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Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional con no linealidad cuadrática

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Academic year: 2020

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(1)Vol. XV, No 2, Diciembre (2007) Matemáticas: 2140. Matemáticas: Enseñanza Universitaria. c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia. Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional con no linealidad cuadrática Julián Granados Morales Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Jorge Mejía Laverde Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Recibido Feb. 19, 2007. Aceptado Jun. 4, 2007. Abstract. In this article we consider the Cauchy problem for the 1 - dimensional Schrödinger equation: √ ut = iuxx + u2 , i = −1, u (x, 0) = u0 (x) ,. with initial data in Sobolev spaces H s (R) . Using Bourgain spaces, we prove that this problem has a unique local solution, in time, when the initial datum u0 is taken in H s (R) , with s > − 34 .. Keywords: Nonlinear evolution equations, local solutions. MSC(2000): Primary: 35Q55, Secondary: 37K05 Resumen. En este artículo consideramos el problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional: √ ut = iuxx + u2 , i = −1, u (x, 0) = u0 (x) ,. con datos iniciales en espacios de Sobolev H s (R). Mediante el uso de espacios de Bourgain probamos que este problema tiene solución local única para datos iniciales u0 en H s (R) , con s > − 34 .. Palabras y frases claves: 1. Ecuaciones de evolución no lineales, soluciones locales.. Introducción.. El problema de Cauchy asociado a la ecuación de Schrödinger unidimensional con no linealidad cuadrática consiste en encontrar una función u = u (x, t) de valor complejo, de la variable espacial x y de la variable temporal t tal que. ∂t u (x, t) = i∂x2 u (x, t) + u2 (x, t) , u (x, 0) = u0 (x) ,. x ∈ R,. x ∈ R, t ∈ R,. (1) (2). √ donde i = −1 y el dato inicial u0 es tomado en cierto espacio de Sobolev H s (R). En los últimos años el problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger y otras ecuaciones de evolución no lineales ha sido estudiado en espacios de baja.

(2) 22. J. Granados y J. Mejía. regularidad. En nuestro caso la regularidad está relacionada con el índice s del espacio de Sobolev H s (R) . En [2] y [3] Bourgain desarrolló un método nuevo para el estudio de estos problemas cuya parte esencial radica en elegir de manera adecuada el tipo de espacios en los que se busca la solución. Las normas en estos espacios, denidas a través de la transformada de Fourier espacio - temporal, tienen en cuenta la estructura especíca de la parte lineal de la ecuación. Para estas normas los estimativos lineales son similares y sencillos para todas las ecuaciones. Las dicultades aparecen en los estimativos no lineales, y son propias de cada ecuación. En adelante llamaremos espacios de Bourgain a los espacios donde buscaremos las soluciones del problema de Cauchy. En [5], Kenig, Ponce y Vega, estudiando el problema de Cauchy para la ecuación de Korteweg - de Vries, introdujeron una simplicación signicativa del método de Bourgain al realizar los estimativos no lineales mediante desigualdades elementales de cálculo. El presente artículo está basado en el trabajo [6] de Kenig, Ponce y Vega, acerca de la ecuación unidimensional de Schrödinger con no linealidades de tipo cuadrático y su contenido hizo parte de la tesis de maestría de Julián Mauricio Granados Morales, realizada en la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, bajo la dirección del profesor Jorge Mejía Laverde. El objetivo de este artículo es reproducir en detalle el resultado de carácter local obtenido en [6] para el problema de Cauchy (1) - (2). La principal diferencia de nuestro artículo con el trabajo [6] es la manera como se lleva a cabo el estimativo de la norma de la forma bilineal uv en el espacio de Bourgain considerado. Para estimar esta norma hacemos uso, como en [6] , de desigualdades elementales de cálculo. Sin embargo, la partición de R4 propuesta en nuestro trabajo para obtener el estimativo es diferente a la utilizada en [6]. Esta diferencia contribuye, en nuestra opinión, a una mejor comprensión del método utilizado y constituye el principal aporte del artículo. El resultado local que probaremos arma que dado u0 en H s (R), con s > − 43 , existe T > 0 tal que el problema de Cauchy (1) - (2) tiene solución única en [−T, T ]. En el artículo concentraremos nuestra atención en el estimativo no lineal, puesto que, como dijimos antes, los estimativos lineales son relativamente simples y estándar para todas las ecuaciones. Es importante anotar que el resultado aquí obtenido no es óptimo. Recientemente, Bejenaru y Tao en [1] probaron que el problema de Cauchy (1) - (2) está localmente bien planteado en H s (R) con s ≥ −1 y está mal planteado en H s (R) cuando s < −1.. Con el n de establecer de manera precisa nuestro resultado introducimos algunas deniciones y notaciones. Nuestros datos iniciales estarán en espacios de.

(3) Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. 23. Sobolev de tipo L2 , denidos por:   Z H s ≡ H s (R) := u0 ∈ S0 (R) | ku0 k2s := hξi2s |c u0 (ξ)|2 dξ < ∞ , R. donde s ∈ R, S0 (R) es el espacio de distribuciones temperadas en R, u c0 es la transformada de Fourier espacial de u0 , ξ es la variable en el espacio de frecuencias que corresponde a la variable espacial x y, para un número a, hai := 1 + |a| . Buscaremos las soluciones del problema de Cauchy (1) - (2) en espacios de Bourgain del tipo: Z  2 2 0 hξi2s hσi2b |b u (λ)|2 dλ < ∞}, Xsb := {u ∈ S R | kuksb := R2.  2. donde s, b ∈ R, S0 R es el espacio de distribuciones temperadas en R2 , u b es la transformada de Fourier espacio - temporal de u, λ := (ξ, τ ) es la variable en el espacio de frecuencias correspondiente a la pareja espacio - temporal (x, t) y. σ := τ − m (ξ) := τ + ξ 2 . Notemos que m (ξ) = −ξ 2 es el símbolo asociado a la parte lineal espacial de la ecuación deSchrödinger (1).  Si S R2 es el espacio de Schwartz, entonces puede probarse que S R2 ∩ Xsb es denso en Xsb . De otra parte, si Cbd (Rt ; H s ) denota el espacio de funciones continuas y acotadas de la variable temporal t ∈ Rt con valores en H s , entonces para b > 21 , también se puede demostrar que Xsb está inmerso de manera continua en Cbd (Rt ; H s ) . De esta manera, para T > 0 y b > 21 , tiene sentido denir el espacio Xsb [−T, T ] de las restricciones al intervalo [−T, T ] de los elementos v ∈ Xsb con norma denida por: n o kukXsb [−T,T ] := ı́nf kvksb | v ∈ Xsb y v|[−T,T ] = u . Nuestro concepto de solución para el problema de Cauchy (1) - (2) parte de la fórmula de Duhamel. Formalmente, u ∈ Xsb [−T, T ] es una solución del problema de Cauchy (1) - (2) en [−T, T ] si y sólo si para cada t ∈ [−T, T ] : Z t   u (t) = W (t) u0 + W t − t0 u2 t0 dt0 , (3) 0. donde W (t) u0 es la solución del problema lineal asociado a (1) - (2), es decir:. [W (t) u0 ]∧ (ξ) = eitm(ξ) u c0 (ξ) .. Con el n de estudiar el problema (3) en el contexto de los espacios de Bourgain modicaremos los dos términos del lado derecho de (3) con ayuda de una función de truncación ψ ∈ C∞ 0 (Rt ) de la variable temporal t, con soporte contenido en.

