y ¿ f x . f y = f x ⇔ x = f y f f x = f f x = x g f x = xparacadaxA ϵ f g x = xparacadaxB ϵ

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(1)

La función inversa.

Sea f : A → B una función biyectiva.

La función inversa de f , es una función g :B → A , tal que

f ( g ( x ) ) = x para cada x B ϵ

g ( f ( x ) ) = x para cada x A ϵ

Se dice que f y g son funciones inversas entre sí. Se suele denotar a la función inversa de f por f−1 . De esta manera

f ( f

−1

( x ) ) =f

−1

( f ( x ) ) = x

Una definición equivalente para la función inversa es la siguiente:

Sea una f : A → B función biyectiva.

Entonces f−1: B → A es la función inversa de f, si se cumple que:

y=f (x ) ⇔ x=f

−1

( y )

para cualquier y en B.

Técnica para determinar la función inversa de una función biyectiva f . a. Escribimos y=f

(

x

)

.

b. Resolvemos esta ecuación, despejando a x en términos de y (si es posible). Se tiene que

x=f

−1

( y )

c. Para expresar

f

−1 como función de x, intercambiamos las variables x e y. La ecuación resultante es

y

¿

f

−1

( x ).

(2)

Gráfica de la función inversa.

Dado que f

(

a

)

=b si y sólo si

f

−1

(b )=a ,

el punto

(

a , b

)

está en la gráfica de f si y

sólo si el punto

(

b , a

)

está en la gráfica de f−1.

Geométricamente, el punto

(

b , a

)

se obtiene a partir del punto

(

a , b

)

por una reflexión respecto de

la recta identidad

y=x .

Por lo tanto, obtenemos la gráfica de la función f−1 al reflejar la gráfica de f respecto a la recta y=x . Ver figura 1.

Figura 1. Gráfica de la función

f

y su función inversa f−1.

b a,

y

f1

f

a b,

x

(3)

La función exponencial.

Definición. Si b>0 y b ≠ 1, la función exponencial de base b se define como

f ( x )=b

x .

En la definición anterior, b se limita a números positivos, ya que una expresión como

  4

1 2 no

tiene sentido.

Ejercicio. Tabule algunos valores para las funciones

f ( x )=3

x

, f (x )=2

x

, f ( x )= ( 1 3 )

x

,

y

f ( x )= ( 1 2 )

x

.

Grafique dichas funciones.

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

3x 1 3

 x

   2x 1 2

 x

  

3 2 1 0 1 2 3

0 2 4 6 8 1 0 1 2

Figura 2. Gráficas de diferentes funciones exponenciales.

De las gráficas de las funciones anteriores, se puede obtener el comportamiento general de las funciones exponenciales.

El dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales.

Su rango es el conjunto de los números reales positivos.

 Todas las funciones exponenciales pasan por el punto

(

0,1

)

y jamás intersectan al eje x.

El eje x es una asíntota horizontal para las gráficas de funciones exponenciales.

(4)

 La función

f ( x )=b

x es creciente si

b>0

y es decreciente si

0<b <1.

 La función

f ( x )=b

x es biyectiva en todo su dominio.

El número e (Número de Euler o Constante de Napier).

Un número de gran interés dentro del campo de los números reales es el número e . El número e aparece en el estudio de la función

f (n )= ( 1+ 1 n )

n

.

Esta función converge hacia el valor de e, cuando n tiende a infinito, es decir,

e=lim

n → ∞

( 1+ 1 n )

n

Ejercicio. Utilice una calculadora o un programa de cálculo para obtener una aproximación del valor decimal del número e. Exprese el resultado con seis cifras decimales.

n 10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

( 1+ 1 n )

n

Como puede ver, conforme n tiende a infinito, la función

f (n )= ( 1+ 1 n )

n tiende a un valor constante

e ≈ 2.718281828459 …

Existe una forma equivalente de obtener el número e por medio de un proceso límite. En la definición de e como

e=lim

n → ∞

( 1+ 1 n )

n

,

se hace el cambio de variable

u= 1

n .

Lo anterior implica que

n= 1

u y que lim

n→ ∞

n=lim

u→ 0

u

(5)

De esta manera, el Número de Euler, también se obtiene como

e=lim

u → 0

(1+u )

1 u

La función logaritmo en base b.

Considere una función exponencial de base

b f : R → (0 , ∞), f ( x )=b

x

A la función inversa

f

−1

:(0 , ∞) → R , f

−1

( x )=log

b

x

se le llama la función logaritmo de x en base b .

Al definirse como funciones inversas, se cumple que

logb

(

bx

)

=blogbx=x o equivalentemente

y=bx⇔ x=logby .

Podemos obtener las gráficas de las funciones logarítmicas, a partir de las gráficas de las funciones exponenciales (ver figuras 3a y 3b).

(6)

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1

0 1 2 3

x y

Figura 3a. Gráficas de las funciones

f ( x )=2

x y

f

−1

( x )=log

2

x .

