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Cambio de base del plano (ejemplo geom´ etrico)

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Academic year: 2022

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Cambio de base del plano (ejemplo geom´ etrico)

Objetivos. Conocer un ejemplo de cambio de base en el espacio R2 que identificamos con el plano.

Requisitos. Base, coordenadas de un vector respecto a una base, matriz de cambio de base, c´alculo de la matriz inversa, cambio de coordenadas de un vector al cambiar la base del espacio.

Ejemplo. En el espacio R2 consideremos la base can´onica E = (e1, e2), la base B = (b1, b2) y el vector v, donde

e1 = 1 0



, e2 = 0 1



, b1 = 3 1



, b2 = −1

−2



, v =

 3

−4

 .

e1

e2 b1

b2

v

Vamos a hacer las siguientes tareas con este ejemplo:

I. Escribir vE. Mostrar en el dibujo la expansi´on de v respecto a la base E . II. Escribir PE,B.

III. Calcular PB,E.

IV. Comprobar que PE,BPB,E = I2.

V. Calcular vB usando la matriz PB,E y vE.

VI. Calcular vB de otra manera, resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

VII. Hacer la comprobaci´on algebraica.

VIII. Hacer la comprobaci´on geom´etrica.

Cambio de base del plano (ejemplo geom´etrico), p´agina 1 de 4

(2)

Soluci´ on

1. El vector v se escribe como la siguiente combinaci´on lineal de los vectores e1 y e2:

 3

−4



= 3 1 0



+ (−4) 0 1

 , o sea

v = 3e1+ (−4)e2. (1)

Los coeficientes de esta combinaci´on lineal se llaman las coordenadas del vector v respecto a la base E . Denotamos por vE a la columna formada de estas dos coordenadas:

vE =

 3

−4

 .

Notemos que vE coincide con v. Esto sucedi´o porque E es la base can´onica de R2. El sentido geom´etrico de la igualdad (1) se muestra en el siguiente dibujo:

3e1

−4e2

e1 e2

v

2. Los vectores b1 y b2 tienen las siguientes expansiones respecto a la base E : b1 = 3

1



= 3 1 0

 + 0

1



= 3e1+e2, b2 = −1

−2



= − 1 0



−2 0 1



= −e1−2e2, as´ı que las columnas de sus coordenadas respecto a E son

(b1)E = 3 1



, (b2)E = −1

−2

 . La matriz PE,B consta de las columnas (b1)E y (b2)E:

PE,B = 3 −1 1 −2

 .

Gracias al hecho que E es la base can´onica de R2, la columna (b1)E coincide con b1, al columna (b2)E coincide con b2, y PE,B consta de las columnas b1 y b2.

Cambio de base del plano (ejemplo geom´etrico), p´agina 2 de 4

(3)

3. Recordando que PE,BPB,E = PE,E = I2 concluimos que PB,E es la matriz inversa de PE,B. Aplicamos el algoritmo com´un para calcular la matriz inversa:

 3 −1 1 0 1 −2 0 1

 R1↔R2

−−−−→ 1 −2 0 1 3 −1 1 0

 R2+= −3R1

−−−−−−−→ 1 −2 0 1

0 5 1 −3



R2∗= 1/5

−−−−−→ 1 −2 0 1

0 1 1/5 −3/5

 R1+= 2R2

−−−−−−→ 1 0 2/5 −1/5 0 1 1/5 −3/5

 . Hemos calculado PB,E:

PB,E = 2/5 −1/5 1/5 −3/5

 .

4. Comprobamos que PE,BPB,E = I2:

 3 −1 1 −2

  2/5 −1/5 1/5 −3/5



=

6

51535 +35

2

52515 +65

= 1 0 0 1

 . X

5. Calculamos vB por la f´ormula vB = PB,EvE:

vB = PB,EvE = 2/5 −1/5 1/5 −3/5

  3

−4



=

6 5 + 45

3 5 + 125

= 2 3

 .

6. Para comprender mejor el concepto de coordenadas, veamos tambi´en otro m´etodo para calcular las coordenadas de v respecto a la base B. Estamos buscando dos n´umeros reales y1, y2 que satisfagan la igualdad

y1b1+ y2b2 = v.

Sustituimos b1, b2, v:

y1 3 1



+ y2 −1

−2



=

 3

−4

 . Escribimos el lado izquierdo de otra manera:

 3 −1 1 −2

  y1 y2



=

 3

−4

 . Resolvemos el sistema obtenido:

 3 −1 3 1 −2 −4



R1↔R2

−−−−→ 1 −2 −4

3 −1 3



R2+= −3R1

−−−−−−−→ 1 −2 −4

0 5 15



R2∗= 1/5

−−−−−→ 1 −2 −4

0 1 3



R1+= 2R2

−−−−−−→ 1 0 2 0 1 3

 . Obtuvimos la respuesta

vB = y1 y2



= 2 3

 .

Cambio de base del plano (ejemplo geom´etrico), p´agina 3 de 4

(4)

7. Hacemos la comprobaci´on algebraica que 2b1+ 3b2 = v:

2b1+ 3b2 = 2 3 1



+ 3 −1

−2



= 6 2



+ −3

−6



=

 3

−4

 . X

8. Hacemos la comprobaci´on geom´etrica que 2b1+ 3b2 = v:

b1

b2

2b1

3b2

v

Cambio de base del plano (ejemplo geom´etrico), p´agina 4 de 4

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