(4) 24. J. Granados y J. Mejía. el intervalo abierto (−2, 2), tal que 0 ≤ ψ ≤ 1 y ψ ≡ 1 en el intervalo cerrado [−1, 1] . Un cálculo directo nos permite concluir que. kψ (·t ) W (·t ) u0 ksb ≤ C ku0 ks .. (4). Para describir la modicación que haremos del término  integral del lado derecho de (3), observemos inicialmente que si f ∈ S R2 y f (t) := f (·x , t) y denimos el operador integral G por:. G (f ) (t) :=. Z. t. 0.   W t − t0 f t0 dt0 ,. (5). entonces, teniendo presentes la denición de W (t) , la fórmula de inversión de Fourier y la igualdad. Z. t. 0.  g t0 dt0 =. Z. ∞. −∞. eitτ − 1 gb (τ ) dτ, iτ. para funciones g ∈ L1 (R) tales que gb ∈ L1 (R) , se sigue que. 1 [G (f ) (t)] (x) = 2π. Z. e. ixξ −itξ 2. e. Z. ∞. −∞. R. eitσ − 1 b f (ξ, τ ) dτ dξ, iσ. donde σ := τ + ξ 2 . Dado T > 0, sea ϕT ∈ C∞ 0 (Rσ ) una función de htruncación de i la variable σ − 21 − 12 tal que 0 ≤ ϕT ≤ 1, ϕT ≡ 1 en el intervalo cerrado −T , T y con soporte   1 1 contenido en el intervalo abierto −2T − 2 , 2T − 2 . Con ayuda de la función ϕT podemos escribir [G (f ) (t)] (x) de la siguiente forma:. 1 [G (f ) (t)] (x) = 2π +. 1 2π. 1 − 2π. Z. e. ixξ −itξ 2. R. Z. eixξ. R. Z R. e. Z R. e. R. eitτ iσ. ixξ −itξ 2. e. Z. eitσ − 1 ϕT (σ) fb(ξ, τ ) dτ dξ iσ. (1 − ϕT (σ)) fb(ξ, τ ) dτ dξ. Z R. 1 − ϕT (σ) b f (ξ, τ ) dτ dξ iσ. =: IϕT (f ) (x, t) + IIϕT (f ) (x, t) + IIIϕT (f ) (x, t) . La modicación que consideraremos del operador integral (5) está dada por el operador GT , denido por:  GT (f ) := ψ T −1 ·t IϕT (f ) + IIϕT (f ) + ψ (·t ) IIIϕT (f ) ..

(5) Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. 25. Observemos que para 0 < T ≤ 1 y t ∈ [−T, T ], se tiene que: Z t   W t − t0 f t0 dt0 . GT (f ) (t) = G (f ) (t) = 0. Procediendo como se hizo en el lema 1 de [4] puede probarse que para s ∈ R,  1 b ∈ 2 , 1 y β ∈ (0, 1 − b) , existe δ > 0 tal que. kGT (f )ksb ≤ CT δ kf ks(−β) ,. ∀T ∈ (0, 1] ,. (6). con C independiente de f y T. El estimativo (6) permite extender el operador GT de manera continua al espacio Xs(−β) . Seguiremos denotando esta extensión  continua también por GT GT : Xs(−β) → Xsb . En el estudio del problema integral (3) es crucial estimar la forma bilineal uv asociada a la no linealidad cuadrática u2 de la ecuación. Tal estimativo, que estableceremos en el lema 1, constituye la parte principal de este artículo, y será probado en la sección 2.    Lema 1.1. Sean s > − 43 y r := máx {0, −s} . Si β ∈ 38 , 12 y b ∈ 12 , 1 son  1 1 3 escogidos de manera que b + β < 1 y 2 − β ≤ 2 4 − r , entonces existe C > 0 tal que. kuvks(−β) ≤ C kuksb kvksb ,. ∀u, v ∈ Xsb .. De los estimativos (4) y (6) y del lema 1, podemos dar una denición precisa de solución local en el tiempo para el problema de Cauchy (1) - (2). Denición 1.2. Sean. s, β y b parámetros que satisfacen las condiciones del lema T ∈ (0, 1] decimos que una función u ∈ Xsb [−T, T ] es solución del problema de Cauchy (1) - (2) en [−T, T ] con dato inicial u0 , si existe una extensión v ∈ Xsb de u tal que  u (t) = W (t) u0 + GT v 2 (t) ∀t ∈ [−T, T ] . 1. Para. u0 ∈ H s. y. Finalizamos esta introducción con el enunciado del teorema de existencia y unicidad de soluciones locales del problema de Cauchy (1) - (2), que será probado en la sección 3.. s > − 43 y b como en el lema 1, y sea u0 ∈ H s . Entonces existen T ∈ (0, 1), T = T (ku0 ks ) , y una única solución u ∈ Xsb [−T, T ] del problema de Cauchy (1) - (2) en [−T, T ] con dato inicial u0 . Teorema 1.3. Sean. Observación 1.4. A lo largo de este artículo la letra. C. denotará diversas cons-. tantes po-sitivas que pueden cambiar de una línea a otra y/o depender de parámetros que serán claramente establecidos en cada caso. De otra parte, para cantidades variables y. C2. x. y. y , la notación x ∼ y signicará C1 |x| ≤ |y| ≤ C2 |x| .. tales que. que existen constantes positivas. C1.