Se grafica la identidad para observar la simetría de ambas funciones respecto de ella.

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1

0 1 2 3

x y

Figura 3b. Gráficas de las funciones

f ( x )= ( 1 2 )

x y

f

−1

( x )=log

12

x .

Se grafica la identidad para observar la simetría de ambas funciones respecto de ella.

Como puede observarse, las propiedades de las funciones logarítmicas son las siguientes.

Su dominio es el conjunto de los números reales positivos.

Su rango es el conjunto de los números reales.

 Su gráfica siempre pasa por el punto

(

1,0

)

y nunca cruza el eje y.

(7)

El eje y es una asíntota vertical de la gráfica de las funciones logarítmicas.

Las funciones logarítmicas son crecientes en el intervalo

(

0 , ∞

)

si

b>1

y decrecientes en el intervalo

(0 , ∞ )

si b<1 .

 Las funciones

f ( x )=log

b

x

son biyectivas en todo su dominio.

La función logaritmo natural.

La función logaritmo natural

f ( x )=log

e

x=ln x

es la función inversa a la función exponencial que tiene como base al número e. Es decir,

y=exx=ln y . De manera equivalente

e

ln x

= ln ( e

x

) =x .

(8)

Leyes de los logaritmos.

Las leyes de los logaritmos son sólo una formulación equivalente de las leyes de los exponentes.

Para cualquier pareja de números reales positivos M y N, para todo real c y para todo número real positivo

b ,

se cumple que:

1.

( M )+¿ log

b

( N ) ( M ∙ N )=¿ log

b¿

log

b¿

2.

( M N ) =¿ log

b

( M )−log

b

( N )

log

b¿ 3.

( M

c

) =¿ c log

b

( M )

log

b¿ 4. logb1=0

5.

( N 1 ) =¿− log

b

( N )

log

b¿

Deducción de algunas las leyes de los logaritmos.

( M )+¿ log

b

( N ) ( M ∙ N )=¿ log

b¿

log

b¿

Demostración. Sea

M=b

x

y N=b

y

.

Entonces

M ∙ N=b

x

∙b

y

=b

x+ y

Si aplicamos la función

log

b

a

ambos extremos de la identidad anterior, tenemos

log

b

( M ∙ N )=log

b

( b

x+ y

) = x+ y .

Por la relación entre funciones logarítmicas y exponenciales se tiene que

x=log

b

M y y =log

b

N

Por lo tanto,

log

b

( M ∙ N )=log

b

M+log

b

N

(9)

La regla número 2 se demuestra de manera semejante y se deja como ejercicio al estudiante.

(10)

( N

c

) =

¿

c log

b

( N ) log

b¿

Demostración. Sea M=bx, entonces

M

c

= ( b

x

)

c

=b

c∙ x

Si aplicamos la función

log

b

a

ambos extremos de la identidad anterior, tenemos

( M

c

) =¿ log

b

( b

c ∙ x

) =c ∙ x log

b¿

Por la relación entre funciones logarítmicas y exponenciales se tiene que

x=logbM .

Por lo tanto,

( M

c

) =¿ c ∙ log

b

M log

b¿

log

b

1=0

Demostración. Como 1=b0,

entonces, por la relación entre funciones logarítmicas y exponenciales se tiene que

logb1=0.

( N 1 ) =¿− log

b

( N )

log

b¿

Demostración. De acuerdo con las propiedades 2 y 4, tenemos que

( N 1 ) =¿ log

b

(1)−log

b

( N )=0−log

b

( N )=−log

b

( N )

log

b¿

(11)

Fórmula para el cambio de base.

Siempre es posible expresar un logaritmo de una base a

(

a>0

)

, en términos de otro logaritmo de una base diferente b. A esta relación se le llama fórmula para el cambio de base. Para ello, supongamos que

y=logax ,

entonces

x=ay.

Si en la ecuación anterior aplicamos de ambos lados el logaritmo en base b, tenemos

log

b

x=log

b

( a

y

) = y log

b

a

Es ahora posible despejar y , para obtener

y= log

b

x

log

b

a

Pero ya que y=logax , entonces se obtiene la fórmula de cambio de base:

logax=logbx logba .

Esta relación es útil para obtener el valor de un logaritmo en una base arbitraria a , ya que algunas calculadoras no realizan directamente este cálculo (sólo obtienen

ln x

y

log

10

x

). Se pueden efectuar las siguientes conversiones

log

a

x= ln x

ln a

o logax=

log10x log10a

Siempre es posible expresar una función exponencial de base arbitraria

a ,

en términos de la exponencial ex .

Como

a=e

ln a

,

Podemos expresar

a

x

= ( e

ln a

)

x

=e

ln a ∙ x

Obteniéndose finalmente la relación

(12)

a

x

=e

ln a ∙ x

Derivada de la función logaritmo natural.

