'ß %ß )Ñm œ È#*. ya que. â â → → â TU ‚ TV œ â â â. → 3 # %. → 4 $ #. → ââ 5â $ ââ œ Ð 'ß %ß )Ñ % â. Sergio Yansen Núñez.
(20) Sergio Yansen Núñez. 26. Dada la recta P À. B" ". 1À B. œ C œ D œ a.- T − P tal que. œ. C" ". œ. D #. œ - y el plano :. #- . Determinar : # -. " - #. .ÐT ß 1Ñ œ È#$. b.- P : 1. c.- 1" plano tal que : P © 1" • 1" ¼ 1 Solución a.- se tiene que P À B C D. œ œ œ. "" #-. con lo cual , T − P si se cumple que. T œ Ð " - ß " - ß #- Ñ por otro lado como 1 À B œ #- . se tiene que C œ # -. D œ " - #. â â D "â â B C# â â " " â œ ! Í $B $ÐC #Ñ $ÐD "Ñ œ ! 1 À â # â â " # â â " Í 1 À B C D œ " luego .ÐT ß 1Ñ œ. # È$. Í. ¸Ð"-ß"-ß#-цР"ß"ß"Ñ"¸ È$. Í ¸ #- "¸ œ # Í - œ. œ. # È$. " #. ”- œ . por lo tanto : T" œ Ð "# ß "# ß "Ñ à T# œ Ð &# ß &# ß $Ñ. Sergio Yansen Núñez. $ #.
(21) Sergio Yansen Núñez. b.- sea T œ Ð " -ß " -ß #-Ñ − P si T − 1 Í " - " - #- œ " Í - œ luego â â â c.- 1" :â â â. " #. P : 1 œ ÖÐ $# ß $# ß "Ñ× B" " ". C" " ". â Dâ â # â œ ! Í 1" : B $ C #D œ % â "â. 27. Dadas la recta P y el plano 1 ,donde : B œ " #P: C œ " à - − ‘ ; 1 : %B C $D œ "' D œ $Determinar: a.- L : 1 b.- 1" tal que P © 1" • 1" ¼ 1 c.- 1" : 1 d.- T − P tal que .ÐT ,1) œ È#' Solución a.-. sea T œ Ð " #-ß " -ß $ -Ñ − P si T − 1 Í %Ð " #-Ñ Ð" -Ñ $Ð$ -Ñ œ "' Í luego. P : 1 œ ÖÐ&ß %ß !Ñ×. â âB" â b.- 1" :â # â â %. C" " ". â D $â â " â œ ! Í 1" :# B "! C ' D œ $! â $ â. c.- hay que resolver el sistema :. # ”%. - œ$. "! ". ' $. # B "! C ' D œ $! %B C $D œ "'. $! " J" Ð "# Ñ” • "' %. & ". Sergio Yansen Núñez. $ $. "& J Ð %Ñ "' • #".
(22) Sergio Yansen Núñez. " ”!. & "*. " ! –! ". $ "&. ") "* "& "*. " "& " J# Ð "* Ñ” • (' !. $ "& "*. "& J Ð&Ñ % • "#. & %—. B. ") "* D. œ&. C. "& "* D. œ%. Bœ . ") "* D. &. Cœ . "& "* D. %. luego 1" : 1 œ P# À d.-. & ". C% B& œDœ") œ "* "& "*. T œ Ð " #- ß " - ß $ - Ñ − P .ÐT ß 1Ñ œ È#' Í. ¸Ð"#-ß"-ß$-цР%ß"ß$Ñ"'¸ È#'. Í ¸ ' #-¸ œ "$ Í - œ. "* #. ”- œ . por lo tanto : T" œ Ð " "*ß. #" # ß. . "$ # Ñ. œ È#' ( #. à T# œ Ð )ß #& ß "$ # Ñ. Sergio Yansen Núñez.
(23) Sergio Yansen Núñez. 28. Dadas la recta L y el plano 1 ,donde : B œ " #- à - − ‘ ; 1: B œ % - . à -ß . − ‘ C œ "C œ $ - #. D œ $D œ " - #. Determinar: a.- L : 1 b.- 1" tal que L © 1" • 1" ¼ 1 c.- 1" : 1 d.- P − L tal que .ÐP,1) œ È#' L:. Solución. â â B% â se tiene que 1: B œ % - . Í 1: â " â " C œ $ - #. â D œ " - #. Í 1: %B $C D œ #'. â C $ D "â â " " âœ! â # # â. sea T œ Ð " #-ß " -ß $ -Ñ − P si T − 1 Í %Ð " #-Ñ $Ð" -Ñ Ð$ -Ñ œ #' Í "( $ luego P : 1 œ ÖÐ "* & ß & ß & Ñ× â âB" â b.- 1" :â # â â %. C" " $. â D $â â " âœ! â " â. Í 1" :#B $C D œ #. c.- hay que resolver el sistema : %B $C D œ #' Í D œ "# $B #B $C D œ # %B $C D œ #' Í D œ "# $B Í B œ "#D Í B œ "% $C œ $ B $C œ "% B œ "% $C luego 1" : 1 œ P# À. B! ". œ. C "% $ "$. - œ. œ. D"# $. Sergio Yansen Núñez. œ-. "#D $. "# &.
(24) Sergio Yansen Núñez. d.-. T œ Ð " #- ß " - ß $ - Ñ − P .ÐT ß 1Ñ œ È#' Í. ¸Ð"#-ß"-ß$-цР%ß$ß"Ñ#'¸ È#'. œ È#'. Í ¸ "# &-¸ œ "$ Í - œ & ” - œ . " &. por lo tanto : T" œ Ð*ß 'ß #Ñ à T# œ Ð (& ß %& ß "' & Ñ. Sergio Yansen Núñez.
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