(6) 26 2. J. Granados y J. Mejía. Estimación de la Forma bilineal. uv (Demostración del lema 1). En la demostración del lema 1 serán utilizadas las siguientes desigualdades de cálculo: Z ∞ dx C ≤ , para 1 < β, 0 < α ≤ β, (7) α β haiα −∞ hxi hx − ai Z b dx 1−α , para 0 ≤ α < 1. (8) α ≤ C máx {|a| , |b|} a hxi Debemos probar que:. (9). kuvks(−β) ≤ C kuksb kvksb . Para simplicar la escritura adoptamos las siguientes notaciones:. λ := (ξ, τ ) , λ1 := (ξ1 , τ1 ) , ξ2 := ξ − ξ1 , τ2 := τ − τ1 , λ2 := λ − λ1 = (ξ2 , τ2 ) , σ := τ − m (ξ) = τ + ξ 2 , σ1 := σ (ξ1 , τ1 ) , σ2 := σ (ξ2 , τ2 ) , k·k := k·kL2 . λ. Si denimos:. p (λ) := hξis hσib |b u (λ)|. q (λ) := hξis hσib |b v (λ)| ,. y. entonces, teniendo en cuenta que ∧. (uv) (λ) = C (b u ∗ vb) (λ) = C. Z. R2. u b (λ1 ) vb (λ − λ1 ) dλ1 ,. por dualidad, para probar (9) es suciente probar que para h ∈ L2λ , h ≥ 0 : Z Z hξis p (λ1 ) q (λ2 ) h (λ) J 0 := dλ1 dλ ≤ C kpk kqk khk . (10) hσiβ hξ1 is hσ1 ib hξ2 is hσ2 ib R2 R2. Por un argumento de simetría basta considerar en (10) la integral sólo sobre el conjunto Ω := (λ, λ1 ) ∈ R4 | |σ2 | ≤ |σ1 | . Por tanto, para probar (10) es suciente ver que si Z hξis p (λ1 ) q (λ2 ) h (λ) dλ1 dλ (11) J := hσiβ hξ1 is hσ1 ib hξ2 is hσ2 ib Ω. entonces. J ≤ C kpk kqk khk .. Como r = máx {0, −s} entonces. J ≤C. Z. Ω. s. hξi hξ1 is hξ2 is. r. (12) r. ≤ C hξ1 ihξihξr2 i , y en consecuencia:. hξ1 ir hξ2 ir p (λ1 ) q (λ2 ) h (λ) dλ1 dλ. hξir hσiβ hσ1 ib hσ2 ib 1. (13).

(7) 27. Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. La identidad. σ − σ1 − σ2 = 2ξ1 (ξ − ξ1 ). (14). motiva la descomposición de la región Ω de R4 en las siguientes 6 subregiones:. Ω1 := {(λ, λ1 ) ∈ Ω | |σ1 | ≤ |σ| ,. Ω2 := {(λ, λ1 ) ∈ Ω | |σ1 | ≤ |σ| ,. Ω3 := {(λ, λ1 ) ∈ Ω | |σ| < |σ1 | ,. |ξ|2 ≤ 12 |σ|},. |ξ|2 > 12 |σ|},. |ξ1 | < 1},. Ω4 := {(λ, λ1 ) ∈ Ω | |σ| < |σ1 | ,. |ξ1 | ≥ 1,. Ω6 := {(λ, λ1 ) ∈ Ω | |σ| < |σ1 | ,. 2. Ω5 := {(λ, λ1 ) ∈ Ω | |σ| < |σ1 | ,. 2. |ξ − ξ1 | < 1},. |ξ1 | ≤ 12 |σ1 | ,. |ξ1 | > 12 |σ1 | ,. |ξ1 | ≥ 1,. |ξ − ξ1 | ≥ 1},. |ξ1 | ≥ 1,. |ξ − ξ1 | ≥ 1}.. Para i = 1, ..., 6, sea JΩi la contribución de Ωi a la integral en (11). Así, para probar (12) debemos probar que cada JΩi está acotada por. C kpk kqk khk . Para i = 1, 2, 3, por una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la integral que aparece en (13), primero en la variable λ1 y luego en la variable λ se tiene que: JΩi ≤ sup Ii (λ) kpk kqk khk , λ∈Ai. donde Ai := {λ | ∃λ1 (λ, λ1 ) ∈ Ωi } e. Ii (λ) :=.   . C r. hξi hσiβ  . Z. {λ1 |(λ,λ1 )∈Ωi }. 1 2 hξ1 i2r hξ2 i2r dλ1  .  hσ1 i2b hσ2 i2b . De manera similar, para i = 4, 5, 6, aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la integral que aparece en (13), primero en la variable λ y luego en la variable λ1 , para obtener: JΩi ≤ sup Ii∗ (λ1 ) kpk kqk khk , λ1 ∈A∗i. donde A∗i := {λ1 | ∃λ (λ, λ1 ) ∈ Ωi } e.   hξ1 i  ∗ Ii (λ1 ) := C hσ1 ib   r. Z. {λ|(λ,λ1 )∈Ωi }. 2r. hσi. hξ2 i dλ. 2β. 1 2  . hσ2 i2b hξi2r  . .. Así, el lema 1 quedará demostrado si probamos que sup Ii (λ) ≤ C, para i = 1, 2, 3. y sup Ii∗ (λ1 ) ≤ C, para i = 4, 5, 6. λ1 ∈A∗i. λ∈Ai.