Recuerde que el número e también se definió como

e=lim

u → 0

(1+u )

1 u

.

Para derivar f

(

x

)

=ln x se emplea la definición:

f

'

( x )=lim

h → 0

ln( x +h)−ln ( x ) h

De acuerdo con las propiedades de los logaritmos naturales la derivada tendrá la forma

f

'

( x )=lim

h → 0

ln ( x +h x )

h

Ya que

x +h

x =1+ h x

la derivada será

f

'

( x )=lim

h → 0

ln ( 1+ h x )

h =lim

h →0

1

h ∙ ln ( 1+ h x )

Ahora, vamos a multiplicar y dividir por x la expresión dentro del límite (¡vaya truco!):

f

'

( x )=lim

h → 0

1 x x

h ln ( 1+ h x )

Como la variable dinámica es h, podemos sacar del límite a

1 x

f

'

( x )= 1 x lim

h →0

x

h ln ( 1+ h x )

También podemos emplear la propiedad para el logaritmo de una potencia:

(13)

f

'

( x )= 1 x lim

h →0

ln ( 1+ h x )

hx

Por las propiedades de los límites para la composición de funciones, se puede reescribir:

 

1ln lim 10 .

x h h

f x h

x x

   

 

      

f

'(x)

= 1

x ln [ lim

h →0

( 1+ h x )

xh

]

Hagamos el siguiente cambio de variable: sea

u= h

x .

Si h →0 entonces u →0 y

x

h = 1 u

De esta manera

f ' ( x )= 1

x ln [ lim

u→ 0

(1+u)

1u

] = 1 x ln [ e ] = 1 x ∙ 1= 1 x

Por tanto, si f

(

x

)

=ln x , entonces

f ' ( x )= 1

x

(14)

Derivada de

f ( x )=log

a

x

(la función logaritmo en base a).

Para extender la regla de derivación del logaritmo natural a cualquier base, se emplea la fórmula de cambio de base:

log

a

x= ln x ln a ,

de tal manera que

d

dx ( log

a

x ) = dx d ( ln x ln a ) = ln a 1 d

dx (ln x )= 1 ln a

1 x ,

Por tanto,

d

dx ( log

a

x ) = ln a 1 1 x .

Una extensión de esta regla de derivación, se obtiene por medio de la Regla de la Cadena. Sea u=u

(

x

)

una función derivable, entonces

d

dx ( log

a

u ( x ) ) = ln a 1 u ( x ) 1 ∙ u' (x )= ln a 1 u' (x ) u (x )

Derivada de la función inversa.

Teorema. Suponga que f es una función biyectiva, diferenciable y que su función inversa

f

1 es también diferenciable. Entonces,

( f

−1

)

'

( x )= 1 f ' ( f

−1

( x ) ) .

Demostración. Como

f y f

−1 son funciones inversas, entonces

f ( f

−1

( x ) ) = x .

Si se deriva de ambos lados y se emplea la regla de la cadena, se tiene

f ' ( f

−1

( x ) ) ( f

−1

) ' ( x )=1,

si se despeja

( f

−1

) ' ( x)

se tiene que

( f

−1

)

'

( x )= 1 f ' ( f

−1

( x ) ) .

Observación: en la notación de Leibniz, el teorema dice que si

y= y ( x )

(y por tanto

x=x

−1

( y )

), entonces:

(15)

dy dx = 1

dx dy

Derivada de la función exponencial.

Para deducir la regla de derivación de una función exponencial, se emplea la derivada de la función inversa, mostrada anteriormente.

Si y=ex, entonces

x=ln y . d

dx ( e

x

) = 1 d dy ( ln y )

= 1 1 y

= y

Como

y=e

x

,

entonces

d

dx ( e

x

) = e

x

.

Es fácil demostrar la regla de derivación para funciones exponenciales de base distinta a la base

e ( a>0)

. Como

a

x

=e

ln a ∙ x

,

entonces

d

dx [ a

x

] = d

dx [ e

ln a∙ x

] = ln a ∙e

ln a ∙ x

=ln a ∙ a

x Por lo tanto,

d

dx [ a

x

] =ln a ∙ a

x

Una extensión de esta derivada, según la Regla de la Cadena es la siguiente:

Sea

u=u ( x )

una función derivable y a un número real positivo

(a> 0)

, entonces

d

dx [ a

u(x)

] = ln a ∙a

u(x)

∙ u ' ( x)

(16)

Derivada de las funciones trigonométricas inversas.

Para el cálculo de las derivadas de las funciones arcsin x , arccos x , arctan x , etcétera se emplea el teorema para la derivación de las funciones inversas.

 Si

y=arcsin x

, entonces

x=sin y . d

dx (arcsin x )= 1 d

dy (sin y )

= 1

cos y = 1

1−sin

2

y ,

Como

x=sin y

, entonces

d

dx (arcsin x )= 1

1−x

2

 Si

y=arccos x

, entonces

x=cos y . d

dx (arccos x )= 1 d

dy (cos y )

= 1

−sin y = 1

− √ 1−cos

2

y .

