UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO INTEGRAL
PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO
Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno
M.E.M. Margarita Ramírez Galindo
23 de septiembre de 2014 Semestre 2015-1
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.
1. El valor medio de la función
f
es igual a 13 en el intervalo 1, b
,calcular el valor de
b
si
f x ( ) = 3 x
2
15 Puntos
2. Calcular, si existe, el siguiente límite:
( )
2( 1)1
lim ln
xx
x
−→ +
15 Puntos
1EE13-2 3. Efectuar las integrales:
( )
2 3 25 8 4
a ) x ln x d x b ) d x
x − x + x −
20 Puntos
4. Calcular el área de la región del plano cartesiano limitada por:
4
y = cos x ,
2 y = x ,
0
yx =
x = 4
15 Puntos
5. Sean
2 2
,
W =
e x
+y
x = ( ) s sen t
yy = ( ) t sen s
. Empleando la regla de la cadena obtenerw t
y expresar el resultadoen términos de
s y t .
15 Puntos
6. Sea la superficie de ecuación:
cos ( ) x − x y
2+ e x z + y z = 4
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto de coordenadas
(
0 , 1, 2)
.20 Puntos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL
Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2015 – 1
1. Sea
( )
( )
( )( )
2 3 3
1 1
3
2
2
2
3 1
1 1
1
13 1 13
3 4 0
12 0
Por lo tanto 3
b b
x dx x b
f c b b b
b
f c b b
b b
b b
b
= = −
= − = + +
−
= + + =
− + =
+ − =
=
15 Puntos 2. La sustitución directa da
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
2 1 0
1
2 1
1 1
1
1 1
ln 0
ln
si aplicamos logaritmo
ln 2 1 ln ln 0
reacomodando queda ln ln
lim al simplificar queda 1
2 1 ln ln 2 lim
1
x x
x
x x
x
x
lim x
Sea x x
lim x lim x x
x x
x x
+
+ +
+
+
−
→
−
→ →
→
→ −
=
=
= − =
= =
−
= −
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1 1 2 1
2
2
1
1 1
2 1 0
1 1
Aplicando L'Hopital:
1
1 ln ln
lim ln 2 lim 2 lim
1 1
1
1 0
2 lim
ln 0
Nuevamente aplicando L'Hopital:
2 1 0
lim ln 2 lim 0
1 1
ln Aplicando :
lim lim ln
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x e
x x e
+ + +
+
+ +
+ +
→ → − →
→
→ →
−
→ →
= = −
− −
−
= − − =
= − − = =
+
= = =
( )
2( 1)1
1
ln
x1
x
lim x
+
−
→
=
15 Puntos
3.
a) Por partes
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 1 2 1
2
1 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 4
u ln x du ln x dx
x
dv x dx v x
I x ln x x ln x dx
u ln x du dx
x
dv x dx v x
I x ln x x ln x x dx
I x ln x x ln x x c
= =
= =
= −
= =
= =
= − −
= − + +
10 Puntos b) Por descomposición en fracciones parciales
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2
2 2
2
1 1
1 2
5 8 4 1 2 2
1 4 4 3 2 1
A = 1 = 1 = 1
1 1 1
1 2 2
1 2 1
2
A B D
x x
x x x x x x
A x x B x x D x
B D
I dx
x x x
I ln x ln x c
x
= = + +
− −
− + − − − −
= − + + − + + −
−
= − +
− −
−
= − + − + +
−
10 Puntos
S1EE15-1 4.
( )
4 0
4
0
2
2
2
unidades de área
4 2
4 4 2
2 16
2 2
16
A cos x x dx
A sen x x
A
A
= −
= −
= −
= −
15 Puntos 5.
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
, , , , ,
2 cos 2 sen
En términos de s y t:
2 sen cos 2 sen 2 sen cos 2 sen
x y x y
s sen t t sen s
s sen t t sen s
w f x y x f s t y f s t
w f x f y
t x t y t
w e x s t e y s
t
w e s t s t t s sen s
t
w e s t t t s
t
+ +
+
+
= = =
= +
= +
= +
= +
15 Puntos
S1EE15-1
6.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
Sea
2
0 1 2 2 2
2 2 1 0
Finalmente: 0 1 2 2 2 1 0
Por lo que la ecuación es 2 2 4 0
xz xz
F Fx i Fy j Fz k
F sen x x y z e i x z j xe y k
F , , i j k
F N N , , ; P P N
x , y , z , ,
x y z
= + +
= − − + + − + + +
= + +
= − =
− − − =
+ + − =
20 Puntos