(8) 28. J. Granados y J. Mejía. 2.1. Estimación de Ii (λ). (i = 1, 2) .. En la estimación de Ii (λ), i = 1, 2, usaremos el cambio de variable. z1 := ϕ (ξ1 ) := −2ξ1 (ξ1 − ξ) .. (15). Entonces de (14) se sigue que σ2 = σ − σ1 − z1 , y así, para i = 1, 2, |z1 | ≤ 3 |σ| , con lo cual si λ ∈ Ai :. Ii (λ) ≤ C r. β.   . Z. hξi hσi  . hξ1 i2r hξ2 i2r. {ξ1 ||z1 |≤3|σ|}. "Z. ∞. −∞. dτ1 2b. hσ1 i hσ1 − (σ − z1 )i2b. #. dξ1. 1 2    . .. Teniendo en cuenta que en la integral interior de la anterior expresión dτ1 = dσ1 y aplicando la desigualdad de cálculo (7) a esta integral, concluimos que:. Ii (λ) ≤. C r. β.   . hξi hσi  . Z. hξ1 i hξ2 i. {ξ1 ||z1 |≤3|σ|}. De (15) es claro que. 2r. 2r. hσ − z1 i2b. dξ1. 1 2    . (16). .. dz1 ξ1 1 − . = 4ξ dξ1 ξ 2. (17). Sin pérdida de generalidad supondremos que ξ > 0. Estimación de I1 (λ). Consideremos la partición del conjunto {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ|} en los conjuntos. 3 1 ξ1 < } y − 2 ξ 2 1 ξ1 3 ≥ }. Y2 := {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ| y − 2 ξ 2. Y1 := {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ| y. Si ξ1 ∈ Y1 , entonces −ξ < ξ1 < 2ξ con lo que |ξ1 | < Cξ y |ξ − ξ1 | < Cξ. Por lo tanto: hξ1 i2r hξ2 i2r ≤ C hξi4r , y en consecuencia:.  1 Z  2 2r 2r C hξ1 i hξ2 i hξir dξ ≤ C 1  hξir hσiβ  hσ − z1 i2b hσiβ Y1.     . Z. {ξ1 ||z1 |≤3|σ|}. dξ1. 1 2  . hσ − z1 i2b  . ..

(9) 29. Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. Denamos ahora:. 1 1 ξ1 − < } y 2 ξ ξ 1 1 ξ1 − E2 := {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ| y ≥ }. 2 ξ ξ. E1 := {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ| y. Entonces:. C r. β.  Z. hξi hσi . 2r. 2r. hξ1 i hξ2 i. 2b. hσ − z1 i. Y1. dξ1. 1 2 . r. ≤C. hξi. β.  Z. hσi . E1. dξ1 2b. hσ − z1 i. +. Z. E2. dξ1. hσ − z1 i2b .  1 Z  2 hξi dξ1 |E1 | + ≤C , hσiβ  hσ − z1 i2b  r. 1 2. E2. donde |E1 | denota la medida de E1 . Realizando en la última integral el cambio de variable (15), z1 = ϕ (ξ1 ) , y 1 1 teniendo en cuenta que para ξ1 ∈ E2 , de (17) se sigue que dz dξ1 ≥ 4ξ ξ = 4, y que 1. en Ω1 , ξ ≤ C |σ| 2 , concluimos, dado que β ≥ 38 , que:. C.  Z. hξir hσiβ . hξ1 i hξ2 i. Y1. Si ξ1 ∈ Y2 ,. 1 2. 2r. −. 2r. hσ − z1 i2b. ξ1 ξ. ∼. ξ1 ξ. dξ1. 1 2 . ≤C ≤C. hξir. hσiβ hξir. hσiβ. (. 1 2+ 4. Z. 3|σ|. −3|σ|. dz1 hσ − z1 i2b. )1. 2. r. ≤C. hσi 2. hσiβ. ≤ C,. (18). y por lo tanto de (17):. ξ1 dz1 ≥ Cξ ≥ C |ξ1 | . dξ1 ξ. (19). Además, como en Y2 |ξ1 | > |ξ| , entonces |ξ2 | ≤ 2 |ξ1 | y por consiguiente:. hξ1 i2r hξ2 i2r ≤ C hξ1 i4r . Así, realizando el cambio de variable (15), z1 = ϕ (ξ1 ) , y teniendo en cuenta.

(10) 30. J. Granados y J. Mejía. (19) y que para |ξ1 | ≥ 1, hξ1 i ∼ |ξ1 | , se puede concluir que:  1  1 2 Z Z    2 2r 2r 4r C hξ1 i hξ2 i C hξ1 i ≤ ≤ dξ1 dξ1   hξir hσiβ  hσ − z1 i2b hξir hσiβ  hσ − z1 i2b. C. r. β.   . Y2. Y2. Z. hξi hσi  . 4r. hξ1 i. {ξ1 ∈Y2 ||ξ1 |<1}.      C C+ hξir hσiβ   n  . hσ − z1 i. z1 ||z1 |≤3|σ|,. 2b. Z. dξ1 +. 4r. hξ1 i. {ξ1 ∈Y2 ||ξ1 |≥1}. Z. hσ − z1 i2b. |ξ1 |4r dz1. ξ 1 − ξ1 2. ≥ 23 ,|ξ1 |≥1. o. dξ1. 1 2    . |ξ1 | hσ − z1 i2b    . 1 2    . ≤. .. (20). Si r ≤ 41 , teniendo en cuenta que |ξ1 | ≥ 1, de la anterior desigualdad concluimos que  1 Z  2 2r 2r C hξ1 i hξ2 i C dξ1 ≤ ≤ C. (21) r β  2b r  hξi hσi hσ − z1 i hξi hσiβ Y2. Si. 1 4. <r<. 3 4,. como |z1 | ≤ 3 |σ| , entonces " # r r ξ ξ2 3 ξ ξ2 3 ξ1 ∈ − + |σ|, + + |σ| 2 4 2 2 4 2 1. y puesto que en Ω1 , |ξ|2 < 12 |σ| , se sigue que |ξ1 | ≤ C |σ| 2 y de (20):   1 1 2 2 Z Z    2r 2r 2r− 12 hξ1 i hξ2 i C |σ| dz1  C dξ1 ≤ C+  hξir hσiβ  hσ − z1 i2b hξir hσiβ  hσ − z1 i2b  R. Y2. λ∈A1. 1. C |σ|r− 4. + ≤ C, (22) hξir hσiβ hξir hσiβ  − r ≤ 43 − r. De (16), (18), (21) y (22). ≤. ya que β + 14 ≥ r, pues 12 − β ≤ 12 43 podemos concluir que sup I1 (λ) ≤ C.. C. Estimación de I2 (λ). Teniendo enp cuenta el cambio de variable (15), z1 = ϕ (ξ1 ) , si p z1 = 3 |σ| entonces ξ1 = 12 ξ ± 12 ξ 2 − 6 |σ| y si z1 = −3 |σ| entonces ξ1 = 21 ξ ± 12 ξ 2 + 6 |σ|. Por lo tanto:   1p 2 ξ 1p 2 {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ|} = ξ1 | ξ − 6 |σ| ≤ ξ1 − ≤ ξ + 6 |σ| . (23) 2 2 2.