Como

x=cos y

, entonces

d

dx (arccos x )= −1

1−x

2

 Si

y=arctan x ,

entonces

x=tan y

d

dx (arctan x )= 1 d

dy (tan y )

= 1

sec

2

y = 1 1+tan

2

y .

Como x=tan y , entonces

d

dx (arctan x )= 1 1+ x

2

.

Estas reglas de derivación se pueden extender, por la Regla de la Cadena, en el caso de que

u=u ( x )

sea una función derivable, por ejemplo

(17)

d

dx ( arcsin u ( x ) ) = 1

1− [ u ( x ) ]

2

∙u ' ( x )= u ' ( x )

1− [ u ( x ) ]

2

(18)

Derivación logarítmica.

Teorema. La derivada de una función y=xn, en la que n es un número real cualquiera, es igual a

n x

n−1

,

es decir

Si y=x

n

, entonces y

'

=n x

n−1

.

Demostración. Supongamos que x>0. Aplicando la función logaritmo natural de ambos lados de

y=x

n , tenemos que

ln y=ln ( x

n

) =n ln x

Si derivamos ambos miembros de la ecuación con respecto de x, y consideramos que y es una función de x:

y ' y = n 1

x .

Ahora despejemos y ' :

y '=n 1

x y

Sustituyendo a

y

por su valor y=xn se obtiene:

y

'

=n 1

x x

n

=n x

n−1

Observación. Es fácil demostrar que esta fórmula es correcta también cuando

x<0,

x0, siempre que

x

n tenga sentido.

(19)

Teorema. Sean u y v dos funciones derivables de x, si y=uv, entonces y'=v uv−1∙u'+uv∙ v'∙ lnu .

Demostración. Si se toman logaritmos de ambos lados de la función

y=u

v

,

se tiene que

ln y=v lnu

Derivando esta igualdad con respecto de x, tenemos (de lado izquierdo, la derivada de un logaritmo;

del lado derecho, la derivada de un producto):

y '

y = v ∙ u'

u + v

'

∙ ln u .

Si ahora se despeja y ' :

y '= y ( v ∙ u ' u + v

'

∙ ln u ) .

y si ahora se sustituye y por

u

v , tenemos:

y '=u

v

( v ∙ u u

'

+ v

'

∙ ln u ) = v u u

v

∙ u

'

+ u

v

∙ v

'

∙ ln u

Finalmente,

y=v u

v−1

u

'

+u

v

v

'

ln u

El teorema anterior, fundamenta la técnica de derivación logarítmica, que se empleará para obtener las derivadas de funciones con las siguientes formas:

y (x )= [ u (x ) ]

v(x) (es el único método para obtener estas derivadas), por ejemplo

f ( x )=x

sin x

 Funciones que se obtienen a partir productos y cocientes de potencias de distintas funciones, por ejemplo

f ( x )= ( x

2

+ 5 x +1 )

3

sin

5

x

4 x +7 e

2 x

(20)
(21)

La función logaritmo natural como una integral (para un estudio posterior).

Definición. Sea x un número real x>0, la función logaritmo natural de x, ln x , se define como

ln x ≡

1 x

dt

t .

De acuerdo con esta definición, el logaritmo natural de un número corresponderá con el área bajo la curva de la función

f (t )= 1

t ,

desde t=1 , hasta t=x .

Figura 4. La función logaritmo natural como una integral definida. El logaritmo natural de x corresponde al área comprendida entre t=1 y t=x , para la función

f (t )= 1

t .

Todas las propiedades conocidas del logaritmo natural se pueden demostrar a partir de la definición anterior:

1.

ln (a ∙ b)=ln a+lnb

2.

ln ( a b ) = ln a−lnb

3. ln

(

1

)

=0 4.

ln ( a

r

) = r ∙ ln a

ln (a ∙ b)=ln a+lnb

Demostración.

ln (a ∙ b)=

1 ab

dt

t = ∫

1 a

dt

t + ∫

a ab

dt

t

En la segunda integral se hace la siguiente sustitución:

Sea

u= t

a ,

entonces:

t=u ∙ a

t=1

t=x

f (t )= 1 t

t

(22)

dt

t = a ∙ du a ∙ u = du

u

 Si

t=a ,

entonces

u=1

 Si

t=ab ,

entonces

u= ab a =b

entonces

ln ( a b ) =

ab1

dt t = ∫

1 a

dt

t + ∫

1 b

du

u =ln a+lnb

ln ( a b ) = ln a−lnb

Demostración.

ln ( a b ) =

1

a b

dt

t = ∫

1 a

dt

t + ∫

a a b

dt

t

En la segunda integral se hace la siguiente sustitución:

Sea

t= a

u ,

entonces:

dt= −a ∙ du u

2

dt

t = ( −a ∙ du u

2

)

a u

= − du u

 Si t=a , entonces u=1

 Si

t= a

b ,

entonces

u= a a b

=b

Por lo tanto ln

(

ab

)

=

1

a b dt

t =

1 a dt

t

1 b du

u =ln a−ln b ln

(

1

)

=0

Demostración.

ln (1)= ∫

1 1

dt

t =0 .

