Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Marta Martín Sierra
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. DISCONTINUIDADES
CONDICIONES DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Una función real f(x) es continua en x = a cuando se verifican las 3 condiciones siguientes:
(1) ∃ Lím f(x)
x→a
) x ( f Lím
a x→ −
∃
) x ( f Lím
a x→ +
∃
) x ( f Lím
a
x→ + = Lím f(x)
a x→ −
(2) ∃ f(a)
(3) Lím f(x)
x→a = f(a)
Es decir, se dice que una función f(x) es continua en x = a cuando verifica )
x ( f Lím
x→a = f(a)
DISCONTINUIDAD EVITABLE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
(1) Cuando el límite de la función en x = a existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en x = a
) x ( f Lím
a x→ +
∃ y Lím f(x)
a x→ −
∃
∃ f(a) ) x ( f Lím
a
x→ ≠ f(a)
1
(2) Cuando el límite de la función en x = a existe y es finito, pero la función no está definida en x = a
) x ( f Lím
a x→ +
∃ y Lím f(x)
a x→ −
∃ No existe f(a)
1
Estas discontinuidades se evitan redefiniendo la función para x = a y haciendo que en este punto tome el valor del límite.
DISCONTINUIDAD NO EVITABLE O ESENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (1) De primera especie
Continuidad de una función. Discontinuidades
© Marta Martín Sierra )
x ( f Lím
a x→ +
∃ y Lím f(x)
a x→ −
∃ ) x ( f Lím
a
x→ + ≠ Lím f(x)
a x→ −
(1a) Con salto finito.
Por ejemplo, para x = 1
2 2
(1a) Con salto infinito.
Por ejemplo, para x = 4
2
4
1 6
- 3 5
- 1
(2) De segunda especie.
Cuando no existe uno o los dos límites laterales.
En el ejemplo para x = 10 →
8
No existe í
→ ( )
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Marta Martín Sierra 02. (a) Comprueba si la siguiente función es continua
f(x) =
=
− ≠
−
2 1
2 2
2 4
x si
x x si
x
(b) En caso de ser discontinua, comenta qué tipo de discontinuidad se trata.
(c) Redefine, si es posible, la función para que sea continua.
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
Dadas las características de la función, estudiamos la continuidad en sus intervalos correspondientes:
(A) Intervalo x < 2
2
2 4
−
− x x
Se trata de una función racional. Sería discontinua para x = 2 pero este valor cae fuera del intervalo que estamos estudiando. En este intervalo es continua.
(B) Intervalo x > 2
2
2 4
−
− x x
Se trata de una función racional. Sería discontinua para x = 2 pero este valor cae fuera del intervalo que estamos estudiando. En este intervalo es continua.
(C) x = 2
Una función real f(x) es continua en x = 2 cuando se verifican las 3 condiciones siguientes:
(I) Existe
2
2 4
2 −
−
→ x Lím x
x
0/0 Indeterminación 2
2 2
2 −
− +
→ x
) x )·(
x Lím (
x =
) x ( Límx 2
2 +
→ =
2
2 4
2 −
−
→ x Lím x
x = 4
(II) Existe f(2)
f(2) = 1 (III) Lím f(x)
x→2 = f(2)
4 ≠ 1
La función f(x) NO es continua en x = 2
Por lo tanto la función f(x) es continua (– ∞, 2) (2, + ∞)
Presenta una discontinuidad evitable en x = 2. Redefinamos la función para que sea continua:
f(x) =
=
− ≠
−
2 4
2 2
2 4
x si
x x si
x
Continuidad de una función. Discontinuidades
© Marta Martín Sierra 04. (a) Comprueba si la función f(x) =
>
+
≤
−
2 2
2 1
2 2
x si x
x si
x es continua.
(b) En caso de ser discontinua, comenta qué tipo de discontinuidad se trata.
(c) Define, si es posible, la función de nuevo para que sea continua.
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
Se trata de una función definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad estudiaremos la función en sus intervalos correspondientes:
2 ℜ
(A) Intervalo x < 2
2x2 – 1
Es continua ya que se trata de una función polinómica sencilla.
(B) Intervalo x > 2
x + 2
Es continua ya que se trata de una función polinómica sencilla.
(C) x = 2
Una función real f(x) es continua en x = 2 cuando se verifican las 3 condiciones siguientes:
(I) Existe Lím f(x)
x→2
) x ( Límx 2 2 1
2− −
→ = 7
) x ( Lím
x 2
2+ +
→ = 4
) x ( f Lím
x→2−
≠ Lím f(x)
x→2+
No existe el límite, por lo que ya no compruebo ni la condición (II) ni la (III) (b) En caso de ser discontinua, comenta qué tipo de discontinuidad se trata.
La función no es continua en x = 2
Por lo tanto la función f(x) es continua (– ∞, 2) (2, + ∞)
La función presenta una discontinuidad inevitable de primera especie con salto finito igual a 3.
Salto = | 7 – 4 | = 3
(c) Define, si es posible, la función de nuevo para que sea continua.
Es una discontinuidad inevitable. No se puede redefinir la función.