(11) Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. 31. Sean. n o p p R1 := ξ1 | 12 ξ − 21 ξ 2 + 6 |σ| ≤ ξ1 ≤ 21 ξ − 12 ξ 2 − 6 |σ| y n o p p 1 1 1 1 R2 := ξ1 | 2 ξ + 2 ξ 2 − 6 |σ| ≤ ξ1 ≤ 2 ξ + 2 ξ 2 + 6 |σ| . Como en Ω2 tiene que:. |σ| ξ2. ≤. 1 12 ,. entonces. q 1+. 6|σ| ξ2. ≤. q. 3 2,. y por lo tanto si ξ1 ∈ R1 se. # p " 1 1 2 1p 2 1 2 ξ + 2 pξ + 6 |σ| ξ− ξ + 6 |σ| 1 ξ1 ≥ 1 2 2 ξ 2 + 6 |σ| 2ξ + 2 . =. y. −3 |σ| q ξ 1+ 1+ . 6|σ| ξ2.  ≥ −C. |σ| ξ. # p " 1 1 2 − 6 |σ| ξ + ξ 1p 2 1 2p ξ− ξ − 6 |σ| 21 ξ1 ≤ 1 2 2 ξ + ξ 2 − 6 |σ| 2 2 . =. 3 |σ| q ξ 1+ 1− . 6|σ| ξ2.  ≤C. |σ| . ξ. En consecuencia, si ξ1 ∈ R1 : |ξ1 | ≤ C |σ| ξ y |ξ − ξ1 | ≤ Cξ. Gracias a la simetría de la gráca de la parábola z1 = −2ξ1 (ξ1 − ξ) con respecto a la vertical ξ1 = 21 ξ, podemos armar que si ξ1 ∈ R2 entonces:. |ξ1 | ≤ Cξ. y. |ξ − ξ1 | ≤ C. |σ| . ξ. Por lo tanto de (16) se sigue que para λ ∈ A2. I2 (λ) ≤ C. 1 r.   . Z. hξi hσiβ  . hξi2r. {ξ1 ||z1 |≤3|σ|}.   r  1 σ  =C  hσiβ ξ . Z. {ξ1 ||z1 |≤3|σ|}. Para λ ∈ A2 , consideremos dos casos:. (i) Supongamos que λ ∈ A2 y ξ > 1.. D E2r σ ξ. 1 2  dξ1 . hσ − z1 i2b dξ1.  . 1 2  . hσ − z1 i2b  . .. (24).

(12) 32. J. Granados y J. Mejía. ξ ξ 1 Dado que ξ 2 > 12 |σ| y dz dξ1 = 4ξ 2 − ξ1 ≥ 4 2 − ξ1 , de (23) se sigue que: r p dz1 ξ2 √ ≥ 2 ξ 2 − 6 |σ| ≥ 2 ξ 2 − = 2ξ. dξ1 2. Así, de (24) concluimos, después de hacer el cambio de variable z1 = ϕ (ξ1 ) en la integral del lado derecho, que:. )1 " #  r (Z 3|σ| 2 σ 1 dz1 |σ|r ≤C . I2 (λ) ≤ C 1 + 1 2b hσiβ ξ −3|σ| hσ − z1 i ξ hσiβ ξ 2 hσiβ ξ r+ 2 1. Si β ≥ r, es claro que I2 (λ) ≤ C. Si β < r < 34 , entonces:. I2 (λ) ≤ C pues 2r − 2β − r −. 1 2. ". 1 1. hσiβ ξ 2. = r − 2β −. 1 2. +. #. ξ 2r−2β 1. ξ r+ 2. ≤r−1+. ≤ C,.  −r −. 3 4. (ii) Supongamos que λ ∈ A2 y ξ ≤ 1. D Er σ Entonces como |σ| ≤ Cξ ≤ C, ≤ C. ξ ξ. 1 2. = − 34 ≤ 0.. De otra parte, de (23) es claro que la medida de {ξ1 | |z1 | ≤ 3 |σ|} está acotada por Cξ. Luego de (24) concluimos que:.   1  I2 (λ) ≤ C hσiβ  . Z. dξ1. De (i) y (ii) se sigue que sup I2 (λ) ≤ C. Estimación de. 2b . hσ − z1 i . {ξ1 ||z1 |≤3|σ|}. 2.2. 1 2  . λ∈A2. ≤C. 1. 1. 1. β. hσi. ξ2 ≤ C. hσiβ. ≤ C.. I3 (λ). Para (λ, λ1 ) ∈ Ω3 , |ξ1 | < 1 y hξ2 i ≤ C hξi. Por lo tanto, si λ ∈ A3 , entonces, usando la desiguldad de cálculo (7), concluimos que:. I3 (λ) =. ≤. C hξir hσiβ C hσiβ. "Z.   . Z. {λ1 |(λ,λ1 )∈Ω3 }. 1. −1. "Z. ∞. −∞. 2r. 2r. hξ1 i hξ2 i. 1 2.  dλ1  2b 2b hσ1 i hσ2 i dσ1. hσ1 i2b hσ1 − (σ − z1 )i2b. #. #1 2. dξ1.

(13) 33. Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. ≤ Luego. C hσi. β. "Z. 1. −1. #1. 2. dξ1 2b. hσ − z1 i. ≤. C hσiβ. ≤ C.. sup I3 (λ) ≤ C.. λ∈A3. 2.3. Estimación de. Ii∗ (λ1 ) (i = 4, 5, 6) .. En la estimación de Ii∗ (λ1 ) , i = 4, 5, 6, usaremos el cambio de variable:. z := ψ (ξ) := 2ξ1 (ξ − ξ1 ) .. (25). Entonces, de (14) se sigue que σ − σ1 − σ2 = z, y así, para (λ, λ1 ) ∈ Ωi , i = 4, 5, 6, se tiene que |z| ≤ 3 |σ1 |. Por lo tanto si λ1 ∈ A∗i , una aplicación elemental de la desigualdad de cálculo (7) nos permite concluir que  1 2  Z   r  2r hξ i hξ i dξ 1 2 Ii∗ (λ1 ) ≤ C , (26) 2r 2β hσ1 ib  hξi hσ   1 + zi  {ξ||z|≤3|σ1 |}. para i = 4, 5, 6. Sin pérdida de generalidad supondremos que ξ1 > 0. Estimación de. I4∗ (λ1 ). Si (λ, λ1 ) ∈ Ω4 , entonces hξ1 i hξ − ξ1 i ≤ C hξi . Por lo tanto de (26), teniendo en cuenta el cambio de variable (25) ( dz dξ = 2ξ1 ) y la desigualdad de cálculo (8), se sigue que para λ1 ∈ A∗4  1 2   Z   1 dξ ∗ I4 (λ1 ) ≤ C hσ1 ib  hσ1 + zi2β    {ξ||z|≤3|σ1 |}. ≤C. 1. 1. hσ1 ib ξ12. (Z. 3|σ1 |. dz. −3|σ1 |. hσ1 + zi2β. )1. 1. 2. ≤C. hσ1 i 2 −β 1. hσ1 ib ξ12. ≤ C,. pues β + b > b > 12 . En consecuencia, sup I4∗ (λ1 ) ≤ C. λ1 ∈A∗4. Estimación de. I5∗ (λ1 ). Para (λ, λ1 ) ∈ Ω5 , hξ1 i hξ2 i ≤ C |ξ1 | |ξ2 | y por tanto, si λ1 ∈ A∗5 se cumple que:  1 2   Z   2r C (|ξ | |ξ |) dξ 1 2 ∗ I5 (λ1 ) ≤ 2r 2β hσ1 ib  hξi hσ   1 + zi  {ξ||z|≤3|σ1 |}.