La demostración de la propiedad 4 se deja como ejercicio al estudiante.

(23)
(24)

Funciones pares e impares.

Definición. Una función f

(

x

)

es par (o simétrica), si f

(

x

)

=f

(

x

)

.

Funciones como f

(

x

)

=constante ,

f ( x )=x

2 n

,(n ϵ Z )o f ( x)=cos x ,

son ejemplos de funciones pares.

Definición. Una función

f ( x )

es impar (o antisimétrica), si

f (−x )=−f ( x ).

Funciones como

f ( x )=constante , f ( x )=x

2 n+1

, (n ϵ Z ) o f ( x )=sin x ,

son ejemplos de funciones impares.

Figura 5a. Gráfica de una función par. Figura 5b. Gráfica de una función impar

Observación. No todas las funciones tienen una paridad definida, por ejemplo

f ( x )=e

x o

f ( x )=1+x +x

2

+ x

3

(suma de funciones pares o impares).

Las siguientes propiedades, forman parte del “álgebra” de la paridad de las funciones (se presentan sin demostración).

 La única función que es tanto par e impar es la función cero ( f

(

x

)

=0, para todo x).

 La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos de que una de las funciones sea el cero.

(25)

 La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par.

 La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una función impar.

 El producto (y el cociente) de dos funciones pares es una función par.

 El producto (y el cociente) de dos funciones impares es una función par.

 El producto (y el cociente) de una función par y una función impar es una función impar.

Proposición 1. Dada una función f

(

x

)

cualquiera, la función

P (x )= f (x )+f (−x ) 2

es siempre una función par.

Demostración. Se probará que

P (−x)=P( x )

:

P (−x)= f (−x )+f ( −(−x ) )

2 = f (−x )+f ( x )

2 = f ( x )+f (−x ) 2 = P( x )

Proposición 2. Dada una función

f ( x ) ,

cualquiera, la función

I ( x )= f ( x )−f (−x ) 2

es siempre una función impar.

Demostración. Se probará que I

(

x

)

=−I

(

x

)

:

I (−x )= f (−x )−f ( −(−x ) )

2 = f (−x )−f ( x)

2 = − f ( x )+f (−x )

2 =−I ( x )

Teorema. Toda función

f ( x )

se puede expresar como la suma de una función par y una impar.

Demostración.

f ( x )= f ( x )+f (−x )

2 + f (x )−f (−x )

2 = P (x )+I (x ) .

(26)

Las funciones pares e impares tendrán propiedades interesantes en el cálculo de integrales definidas.

Funciones hiperbólicas.

Como se comentó anteriormente, la función exponencial no tiene una paridad definida. Las funciones hiperbólicas cosh x (coseno hiperbólico de x) y sinh x (seno hiperbólico de x), se definen como la parte par y la parte impar de la función exponencial, respectivamente.

Función coseno hiperbólico.

f : R → [ 0, ∞) ; cosh x= e

x

+e

−x

2

4 2 2 4

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

Función seno hiperbólico.

f : R → R ;sinh x= e

x

e

−x

2

4 2 2 4

6 0

4 0

2 0

2 0 4 0 6 0

(27)

Al igual que en la trigonometría de funciones circulares, se pueden definir otras funciones consistentemente, cuyas propiedades conforman una trigonometría de funciones hiperbólicas. A continuación se presentan las definiciones y gráficas de las funciones hiperbólicas restantes.

(28)

Función tangente hiperbólica.

f : R → (−1,1); tanh x= e

x

−e

−x

e

x

+ e

−x

4 2 2 4

1 . 0

0 . 5 0 . 5 1 . 0

Función cotangente hiperbólica.

f : R− { 0 } →(−∞,−1) ∪(1 , ∞); coth x= e

x

+ e

−x

e

x

e

−x

4 2 2 4

4

2

2 4

Función secante hiperbólica.

f : R → ( 0,1 ] ; sech x= 2

e

x

+e

−x

(29)

4 2 2 4 0 . 2

0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

Función cosecante hiperbólica.

f : R− { 0 } → R− { 0 } ;csch x= 2 e

x

−e

−x

4 2 2 4

1 . 0

0 . 5 0 . 5 1 . 0

Práctica para el uso de la calculadora en funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas.

 Use una calculadora científica para obtener los siguientes valores.

a.

(2.3)=¿

sinh

¿ h.

(210.5)=¿

ln¿

b.

