15 Puntos 15 Puntos

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno

M.E.M. Margarita Ramírez Galindo

23 de septiembre de 2014 Semestre 2015-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. El valor medio de la función

f

es igual a 13 en el intervalo

  1, b  

,

calcular el valor de

b

si

f x ( ) = 3 x

2

15 Puntos

2. Calcular, si existe, el siguiente límite:

( )

2( 1)

1

lim ln

x

x

x

+

15 Puntos

(2)

1EE13-2 3. Efectuar las integrales:

( )

2 3 2

5 8 4

a ) x ln x d x b ) d x

xx + x

 

20 Puntos

4. Calcular el área de la región del plano cartesiano limitada por:

4

y = cos x ,

2 y = x ,

0

y

x =

x =  4

15 Puntos

5. Sean

2 2

,

W =

e x

+

y

x = ( ) s sen t

y

y = ( ) t sen s

. Empleando la regla de la cadena obtener

w t

y expresar el resultado

en términos de

s y t .

15 Puntos

6. Sea la superficie de ecuación:

cos ( ) x x y

2

+ e x z + y z = 4

Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto de coordenadas

(

0 , 1, 2

)

.

20 Puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2015 – 1

1. Sea

( )

( )

( )( )

2 3 3

1 1

3

2

2

2

3 1

1 1

1

13 1 13

3 4 0

12 0

Por lo tanto 3

b b

x dx x b

f c b b b

b

f c b b

b b

b b

b

= = −

 = − = + +

=  + + =

− + =

+ − =

=

15 Puntos 2. La sustitución directa da

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )   ( )( )

( )

( )

( )

( )

2 1 0

1

2 1

1 1

1

1 1

ln 0

ln

si aplicamos logaritmo

ln 2 1 ln ln 0

reacomodando queda ln ln

lim al simplificar queda 1

2 1 ln ln 2 lim

1

x x

x

x x

x

x

lim x

Sea x x

lim x lim x x

x x

x x

+

+ +

+

+

=

=

= − = 

= = 

= −

(4)

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 2 1

2

2

1

1 1

2 1 0

1 1

Aplicando L'Hopital:

1

1 ln ln

lim ln 2 lim 2 lim

1 1

1

1 0

2 lim

ln 0

Nuevamente aplicando L'Hopital:

2 1 0

lim ln 2 lim 0

1 1

ln Aplicando :

lim lim ln

x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x e

x x e

+ + +

+

+ +

+ +

= = −

− −

= − − =

= − − = =

 +

= = =

( )

2( 1)

1

1

ln

x

1

x

lim x

+

=

15 Puntos

(5)

3.

a) Por partes

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 1 2 1

2

1 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 4

u ln x du ln x dx

x

dv x dx v x

I x ln x x ln x dx

u ln x du dx

x

dv x dx v x

I x ln x x ln x x dx

I x ln x x ln x x c

= =

= =

= −

= =

= =

 

= −  − 

 

= − + +

10 Puntos b) Por descomposición en fracciones parciales

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

3 2 2 2

2 2

2

1 1

1 2

5 8 4 1 2 2

1 4 4 3 2 1

A = 1 = 1 = 1

1 1 1

1 2 2

1 2 1

2

A B D

x x

x x x x x x

A x x B x x D x

B D

I dx

x x x

I ln x ln x c

x

= = + +

− −

− + − − − −

 = − + + − + + −

 −

 

=  − + 

− −

 − 

 

= − + − + +

10 Puntos

(6)

S1EE15-1 4.

( )

4 0

4

0

2

2

2

unidades de área

4 2

4 4 2

2 16

2 2

16

A cos x x dx

A sen x x

A

A

= −

 

=  − 

 

=   −

 

= −

15 Puntos 5.

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

, , , , ,

2 cos 2 sen

En términos de s y t:

2 sen cos 2 sen 2 sen cos 2 sen

x y x y

s sen t t sen s

s sen t t sen s

w f x y x f s t y f s t

w f x f y

t x t y t

w e x s t e y s

t

w e s t s t t s sen s

t

w e s t t t s

t

    

    

+ +

+

+

= = =

=  + 

= +

=   +  

= +

15 Puntos

(7)

S1EE15-1

6.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2

0

Sea

2

0 1 2 2 2

2 2 1 0

Finalmente: 0 1 2 2 2 1 0

Por lo que la ecuación es 2 2 4 0

xz xz

F Fx i Fy j Fz k

F sen x x y z e i x z j xe y k

F , , i j k

F N N , , ; P P N

x , y , z , ,

x y z

 

 = + +

 = − − + + − + + +

 = + +

  = − =

− − − =

+ + − =

20 Puntos

Figure

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