(14) 34. J. Granados y J. Mejía. =. C.   . Z. hσ1 ib  . 1 2  . |z|2r dξ. {ξ||z|≤3|σ1 |}. hξi2r hσ1 + zi2β  . (27). .. Consideremos la partición del conjunto {ξ | |z| ≤ 3 |σ1 |} en los conjuntos:. D1 := {ξ | |z| ≤. 1 1 |σ1 |} y D2 := {ξ | |σ1 | < |z| ≤ 3 |σ1 |}, 2 2. y la partición de D2 en los conjuntos:. 1 |ξ| ≤ |ξ1 | ≤ 100 |ξ|}, 4 1 : = {ξ ∈ D2 | 1 ≤ |ξ1 | ≤ |ξ|} y 4 : = {ξ ∈ D2 | 100 |ξ| ≤ |ξ1 |}.. D21 : = {ξ ∈ D2 | D22 D23 En D1 , |σ1 + z| ≥. (i) Si r >. 1 2. |σ1 | . Por lo tanto:. :, puesto que β + b ≥ r, obtenemos.  Z. C. 1 2. hσ1 ib . D1. 1 2. |z|2r dξ. hξi2r hσ1 + zi2β . ≤. C.  Z. hσ1 ib . D1. ≤C. |σ1 |r. 1 2 |σ1 |2r dξ  hξi2r hσ1 i2β  Z. hσ1 ib hσ1 iβ. ∞. −∞. dξ hξi2r. 1 2. ≤ C, (28). (ii) Si r < 21 , como |z| ≤ 3 |σ1 | , entonces |ξ − ξ1 | ≤ 23 |σξ11 | , y así, aplicando la desigualdad de cálculo (8), y dado que b + β > 12 , tenemos:. C b.  Z. hσ1 i . D1. ≤C. |z|2r dξ. 2r. 2β . hξi hσ1 + zi |σ1 |r b. β. hσ1 i hσ1 i. . 1 2. |σ1 | ξ1.  1 −r 2. ≤C. |σ1 |r b. β.  |σ |  ξ1 + 3 1    Z2 ξ1. hσ1 i hσ1 i    ξ1 − 3 |σ1 | 2 ξ1. ≤C. |σ1 |. 1 2. 1. hσ1 ib hσ1 iβ ξ12. −r. 1 2    . dξ (1 + |ξ|)2r    . ≤ C..

(15) 35. Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. (iii) Si r = 21 , como b + β > 12 , se tiene:  Z. C b. |z|2r dξ. 2r. hσ1 i . hξi hσ1 + zi. D1. 1. ≤C. |σ1 | 2 b. β. 1 2. 2β .   12 |σ | 1+C ξ 1     Z 1 dξ  . hσ1 i hσ1 i   . ξ   . 1. 1. ≤C. |σ1 | 2 b. β.  |σ |  ξ1 + 3 1    Z2 ξ1. dξ (1 + |ξ|)    . hσ1 i hσ1 i    ξ1 − 3 |σ1 | 2 ξ1. 1. ≤C. |σ1 | 2. 1 2    . 1. b. β. hσ1 i hσ1 i. {C + ln hσ1 i} 2 ≤ C, (29). En D21 , |σ1 | ∼ |z| y ξ 2 ∼ ξ12 . Luego. |σ1 | ≤ c |z| ≤ C |ξ1 | (|ξ| + |ξ1 |) ≤ C |ξ1 |2 , y como |ξ1 | ≥ 1, entonces ξ 2 ∼ ξ12 ≥ C hσ1 i . De esta manera, realizando el cambio de variable (25) ( dz dξ = 2ξ1 ) y aplicando la desigualdad de cálculo (8) obtenemos:. C.  Z. hσ1 ib . D21. 1 2.  1 Z  2 |z| dξ |σ1 | dξ ≤C hξi2r hσ1 + zi2β  hσ1 ib  hσ1 ir hσ1 + zi2β  2r. r. D21.  1 )1 (Z r r Z 2 2 3|σ1 | hσ1 i 2 1 hσ1 i 2  dξ dz ≤ C ≤C 1 2β hσ1 ib  hσ1 + zi2β  hσ1 ib ξ 2 −3|σ1 | hσ1 + zi 1 D21 r. ≤C. hσ1 i 2 1. 1. 1 2. hσ1 ib ξ 1. |σ1 | 2 −β ≤ C,. (30). pues b + β > 12 + 38 > 21 + 2r . En D22 , |ξ − ξ1 | ∼ |ξ| ∼ hξi , y así, |z| ∼ |ξ1 | |ξ − ξ1 | ∼ |ξ1 | hξi . Por lo tanto, haciendo de nuevo el cambio de variable (25) y aplicando la desigualdad de cálculo (8), se sigue que:. C.  Z. hσ1 ib . D22.  1 Z 2 dξ |ξ1 |r  ≤C hξi2r hσ1 + zi2β  hσ1 ib  hσ1 + zi2β  |z|2r dξ. ≤C. |ξ1 |r. 1 2 1 2. hσ1 ib ξ1. (Z. D22. 3|σ1 |. −3|σ1 |. hσ1 + zi. )1 2. dz. 2β. ≤C. 1. |ξ1 |r− 2 b. hσ1 i. 1. |σ1 | 2 −β . (31). Veamos que el lado derecho de (31) está acotado, para los valores de r permisibles..