(−1.2)=¿

cosh

¿ i.

log

5

(123)=¿

c. arcsinh

(

−30

)

=¿ j.

(1.7)=¿

tanh

¿

(30)

d.

arctanh (0.98)=¿

k.

10

−4.21

=¿

e. e3.2=¿ l.

ln ( 7.1 ×10

8

) =¿

f.

log

3

(7.25)=¿

m.

2

log10(37.5)

=¿

g.

log

10

( e

35

3

) =¿

n.

[ 2

ln(75)

] =¿

arccosh

¿

(31)

Identidades básicas de las funciones hiperbólicas.

 De la definición de las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico, es fácil ver que

cosh x +sinh x=e

x

cosh x −sinh x =e

−x

 Identidades por recíproco

csch x= 1

sinh x sech x = 1

cosh x coth x= 1 tanh x

 Identidades por cociente

tanh x= sinh x

cosh x coth x= cosh x sinh x

 Identidad fundamental de las funciones hiperbólicas.

cosh2x−sinh2x=1

1−tanh

2

x=sech

2

x coth

2

x−1=csch

2

x

Paridad de las funciones hiperbólicas.

 Las funciones

sinh x , tanh x , coth x

y

csch x

son funciones impares.

 Las funciones

cosh x

y

sech x

tienen paridad par.

 Identidades para la suma y resta.

cosh

(

α ± β

)

=cosh α cosh β ± sinh α sinh β sinh

(

α ± β

)

=sinh α cosh β ±sinh β cosh α

tanh (α ± β )= tanh α ± tanh β

1 ± tanh α tanh β

(32)
(33)

Funciones Hiperbólicas Inversas.

 La función inversa de

f : R → R ; f (x )=sinh x

es

f

−1

: R → R ; f

−1

( x)=arcsinh x

Se puede demostrar que

arcsinh x=ln ( x+1+x

2

) .

 La función inversa de

f : [ 0 , ∞) → [ 1, ∞) ;f ( x )=cosh x

es

f

−1

: [ 1 , ∞) → [ 0 , ∞) ; (x )=arccosh x

Se puede demostrar que

arccosh x=ln ( x +x

2

−1 ) .

 La función inversa de

f : R →

(

−1,1

)

; f

(

x

)

=tanh x es

f

−1

:(−1,1) → R ; f

−1

(x )=arctanh x

Se puede demostrar que

arctanh x= 1

2 ln ( 1− x 1+x )

Para un tratado completo sobre estas funciones, vea el texto Trigonometría Hiperbólica. Artículo en línea escrito por Carlos Enrique Pino G.

(34)

http://cmap.upb.edu.co/rid=1151611180535_1484584217_4021/TRIGONOMETR%C3%8DA

%20HIPERB%C3%93LICA.pdf

Ejercicios.

1. Funciones inversas. Obtenga la función inversa

f

−1 de las siguientes funciones dadas.

Grafique ambas funciones simultáneamente y muestre que

f ( f

−1

( x ) ) = f

−1

( f ( x ) ) =x .

a.

f : [ 0, ∞) → [ 1, ∞) ;f ( x )=x

2

+ 1

b.

f : R → R ; f (x )=2 x +6

c.

f : R− { 2 } → R− { 3 } ; f ( x)= 1

x−2 + 3

d.

f : [ 7, ∞) → [ 2, ∞) ; f ( x )=2+x−7

e.

C : A → B ;f ( x )= 3 x+5

2 x−7

(determine los conjuntos A y B que hacen inyectiva a f ).

2. Demuestre que la siguiente función f es inversa de sí misma.

f : R− { 1 } → R− { 1 } ; f ( x )= 1 x−1 + 1

3. La conversión de grados centígrados a Farenheit se da por medio de la función

f ( x )= 9 5 x +32 ,

donde x se mide en grados centígrados y f en grados Farenheit. Determine la función inversa

f

−1

( x ) ,

es decir, la función que convierte grados Farenheit a grados centígrados.

4. Funciones exponenciales y logarítmicas. Grafique las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas en base 2. Utilice un programa de graficación.

a.

f ( x )=2

x f.

f ( x )=log

2

x

b.

f ( x )=2

x

+ 3

g.

f ( x )=−3+log

2

x

c.

f ( x )=2

x−2 h.

f ( x )=log

2

( x +1)

d.

f ( x )=−1+2

x−3 i.

f ( x )=log

2

( x−5 )+2

(35)

e.

f ( x )=2

|x| j.

f ( x )=log

2

| x |

5. Obtenga la función inversa de las siguientes funciones dadas.

a.

f ( x )=2+log( x−5 )

b.

f ( x )=3

x

+ 4

c.

f ( x )=3 log( x +11)+2

d.

f ( x )= 5

x−2

− 7

3

6. Sea

f ( x )= 2

x

+ 1

2

x

,

demuestre que su función inversa

f

−1 es:

f

−1

( x )=log

2

( x−1 1 )

y que

f ( f

−1

( x ) ) = f

−1

( f ( x ) ) = x .

7. Sea

f ( x )=2 log

3

( x−5)+3 ,

demuestre que su función inversa

f

−1 es:

f

−1

( x )=3

x−3 2

+ 5

y que

f ( f

−1

( x ) ) = f

−1

( f ( x ) ) = x .

8. Ecuaciones exponenciales. Resuelva las siguientes ecuaciones, redondeando el resultado a tres cifras decimales (en caso de ser necesario).

a.

4

x

+ 3

5 =69 x=log

4

(135 )≈ 3.538

b.

e

4 t

−13=500 x= ln (513)

4 ≈ 1.560

c.

5

x−1

−27

4 =2019

(36)

d.

9

x

+3

5 = 9

x

−4

4 x=log

9

(32) ≈ 1.577

e.

7

2(x+1)

=343 x= 1

2

f.

e

2 x

−11e

x

+24=0 x

1

=ln (8) ≈ 2.079 ;x

2

= ln (3) ≈1.097

g.

e

2 x

+ e

x

−30=0 x=ln (6 )≈ 1.792

h.

e

x

−8 e

−x

=7

Ayuda: multiplique ambos lados de la ecuación por

e

x

.

i.

5

2 x+5

+ 4

2 = 100+5

2 x+ 5

3 x= log

5

(188 )−5

2 ≈−0.873

(37)

9. Ecuaciones logarítmicas. Resuelva las siguientes ecuaciones, redondeando el resultado a tres decimales (en caso de ser necesario).

a.

log

3

(9 x+ 2)=4 x= 79

9

b.

log

2

x+log

2

( x−2 )=3

x=4

c.

log

5

(4 x +11 )=2 x= 7

2

d.

log

3

(7−x )−log

3

(1−x )=1

x=−2

e.

(3 x+1)−¿ log

2

( x−3)=2

log

2¿

x=13

f.

log

8

x+log

8

( x+6 )=log

8

(5 x +12)

x=3

g. ln

(

6 x−5

)

=3

x= e

3

+5

6 ≈ 4.181

h.

2+3 ln ( x−4 )=7

x=e53+4 ≈ 5.294

i.

log

8

(2 x )+ log

8

( x−3 )=1

x=4

En la siguiente página podrá encontrar ejercicios resueltos con todo detalle, como los planteados en el presente numeral de la tarea.

http://www.mc.maricopa.edu/~scotz47781/mat120/notes/logarithms/solving/solving_log_practi ce.html

10. Derivación logarítmica. Derive las siguientes funciones, haciendo uso de la técnica de derivación logarítmica.

a.

y= ( x+ 1)

2

x−1

( x+ 4 )

3

e

x e. y=x

sin x

b.

y=x

x f.

y=(sin x )

x

;0<x <π

(38)

c.

y= ( x

2

+ 1 )

4

e

5 x

sin xx

g. y=x

x

d.

y= ( x

2

+3 )

5 x+1 h.

y=x

ex

11. Derive las siguientes funciones, haciendo uso de las reglas de derivación de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas.

a. y=esin x y'=esin xcos x

b.

y=e

xcos x

y

'

=e

x cos x

[ cos x−x sin x ]

c.

y= e

x

−1

e

x

+1 y

'

= 2 e

x

( e

x

+1 )

2

d.

y=ln ( e

x

e +

x

1 ) y

'

= e

x

1 + 1

e.

y=7

x2+5 x+1

y

'

=ln 7 ∙ [ 2 x+5 ] ∙ 7

x2+5 x+ 1

f. y=aln x, a>0

y

'

=ln a a

ln x

x

g.

y=3 e

x

y

'

= 3

2 e

x

x

h. y=tan

(

ln x

)

y'=sec2

(

ln x

)

x i.

y=e

x

∙ ln (sin x) y '=e

x

[ cot x+ln (sin x ) ]

j.

y=e

cos x

∙ sin x y '=e

cos x

[ cos x−sin

2

x ]

k.

y=a

x2

;a>0 y

'

=2 ln a ∙ x ∙ a

x2

l.

y=arctan ( e

x

) y

'

= e

x

1+e

2 x

(39)

m.

y=x arcsin x

y'=arcsin x + x

1−x2

n.

y=arccos ( x

2

)

y '= −2 x

1−x4

o.

y=arctan (ln x ) y

'

= 1

x [ 1+(ln x )

2

]

p. y=

(

arcsin x

)

2 y'=2arcsin x

1−x2

q.

y=sin ( ln x ) y

'

= cos (ln x )

x

r.

y=x

n

e

sin x

y

'

= x

n−1

e

sin x

[ n+x cos x ]

s. y=ln

1−x1+x

y

'

= 1−x 1

2

t.

y=ln

3

x y

'

= 3 ln

2

x

x

u. y=ln

(

x+

a2+x2

)

a2+x2

x

y

'

= √ a

2

+ x

2

x

2

v.

y=ln(sin x )

y '=cot x

w.

y=ln ( x+1+x

2

) y

'

=1+x 1

2

x.

y=ln1−sin x 1+sin x y

'

= sec x

y. y=log3

(

x2−sin x

) y

'

= ln 3 1 2 x−cos x x

2

−sin x

z. y=log7

(

x10+sin x

) y

'

= 1

ln 7

10 x

9

+cos x

x

10

+sin x

(40)

aa. y=ln

(

ln x

) y

'

= 1 x ln x

12. Derive la siguiente función, donde

π

¡es una constante!

f ( x )=x

π

+ π

π

x

+ x

x

.