(16) 36. J. Granados y J. Mejía. 1. 1 C|ξ1 |r− 2 |σ1 | 2 −β ≤ C, b hσ1 i ξ12 ≤ 12 |σ1 | , entonces. Si r ≤ 12 , claramente Si. 1 2. < r < 34 , como 1. C. |ξ1 |r− 2 b. hσ1 i. ya que b + β >. 1 4. 1. r. |σ1 |. 1 −β 2. ≤C. porque |ξ1 | > 1 y b + β ≥ 12 .. |σ1 | 2 − 4 hσ1 i. b. C. 1. |σ1 | 2 −β ≤. b+β− r2 − 14. hσ1 i. ≤ C,. + 2r . En consecuencia, C.  Z. hσ1 ib . 1 2. |z|2r dξ. D22. hξi2r hσ1 + zi2β . (32). ≤ C.. En D23 , |ξ − ξ1 | ∼ |ξ1 | y en consecuencia |ξ1 |2 ∼ |z| ∼ |σ1 | . Realizando nuevamente el cambio de variable (25) y aplicando la desigualdad de cálculo (8), obtenemos:  1  1 2 Z Z    2 2r 4r C |z| dξ C |ξ1 | dξ ≤ hσ1 ib  hξi2r hσ1 + zi2β  hσ1 ib  hξi2r hσ1 + zi2β  D23. D23. ≤C. |ξ1 |.  Z. 2r b. hσ1 i . D23. r. ≤C. |σ1 |. 1 2. 1 2. dξ. hσ1 + zi2β .  3|σ |   Z1. dz. 2β   hσ1 ib ξ1 −3|σ | hσ1 + zi  1. r. ≤C. 1 2  . |σ1 |. 1 2. |σ1 |. 1 −β 2. =C. 1. |σ1 |r |σ1 | 4 1 2. hσ1 ib ξ1 hσ1 ib ξ1 1 |σ1 |r ≤C |σ1 | 4 −β ≤ C, b hσ1 i   ya que b + β > 12 + β > 12 + 12 − 12 34 − r > 1 − 34 − r = 14 + r. De (27), (28), (29), (30), (32) y (33) se sigue que sup I5∗ (λ1 ) ≤ C.. λ1 ∈A∗5. Estimación de. I6∗ (λ1 ). De la denición de z dada en (25), es claro que:   3 |σ1 | 3 |σ1 | {ξ | |z| ≤ 3 |σ1 |} = ξ1 − , ξ1 + . 2 ξ1 2 ξ1. 1. |σ1 | 4 −β (33).

(17) Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. 37. 3 |σ1 | 2 ξ1 .. En particular, |ξ2 | = |ξ − ξ1 | ≤. Dado que para (λ, λ1 ) ∈ Ω6 , 12 |σ1 | ≤ |ξ1 |2 , entonces tanto   7 9 {ξ | |z| ≤ 3 |σ1 |} ⊆ ξ1 , ξ1 , 8 8. |σ1 | ξ1. ≤. 1 12 ξ1. y por lo. y de esta manera de (26) podemos concluir que para λ1 ∈ A∗6 , tiene lugar la siguiente cadena de desigualdades en la que hemos hecho uso del cambio de variable (25), de la desigualdad de cálculo (8) y del hecho de que ξ1 ∼ hξ1 i y hσ1 i ≤ C hξ1 i2 :.  r  hξ1 i  I6∗ (λ1 ) ≤ C hσ1 ib  . D. Z. σ1 ξ1 2r. {ξ||z|≤3|σ1 |}. =. ≤. C. b. hσ1 i C. hσ1 ib ".  . σ1 ξ1 σ1 ξ1. r r. 1 1 2.  3|σ |   Z1 −3|σ1 |. |ξ1 |. 1 2. dξ. 1 2  . hξ1 i hσ1 + zi2β  .  |ξ1 |  1. E2r. 1. |σ1 | 2 −β. dz. 1 2  . hσ1 + zi2β  . # |σ1 |r ≤C r 1 + 1 hσ1 ib hξ1 i 2 hσ1 ib hξ1 i 2 hξ1 i " # 1 1 |σ1 | 2 −β |σ1 |r ≤C ≤ C, + 1 r 1 hσ1 ib− 2 +β hσ1 ib hσ1 i 2 + 4 ya que b + β ≥. 1 2. |σ1 |. y b+β ≥. 1 4. 1 −β 2. 1. |σ1 | 2 −β. + 2r . Por lo tanto. sup I6∗ (λ1 ) ≤ C.. λ1 ∈A∗6. Hemos probado que sup Ii (λ) ≤ C para i = 1, 2, 3 y que sup Ii∗ (λ1 ) ≤ C λ∈Ai. para i = 4, 5, 6. Por lo tanto, el lema 1 queda demostrado. 3 3.1. λ1 ∈A∗i. . Demostración del Teorema I (Existencia y Unicidad) Existencia. Sean s y b como en la hipótesis del teorema 3, u0 ∈ H s (R) y T ∈ (0, 1) . Denamos el operador Φ := Φu0 ,T : Xsb −→ Xsb por:. Φ (v) := ψ (·t ) W (·t ) u0 + GT v 2. . para v ∈ Xsb ..