Funciones hiperbólicas.

13. Pruebe que

sinh x

es una función impar, es decir, que sinh

(

−x

)

=−sinh

(

x

)

.

14. Muestre que

cosh x

es una función par y que

(−x )=¿ cosh ( x ).

cosh

¿

15. Muestre que

d

dx (cosh x )=sinh x

y que

d

dx (tanh x )=sech

2

x .

16. Demuestre que cosh2x−sinh2x=1.

17. Demuestre que

arcsinh x=ln ( x+1+x

2

) .

18. Demuestre que

arctanh x= 1

2 ln ( 1− x 1+x )

19. Haga uso de una calculadora científica, para determinar el valor de x en las siguientes ecuaciones.

a.

ln x=2.17

g.

ln x=−15.7

b. ex=200 h.

log

5

x=2.18

c. cosh x =300 i.

e

x

=−23

d.

tanh x=0.87

j.

arctanh x=2.3

e.

sinh x=−700

k.

log

x

7=3

f.

10

x

=5213

l. tanh x=20

Problemas de aplicación.

(41)

20. Un modelo que relaciona la energía E liberada por un sismo (expresada en ergs) y su intensidad M, se debe a Charles Richter y Beno Gutenberg, este es

M= 2

3 ( log

10

E−11.8 )

Despeje

E

como función de

M

y calcule la energía (en ergs) de los siguientes eventos:

a. El sismo de 2004 en la Isla de Sumatra (indonesia), cuya magnitud

M=9.4 .

b. El sismo del 19 de septiembre de 1985, con magnitud

M=8.2 .

21. La población de estudiantes infectados por la influenza A/H1N1 en una escuela P, como función del número de días transcurridos desde el inicio de la epidemia t, se describe mediante la función:

P (t )= 800 1+49 e

−0.2 t

a. ¿Cuál fue el número inicial de infectados? (Infectados el día 0).

b. ¿Cuántos infectados habrá al día 10?

c. La escuela deberá cerrar cuando 300 estudiantes se contagien. ¿Qué día sucederá esto?

d. Haga una gráfica de la función.

e. ¿Qué predice el modelo para tiempos muy largos? Es decir, calcule

lim

t → ∞

P (t )

22. El nivel de potencia de una fuente sonora se mide en una escala logarítmica, usando una unidad que se llama decibel,

d=10 log

10

( P P

0

)

donde

P

es la intensidad acústica del sonido en cuestión y

P

0 es la intensidad del sonido más débil que puede captar el humano (umbral de audición):

10

−12

W

m

2

.

a. Una máquina lavavajillas tiene un índice de ruido de 62 decibeles, mientras que el índice de una aspiradora, es de 70 decibeles. ¿Qué tan intenso es el ruido de la aspiradora comparado con la máquina lavavajillas? Solución: 6.3 veces más intenso.

b. Complete la siguiente tabla que evalúa el nivel de potencia y la intensidad acústica de los siguientes sonidos:

Sonido Intensidad B (dB) Sonido Intensidad B (dB)

(42)

(W/m2) (W/m2)

Umbral de audición

10

−2 0 Banda de rock

10

−2

Respiración 10 Umbral de dolor 140

Conversación

10

−8 Volcán Krakatoa 180

23. La escala Richter, es una función logarítmica que se usa para medir la magnitud de los sismos. Sea A0 la amplitud de la onda más pequeña detectable (u onda estándar), y sea A , la medida de la amplitud de la onda del terremoto en cuestión. La magnitud de un sismo en la escala de Richter se define mediante la función:

R=log

10

( A A

0

)

a. Un terremoto se mide con una amplitud 84000 veces más grande que la onda estándar

A

0 . ¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter, en décimas?

b. ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de magnitud 8.3 que un sismo de magnitud 7.1?

24. El número de células N en colonia particular de bacterias, está dado por la siguiente función,

N=100 ∙ 2 (

15t

)

,

donde

t

es el número de horas transcurridas desde el inicio del experimento.

a. ¿Cuántas bacterias habrá a las 10 horas de iniciado el experimento?

b. ¿Después de cuántas horas puede esperar el científico tener 900 bacterias?

Figure

Actualización...

Referencias

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