(18) 38. J. Granados y J. Mejía. De los estimativos lineales (4) y (6) y del lema 1 se sigue que:    kΦ (v)ksb ≤ kψ (·t ) W (·t ) u0 ksb + GT v 2 sb ≤ C ku0 ks + T δ kvk2sb , y por lo tanto el operador Φ está bien denido. Si T ∈ (0, 1) se escoge de manera que T δ ≤. 1 , 4C 2 ku0 ks +1. entonces el opera-. dor Φ envía la bola cerrada B (0, 2C ku0 ks ) de Xsb en sí misma. En realidad, si kvksb ≤ 2C ku0 ks , entonces:     kΦ (v)ksb ≤ C ku0 ks + T δ kvk2sb ≤ C ku0 ks + T δ 4C 2 ku0 k2s     4C 2 ku0 ks 2 δ ≤ C ku0 ks 1 + 4C T ku0 ks ≤ C ku0 ks 1 + 4C 2 ku0 ks + 1. ≤ 2C ku0 ks .. Sea T ∈ (0, 1) tal que T δ :=. 1 . 8C 2 ku0 ks +2. Para este valor de T , en vista del. análisis anterior, es claro que Φ envía B (0, 2C ku0 ks ) en sí misma. Veamos que Φ es una contracción. Sean v, w ∈ B (0, 2C ku0 ks ) . Entonces, del estimativo (6) y del lema 1, se sigue que:    kΦ (v) − Φ (w)ksb = GT v 2 − GT w2 sb = GT v 2 − w2 sb. = kGT [(v + w) (v − w)]ksb ≤ CT δ k(v + w) (v − w)ks(−β). ≤ CT δ kv + wksb kv − wksb. ≤ CT δ (kvksb + kwksb ) kv − wksb. ≤ CT δ (4C ku0 ks ) kv − wksb   1 =C (4C ku0 ks ) kv − wksb 8C 2 ku0 ks + 2   8C 2 ku0 ks 1 1 = kv − wksb ≤ kv − wksb . 2 2 8C ku0 ks + 2 2. En consecuencia, por el teorema del punto jo de Banach, existe un único v ∈ B (0, 2C ku0 ks ) tal que Φ (v) = v, es decir v = ψ (·t ) W (·t ) u0 + GT v 2 . Si u := v|[−T,T ] ∈ Xsb [−T, T ] , entonces se tiene que:   u (t) = ψ (t) W (t) u0 + GT v 2 (t) = W (t) u0 + GT v 2 (t) ∀t ∈ [−T, T ] , es decir, u es solución en el intervalo [−T, T ] del problema de Cauchy (1) - (2) con dato inicial u0 . 3.2. Unicidad. Observemos inicialmente que si w1 , w2 , w f1 , w f2 ∈ Xsb son tales que. wi (t) = w fi (t). ∀t ∈ [−T, T ]. (T > 0, arbitrario), entonces. GT (w1 w2 ) (t) = GT (f w1 w f2 ) (t). ∀t ∈ [−T, T ] ..

(19) 39. Problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger unidimensional. La prueba de esta observación es similar a la de la proposición 1 (i) en [7] . Supongamos que u1 , u2 ∈ Xsb [−T, T ] son soluciones del problema de Cauchy (1) - (2) en [−T, T ] con dato inicial u0 y sean v1 y v2 extensiones en Xsb de u1 y u2 , respectivamente. Entonces para todo t ∈ [−T, T ]:   u2 (t) − u1 (t) = GT v22 (t) − GT v12 (t). = GT [(v2 + v1 ) (v2 − v1 )] (t) .. (34). Sea θ ∈ (0, 1) y θ ≤ T. Entonces (u2 − u1 )|[−θ,θ] ∈ Xsb [−θ, θ] . Sea w ∈ Xsb una extensión de (u2 − u1 )|[−θ,θ] tal que. kwksb ≤ 2 (u2 − u1 )|[−θ,θ]. Xsb [−θ,θ]. (35). .. De (34) y de la observación inicial se sigue que para todo t ∈ [−θ, θ] :. u2 (t) − u1 (t) = Gθ [(v2 + v1 ) (v2 − v1 )] (t) = Gθ [(v2 + v1 ) w] (t) . Por lo tanto, de la denición de norma en el espacio Xsb [−θ, θ] es claro que:. (u2 − u1 )|[−θ,θ]. Xsb [−θ,θ]. ≤ kGθ [(v1 + v2 ) w]ksb .. (36). En consecuencia, usando el estimativo lineal (6), el lema 1 y la desigualdad (35), de (36) podemos concluir que:. (u2 − u1 )|[−θ,θ]. Xsb [−θ,θ]. ≤ Cθδ k(v1 + v2 ) wks(−β) ≤ Cθδ kv1 + v2 ksb kwksb ≤ 2Cθδ kv1 + v2 ksb (u2 − u1 )|[−θ,θ]. Xsb [−θ,θ]. .. n o 1 Sea θ := mı́n T, (4C kv1 + v2 ksb + 2)− δ . Entonces: (u2 − u1 )|[−θ,θ]. Xsb [−θ,θ]. ≤ 2C (4C kv1 + v2 ksb + 2)−1 kv1 + v2 ksb (u2 − u1 )|[−θ,θ] 1 ≤ (u2 − u1 )|[−θ,θ] 2. Por tanto:. Xsb [−θ,θ]. Xsb [−θ,θ]. .. (u2 − u1 )|[−θ,θ] = 0.. Iterando el anterior argumento un número nito de veces (para T jo el tamaño de θ sólo depende de kv1 + v2 ksb ) podemos concluir que u1 (t) = u2 (t) para todo t ∈ [−T, T ] . .

(20) 40. J. Granados y J. Mejía. Referencias. [1] Bejenaru, I. and Tao, T.: Sharp well-posedness and ill-posedness results for a quadratic nonlinear Schrödinger equation. J. Funct. Anal. 233 (2006), pp. 228-259. [2] Bourgain, J.: Fourier Transform restriction phenomena for certain lattice subsets and application to nonlinear evolution equations, I. Schrödinger equations, GAFA, 3 (1993), pp. 107-156. [3] Bourgain, J.: Fourier Transform restriction phenomena for certain lattice subsets and application to nonlinear evolution equations, II. The KdV equations, GAFA, 3 (1993), pp. 209-262. [4] Isaza, P., López, J., and Mejía, J. The Cauchy problem for the KadomtsevPetviashvili (KP-II) equation in three space dimensions, Comm. Partial Differential Equations, 32 (2007), pp. 611-641. [5] Kenig, C., Ponce, G. and Vega, L.: A bilinear estimate with applications to the KdV equations, JAMS, 9 (1996), pp. 573-603. [6] Kenig, C., Ponce, G. and Vega, L.: Quadratic forms for the 1-D semilinear Schrödinger equation, Transactions of the AMS, Volume 348, Number 8, (1996), pp. 3323-3353. [7] Mejía, J. Teorema de existencia y unicidad para el problema de Cauchy asociado a la Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP-II) sin argumento de homogeneidad, Lecturas Matemáticas, 22 (2001), pp. 83-101. Dirección de los autores. Julián Granados Morales e-mail:. jmgranad@unalmed.edu.co. Jorge Mejía Laverde e-mail:.  Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.  Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. jemejia@unalmed.edu.co.

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Referencias

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